Basic invariants
| Dimension: | $2$ |
| Group: | $D_{27}$ |
| Conductor: | \(983\) |
| Frobenius-Schur indicator: | $1$ |
| Root number: | $1$ |
| Artin stem field: | Galois closure of 27.1.800194812883861824535483445924579987063.1 |
| Galois orbit size: | $9$ |
| Smallest permutation container: | $D_{27}$ |
| Parity: | odd |
| Determinant: | 1.983.2t1.a.a |
| Projective image: | $D_{27}$ |
| Projective stem field: | Galois closure of 27.1.800194812883861824535483445924579987063.1 |
Defining polynomial
| $f(x)$ | $=$ |
\( x^{27} - 9 x^{26} + 41 x^{25} - 116 x^{24} + 234 x^{23} - 347 x^{22} + 380 x^{21} - 274 x^{20} + \cdots - 1 \)
|
The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 43 }$ to precision 5.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 43 }$:
\( x^{27} + 3 \)
Roots:
| $r_{ 1 }$ | $=$ |
\( 13 a^{26} + 18 a^{25} + 33 a^{23} + 20 a^{22} + 14 a^{20} + 26 a^{19} + 24 a^{17} + 23 a^{16} + 4 a^{14} + 37 a^{13} + 5 a^{11} + 28 a^{10} + 3 a^{8} + 14 a^{7} + 4 a^{5} + 23 a^{4} + 41 a^{2} + 29 + \left(17 a^{26} + 21 a^{25} + 35 a^{23} + 30 a^{22} + 12 a^{20} + 39 a^{19} + 15 a^{17} + 3 a^{16} + 22 a^{14} + 7 a^{13} + 8 a^{11} + 29 a^{10} + 13 a^{8} + 3 a^{7} + 7 a^{5} + 36 a^{4} + 10 a^{2} + 33 a + 28\right)\cdot 43 + \left(28 a^{26} + 33 a^{25} + 11 a^{23} + 16 a^{22} + 8 a^{20} + 13 a^{19} + 15 a^{17} + 21 a^{16} + 39 a^{14} + 28 a^{13} + 41 a^{11} + 41 a^{10} + 33 a^{8} + 18 a^{5} + 32 a^{4} + 38 a^{2} + 37 a + 28\right)\cdot 43^{2} + \left(2 a^{26} + 41 a^{25} + 24 a^{23} + 22 a^{22} + 29 a^{20} + 20 a^{19} + 13 a^{17} + 11 a^{16} + 6 a^{14} + 15 a^{13} + 32 a^{10} + 27 a^{8} + 19 a^{7} + 10 a^{5} + 26 a^{4} + 17 a^{2} + 20 a + 28\right)\cdot 43^{3} + \left(41 a^{26} + 37 a^{25} + 7 a^{23} + 28 a^{22} + 42 a^{20} + 34 a^{19} + 27 a^{17} + 21 a^{16} + 2 a^{14} + 23 a^{13} + 37 a^{11} + 24 a^{10} + 28 a^{8} + 6 a^{7} + 13 a^{5} + 14 a^{2} + 20 a + 28\right)\cdot 43^{4} +O(43^{5})\)
|
| $r_{ 2 }$ | $=$ |
