Basic invariants
Galois action
Roots of defining polynomial
The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 13 }$ to precision 16.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 13 }$: $ x^{5} + 4 x + 11 $
Roots:
| $r_{ 1 }$ |
$=$ |
$ 9 a^{3} + 7 a^{2} + 8 a + 9 + \left(a^{4} + 3 a^{2} + 11 a + 9\right)\cdot 13 + \left(4 a^{4} + 8 a^{3} + 12 a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 13^{2} + \left(4 a^{4} + 5 a^{3} + 5 a^{2} + 11 a + 7\right)\cdot 13^{3} + \left(6 a^{4} + 5 a^{3} + 4 a^{2}\right)\cdot 13^{4} + \left(9 a^{4} + 6 a^{3} + 2 a^{2} + 10 a + 2\right)\cdot 13^{5} + \left(6 a^{4} + 4 a^{3} + 9 a^{2} + 8 a + 9\right)\cdot 13^{6} + \left(4 a^{4} + 2 a^{3} + 4 a^{2} + 10 a + 5\right)\cdot 13^{7} + \left(8 a^{4} + 7 a^{3} + 6 a^{2} + 11 a + 1\right)\cdot 13^{8} + \left(8 a^{4} + 9 a^{3} + 2 a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 13^{9} + \left(5 a^{3} + 2 a^{2} + 2 a + 3\right)\cdot 13^{10} + \left(10 a^{3} + 9 a^{2} + 11 a + 12\right)\cdot 13^{11} + \left(6 a^{4} + 4 a^{3} + 10 a^{2} + 7 a\right)\cdot 13^{12} + \left(10 a^{4} + 6 a^{3} + 12 a^{2} + 9\right)\cdot 13^{13} + \left(2 a^{4} + 3 a^{3} + 8 a^{2} + 6 a + 8\right)\cdot 13^{14} + \left(9 a^{4} + 11 a^{3} + 9 a^{2} + 6 a + 1\right)\cdot 13^{15} +O\left(13^{ 16 }\right)$ |
| $r_{ 2 }$ |
$=$ |
$ 3 a^{4} + 8 a^{3} + 7 a^{2} + 9 a + 4 + \left(3 a^{4} + 3 a^{3} + 11 a^{2} + 11 a + 1\right)\cdot 13 + \left(3 a^{4} + 4 a^{3} + 11 a^{2} + a + 6\right)\cdot 13^{2} + \left(11 a^{4} + 6 a^{2} + 9 a + 11\right)\cdot 13^{3} + \left(10 a^{4} + 11 a^{3} + 4 a^{2} + 10 a + 12\right)\cdot 13^{4} + \left(11 a^{4} + 12 a^{3} + 2 a^{2} + a + 8\right)\cdot 13^{5} + \left(9 a^{4} + 5 a^{3} + 12 a^{2} + 2 a + 7\right)\cdot 13^{6} + \left(7 a^{4} + 12 a^{3} + 12 a^{2} + 7\right)\cdot 13^{7} + \left(4 a^{4} + 7 a^{3} + 6 a^{2} + 7 a + 3\right)\cdot 13^{8} + \left(11 a^{4} + 6 a^{3} + 8 a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 13^{9} + \left(3 a^{4} + 8 a^{3} + 9 a^{2} + 3\right)\cdot 13^{10} + \left(3 a^{4} + 7 a^{3} + 11 a^{2} + 5 a + 6\right)\cdot 13^{11} + \left(3 a^{4} + 5 a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 13^{12} + \left(3 a^{3} + 9 a^{2} + 3 a + 1\right)\cdot 13^{13} + \left(5 a^{4} + 7 a^{3} + 2 a^{2} + 12 a + 11\right)\cdot 13^{14} + \left(10 a^{3} + 5 a^{2} + 3 a + 10\right)\cdot 13^{15} +O\left(13^{ 16 }\right)$ |
| $r_{ 3 }$ |
