Basic invariants
Galois action
Roots of defining polynomial
The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 11 }$ to precision 44.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 11 }$: $ x^{3} + 2 x + 9 $
Roots:
| $r_{ 1 }$ |
$=$ |
$ 6 a^{2} + 3 a + 5 + \left(6 a^{2} + 2 a + 1\right)\cdot 11 + \left(10 a^{2} + 3 a + 7\right)\cdot 11^{2} + \left(8 a^{2} + 9 a + 5\right)\cdot 11^{3} + \left(8 a^{2} + 10 a + 4\right)\cdot 11^{4} + \left(10 a^{2} + 2 a + 3\right)\cdot 11^{5} + \left(9 a + 2\right)\cdot 11^{6} + \left(7 a^{2} + 5 a + 7\right)\cdot 11^{7} + \left(7 a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 11^{8} + \left(2 a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 11^{9} + \left(3 a^{2} + 3\right)\cdot 11^{10} + \left(9 a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 11^{11} + \left(3 a + 6\right)\cdot 11^{12} + \left(10 a^{2} + 3 a + 7\right)\cdot 11^{13} + \left(5 a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 11^{14} + \left(10 a^{2} + a + 1\right)\cdot 11^{15} + \left(10 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 11^{16} + \left(9 a + 4\right)\cdot 11^{17} + \left(3 a^{2} + a\right)\cdot 11^{18} + \left(8 a^{2} + a + 3\right)\cdot 11^{19} + \left(6 a^{2} + 9 a + 8\right)\cdot 11^{20} + \left(3 a^{2} + a + 1\right)\cdot 11^{21} + \left(5 a^{2} + 9 a + 1\right)\cdot 11^{22} + \left(3 a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 11^{23} + \left(4 a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 11^{24} + \left(2 a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 11^{25} + \left(3 a^{2} + 8 a + 2\right)\cdot 11^{26} + \left(2 a^{2} + 2 a + 3\right)\cdot 11^{27} + \left(a^{2} + 10 a + 7\right)\cdot 11^{28} + \left(5 a + 3\right)\cdot 11^{29} + \left(5 a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 11^{30} + \left(8 a^{2} + a + 1\right)\cdot 11^{31} + \left(a^{2} + 9 a + 1\right)\cdot 11^{32} + \left(4 a^{2} + 6 a + 4\right)\cdot 11^{33} + \left(9 a + 3\right)\cdot 11^{34} + \left(8 a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 11^{35} + \left(4 a^{2} + 8 a + 5\right)\cdot 11^{36} + \left(8 a^{2} + 2 a + 1\right)\cdot 11^{37} + \left(6 a^{2} + 8 a + 5\right)\cdot 11^{38} + \left(9 a^{2} + 2\right)\cdot 11^{39} + \left(8 a^{2} + 9 a + 1\right)\cdot 11^{40} + \left(a^{2} + 9 a + 9\right)\cdot 11^{41} + 4 a\cdot 11^{42} + \left(8 a + 1\right)\cdot 11^{43} +O\left(11^{ 44 }\right)$ |
| $r_{ 2 }$ |
$=$ |
$ 3 a^{2} + a + 1 + \left(a^{2} + 9 a + 9\right)\cdot 11 + \left(9 a^{2} + 6 a + 8\right)\cdot 11^{2} + 10 a^{2}11^{3} + \left(9 a^{2} + 6\right)\cdot 11^{4} + \left(4 a^{2} + 4 a + 6\right)\cdot 11^{5} + \left(7 a^{2} + 8 a + 3\right)\cdot 11^{6} + \left(a^{2} + a + 7\right)\cdot 11^{7} + a^{2}11^{8} + \left(3 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 11^{9} + \left(5 a^{2} + 7 a + 2\right)\cdot 11^{10} + \left(10 a^{2} + 7 a\right)\cdot 11^{11} + \left(5 a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 11^{12} + \left(7 a^{2} + 2 a + 4\right)\cdot 11^{13} + \left(7 a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 11^{14} + \left(4 a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 11^{15} + \left(3 