Basic invariants
Galois action
Roots of defining polynomial
The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 113 }$ to precision 9.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 113 }$: $ x^{3} + 8 x + 110 $
Roots:
| $r_{ 1 }$ |
$=$ |
$ 34 + 15\cdot 113 + 63\cdot 113^{2} + 98\cdot 113^{3} + 57\cdot 113^{4} + 13\cdot 113^{5} + 20\cdot 113^{6} + 70\cdot 113^{7} + 78\cdot 113^{8} +O\left(113^{ 9 }\right)$ |
| $r_{ 2 }$ |
$=$ |
$ 44 + 38\cdot 113 + 71\cdot 113^{2} + 81\cdot 113^{3} + 102\cdot 113^{4} + 47\cdot 113^{5} + 50\cdot 113^{6} + 103\cdot 113^{7} + 10\cdot 113^{8} +O\left(113^{ 9 }\right)$ |
| $r_{ 3 }$ |
$=$ |
$ 46 + 46\cdot 113 + 112\cdot 113^{2} + 103\cdot 113^{3} + 16\cdot 113^{4} + 42\cdot 113^{5} + 74\cdot 113^{6} + 27\cdot 113^{7} + 72\cdot 113^{8} +O\left(113^{ 9 }\right)$ |
| $r_{ 4 }$ |
$=$ |
$ 5 a^{2} + 27 a + 21 + \left(82 a^{2} + 23 a + 27\right)\cdot 113 + \left(51 a^{2} + 15 a + 96\right)\cdot 113^{2} + \left(59 a^{2} + 74 a + 78\right)\cdot 113^{3} + \left(49 a^{2} + 108 a + 42\right)\cdot 113^{4} + \left(4 a^{2} + 75 a + 7\right)\cdot 113^{5} + \left(a^{2} + 57 a + 11\right)\cdot 113^{6} + \left(18 a^{2} + 34 a + 44\right)\cdot 113^{7} + \left(74 a^{2} + 36 a + 63\right)\cdot 113^{8} +O\left(113^{ 9 }\right)$ |
| $r_{ 5 }$ |
$=$ |
$ 31 a^{2} + 37 a + 9 + \left(91 a^{2} + 90 a + 1\right)\cdot 113 + \left(4 a^{2} + 83 a + 72\right)\cdot 113^{2} + \left(60 a^{2} + 44 a + 6\right)\cdot 113^{3} + \left(64 a^{2} + a + 85\right)\cdot 113^{4} + \left(7 a^{2} + 72 a + 61\right)\cdot 113^{5} + \left(25 a^{2} + 25 a + 101\right)\cdot 113^{6} + \left(31 a^{2} + 64 a + 76\right)\cdot 113^{7} + \left(78 a^{2} + 79 a + 47\right)\cdot 113^{8} +O\left(113^{ 9 }\right)$ |
| $r_{ 6 }$ |
$=$ |
$ 55 a^{2} + 9 a + 107 + \left(30 a^{2} + 72 a + 49\right)\cdot 113 + \left(106 a^{2} + 39 a + 61\right)\cdot 113^{2} + \left(a^{2} + 5 a + 78\right)\cdot 113^{3} + \left(107 a^{2} + 6 a + 92\right)\cdot 113^{4} + \left(50 a^{2} + 35 a + 102\right)\cdot 113^{5} + \left(49 a^{2} + 80 a + 96\right)\cdot 113^{6} + \left(19 a^{2} + 91 a + 50\right)\cdot 113^{7} + \left(47 a^{2} + 37 a + 2\right)\cdot 113^{8} +O\left(113^{ 9 }\right)$ |
| $r_{ 7 }$ |
$=$ |
$ 63 a^{2} + 98 a + 112 + \left(91 a^{2} + 92 a + 111\right)\cdot 113 + \left(13 a^{2} + 60 a + 57\right)\cdot 113^{2} + \left(57 a^{2} + 66 a + 71\right)\cdot 113^{3} + \left(16 a^{2} + 93 a + 99\right)\cdot 113^{4} + \left(76 a^{2} + 108 a + 48\right)\cdot 113^{5} + \left(35 a^{2} + 94 a + 23\right)\cdot 113^{6} + \left(80 a^{2} + 89 a + 74\right)\cdot 113^{7} + \left(72 a^{2} + 51 a + 25\right)\cdot 113^{8} +O\left(113^{ 9 }\right)$ |
| $r_{ 8 }$ |
$=$ |
$ 77 a^{2} + 49 a + 66 + \left(52 a^{2} + 112 a + 96\right)\cdot 113 + \left(56 a^{2} + 13 a + 83\right)\cdot 113^{2} + \left(106 a^{2} + 107 a + 103\right)\cdot 113^{3} + \left(111 a^{2} + 2 a + 111\right)\cdot 113^{4} + \left(100 a^{2} + 78 a + 107\right)\cdot 113^{5} + \left(86 a^{2} + 29 a + 16\right)\cdot 113^{6} + \left(63 a^{2} + 14 a + 62\right)\cdot 113^{7} + \left(73 a^{2} + 110 a + 22\right)\cdot 113^{8} +O\left(113^{ 9 }\right)$ |
| $r_{ 9 }$ |
$=$ |
$ 108 a^{2} + 6 a + 13 + \left(103 a^{2} + 61 a + 65\right)\cdot 113 + \left(105 a^{2} + 12 a + 59\right)\cdot 113^{2} + \left(53 a^{2} + 41 a + 54\right)\cdot 113^{3} + \left(102 a^{2} + 13 a + 68\right)\cdot 113^{4} + \left(98 a^{2} + 82 a + 19\right)\cdot 113^{5} + \left(27 a^{2} + 50 a + 57\right)\cdot 113^{6} + \left(13 a^{2} + 44 a + 55\right)\cdot 113^{7} + \left(106 a^{2} + 23 a + 15\right)\cdot 113^{8} +O\left(113^{ 9 }\right)$ |
Generators of the action on the roots
$r_1, \ldots, r_{ 9 }$
| Cycle notation |
| $(4,7)(5,6)(8,9)$ |
| $(4,5,8)(6,7,9)$ |
| $(1,2,3)(4,8,5)(6,7,9)$ |
| $(1,9,4)(2,6,8)(3,7,5)$ |
Character values on conjugacy classes
| Size | Order | Action on
$r_1, \ldots, r_{ 9 }$
| Character value |
| $1$ | $1$ | $()$ | $3$ |
| $9$ | $2$ | $(1,5)(2,4)(3,8)$ | $-1$ |
| $1$ | $3$ | $(1,2,3)(4,8,5)(6,7,9)$ | $3 \zeta_{3}$ |
| $1$ | $3$ | $(1,3,2)(4,5,8)(6,9,7)$ | $-3 \zeta_{3} - 3$ |
| $6$ | $3$ | $(1,9,4)(2,6,8)(3,7,5)$ | $0$ |
| $6$ | $3$ | $(1,6,4)(2,7,8)(3,9,5)$ | $0$ |
| $6$ | $3$ | $(1,7,4)(2,9,8)(3,6,5)$ | $0$ |
| $6$ | $3$ | $(4,5,8)(6,7,9)$ | $0$ |
| $9$ | $6$ | $(1,8,2,5,3,4)(6,9,7)$ | $\zeta_{3} + 1$ |
| $9$ | $6$ | $(1,4,3,5,2,8)(6,7,9)$ | $-\zeta_{3}$ |
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.
