Basic invariants
Galois action
Roots of defining polynomial
The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 67 }$ to precision 40.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 67 }$: $ x^{2} + 63 x + 2 $
Roots:
| $r_{ 1 }$ |
$=$ |
$ 16 a + 15 + \left(51 a + 24\right)\cdot 67 + \left(14 a + 26\right)\cdot 67^{2} + \left(15 a + 60\right)\cdot 67^{3} + \left(30 a + 6\right)\cdot 67^{4} + \left(56 a + 13\right)\cdot 67^{5} + \left(19 a + 52\right)\cdot 67^{6} + \left(17 a + 65\right)\cdot 67^{7} + \left(8 a + 19\right)\cdot 67^{8} + \left(66 a + 33\right)\cdot 67^{9} + \left(29 a + 64\right)\cdot 67^{10} + \left(61 a + 20\right)\cdot 67^{11} + \left(4 a + 40\right)\cdot 67^{12} + \left(29 a + 40\right)\cdot 67^{13} + \left(54 a + 60\right)\cdot 67^{14} + \left(54 a + 31\right)\cdot 67^{15} + \left(16 a + 55\right)\cdot 67^{16} + \left(44 a + 29\right)\cdot 67^{17} + \left(11 a + 46\right)\cdot 67^{18} + \left(5 a + 55\right)\cdot 67^{19} + \left(15 a + 14\right)\cdot 67^{20} + 14\cdot 67^{21} + \left(33 a + 53\right)\cdot 67^{22} + \left(24 a + 8\right)\cdot 67^{23} + \left(4 a + 13\right)\cdot 67^{24} + \left(8 a + 63\right)\cdot 67^{25} + \left(53 a + 26\right)\cdot 67^{26} + \left(29 a + 39\right)\cdot 67^{27} + \left(16 a + 6\right)\cdot 67^{28} + \left(15 a + 55\right)\cdot 67^{29} + \left(34 a + 53\right)\cdot 67^{30} + \left(26 a + 58\right)\cdot 67^{31} + \left(16 a + 9\right)\cdot 67^{32} + \left(a + 21\right)\cdot 67^{33} + \left(26 a + 17\right)\cdot 67^{34} + \left(14 a + 59\right)\cdot 67^{35} + \left(34 a + 11\right)\cdot 67^{36} + \left(27 a + 46\right)\cdot 67^{37} + \left(6 a + 10\right)\cdot 67^{38} + \left(39 a + 48\right)\cdot 67^{39} +O\left(67^{ 40 }\right)$ |
| $r_{ 2 }$ |
$=$ |
$ 28 a + 11 + \left(30 a + 20\right)\cdot 67 + \left(46 a + 56\right)\cdot 67^{2} + \left(12 a + 64\right)\cdot 67^{3} + \left(51 a + 37\right)\cdot 67^{4} + \left(52 a + 20\right)\cdot 67^{5} + \left(40 a + 45\right)\cdot 67^{6} + \left(24 a + 4\right)\cdot 67^{7} + \left(37 a + 38\right)\cdot 67^{8} + \left(9 a + 66\right)\cdot 67^{9} + \left(54 a + 63\right)\cdot 67^{10} + \left(56 a + 13\right)\cdot 67^{11} + \left(65 a + 64\right)\cdot 67^{12} + \left(38 a + 21\right)\cdot 67^{13} + \left(56 a + 40\right)\cdot 67^{14} + \left(30 a + 33\right)\cdot 67^{15} + \left(32 a + 17\right)\cdot 67^{16} + \left(27 a + 28\right)\cdot 67^{17} + \left(33 a + 47\right)\cdot 67^{18} + \left(63 a + 23\right)\cdot 67^{19} + \left(56 a + 18\right)\cdot 67^{20} + \left(58 a + 11\right)\cdot 67^{21} + \left(59 a + 10\right)\cdot 67^{22} + \left(8 a + 12\right)\cdot 67^{23} + \left(24 a + 23\right)\cdot 67^{24} + \left(27 a + 24\right)\cdot 67^{25} + \left(15 a + 16\right)\cdot 67^{26} + \left(12 a + 50\right)\cdot 67^{27} + \left(23 a + 26\right)\cdot 67^{28} + \left(50 a + 11\right)\cdot 67^{29} + \left(15 a + 27\right)\cdot 67^{30} + \left(14 a + 46\right)\cdot 67^{31} + \left(51 a + 38\right)\cdot 67^{32} + \left(10 a + 37\right)\cdot 67^{33} + \left(18 a + 2\right)\cdot 67^{34} + \left(42 a + 25\right)\cdot 67^{35} + \left(26 a + 1\right)\cdot 67^{36} + \left(59 a + 62\right)\cdot 67^{37} + 47 a\cdot 67^{38} + \left(55 a + 13\right)\cdot 67^{39} +O\left(67^{ 40 }\right)$ |
