Basic invariants
Galois action
Roots of defining polynomial
The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 103 }$ to precision 49.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 103 }$: $ x^{2} + 102 x + 5 $
Roots:
| $r_{ 1 }$ |
$=$ |
$ 57 a + 72 + \left(85 a + 10\right)\cdot 103 + \left(46 a + 91\right)\cdot 103^{2} + \left(84 a + 30\right)\cdot 103^{3} + \left(72 a + 19\right)\cdot 103^{4} + \left(75 a + 78\right)\cdot 103^{5} + \left(15 a + 17\right)\cdot 103^{6} + \left(64 a + 99\right)\cdot 103^{7} + \left(31 a + 63\right)\cdot 103^{8} + \left(95 a + 46\right)\cdot 103^{9} + \left(28 a + 75\right)\cdot 103^{10} + \left(73 a + 27\right)\cdot 103^{11} + \left(6 a + 95\right)\cdot 103^{12} + \left(61 a + 14\right)\cdot 103^{13} + \left(34 a + 26\right)\cdot 103^{14} + \left(30 a + 58\right)\cdot 103^{15} + \left(4 a + 54\right)\cdot 103^{16} + \left(57 a + 56\right)\cdot 103^{17} + \left(6 a + 78\right)\cdot 103^{18} + \left(49 a + 26\right)\cdot 103^{19} + \left(46 a + 23\right)\cdot 103^{20} + \left(69 a + 13\right)\cdot 103^{21} + \left(76 a + 5\right)\cdot 103^{22} + \left(a + 16\right)\cdot 103^{23} + \left(70 a + 75\right)\cdot 103^{24} + \left(a + 5\right)\cdot 103^{25} + \left(a + 14\right)\cdot 103^{26} + \left(42 a + 12\right)\cdot 103^{27} + \left(91 a + 49\right)\cdot 103^{28} + \left(73 a + 3\right)\cdot 103^{29} + \left(5 a + 46\right)\cdot 103^{30} + \left(30 a + 56\right)\cdot 103^{31} + \left(20 a + 94\right)\cdot 103^{32} + \left(25 a + 56\right)\cdot 103^{33} + \left(30 a + 55\right)\cdot 103^{34} + \left(96 a + 78\right)\cdot 103^{35} + \left(28 a + 48\right)\cdot 103^{36} + \left(26 a + 89\right)\cdot 103^{37} + \left(31 a + 35\right)\cdot 103^{38} + \left(19 a + 21\right)\cdot 103^{39} + \left(30 a + 99\right)\cdot 103^{40} + \left(2 a + 50\right)\cdot 103^{41} + \left(54 a + 67\right)\cdot 103^{42} + \left(41 a + 16\right)\cdot 103^{43} + \left(22 a + 66\right)\cdot 103^{44} + \left(95 a + 59\right)\cdot 103^{45} + \left(86 a + 102\right)\cdot 103^{46} + \left(91 a + 92\right)\cdot 103^{47} + \left(3 a + 5\right)\cdot 103^{48} +O\left(103^{ 49 }\right)$ |
| $r_{ 2 }$ |
$=$ |
$ 32 + 33\cdot 103 + 22\cdot 103^{2} + 20\cdot 103^{3} + 77\cdot 103^{4} + 95\cdot 103^{5} + 5\cdot 103^{6} + 9\cdot 103^{7} + 7\cdot 103^{8} + 15\cdot 103^{9} + 75\cdot 103^{10} + 69\cdot 103^{11} + 33\cdot 103^{12} + 67\cdot 103^{13} + 7\cdot 103^{14} + 7\cdot 103^{15} + 51\cdot 103^{16} + 82\cdot 103^{17} + 92\cdot 103^{18} + 9\cdot 103^{19} + 84\cdot 103^{20} + 88\cdot 103^{21} + 33\cdot 103^{22} + 71\cdot 103^{23} + 34\cdot 103^{24} + 79\cdot 103^{25} + 78\cdot 103^{26} + 59\cdot 103^{27} + 27\cdot 103^{28} + 86\cdot 103^{29} + 92\cdot 103^{30} + 28\cdot 103^{31} + 95\cdot 103^{32} + 80\cdot 103^{33} + 70\cdot 103^{34} + 30\cdot 103^{35} + 72\cdot 103^{36} + 21\cdot 103^{37} + 42\cdot 103^{38} + 28\cdot 103^{39} + 14\cdot 103^{40} + 8\cdot 103^{41} + 20\cdot 103^{42} + 46\cdot 103^{43} + 5\cdot 103^{44} + 75\cdot 103^{45} + 53\cdot 103^{46} + 4\cdot 103^{47} + 53\cdot 103^{48} +O\left(103^{ 49 }\right)$ |
