Basic invariants
Galois action
Roots of defining polynomial
The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 23 }$ to precision 16.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 23 }$: $ x^{2} + 21 x + 5 $
Roots:
| $r_{ 1 }$ |
$=$ |
$ 19 a + 4 + \left(9 a + 11\right)\cdot 23 + \left(10 a + 17\right)\cdot 23^{2} + \left(14 a + 13\right)\cdot 23^{3} + \left(a + 5\right)\cdot 23^{4} + \left(18 a + 17\right)\cdot 23^{5} + \left(15 a + 4\right)\cdot 23^{6} + \left(14 a + 16\right)\cdot 23^{7} + \left(14 a + 15\right)\cdot 23^{8} + \left(12 a + 17\right)\cdot 23^{9} + \left(17 a + 11\right)\cdot 23^{10} + \left(18 a + 1\right)\cdot 23^{11} + \left(16 a + 4\right)\cdot 23^{12} + \left(21 a + 21\right)\cdot 23^{13} + \left(7 a + 2\right)\cdot 23^{14} + \left(14 a + 1\right)\cdot 23^{15} +O\left(23^{ 16 }\right)$ |
| $r_{ 2 }$ |
$=$ |
$ 20 + 15\cdot 23 + 20\cdot 23^{2} + 19\cdot 23^{3} + 2\cdot 23^{4} + 22\cdot 23^{5} + 15\cdot 23^{6} + 23^{7} + 13\cdot 23^{8} + 5\cdot 23^{9} + 22\cdot 23^{10} + 16\cdot 23^{11} + 10\cdot 23^{12} + 17\cdot 23^{13} + 21\cdot 23^{14} + 13\cdot 23^{15} +O\left(23^{ 16 }\right)$ |
| $r_{ 3 }$ |
$=$ |
$ 14 a + 9 + \left(5 a + 1\right)\cdot 23 + \left(21 a + 16\right)\cdot 23^{2} + \left(22 a + 10\right)\cdot 23^{3} + \left(15 a + 18\right)\cdot 23^{4} + \left(20 a + 21\right)\cdot 23^{5} + \left(22 a + 21\right)\cdot 23^{6} + 21\cdot 23^{7} + \left(15 a + 19\right)\cdot 23^{8} + \left(20 a + 9\right)\cdot 23^{9} + \left(22 a + 10\right)\cdot 23^{10} + \left(19 a + 14\right)\cdot 23^{11} + \left(5 a + 15\right)\cdot 23^{12} + \left(16 a + 9\right)\cdot 23^{13} + \left(15 a + 15\right)\cdot 23^{14} + \left(10 a + 8\right)\cdot 23^{15} +O\left(23^{ 16 }\right)$ |
| $r_{ 4 }$ |
$=$ |
$ 9 + 8\cdot 23 + 16\cdot 23^{2} + 15\cdot 23^{3} + 6\cdot 23^{4} + 10\cdot 23^{5} + 2\cdot 23^{6} + 14\cdot 23^{7} + 5\cdot 23^{8} + 14\cdot 23^{9} + 9\cdot 23^{10} + 5\cdot 23^{11} + 17\cdot 23^{12} + 3\cdot 23^{13} + 17\cdot 23^{14} + 13\cdot 23^{15} +O\left(23^{ 16 }\right)$ |
| $r_{ 5 }$ |
$=$ |
$ 4 a + 19 + \left(13 a + 11\right)\cdot 23 + \left(12 a + 5\right)\cdot 23^{2} + \left(8 a + 9\right)\cdot 23^{3} + \left(21 a + 17\right)\cdot 23^{4} + \left(4 a + 5\right)\cdot 23^{5} + \left(7 a + 18\right)\cdot 23^{6} + \left(8 a + 6\right)\cdot 23^{7} + \left(8 a + 7\right)\cdot 23^{8} + \left(10 a + 5\right)\cdot 23^{9} + \left(5 a + 11\right)\cdot 23^{10} + \left(4 a + 21\right)\cdot 23^{11} + \left(6 a + 18\right)\cdot 23^{12} + \left(a + 1\right)\cdot 23^{13} + \left(15 a + 20\right)\cdot 23^{14} + \left(8 a + 21\right)\cdot 23^{15} +O\left(23^{ 16 }\right)$ |