| $r_{ 3 }$ |
$=$ |
$ 16 a + 55 + \left(51 a + 54\right)\cdot 67 + \left(14 a + 32\right)\cdot 67^{2} + \left(15 a + 27\right)\cdot 67^{3} + \left(30 a + 21\right)\cdot 67^{4} + \left(56 a + 59\right)\cdot 67^{5} + \left(19 a + 58\right)\cdot 67^{6} + \left(17 a + 18\right)\cdot 67^{7} + \left(8 a + 31\right)\cdot 67^{8} + \left(66 a + 45\right)\cdot 67^{9} + \left(29 a + 15\right)\cdot 67^{10} + \left(61 a + 31\right)\cdot 67^{11} + \left(4 a + 1\right)\cdot 67^{12} + \left(29 a + 49\right)\cdot 67^{13} + \left(54 a + 18\right)\cdot 67^{14} + \left(54 a + 4\right)\cdot 67^{15} + \left(16 a + 66\right)\cdot 67^{16} + \left(44 a + 10\right)\cdot 67^{17} + \left(11 a + 18\right)\cdot 67^{18} + \left(5 a + 2\right)\cdot 67^{19} + \left(15 a + 64\right)\cdot 67^{20} + 66\cdot 67^{21} + \left(33 a + 15\right)\cdot 67^{22} + \left(24 a + 60\right)\cdot 67^{23} + \left(4 a + 60\right)\cdot 67^{24} + \left(8 a + 42\right)\cdot 67^{25} + \left(53 a + 36\right)\cdot 67^{26} + \left(29 a + 28\right)\cdot 67^{27} + \left(16 a + 24\right)\cdot 67^{28} + \left(15 a + 34\right)\cdot 67^{29} + \left(34 a + 25\right)\cdot 67^{30} + \left(26 a + 3\right)\cdot 67^{31} + \left(16 a + 18\right)\cdot 67^{32} + \left(a + 57\right)\cdot 67^{33} + \left(26 a + 13\right)\cdot 67^{34} + \left(14 a + 43\right)\cdot 67^{35} + \left(34 a + 66\right)\cdot 67^{36} + \left(27 a + 11\right)\cdot 67^{37} + \left(6 a + 58\right)\cdot 67^{38} + \left(39 a + 2\right)\cdot 67^{39} +O\left(67^{ 40 }\right)$ |
| $r_{ 4 }$ |
$=$ |
$ 25 + 54\cdot 67 + 33\cdot 67^{2} + 10\cdot 67^{3} + 39\cdot 67^{4} + 67^{5} + 46\cdot 67^{6} + 27\cdot 67^{7} + 24\cdot 67^{8} + 22\cdot 67^{9} + 46\cdot 67^{10} + 23\cdot 67^{11} + 62\cdot 67^{12} + 31\cdot 67^{13} + 18\cdot 67^{14} + 27\cdot 67^{15} + 35\cdot 67^{16} + 13\cdot 67^{17} + 34\cdot 67^{18} + 61\cdot 67^{19} + 10\cdot 67^{20} + 50\cdot 67^{21} + 5\cdot 67^{22} + 67^{23} + 31\cdot 67^{24} + 23\cdot 67^{25} + 56\cdot 67^{26} + 29\cdot 67^{27} + 23\cdot 67^{28} + 42\cdot 67^{29} + 11\cdot 67^{30} + 15\cdot 67^{31} + 64\cdot 67^{32} + 30\cdot 67^{33} + 35\cdot 67^{34} + 26\cdot 67^{35} + 67^{36} + 9\cdot 67^{37} + 19\cdot 67^{38} + 16\cdot 67^{39} +O\left(67^{ 40 }\right)$ |
| $r_{ 5 }$ |
$=$ |