\( 17 a^{26} + 41 a^{23} + 40 a^{22} + 21 a^{20} + 17 a^{19} + 16 a^{17} + 7 a^{16} + 6 a^{14} + 4 a^{13} + 5 a^{11} + 5 a^{10} + 32 a^{8} + 32 a^{7} + 19 a^{5} + 18 a^{4} + 40 a^{2} + 34 a + 29 + \left(29 a^{25} + 26 a^{23} + 16 a^{22} + 2 a^{20} + 5 a^{19} + 30 a^{17} + a^{16} + 21 a^{14} + 36 a^{13} + 3 a^{11} + 23 a^{10} + 12 a^{8} + 3 a^{7} + 40 a^{5} + 36 a^{4} + 38 a^{2} + 11 a + 28\right)\cdot 43 + \left(7 a^{26} + 40 a^{25} + 14 a^{23} + 35 a^{22} + 10 a^{20} + 21 a^{19} + 31 a^{17} + 22 a^{16} + 10 a^{14} + 35 a^{13} + 20 a^{11} + 16 a^{10} + 42 a^{8} + 24 a^{7} + 5 a^{5} + 40 a^{4} + 41 a^{2} + 9 a + 28\right)\cdot 43^{2} + \left(8 a^{26} + 25 a^{25} + 39 a^{23} + 36 a^{22} + 36 a^{20} + 7 a^{19} + 30 a^{17} + 5 a^{16} + 17 a^{14} + 12 a^{13} + 10 a^{11} + a^{10} + 17 a^{8} + 26 a^{7} + 22 a^{5} + 24 a^{4} + 33 a^{2} + 35 a + 28\right)\cdot 43^{3} + \left(24 a^{26} + 28 a^{25} + 34 a^{23} + 42 a^{22} + 5 a^{20} + 21 a^{19} + 2 a^{17} + 7 a^{16} + 12 a^{14} + 38 a^{13} + 8 a^{11} + 30 a^{10} + 3 a^{8} + 7 a^{7} + 21 a^{5} + 29 a^{4} + 32 a^{2} + 9 a + 28\right)\cdot 43^{4} +O(43^{5})\)
|
| $r_{ 3 }$ | $=$ |
\( 9 a^{26} + 11 a^{25} + 32 a^{23} + 33 a^{22} + 13 a^{20} + 4 a^{19} + 10 a^{17} + 27 a^{16} + 31 a^{14} + 38 a^{11} + 11 a^{10} + 18 a^{8} + 18 a^{7} + 36 a^{5} + 32 a^{4} + 26 a^{2} + 39 a + 29 + \left(14 a^{26} + 15 a^{25} + 30 a^{23} + 19 a^{22} + 39 a^{20} + 6 a^{19} + 12 a^{17} + 7 a^{16} + 3 a^{14} + 18 a^{13} + 34 a^{11} + 8 a^{10} + 23 a^{8} + 4 a^{7} + a^{5} + a^{4} + 6 a^{2} + 13 a + 28\right)\cdot 43 + \left(37 a^{26} + 25 a^{25} + 10 a^{23} + 21 a^{22} + 14 a^{20} + 38 a^{19} + 30 a^{17} + 2 a^{16} + 29 a^{13} + 19 a^{11} + 41 a^{10} + 41 a^{8} + a^{7} + 26 a^{5} + 7 a^{4} + 21 a^{2} + 8 a + 28\right)\cdot 43^{2} + \left(31 a^{26} + 39 a^{25} + 40 a^{23} + 27 a^{22} + 5 a^{20} + 35 a^{19} + 30 a^{17} + 40 a^{16} + 33 a^{14} + 28 a^{13} + 33 a^{11} + 22 a^{10} + 15 a^{8} + 12 a^{7} + 16 a^{5} + 19 a^{4} + 6 a^{2} + 4 a + 28\right)\cdot 43^{3} + \left(2 a^{26} + 5 a^{25} + 40 a^{23} + 9 a^{22} + 36 a^{20} + 14 a^{19} + 40 a^{17} + 40 a^{16} + 26 a^{14} + 42 a^{13} + 6 a^{11} + 39 a^{10} + 28 a^{8} + 12 a^{7} + 7 a^{5} + 34 a^{4} + 32 a^{2} + 7 a + 28\right)\cdot 43^{4} +O(43^{5})\)
|
| $r_{ 4 }$ | $=$ |