$=$ |
$ 6 a^{4} + 11 a + 10 + \left(2 a^{4} + 4 a^{3} + 11 a^{2} + 8 a + 11\right)\cdot 13 + \left(10 a^{4} + 11 a^{3} + 8 a^{2} + 2 a + 10\right)\cdot 13^{2} + \left(10 a^{4} + 4 a^{3} + 6 a^{2} + 1\right)\cdot 13^{3} + \left(11 a^{4} + 5 a^{3} + 3 a^{2} + 3 a + 5\right)\cdot 13^{4} + \left(9 a^{4} + 10 a^{3} + 3 a^{2} + 6 a + 3\right)\cdot 13^{5} + \left(2 a^{4} + 9 a^{3} + 5 a^{2} + 2 a + 4\right)\cdot 13^{6} + \left(2 a^{4} + 11 a^{3} + a^{2} + 2 a + 11\right)\cdot 13^{7} + \left(2 a^{3} + a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 13^{8} + \left(7 a^{4} + 12 a^{3} + 4 a^{2} + 11 a + 6\right)\cdot 13^{9} + \left(6 a^{4} + 5 a^{3} + 2 a^{2} + a + 11\right)\cdot 13^{10} + \left(8 a^{4} + 11 a^{3} + 11 a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 13^{11} + \left(5 a^{4} + a^{3} + 5 a^{2} + a + 10\right)\cdot 13^{12} + \left(7 a^{4} + 11 a^{3} + 7 a^{2} + 9 a + 9\right)\cdot 13^{13} + \left(9 a^{3} + 10 a^{2} + 6 a + 6\right)\cdot 13^{14} + \left(11 a^{4} + a^{3} + 2 a^{2} + 3 a + 7\right)\cdot 13^{15} +O\left(13^{ 16 }\right)$ |
| $r_{ 4 }$ |
$=$ |
$ 7 a^{4} + 4 a^{3} + 11 a^{2} + 9 + \left(5 a^{4} + 2 a^{3} + 11 a^{2} + 7 a + 8\right)\cdot 13 + \left(a^{4} + 10 a^{3} + 7 a + 10\right)\cdot 13^{2} + \left(2 a^{4} + 2 a^{3} + 10\right)\cdot 13^{3} + \left(10 a^{4} + 11 a^{3} + 12 a + 2\right)\cdot 13^{4} + \left(4 a^{4} + 3 a^{3} + 9 a^{2} + 10 a + 7\right)\cdot 13^{5} + \left(7 a^{4} + 12 a^{3} + 2 a^{2} + 4 a + 12\right)\cdot 13^{6} + \left(9 a^{4} + 2 a^{3} + 10 a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 13^{7} + \left(5 a^{4} + 11 a^{2} + 2 a + 7\right)\cdot 13^{8} + \left(9 a^{4} + 8 a^{3} + 7 a + 12\right)\cdot 13^{9} + \left(7 a^{4} + 10 a^{3} + a^{2} + 10 a + 2\right)\cdot 13^{10} + \left(11 a^{4} + a^{3} + 6 a^{2} + 12 a + 4\right)\cdot 13^{11} + \left(2 a^{4} + 6 a^{3} + 7 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 13^{12} + \left(10 a^{4} + 6 a^{3} + 9 a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 13^{13} + \left(10 a^{4} + 2 a^{3} + a + 3\right)\cdot 13^{14} + \left(8 a^{4} + 4 a^{3} + 4 a^{2} + 8 a + 9\right)\cdot 13^{15} +O\left(13^{ 16 }\right)$ |
| $r_{ 5 }$ |
$=$ |