| $r_{ 3 }$ |
$=$ |
$ 57 a + 77 + \left(85 a + 63\right)\cdot 103 + \left(46 a + 50\right)\cdot 103^{2} + \left(84 a + 34\right)\cdot 103^{3} + \left(72 a + 95\right)\cdot 103^{4} + \left(75 a + 21\right)\cdot 103^{5} + \left(15 a + 42\right)\cdot 103^{6} + \left(64 a + 58\right)\cdot 103^{7} + \left(31 a + 71\right)\cdot 103^{8} + \left(95 a + 95\right)\cdot 103^{9} + \left(28 a + 93\right)\cdot 103^{10} + \left(73 a + 30\right)\cdot 103^{11} + \left(6 a + 74\right)\cdot 103^{12} + \left(61 a + 33\right)\cdot 103^{13} + 34 a\cdot 103^{14} + \left(30 a + 49\right)\cdot 103^{15} + \left(4 a + 74\right)\cdot 103^{16} + \left(57 a + 96\right)\cdot 103^{17} + \left(6 a + 74\right)\cdot 103^{18} + \left(49 a + 33\right)\cdot 103^{19} + \left(46 a + 82\right)\cdot 103^{20} + \left(69 a + 66\right)\cdot 103^{21} + \left(76 a + 90\right)\cdot 103^{22} + \left(a + 58\right)\cdot 103^{23} + \left(70 a + 62\right)\cdot 103^{24} + \left(a + 62\right)\cdot 103^{25} + \left(a + 89\right)\cdot 103^{26} + \left(42 a + 49\right)\cdot 103^{27} + \left(91 a + 4\right)\cdot 103^{28} + \left(73 a + 14\right)\cdot 103^{29} + \left(5 a + 22\right)\cdot 103^{30} + \left(30 a + 22\right)\cdot 103^{31} + \left(20 a + 18\right)\cdot 103^{32} + \left(25 a + 41\right)\cdot 103^{33} + \left(30 a + 42\right)\cdot 103^{34} + \left(96 a + 61\right)\cdot 103^{35} + \left(28 a + 18\right)\cdot 103^{36} + \left(26 a + 16\right)\cdot 103^{37} + \left(31 a + 62\right)\cdot 103^{38} + \left(19 a + 93\right)\cdot 103^{39} + \left(30 a + 95\right)\cdot 103^{40} + \left(2 a + 79\right)\cdot 103^{41} + \left(54 a + 86\right)\cdot 103^{42} + \left(41 a + 98\right)\cdot 103^{43} + \left(22 a + 55\right)\cdot 103^{44} + \left(95 a + 73\right)\cdot 103^{45} + \left(86 a + 8\right)\cdot 103^{46} + \left(91 a + 5\right)\cdot 103^{47} + \left(3 a + 82\right)\cdot 103^{48} +O\left(103^{ 49 }\right)$ |
| $r_{ 4 }$ |
$=$ |
$ 19 a + 42 + \left(29 a + 46\right)\cdot 103 + \left(92 a + 71\right)\cdot 103^{2} + \left(3 a + 95\right)\cdot 103^{3} + \left(31 a + 37\right)\cdot 103^{4} + \left(36 a + 100\right)\cdot 103^{5} + \left(16 a + 9\right)\cdot 103^{6} + \left(64 a + 79\right)\cdot 103^{7} + \left(41 a + 62\right)\cdot 103^{8} + \left(21 a + 61\right)\cdot 103^{9} + \left(36 a + 95\right)\cdot 103^{10} + \left(82 a + 79\right)\cdot 103^{11} + \left(23 a + 80\right)\cdot 103^{12} + \left(72 a + 78\right)\cdot 103^{13} + \left(51 a + 61\right)\cdot 103^{14} + \left(25 a + 64\right)\cdot 103^{15} + \left(29 a + 49\right)\cdot 103^{16} + \left(97 a + 17\right)\cdot 103^{17} + \left(16 a + 40\right)\cdot 103^{18} + \left(82 a + 70\right)\cdot 103^{19} + \left(30 a + 25\right)\cdot 103^{20} + \left(3 