Basic invariants
Galois action
Roots of defining polynomial
The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 43 }$ to precision 10.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 43 }$: $ x^{2} + 42 x + 3 $
Roots:
| $r_{ 1 }$ |
$=$ |
$ 9 a + 22 + \left(22 a + 25\right)\cdot 43 + \left(32 a + 19\right)\cdot 43^{2} + \left(10 a + 10\right)\cdot 43^{3} + \left(28 a + 40\right)\cdot 43^{4} + \left(24 a + 22\right)\cdot 43^{5} + \left(31 a + 21\right)\cdot 43^{6} + \left(39 a + 34\right)\cdot 43^{7} + \left(12 a + 35\right)\cdot 43^{8} + 27\cdot 43^{9} +O\left(43^{ 10 }\right)$ |
| $r_{ 2 }$ |
$=$ |
$ 23 a + 42 + \left(9 a + 15\right)\cdot 43 + \left(19 a + 40\right)\cdot 43^{2} + \left(8 a + 5\right)\cdot 43^{3} + \left(13 a + 36\right)\cdot 43^{4} + \left(42 a + 22\right)\cdot 43^{5} + \left(39 a + 35\right)\cdot 43^{6} + \left(19 a + 11\right)\cdot 43^{7} + \left(31 a + 35\right)\cdot 43^{8} + \left(10 a + 12\right)\cdot 43^{9} +O\left(43^{ 10 }\right)$ |
| $r_{ 3 }$ |
$=$ |
$ 37 + 37\cdot 43 + 15\cdot 43^{2} + 31\cdot 43^{3} + 12\cdot 43^{4} + 34\cdot 43^{5} + 5\cdot 43^{6} + 14\cdot 43^{7} + 40\cdot 43^{8} + 36\cdot 43^{9} +O\left(43^{ 10 }\right)$ |
| $r_{ 4 }$ |
$=$ |
$ 34 a + 31 + \left(20 a + 38\right)\cdot 43 + \left(10 a + 29\right)\cdot 43^{2} + \left(32 a + 31\right)\cdot 43^{3} + \left(14 a + 14\right)\cdot 43^{4} + \left(18 a + 19\right)\cdot 43^{5} + \left(11 a + 28\right)\cdot 43^{6} + \left(3 a + 42\right)\cdot 43^{7} + \left(30 a + 8\right)\cdot 43^{8} + \left(42 a + 15\right)\cdot 43^{9} +O\left(43^{ 10 }\right)$ |
| $r_{ 5 }$ |
$=$ |
$ 18 + 8\cdot 43 + 16\cdot 43^{2} + 11\cdot 43^{3} + 27\cdot 43^{4} + 20\cdot 43^{5} + 4\cdot 43^{6} + 34\cdot 43^{7} + 4\cdot 43^{8} + 43^{9} +O\left(43^{ 10 }\right)$ |
| $r_{ 6 }$ |
$=$ |
$ 20 a + 22 + \left(33 a + 2\right)\cdot 43 + \left(23 a + 7\right)\cdot 43^{2} + \left(34 a + 38\right)\cdot 43^{3} + \left(29 a + 40\right)\cdot 43^{4} + 8\cdot 43^{5} + \left(3 a + 33\right)\cdot 43^{6} + \left(23 a + 34\right)\cdot 43^{7} + \left(11 a + 3\right)\cdot 43^{8} + \left(32 a + 35\right)\cdot 43^{9} +O\left(43^{ 10 }\right)$ |
Generators of the action on the roots
$r_1, \ldots, r_{ 6 }$
| Cycle notation |
| $(1,2)$ |
| $(1,3,4)(2,5,6)$ |
| $(1,3)(2,5)$ |
Character values on conjugacy classes
| Size | Order | Action on
$r_1, \ldots, r_{ 6 }$
| Character values |
| | |
$c1$ |
| $1$ |
$1$ |
$()$ |
$3$ |
| $1$ |
$2$ |
$(1,2)(3,5)(4,6)$ |
$-3$ |
| $3$ |
$2$ |
$(1,2)(3,5)$ |
$-1$ |
| $3$ |
$2$ |
$(1,2)$ |
$1$ |
| $6$ |
$2$ |
$(1,3)(2,5)$ |
$-1$ |
| $6$ |
$2$ |
$(1,4)(2,6)(3,5)$ |
$1$ |
| $8$ |
$3$ |
$(1,3,4)(2,5,6)$ |
$0$ |
| $6$ |
$4$ |
$(1,3,2,5)$ |
$-1$ |
| $6$ |
$4$ |
$(1,6,2,4)(3,5)$ |
$1$ |
| $8$ |
$6$ |
$(1,5,6,2,3,4)$ |
$0$ |
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.
