Basic invariants
Galois action
Roots of defining polynomial
The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 11 }$ to precision 18.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 11 }$: $ x^{3} + 2 x + 9 $
Roots:
| $r_{ 1 }$ |
$=$ |
$ 8 a^{2} + 10 a + 7 + \left(10 a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 11 + \left(9 a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 11^{2} + \left(9 a^{2} + 4 a + 9\right)\cdot 11^{3} + \left(10 a^{2} + a + 10\right)\cdot 11^{4} + \left(8 a^{2} + 7 a\right)\cdot 11^{5} + \left(8 a^{2} + a + 8\right)\cdot 11^{6} + \left(9 a^{2} + 9 a + 5\right)\cdot 11^{7} + \left(6 a^{2} + 7 a + 5\right)\cdot 11^{8} + \left(8 a^{2} + a\right)\cdot 11^{9} + \left(9 a^{2} + 9 a + 2\right)\cdot 11^{10} + \left(7 a^{2} + 6 a + 3\right)\cdot 11^{11} + \left(3 a + 8\right)\cdot 11^{12} + \left(4 a^{2} + 1\right)\cdot 11^{13} + \left(9 a^{2} + 9 a + 5\right)\cdot 11^{14} + \left(5 a^{2} + 6 a\right)\cdot 11^{15} + 8\cdot 11^{16} + \left(2 a^{2} + a + 2\right)\cdot 11^{17} +O\left(11^{ 18 }\right)$ |
| $r_{ 2 }$ |
$=$ |
$ 4 + 2\cdot 11 + 10\cdot 11^{2} + 6\cdot 11^{3} + 9\cdot 11^{4} + 11^{5} + 9\cdot 11^{6} + 11^{7} + 8\cdot 11^{9} + 10\cdot 11^{10} + 3\cdot 11^{11} + 11^{12} + 9\cdot 11^{13} + 7\cdot 11^{14} + 9\cdot 11^{15} + 2\cdot 11^{17} +O\left(11^{ 18 }\right)$ |
| $r_{ 3 }$ |
$=$ |
$ 8 + 2\cdot 11 + 3\cdot 11^{2} + 9\cdot 11^{3} + 10\cdot 11^{4} + 8\cdot 11^{5} + 4\cdot 11^{6} + 10\cdot 11^{7} + 8\cdot 11^{8} + 10\cdot 11^{9} + 9\cdot 11^{10} + 2\cdot 11^{12} + 8\cdot 11^{14} + 2\cdot 11^{15} + 8\cdot 11^{16} + 10\cdot 11^{17} +O\left(11^{ 18 }\right)$ |
| $r_{ 4 }$ |
$=$ |
$ 9 a^{2} + 4 a + 1 + \left(a^{2} + 6\right)\cdot 11 + \left(6 a^{2} + 7 a + 4\right)\cdot 11^{2} + \left(3 a^{2} + 6 a + 8\right)\cdot 11^{3} + \left(3 a^{2} + 8 a\right)\cdot 11^{4} + \left(a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 11^{5} + \left(9 a^{2} + 4 a + 4\right)\cdot 11^{6} + \left(5 a^{2} + 5 a\right)\cdot 11^{7} + \left(3 a + 8\right)\cdot 11^{8} + \left(4 a^{2} + 10 a + 1\right)\cdot 11^{9} + \left(9 a^{2} + 5\right)\cdot 11^{10} + \left(7 a^{2} + 5 a + 10\right)\cdot 11^{11} + \left(4 a^{2} + 8 a + 9\right)\cdot 11^{12} + \left(a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 11^{13} + \left(9 a^{2} + 10 a + 1\right)\cdot 11^{14} + \left(7 a^{2} + 6 a + 3\right)\cdot 11^{15} + \left(2 a^{2} + 7 a + 7\right)\cdot 11^{16} + \left(7 a^{2} + 9\right)\cdot 11^{17} +O\left(11^{ 18 }\right)$ |
| $r_{ 5 }$ |
$=$ |
$ a^{2} + 5 a + 5 + \left(8 a^{2} + 6 a + 3\right)\cdot 11 + \left(6 a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 11^{2} + \left(a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 11^{3} + \left(10 a^{2} + a + 9\right)\cdot 11^{4} + \left(a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 11^{5} + \left(9 a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 11^{6} + \left(6 a^{2} + 9 a + 5\right)\cdot 11^{7} + \left(3 a^{2} + 6 a + 8\right)\cdot 11^{8} + \left(9 a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 11^{9} + \left(10 a^{2} + 5 a + 10\right)\cdot 11^{10} + \left(10 a + 4\right)\cdot 11^{11} + \left(5 a^{2} + 9 a + 10\right)\cdot 11^{12} + \left(2 a^{2} + 6 a + 6\right)\cdot 11^{13} + \left(a^{2} + 9 a + 1\right)\cdot 11^{14} + \left(7 a^{2} + 10 a + 2\right)\cdot 11^{15} + \left(10 a^{2} + a + 3\right)\cdot 11^{16} + \left(5 a + 1\right)\cdot 11^{17} +O\left(11^{ 18 }\right)$ |
| $r_{ 6 }$ |
$=$ |
$ 10 + 5\cdot 11 + 8\cdot 11^{2} + 5\cdot 11^{3} + 11^{4} + 8\cdot 11^{6} + 9\cdot 11^{7} + 11^{8} + 3\cdot 11^{9} + 11^{10} + 6\cdot 11^{11} + 7\cdot 11^{12} + 11^{13} + 6\cdot 11^{14} + 9\cdot 11^{15} + 11^{16} + 9\cdot 11^{17} +O\left(11^{ 18 }\right)$ |
