Basic invariants
Galois action
Roots of defining polynomial
The roots of $f$ are computed in $\Q_{ 577 }$ to precision 10.
Roots:
| $r_{ 1 }$ |
$=$ |
$ 66 + 79\cdot 577 + 11\cdot 577^{2} + 369\cdot 577^{3} + 258\cdot 577^{4} + 79\cdot 577^{5} + 9\cdot 577^{6} + 416\cdot 577^{7} + 278\cdot 577^{8} + 78\cdot 577^{9} +O\left(577^{ 10 }\right)$ |
| $r_{ 2 }$ |
$=$ |
$ 75 + 544\cdot 577 + 549\cdot 577^{2} + 384\cdot 577^{3} + 109\cdot 577^{4} + 125\cdot 577^{5} + 341\cdot 577^{6} + 351\cdot 577^{7} + 262\cdot 577^{8} + 461\cdot 577^{9} +O\left(577^{ 10 }\right)$ |
| $r_{ 3 }$ |
$=$ |
$ 188 + 125\cdot 577 + 471\cdot 577^{2} + 232\cdot 577^{3} + 334\cdot 577^{4} + 22\cdot 577^{5} + 491\cdot 577^{6} + 10\cdot 577^{7} + 398\cdot 577^{8} + 439\cdot 577^{9} +O\left(577^{ 10 }\right)$ |
| $r_{ 4 }$ |
$=$ |
$ 249 + 411\cdot 577 + 429\cdot 577^{2} + 305\cdot 577^{3} + 171\cdot 577^{4} + 254\cdot 577^{5} + 399\cdot 577^{6} + 562\cdot 577^{7} + 80\cdot 577^{8} + 466\cdot 577^{9} +O\left(577^{ 10 }\right)$ |
| $r_{ 5 }$ |
$=$ |
$ 328 + 165\cdot 577 + 147\cdot 577^{2} + 271\cdot 577^{3} + 405\cdot 577^{4} + 322\cdot 577^{5} + 177\cdot 577^{6} + 14\cdot 577^{7} + 496\cdot 577^{8} + 110\cdot 577^{9} +O\left(577^{ 10 }\right)$ |
| $r_{ 6 }$ |
$=$ |
$ 389 + 451\cdot 577 + 105\cdot 577^{2} + 344\cdot 577^{3} + 242\cdot 577^{4} + 554\cdot 577^{5} + 85\cdot 577^{6} + 566\cdot 577^{7} + 178\cdot 577^{8} + 137\cdot 577^{9} +O\left(577^{ 10 }\right)$ |
| $r_{ 7 }$ |
$=$ |
$ 502 + 32\cdot 577 + 27\cdot 577^{2} + 192\cdot 577^{3} + 467\cdot 577^{4} + 451\cdot 577^{5} + 235\cdot 577^{6} + 225\cdot 577^{7} + 314\cdot 577^{8} + 115\cdot 577^{9} +O\left(577^{ 10 }\right)$ |
| $r_{ 8 }$ |
$=$ |
$ 511 + 497\cdot 577 + 565\cdot 577^{2} + 207\cdot 577^{3} + 318\cdot 577^{4} + 497\cdot 577^{5} + 567\cdot 577^{6} + 160\cdot 577^{7} + 298\cdot 577^{8} + 498\cdot 577^{9} +O\left(577^{ 10 }\right)$ |
Generators of the action on the roots
$r_1, \ldots, r_{ 8 }$
| Cycle notation |
| $(2,7)(4,5)$ |
| $(1,6,4,2)(3,5,7,8)$ |
| $(1,5,8,4)$ |
| $(1,8)(2,7)$ |
| $(1,8)(3,6)$ |
Character values on conjugacy classes
| Size | Order | Action on
$r_1, \ldots, r_{ 8 }$
| Character value |
| $1$ | $1$ | $()$ | $4$ |
| $1$ | $2$ | $(1,8)(2,7)(3,6)(4,5)$ | $-4$ |
| $2$ | $2$ | $(1,8)(4,5)$ | $0$ |
| $4$ | $2$ | $(1,4)(2,6)(3,7)(5,8)$ | $0$ |
| $4$ | $2$ | $(1,8)(3,6)$ | $0$ |
| $8$ | $2$ | $(1,5)(3,6)(4,8)$ | $0$ |
| $4$ | $4$ | $(1,4,8,5)(2,6,7,3)$ | $0$ |
| $4$ | $4$ | $(1,5,8,4)$ | $2$ |
| $4$ | $4$ | $(1,8)(2,6,7,3)(4,5)$ | $-2$ |
| $8$ | $4$ | $(1,6,4,2)(3,5,7,8)$ | $0$ |
| $8$ | $4$ | $(1,2,4,6)(3,8,7,5)$ | $0$ |
| $8$ | $4$ | $(1,6,8,3)(2,4)(5,7)$ | $0$ |
| $8$ | $4$ | $(1,3,8,6)(2,4)(5,7)$ | $0$ |
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.
