Basic invariants
Galois action
Roots of defining polynomial
The roots of $f$ are computed in $\Q_{ 113 }$ to precision 9.
Roots:
| $r_{ 1 }$ |
$=$ |
$ 6 + 95\cdot 113 + 33\cdot 113^{2} + 87\cdot 113^{3} + 34\cdot 113^{4} + 72\cdot 113^{5} + 54\cdot 113^{6} + 21\cdot 113^{7} + 51\cdot 113^{8} +O\left(113^{ 9 }\right)$ |
| $r_{ 2 }$ |
$=$ |
$ 9 + 29\cdot 113 + 9\cdot 113^{2} + 22\cdot 113^{3} + 41\cdot 113^{4} + 30\cdot 113^{5} + 29\cdot 113^{6} + 98\cdot 113^{7} + 70\cdot 113^{8} +O\left(113^{ 9 }\right)$ |
| $r_{ 3 }$ |
$=$ |
$ 16 + 58\cdot 113 + 58\cdot 113^{2} + 88\cdot 113^{3} + 109\cdot 113^{4} + 108\cdot 113^{5} + 5\cdot 113^{6} + 48\cdot 113^{7} + 51\cdot 113^{8} +O\left(113^{ 9 }\right)$ |
| $r_{ 4 }$ |
$=$ |
$ 54 + 54\cdot 113 + 90\cdot 113^{2} + 35\cdot 113^{3} + 105\cdot 113^{4} + 82\cdot 113^{5} + 25\cdot 113^{6} + 65\cdot 113^{7} + 109\cdot 113^{8} +O\left(113^{ 9 }\right)$ |
| $r_{ 5 }$ |
$=$ |
$ 59 + 58\cdot 113 + 22\cdot 113^{2} + 77\cdot 113^{3} + 7\cdot 113^{4} + 30\cdot 113^{5} + 87\cdot 113^{6} + 47\cdot 113^{7} + 3\cdot 113^{8} +O\left(113^{ 9 }\right)$ |
| $r_{ 6 }$ |
$=$ |
$ 97 + 54\cdot 113 + 54\cdot 113^{2} + 24\cdot 113^{3} + 3\cdot 113^{4} + 4\cdot 113^{5} + 107\cdot 113^{6} + 64\cdot 113^{7} + 61\cdot 113^{8} +O\left(113^{ 9 }\right)$ |
| $r_{ 7 }$ |
$=$ |
$ 104 + 83\cdot 113 + 103\cdot 113^{2} + 90\cdot 113^{3} + 71\cdot 113^{4} + 82\cdot 113^{5} + 83\cdot 113^{6} + 14\cdot 113^{7} + 42\cdot 113^{8} +O\left(113^{ 9 }\right)$ |
| $r_{ 8 }$ |
$=$ |
$ 107 + 17\cdot 113 + 79\cdot 113^{2} + 25\cdot 113^{3} + 78\cdot 113^{4} + 40\cdot 113^{5} + 58\cdot 113^{6} + 91\cdot 113^{7} + 61\cdot 113^{8} +O\left(113^{ 9 }\right)$ |
Generators of the action on the roots
$r_1, \ldots, r_{ 8 }$
| Cycle notation |
| $(1,8)(2,7)(3,6)(4,5)$ |
| $(1,5)(2,3)(4,8)(6,7)$ |
| $(2,7)(4,5)$ |
| $(1,6)(2,5)(3,8)(4,7)$ |
| $(1,4,3,2)(5,6,7,8)$ |
Character values on conjugacy classes
| Size | Order | Action on
$r_1, \ldots, r_{ 8 }$
| Character value |
| $1$ | $1$ | $()$ | $4$ |
| $1$ | $2$ | $(1,8)(2,7)(3,6)(4,5)$ | $-4$ |
| $2$ | $2$ | $(1,3)(2,4)(5,7)(6,8)$ | $0$ |
| $2$ | $2$ | $(2,7)(4,5)$ | $0$ |
| $2$ | $2$ | $(1,6)(2,4)(3,8)(5,7)$ | $0$ |
| $4$ | $2$ | $(1,5)(2,3)(4,8)(6,7)$ | $0$ |
| $4$ | $4$ | $(1,4,3,2)(5,6,7,8)$ | $0$ |
| $4$ | $4$ | $(1,2,3,4)(5,8,7,6)$ | $0$ |
| $4$ | $4$ | $(1,8)(2,4,7,5)$ | $0$ |
| $4$ | $4$ | $(1,8)(2,5,7,4)$ | $0$ |
| $4$ | $4$ | $(1,7,8,2)(3,4,6,5)$ | $0$ |
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.