a^{2} + 5 a + 10\right)\cdot 11^{16} + \left(2 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 11^{17} + \left(10 a^{2} + 3 a + 9\right)\cdot 11^{18} + \left(4 a^{2} + 8 a + 5\right)\cdot 11^{19} + \left(6 a^{2} + a\right)\cdot 11^{20} + \left(a^{2} + 9 a + 10\right)\cdot 11^{21} + \left(6 a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 11^{22} + \left(10 a^{2} + 4 a + 6\right)\cdot 11^{23} + \left(7 a^{2} + 6 a\right)\cdot 11^{24} + \left(3 a + 4\right)\cdot 11^{25} + \left(8 a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 11^{26} + \left(5 a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 11^{27} + \left(7 a^{2} + 8\right)\cdot 11^{28} + 7 a\cdot 11^{29} + \left(10 a^{2} + 2 a + 8\right)\cdot 11^{30} + \left(4 a^{2} + 6 a + 3\right)\cdot 11^{31} + \left(9 a^{2} + a\right)\cdot 11^{32} + \left(7 a^{2} + a + 9\right)\cdot 11^{33} + \left(2 a^{2} + a + 2\right)\cdot 11^{34} + \left(3 a + 4\right)\cdot 11^{35} + \left(9 a^{2} + 9 a\right)\cdot 11^{36} + \left(a + 6\right)\cdot 11^{37} + \left(7 a^{2} + a + 5\right)\cdot 11^{38} + \left(6 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 11^{39} + \left(a^{2} + 9\right)\cdot 11^{40} + \left(4 a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 11^{41} + \left(6 a^{2} + 8 a + 5\right)\cdot 11^{42} + \left(a + 5\right)\cdot 11^{43} +O\left(11^{ 44 }\right)$ |
| $r_{ 3 }$ |
$=$ |
$ 4 + 4\cdot 11 + 7\cdot 11^{2} + 4\cdot 11^{3} + 10\cdot 11^{4} + 3\cdot 11^{5} + 6\cdot 11^{6} + 9\cdot 11^{8} + 3\cdot 11^{9} + 11^{10} + 6\cdot 11^{11} + 8\cdot 11^{12} + 4\cdot 11^{13} + 7\cdot 11^{14} + 9\cdot 11^{15} + 8\cdot 11^{16} + 11^{17} + 6\cdot 11^{18} + 11^{19} + 8\cdot 11^{20} + 11^{21} + 8\cdot 11^{22} + 5\cdot 11^{23} + 4\cdot 11^{24} + 6\cdot 11^{25} + 9\cdot 11^{27} + 5\cdot 11^{28} + 4\cdot 11^{29} + 9\cdot 11^{30} + 7\cdot 11^{31} + 9\cdot 11^{32} + 6\cdot 11^{33} + 11^{34} + 10\cdot 11^{35} + 4\cdot 11^{36} + 3\cdot 11^{37} + 2\cdot 11^{38} + 10\cdot 11^{39} + 2\cdot 11^{40} + 8\cdot 11^{41} + 6\cdot 11^{42} + 11^{43} +O\left(11^{ 44 }\right)$ |
| $r_{ 4 }$ |
$=$ |
$ 9 a^{2} + 4 a + 4 + \left(7 a^{2} + 10\right)\cdot 11 + \left(8 a^{2} + 10 a + 3\right)\cdot 11^{2} + \left(8 a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 11^{3} + \left(7 a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 11^{4} + \left(4 a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 11^{5} + \left(8 a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 11^{6} + \left(8 a^{2} + 7 a + 10\right)\cdot 11^{7} + \left(8 a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 11^{8} + \left(5 a^{2} + 9 a + 5\right)\cdot 11^{9} + \left(8 a^{2} + 7 a + 8\right)\cdot 11^{10} + \left(8 a^{2} + 9 a + 10\right)\cdot 11^{11} + \left(6 a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 11^{12} + \left(6 a^{2} + 5 a + 7\right)\cdot 11^{13} + \left(2 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 11^{14} + \left(4 a^{2} + 7 a + 3\right)\cdot 11^{15} + \left(3 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 11^{16} + \left(3 a^{2} + 5 a + 4\right)\cdot 11^{17} + \left(2 a^{2} + 5 a + 10\right)\cdot 11^{18} + \left(2 a^{2} + 9 a + 10\right)\cdot 