$ 4 a^{4} + 8 a^{3} + 9 a^{2} + 3 a + 2 + \left(6 a^{4} + a^{3} + 6 a^{2} + 7 a + 11\right)\cdot 13 + \left(10 a^{4} + 3 a^{3} + 8 a^{2} + 5\right)\cdot 13^{2} + \left(a^{4} + 4 a^{3} + 10 a + 12\right)\cdot 13^{3} + \left(5 a^{4} + 11 a^{3} + 5 a^{2} + 12 a + 4\right)\cdot 13^{4} + \left(8 a^{4} + 11 a^{3} + 12 a + 8\right)\cdot 13^{5} + \left(11 a^{4} + 5 a^{3} + 9 a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 13^{6} + \left(3 a^{4} + a^{2} + 2 a + 10\right)\cdot 13^{7} + \left(8 a^{3} + 3 a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 13^{8} + \left(8 a^{3} + 2 a^{2} + a + 3\right)\cdot 13^{9} + \left(7 a^{4} + 4 a^{3} + 12 a^{2} + 7 a + 3\right)\cdot 13^{10} + \left(a^{3} + 2 a^{2} + 10 a + 5\right)\cdot 13^{11} + \left(7 a^{4} + 11 a^{3} + 7 a^{2} + 9 a + 4\right)\cdot 13^{12} + \left(6 a^{4} + 5 a^{3} + 5 a + 6\right)\cdot 13^{13} + \left(2 a^{4} + 10 a^{3} + 9 a^{2} + a\right)\cdot 13^{14} + \left(6 a^{4} + 12 a^{3} + 3 a^{2} + 3 a + 6\right)\cdot 13^{15} +O\left(13^{ 16 }\right)$ |
| $r_{ 6 }$ |
$=$ |
$ a^{4} + 11 a^{3} + 7 a + 8 + \left(12 a^{4} + 2 a^{3} + 10 a^{2} + 2 a + 3\right)\cdot 13 + \left(3 a^{4} + a^{3} + 3 a^{2} + 6 a + 8\right)\cdot 13^{2} + \left(a^{4} + 7 a^{3} + 8 a^{2} + 12 a + 5\right)\cdot 13^{3} + \left(8 a^{3} + 12 a^{2} + 12 a + 4\right)\cdot 13^{4} + \left(a^{4} + 7 a^{3} + 5 a^{2} + 4 a\right)\cdot 13^{5} + \left(4 a^{4} + 3 a^{3} + 7 a^{2} + 8 a + 2\right)\cdot 13^{6} + \left(12 a^{4} + 6 a^{3} + 2 a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 13^{7} + \left(12 a^{3} + 5 a^{2} + 6 a + 12\right)\cdot 13^{8} + \left(3 a^{4} + 5 a^{3} + 7 a^{2} + 12\right)\cdot 13^{9} + \left(3 a^{4} + 5 a^{3} + 11 a^{2} + 6 a + 11\right)\cdot 13^{10} + \left(2 a^{4} + 8 a^{3} + 3 a^{2} + 9 a + 2\right)\cdot 13^{11} + \left(6 a^{4} + a^{2} + 6 a + 4\right)\cdot 13^{12} + \left(4 a^{4} + 11 a^{3} + 9 a^{2} + 8 a + 2\right)\cdot 13^{13} + \left(3 a^{4} + a^{3} + a + 3\right)\cdot 13^{14} + \left(3 a^{4} + 10 a^{3} + 4 a^{2} + 8 a + 12\right)\cdot 13^{15} +O\left(13^{ 16 }\right)$ |
| $r_{ 7 }$ |
$=$ |
$ 9 a^{4} + 12 a^{3} + 8 a^{2} + a + 4 + \left(12 a^{4} + 9 a^{3} + 10 a^{2} + 10 a\right)\cdot 13 + \left(12 a^{4} + 6 a^{3} + 7 a^{2} + 5 a + 12\right)\cdot 13^{2} + \left(5 a^{4} + 2 a^{3} + 4 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 13^{3} + \left(6 a^{4} + 9 a^{3} + 11 a^{2} + 3 a + 8\right)\cdot 13^{4} + \left(12 a^{4} + 3 a^{3} + 4 a^{2} + 4 a + 11\right)\cdot 13^{5} + \left(10 a^{4} + 11 a^{3} + 6 a^{2} + 7 a + 1\right)\cdot 13^{6} + \left(12 a^{4} + 6 a^{3} + 2 a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 