Basic invariants
Galois action
Roots of defining polynomial
The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 59 }$ to precision 20.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 59 }$: $ x^{3} + 5 x + 57 $
Roots:
| $r_{ 1 }$ |
$=$ |
$ 21 + 49\cdot 59 + 22\cdot 59^{2} + 37\cdot 59^{3} + 32\cdot 59^{4} + 30\cdot 59^{5} + 31\cdot 59^{6} + 32\cdot 59^{7} + 45\cdot 59^{8} + 43\cdot 59^{9} + 26\cdot 59^{10} + 21\cdot 59^{11} + 28\cdot 59^{12} + 5\cdot 59^{13} + 28\cdot 59^{14} + 15\cdot 59^{15} + 24\cdot 59^{16} + 3\cdot 59^{17} + 51\cdot 59^{18} + 13\cdot 59^{19} +O\left(59^{ 20 }\right)$ |
| $r_{ 2 }$ |
$=$ |
$ 20 a^{2} + 39 a + 18 + \left(50 a^{2} + 24 a + 56\right)\cdot 59 + \left(38 a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 59^{2} + \left(29 a^{2} + 6 a + 44\right)\cdot 59^{3} + \left(5 a^{2} + 36 a + 57\right)\cdot 59^{4} + \left(48 a^{2} + a + 14\right)\cdot 59^{5} + \left(31 a^{2} + 50 a + 29\right)\cdot 59^{6} + \left(48 a^{2} + 14 a + 14\right)\cdot 59^{7} + \left(35 a^{2} + 4 a + 15\right)\cdot 59^{8} + \left(45 a^{2} + 45 a + 31\right)\cdot 59^{9} + \left(32 a^{2} + 17 a + 46\right)\cdot 59^{10} + \left(52 a^{2} + 37 a + 5\right)\cdot 59^{11} + \left(51 a^{2} + 56 a + 57\right)\cdot 59^{12} + \left(56 a^{2} + 12 a + 21\right)\cdot 59^{13} + \left(54 a^{2} + 22 a + 1\right)\cdot 59^{14} + \left(27 a^{2} + 53 a + 58\right)\cdot 59^{15} + \left(17 a^{2} + 46 a + 21\right)\cdot 59^{16} + \left(48 a^{2} + 58 a + 45\right)\cdot 59^{17} + \left(34 a^{2} + 12 a + 6\right)\cdot 59^{18} + \left(49 a^{2} + 54 a + 13\right)\cdot 59^{19} +O\left(59^{ 20 }\right)$ |
| $r_{ 3 }$ |
$=$ |
$ 38 a^{2} + 37 a + 19 + \left(13 a^{2} + 20 a + 32\right)\cdot 59 + \left(47 a^{2} + 24 a + 56\right)\cdot 59^{2} + \left(31 a^{2} + 52 a + 11\right)\cdot 59^{3} + \left(46 a^{2} + 41 a + 37\right)\cdot 59^{4} + \left(14 a^{2} + 8 a + 41\right)\cdot 59^{5} + \left(45 a^{2} + 47 a + 34\right)\cdot 59^{6} + \left(44 a^{2} + 19 a + 21\right)\cdot 59^{7} + \left(24 a^{2} + 15 a + 37\right)\cdot 59^{8} + \left(17 a^{2} + 39 a + 35\right)\cdot 59^{9} + \left(36 a^{2} + 20 a + 38\right)\cdot 59^{10} + \left(49 a^{2} + 10 a + 15\right)\cdot 59^{11} + \left(53 a^{2} + 8 a + 24\right)\cdot 59^{12} + \left(58 a^{2} + 