| $r_{ 7 }$ |
$=$ |
$ 5 a^{2} + 8 a + 3 + \left(9 a^{2} + a + 5\right)\cdot 11 + \left(5 a^{2} + 9 a\right)\cdot 11^{2} + \left(8 a^{2} + 10 a + 4\right)\cdot 11^{3} + \left(7 a^{2} + 10\right)\cdot 11^{4} + a\cdot 11^{5} + \left(4 a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 11^{6} + \left(6 a^{2} + 7 a + 4\right)\cdot 11^{7} + \left(3 a^{2} + 10 a + 8\right)\cdot 11^{8} + \left(9 a^{2} + 9 a + 8\right)\cdot 11^{9} + \left(2 a^{2} + 3\right)\cdot 11^{10} + \left(6 a^{2} + 10 a + 8\right)\cdot 11^{11} + \left(5 a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 11^{12} + \left(5 a^{2} + a + 7\right)\cdot 11^{13} + \left(3 a^{2} + 2 a + 4\right)\cdot 11^{14} + \left(8 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 11^{15} + \left(7 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 11^{16} + \left(a^{2} + 9 a + 9\right)\cdot 11^{17} +O\left(11^{ 18 }\right)$ |
| $r_{ 8 }$ |
$=$ |
$ 3 a^{2} + 2 a + 4 + \left(4 a^{2} + 4 a + 9\right)\cdot 11 + \left(a^{2} + 6 a + 1\right)\cdot 11^{2} + \left(9 a^{2} + 1\right)\cdot 11^{3} + \left(9 a^{2} + 10 a + 2\right)\cdot 11^{4} + \left(6 a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 11^{5} + \left(3 a^{2} + 4 a + 4\right)\cdot 11^{6} + \left(8 a^{2} + 7\right)\cdot 11^{7} + \left(9 a^{2} + 7 a + 5\right)\cdot 11^{8} + \left(9 a^{2} + 4 a + 9\right)\cdot 11^{9} + \left(6 a^{2} + a + 1\right)\cdot 11^{10} + \left(4 a^{2} + 9 a + 6\right)\cdot 11^{11} + \left(7 a^{2} + 8 a + 2\right)\cdot 11^{12} + \left(9 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 11^{13} + \left(5 a^{2} + a + 7\right)\cdot 11^{14} + \left(3 a^{2} + 7 a + 4\right)\cdot 11^{15} + \left(3 a^{2} + 9 a + 4\right)\cdot 11^{16} + \left(5 a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 11^{17} +O\left(11^{ 18 }\right)$ |
| $r_{ 9 }$ |
$=$ |
$ 7 a^{2} + 4 a + 2 + \left(9 a^{2} + 9\right)\cdot 11 + \left(2 a^{2} + 2 a + 3\right)\cdot 11^{2} + 4 a\cdot 11^{3} + \left(2 a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 11^{4} + \left(2 a^{2} + a + 2\right)\cdot 11^{5} + \left(9 a^{2} + 9 a + 1\right)\cdot 11^{6} + \left(6 a^{2} + 9\right)\cdot 11^{7} + \left(8 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 11^{8} + \left(2 a^{2} + 3\right)\cdot 11^{9} + \left(4 a^{2} + 4 a + 9\right)\cdot 11^{10} + \left(5 a^{2} + 2 a + 10\right)\cdot 11^{11} + \left(9 a^{2} + 3 a + 8\right)\cdot 11^{12} + \left(9 a^{2} + 7 a + 5\right)\cdot 11^{13} + \left(3 a^{2} + 10 a + 1\right)\cdot 11^{14} + \left(3 a + 4\right)\cdot 11^{15} + \left(8 a^{2} + 10 a + 3\right)\cdot 11^{16} + \left(4 a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 11^{17} +O\left(11^{ 18 }\right)$ |
Generators of the action on the roots
$r_1, \ldots, r_{ 9 }$
| Cycle notation |
| $(1,6,9)(2,5,4)(3,8,7)$ |
| $(1,7,4)(2,6,3)(5,9,8)$ |
| $(2,9)(3,5)(6,8)$ |
| $(2,6,3)(5,8,9)$ |
Character values on conjugacy classes
| Size | Order | Action on
$r_1, \ldots, r_{ 9 }$
| Character values |
| | |
$c1$ |
$c2$ |
| $1$ |
$1$ |
$()$ |
$3$ |
$3$ |
| $9$ |
$2$ |
$(1,5)(4,8)(7,9)$ |
$1$ |
$1$ |
| $1$ |
$3$ |
$(1,7,4)(2,6,3)(5,9,8)$ |
$-3 \zeta_{3} - 3$ |
$3 \zeta_{3}$ |
| $1$ |
$3$ |
$(1,4,7)(2,3,6)(5,8,9)$ |
$3 \zeta_{3}$ |
$-3 \zeta_{3} - 3$ |
| $6$ |
$3$ |
$(1,6,9)(2,5,4)(3,8,7)$ |
$0$ |
$0$ |
| $6$ |
$3$ |
$(1,3,9)(2,8,7)(4,6,5)$ |
$0$ |
$0$ |
| $6$ |
$3$ |
$(1,2,9)(3,5,4)(6,8,7)$ |
$0$ |
$0$ |
| $6$ |
$3$ |
$(2,6,3)(5,8,9)$ |
$0$ |
$0$ |
| $9$ |
$6$ |
$(1,8,7,5,4,9)(2,3,6)$ |
$\zeta_{3}$ |
$-\zeta_{3} - 1$ |
| $9$ |
$6$ |
$(1,9,4,5,7,8)(2,6,3)$ |
$-\zeta_{3} - 1$ |
$\zeta_{3}$ |
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.