13^{7} + \left(12 a^{4} + 10 a^{3} + 2 a^{2} + 12 a + 11\right)\cdot 13^{8} + \left(3 a^{4} + 5 a^{3} + a^{2} + 7 a + 1\right)\cdot 13^{9} + \left(4 a^{4} + 2 a^{3} + 2 a^{2} + 8 a + 12\right)\cdot 13^{10} + \left(2 a^{4} + 7 a^{3} + 12 a^{2} + 10 a + 3\right)\cdot 13^{11} + \left(7 a^{3} + 12 a + 8\right)\cdot 13^{12} + \left(12 a^{4} + 10 a^{3} + 8 a + 3\right)\cdot 13^{13} + \left(5 a^{3} + 7 a^{2} + 3 a + 5\right)\cdot 13^{14} + \left(12 a^{3} + 11 a^{2} + 7 a + 11\right)\cdot 13^{15} +O\left(13^{ 16 }\right)$ |
| $r_{ 8 }$ |
$=$ |
$ 11 a^{4} + 8 a^{3} + 12 a^{2} + 7 a + 1 + \left(11 a^{4} + 2 a^{3} + 11 a^{2} + 10 a + 8\right)\cdot 13 + \left(6 a^{4} + 7 a^{3} + 9 a + 12\right)\cdot 13^{2} + \left(9 a^{4} + 11 a^{3} + 10 a^{2} + 6 a + 5\right)\cdot 13^{3} + \left(12 a^{4} + 9 a^{3} + 3 a^{2} + 3 a + 8\right)\cdot 13^{4} + \left(12 a^{4} + 2 a^{3} + 8 a^{2} + 8 a + 12\right)\cdot 13^{5} + \left(5 a^{4} + 11 a^{3} + 7 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 13^{6} + \left(5 a^{4} + 3 a^{3} + 11 a^{2} + 11 a\right)\cdot 13^{7} + \left(a^{4} + 10 a^{3} + 11 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 13^{8} + \left(2 a^{4} + 9 a^{3} + 6 a^{2} + 11 a + 4\right)\cdot 13^{9} + \left(4 a^{4} + 9 a^{3} + 4 a^{2} + a + 12\right)\cdot 13^{10} + \left(8 a^{4} + 6 a^{3} + a^{2} + a + 11\right)\cdot 13^{11} + \left(6 a^{4} + 7 a^{3} + 4 a^{2} + 9 a + 10\right)\cdot 13^{12} + \left(4 a^{4} + 12 a^{3} + 10 a^{2} + a + 12\right)\cdot 13^{13} + \left(4 a^{4} + 3 a^{3} + 12 a^{2} + 9 a + 8\right)\cdot 13^{14} + \left(7 a^{4} + a^{3} + 8 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 13^{15} +O\left(13^{ 16 }\right)$ |
| $r_{ 9 }$ |
$=$ |
$ 10 a^{4} + 11 a^{3} + 3 a^{2} + 4 a + 2 + \left(4 a^{4} + 12 a^{3} + 12 a^{2} + 4 a + 6\right)\cdot 13 + \left(12 a^{4} + 2 a^{3} + 11 a^{2} + 7\right)\cdot 13^{2} + \left(6 a^{4} + 10 a^{3} + 4 a^{2} + 11 a + 2\right)\cdot 13^{3} + \left(a^{3} + 9 a^{2}\right)\cdot 13^{4} + \left(12 a^{4} + 2 a^{3} + 9 a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 13^{5} + \left(11 a^{4} + a^{2} + 2\right)\cdot 13^{6} + \left(a^{3} + 2 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 13^{7} + \left(9 a^{4} + 9 a^{3} + 2 a^{2} + 2 a + 11\right)\cdot 13^{8} + \left(6 a^{4} + 9 a^{3} + 8 a^{2} + 11 a + 7\right)\cdot 13^{9} + \left(3 a^{4} + a^{3} + 11 a^{2} + 12 a + 9\right)\cdot 13^{10} + \left(4 