a + 65\right)\cdot 103^{21} + \left(50 a + 79\right)\cdot 103^{22} + \left(76 a + 89\right)\cdot 103^{23} + \left(101 a + 38\right)\cdot 103^{24} + \left(40 a + 30\right)\cdot 103^{25} + \left(64 a + 91\right)\cdot 103^{26} + 31\cdot 103^{27} + \left(35 a + 34\right)\cdot 103^{28} + 17\cdot 103^{29} + \left(94 a + 56\right)\cdot 103^{30} + \left(52 a + 20\right)\cdot 103^{31} + \left(45 a + 55\right)\cdot 103^{32} + \left(80 a + 85\right)\cdot 103^{33} + \left(68 a + 5\right)\cdot 103^{34} + \left(75 a + 48\right)\cdot 103^{35} + \left(83 a + 47\right)\cdot 103^{36} + \left(51 a + 67\right)\cdot 103^{37} + \left(90 a + 83\right)\cdot 103^{38} + \left(98 a + 98\right)\cdot 103^{39} + \left(79 a + 60\right)\cdot 103^{40} + \left(57 a + 62\right)\cdot 103^{41} + \left(44 a + 6\right)\cdot 103^{42} + \left(88 a + 81\right)\cdot 103^{43} + \left(44 a + 21\right)\cdot 103^{44} + \left(9 a + 69\right)\cdot 103^{45} + \left(63 a + 24\right)\cdot 103^{46} + 62 a\cdot 103^{47} + \left(49 a + 58\right)\cdot 103^{48} +O\left(103^{ 49 }\right)$ |
| $r_{ 5 }$ |
$=$ |
$ 46 a + 31 + \left(17 a + 92\right)\cdot 103 + \left(56 a + 11\right)\cdot 103^{2} + \left(18 a + 72\right)\cdot 103^{3} + \left(30 a + 83\right)\cdot 103^{4} + \left(27 a + 24\right)\cdot 103^{5} + \left(87 a + 85\right)\cdot 103^{6} + \left(38 a + 3\right)\cdot 103^{7} + \left(71 a + 39\right)\cdot 103^{8} + \left(7 a + 56\right)\cdot 103^{9} + \left(74 a + 27\right)\cdot 103^{10} + \left(29 a + 75\right)\cdot 103^{11} + \left(96 a + 7\right)\cdot 103^{12} + \left(41 a + 88\right)\cdot 103^{13} + \left(68 a + 76\right)\cdot 103^{14} + \left(72 a + 44\right)\cdot 103^{15} + \left(98 a + 48\right)\cdot 103^{16} + \left(45 a + 46\right)\cdot 103^{17} + \left(96 a + 24\right)\cdot 103^{18} + \left(53 a + 76\right)\cdot 103^{19} + \left(56 a + 79\right)\cdot 103^{20} + \left(33 a + 89\right)\cdot 103^{21} + \left(26 a + 97\right)\cdot 103^{22} + \left(101 a + 86\right)\cdot 103^{23} + \left(32 a + 27\right)\cdot 103^{24} + \left(101 a + 97\right)\cdot 103^{25} + \left(101 a + 88\right)\cdot 103^{26} + \left(60 a + 90\right)\cdot 103^{27} + \left(11 a + 53\right)\cdot 103^{28} + \left(29 a + 99\right)\cdot 103^{29} + \left(97 a + 56\right)\cdot 103^{30} + \left(72 a + 46\right)\cdot 103^{31} + \left(82 a + 8\right)\cdot 103^{32} + \left(77 a + 46\right)\cdot 103^{33} + \left(72 a + 47\right)\cdot 103^{34} + \left(6 a + 24\right)\cdot 103^{35} + \left(74 a + 54\right)\cdot 103^{36} + \left(76 a + 13\right)\cdot 103^{37} + \left(71 a + 67\right)\cdot 103^{38} + \left(83 a + 81\right)\cdot 103^{39} + \left(72 a + 3\right)\cdot 103^{40} + \left(100 a + 52\right)\cdot 103^{41} + \left(48 a + 35\right)\cdot 103^{42} + \left(61 a + 86\right)\cdot 103^{43} + \left(80 a + 36\right)\cdot 103^{44} + \left(7 a + 43\right)\cdot 103^{45} + 16 a\cdot 103^{46} + \left(11 a + 10\right)\cdot 103^{47} + \left(99 a + 97\right)\cdot 103^{48} +O\left(103^{ 49 }\right)$ |
