Basic invariants
Galois action
Roots of defining polynomial
The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 47 }$ to precision 23.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 47 }$: $ x^{2} + 45 x + 5 $
Roots:
| $r_{ 1 }$ |
$=$ |
$ 29 a + 42 + \left(38 a + 8\right)\cdot 47 + \left(14 a + 2\right)\cdot 47^{2} + \left(28 a + 17\right)\cdot 47^{3} + \left(12 a + 33\right)\cdot 47^{4} + \left(2 a + 17\right)\cdot 47^{5} + \left(5 a + 34\right)\cdot 47^{6} + \left(24 a + 43\right)\cdot 47^{7} + \left(23 a + 28\right)\cdot 47^{8} + 37\cdot 47^{9} + \left(32 a + 11\right)\cdot 47^{10} + \left(3 a + 7\right)\cdot 47^{11} + \left(23 a + 31\right)\cdot 47^{12} + \left(30 a + 20\right)\cdot 47^{13} + \left(26 a + 19\right)\cdot 47^{14} + 11\cdot 47^{15} + \left(44 a + 20\right)\cdot 47^{16} + \left(39 a + 26\right)\cdot 47^{17} + \left(30 a + 21\right)\cdot 47^{18} + \left(38 a + 17\right)\cdot 47^{19} + \left(12 a + 22\right)\cdot 47^{20} + \left(22 a + 27\right)\cdot 47^{21} + \left(26 a + 13\right)\cdot 47^{22} +O\left(47^{ 23 }\right)$ |
| $r_{ 2 }$ |
$=$ |
$ 41 + 44\cdot 47 + 22\cdot 47^{2} + 8\cdot 47^{3} + 6\cdot 47^{4} + 31\cdot 47^{5} + 30\cdot 47^{6} + 6\cdot 47^{7} + 9\cdot 47^{8} + 15\cdot 47^{9} + 10\cdot 47^{10} + 33\cdot 47^{11} + 44\cdot 47^{12} + 3\cdot 47^{13} + 34\cdot 47^{14} + 29\cdot 47^{15} + 17\cdot 47^{16} + 5\cdot 47^{17} + 7\cdot 47^{18} + 29\cdot 47^{19} + 32\cdot 47^{20} + 28\cdot 47^{21} + 16\cdot 47^{22} +O\left(47^{ 23 }\right)$ |
| $r_{ 3 }$ |
$=$ |
$ 18 a + 6 + \left(8 a + 10\right)\cdot 47 + \left(32 a + 40\right)\cdot 47^{2} + \left(18 a + 11\right)\cdot 47^{3} + \left(34 a + 30\right)\cdot 47^{4} + \left(44 a + 9\right)\cdot 47^{5} + \left(41 a + 42\right)\cdot 47^{6} + \left(22 a + 39\right)\cdot 47^{7} + \left(23 a + 4\right)\cdot 47^{8} + \left(46 a + 15\right)\cdot 47^{9} + \left(14 a + 28\right)\cdot 47^{10} + \left(43 a + 29\right)\cdot 47^{11} + \left(23 a + 26\right)\cdot 47^{12} + \left(16 a + 11\right)\cdot 47^{13} + \left(20 a + 42\right)\cdot 47^{14} + \left(46 a + 32\right)\cdot 47^{15} + \left(2 a + 13\right)\cdot 47^{16} + \left(7 a + 15\right)\cdot 47^{17} + \left(16 a + 43\right)\cdot 47^{18} + \left(8 a + 16\right)\cdot 47^{19} + \left(34 a + 9\right)\cdot 47^{20} + \left(24 a + 12\right)\cdot 47^{21} + \left(20 a + 44\right)\cdot 47^{22} +O\left(47^{ 23 }\right)$ |
| $r_{ 4 }$ |
$=$ |
