Basic invariants
Galois action
Roots of defining polynomial
The roots of $f$ are computed in $\Q_{ 113 }$ to precision 8.
Roots:
| $r_{ 1 }$ |
$=$ |
$ 6 + 86\cdot 113 + 7\cdot 113^{2} + 11\cdot 113^{3} + 18\cdot 113^{4} + 53\cdot 113^{5} + 89\cdot 113^{6} + 54\cdot 113^{7} +O\left(113^{ 8 }\right)$ |
| $r_{ 2 }$ |
$=$ |
$ 11 + 106\cdot 113 + 10\cdot 113^{2} + 86\cdot 113^{3} + 27\cdot 113^{4} + 27\cdot 113^{5} + 88\cdot 113^{6} + 24\cdot 113^{7} +O\left(113^{ 8 }\right)$ |
| $r_{ 3 }$ |
$=$ |
$ 23 + 88\cdot 113 + 39\cdot 113^{2} + 42\cdot 113^{3} + 89\cdot 113^{4} + 29\cdot 113^{5} + 65\cdot 113^{6} + 106\cdot 113^{7} +O\left(113^{ 8 }\right)$ |
| $r_{ 4 }$ |
$=$ |
$ 52 + 61\cdot 113 + 25\cdot 113^{2} + 74\cdot 113^{3} + 113^{4} + 78\cdot 113^{5} + 9\cdot 113^{6} + 21\cdot 113^{7} +O\left(113^{ 8 }\right)$ |
| $r_{ 5 }$ |
$=$ |
$ 61 + 51\cdot 113 + 87\cdot 113^{2} + 38\cdot 113^{3} + 111\cdot 113^{4} + 34\cdot 113^{5} + 103\cdot 113^{6} + 91\cdot 113^{7} +O\left(113^{ 8 }\right)$ |
| $r_{ 6 }$ |
$=$ |
$ 90 + 24\cdot 113 + 73\cdot 113^{2} + 70\cdot 113^{3} + 23\cdot 113^{4} + 83\cdot 113^{5} + 47\cdot 113^{6} + 6\cdot 113^{7} +O\left(113^{ 8 }\right)$ |
| $r_{ 7 }$ |
$=$ |
$ 102 + 6\cdot 113 + 102\cdot 113^{2} + 26\cdot 113^{3} + 85\cdot 113^{4} + 85\cdot 113^{5} + 24\cdot 113^{6} + 88\cdot 113^{7} +O\left(113^{ 8 }\right)$ |
| $r_{ 8 }$ |
$=$ |
$ 107 + 26\cdot 113 + 105\cdot 113^{2} + 101\cdot 113^{3} + 94\cdot 113^{4} + 59\cdot 113^{5} + 23\cdot 113^{6} + 58\cdot 113^{7} +O\left(113^{ 8 }\right)$ |
Generators of the action on the roots
$r_1, \ldots, r_{ 8 }$
| Cycle notation |
| $(1,4,6,2,8,5,3,7)$ |
| $(1,3,8,6)(2,4,7,5)$ |
| $(2,7)(4,5)$ |
| $(3,6)(4,5)$ |
Character values on conjugacy classes
| Size | Order | Action on
$r_1, \ldots, r_{ 8 }$
| Character value |
| $1$ | $1$ | $()$ | $4$ |
| $1$ | $2$ | $(1,8)(2,7)(3,6)(4,5)$ | $-4$ |
| $2$ | $2$ | $(2,7)(4,5)$ | $0$ |
| $4$ | $2$ | $(3,6)(4,5)$ | $0$ |
| $4$ | $2$ | $(1,3)(2,4)(5,7)(6,8)$ | $0$ |
| $2$ | $4$ | $(1,3,8,6)(2,4,7,5)$ | $0$ |
| $2$ | $4$ | $(1,3,8,6)(2,5,7,4)$ | $0$ |
| $4$ | $8$ | $(1,4,6,2,8,5,3,7)$ | $0$ |
| $4$ | $8$ | $(1,2,3,4,8,7,6,5)$ | $0$ |
| $4$ | $8$ | $(1,4,3,2,8,5,6,7)$ | $0$ |
| $4$ | $8$ | $(1,2,6,4,8,7,3,5)$ | $0$ |
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.