| $r_{ 6 }$ |
$=$ |
$ 3 + 7\cdot 23 + 2\cdot 23^{2} + 3\cdot 23^{3} + 20\cdot 23^{4} + 7\cdot 23^{6} + 21\cdot 23^{7} + 9\cdot 23^{8} + 17\cdot 23^{9} + 6\cdot 23^{11} + 12\cdot 23^{12} + 5\cdot 23^{13} + 23^{14} + 9\cdot 23^{15} +O\left(23^{ 16 }\right)$ |
| $r_{ 7 }$ |
$=$ |
$ 9 a + 14 + \left(17 a + 21\right)\cdot 23 + \left(a + 6\right)\cdot 23^{2} + 12\cdot 23^{3} + \left(7 a + 4\right)\cdot 23^{4} + \left(2 a + 1\right)\cdot 23^{5} + 23^{6} + \left(22 a + 1\right)\cdot 23^{7} + \left(7 a + 3\right)\cdot 23^{8} + \left(2 a + 13\right)\cdot 23^{9} + 12\cdot 23^{10} + \left(3 a + 8\right)\cdot 23^{11} + \left(17 a + 7\right)\cdot 23^{12} + \left(6 a + 13\right)\cdot 23^{13} + \left(7 a + 7\right)\cdot 23^{14} + \left(12 a + 14\right)\cdot 23^{15} +O\left(23^{ 16 }\right)$ |
| $r_{ 8 }$ |
$=$ |
$ 14 + 14\cdot 23 + 6\cdot 23^{2} + 7\cdot 23^{3} + 16\cdot 23^{4} + 12\cdot 23^{5} + 20\cdot 23^{6} + 8\cdot 23^{7} + 17\cdot 23^{8} + 8\cdot 23^{9} + 13\cdot 23^{10} + 17\cdot 23^{11} + 5\cdot 23^{12} + 19\cdot 23^{13} + 5\cdot 23^{14} + 9\cdot 23^{15} +O\left(23^{ 16 }\right)$ |
Generators of the action on the roots
$r_1, \ldots, r_{ 8 }$
| Cycle notation |
| $(1,5)(2,6)$ |
| $(1,4)(2,3)(5,8)(6,7)$ |
| $(3,4)(7,8)$ |
| $(1,5)(4,8)$ |
| $(3,7)(4,8)$ |
Character values on conjugacy classes
| Size | Order | Action on
$r_1, \ldots, r_{ 8 }$
| Character value |
| $1$ | $1$ | $()$ | $4$ |
| $1$ | $2$ | $(1,5)(2,6)(3,7)(4,8)$ | $-4$ |
| $2$ | $2$ | $(1,5)(2,6)$ | $0$ |
| $2$ | $2$ | $(1,2)(3,4)(5,6)(7,8)$ | $0$ |
| $2$ | $2$ | $(1,6)(2,5)(3,4)(7,8)$ | $0$ |
| $4$ | $2$ | $(1,4)(2,3)(5,8)(6,7)$ | $0$ |
| $4$ | $2$ | $(1,2)(5,6)$ | $2$ |
| $4$ | $2$ | $(1,5)(4,8)$ | $0$ |
| $4$ | $2$ | $(1,8)(2,3)(4,5)(6,7)$ | $0$ |
| $4$ | $2$ | $(1,5)(2,6)(3,4)(7,8)$ | $-2$ |
| $4$ | $4$ | $(1,8,5,4)(2,7,6,3)$ | $0$ |
| $4$ | $4$ | $(1,4,5,8)(2,7,6,3)$ | $0$ |
| $4$ | $4$ | $(1,6,5,2)(3,8,7,4)$ | $0$ |
| $8$ | $4$ | $(1,3,2,4)(5,7,6,8)$ | $0$ |
| $8$ | $4$ | $(1,7,6,8)(2,4,5,3)$ | $0$ |
| $8$ | $4$ | $(1,6,5,2)(4,8)$ | $0$ |
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.