\( 28 a^{26} + 38 a^{25} + 11 a^{23} + 32 a^{22} + 17 a^{20} + 42 a^{19} + 23 a^{17} + 25 a^{16} + 18 a^{14} + 35 a^{13} + 13 a^{11} + 16 a^{8} + 8 a^{7} + 10 a^{5} + 19 a^{4} + 20 a^{2} + 12 a + 29 + \left(15 a^{26} + 3 a^{25} + 23 a^{23} + 33 a^{22} + 21 a^{20} + 30 a^{19} + 23 a^{17} + 39 a^{16} + 39 a^{14} + 4 a^{13} + 31 a^{11} + 28 a^{10} + 9 a^{8} + 37 a^{7} + 32 a^{5} + 11 a^{4} + a^{2} + 5 a + 28\right)\cdot 43 + \left(3 a^{26} + 8 a^{25} + a^{23} + 36 a^{22} + 13 a^{20} + 21 a^{19} + 27 a^{17} + 27 a^{16} + 2 a^{14} + 21 a^{13} + a^{11} + 4 a^{10} + 8 a^{8} + 20 a^{7} + 37 a^{5} + a^{4} + 7 a^{2} + 34 a + 28\right)\cdot 43^{2} + \left(25 a^{26} + 9 a^{25} + 6 a^{23} + 36 a^{22} + a^{20} + 15 a^{19} + 13 a^{17} + 38 a^{16} + 42 a^{14} + 16 a^{13} + 25 a^{11} + 3 a^{10} + 14 a^{8} + 30 a^{7} + 11 a^{5} + 18 a^{4} + 4 a^{2} + 27 a + 28\right)\cdot 43^{3} + \left(13 a^{26} + 3 a^{25} + 36 a^{23} + 6 a^{22} + a^{20} + 3 a^{19} + 15 a^{17} + 16 a^{16} + 30 a^{14} + 42 a^{13} + 27 a^{11} + 14 a^{10} + 9 a^{8} + 16 a^{7} + 42 a^{5} + 24 a^{4} + 42 a^{2} + 32 a + 28\right)\cdot 43^{4} +O(43^{5})\)
|
| $r_{ 5 }$ | $=$ |
\( 12 a^{26} + 34 a^{25} + 20 a^{23} + 36 a^{22} + 4 a^{20} + 29 a^{19} + 40 a^{17} + 8 a^{16} + 38 a^{14} + 33 a^{13} + 41 a^{11} + 8 a^{10} + 25 a^{8} + 15 a^{5} + 38 a^{4} + 20 a^{2} + 31 a + 29 + \left(26 a^{26} + 35 a^{25} + 13 a^{23} + 19 a^{22} + 2 a^{20} + 17 a^{19} + 4 a^{17} + 11 a^{16} + 35 a^{14} + 8 a^{13} + 25 a^{11} + 18 a^{10} + 19 a^{8} + 32 a^{7} + 18 a^{5} + 6 a^{4} + 24 a^{2} + 28 a + 28\right)\cdot 43 + \left(29 a^{26} + 23 a^{25} + 24 a^{22} + 30 a^{20} + 29 a^{19} + 2 a^{17} + 5 a^{16} + 9 a^{14} + 12 a^{13} + 10 a^{11} + 18 a^{10} + 40 a^{8} + 42 a^{7} + 14 a^{5} + 32 a^{4} + 39 a^{2} + 30 a + 28\right)\cdot 43^{2} + \left(18 a^{26} + 13 a^{25} + a^{23} + 31 a^{22} + 32 a^{20} + 8 a^{19} + 35 a^{17} + 3 a^{16} + 41 a^{14} + 7 a^{13} + 6 a^{11} + 33 a^{10} + 7 a^{8} + 25 a^{7} + 15 a^{5} + 38 a^{4} + 13 a^{2} + 30 a + 28\right)\cdot 43^{3} + \left(26 a^{26} + 6 a^{23} + 34 a^{22} + 42 a^{20} + 16 a^{19} + 3 a^{17} + 14 a^{16} + 22 a^{14} + 26 a^{13} + 29 a^{11} + 7 a^{10} + 34 a^{8} + 18 a^{7} + 30 a^{5} + 17 a^{4} + 34 a^{2} + 20 a + 28\right)\cdot 43^{4} +O(43^{5})\)
|
| $r_{ 6 }$ | $=$ |
