Basic invariants
| Dimension: | $3$ |
| Group: | 12T29 |
| Conductor: | $496125= 3^{4} \cdot 5^{3} \cdot 7^{2} $ |
| Artin number field: | Splitting field of $f= x^{12} - 3 x^{11} - 39 x^{10} + 125 x^{9} + 240 x^{8} - 753 x^{7} + 114 x^{6} + 462 x^{5} - 750 x^{4} + 2115 x^{3} - 3129 x^{2} + 1617 x + 251 $ over $\Q$ |
| Size of Galois orbit: | 2 |
| Smallest containing permutation representation: | 12T29 |
| Parity: | Odd |
| Determinant: | 1.5.4t1.1c1 |
Galois action
Roots of defining polynomial
The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 23 }$ to precision 17.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 23 }$: $ x^{4} + 3 x^{2} + 19 x + 5 $
Roots:
| $r_{ 1 }$ | $=$ | $ 20 a^{3} + 22 a^{2} + 11 a + 2 + \left(9 a^{3} + 11 a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 23 + \left(6 a^{3} + 19 a^{2} + 13 a + 17\right)\cdot 23^{2} + \left(17 a^{3} + 15 a^{2} + 22 a + 22\right)\cdot 23^{3} + \left(5 a^{3} + 12 a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 23^{4} + \left(14 a^{3} + 11 a^{2} + 13 a + 13\right)\cdot 23^{5} + \left(22 a^{3} + 5 a^{2} + 21 a + 8\right)\cdot 23^{6} + \left(a^{3} + 19 a^{2} + 19 a + 5\right)\cdot 23^{7} + \left(3 a^{3} + 10 a^{2} + 12 a + 14\right)\cdot 23^{8} + \left(18 a^{3} + 18 a^{2} + 16 a + 21\right)\cdot 23^{9} + \left(6 a^{3} + 13 a^{2} + 21 a + 13\right)\cdot 23^{10} + \left(19 a^{3} + 8 a^{2} + a + 17\right)\cdot 23^{11} + \left(10 a^{3} + 15 a^{2} + 12 a + 10\right)\cdot 23^{12} + \left(9 a^{3} + 21 a^{2} + a + 6\right)\cdot 23^{13} + \left(16 a^{3} + 13 a^{2} + 10 a + 13\right)\cdot 23^{14} + \left(12 a^{3} + 13 a^{2} + 5 a + 17\right)\cdot 23^{15} + \left(7 a^{3} + 22 a^{2} + 8 a + 20\right)\cdot 23^{16} +O\left(23^{ 17 }\right)$ |
| $r_{ 2 }$ | $=$ | $ 21 a^{3} + 19 a^{2} + 18 a + 6 + \left(14 a^{2} + 2 a + 12\right)\cdot 23 + \left(11 a^{3} + 22 a^{2} + 6 a + 1\right)\cdot 23^{2} + \left(4 a^{3} + 7 a^{2} + 11 a + 1\right)\cdot 23^{3} + \left(10 a^{3} + 4 a^{2} + 2 a + 8\right)\cdot 23^{4} + \left(17 a^{3} + 13 a^{2} + 20 a + 15\right)\cdot 23^{5} + \left(18 a^{2} + 6 a + 15\right)\cdot 23^{6} + \left(17 a^{3} + 11 a^{2} + 19 a + 1\right)\cdot 23^{7} + \left(a^{3} + 19 a^{2} + 14 a + 8\right)\cdot 23^{8} + \left(6 a^{3} + 16 a^{2} + 16 a + 8\right)\cdot 