11^{19} + \left(2 a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 11^{20} + \left(5 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 11^{21} + \left(2 a + 2\right)\cdot 11^{22} + \left(3 a^{2} + 10 a + 4\right)\cdot 11^{23} + \left(a^{2} + 5 a + 4\right)\cdot 11^{24} + \left(3 a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 11^{25} + \left(a + 9\right)\cdot 11^{26} + \left(8 a^{2} + 6\right)\cdot 11^{27} + \left(8 a^{2} + 9\right)\cdot 11^{28} + \left(2 a + 4\right)\cdot 11^{29} + \left(4 a^{2} + 3\right)\cdot 11^{30} + \left(2 a^{2} + 8 a + 2\right)\cdot 11^{31} + \left(10 a + 5\right)\cdot 11^{32} + \left(a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 11^{33} + \left(3 a^{2} + 10 a + 8\right)\cdot 11^{34} + \left(8 a^{2} + 9 a + 10\right)\cdot 11^{35} + \left(2 a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 11^{36} + \left(9 a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 11^{37} + \left(2 a^{2} + 9 a\right)\cdot 11^{38} + \left(5 a^{2} + 2 a + 10\right)\cdot 11^{39} + \left(10 a^{2} + 9 a + 9\right)\cdot 11^{40} + \left(5 a^{2} + 6 a + 4\right)\cdot 11^{41} + \left(6 a^{2} + 2 a + 4\right)\cdot 11^{42} + \left(10 a + 3\right)\cdot 11^{43} +O\left(11^{ 44 }\right)$ |
| $r_{ 5 }$ |
$=$ |
$ 5 a^{2} + 8 a + 6 + \left(4 a^{2} + 8 a + 9\right)\cdot 11 + \left(7 a + 3\right)\cdot 11^{2} + \left(2 a^{2} + a + 5\right)\cdot 11^{3} + \left(2 a^{2} + 6\right)\cdot 11^{4} + \left(8 a + 7\right)\cdot 11^{5} + \left(10 a^{2} + a + 8\right)\cdot 11^{6} + \left(3 a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 11^{7} + \left(3 a^{2} + 6 a + 5\right)\cdot 11^{8} + \left(8 a^{2} + 8 a + 5\right)\cdot 11^{9} + \left(7 a^{2} + 10 a + 7\right)\cdot 11^{10} + \left(a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 11^{11} + \left(10 a^{2} + 7 a + 4\right)\cdot 11^{12} + \left(7 a + 3\right)\cdot 11^{13} + \left(5 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 11^{14} + \left(9 a + 9\right)\cdot 11^{15} + \left(8 a + 4\right)\cdot 11^{16} + \left(10 a^{2} + a + 6\right)\cdot 11^{17} + \left(7 a^{2} + 9 a + 10\right)\cdot 11^{18} + \left(2 a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 11^{19} + \left(4 a^{2} + a + 2\right)\cdot 11^{20} + \left(7 a^{2} + 9 a + 9\right)\cdot 11^{21} + \left(5 a^{2} + a + 9\right)\cdot 11^{22} + \left(7 a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 11^{23} + \left(6 a^{2} + 4\right)\cdot 11^{24} + \left(8 a^{2} + 6 a + 8\right)\cdot 11^{25} + \left(7 a^{2} + 2 a + 8\right)\cdot 11^{26} + \left(8 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 11^{27} + \left(9 a^{2} + 3\right)\cdot 11^{28} + \left(10 a^{2} + 5 a + 7\right)\cdot 11^{29} + \left(5 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 11^{30} + \left(2 a^{2} + 9 a + 9\right)\cdot 11^{31} + \left(9 a^{2} + a + 9\right)\cdot 11^{32} + \left(6 a^{2} + 4 a + 6\right)\cdot 11^{33} + \left(10 a^{2} + a + 7\right)\cdot 11^{34} + \left(2 a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 11^{35} + \left(6 a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 11^{36} + \left(2 a^{2} + 8 a + 9\right)\cdot 11^{37} + \left(4 a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 11^{38} + \left(a^{2} + 10 a + 8\right)\cdot 11^{39} + \left(2 a^{2} + a + 9\right)\cdot 11^{40} + \left(9 a^{2} + a + 1\right)\cdot 11^{41} + \left(10 a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 11^{42} + \left(10 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 11^{43} +O\left(11^{ 44 }\right)$ |
