Basic invariants
| Dimension: | $3$ |
| Group: | 12T29 |
| Conductor: | $2211125= 5^{3} \cdot 7^{2} \cdot 19^{2} $ |
| Artin number field: | Splitting field of $f= x^{12} + 10 x^{10} - 625 x^{8} - 1150 x^{6} + 49225 x^{4} - 107500 x^{2} + 50000 $ over $\Q$ |
| Size of Galois orbit: | 2 |
| Smallest containing permutation representation: | 12T29 |
| Parity: | Odd |
Galois action
Roots of defining polynomial
The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 67 }$ to precision 13.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 67 }$: $ x^{4} + 8 x^{2} + 54 x + 2 $
Roots:
| $r_{ 1 }$ | $=$ | $ 44 a^{3} + 31 a^{2} + 55 a + 30 + \left(24 a^{3} + 48 a^{2} + 4 a + 53\right)\cdot 67 + \left(30 a^{3} + 12 a^{2} + 2 a + 7\right)\cdot 67^{2} + \left(30 a^{3} + 61 a^{2} + 24 a + 4\right)\cdot 67^{3} + \left(49 a^{3} + 16 a^{2} + 39 a + 27\right)\cdot 67^{4} + \left(64 a^{3} + 15 a^{2} + 39 a + 36\right)\cdot 67^{5} + \left(32 a^{2} + 18 a\right)\cdot 67^{6} + \left(50 a^{3} + 47 a^{2} + 37 a + 38\right)\cdot 67^{7} + \left(18 a^{3} + 44 a^{2} + 31 a + 33\right)\cdot 67^{8} + \left(60 a^{3} + 44 a^{2} + 28 a + 40\right)\cdot 67^{9} + \left(53 a^{3} + 56 a^{2} + 11 a + 64\right)\cdot 67^{10} + \left(30 a^{3} + 61 a^{2} + 37 a + 20\right)\cdot 67^{11} + \left(31 a^{3} + 35 a^{2} + 44\right)\cdot 67^{12} +O\left(67^{ 13 }\right)$ |
| $r_{ 2 }$ | $=$ | $ 42 a^{3} + 57 a^{2} + 19 a + 53 + \left(20 a^{3} + a^{2} + 22 a + 38\right)\cdot 67 + \left(55 a^{3} + 65 a^{2} + 49 a + 54\right)\cdot 67^{2} + \left(65 a^{3} + 27 a^{2} + 31 a + 30\right)\cdot 67^{3} + \left(19 a^{3} + 14 a^{2} + 49 a + 29\right)\cdot 67^{4} + \left(a^{3} + 36 a^{2} + 13 a + 63\right)\cdot 67^{5} + \left(35 a^{3} + 44 a^{2} + 30 a + 21\right)\cdot 67^{6} + \left(38 a^{3} + 42 a^{2} + 11 a + 22\right)\cdot 67^{7} + \left(10 a^{3} + 23 a^{2} + 20\right)\cdot 67^{8} + \left(53 a^{3} + 64 a^{2} + 50 a + 65\right)\cdot 67^{9} + \left(38 a^{3} + 62 a^{2} + 31 a + 13\right)\cdot 67^{10} + \left(17 a^{3} + 3 a^{2} + 34 a + 24\right)\cdot 67^{11} + \left(49 a^{3} + 27 a^{2} + 16 a + 26\right)\cdot 67^{12} +O\left(67^{ 13 }\right)$ |