23^{9} + \left(5 a^{3} + 8 a^{2} + 14 a + 13\right)\cdot 23^{10} + \left(13 a^{3} + 3 a^{2} + 14 a + 9\right)\cdot 23^{11} + \left(a^{3} + 8 a^{2} + 19 a + 17\right)\cdot 23^{12} + \left(15 a^{2} + 12 a + 6\right)\cdot 23^{13} + \left(14 a^{3} + 12 a^{2} + 19 a + 17\right)\cdot 23^{14} + \left(10 a^{3} + 5 a^{2} + 10 a + 15\right)\cdot 23^{15} + \left(9 a^{3} + 12 a^{2} + 12 a + 3\right)\cdot 23^{16} +O\left(23^{ 17 }\right)$ |
| $r_{ 3 }$ | $=$ | $ 12 a^{3} + a^{2} + 2 a + 6 + \left(10 a^{3} + 11 a^{2} + 18 a + 11\right)\cdot 23 + \left(18 a^{3} + 11 a^{2} + 6 a + 21\right)\cdot 23^{2} + \left(3 a^{3} + 13 a^{2} + 9 a + 16\right)\cdot 23^{3} + \left(14 a^{3} + 18 a^{2} + 4 a + 22\right)\cdot 23^{4} + \left(a^{3} + 6 a^{2} + 19 a + 15\right)\cdot 23^{5} + \left(13 a^{3} + 19 a^{2} + 4 a + 19\right)\cdot 23^{6} + \left(13 a^{3} + 6 a^{2} + 19 a + 13\right)\cdot 23^{7} + \left(22 a^{3} + 15 a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 23^{8} + \left(6 a^{3} + 10 a^{2} + 14 a + 6\right)\cdot 23^{9} + \left(3 a^{3} + 9 a + 13\right)\cdot 23^{10} + \left(19 a^{3} + 12 a^{2} + 4 a + 20\right)\cdot 23^{11} + \left(18 a^{3} + 21 a^{2} + 15 a + 18\right)\cdot 23^{12} + \left(9 a^{3} + 14 a^{2} + 7 a + 12\right)\cdot 23^{13} + \left(3 a^{3} + 18 a^{2} + 19 a + 13\right)\cdot 23^{14} + \left(20 a^{3} + 22 a^{2} + 2 a + 16\right)\cdot 23^{15} + \left(a^{3} + 5 a^{2} + a + 12\right)\cdot 23^{16} +O\left(23^{ 17 }\right)$ |
| $r_{ 4 }$ | $=$ | $ 17 a^{3} + 11 a^{2} + 16 a + 6 + \left(9 a^{3} + 9 a^{2} + 15 a + 9\right)\cdot 23 + \left(19 a^{3} + 7 a^{2} + 20 a\right)\cdot 23^{2} + \left(3 a^{3} + 5 a^{2} + 2 a + 11\right)\cdot 23^{3} + \left(16 a^{3} + a^{2} + 9 a + 19\right)\cdot 23^{4} + \left(15 a^{3} + 22 a^{2} + 14 a + 3\right)\cdot 23^{5} + \left(4 a^{3} + 13 a^{2} + 5 a + 7\right)\cdot 23^{6} + \left(6 a^{3} + 18 a^{2} + a + 1\right)\cdot 23^{7} + \left(11 a^{3} + 21 a^{2} + 18 a + 15\right)\cdot 23^{8} + \left(22 a^{3} + 4 a^{2} + 20 a + 11\right)\cdot 23^{9} + \left(18 a^{3} + a^{2} + 5 a + 13\right)\cdot 23^{10} + \left(20 a^{3} + 3 a^{2} + 13 a + 19\right)\cdot 23^{11} + \left(9 a^{3} + 17 a^{2} + 13 a + 5\right)\cdot 23^{12} + \left(2 a^{3} + 10 a^{2} + 4 a + 16\right)\cdot 23^{13} + \left(10 a^{3} + 20 a^{2} + 4 a + 13\right)\cdot 23^{14} + \left(13 a^{3} + a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 23^{15} + \left(14 a^{3} + 21 a^{2} + 2 a + 15\right)\cdot 23^{16} +O\left(23^{ 17 }\right)$ |