| $r_{ 6 }$ |
$=$ |
$ 8 a^{2} + 10 a + 10 + \left(9 a^{2} + a + 1\right)\cdot 11 + \left(a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 11^{2} + \left(10 a + 10\right)\cdot 11^{3} + \left(a^{2} + 10 a + 4\right)\cdot 11^{4} + \left(6 a^{2} + 6 a + 4\right)\cdot 11^{5} + \left(3 a^{2} + 2 a + 7\right)\cdot 11^{6} + \left(9 a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 11^{7} + \left(9 a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 11^{8} + \left(7 a^{2} + 3 a + 4\right)\cdot 11^{9} + \left(5 a^{2} + 3 a + 8\right)\cdot 11^{10} + \left(3 a + 10\right)\cdot 11^{11} + \left(5 a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 11^{12} + \left(3 a^{2} + 8 a + 6\right)\cdot 11^{13} + \left(3 a^{2} + 5 a + 7\right)\cdot 11^{14} + \left(6 a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 11^{15} + \left(7 a^{2} + 5 a\right)\cdot 11^{16} + \left(8 a^{2} + 3 a + 1\right)\cdot 11^{17} + \left(7 a + 1\right)\cdot 11^{18} + \left(6 a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 11^{19} + \left(4 a^{2} + 9 a + 10\right)\cdot 11^{20} + \left(9 a^{2} + a\right)\cdot 11^{21} + \left(4 a^{2} + 6 a + 5\right)\cdot 11^{22} + \left(6 a + 4\right)\cdot 11^{23} + \left(3 a^{2} + 4 a + 10\right)\cdot 11^{24} + \left(10 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 11^{25} + \left(2 a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 11^{26} + \left(5 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 11^{27} + \left(3 a^{2} + 10 a + 2\right)\cdot 11^{28} + \left(10 a^{2} + 3 a + 10\right)\cdot 11^{29} + \left(8 a + 2\right)\cdot 11^{30} + \left(6 a^{2} + 4 a + 7\right)\cdot 11^{31} + \left(a^{2} + 9 a + 10\right)\cdot 11^{32} + \left(3 a^{2} + 9 a + 1\right)\cdot 11^{33} + \left(8 a^{2} + 9 a + 8\right)\cdot 11^{34} + \left(10 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 11^{35} + \left(a^{2} + a + 10\right)\cdot 11^{36} + \left(10 a^{2} + 9 a + 4\right)\cdot 11^{37} + \left(3 a^{2} + 9 a + 5\right)\cdot 11^{38} + \left(4 a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 11^{39} + \left(9 a^{2} + 10 a + 1\right)\cdot 11^{40} + \left(6 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 11^{41} + \left(4 a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 11^{42} + \left(10 a^{2} + 9 a + 5\right)\cdot 11^{43} +O\left(11^{ 44 }\right)$ |
| $r_{ 7 }$ |
$=$ |
$ 7 + 6\cdot 11 + 3\cdot 11^{2} + 6\cdot 11^{3} + 7\cdot 11^{5} + 4\cdot 11^{6} + 10\cdot 11^{7} + 11^{8} + 7\cdot 11^{9} + 9\cdot 11^{10} + 4\cdot 11^{11} + 2\cdot 11^{12} + 6\cdot 11^{13} + 3\cdot 11^{14} + 11^{15} + 2\cdot 11^{16} + 9\cdot 11^{17} + 4\cdot 11^{18} + 9\cdot 11^{19} + 2\cdot 11^{20} + 9\cdot 11^{21} + 2\cdot 11^{22} + 5\cdot 11^{23} + 6\cdot 11^{24} + 4\cdot 11^{25} + 10\cdot 11^{26} + 11^{27} + 5\cdot 11^{28} + 6\cdot 11^{29} + 11^{30} + 3\cdot 11^{31} + 11^{32} + 4\cdot 11^{33} + 9\cdot 11^{34} + 6\cdot 11^{36} + 7\cdot 11^{37} + 8\cdot 11^{38} + 8\cdot 11^{40} + 2\cdot 11^{41} + 4\cdot 11^{42} + 9\cdot 11^{43} +O\left(11^{ 44 }\right)$ |
