Basic invariants
Galois action
Roots of defining polynomial
The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 67 }$ to precision 18.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 67 }$: $ x^{3} + 6 x + 65 $
Roots:
| $r_{ 1 }$ |
$=$ |
$ 30 a^{2} + 20 a + 53 + \left(15 a^{2} + 50 a + 61\right)\cdot 67 + \left(62 a^{2} + 14 a + 47\right)\cdot 67^{2} + \left(55 a^{2} + 31 a + 22\right)\cdot 67^{3} + \left(51 a^{2} + 23 a + 6\right)\cdot 67^{4} + \left(24 a^{2} + 48 a + 32\right)\cdot 67^{5} + \left(10 a^{2} + 59 a + 41\right)\cdot 67^{6} + \left(26 a^{2} + 58 a + 37\right)\cdot 67^{7} + \left(4 a^{2} + 59 a + 17\right)\cdot 67^{8} + \left(35 a^{2} + 31 a + 6\right)\cdot 67^{9} + \left(28 a^{2} + 55 a + 47\right)\cdot 67^{10} + \left(27 a^{2} + 61 a + 42\right)\cdot 67^{11} + \left(43 a^{2} + 58 a + 39\right)\cdot 67^{12} + \left(54 a^{2} + 53 a + 17\right)\cdot 67^{13} + \left(44 a^{2} + 42 a + 45\right)\cdot 67^{14} + \left(10 a^{2} + 52 a + 42\right)\cdot 67^{15} + \left(60 a^{2} + 37 a + 39\right)\cdot 67^{16} + \left(31 a^{2} + 40 a + 60\right)\cdot 67^{17} +O\left(67^{ 18 }\right)$ |
| $r_{ 2 }$ |
$=$ |
$ 51 + 13\cdot 67 + 45\cdot 67^{2} + 52\cdot 67^{3} + 13\cdot 67^{4} + 18\cdot 67^{5} + 16\cdot 67^{6} + 56\cdot 67^{7} + 12\cdot 67^{8} + 20\cdot 67^{9} + 15\cdot 67^{10} + 26\cdot 67^{11} + 60\cdot 67^{12} + 29\cdot 67^{13} + 27\cdot 67^{14} + 49\cdot 67^{15} + 43\cdot 67^{16} + 64\cdot 67^{17} +O\left(67^{ 18 }\right)$ |
| $r_{ 3 }$ |
$=$ |
$ 35 + 32\cdot 67 + 46\cdot 67^{2} + 14\cdot 67^{3} + 9\cdot 67^{5} + 55\cdot 67^{6} + 41\cdot 67^{7} + 21\cdot 67^{8} + 22\cdot 67^{9} + 15\cdot 67^{10} + 42\cdot 67^{11} + 9\cdot 67^{12} + 17\cdot 67^{13} + 23\cdot 67^{14} + 23\cdot 67^{15} + 27\cdot 67^{16} + 10\cdot 67^{17} +O\left(67^{ 18 }\right)$ |
| $r_{ 4 }$ |
$=$ |
$ 55 a^{2} + 64 a + 19 + \left(35 a^{2} + 42 a + 9\right)\cdot 67 + \left(14 a^{2} + 34 a + 58\right)\cdot 67^{2} + \left(17 a^{2} + 16 a + 1\right)\cdot 67^{3} + \left(32 a^{2} + 49 a + 62\right)\cdot 67^{4} + \left(15 a^{2} + 43 a + 61\right)\cdot 67^{5} + \left(39 a^{2} + 31 a + 22\right)\cdot 67^{6} + \left(36 a^{2} + a + 12\right)\cdot 67^{7} + \left(10 a^{2} + 43 a + 42\right)\cdot 67^{8} + \left(4 a^{2} + 37 a + 16\right)\cdot 67^{9} + \left(62 a^{2} + 50 a + 47\right)\cdot 67^{10} + \left(22 a^{2} + 22 a + 24\right)\cdot 67^{11} + \left(50 a^{2} + 5 a\right)\cdot 67^{12} + \left(54 a^{2} + 57 a + 18\right)\cdot 67^{13} + \left(52 a^{2} + 28 a + 10\right)\cdot 67^{14} + \left(63 a^{2} + a + 54\right)\cdot 67^{15} + \left(58 a^{2} + 34\right)\cdot 67^{16} + \left(56 a^{2} + 26 a + 26\right)\cdot 67^{17} +O\left(67^{ 18 }\right)$ |