| $r_{ 5 }$ | $=$ | $ 9 a^{3} + 21 a^{2} + 9 a + 22 + \left(9 a^{3} + 8 a^{2} + 2 a + 14\right)\cdot 23 + \left(17 a^{3} + 20 a^{2} + 17 a + 2\right)\cdot 23^{2} + \left(10 a^{3} + 21 a^{2} + 11 a + 2\right)\cdot 23^{3} + \left(19 a^{3} + 7 a^{2} + 22 a + 19\right)\cdot 23^{4} + \left(8 a^{3} + 6 a^{2} + a + 14\right)\cdot 23^{5} + \left(3 a^{3} + 16 a^{2} + 8 a + 3\right)\cdot 23^{6} + \left(15 a^{3} + 12 a^{2} + 10 a + 22\right)\cdot 23^{7} + \left(6 a^{3} + 20 a^{2} + 14 a + 4\right)\cdot 23^{8} + \left(9 a^{3} + 17 a^{2} + 2 a + 21\right)\cdot 23^{9} + \left(5 a^{3} + 6 a^{2} + 22 a\right)\cdot 23^{10} + \left(17 a^{3} + 17 a^{2} + 2 a + 7\right)\cdot 23^{11} + \left(16 a^{3} + 20 a^{2} + 15 a + 5\right)\cdot 23^{12} + \left(13 a^{2} + 22 a + 8\right)\cdot 23^{13} + \left(3 a^{3} + a^{2} + 17 a + 5\right)\cdot 23^{14} + \left(14 a^{3} + 5 a^{2} + 17 a + 19\right)\cdot 23^{15} + \left(15 a^{3} + 13 a^{2} + 4 a\right)\cdot 23^{16} +O\left(23^{ 17 }\right)$ |
| $r_{ 6 }$ | $=$ | $ 4 a^{3} + 5 a^{2} + 17 a + 13 + \left(2 a^{3} + 11 a^{2} + 22 a + 7\right)\cdot 23 + \left(22 a^{3} + 14 a^{2} + 15 a + 20\right)\cdot 23^{2} + \left(3 a^{3} + 2 a^{2} + 13 a + 2\right)\cdot 23^{3} + \left(2 a^{3} + 15 a^{2} + 16 a + 19\right)\cdot 23^{4} + \left(18 a^{3} + 19 a^{2} + 4 a + 22\right)\cdot 23^{5} + \left(5 a^{3} + 14 a^{2} + 3 a + 6\right)\cdot 23^{6} + \left(14 a^{2} + 20 a + 8\right)\cdot 23^{7} + \left(15 a^{3} + 13 a^{2} + 13 a + 4\right)\cdot 23^{8} + \left(12 a + 10\right)\cdot 23^{9} + \left(9 a^{3} + 7 a^{2} + 22 a + 18\right)\cdot 23^{10} + \left(19 a^{3} + 13 a^{2} + 8\right)\cdot 23^{11} + \left(8 a^{3} + 18 a^{2} + 19 a + 4\right)\cdot 23^{12} + \left(12 a^{3} + a^{2} + 2 a + 18\right)\cdot 23^{13} + \left(2 a^{3} + 13 a^{2} + 12 a + 9\right)\cdot 23^{14} + \left(a^{3} + 12 a^{2} + 14 a + 17\right)\cdot 23^{15} + \left(19 a^{3} + 14 a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 23^{16} +O\left(23^{ 17 }\right)$ |
