Basic invariants
Galois action
Roots of defining polynomial
The roots of $f$ are computed in $\Q_{ 577 }$ to precision 10.
Roots:
| $r_{ 1 }$ |
$=$ |
$ 18 + 360\cdot 577 + 546\cdot 577^{2} + 278\cdot 577^{3} + 128\cdot 577^{4} + 335\cdot 577^{5} + 65\cdot 577^{6} + 421\cdot 577^{7} + 177\cdot 577^{8} + 445\cdot 577^{9} +O\left(577^{ 10 }\right)$ |
| $r_{ 2 }$ |
$=$ |
$ 56 + 80\cdot 577 + 413\cdot 577^{2} + 372\cdot 577^{3} + 552\cdot 577^{4} + 228\cdot 577^{5} + 5\cdot 577^{6} + 59\cdot 577^{7} + 461\cdot 577^{8} + 309\cdot 577^{9} +O\left(577^{ 10 }\right)$ |
| $r_{ 3 }$ |
$=$ |
$ 151 + 76\cdot 577 + 521\cdot 577^{2} + 251\cdot 577^{3} + 250\cdot 577^{4} + 211\cdot 577^{5} + 77\cdot 577^{7} + 291\cdot 577^{8} + 423\cdot 577^{9} +O\left(577^{ 10 }\right)$ |
| $r_{ 4 }$ |
$=$ |
$ 231 + 567\cdot 577 + 390\cdot 577^{2} + 432\cdot 577^{3} + 529\cdot 577^{4} + 221\cdot 577^{5} + 67\cdot 577^{6} + 397\cdot 577^{7} + 291\cdot 577^{8} + 242\cdot 577^{9} +O\left(577^{ 10 }\right)$ |
| $r_{ 5 }$ |
$=$ |
$ 346 + 9\cdot 577 + 186\cdot 577^{2} + 144\cdot 577^{3} + 47\cdot 577^{4} + 355\cdot 577^{5} + 509\cdot 577^{6} + 179\cdot 577^{7} + 285\cdot 577^{8} + 334\cdot 577^{9} +O\left(577^{ 10 }\right)$ |
| $r_{ 6 }$ |
$=$ |
$ 426 + 500\cdot 577 + 55\cdot 577^{2} + 325\cdot 577^{3} + 326\cdot 577^{4} + 365\cdot 577^{5} + 576\cdot 577^{6} + 499\cdot 577^{7} + 285\cdot 577^{8} + 153\cdot 577^{9} +O\left(577^{ 10 }\right)$ |
| $r_{ 7 }$ |
$=$ |
$ 521 + 496\cdot 577 + 163\cdot 577^{2} + 204\cdot 577^{3} + 24\cdot 577^{4} + 348\cdot 577^{5} + 571\cdot 577^{6} + 517\cdot 577^{7} + 115\cdot 577^{8} + 267\cdot 577^{9} +O\left(577^{ 10 }\right)$ |
| $r_{ 8 }$ |
$=$ |
$ 559 + 216\cdot 577 + 30\cdot 577^{2} + 298\cdot 577^{3} + 448\cdot 577^{4} + 241\cdot 577^{5} + 511\cdot 577^{6} + 155\cdot 577^{7} + 399\cdot 577^{8} + 131\cdot 577^{9} +O\left(577^{ 10 }\right)$ |
Generators of the action on the roots
$r_1, \ldots, r_{ 8 }$
| Cycle notation |
| $(2,7)(4,5)$ |
| $(3,6)(4,5)$ |
| $(1,8)(4,5)$ |
| $(1,5,2,6)(3,8,4,7)$ |
| $(1,2,8,7)(3,6)(4,5)$ |
Character values on conjugacy classes
| Size | Order | Action on
$r_1, \ldots, r_{ 8 }$
| Character values |
| | |
$c1$ |
| $1$ |
$1$ |
$()$ |
$4$ |
| $1$ |
$2$ |
$(1,8)(2,7)(3,6)(4,5)$ |
$-4$ |
| $2$ |
$2$ |
$(1,8)(2,7)$ |
$0$ |
| $4$ |
$2$ |
$(2,7)(4,5)$ |
$0$ |
| $4$ |
$2$ |
$(1,2)(3,4)(5,6)(7,8)$ |
$0$ |
| $8$ |
$2$ |
$(1,7)(2,8)(3,6)$ |
$0$ |
| $4$ |
$4$ |
$(1,2,8,7)(3,6)(4,5)$ |
$-2$ |
| $4$ |
$4$ |
$(1,2,8,7)$ |
$2$ |
| $4$ |
$4$ |
$(1,2,8,7)(3,5,6,4)$ |
$0$ |
| $8$ |
$4$ |
$(1,5,2,6)(3,8,4,7)$ |
$0$ |
| $8$ |
$4$ |
$(1,6,2,5)(3,7,4,8)$ |
$0$ |
| $8$ |
$4$ |
$(1,5,8,4)(2,6)(3,7)$ |
$0$ |
| $8$ |
$4$ |
$(1,4,8,5)(2,6)(3,7)$ |
$0$ |
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.