| $r_{ 5 }$ |
$=$ |
$ 14 a^{2} + 34 a + 56 + \left(35 a^{2} + 42 a + 6\right)\cdot 67 + \left(33 a^{2} + 17 a\right)\cdot 67^{2} + \left(16 a^{2} + 37 a + 66\right)\cdot 67^{3} + \left(46 a^{2} + 9 a + 50\right)\cdot 67^{4} + \left(41 a^{2} + 17 a + 32\right)\cdot 67^{5} + \left(16 a^{2} + 31 a + 66\right)\cdot 67^{6} + \left(38 a^{2} + 4 a + 18\right)\cdot 67^{7} + \left(53 a^{2} + 3 a + 13\right)\cdot 67^{8} + \left(30 a^{2} + 55 a + 56\right)\cdot 67^{9} + \left(46 a^{2} + 22 a + 51\right)\cdot 67^{10} + \left(66 a^{2} + 59 a + 65\right)\cdot 67^{11} + \left(10 a^{2} + 27 a + 43\right)\cdot 67^{12} + \left(33 a^{2} + 66 a + 65\right)\cdot 67^{13} + \left(49 a^{2} + a + 63\right)\cdot 67^{14} + \left(20 a^{2} + 5 a + 15\right)\cdot 67^{15} + \left(41 a^{2} + 17 a + 31\right)\cdot 67^{16} + \left(59 a^{2} + 14 a + 37\right)\cdot 67^{17} +O\left(67^{ 18 }\right)$ |
| $r_{ 6 }$ |
$=$ |
$ 48 + 20\cdot 67 + 42\cdot 67^{2} + 66\cdot 67^{3} + 52\cdot 67^{4} + 39\cdot 67^{5} + 62\cdot 67^{6} + 35\cdot 67^{7} + 32\cdot 67^{8} + 24\cdot 67^{9} + 36\cdot 67^{10} + 65\cdot 67^{11} + 63\cdot 67^{12} + 19\cdot 67^{13} + 16\cdot 67^{14} + 61\cdot 67^{15} + 62\cdot 67^{16} + 58\cdot 67^{17} +O\left(67^{ 18 }\right)$ |
| $r_{ 7 }$ |
$=$ |
$ 65 a^{2} + 36 a + 59 + \left(62 a^{2} + 48 a + 50\right)\cdot 67 + \left(18 a^{2} + 14 a + 8\right)\cdot 67^{2} + \left(33 a^{2} + 13 a + 66\right)\cdot 67^{3} + \left(55 a^{2} + 8 a + 20\right)\cdot 67^{4} + \left(9 a^{2} + 6 a + 39\right)\cdot 67^{5} + \left(11 a^{2} + 4 a + 44\right)\cdot 67^{6} + \left(59 a^{2} + 61 a + 35\right)\cdot 67^{7} + \left(2 a^{2} + 20 a + 11\right)\cdot 67^{8} + \left(32 a^{2} + 41 a + 61\right)\cdot 67^{9} + \left(25 a^{2} + 60 a + 34\right)\cdot 67^{10} + \left(44 a^{2} + 51 a + 43\right)\cdot 67^{11} + \left(5 a^{2} + 33 a + 22\right)\cdot 67^{12} + \left(46 a^{2} + 10 a + 50\right)\cdot 67^{13} + \left(31 a^{2} + 36 a + 59\right)\cdot 67^{14} + \left(49 a^{2} + 60 a + 63\right)\cdot 67^{15} + \left(33 a^{2} + 49 a\right)\cdot 67^{16} + \left(17 a^{2} + 26 a + 3\right)\cdot 67^{17} +O\left(67^{ 18 }\right)$ |
| $r_{ 8 }$ |
$=$ |
$ 43 a^{2} + 65 a + 38 + \left(45 a^{2} + 15 a + 48\right)\cdot 67 + \left(11 a^{2} + 6 a + 46\right)\cdot 67^{2} + \left(63 a^{2} + 36 a + 51\right)\cdot 67^{3} + \left(19 a^{2} + 64 a + 12\right)\cdot 67^{4} + \left(42 a^{2} + 59 a + 35\right)\cdot 67^{5} + \left(52 a^{2} + 64 a + 9\right)\cdot 67^{6} + \left(44 a^{2} + 49 a + 45\right)\cdot 67^{7} + \left(27 a^{2} + 11 a + 43\right)\cdot 67^{8} + \left(39 a^{2} + 16 a + 23\right)\cdot 67^{9} + \left(60 a^{2} + 16 a + 41\right)\cdot 67^{10} + \left(2 a^{2} + 7 a + 11\right)\cdot 67^{11} + \left(13 a^{2} + 51 a + 52\right)\cdot 67^{12} + \left(7 a^{2} + 5 a + 28\right)\cdot 67^{13} + \left(29 a^{2} + 43 a + 49\right)\cdot 67^{14} + \left(21 a^{2} + 17 a + 18\right)\cdot 67^{15} + \left(66 a^{2} + 45 a + 64\right)\cdot 67^{16} + \left(58 a^{2} + 29 a + 34\right)\cdot 67^{17} +O\left(67^{ 18 }\right)$ |
