Basic invariants
Galois action
Roots of defining polynomial
The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 7 }$ to precision 28.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 7 }$: $ x^{2} + 6 x + 3 $
Roots:
| $r_{ 1 }$ |
$=$ |
$ 3 + 2\cdot 7^{2} + 7^{3} + 7^{4} + 3\cdot 7^{5} + 3\cdot 7^{6} + 6\cdot 7^{7} + 6\cdot 7^{8} + 6\cdot 7^{9} + 4\cdot 7^{10} + 2\cdot 7^{11} + 3\cdot 7^{12} + 3\cdot 7^{13} + 2\cdot 7^{15} + 5\cdot 7^{17} + 4\cdot 7^{19} + 5\cdot 7^{20} + 7^{21} + 3\cdot 7^{22} + 5\cdot 7^{25} + 3\cdot 7^{26} + 6\cdot 7^{27} +O\left(7^{ 28 }\right)$ |
| $r_{ 2 }$ |
$=$ |
$ 3 a + 5 + 6 a\cdot 7^{2} + \left(2 a + 4\right)\cdot 7^{3} + 3\cdot 7^{4} + 4\cdot 7^{5} + \left(5 a + 5\right)\cdot 7^{6} + \left(4 a + 5\right)\cdot 7^{7} + \left(4 a + 6\right)\cdot 7^{8} + \left(3 a + 4\right)\cdot 7^{9} + 6 a\cdot 7^{10} + \left(6 a + 3\right)\cdot 7^{11} + \left(3 a + 6\right)\cdot 7^{12} + 4\cdot 7^{13} + 5\cdot 7^{14} + \left(4 a + 6\right)\cdot 7^{15} + \left(6 a + 5\right)\cdot 7^{16} + \left(a + 1\right)\cdot 7^{17} + \left(3 a + 3\right)\cdot 7^{18} + \left(2 a + 6\right)\cdot 7^{19} + \left(3 a + 1\right)\cdot 7^{20} + \left(4 a + 1\right)\cdot 7^{21} + \left(4 a + 1\right)\cdot 7^{22} + \left(4 a + 5\right)\cdot 7^{23} + \left(6 a + 5\right)\cdot 7^{24} + 6\cdot 7^{25} + \left(4 a + 1\right)\cdot 7^{26} + \left(6 a + 1\right)\cdot 7^{27} +O\left(7^{ 28 }\right)$ |
| $r_{ 3 }$ |
$=$ |
$ 2 + 7 + 7^{2} + 2\cdot 7^{3} + 2\cdot 7^{4} + 5\cdot 7^{5} + 4\cdot 7^{6} + 2\cdot 7^{7} + 5\cdot 7^{9} + 2\cdot 7^{10} + 4\cdot 7^{12} + 3\cdot 7^{14} + 3\cdot 7^{15} + 6\cdot 7^{16} + 6\cdot 7^{18} + 7^{19} + 2\cdot 7^{20} + 3\cdot 7^{21} + 4\cdot 7^{22} + 3\cdot 7^{23} + 6\cdot 7^{25} + 6\cdot 7^{26} + 7^{27} +O\left(7^{ 28 }\right)$ |
| $r_{ 4 }$ |
$=$ |
$ 4 a + 1 + \left(6 a + 5\right)\cdot 7 + 5\cdot 7^{2} + 4 a\cdot 7^{3} + \left(6 a + 1\right)\cdot 7^{4} + \left(6 a + 4\right)\cdot 7^{5} + \left(a + 3\right)\cdot 7^{6} + \left(2 a + 5\right)\cdot 7^{7} + \left(2 a + 6\right)\cdot 7^{8} + \left(3 a + 3\right)\cdot 7^{9} + 3\cdot 7^{10} + 3\cdot 7^{11} + \left(3 a + 3\right)\cdot 7^{12} + \left(6 a + 1\right)\cdot 7^{13} + \left(6 a + 5\right)\cdot 7^{14} + \left(2 a + 3\right)\cdot 7^{15} + 7^{16} + \left(5 a + 4\right)\cdot 7^{17} + \left(3 a + 4\right)\cdot 7^{18} + \left(4 a + 5\right)\cdot 7^{19} + \left(3 a + 2\right)\cdot 7^{20} + \left(2 a + 2\right)\cdot 7^{21} + \left(2 a + 1\right)\cdot 7^{22} + \left(2 a + 5\right)\cdot 7^{23} + \left(6 a + 1\right)\cdot 7^{25} + \left(2 a + 5\right)\cdot 7^{26} + 3\cdot 7^{27} +O\left(7^{ 28 }\right)$ |
