Basic invariants
Galois action
Roots of defining polynomial
The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 43 }$ to precision 13.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 43 }$: $ x^{2} + 42 x + 3 $
Roots:
| $r_{ 1 }$ |
$=$ |
$ 33 a + 14 + \left(26 a + 2\right)\cdot 43 + \left(42 a + 14\right)\cdot 43^{2} + \left(38 a + 11\right)\cdot 43^{3} + \left(5 a + 6\right)\cdot 43^{4} + \left(19 a + 12\right)\cdot 43^{5} + 13 a\cdot 43^{6} + \left(5 a + 13\right)\cdot 43^{7} + \left(6 a + 18\right)\cdot 43^{8} + \left(41 a + 15\right)\cdot 43^{9} + \left(22 a + 16\right)\cdot 43^{10} + \left(a + 24\right)\cdot 43^{11} + \left(39 a + 26\right)\cdot 43^{12} +O\left(43^{ 13 }\right)$ |
| $r_{ 2 }$ |
$=$ |
$ 19 + 42\cdot 43 + 37\cdot 43^{2} + 39\cdot 43^{3} + 3\cdot 43^{4} + 43^{5} + 36\cdot 43^{6} + 16\cdot 43^{7} + 2\cdot 43^{8} + 41\cdot 43^{9} + 6\cdot 43^{10} + 29\cdot 43^{11} + 21\cdot 43^{12} +O\left(43^{ 13 }\right)$ |
| $r_{ 3 }$ |
$=$ |
$ 33 a + 39 + \left(26 a + 3\right)\cdot 43 + \left(42 a + 13\right)\cdot 43^{2} + \left(38 a + 35\right)\cdot 43^{3} + \left(5 a + 26\right)\cdot 43^{4} + \left(19 a + 17\right)\cdot 43^{5} + \left(13 a + 5\right)\cdot 43^{6} + \left(5 a + 38\right)\cdot 43^{7} + \left(6 a + 23\right)\cdot 43^{8} + \left(41 a + 35\right)\cdot 43^{9} + \left(22 a + 1\right)\cdot 43^{10} + \left(a + 40\right)\cdot 43^{11} + \left(39 a + 21\right)\cdot 43^{12} +O\left(43^{ 13 }\right)$ |
| $r_{ 4 }$ |
$=$ |
$ 10 a + 29 + \left(16 a + 40\right)\cdot 43 + 28\cdot 43^{2} + \left(4 a + 31\right)\cdot 43^{3} + \left(37 a + 36\right)\cdot 43^{4} + \left(23 a + 30\right)\cdot 43^{5} + \left(29 a + 42\right)\cdot 43^{6} + \left(37 a + 29\right)\cdot 43^{7} + \left(36 a + 24\right)\cdot 43^{8} + \left(a + 27\right)\cdot 43^{9} + \left(20 a + 26\right)\cdot 43^{10} + \left(41 a + 18\right)\cdot 43^{11} + \left(3 a + 16\right)\cdot 43^{12} +O\left(43^{ 13 }\right)$ |
| $r_{ 5 }$ |
$=$ |
$ 24 + 5\cdot 43^{2} + 3\cdot 43^{3} + 39\cdot 43^{4} + 41\cdot 43^{5} + 6\cdot 43^{6} + 26\cdot 43^{7} + 40\cdot 43^{8} + 43^{9} + 36\cdot 43^{10} + 13\cdot 43^{11} + 21\cdot 43^{12} +O\left(43^{ 13 }\right)$ |
| $r_{ 6 }$ |
$=$ |
$ 10 a + 4 + \left(16 a + 39\right)\cdot 43 + 29\cdot 43^{2} + \left(4 a + 7\right)\cdot 43^{3} + \left(37 a + 16\right)\cdot 43^{4} + \left(23 a + 25\right)\cdot 43^{5} + \left(29 a + 37\right)\cdot 43^{6} + \left(37 a + 4\right)\cdot 43^{7} + \left(36 a + 19\right)\cdot 43^{8} + \left(a + 7\right)\cdot 43^{9} + \left(20 a + 41\right)\cdot 43^{10} + \left(41 a + 2\right)\cdot 43^{11} + \left(3 a + 21\right)\cdot 43^{12} +O\left(43^{ 13 }\right)$ |
Generators of the action on the roots
$r_1, \ldots, r_{ 6 }$
| Cycle notation |
| $(1,2)(4,5)$ |
| $(2,5)$ |
| $(1,3,2)(4,6,5)$ |
Character values on conjugacy classes
| Size | Order | Action on
$r_1, \ldots, r_{ 6 }$
| Character values |
| | |
$c1$ |
| $1$ |
$1$ |
$()$ |
$3$ |
| $1$ |
$2$ |
$(1,4)(2,5)(3,6)$ |
$-3$ |
| $3$ |
$2$ |
$(3,6)$ |
$1$ |
| $3$ |
$2$ |
$(2,5)(3,6)$ |
$-1$ |
| $6$ |
$2$ |
$(1,2)(4,5)$ |
$-1$ |
| $6$ |
$2$ |
$(1,2)(3,6)(4,5)$ |
$1$ |
| $8$ |
$3$ |
$(1,3,2)(4,6,5)$ |
$0$ |
| $6$ |
$4$ |
$(2,3,5,6)$ |
$-1$ |
| $6$ |
$4$ |
$(1,4)(2,3,5,6)$ |
$1$ |
| $8$ |
$6$ |
$(1,3,5,4,6,2)$ |
$0$ |
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.