| $r_{ 7 }$ | $=$ | $ 7 a^{3} + 10 a^{2} + 3 a + \left(17 a^{3} + 9 a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 23 + \left(20 a^{3} + 21 a^{2}\right)\cdot 23^{2} + \left(2 a^{3} + a^{2} + 4\right)\cdot 23^{3} + \left(14 a^{3} + 11 a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 23^{4} + \left(12 a^{3} + 18 a^{2} + 18 a + 6\right)\cdot 23^{5} + \left(4 a^{3} + 21 a^{2} + 17 a + 11\right)\cdot 23^{6} + \left(8 a^{3} + 15 a^{2} + 10 a + 8\right)\cdot 23^{7} + \left(20 a^{3} + 2 a^{2} + 6 a + 12\right)\cdot 23^{8} + \left(11 a^{3} + 3 a^{2} + 14 a + 1\right)\cdot 23^{9} + \left(5 a^{3} + 14 a^{2} + 20 a + 2\right)\cdot 23^{10} + \left(3 a^{3} + 8 a^{2} + 11 a + 13\right)\cdot 23^{11} + \left(2 a^{2} + 13 a + 5\right)\cdot 23^{12} + \left(14 a^{3} + 22 a^{2} + 5 a + 14\right)\cdot 23^{13} + \left(14 a^{3} + 21 a^{2} + 9 a + 22\right)\cdot 23^{14} + \left(15 a^{3} + 7 a^{2} + 17 a + 21\right)\cdot 23^{15} + \left(18 a^{3} + 20 a^{2} + 14\right)\cdot 23^{16} +O\left(23^{ 17 }\right)$ |
| $r_{ 8 }$ | $=$ | $ a^{3} + 12 a^{2} + 2 a + 21 + \left(11 a^{3} + 22 a^{2} + 6 a + 12\right)\cdot 23 + \left(18 a^{3} + 17 a^{2} + 8\right)\cdot 23^{2} + \left(18 a^{3} + a^{2} + 17 a\right)\cdot 23^{3} + \left(a^{3} + 22 a^{2} + 12 a + 13\right)\cdot 23^{4} + \left(16 a^{3} + 17 a^{2} + 16 a + 14\right)\cdot 23^{5} + \left(20 a^{3} + 14 a^{2} + 16 a + 6\right)\cdot 23^{6} + \left(20 a^{3} + 11 a^{2} + 2 a + 16\right)\cdot 23^{7} + \left(18 a^{3} + a^{2} + 11 a + 18\right)\cdot 23^{8} + \left(18 a^{3} + 22 a^{2} + 5 a + 13\right)\cdot 23^{9} + \left(6 a^{3} + 17 a^{2} + 12 a + 20\right)\cdot 23^{10} + \left(15 a^{3} + 10 a^{2} + 15 a + 9\right)\cdot 23^{11} + \left(20 a^{3} + 8 a^{2} + 7 a + 2\right)\cdot 23^{12} + \left(14 a^{3} + a^{2} + 4 a + 13\right)\cdot 23^{13} + \left(16 a^{3} + 22 a^{2} + 19 a + 11\right)\cdot 23^{14} + \left(14 a^{3} + 6 a^{2} + 5 a + 7\right)\cdot 23^{15} + \left(4 a^{3} + 17 a^{2} + 13 a + 17\right)\cdot 23^{16} +O\left(23^{ 17 }\right)$ |
| $r_{ 9 }$ | $=$ | $ 16 a^{3} + 4 a^{2} + 15 a + 10 + \left(a^{3} + 8 a^{2} + 19 a + 13\right)\cdot 23 + \left(10 a^{3} + 15 a^{2} + 19 a + 5\right)\cdot 23^{2} + \left(20 a^{3} + 8 a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 23^{3} + \left(15 a^{3} + 10 a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 23^{4} + \left(12 a^{3} + 14 a^{2} + 16 a + 1\right)\cdot 23^{5} + \left(9 