\( 39 a^{26} + 39 a^{25} + 13 a^{23} + 37 a^{20} + 38 a^{19} + 6 a^{17} + 26 a^{16} + 37 a^{14} + 30 a^{13} + 9 a^{11} + 37 a^{10} + 21 a^{8} + 24 a^{7} + 13 a^{5} + 12 a^{4} + 23 a^{2} + 25 a + 29 + \left(24 a^{26} + 12 a^{25} + 17 a^{23} + 33 a^{22} + 24 a^{20} + 30 a^{19} + 15 a^{16} + 21 a^{14} + 26 a^{13} + 42 a^{11} + 25 a^{10} + 18 a^{8} + 8 a^{7} + 35 a^{5} + 38 a^{4} + 41 a^{2} + 30 a + 28\right)\cdot 43 + \left(14 a^{26} + 25 a^{25} + 2 a^{23} + 31 a^{22} + 34 a^{20} + 32 a^{19} + 24 a^{17} + 33 a^{16} + 12 a^{14} + 29 a^{13} + 38 a^{11} + 15 a^{10} + 3 a^{8} + 15 a^{7} + 38 a^{5} + 8 a^{4} + 21 a^{2} + 41 a + 28\right)\cdot 43^{2} + \left(28 a^{26} + 36 a^{25} + 17 a^{23} + 38 a^{22} + 41 a^{20} + 38 a^{19} + 12 a^{17} + 8 a^{16} + 6 a^{14} + 24 a^{13} + 33 a^{11} + 42 a^{10} + 13 a^{8} + 7 a^{7} + a^{5} + 22 a^{4} + 30 a^{2} + 19 a + 28\right)\cdot 43^{3} + \left(31 a^{26} + 4 a^{25} + 13 a^{22} + a^{20} + 25 a^{19} + 33 a^{17} + 25 a^{16} + 5 a^{14} + 12 a^{11} + 10 a^{10} + 10 a^{8} + 30 a^{7} + 4 a^{5} + 13 a^{4} + 26 a^{2} + 17 a + 28\right)\cdot 43^{4} +O(43^{5})\)
|
| $r_{ 7 }$ | $=$ |
\( 6 a^{26} + 17 a^{25} + 6 a^{23} + 14 a^{22} + 2 a^{20} + 33 a^{17} + 2 a^{16} + 6 a^{14} + 42 a^{13} + 25 a^{11} + 18 a^{10} + a^{8} + 36 a^{7} + 2 a^{5} + 39 a^{4} + 9 a^{2} + 26 a + 29 + \left(41 a^{26} + 38 a^{25} + 28 a^{23} + 8 a^{22} + 25 a^{20} + 42 a^{19} + 30 a^{17} + 36 a^{16} + 27 a^{14} + 40 a^{13} + 14 a^{11} + 14 a^{10} + 38 a^{8} + 37 a^{7} + 38 a^{5} + a^{4} + 10 a^{2} + 39 a + 28\right)\cdot 43 + \left(9 a^{26} + 18 a^{25} + 32 a^{23} + 21 a^{22} + 13 a^{20} + 14 a^{19} + 36 a^{17} + 31 a^{16} + 8 a^{14} + 23 a^{13} + 34 a^{11} + 15 a^{10} + 6 a^{8} + 24 a^{7} + 23 a^{5} + 21 a^{4} + 27 a^{2} + 29 a + 28\right)\cdot 43^{2} + \left(10 a^{26} + 30 a^{25} + 41 a^{23} + 17 a^{22} + 30 a^{20} + 27 a^{19} + 27 a^{17} + 36 a^{16} + 16 a^{14} + 6 a^{13} + 31 a^{11} + 37 a^{8} + 34 a^{7} + 26 a^{5} + 20 a^{4} + a^{2} + 20 a + 28\right)\cdot 43^{3} + \left(20 a^{26} + 33 a^{22} + 21 a^{20} + 7 a^{19} + 34 a^{17} + 10 a^{16} + 29 a^{14} + 9 a^{13} + 9 a^{11} + 23 a^{10} + 29 a^{8} + 40 a^{7} + 32 a^{5} + 12 a^{4} + 11 a^{2} + 29 a + 28\right)\cdot 43^{4} +O(43^{5})\)
|
| $r_{ 8 }$ | $=$ |