a^{4} + a^{3} + a^{2} + 3 a + 12\right)\cdot 13^{11} + \left(6 a^{4} + 3 a^{3} + 2 a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 13^{12} + \left(2 a^{4} + 4 a^{3} + 5 a^{2} + 4 a + 12\right)\cdot 13^{13} + \left(11 a^{4} + 8 a^{3} + 4 a^{2} + 12 a + 6\right)\cdot 13^{14} + \left(5 a^{4} + 8 a^{3} + 3 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 13^{15} +O\left(13^{ 16 }\right)$ |
| $r_{ 10 }$ |
$=$ |
$ a^{4} + 7 a^{3} + 8 a^{2} + 2 a + 7 + \left(5 a^{4} + 11 a^{3} + a^{2} + 4 a + 4\right)\cdot 13 + \left(12 a^{4} + 9 a^{3} + 11 a^{2} + 12 a + 2\right)\cdot 13^{2} + \left(10 a^{4} + 2 a^{3} + 3 a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 13^{3} + \left(4 a^{3} + 10 a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 13^{4} + \left(8 a^{4} + 3 a^{3} + 5 a^{2} + 3 a + 5\right)\cdot 13^{5} + \left(6 a^{4} + 3 a^{2} + 7 a + 11\right)\cdot 13^{6} + \left(5 a^{4} + 4 a^{3} + 2 a^{2} + 8\right)\cdot 13^{7} + \left(8 a^{4} + 9 a^{3} + a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 13^{8} + \left(12 a^{4} + a^{3} + 10 a^{2} + 3 a + 6\right)\cdot 13^{9} + \left(10 a^{4} + 10 a^{3} + 7 a^{2} + 7\right)\cdot 13^{10} + \left(10 a^{4} + 8 a^{3} + 4 a^{2} + 11 a + 2\right)\cdot 13^{11} + \left(7 a^{4} + 8 a^{3} + 6 a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 13^{12} + \left(6 a^{4} + 6 a^{3} + 2 a + 12\right)\cdot 13^{13} + \left(10 a^{4} + 11 a^{3} + 8 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 13^{14} + \left(12 a^{4} + 4 a^{3} + 11 a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 13^{15} +O\left(13^{ 16 }\right)$ |
Generators of the action on the roots
$r_1, \ldots, r_{ 10 }$
| Cycle notation |
| $(1,4)(3,6)(5,7)(9,10)$ |
| $(1,9)(2,7)(3,5)(8,10)$ |
| $(1,4,7)(2,9,6)(3,8,10)$ |
| $(1,8)(2,3)(4,9)(5,6)$ |
| $(1,7)(2,8)(4,5)(9,10)$ |
| $(1,5)(2,8)(3,6)(4,7)$ |
Character values on conjugacy classes
| Size | Order | Action on
$r_1, \ldots, r_{ 10 }$
| Character values |
| | |
$c1$ |
$c2$ |
| $1$ |
$1$ |
$()$ |
$3$ |
$3$ |
| $15$ |
$2$ |
$(1,4)(3,6)(5,7)(9,10)$ |
$-1$ |
$-1$ |
| $20$ |
$3$ |
$(1,6,2)(3,5,8)(4,7,9)$ |
$0$ |
$0$ |
| $12$ |
$5$ |
$(1,10,8,9,4)(2,5,6,3,7)$ |
$-\zeta_{5}^{3} - \zeta_{5}^{2}$ |
$\zeta_{5}^{3} + \zeta_{5}^{2} + 1$ |
| $12$ |
$5$ |
$(1,8,4,10,9)(2,6,7,5,3)$ |
$\zeta_{5}^{3} + \zeta_{5}^{2} + 1$ |
$-\zeta_{5}^{3} - \zeta_{5}^{2}$ |
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.