| $r_{ 5 }$ |
$=$ |
$ 5 a + 4 a\cdot 7 + \left(3 a + 3\right)\cdot 7^{2} + a\cdot 7^{3} + \left(2 a + 6\right)\cdot 7^{4} + \left(3 a + 4\right)\cdot 7^{5} + \left(a + 2\right)\cdot 7^{6} + \left(6 a + 1\right)\cdot 7^{7} + \left(2 a + 5\right)\cdot 7^{8} + \left(4 a + 2\right)\cdot 7^{9} + \left(3 a + 1\right)\cdot 7^{10} + \left(a + 3\right)\cdot 7^{11} + \left(3 a + 4\right)\cdot 7^{12} + \left(2 a + 5\right)\cdot 7^{13} + \left(4 a + 5\right)\cdot 7^{14} + \left(2 a + 6\right)\cdot 7^{15} + \left(5 a + 1\right)\cdot 7^{16} + \left(5 a + 4\right)\cdot 7^{17} + \left(a + 1\right)\cdot 7^{18} + 4 a\cdot 7^{19} + \left(6 a + 3\right)\cdot 7^{20} + \left(2 a + 4\right)\cdot 7^{21} + \left(6 a + 3\right)\cdot 7^{22} + \left(a + 5\right)\cdot 7^{23} + \left(4 a + 6\right)\cdot 7^{25} + \left(4 a + 4\right)\cdot 7^{26} + \left(a + 1\right)\cdot 7^{27} +O\left(7^{ 28 }\right)$ |
| $r_{ 6 }$ |
$=$ |
$ 2 a + 5 + \left(2 a + 6\right)\cdot 7 + \left(3 a + 1\right)\cdot 7^{2} + \left(5 a + 5\right)\cdot 7^{3} + \left(4 a + 6\right)\cdot 7^{4} + \left(3 a + 5\right)\cdot 7^{5} + 5 a\cdot 7^{6} + 6\cdot 7^{7} + \left(4 a + 1\right)\cdot 7^{8} + \left(2 a + 4\right)\cdot 7^{9} + 3 a\cdot 7^{10} + \left(5 a + 1\right)\cdot 7^{11} + \left(3 a + 6\right)\cdot 7^{12} + \left(4 a + 4\right)\cdot 7^{13} + 2 a\cdot 7^{14} + \left(4 a + 5\right)\cdot 7^{15} + \left(a + 4\right)\cdot 7^{16} + \left(a + 4\right)\cdot 7^{17} + \left(5 a + 4\right)\cdot 7^{18} + \left(2 a + 2\right)\cdot 7^{19} + 5\cdot 7^{20} + 4 a\cdot 7^{21} + \left(5 a + 1\right)\cdot 7^{23} + \left(6 a + 6\right)\cdot 7^{24} + \left(2 a + 2\right)\cdot 7^{25} + \left(2 a + 5\right)\cdot 7^{26} + \left(5 a + 5\right)\cdot 7^{27} +O\left(7^{ 28 }\right)$ |
Generators of the action on the roots
$r_1, \ldots, r_{ 6 }$
| Cycle notation |
| $(2,3,4)$ |
| $(1,5,6)$ |
| $(1,2,5,3)(4,6)$ |
Character values on conjugacy classes
| Size | Order | Action on
$r_1, \ldots, r_{ 6 }$
| Character values |
| | |
$c1$ |
| $1$ |
$1$ |
$()$ |
$4$ |
| $9$ |
$2$ |
$(1,5)(2,3)$ |
$0$ |
| $4$ |
$3$ |
$(1,5,6)$ |
$1$ |
| $4$ |
$3$ |
$(1,5,6)(2,3,4)$ |
$-2$ |
| $9$ |
$4$ |
$(1,2,5,3)(4,6)$ |
$0$ |
| $9$ |
$4$ |
$(1,3,5,2)(4,6)$ |
$0$ |
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.