| $r_{ 3 }$ | $=$ | $ 12 a^{3} + 3 a^{2} + 46 a + 29 + \left(21 a^{3} + 10 a^{2} + 37 a + 60\right)\cdot 67 + \left(36 a^{3} + 9 a^{2} + 54 a + 66\right)\cdot 67^{2} + \left(60 a^{3} + 13 a^{2} + 47 a + 58\right)\cdot 67^{3} + \left(30 a^{3} + 57 a^{2} + 25 a + 39\right)\cdot 67^{4} + \left(29 a^{3} + 38 a^{2} + 40 a + 8\right)\cdot 67^{5} + \left(27 a^{3} + 59 a^{2} + 49 a + 43\right)\cdot 67^{6} + \left(27 a^{3} + 41 a^{2} + 19 a + 4\right)\cdot 67^{7} + \left(48 a^{3} + 62 a^{2} + 44 a\right)\cdot 67^{8} + \left(44 a^{3} + 64 a^{2} + 40 a + 61\right)\cdot 67^{9} + \left(15 a^{2} + 51 a + 23\right)\cdot 67^{10} + \left(61 a^{3} + 18 a^{2} + 57 a + 31\right)\cdot 67^{11} + \left(51 a^{3} + 27 a^{2} + 12 a\right)\cdot 67^{12} +O\left(67^{ 13 }\right)$ |
| $r_{ 4 }$ | $=$ | $ 41 a^{3} + 17 a^{2} + 13 a + 20 + \left(37 a^{3} + 59 a^{2} + 47 a + 18\right)\cdot 67 + \left(42 a^{3} + 6 a^{2} + 44 a + 9\right)\cdot 67^{2} + \left(38 a^{3} + 55 a^{2} + 63 a + 43\right)\cdot 67^{3} + \left(14 a^{3} + 58 a^{2} + 21 a + 21\right)\cdot 67^{4} + \left(5 a^{3} + 46 a^{2} + 26 a + 30\right)\cdot 67^{5} + \left(40 a^{3} + 8 a^{2} + 5 a + 16\right)\cdot 67^{6} + \left(2 a^{3} + 51 a^{2} + 40 a + 8\right)\cdot 67^{7} + \left(49 a^{3} + 22 a^{2} + 37 a\right)\cdot 67^{8} + \left(43 a^{3} + 13 a^{2} + 42 a + 49\right)\cdot 67^{9} + \left(33 a^{3} + 27 a^{2} + 35 a + 64\right)\cdot 67^{10} + \left(24 a^{3} + 18 a^{2} + 65 a + 60\right)\cdot 67^{11} + \left(19 a^{3} + 52 a^{2} + 20 a + 21\right)\cdot 67^{12} +O\left(67^{ 13 }\right)$ |
| $r_{ 5 }$ | $=$ | $ 30 a^{3} + a^{2} + 52 a + 13 + \left(56 a^{3} + 15 a^{2} + 34 a + 1\right)\cdot 67 + \left(31 a^{3} + 35 a^{2} + 30 a + 57\right)\cdot 67^{2} + \left(52 a^{3} + 7 a^{2} + 48 a + 44\right)\cdot 67^{3} + \left(6 a^{3} + 5 a^{2} + 50 a + 60\right)\cdot 67^{4} + \left(62 a^{3} + 38 a^{2} + 20 a + 20\right)\cdot 67^{5} + \left(42 a^{3} + 20 a^{2} + 39 a + 45\right)\cdot 67^{6} + \left(65 a^{3} + 62 a^{2} + 48 a + 26\right)\cdot 67^{7} + \left(25 a^{3} + 53 a^{2} + a + 28\right)\cdot 67^{8} + \left(40 a^{3} + 18 a^{2} + 54 a + 2\right)\cdot 67^{9} + \left(a^{3} + 2 a^{2} + 29 a + 7\right)\cdot 67^{10} + \left(37 a^{3} + 57 a^{2} + 30 a + 19\right)\cdot 67^{11} + \left(55 a^{3} + a^{2} + 29 a + 46\right)\cdot 67^{12} +O\left(67^{ 13 }\right)$ |