a^{3} + 2 a^{2} + 12 a + 2\right)\cdot 23^{6} + \left(13 a^{3} + 8 a^{2} + 10 a + 2\right)\cdot 23^{7} + \left(18 a^{3} + 15 a + 18\right)\cdot 23^{8} + \left(14 a^{3} + 21 a + 9\right)\cdot 23^{9} + \left(7 a^{3} + 22 a + 5\right)\cdot 23^{10} + \left(17 a^{3} + 22 a^{2} + a + 21\right)\cdot 23^{11} + \left(14 a^{3} + 22 a + 21\right)\cdot 23^{12} + \left(3 a^{3} + 17 a^{2} + 19\right)\cdot 23^{13} + \left(12 a^{3} + 20 a + 1\right)\cdot 23^{14} + \left(2 a^{3} + 4 a^{2} + 3 a + 19\right)\cdot 23^{15} + \left(4 a^{3} + 5 a^{2} + a + 8\right)\cdot 23^{16} +O\left(23^{ 17 }\right)$ |
| $r_{ 10 }$ | $=$ | $ 6 a^{3} + 16 a^{2} + 12 + \left(17 a^{3} + 10 a^{2} + 19 a + 20\right)\cdot 23 + \left(18 a^{3} + 13 a^{2} + 9 a + 22\right)\cdot 23^{2} + \left(11 a^{3} + 22 a^{2} + 2 a\right)\cdot 23^{3} + \left(7 a^{3} + 11 a^{2} + 12 a + 10\right)\cdot 23^{4} + \left(14 a^{3} + 7 a^{2} + 11 a + 8\right)\cdot 23^{5} + \left(4 a^{3} + 9 a^{2} + 16 a + 22\right)\cdot 23^{6} + \left(7 a^{3} + 11 a^{2} + 19 a + 21\right)\cdot 23^{7} + \left(a^{3} + 8 a^{2} + 21 a + 19\right)\cdot 23^{8} + \left(21 a^{3} + 15 a^{2} + 6\right)\cdot 23^{9} + \left(8 a^{3} + 22 a^{2} + a + 17\right)\cdot 23^{10} + \left(10 a^{3} + 21 a^{2} + 15 a + 2\right)\cdot 23^{11} + \left(2 a^{3} + 13 a^{2} + 20 a + 4\right)\cdot 23^{12} + \left(22 a^{3} + 16 a^{2} + 19 a + 12\right)\cdot 23^{13} + \left(13 a^{3} + 15 a^{2} + 20 a + 15\right)\cdot 23^{14} + \left(22 a^{3} + 9 a^{2} + 14 a + 14\right)\cdot 23^{15} + \left(15 a^{3} + 7 a^{2} + 8 a + 14\right)\cdot 23^{16} +O\left(23^{ 17 }\right)$ |
| $r_{ 11 }$ | $=$ | $ 9 a^{3} + 8 a^{2} + 18 a + 14 + \left(3 a^{2} + 14 a + 10\right)\cdot 23 + \left(11 a^{3} + 16 a^{2} + 12 a + 14\right)\cdot 23^{2} + \left(12 a^{3} + 19 a^{2} + 3 a + 17\right)\cdot 23^{3} + \left(22 a^{3} + 17 a + 17\right)\cdot 23^{4} + \left(2 a^{3} + 2 a^{2} + 22 a + 16\right)\cdot 23^{5} + \left(16 a^{3} + 17 a + 5\right)\cdot 23^{6} + \left(9 a^{3} + 7 a^{2} + 12 a + 22\right)\cdot 23^{7} + \left(5 a^{3} + 10 a^{2} + 6 a + 17\right)\cdot 23^{8} + \left(17 a^{3} + 5 a^{2} + 2 a\right)\cdot 23^{9} + \left(a^{3} + 14 a^{2} + 12 a + 6\right)\cdot 23^{10} + \left(17 a^{3} + 4 a^{2} + 3 a + 20\right)\cdot 23^{11} + \left(22 a^{3} + 21 a^{2} + 4 a + 10\right)\cdot 23^{12} + \left(17 a^{3} + 5 a^{2} + 16 a + 6\right)\cdot 23^{13} + \left(9 a^{2} + 19 a + 19\right)\cdot 23^{14} + \left(16 a^{3} + 21 a^{2} + 7 a + 1\right)\cdot 23^{15} + \left(6 a^{3} + 22\right)\cdot 23^{16} +O\left(23^{ 17 }\right)$ |