| $r_{ 8 }$ |
$=$ |
$ 2 a^{2} + 7 a + 7 + \left(3 a^{2} + 10 a\right)\cdot 11 + \left(2 a^{2} + 7\right)\cdot 11^{2} + \left(2 a^{2} + a + 7\right)\cdot 11^{3} + 3 a^{2}11^{4} + \left(6 a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 11^{5} + \left(2 a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 11^{6} + \left(2 a^{2} + 3 a\right)\cdot 11^{7} + \left(2 a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 11^{8} + \left(5 a^{2} + a + 5\right)\cdot 11^{9} + \left(2 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 11^{10} + \left(2 a^{2} + a\right)\cdot 11^{11} + \left(4 a^{2} + 5 a + 7\right)\cdot 11^{12} + \left(4 a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 11^{13} + \left(8 a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 11^{14} + \left(6 a^{2} + 3 a + 7\right)\cdot 11^{15} + \left(7 a^{2} + 3 a + 1\right)\cdot 11^{16} + \left(7 a^{2} + 5 a + 6\right)\cdot 11^{17} + \left(8 a^{2} + 5 a\right)\cdot 11^{18} + \left(8 a^{2} + a\right)\cdot 11^{19} + 8 a^{2}11^{20} + \left(5 a^{2} + 1\right)\cdot 11^{21} + \left(10 a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 11^{22} + \left(7 a^{2} + 6\right)\cdot 11^{23} + \left(9 a^{2} + 5 a + 6\right)\cdot 11^{24} + \left(7 a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 11^{25} + \left(10 a^{2} + 9 a + 1\right)\cdot 11^{26} + \left(2 a^{2} + 10 a + 4\right)\cdot 11^{27} + \left(2 a^{2} + 10 a + 1\right)\cdot 11^{28} + \left(10 a^{2} + 8 a + 6\right)\cdot 11^{29} + \left(6 a^{2} + 10 a + 7\right)\cdot 11^{30} + \left(8 a^{2} + 2 a + 8\right)\cdot 11^{31} + \left(10 a^{2} + 5\right)\cdot 11^{32} + \left(9 a^{2} + 3 a + 4\right)\cdot 11^{33} + \left(7 a^{2} + 2\right)\cdot 11^{34} + \left(2 a^{2} + a\right)\cdot 11^{35} + \left(8 a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 11^{36} + \left(a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 11^{37} + \left(8 a^{2} + a + 10\right)\cdot 11^{38} + \left(5 a^{2} + 8 a\right)\cdot 11^{39} + \left(a + 1\right)\cdot 11^{40} + \left(5 a^{2} + 4 a + 6\right)\cdot 11^{41} + \left(4 a^{2} + 8 a + 6\right)\cdot 11^{42} + \left(10 a^{2} + 7\right)\cdot 11^{43} +O\left(11^{ 44 }\right)$ |
Generators of the action on the roots
$r_1, \ldots, r_{ 8 }$
| Cycle notation |
| $(1,2,5,6)(3,4,7,8)$ |
| $(1,5)(4,8)$ |
| $(2,6)(4,8)$ |
| $(3,7)(4,8)$ |
| $(1,6,8)(2,4,5)$ |
Character values on conjugacy classes
| Size | Order | Action on
$r_1, \ldots, r_{ 8 }$
| Character value |
| $1$ | $1$ | $()$ | $4$ |
| $1$ | $2$ | $(1,5)(2,6)(3,7)(4,8)$ | $-4$ |
| $6$ | $2$ | $(3,7)(4,8)$ | $0$ |
| $6$ | $2$ | $(1,6)(2,5)(3,4)(7,8)$ | $0$ |
| $6$ | $2$ | $(1,7)(2,8)(3,5)(4,6)$ | $0$ |
| $16$ | $3$ | $(1,4,7)(3,5,8)$ | $-\zeta_{3} - 1$ |
| $16$ | $3$ | $(1,7,4)(3,8,5)$ | $\zeta_{3}$ |
| $6$ | $4$ | $(1,2,5,6)(3,4,7,8)$ | $0$ |
| $6$ | $4$ | $(1,4,5,8)(2,7,6,3)$ | $0$ |
| $16$ | $6$ | $(1,5)(2,4,7,6,8,3)$ | $-\zeta_{3}$ |
| $16$ | $6$ | $(1,5)(2,3,8,6,7,4)$ | $\zeta_{3} + 1$ |
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.