\( 4 a^{26} + 2 a^{25} + 9 a^{23} + 39 a^{22} + 2 a^{20} + 12 a^{19} + 8 a^{17} + 7 a^{14} + 41 a^{13} + 16 a^{11} + 25 a^{10} + 41 a^{8} + 39 a^{7} + 9 a^{5} + 17 a^{4} + 35 a^{2} + 20 a + 29 + \left(18 a^{26} + 8 a^{25} + 24 a^{23} + 2 a^{22} + 23 a^{20} + 17 a^{19} + 24 a^{17} + 8 a^{16} + 26 a^{14} + 23 a^{13} + 9 a^{11} + 36 a^{10} + 15 a^{8} + 37 a^{7} + 2 a^{4} + 38 a^{2} + 18 a + 28\right)\cdot 43 + \left(5 a^{26} + 8 a^{25} + a^{23} + 25 a^{22} + 28 a^{19} + 38 a^{17} + 10 a^{16} + 27 a^{14} + 29 a^{13} + 40 a^{11} + 17 a^{10} + 29 a^{8} + 34 a^{7} + 26 a^{5} + 23 a^{4} + 13 a^{2} + 30 a + 28\right)\cdot 43^{2} + \left(2 a^{26} + 22 a^{25} + 18 a^{23} + 31 a^{22} + 13 a^{20} + 31 a^{19} + 11 a^{17} + 19 a^{16} + 3 a^{14} + 23 a^{13} + 18 a^{11} + 36 a^{10} + 23 a^{8} + 40 a^{7} + 29 a^{5} + 34 a^{4} + 22 a^{2} + 25 a + 28\right)\cdot 43^{3} + \left(29 a^{26} + 5 a^{25} + 37 a^{23} + 34 a^{22} + 4 a^{20} + 42 a^{19} + 4 a^{17} + 23 a^{16} + 27 a^{14} + 13 a^{13} + 34 a^{11} + 10 a^{10} + 30 a^{8} + 23 a^{7} + 38 a^{5} + 13 a^{4} + 37 a^{2} + 40 a + 28\right)\cdot 43^{4} +O(43^{5})\)
|
| $r_{ 9 }$ | $=$ |
\( 24 a^{26} + 28 a^{25} + 25 a^{23} + 12 a^{22} + 41 a^{20} + 34 a^{19} + 26 a^{17} + 6 a^{16} + 11 a^{14} + 22 a^{13} + 19 a^{11} + 16 a^{10} + 4 a^{8} + 3 a^{7} + 28 a^{5} + 36 a^{2} + a + 29 + \left(a^{26} + 23 a^{25} + 20 a^{23} + 38 a^{22} + 17 a^{20} + 24 a^{19} + 9 a^{17} + 7 a^{16} + 22 a^{14} + 31 a^{13} + 33 a^{11} + 25 a^{10} + 32 a^{8} + 25 a^{7} + 24 a^{5} + 12 a^{4} + 9 a^{2} + 25 a + 28\right)\cdot 43 + \left(18 a^{26} + 37 a^{25} + 35 a^{23} + 37 a^{22} + 19 a^{20} + 32 a^{19} + 6 a^{17} + 28 a^{16} + 13 a^{14} + 29 a^{13} + 28 a^{11} + 30 a^{10} + 27 a^{8} + 41 a^{7} + 21 a^{5} + 15 a^{4} + 12 a^{2} + 4 a + 28\right)\cdot 43^{2} + \left(21 a^{26} + 18 a^{25} + 28 a^{23} + 32 a^{22} + 3 a^{20} + 39 a^{19} + 8 a^{17} + 24 a^{16} + 14 a^{14} + 30 a^{13} + 38 a^{11} + 17 a^{10} + 4 a^{8} + 31 a^{7} + 29 a^{5} + 8 a^{4} + 6 a^{2} + 11 a + 28\right)\cdot 43^{3} + \left(38 a^{26} + 16 a^{25} + 41 a^{23} + 34 a^{22} + 19 a^{20} + 4 a^{19} + 6 a^{17} + 41 a^{16} + 8 a^{14} + 32 a^{13} + 42 a^{11} + 27 a^{10} + 38 a^{8} + 8 a^{7} + 42 a^{5} + 4 a^{4} + 17 a^{2} + 7 a + 28\right)\cdot 43^{4} +O(43^{5})\)
|
| $r_{ 10 }$ | $=$ |