39 a + 48\right)\cdot 59^{13} + \left(56 a^{2} + 48 a + 27\right)\cdot 59^{14} + \left(51 a^{2} + 21 a\right)\cdot 59^{15} + \left(43 a^{2} + 39 a + 51\right)\cdot 59^{16} + \left(43 a^{2} + 23 a + 49\right)\cdot 59^{17} + \left(28 a^{2} + 10 a + 25\right)\cdot 59^{18} + \left(11 a^{2} + 17 a + 43\right)\cdot 59^{19} +O\left(59^{ 20 }\right)$ |
| $r_{ 4 }$ |
$=$ |
$ a^{2} + 42 a + 53 + \left(54 a^{2} + 13 a + 48\right)\cdot 59 + \left(31 a^{2} + 30 a + 44\right)\cdot 59^{2} + \left(56 a^{2} + 15\right)\cdot 59^{3} + \left(6 a^{2} + 40 a + 23\right)\cdot 59^{4} + \left(55 a^{2} + 48 a + 38\right)\cdot 59^{5} + \left(40 a^{2} + 20 a\right)\cdot 59^{6} + \left(24 a^{2} + 24 a + 53\right)\cdot 59^{7} + \left(57 a^{2} + 39 a + 47\right)\cdot 59^{8} + \left(54 a^{2} + 33 a + 42\right)\cdot 59^{9} + \left(48 a^{2} + 20 a + 21\right)\cdot 59^{10} + \left(15 a^{2} + 11 a + 1\right)\cdot 59^{11} + \left(12 a^{2} + 53 a + 43\right)\cdot 59^{12} + \left(2 a^{2} + 6 a + 16\right)\cdot 59^{13} + \left(6 a^{2} + 47 a + 15\right)\cdot 59^{14} + \left(38 a^{2} + 42 a + 13\right)\cdot 59^{15} + \left(56 a^{2} + 31 a + 54\right)\cdot 59^{16} + \left(25 a^{2} + 35 a + 29\right)\cdot 59^{17} + \left(54 a^{2} + 35 a + 52\right)\cdot 59^{18} + \left(56 a^{2} + 46 a + 17\right)\cdot 59^{19} +O\left(59^{ 20 }\right)$ |
| $r_{ 5 }$ |
$=$ |
$ 47 a^{2} + 29 a + 28 + \left(52 a^{2} + 31 a + 4\right)\cdot 59 + \left(21 a^{2} + 24 a + 23\right)\cdot 59^{2} + \left(2 a^{2} + 17 a + 1\right)\cdot 59^{3} + \left(54 a^{2} + 39 a + 7\right)\cdot 59^{4} + \left(16 a^{2} + 33 a + 5\right)\cdot 59^{5} + \left(47 a^{2} + 46 a + 20\right)\cdot 59^{6} + \left(27 a^{2} + 48 a + 51\right)\cdot 59^{7} + \left(45 a^{2} + 50 a + 31\right)\cdot 59^{8} + \left(24 a^{2} + 4 a + 52\right)\cdot 59^{9} + \left(31 a^{2} + 32 a + 20\right)\cdot 59^{10} + \left(56 a^{2} + 54 a + 35\right)\cdot 59^{11} + \left(47 a^{2} + 38 a + 40\right)\cdot 59^{12} + \left(49 a^{2} + 14 a + 49\right)\cdot 59^{13} + \left(32 a^{2} + 17 a + 20\right)\cdot 59^{14} + \left(55 a^{2} + 37 a + 43\right)\cdot 59^{15} + \left(37 a^{2} + 33 a + 49\right)\cdot 59^{16} + \left(33 a^{2} + 24 a + 14\right)\cdot 59^{17} + \left(41 a^{2} + 2 a + 3\right)\cdot 59^{18} + \left(19 a^{2} + 7 a + 30\right)\cdot 59^{19} +O\left(59^{ 20 }\right)$ |