| $r_{ 6 }$ |
$=$ |
$ 71 + 69\cdot 103 + 80\cdot 103^{2} + 82\cdot 103^{3} + 25\cdot 103^{4} + 7\cdot 103^{5} + 97\cdot 103^{6} + 93\cdot 103^{7} + 95\cdot 103^{8} + 87\cdot 103^{9} + 27\cdot 103^{10} + 33\cdot 103^{11} + 69\cdot 103^{12} + 35\cdot 103^{13} + 95\cdot 103^{14} + 95\cdot 103^{15} + 51\cdot 103^{16} + 20\cdot 103^{17} + 10\cdot 103^{18} + 93\cdot 103^{19} + 18\cdot 103^{20} + 14\cdot 103^{21} + 69\cdot 103^{22} + 31\cdot 103^{23} + 68\cdot 103^{24} + 23\cdot 103^{25} + 24\cdot 103^{26} + 43\cdot 103^{27} + 75\cdot 103^{28} + 16\cdot 103^{29} + 10\cdot 103^{30} + 74\cdot 103^{31} + 7\cdot 103^{32} + 22\cdot 103^{33} + 32\cdot 103^{34} + 72\cdot 103^{35} + 30\cdot 103^{36} + 81\cdot 103^{37} + 60\cdot 103^{38} + 74\cdot 103^{39} + 88\cdot 103^{40} + 94\cdot 103^{41} + 82\cdot 103^{42} + 56\cdot 103^{43} + 97\cdot 103^{44} + 27\cdot 103^{45} + 49\cdot 103^{46} + 98\cdot 103^{47} + 49\cdot 103^{48} +O\left(103^{ 49 }\right)$ |
| $r_{ 7 }$ |
$=$ |
$ 46 a + 26 + \left(17 a + 39\right)\cdot 103 + \left(56 a + 52\right)\cdot 103^{2} + \left(18 a + 68\right)\cdot 103^{3} + \left(30 a + 7\right)\cdot 103^{4} + \left(27 a + 81\right)\cdot 103^{5} + \left(87 a + 60\right)\cdot 103^{6} + \left(38 a + 44\right)\cdot 103^{7} + \left(71 a + 31\right)\cdot 103^{8} + \left(7 a + 7\right)\cdot 103^{9} + \left(74 a + 9\right)\cdot 103^{10} + \left(29 a + 72\right)\cdot 103^{11} + \left(96 a + 28\right)\cdot 103^{12} + \left(41 a + 69\right)\cdot 103^{13} + \left(68 a + 102\right)\cdot 103^{14} + \left(72 a + 53\right)\cdot 103^{15} + \left(98 a + 28\right)\cdot 103^{16} + \left(45 a + 6\right)\cdot 103^{17} + \left(96 a + 28\right)\cdot 103^{18} + \left(53 a + 69\right)\cdot 103^{19} + \left(56 a + 20\right)\cdot 103^{20} + \left(33 a + 36\right)\cdot 103^{21} + \left(26 a + 12\right)\cdot 103^{22} + \left(101 a + 44\right)\cdot 103^{23} + \left(32 a + 40\right)\cdot 103^{24} + \left(101 a + 40\right)\cdot 103^{25} + \left(101 a + 13\right)\cdot 103^{26} + \left(60 a + 53\right)\cdot 103^{27} + \left(11 a + 98\right)\cdot 103^{28} + \left(29 a + 88\right)\cdot 103^{29} + \left(97 a + 80\right)\cdot 103^{30} + \left(72 a + 80\right)\cdot 103^{31} + \left(82 a + 84\right)\cdot 103^{32} + \left(77 a + 61\right)\cdot 103^{33} + \left(72 a + 60\right)\cdot 103^{34} + \left(6 a + 41\right)\cdot 103^{35} + \left(74 a + 84\right)\cdot 103^{36} + \left(76 a + 86\right)\cdot 103^{37} + \left(71 a + 40\right)\cdot 103^{38} + \left(83 a + 9\right)\cdot 103^{39} + \left(72 a + 7\right)\cdot 103^{40} + \left(100 a + 23\right)\cdot 103^{41} + \left(48 a + 16\right)\cdot 103^{42} + \left(61 a + 4\right)\cdot 103^{43} + \left(80 a + 47\right)\cdot 103^{44} + \left(7 a + 29\right)\cdot 103^{45} + \left(16 a + 94\right)\cdot 103^{46} + \left(11 a + 97\right)\cdot 103^{47} + \left(99 a + 20\right)\cdot 103^{48} +O\left(103^{ 49 }\right)$ |
