Basic invariants
Galois action
Roots of defining polynomial
The roots of $f$ are computed in $\Q_{ 113 }$ to precision 9.
Roots:
| $r_{ 1 }$ |
$=$ |
$ 12 + 49\cdot 113 + 72\cdot 113^{2} + 110\cdot 113^{3} + 5\cdot 113^{4} + 60\cdot 113^{5} + 14\cdot 113^{6} + 18\cdot 113^{7} + 104\cdot 113^{8} +O\left(113^{ 9 }\right)$ |
| $r_{ 2 }$ |
$=$ |
$ 15 + 88\cdot 113 + 70\cdot 113^{2} + 51\cdot 113^{3} + 37\cdot 113^{4} + 81\cdot 113^{5} + 34\cdot 113^{6} + 68\cdot 113^{7} + 61\cdot 113^{8} +O\left(113^{ 9 }\right)$ |
| $r_{ 3 }$ |
$=$ |
$ 52 + 18\cdot 113 + 86\cdot 113^{2} + 66\cdot 113^{3} + 14\cdot 113^{4} + 77\cdot 113^{5} + 69\cdot 113^{6} + 50\cdot 113^{7} + 10\cdot 113^{8} +O\left(113^{ 9 }\right)$ |
| $r_{ 4 }$ |
$=$ |
$ 54 + 86\cdot 113 + 52\cdot 113^{2} + 102\cdot 113^{3} + 84\cdot 113^{4} + 62\cdot 113^{5} + 88\cdot 113^{6} + 65\cdot 113^{7} + 30\cdot 113^{8} +O\left(113^{ 9 }\right)$ |
| $r_{ 5 }$ |
$=$ |
$ 59 + 26\cdot 113 + 60\cdot 113^{2} + 10\cdot 113^{3} + 28\cdot 113^{4} + 50\cdot 113^{5} + 24\cdot 113^{6} + 47\cdot 113^{7} + 82\cdot 113^{8} +O\left(113^{ 9 }\right)$ |
| $r_{ 6 }$ |
$=$ |
$ 61 + 94\cdot 113 + 26\cdot 113^{2} + 46\cdot 113^{3} + 98\cdot 113^{4} + 35\cdot 113^{5} + 43\cdot 113^{6} + 62\cdot 113^{7} + 102\cdot 113^{8} +O\left(113^{ 9 }\right)$ |
| $r_{ 7 }$ |
$=$ |
$ 98 + 24\cdot 113 + 42\cdot 113^{2} + 61\cdot 113^{3} + 75\cdot 113^{4} + 31\cdot 113^{5} + 78\cdot 113^{6} + 44\cdot 113^{7} + 51\cdot 113^{8} +O\left(113^{ 9 }\right)$ |
| $r_{ 8 }$ |
$=$ |
$ 101 + 63\cdot 113 + 40\cdot 113^{2} + 2\cdot 113^{3} + 107\cdot 113^{4} + 52\cdot 113^{5} + 98\cdot 113^{6} + 94\cdot 113^{7} + 8\cdot 113^{8} +O\left(113^{ 9 }\right)$ |
Generators of the action on the roots
$r_1, \ldots, r_{ 8 }$
| Cycle notation |
| $(1,8)(2,7)(3,6)(4,5)$ |
| $(2,7)(4,5)$ |
| $(1,4,8,5)(2,3,7,6)$ |
| $(1,4,3,2)(5,6,7,8)$ |
| $(1,3)(2,4)(5,7)(6,8)$ |
Character values on conjugacy classes
| Size | Order | Action on
$r_1, \ldots, r_{ 8 }$
| Character value |
| $1$ | $1$ | $()$ | $4$ |
| $1$ | $2$ | $(1,8)(2,7)(3,6)(4,5)$ | $-4$ |
| $2$ | $2$ | $(1,3)(2,4)(5,7)(6,8)$ | $0$ |
| $2$ | $2$ | $(2,7)(4,5)$ | $0$ |
| $2$ | $2$ | $(1,3)(2,5)(4,7)(6,8)$ | $0$ |
| $4$ | $2$ | $(1,2)(3,5)(4,6)(7,8)$ | $0$ |
| $4$ | $4$ | $(1,4,3,2)(5,6,7,8)$ | $0$ |
| $4$ | $4$ | $(1,2,3,4)(5,8,7,6)$ | $0$ |
| $4$ | $4$ | $(1,5,8,4)(2,6,7,3)$ | $0$ |
| $4$ | $4$ | $(2,4,7,5)(3,6)$ | $0$ |
| $4$ | $4$ | $(2,5,7,4)(3,6)$ | $0$ |
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.