\( 38 a^{26} + 22 a^{25} + 27 a^{23} + 34 a^{22} + 31 a^{20} + 27 a^{19} + 4 a^{17} + 9 a^{16} + 15 a^{14} + 7 a^{13} + 8 a^{11} + 39 a^{10} + 22 a^{8} + 41 a^{7} + 15 a^{5} + 9 a^{4} + 14 a^{2} + 29 + \left(8 a^{26} + 34 a^{25} + 36 a^{23} + 25 a^{22} + 10 a^{20} + 20 a^{19} + 2 a^{17} + 6 a^{16} + 14 a^{14} + 21 a^{13} + 36 a^{11} + 26 a^{10} + 24 a^{8} + 8 a^{7} + 33 a^{5} + 32 a^{4} + 32 a^{2} + 26 a + 28\right)\cdot 43 + \left(28 a^{26} + 27 a^{25} + 34 a^{23} + 3 a^{22} + 14 a^{20} + 9 a^{19} + 22 a^{17} + 12 a^{16} + 40 a^{14} + 19 a^{13} + 41 a^{11} + 12 a^{10} + 12 a^{8} + 18 a^{7} + 39 a^{5} + 10 a^{4} + 8 a^{2} + 25 a + 28\right)\cdot 43^{2} + \left(37 a^{26} + 30 a^{25} + 4 a^{23} + 40 a^{22} + 24 a^{20} + 17 a^{19} + 10 a^{17} + a^{16} + 10 a^{14} + a^{13} + 11 a^{11} + 14 a^{10} + 39 a^{8} + 11 a^{7} + 14 a^{5} + 7 a^{2} + 30 a + 28\right)\cdot 43^{3} + \left(27 a^{26} + 17 a^{25} + 11 a^{23} + 20 a^{22} + 6 a^{20} + 11 a^{19} + 35 a^{17} + 29 a^{16} + 6 a^{14} + 3 a^{13} + 28 a^{11} + 35 a^{10} + 37 a^{8} + 40 a^{7} + 11 a^{5} + 14 a^{4} + 42 a^{2} + 24 a + 28\right)\cdot 43^{4} +O(43^{5})\)
|
| $r_{ 11 }$ | $=$ |
\( 10 a^{26} + 14 a^{23} + 25 a^{22} + 25 a^{20} + 16 a^{19} + 17 a^{17} + 42 a^{16} + a^{14} + 24 a^{13} + 8 a^{11} + 30 a^{10} + 34 a^{8} + 20 a^{7} + 39 a^{5} + 22 a^{4} + 21 a^{2} + 32 a + 29 + \left(38 a^{26} + 2 a^{25} + 6 a^{23} + 2 a^{22} + 20 a^{20} + 34 a^{19} + 33 a^{17} + 22 a^{16} + 41 a^{14} + 4 a^{13} + 28 a^{11} + 2 a^{10} + 15 a^{8} + 3 a^{7} + 35 a^{5} + 38 a^{4} + 41 a^{2} + 31 a + 28\right)\cdot 43 + \left(18 a^{26} + 40 a^{25} + 33 a^{23} + 29 a^{22} + 28 a^{20} + 8 a^{19} + 35 a^{17} + 38 a^{16} + 23 a^{14} + 16 a^{13} + 10 a^{11} + 6 a^{10} + 40 a^{8} + 27 a^{7} + a^{5} + 7 a^{4} + 23 a^{2} + 24 a + 28\right)\cdot 43^{2} + \left(18 a^{26} + 41 a^{25} + 4 a^{23} + 36 a^{22} + 25 a^{20} + 9 a^{19} + 32 a^{17} + 31 a^{16} + 9 a^{14} + 19 a^{13} + a^{11} + 5 a^{10} + 38 a^{8} + 5 a^{7} + 8 a^{5} + 12 a^{4} + 23 a^{2} + 15 a + 28\right)\cdot 43^{3} + \left(18 a^{26} + 32 a^{25} + 38 a^{23} + 8 a^{22} + 7 a^{20} + 23 a^{19} + 32 a^{17} + 38 a^{16} + 22 a^{14} + 19 a^{11} + 8 a^{10} + 26 a^{8} + 10 a^{7} + 18 a^{5} + 3 a^{4} + 27 a^{2} + 33 a + 28\right)\cdot 43^{4} +O(43^{5})\)
|
| $r_{ 12 }$ | $=$ |