| $r_{ 6 }$ |
$=$ |
$ 19 a^{2} + 17 a + 33 + \left(18 a^{2} + 53 a + 7\right)\cdot 59 + \left(29 a^{2} + 23 a + 28\right)\cdot 59^{2} + \left(37 a^{2} + 50 a\right)\cdot 59^{3} + \left(32 a^{2} + 51 a + 34\right)\cdot 59^{4} + \left(40 a^{2} + 46 a + 44\right)\cdot 59^{5} + \left(49 a^{2} + 28 a + 47\right)\cdot 59^{6} + \left(58 a^{2} + 36 a + 36\right)\cdot 59^{7} + \left(54 a^{2} + 7 a + 4\right)\cdot 59^{8} + \left(31 a^{2} + 37\right)\cdot 59^{9} + \left(9 a^{2} + 43 a + 26\right)\cdot 59^{10} + \left(54 a^{2} + 3 a + 27\right)\cdot 59^{11} + \left(57 a^{2} + 11 a + 34\right)\cdot 59^{12} + \left(38 a^{2} + 49 a + 13\right)\cdot 59^{13} + \left(27 a^{2} + 34 a + 23\right)\cdot 59^{14} + \left(32 a^{2} + 32 a + 25\right)\cdot 59^{15} + \left(31 a^{2} + 7 a + 28\right)\cdot 59^{16} + \left(39 a^{2} + 45 a + 34\right)\cdot 59^{17} + \left(9 a^{2} + 26 a + 34\right)\cdot 59^{18} + \left(15 a^{2} + 43 a + 34\right)\cdot 59^{19} +O\left(59^{ 20 }\right)$ |
| $r_{ 7 }$ |
$=$ |
$ 52 a^{2} + 13 a + 25 + \left(46 a^{2} + 33 a + 4\right)\cdot 59 + \left(7 a^{2} + 10 a + 35\right)\cdot 59^{2} + \left(19 a^{2} + 50 a + 37\right)\cdot 59^{3} + \left(31 a^{2} + 26 a + 29\right)\cdot 59^{4} + \left(a^{2} + 37 a + 32\right)\cdot 59^{5} + \left(21 a^{2} + 42 a + 50\right)\cdot 59^{6} + \left(31 a^{2} + 32 a + 23\right)\cdot 59^{7} + \left(17 a^{2} + 17\right)\cdot 59^{8} + \left(2 a^{2} + 54 a + 56\right)\cdot 59^{9} + \left(18 a^{2} + 42 a + 54\right)\cdot 59^{10} + \left(7 a^{2} + 8\right)\cdot 59^{11} + \left(12 a^{2} + 9 a + 39\right)\cdot 59^{12} + \left(29 a^{2} + 54 a\right)\cdot 59^{13} + \left(57 a^{2} + 6 a + 44\right)\cdot 59^{14} + \left(29 a^{2} + 48 a + 36\right)\cdot 59^{15} + \left(48 a^{2} + 17 a + 45\right)\cdot 59^{16} + \left(44 a^{2} + 48 a + 12\right)\cdot 59^{17} + \left(7 a^{2} + 29 a + 28\right)\cdot 59^{18} + \left(24 a^{2} + 8 a + 5\right)\cdot 59^{19} +O\left(59^{ 20 }\right)$ |
| $r_{ 8 }$ |
$=$ |
$ 6 + 28\cdot 59 + 9\cdot 59^{2} + 8\cdot 59^{3} + 56\cdot 59^{4} + 57\cdot 59^{5} + 55\cdot 59^{6} + 27\cdot 59^{7} + 43\cdot 59^{8} + 13\cdot 59^{9} + 57\cdot 59^{10} + 42\cdot 59^{11} + 17\cdot 59^{12} + 13\cdot 59^{13} + 34\cdot 59^{14} + 57\cdot 59^{15} + 23\cdot 59^{16} + 20\cdot 59^{17} + 36\cdot 59^{18} + 41\cdot 59^{19} +O\left(59^{ 20 }\right)$ |