$ 51 a + 52 + \left(15 a + 42\right)\cdot 67 + \left(52 a + 40\right)\cdot 67^{2} + \left(51 a + 6\right)\cdot 67^{3} + \left(36 a + 60\right)\cdot 67^{4} + \left(10 a + 53\right)\cdot 67^{5} + \left(47 a + 14\right)\cdot 67^{6} + \left(49 a + 1\right)\cdot 67^{7} + \left(58 a + 47\right)\cdot 67^{8} + 33\cdot 67^{9} + \left(37 a + 2\right)\cdot 67^{10} + \left(5 a + 46\right)\cdot 67^{11} + \left(62 a + 26\right)\cdot 67^{12} + \left(37 a + 26\right)\cdot 67^{13} + \left(12 a + 6\right)\cdot 67^{14} + \left(12 a + 35\right)\cdot 67^{15} + \left(50 a + 11\right)\cdot 67^{16} + \left(22 a + 37\right)\cdot 67^{17} + \left(55 a + 20\right)\cdot 67^{18} + \left(61 a + 11\right)\cdot 67^{19} + \left(51 a + 52\right)\cdot 67^{20} + \left(66 a + 52\right)\cdot 67^{21} + \left(33 a + 13\right)\cdot 67^{22} + \left(42 a + 58\right)\cdot 67^{23} + \left(62 a + 53\right)\cdot 67^{24} + \left(58 a + 3\right)\cdot 67^{25} + \left(13 a + 40\right)\cdot 67^{26} + \left(37 a + 27\right)\cdot 67^{27} + \left(50 a + 60\right)\cdot 67^{28} + \left(51 a + 11\right)\cdot 67^{29} + \left(32 a + 13\right)\cdot 67^{30} + \left(40 a + 8\right)\cdot 67^{31} + \left(50 a + 57\right)\cdot 67^{32} + \left(65 a + 45\right)\cdot 67^{33} + \left(40 a + 49\right)\cdot 67^{34} + \left(52 a + 7\right)\cdot 67^{35} + \left(32 a + 55\right)\cdot 67^{36} + \left(39 a + 20\right)\cdot 67^{37} + \left(60 a + 56\right)\cdot 67^{38} + \left(27 a + 18\right)\cdot 67^{39} +O\left(67^{ 40 }\right)$ |
| $r_{ 6 }$ |
$=$ |
$ 39 a + 56 + \left(36 a + 46\right)\cdot 67 + \left(20 a + 10\right)\cdot 67^{2} + \left(54 a + 2\right)\cdot 67^{3} + \left(15 a + 29\right)\cdot 67^{4} + \left(14 a + 46\right)\cdot 67^{5} + \left(26 a + 21\right)\cdot 67^{6} + \left(42 a + 62\right)\cdot 67^{7} + \left(29 a + 28\right)\cdot 67^{8} + 57 a\cdot 67^{9} + \left(12 a + 3\right)\cdot 67^{10} + \left(10 a + 53\right)\cdot 67^{11} + \left(a + 2\right)\cdot 67^{12} + \left(28 a + 45\right)\cdot 67^{13} + \left(10 a + 26\right)\cdot 67^{14} + \left(36 a + 33\right)\cdot 67^{15} + \left(34 a + 49\right)\cdot 67^{16} + \left(39 a + 38\right)\cdot 67^{17} + \left(33 a + 19\right)\cdot 67^{18} + \left(3 a + 43\right)\cdot 67^{19} + \left(10 a + 48\right)\cdot 67^{20} + \left(8 a + 55\right)\cdot 67^{21} + \left(7 a + 56\right)\cdot 67^{22} + \left(58 a + 54\right)\cdot 67^{23} + \left(42 a + 43\right)\cdot 67^{24} + \left(39 a + 42\right)\cdot 67^{25} + \left(51 a + 50\right)\cdot 67^{26} + \left(54 a + 16\right)\cdot 67^{27} + \left(43 a + 40\right)\cdot 67^{28} + \left(16 a + 55\right)\cdot 67^{29} + \left(51 a + 39\right)\cdot 67^{30} + \left(52 a + 20\right)\cdot 67^{31} + \left(15 a + 28\right)\cdot 67^{32} + \left(56 a + 29\right)\cdot 67^{33} + \left(48 a + 64\right)\cdot 67^{34} + \left(24 a + 41\right)\cdot 67^{35} + \left(40 a + 65\right)\cdot 67^{36} + \left(7 a + 4\right)\cdot 67^{37} + \left(19 a + 66\right)\cdot 67^{38} + \left(11 a + 53\right)\cdot 67^{39} +O\left(67^{ 40 }\right)$ |
| $r_{ 7 }$ |
$=$ |