\( 23 a^{26} + 23 a^{25} + 34 a^{23} + 26 a^{22} + 38 a^{20} + 24 a^{19} + 16 a^{17} + 33 a^{16} + 41 a^{14} + 35 a^{11} + 23 a^{10} + 3 a^{8} + 22 a^{7} + 6 a^{5} + 20 a^{4} + 33 a^{2} + 19 a + 29 + \left(33 a^{26} + 24 a^{25} + 18 a^{23} + 3 a^{22} + 26 a^{20} + 39 a^{19} + 14 a^{17} + 33 a^{16} + 25 a^{14} + 22 a^{13} + 6 a^{11} + 25 a^{10} + 16 a^{8} + 18 a^{7} + 3 a^{5} + 34 a^{4} + 41 a^{2} + 37 a + 28\right)\cdot 43 + \left(10 a^{26} + 36 a^{25} + 11 a^{23} + 42 a^{22} + 41 a^{20} + 28 a^{19} + 21 a^{17} + 19 a^{16} + 6 a^{14} + 39 a^{13} + 4 a^{11} + 29 a^{10} + 31 a^{8} + 3 a^{7} + 12 a^{5} + 30 a^{4} + 25 a^{2} + 6 a + 28\right)\cdot 43^{2} + \left(26 a^{26} + 42 a^{25} + 42 a^{23} + 19 a^{22} + 24 a^{20} + 37 a^{19} + 22 a^{17} + 11 a^{16} + 6 a^{14} + 4 a^{13} + 13 a^{11} + 38 a^{10} + 21 a^{8} + 25 a^{7} + 5 a^{5} + 7 a^{4} + 27 a^{2} + 32 a + 28\right)\cdot 43^{3} + \left(28 a^{26} + 35 a^{25} + 18 a^{23} + 7 a^{22} + 33 a^{20} + a^{19} + 21 a^{17} + 37 a^{16} + 18 a^{14} + 21 a^{13} + 11 a^{11} + 34 a^{10} + 29 a^{8} + 31 a^{7} + 3 a^{5} + 6 a^{4} + 33 a^{2} + 19 a + 28\right)\cdot 43^{4} +O(43^{5})\)
|
| $r_{ 13 }$ | $=$ |
\( 19 a^{26} + 13 a^{25} + 9 a^{23} + 20 a^{22} + 10 a^{20} + 37 a^{19} + 11 a^{17} + 21 a^{16} + 3 a^{14} + 38 a^{13} + 38 a^{11} + 17 a^{8} + 5 a^{7} + 16 a^{5} + 28 a^{4} + 32 a^{2} + 29 a + 29 + \left(41 a^{26} + 30 a^{25} + 33 a^{23} + 11 a^{22} + 20 a^{20} + 23 a^{19} + 22 a^{17} + 30 a^{16} + 33 a^{14} + 22 a^{13} + 39 a^{11} + 39 a^{10} + 8 a^{8} + 14 a^{7} + 3 a^{5} + 7 a^{4} + 17 a^{2} + 40 a + 28\right)\cdot 43 + \left(30 a^{26} + 12 a^{23} + 18 a^{22} + 11 a^{20} + 16 a^{19} + 35 a^{17} + 31 a^{16} + 31 a^{14} + 12 a^{13} + 10 a^{11} + 5 a^{10} + 33 a^{8} + 34 a^{7} + 40 a^{5} + 39 a^{4} + 15 a^{2} + 35 a + 28\right)\cdot 43^{2} + \left(19 a^{26} + 24 a^{25} + 20 a^{23} + 37 a^{22} + 33 a^{20} + 12 a^{19} + 7 a^{16} + 8 a^{14} + 18 a^{13} + 36 a^{11} + 31 a^{10} + 11 a^{8} + 39 a^{7} + 20 a^{5} + 42 a^{4} + 3 a^{2} + 17 a + 28\right)\cdot 43^{3} + \left(29 a^{26} + 29 a^{25} + 31 a^{23} + 29 a^{22} + 42 a^{20} + 20 a^{19} + 9 a^{17} + 38 a^{16} + 9 a^{14} + 7 a^{13} + 28 a^{11} + 26 a^{10} + 41 a^{8} + 7 a^{7} + 14 a^{5} + 22 a^{4} + 22 a^{2} + 39 a + 28\right)\cdot 43^{4} +O(43^{5})\)
|
| $r_{ 14 }$ | $=$ |
