Basic invariants
Galois action
Roots of defining polynomial
The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 73 }$ to precision 17.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 73 }$: $ x^{2} + 70 x + 5 $
Roots:
| $r_{ 1 }$ |
$=$ |
$ 54 a + 40 + \left(67 a + 59\right)\cdot 73 + \left(32 a + 28\right)\cdot 73^{2} + \left(28 a + 18\right)\cdot 73^{3} + \left(53 a + 62\right)\cdot 73^{4} + \left(72 a + 12\right)\cdot 73^{5} + \left(51 a + 8\right)\cdot 73^{6} + \left(11 a + 32\right)\cdot 73^{7} + \left(18 a + 23\right)\cdot 73^{8} + \left(43 a + 32\right)\cdot 73^{9} + \left(36 a + 14\right)\cdot 73^{10} + \left(16 a + 60\right)\cdot 73^{11} + \left(16 a + 9\right)\cdot 73^{12} + \left(25 a + 23\right)\cdot 73^{13} + \left(66 a + 59\right)\cdot 73^{14} + \left(50 a + 64\right)\cdot 73^{15} + \left(28 a + 36\right)\cdot 73^{16} +O\left(73^{ 17 }\right)$ |
| $r_{ 2 }$ |
$=$ |
$ 52 + 64\cdot 73 + 45\cdot 73^{2} + 70\cdot 73^{3} + 28\cdot 73^{4} + 32\cdot 73^{5} + 16\cdot 73^{6} + 7\cdot 73^{7} + 69\cdot 73^{8} + 59\cdot 73^{9} + 23\cdot 73^{10} + 65\cdot 73^{11} + 44\cdot 73^{12} + 5\cdot 73^{13} + 23\cdot 73^{14} + 46\cdot 73^{15} + 49\cdot 73^{16} +O\left(73^{ 17 }\right)$ |
| $r_{ 3 }$ |
$=$ |
$ 19 a + 56 + \left(5 a + 62\right)\cdot 73 + \left(40 a + 59\right)\cdot 73^{2} + \left(44 a + 70\right)\cdot 73^{3} + \left(19 a + 47\right)\cdot 73^{4} + 31\cdot 73^{5} + \left(21 a + 18\right)\cdot 73^{6} + \left(61 a + 15\right)\cdot 73^{7} + \left(54 a + 66\right)\cdot 73^{8} + \left(29 a + 70\right)\cdot 73^{9} + \left(36 a + 7\right)\cdot 73^{10} + 56 a\cdot 73^{11} + \left(56 a + 42\right)\cdot 73^{12} + \left(47 a + 9\right)\cdot 73^{13} + \left(6 a + 14\right)\cdot 73^{14} + \left(22 a + 5\right)\cdot 73^{15} + \left(44 a + 72\right)\cdot 73^{16} +O\left(73^{ 17 }\right)$ |
| $r_{ 4 }$ |
$=$ |
$ 15 a + 70 + \left(3 a + 39\right)\cdot 73 + \left(6 a + 16\right)\cdot 73^{2} + \left(15 a + 56\right)\cdot 73^{3} + \left(9 a + 68\right)\cdot 73^{4} + \left(71 a + 1\right)\cdot 73^{5} + \left(61 a + 50\right)\cdot 73^{6} + \left(59 a + 45\right)\cdot 73^{7} + \left(63 a + 31\right)\cdot 73^{8} + \left(10 a + 5\right)\cdot 73^{9} + \left(52 a + 12\right)\cdot 73^{10} + \left(59 a + 19\right)\cdot 73^{11} + \left(51 a + 52\right)\cdot 73^{12} + \left(35 a + 8\right)\cdot 73^{13} + \left(40 a + 42\right)\cdot 73^{14} + \left(41 a + 12\right)\cdot 73^{15} + \left(59 a + 24\right)\cdot 73^{16} +O\left(73^{ 17 }\right)$ |
| $r_{ 5 }$ |
$=$ |
$ 34 + 30\cdot 73 + 36\cdot 73^{2} + 53\cdot 73^{3} + 2\cdot 73^{4} + 7\cdot 73^{5} + 34\cdot 73^{6} + 28\cdot 73^{7} + 11\cdot 73^{8} + 3\cdot 73^{9} + 3\cdot 73^{10} + 73^{11} + 68\cdot 73^{12} + 34\cdot 73^{13} + 25\cdot 73^{14} + 66\cdot 73^{15} + 20\cdot 73^{16} +O\left(73^{ 17 }\right)$ |
| $r_{ 6 }$ |
$=$ |
$ 58 a + 42 + \left(69 a + 34\right)\cdot 73 + \left(66 a + 31\right)\cdot 73^{2} + \left(57 a + 22\right)\cdot 73^{3} + \left(63 a + 8\right)\cdot 73^{4} + \left(a + 60\right)\cdot 73^{5} + \left(11 a + 18\right)\cdot 73^{6} + \left(13 a + 17\right)\cdot 73^{7} + \left(9 a + 17\right)\cdot 73^{8} + \left(62 a + 47\right)\cdot 73^{9} + \left(20 a + 11\right)\cdot 73^{10} + 13 a\cdot 73^{11} + \left(21 a + 2\right)\cdot 73^{12} + \left(37 a + 64\right)\cdot 73^{13} + \left(32 a + 54\right)\cdot 73^{14} + \left(31 a + 23\right)\cdot 73^{15} + \left(13 a + 15\right)\cdot 73^{16} +O\left(73^{ 17 }\right)$ |
Generators of the action on the roots
$r_1, \ldots, r_{ 6 }$
| Cycle notation |
| $(1,6)$ |
| $(1,2)(5,6)$ |
| $(1,2,3)(4,6,5)$ |
Character values on conjugacy classes
| Size | Order | Action on
$r_1, \ldots, r_{ 6 }$
| Character value |
| $1$ | $1$ | $()$ | $3$ |
| $1$ | $2$ | $(1,6)(2,5)(3,4)$ | $-3$ |
| $3$ | $2$ | $(3,4)$ | $1$ |
| $3$ | $2$ | $(1,6)(3,4)$ | $-1$ |
| $6$ | $2$ | $(1,2)(5,6)$ | $1$ |
| $6$ | $2$ | $(1,2)(3,4)(5,6)$ | $-1$ |
| $8$ | $3$ | $(1,2,3)(4,6,5)$ | $0$ |
| $6$ | $4$ | $(1,3,6,4)$ | $1$ |
| $6$ | $4$ | $(1,3,6,4)(2,5)$ | $-1$ |
| $8$ | $6$ | $(1,2,3,6,5,4)$ | $0$ |
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.