| $r_{ 8 }$ |
$=$ |
$ 84 a + 61 + \left(73 a + 56\right)\cdot 103 + \left(10 a + 31\right)\cdot 103^{2} + \left(99 a + 7\right)\cdot 103^{3} + \left(71 a + 65\right)\cdot 103^{4} + \left(66 a + 2\right)\cdot 103^{5} + \left(86 a + 93\right)\cdot 103^{6} + \left(38 a + 23\right)\cdot 103^{7} + \left(61 a + 40\right)\cdot 103^{8} + \left(81 a + 41\right)\cdot 103^{9} + \left(66 a + 7\right)\cdot 103^{10} + \left(20 a + 23\right)\cdot 103^{11} + \left(79 a + 22\right)\cdot 103^{12} + \left(30 a + 24\right)\cdot 103^{13} + \left(51 a + 41\right)\cdot 103^{14} + \left(77 a + 38\right)\cdot 103^{15} + \left(73 a + 53\right)\cdot 103^{16} + \left(5 a + 85\right)\cdot 103^{17} + \left(86 a + 62\right)\cdot 103^{18} + \left(20 a + 32\right)\cdot 103^{19} + \left(72 a + 77\right)\cdot 103^{20} + \left(99 a + 37\right)\cdot 103^{21} + \left(52 a + 23\right)\cdot 103^{22} + \left(26 a + 13\right)\cdot 103^{23} + \left(a + 64\right)\cdot 103^{24} + \left(62 a + 72\right)\cdot 103^{25} + \left(38 a + 11\right)\cdot 103^{26} + \left(102 a + 71\right)\cdot 103^{27} + \left(67 a + 68\right)\cdot 103^{28} + \left(102 a + 85\right)\cdot 103^{29} + \left(8 a + 46\right)\cdot 103^{30} + \left(50 a + 82\right)\cdot 103^{31} + \left(57 a + 47\right)\cdot 103^{32} + \left(22 a + 17\right)\cdot 103^{33} + \left(34 a + 97\right)\cdot 103^{34} + \left(27 a + 54\right)\cdot 103^{35} + \left(19 a + 55\right)\cdot 103^{36} + \left(51 a + 35\right)\cdot 103^{37} + \left(12 a + 19\right)\cdot 103^{38} + \left(4 a + 4\right)\cdot 103^{39} + \left(23 a + 42\right)\cdot 103^{40} + \left(45 a + 40\right)\cdot 103^{41} + \left(58 a + 96\right)\cdot 103^{42} + \left(14 a + 21\right)\cdot 103^{43} + \left(58 a + 81\right)\cdot 103^{44} + \left(93 a + 33\right)\cdot 103^{45} + \left(39 a + 78\right)\cdot 103^{46} + \left(40 a + 102\right)\cdot 103^{47} + \left(53 a + 44\right)\cdot 103^{48} +O\left(103^{ 49 }\right)$ |
Generators of the action on the roots
$r_1, \ldots, r_{ 8 }$
| Cycle notation |
| $(1,2,5,6)(3,4,7,8)$ |
| $(2,8,7)(3,6,4)$ |
| $(2,6)(4,8)$ |
| $(2,8,6,4)$ |
| $(3,7)(4,8)$ |
| $(1,8,3)(4,7,5)$ |
Character values on conjugacy classes
| Size | Order | Action on
$r_1, \ldots, r_{ 8 }$
| Character values |
| | |
$c1$ |
| $1$ |
$1$ |
$()$ |
$4$ |
| $1$ |
$2$ |
$(1,5)(2,6)(3,7)(4,8)$ |
$-4$ |
| $6$ |
$2$ |
$(3,7)(4,8)$ |
$0$ |
| $12$ |
$2$ |
$(1,2)(3,4)(5,6)(7,8)$ |
$0$ |
| $24$ |
$2$ |
$(2,4)(3,7)(6,8)$ |
$0$ |
| $32$ |
$3$ |
$(1,8,3)(4,7,5)$ |
$1$ |
| $6$ |
$4$ |
$(1,2,5,6)(3,4,7,8)$ |
$0$ |
| $6$ |
$4$ |
$(1,3,5,7)(2,4,6,8)$ |
$0$ |
| $12$ |
$4$ |
$(2,8,6,4)$ |
$2$ |
| $12$ |
$4$ |
$(1,5)(2,4,6,8)(3,7)$ |
$-2$ |
| $32$ |
$6$ |
$(1,8,7,5,4,3)(2,6)$ |
$-1$ |
| $24$ |
$8$ |
$(1,8,3,2,5,4,7,6)$ |
$0$ |
| $24$ |
$8$ |
$(1,8,6,7,5,4,2,3)$ |
$0$ |
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.