| $r_{ 12 }$ | $=$ | $ 16 a^{3} + 9 a^{2} + 4 a + 6 + \left(a^{3} + 16 a^{2} + 5 a + 14\right)\cdot 23 + \left(10 a^{3} + 3 a^{2} + 15 a + 22\right)\cdot 23^{2} + \left(4 a^{3} + 16 a^{2} + 17 a + 6\right)\cdot 23^{3} + \left(8 a^{3} + 21 a^{2} + 20 a + 11\right)\cdot 23^{4} + \left(3 a^{3} + 20 a^{2} + a + 4\right)\cdot 23^{5} + \left(9 a^{3} + 6 a + 5\right)\cdot 23^{6} + \left(a^{3} + 14 a + 14\right)\cdot 23^{7} + \left(13 a^{3} + 13 a^{2} + 22 a + 21\right)\cdot 23^{8} + \left(13 a^{3} + 22 a^{2} + 9 a + 2\right)\cdot 23^{9} + \left(12 a^{3} + 7 a^{2} + 18 a + 13\right)\cdot 23^{10} + \left(11 a^{3} + 12 a^{2} + 5 a + 10\right)\cdot 23^{11} + \left(10 a^{3} + 12 a^{2} + 21 a + 7\right)\cdot 23^{12} + \left(7 a^{3} + 19 a^{2} + 15 a + 3\right)\cdot 23^{13} + \left(7 a^{3} + 10 a^{2} + 11 a + 17\right)\cdot 23^{14} + \left(17 a^{3} + 3 a^{2} + 5 a + 4\right)\cdot 23^{15} + \left(19 a^{3} + 20 a^{2} + 11 a + 1\right)\cdot 23^{16} +O\left(23^{ 17 }\right)$ |
Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 12 }$
| Cycle notation |
Character values on conjugacy classes
| Size | Order | Action on $r_1, \ldots, r_{ 12 }$ | Character value |
| $1$ | $1$ | $()$ | $3$ |
| $1$ | $2$ | $(1,9)(2,3)(4,12)(5,6)(7,10)(8,11)$ | $-3$ |
| $3$ | $2$ | $(1,9)(2,3)(7,10)(8,11)$ | $-1$ |
| $3$ | $2$ | $(4,12)(5,6)$ | $1$ |
| $4$ | $3$ | $(1,10,5)(2,4,8)(3,12,11)(6,9,7)$ | $0$ |
| $4$ | $3$ | $(1,5,10)(2,8,4)(3,11,12)(6,7,9)$ | $0$ |
| $1$ | $4$ | $(1,8,9,11)(2,7,3,10)(4,6,12,5)$ | $-3 \zeta_{4}$ |
| $1$ | $4$ | $(1,11,9,8)(2,10,3,7)(4,5,12,6)$ | $3 \zeta_{4}$ |
| $3$ | $4$ | $(1,11,9,8)(2,7,3,10)(4,6,12,5)$ | $-\zeta_{4}$ |
| $3$ | $4$ | $(1,8,9,11)(2,10,3,7)(4,5,12,6)$ | $\zeta_{4}$ |
| $4$ | $6$ | $(1,6,10,9,5,7)(2,11,4,3,8,12)$ | $0$ |
| $4$ | $6$ | $(1,7,5,9,10,6)(2,12,8,3,4,11)$ | $0$ |
| $4$ | $12$ | $(1,3,6,8,10,12,9,2,5,11,7,4)$ | $0$ |
| $4$ | $12$ | $(1,12,7,8,5,3,9,4,10,11,6,2)$ | $0$ |
| $4$ | $12$ | $(1,2,6,11,10,4,9,3,5,8,7,12)$ | $0$ |
| $4$ | $12$ | $(1,4,7,11,5,2,9,12,10,8,6,3)$ | $0$ |