| $r_{ 6 }$ | $=$ | $ 30 a^{3} + 33 a^{2} + 22 a + 7 + \left(41 a^{3} + 28 a^{2} + a + 17\right)\cdot 67 + \left(39 a^{3} + 11 a^{2} + 53 a + 42\right)\cdot 67^{2} + \left(25 a^{3} + 11 a^{2} + 58 a + 42\right)\cdot 67^{3} + \left(2 a^{3} + 22 a^{2} + 8 a + 17\right)\cdot 67^{4} + \left(17 a^{3} + 50 a^{2} + 44 a + 20\right)\cdot 67^{5} + \left(13 a^{3} + a + 37\right)\cdot 67^{6} + \left(9 a^{3} + 61 a^{2} + 19 a + 13\right)\cdot 67^{7} + \left(21 a^{3} + 47 a^{2} + 18 a + 9\right)\cdot 67^{8} + \left(33 a^{3} + 55 a^{2} + 25 a + 31\right)\cdot 67^{9} + \left(a^{3} + 2 a^{2} + 21 a + 38\right)\cdot 67^{10} + \left(53 a^{3} + 60 a^{2} + 22 a + 42\right)\cdot 67^{11} + \left(29 a^{3} + 10 a^{2} + 53 a + 10\right)\cdot 67^{12} +O\left(67^{ 13 }\right)$ |
| $r_{ 7 }$ | $=$ | $ 23 a^{3} + 36 a^{2} + 12 a + 37 + \left(42 a^{3} + 18 a^{2} + 62 a + 13\right)\cdot 67 + \left(36 a^{3} + 54 a^{2} + 64 a + 59\right)\cdot 67^{2} + \left(36 a^{3} + 5 a^{2} + 42 a + 62\right)\cdot 67^{3} + \left(17 a^{3} + 50 a^{2} + 27 a + 39\right)\cdot 67^{4} + \left(2 a^{3} + 51 a^{2} + 27 a + 30\right)\cdot 67^{5} + \left(66 a^{3} + 34 a^{2} + 48 a + 66\right)\cdot 67^{6} + \left(16 a^{3} + 19 a^{2} + 29 a + 28\right)\cdot 67^{7} + \left(48 a^{3} + 22 a^{2} + 35 a + 33\right)\cdot 67^{8} + \left(6 a^{3} + 22 a^{2} + 38 a + 26\right)\cdot 67^{9} + \left(13 a^{3} + 10 a^{2} + 55 a + 2\right)\cdot 67^{10} + \left(36 a^{3} + 5 a^{2} + 29 a + 46\right)\cdot 67^{11} + \left(35 a^{3} + 31 a^{2} + 66 a + 22\right)\cdot 67^{12} +O\left(67^{ 13 }\right)$ |
| $r_{ 8 }$ | $=$ | $ 25 a^{3} + 10 a^{2} + 48 a + 14 + \left(46 a^{3} + 65 a^{2} + 44 a + 28\right)\cdot 67 + \left(11 a^{3} + a^{2} + 17 a + 12\right)\cdot 67^{2} + \left(a^{3} + 39 a^{2} + 35 a + 36\right)\cdot 67^{3} + \left(47 a^{3} + 52 a^{2} + 17 a + 37\right)\cdot 67^{4} + \left(65 a^{3} + 30 a^{2} + 53 a + 3\right)\cdot 67^{5} + \left(31 a^{3} + 22 a^{2} + 36 a + 45\right)\cdot 67^{6} + \left(28 a^{3} + 24 a^{2} + 55 a + 44\right)\cdot 67^{7} + \left(56 a^{3} + 43 a^{2} + 66 a + 46\right)\cdot 67^{8} + \left(13 a^{3} + 2 a^{2} + 16 a + 1\right)\cdot 67^{9} + \left(28 a^{3} + 4 a^{2} + 35 a + 53\right)\cdot 67^{10} + \left(49 a^{3} + 63 a^{2} + 32 a + 42\right)\cdot 67^{11} + \left(17 a^{3} + 39 a^{2} + 50 a + 40\right)\cdot 67^{12} +O\left(67^{ 13 }\right)$ |