$ 9 a + 1 + \left(41 a + 37\right)\cdot 47 + \left(31 a + 44\right)\cdot 47^{2} + \left(42 a + 20\right)\cdot 47^{3} + \left(32 a + 8\right)\cdot 47^{4} + \left(23 a + 33\right)\cdot 47^{5} + \left(46 a + 43\right)\cdot 47^{6} + \left(41 a + 9\right)\cdot 47^{7} + \left(21 a + 46\right)\cdot 47^{8} + \left(46 a + 34\right)\cdot 47^{9} + \left(26 a + 12\right)\cdot 47^{10} + \left(26 a + 29\right)\cdot 47^{11} + \left(45 a + 28\right)\cdot 47^{12} + \left(8 a + 1\right)\cdot 47^{13} + \left(21 a + 13\right)\cdot 47^{14} + \left(3 a + 35\right)\cdot 47^{15} + \left(26 a + 26\right)\cdot 47^{16} + \left(46 a + 5\right)\cdot 47^{17} + \left(14 a + 29\right)\cdot 47^{18} + \left(22 a + 37\right)\cdot 47^{19} + \left(34 a + 33\right)\cdot 47^{20} + \left(42 a + 3\right)\cdot 47^{21} + \left(5 a + 41\right)\cdot 47^{22} +O\left(47^{ 23 }\right)$ |
| $r_{ 5 }$ |
$=$ |
$ 38 a + 19 + \left(5 a + 16\right)\cdot 47 + \left(15 a + 20\right)\cdot 47^{2} + \left(4 a + 27\right)\cdot 47^{3} + \left(14 a + 31\right)\cdot 47^{4} + 23 a\cdot 47^{5} + 19\cdot 47^{6} + 5 a\cdot 47^{7} + \left(25 a + 1\right)\cdot 47^{8} + 12\cdot 47^{9} + \left(20 a + 20\right)\cdot 47^{10} + \left(20 a + 8\right)\cdot 47^{11} + \left(a + 46\right)\cdot 47^{12} + \left(38 a + 20\right)\cdot 47^{13} + \left(25 a + 46\right)\cdot 47^{14} + \left(43 a + 20\right)\cdot 47^{15} + \left(20 a + 28\right)\cdot 47^{16} + 25\cdot 47^{17} + \left(32 a + 12\right)\cdot 47^{18} + \left(24 a + 20\right)\cdot 47^{19} + \left(12 a + 33\right)\cdot 47^{20} + \left(4 a + 7\right)\cdot 47^{21} + \left(41 a + 10\right)\cdot 47^{22} +O\left(47^{ 23 }\right)$ |
| $r_{ 6 }$ |
$=$ |
$ 14 a + 30 + \left(14 a + 30\right)\cdot 47 + \left(36 a + 33\right)\cdot 47^{2} + \left(15 a + 41\right)\cdot 47^{3} + \left(29 a + 2\right)\cdot 47^{4} + \left(40 a + 15\right)\cdot 47^{5} + \left(42 a + 11\right)\cdot 47^{6} + \left(20 a + 30\right)\cdot 47^{7} + \left(45 a + 39\right)\cdot 47^{8} + \left(19 a + 33\right)\cdot 47^{9} + \left(20 a + 5\right)\cdot 47^{10} + \left(5 a + 22\right)\cdot 47^{11} + \left(44 a + 43\right)\cdot 47^{12} + \left(33 a + 8\right)\cdot 47^{13} + \left(31 a + 44\right)\cdot 47^{14} + \left(16 a + 2\right)\cdot 47^{15} + \left(37 a + 3\right)\cdot 47^{16} + \left(29 a + 14\right)\cdot 47^{17} + \left(32 a + 41\right)\cdot 47^{18} + \left(43 a + 43\right)\cdot 47^{19} + \left(9 a + 17\right)\cdot 47^{20} + \left(44 a + 4\right)\cdot 47^{21} + \left(29 a + 3\right)\cdot 47^{22} +O\left(47^{ 23 }\right)$ |