| $r_{ 9 }$ |
$=$ |
$ 37 + 4\cdot 59 + 7\cdot 59^{2} + 20\cdot 59^{3} + 17\cdot 59^{4} + 29\cdot 59^{5} + 24\cdot 59^{6} + 33\cdot 59^{7} + 51\cdot 59^{8} + 40\cdot 59^{9} + 59^{10} + 18\cdot 59^{11} + 10\cdot 59^{12} + 7\cdot 59^{13} + 41\cdot 59^{14} + 44\cdot 59^{15} + 54\cdot 59^{16} + 24\cdot 59^{17} + 56\cdot 59^{18} + 35\cdot 59^{19} +O\left(59^{ 20 }\right)$ |
Generators of the action on the roots
$r_1, \ldots, r_{ 9 }$
| Cycle notation |
| $(2,4,3)$ |
| $(1,2,8,3,9,4)(5,7,6)$ |
| $(1,5,8,7,9,6)(2,3,4)$ |
| $(1,8,9)(2,3,4)(5,6,7)$ |
| $(1,9,8)$ |
Character values on conjugacy classes
| Size | Order | Action on
$r_1, \ldots, r_{ 9 }$
| Character values |
| | |
$c1$ |
$c2$ |
| $1$ |
$1$ |
$()$ |
$3$ |
$3$ |
| $9$ |
$2$ |
$(1,3)(2,9)(4,8)$ |
$-1$ |
$-1$ |
| $1$ |
$3$ |
$(1,8,9)(2,3,4)(5,7,6)$ |
$3 \zeta_{3}$ |
$-3 \zeta_{3} - 3$ |
| $1$ |
$3$ |
$(1,9,8)(2,4,3)(5,6,7)$ |
$-3 \zeta_{3} - 3$ |
$3 \zeta_{3}$ |
| $3$ |
$3$ |
$(1,8,9)(2,3,4)(5,6,7)$ |
$-2 \zeta_{3} - 1$ |
$2 \zeta_{3} + 1$ |
| $3$ |
$3$ |
$(1,9,8)(2,4,3)(5,7,6)$ |
$2 \zeta_{3} + 1$ |
$-2 \zeta_{3} - 1$ |
| $3$ |
$3$ |
$(1,9,8)$ |
$-\zeta_{3} - 2$ |
$\zeta_{3} - 1$ |
| $3$ |
$3$ |
$(1,8,9)$ |
$\zeta_{3} - 1$ |
$-\zeta_{3} - 2$ |
| $3$ |
$3$ |
$(1,8,9)(5,7,6)$ |
$-\zeta_{3} + 1$ |
$\zeta_{3} + 2$ |
| $3$ |
$3$ |
$(1,9,8)(5,6,7)$ |
$\zeta_{3} + 2$ |
$-\zeta_{3} + 1$ |
| $6$ |
$3$ |
$(2,3,4)(5,6,7)$ |
$0$ |
$0$ |
| $18$ |
$3$ |
$(1,6,4)(2,8,5)(3,9,7)$ |
$0$ |
$0$ |
| $9$ |
$6$ |
$(1,2,8,3,9,4)(5,7,6)$ |
$-1$ |
$-1$ |
| $9$ |
$6$ |
$(1,4,9,3,8,2)(5,6,7)$ |
$-1$ |
$-1$ |
| $9$ |
$6$ |
$(1,4)(2,8)(3,9)(5,7,6)$ |
$\zeta_{3} + 1$ |
$-\zeta_{3}$ |
| $9$ |
$6$ |
$(1,4)(2,8)(3,9)(5,6,7)$ |
$-\zeta_{3}$ |
$\zeta_{3} + 1$ |
| $9$ |
$6$ |
$(1,7,8,6,9,5)(2,4,3)$ |
$\zeta_{3} + 1$ |
$-\zeta_{3}$ |
| $9$ |
$6$ |
$(1,5,9,6,8,7)(2,3,4)$ |
$-\zeta_{3}$ |
$\zeta_{3} + 1$ |
| $9$ |
$6$ |
$(1,6,8,5,9,7)$ |
$-\zeta_{3}$ |
$\zeta_{3} + 1$ |
| $9$ |
$6$ |
$(1,7,9,5,8,6)$ |
$\zeta_{3} + 1$ |
$-\zeta_{3}$ |
| $18$ |
$9$ |
$(1,3,6,8,4,5,9,2,7)$ |
$0$ |
$0$ |
| $18$ |
$9$ |
$(1,6,4,9,7,3,8,5,2)$ |
$0$ |
$0$ |
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.