| $r_{ 9 }$ |
$=$ |
$ 61 a^{2} + 49 a + 43 + \left(5 a^{2} + 23\right)\cdot 67 + \left(60 a^{2} + 46 a + 39\right)\cdot 67^{2} + \left(14 a^{2} + 66 a + 59\right)\cdot 67^{3} + \left(62 a^{2} + 45 a + 47\right)\cdot 67^{4} + \left(66 a^{2} + 25 a + 66\right)\cdot 67^{5} + \left(3 a^{2} + 9 a + 15\right)\cdot 67^{6} + \left(63 a^{2} + 25 a + 51\right)\cdot 67^{7} + \left(34 a^{2} + 62 a + 5\right)\cdot 67^{8} + \left(59 a^{2} + 18 a + 37\right)\cdot 67^{9} + \left(44 a^{2} + 62 a + 45\right)\cdot 67^{10} + \left(36 a^{2} + 64 a + 12\right)\cdot 67^{11} + \left(10 a^{2} + 23 a + 42\right)\cdot 67^{12} + \left(5 a^{2} + 7 a + 20\right)\cdot 67^{13} + \left(60 a^{2} + 48 a + 39\right)\cdot 67^{14} + \left(34 a^{2} + 63 a + 5\right)\cdot 67^{15} + \left(7 a^{2} + 50 a + 30\right)\cdot 67^{16} + \left(43 a^{2} + 63 a + 38\right)\cdot 67^{17} +O\left(67^{ 18 }\right)$ |
Generators of the action on the roots
$r_1, \ldots, r_{ 9 }$
| Cycle notation |
| $(1,8,9)$ |
| $(1,5,9,4,8,7)(2,6,3)$ |
| $(4,7,5)$ |
| $(2,3,6)$ |
| $(1,2)(3,9)(6,8)$ |
Character values on conjugacy classes
| Size | Order | Action on
$r_1, \ldots, r_{ 9 }$
| Character value |
| $1$ | $1$ | $()$ | $3$ |
| $9$ | $2$ | $(1,4)(5,8)(7,9)$ | $-1$ |
| $1$ | $3$ | $(1,9,8)(2,3,6)(4,7,5)$ | $3 \zeta_{3}$ |
| $1$ | $3$ | $(1,8,9)(2,6,3)(4,5,7)$ | $-3 \zeta_{3} - 3$ |
| $3$ | $3$ | $(4,7,5)$ | $\zeta_{3} - 1$ |
| $3$ | $3$ | $(4,5,7)$ | $-\zeta_{3} - 2$ |
| $3$ | $3$ | $(1,8,9)(2,3,6)(4,5,7)$ | $2 \zeta_{3} + 1$ |
| $3$ | $3$ | $(1,9,8)(2,6,3)(4,7,5)$ | $-2 \zeta_{3} - 1$ |
| $3$ | $3$ | $(1,8,9)(4,5,7)$ | $\zeta_{3} + 2$ |
| $3$ | $3$ | $(1,9,8)(4,7,5)$ | $-\zeta_{3} + 1$ |
| $6$ | $3$ | $(1,8,9)(4,7,5)$ | $0$ |
| $18$ | $3$ | $(1,5,3)(2,8,7)(4,6,9)$ | $0$ |
| $9$ | $6$ | $(1,5,9,4,8,7)(2,6,3)$ | $\zeta_{3} + 1$ |
| $9$ | $6$ | $(1,7,8,4,9,5)(2,3,6)$ | $-\zeta_{3}$ |
| $9$ | $6$ | $(1,5,8,7,9,4)(2,6,3)$ | $-1$ |
| $9$ | $6$ | $(1,4,9,7,8,5)(2,3,6)$ | $-1$ |
| $9$ | $6$ | $(1,7)(2,6,3)(4,8)(5,9)$ | $-\zeta_{3}$ |
| $9$ | $6$ | $(1,7)(2,3,6)(4,8)(5,9)$ | $\zeta_{3} + 1$ |
| $9$ | $6$ | $(1,6,8,3,9,2)$ | $\zeta_{3} + 1$ |
| $9$ | $6$ | $(1,2,9,3,8,6)$ | $-\zeta_{3}$ |
| $18$ | $9$ | $(1,5,6,9,4,2,8,7,3)$ | $0$ |
| $18$ | $9$ | $(1,6,4,8,3,5,9,2,7)$ | $0$ |
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.