| $r_{ 7 }$ |
$=$ |
$ 39 + 41\cdot 47 + 25\cdot 47^{2} + 23\cdot 47^{3} + 29\cdot 47^{4} + 13\cdot 47^{5} + 44\cdot 47^{6} + 27\cdot 47^{7} + 42\cdot 47^{8} + 10\cdot 47^{9} + 25\cdot 47^{10} + 45\cdot 47^{11} + 28\cdot 47^{12} + 40\cdot 47^{13} + 8\cdot 47^{14} + 3\cdot 47^{15} + 17\cdot 47^{16} + 12\cdot 47^{17} + 3\cdot 47^{18} + 18\cdot 47^{19} + 44\cdot 47^{20} + 20\cdot 47^{21} + 40\cdot 47^{22} +O\left(47^{ 23 }\right)$ |
| $r_{ 8 }$ |
$=$ |
$ 33 a + 11 + \left(32 a + 45\right)\cdot 47 + \left(10 a + 44\right)\cdot 47^{2} + \left(31 a + 36\right)\cdot 47^{3} + \left(17 a + 45\right)\cdot 47^{4} + \left(6 a + 19\right)\cdot 47^{5} + \left(4 a + 9\right)\cdot 47^{6} + \left(26 a + 29\right)\cdot 47^{7} + \left(a + 15\right)\cdot 47^{8} + \left(27 a + 28\right)\cdot 47^{9} + \left(26 a + 26\right)\cdot 47^{10} + \left(41 a + 12\right)\cdot 47^{11} + \left(2 a + 32\right)\cdot 47^{12} + \left(13 a + 32\right)\cdot 47^{13} + \left(15 a + 26\right)\cdot 47^{14} + \left(30 a + 4\right)\cdot 47^{15} + \left(9 a + 14\right)\cdot 47^{16} + \left(17 a + 36\right)\cdot 47^{17} + \left(14 a + 29\right)\cdot 47^{18} + \left(3 a + 4\right)\cdot 47^{19} + \left(37 a + 41\right)\cdot 47^{20} + \left(2 a + 35\right)\cdot 47^{21} + \left(17 a + 18\right)\cdot 47^{22} +O\left(47^{ 23 }\right)$ |
Generators of the action on the roots
$r_1, \ldots, r_{ 8 }$
| Cycle notation |
| $(1,2,3,4)(5,8,7,6)$ |
| $(3,4)(5,6)$ |
| $(3,6)$ |
Character values on conjugacy classes
| Size | Order | Action on
$r_1, \ldots, r_{ 8 }$
| Character value |
| $1$ | $1$ | $()$ | $4$ |
| $1$ | $2$ | $(1,8)(2,7)(3,6)(4,5)$ | $-4$ |
| $4$ | $2$ | $(1,8)$ | $2$ |
| $4$ | $2$ | $(1,8)(2,7)(4,5)$ | $-2$ |
| $6$ | $2$ | $(1,8)(3,6)$ | $0$ |
| $12$ | $2$ | $(1,3)(2,4)(5,7)(6,8)$ | $0$ |
| $12$ | $2$ | $(3,4)(5,6)$ | $-2$ |
| $12$ | $2$ | $(1,8)(2,3)(4,5)(6,7)$ | $2$ |
| $24$ | $2$ | $(1,8)(3,4)(5,6)$ | $0$ |
| $32$ | $3$ | $(1,2,3)(6,8,7)$ | $1$ |
| $12$ | $4$ | $(1,6,8,3)(2,5,7,4)$ | $0$ |
| $12$ | $4$ | $(3,4,6,5)$ | $-2$ |
| $12$ | $4$ | $(1,7,8,2)(3,6)(4,5)$ | $2$ |
| $24$ | $4$ | $(1,6,8,3)(2,4)(5,7)$ | $0$ |
| $24$ | $4$ | $(1,8)(3,4,6,5)$ | $0$ |
| $48$ | $4$ | $(1,2,3,4)(5,8,7,6)$ | $0$ |
| $32$ | $6$ | $(1,5,7,8,4,2)$ | $1$ |
| $32$ | $6$ | $(1,2,3)(4,5)(6,8,7)$ | $-1$ |
| $32$ | $6$ | $(1,7,6,8,2,3)(4,5)$ | $-1$ |
| $48$ | $8$ | $(1,5,6,7,8,4,3,2)$ | $0$ |
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.