| $r_{ 9 }$ | $=$ | $ 55 a^{3} + 64 a^{2} + 21 a + 38 + \left(45 a^{3} + 56 a^{2} + 29 a + 6\right)\cdot 67 + \left(30 a^{3} + 57 a^{2} + 12 a\right)\cdot 67^{2} + \left(6 a^{3} + 53 a^{2} + 19 a + 8\right)\cdot 67^{3} + \left(36 a^{3} + 9 a^{2} + 41 a + 27\right)\cdot 67^{4} + \left(37 a^{3} + 28 a^{2} + 26 a + 58\right)\cdot 67^{5} + \left(39 a^{3} + 7 a^{2} + 17 a + 23\right)\cdot 67^{6} + \left(39 a^{3} + 25 a^{2} + 47 a + 62\right)\cdot 67^{7} + \left(18 a^{3} + 4 a^{2} + 22 a + 66\right)\cdot 67^{8} + \left(22 a^{3} + 2 a^{2} + 26 a + 5\right)\cdot 67^{9} + \left(66 a^{3} + 51 a^{2} + 15 a + 43\right)\cdot 67^{10} + \left(5 a^{3} + 48 a^{2} + 9 a + 35\right)\cdot 67^{11} + \left(15 a^{3} + 39 a^{2} + 54 a + 66\right)\cdot 67^{12} +O\left(67^{ 13 }\right)$ |
| $r_{ 10 }$ | $=$ | $ 26 a^{3} + 50 a^{2} + 54 a + 47 + \left(29 a^{3} + 7 a^{2} + 19 a + 48\right)\cdot 67 + \left(24 a^{3} + 60 a^{2} + 22 a + 57\right)\cdot 67^{2} + \left(28 a^{3} + 11 a^{2} + 3 a + 23\right)\cdot 67^{3} + \left(52 a^{3} + 8 a^{2} + 45 a + 45\right)\cdot 67^{4} + \left(61 a^{3} + 20 a^{2} + 40 a + 36\right)\cdot 67^{5} + \left(26 a^{3} + 58 a^{2} + 61 a + 50\right)\cdot 67^{6} + \left(64 a^{3} + 15 a^{2} + 26 a + 58\right)\cdot 67^{7} + \left(17 a^{3} + 44 a^{2} + 29 a + 66\right)\cdot 67^{8} + \left(23 a^{3} + 53 a^{2} + 24 a + 17\right)\cdot 67^{9} + \left(33 a^{3} + 39 a^{2} + 31 a + 2\right)\cdot 67^{10} + \left(42 a^{3} + 48 a^{2} + a + 6\right)\cdot 67^{11} + \left(47 a^{3} + 14 a^{2} + 46 a + 45\right)\cdot 67^{12} +O\left(67^{ 13 }\right)$ |
| $r_{ 11 }$ | $=$ | $ 37 a^{3} + 66 a^{2} + 15 a + 54 + \left(10 a^{3} + 51 a^{2} + 32 a + 65\right)\cdot 67 + \left(35 a^{3} + 31 a^{2} + 36 a + 9\right)\cdot 67^{2} + \left(14 a^{3} + 59 a^{2} + 18 a + 22\right)\cdot 67^{3} + \left(60 a^{3} + 61 a^{2} + 16 a + 6\right)\cdot 67^{4} + \left(4 a^{3} + 28 a^{2} + 46 a + 46\right)\cdot 67^{5} + \left(24 a^{3} + 46 a^{2} + 27 a + 21\right)\cdot 67^{6} + \left(a^{3} + 4 a^{2} + 18 a + 40\right)\cdot 67^{7} + \left(41 a^{3} + 13 a^{2} + 65 a + 38\right)\cdot 67^{8} + \left(26 a^{3} + 48 a^{2} + 12 a + 64\right)\cdot 67^{9} + \left(65 a^{3} + 64 a^{2} + 37 a + 59\right)\cdot 67^{10} + \left(29 a^{3} + 9 a^{2} + 36 a + 47\right)\cdot 67^{11} + \left(11 a^{3} + 65 a^{2} + 37 a + 20\right)\cdot 67^{12} +O\left(67^{ 13 }\right)$ |