$ 51 a + 12 + \left(15 a + 12\right)\cdot 67 + \left(52 a + 34\right)\cdot 67^{2} + \left(51 a + 39\right)\cdot 67^{3} + \left(36 a + 45\right)\cdot 67^{4} + \left(10 a + 7\right)\cdot 67^{5} + \left(47 a + 8\right)\cdot 67^{6} + \left(49 a + 48\right)\cdot 67^{7} + \left(58 a + 35\right)\cdot 67^{8} + 21\cdot 67^{9} + \left(37 a + 51\right)\cdot 67^{10} + \left(5 a + 35\right)\cdot 67^{11} + \left(62 a + 65\right)\cdot 67^{12} + \left(37 a + 17\right)\cdot 67^{13} + \left(12 a + 48\right)\cdot 67^{14} + \left(12 a + 62\right)\cdot 67^{15} + 50 a\cdot 67^{16} + \left(22 a + 56\right)\cdot 67^{17} + \left(55 a + 48\right)\cdot 67^{18} + \left(61 a + 64\right)\cdot 67^{19} + \left(51 a + 2\right)\cdot 67^{20} + 66 a\cdot 67^{21} + \left(33 a + 51\right)\cdot 67^{22} + \left(42 a + 6\right)\cdot 67^{23} + \left(62 a + 6\right)\cdot 67^{24} + \left(58 a + 24\right)\cdot 67^{25} + \left(13 a + 30\right)\cdot 67^{26} + \left(37 a + 38\right)\cdot 67^{27} + \left(50 a + 42\right)\cdot 67^{28} + \left(51 a + 32\right)\cdot 67^{29} + \left(32 a + 41\right)\cdot 67^{30} + \left(40 a + 63\right)\cdot 67^{31} + \left(50 a + 48\right)\cdot 67^{32} + \left(65 a + 9\right)\cdot 67^{33} + \left(40 a + 53\right)\cdot 67^{34} + \left(52 a + 23\right)\cdot 67^{35} + 32 a\cdot 67^{36} + \left(39 a + 55\right)\cdot 67^{37} + \left(60 a + 8\right)\cdot 67^{38} + \left(27 a + 64\right)\cdot 67^{39} +O\left(67^{ 40 }\right)$ |
| $r_{ 8 }$ |
$=$ |
$ 42 + 12\cdot 67 + 33\cdot 67^{2} + 56\cdot 67^{3} + 27\cdot 67^{4} + 65\cdot 67^{5} + 20\cdot 67^{6} + 39\cdot 67^{7} + 42\cdot 67^{8} + 44\cdot 67^{9} + 20\cdot 67^{10} + 43\cdot 67^{11} + 4\cdot 67^{12} + 35\cdot 67^{13} + 48\cdot 67^{14} + 39\cdot 67^{15} + 31\cdot 67^{16} + 53\cdot 67^{17} + 32\cdot 67^{18} + 5\cdot 67^{19} + 56\cdot 67^{20} + 16\cdot 67^{21} + 61\cdot 67^{22} + 65\cdot 67^{23} + 35\cdot 67^{24} + 43\cdot 67^{25} + 10\cdot 67^{26} + 37\cdot 67^{27} + 43\cdot 67^{28} + 24\cdot 67^{29} + 55\cdot 67^{30} + 51\cdot 67^{31} + 2\cdot 67^{32} + 36\cdot 67^{33} + 31\cdot 67^{34} + 40\cdot 67^{35} + 65\cdot 67^{36} + 57\cdot 67^{37} + 47\cdot 67^{38} + 50\cdot 67^{39} +O\left(67^{ 40 }\right)$ |
Generators of the action on the roots
$r_1, \ldots, r_{ 8 }$
| Cycle notation |
| $(2,8,7)(3,6,4)$ |
| $(1,2,5,6)(3,8,7,4)$ |
| $(1,4,7)(3,5,8)$ |
| $(1,6,3,8,5,2,7,4)$ |
| $(3,7)(4,8)$ |
Character values on conjugacy classes
| Size | Order | Action on
$r_1, \ldots, r_{ 8 }$
| Character values |
| | |
$c1$ |
| $1$ |
$1$ |
$()$ |
$4$ |
| $1$ |
$2$ |
$(1,5)(2,6)(3,7)(4,8)$ |
$-4$ |
| $6$ |
$2$ |
$(3,7)(4,8)$ |
$0$ |
| $12$ |
$2$ |
$(1,3)(2,8)(4,6)(5,7)$ |
$0$ |
| $24$ |
$2$ |
$(1,6)(2,5)(4,8)$ |
$0$ |
| $32$ |
$3$ |
$(1,4,7)(3,5,8)$ |
$1$ |
| $6$ |
$4$ |
$(1,2,5,6)(3,8,7,4)$ |
$0$ |
| $6$ |
$4$ |
$(1,3,5,7)(2,8,6,4)$ |
$0$ |
| $12$ |
$4$ |
$(3,8,7,4)$ |
$2$ |
| $12$ |
$4$ |
$(1,2,5,6)(3,7)(4,8)$ |
$-2$ |
| $32$ |
$6$ |
$(1,8,2,5,4,6)(3,7)$ |
$-1$ |
| $24$ |
$8$ |
$(1,6,3,8,5,2,7,4)$ |
$0$ |
| $24$ |
$8$ |
$(1,6,3,4,5,2,7,8)$ |
$0$ |
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.