| $r_{ 12 }$ | $=$ | $ 37 a^{3} + 34 a^{2} + 45 a + 60 + \left(25 a^{3} + 38 a^{2} + 65 a + 49\right)\cdot 67 + \left(27 a^{3} + 55 a^{2} + 13 a + 24\right)\cdot 67^{2} + \left(41 a^{3} + 55 a^{2} + 8 a + 24\right)\cdot 67^{3} + \left(64 a^{3} + 44 a^{2} + 58 a + 49\right)\cdot 67^{4} + \left(49 a^{3} + 16 a^{2} + 22 a + 46\right)\cdot 67^{5} + \left(53 a^{3} + 66 a^{2} + 65 a + 29\right)\cdot 67^{6} + \left(57 a^{3} + 5 a^{2} + 47 a + 53\right)\cdot 67^{7} + \left(45 a^{3} + 19 a^{2} + 48 a + 57\right)\cdot 67^{8} + \left(33 a^{3} + 11 a^{2} + 41 a + 35\right)\cdot 67^{9} + \left(65 a^{3} + 64 a^{2} + 45 a + 28\right)\cdot 67^{10} + \left(13 a^{3} + 6 a^{2} + 44 a + 24\right)\cdot 67^{11} + \left(37 a^{3} + 56 a^{2} + 13 a + 56\right)\cdot 67^{12} +O\left(67^{ 13 }\right)$ |
Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 12 }$
| Cycle notation |
Character values on conjugacy classes
| Size | Order | Action on $r_1, \ldots, r_{ 12 }$ | Character values | |
| $c1$ | $c2$ | |||
| $1$ | $1$ | $()$ | $3$ | $3$ |
| $1$ | $2$ | $(1,7)(2,8)(3,9)(4,10)(5,11)(6,12)$ | $-3$ | $-3$ |
| $3$ | $2$ | $(2,8)(3,9)(5,11)(6,12)$ | $-1$ | $-1$ |
| $3$ | $2$ | $(2,8)(5,11)$ | $1$ | $1$ |
| $4$ | $3$ | $(1,9,8)(2,7,3)(4,12,11)(5,10,6)$ | $0$ | $0$ |
| $4$ | $3$ | $(1,8,9)(2,3,7)(4,11,12)(5,6,10)$ | $0$ | $0$ |
| $1$ | $4$ | $(1,10,7,4)(2,11,8,5)(3,12,9,6)$ | $-3 \zeta_{4}$ | $3 \zeta_{4}$ |
| $1$ | $4$ | $(1,4,7,10)(2,5,8,11)(3,6,9,12)$ | $3 \zeta_{4}$ | $-3 \zeta_{4}$ |
| $3$ | $4$ | $(1,10,7,4)(2,5,8,11)(3,12,9,6)$ | $-\zeta_{4}$ | $\zeta_{4}$ |
| $3$ | $4$ | $(1,4,7,10)(2,11,8,5)(3,6,9,12)$ | $\zeta_{4}$ | $-\zeta_{4}$ |
| $4$ | $6$ | $(1,2,9,7,8,3)(4,5,12,10,11,6)$ | $0$ | $0$ |
| $4$ | $6$ | $(1,3,8,7,9,2)(4,6,11,10,12,5)$ | $0$ | $0$ |
| $4$ | $12$ | $(1,6,2,4,9,5,7,12,8,10,3,11)$ | $0$ | $0$ |
| $4$ | $12$ | $(1,5,3,4,8,6,7,11,9,10,2,12)$ | $0$ | $0$ |
| $4$ | $12$ | $(1,12,2,10,9,11,7,6,8,4,3,5)$ | $0$ | $0$ |
| $4$ | $12$ | $(1,11,3,10,8,12,7,5,9,4,2,6)$ | $0$ | $0$ |