\( 2 a^{26} + 32 a^{25} + 32 a^{23} + a^{22} + 15 a^{20} + 2 a^{19} + 21 a^{17} + 5 a^{16} + 35 a^{14} + 26 a^{13} + 14 a^{11} + 5 a^{10} + 40 a^{8} + 24 a^{5} + 13 a^{4} + 32 a^{2} + 14 a + 29 + \left(22 a^{26} + 3 a^{25} + 19 a^{23} + 17 a^{22} + 25 a^{20} + 31 a^{19} + 21 a^{17} + 30 a^{16} + 42 a^{14} + 23 a^{13} + 13 a^{11} + 29 a^{10} + 26 a^{8} + 20 a^{7} + 21 a^{5} + 5 a^{4} + 28 a^{2} + 34 a + 28\right)\cdot 43 + \left(42 a^{26} + a^{25} + 10 a^{23} + 30 a^{22} + 35 a^{20} + 34 a^{19} + 5 a^{17} + 28 a^{16} + 40 a^{14} + 10 a^{13} + 8 a^{11} + 37 a^{10} + 39 a^{8} + 22 a^{7} + 12 a^{5} + 29 a^{4} + 17 a^{2} + 12 a + 28\right)\cdot 43^{2} + \left(3 a^{26} + 24 a^{25} + 31 a^{23} + 38 a^{22} + 29 a^{20} + 6 a^{17} + 10 a^{16} + 11 a^{14} + 40 a^{13} + 21 a^{10} + 28 a^{8} + 35 a^{7} + 3 a^{5} + 17 a^{4} + 38 a^{2} + 30 a + 28\right)\cdot 43^{3} + \left(20 a^{26} + 8 a^{25} + 20 a^{23} + 25 a^{22} + 40 a^{20} + 24 a^{19} + 25 a^{17} + 42 a^{16} + 14 a^{14} + 19 a^{13} + 18 a^{11} + 19 a^{10} + 19 a^{8} + 34 a^{7} + 13 a^{5} + a^{4} + 38 a^{2} + 40 a + 28\right)\cdot 43^{4} +O(43^{5})\)
|
| $r_{ 15 }$ | $=$ |
\( 28 a^{26} + 19 a^{25} + 38 a^{23} + 42 a^{20} + 13 a^{19} + a^{17} + 27 a^{16} + 42 a^{14} + 8 a^{13} + 23 a^{11} + 7 a^{10} + 25 a^{8} + 15 a^{7} + 38 a^{5} + 29 a^{4} + 11 a^{2} + 21 a + 29 + \left(31 a^{25} + 8 a^{23} + 26 a^{22} + 23 a^{20} + 20 a^{19} + 16 a^{17} + 5 a^{16} + a^{14} + 32 a^{13} + 9 a^{11} + 37 a^{8} + 26 a^{7} + 11 a^{5} + 23 a^{4} + 25 a^{2} + 19 a + 28\right)\cdot 43 + \left(8 a^{26} + 32 a^{25} + 38 a^{23} + 32 a^{22} + 34 a^{20} + 7 a^{19} + 20 a^{17} + 22 a^{16} + 30 a^{14} + 7 a^{13} + 21 a^{11} + 22 a^{10} + 19 a^{8} + 31 a^{7} + 6 a^{5} + 27 a^{4} + 39 a^{2} + 32 a + 28\right)\cdot 43^{2} + \left(35 a^{26} + 37 a^{25} + 20 a^{23} + 25 a^{22} + 13 a^{20} + 38 a^{19} + 17 a^{17} + 28 a^{16} + 12 a^{14} + 30 a^{13} + 12 a^{11} + 27 a^{10} + 32 a^{8} + 23 a^{7} + 20 a^{5} + 3 a^{4} + 16 a + 28\right)\cdot 43^{3} + \left(25 a^{26} + 25 a^{25} + 4 a^{23} + 36 a^{22} + 18 a^{20} + 28 a^{19} + 34 a^{17} + 41 a^{16} + 40 a^{14} + 8 a^{13} + 19 a^{11} + 33 a^{10} + 34 a^{8} + 29 a^{7} + 29 a^{5} + 12 a^{4} + 23 a^{2} + 34 a + 28\right)\cdot 43^{4} +O(43^{5})\)
|
| $r_{ 16 }$ | $=$ |
\( a^{26} + 16 a^{25} + a^{23} + 41 a^{22} + 29 a^{20} + 27 a^{17} + 12 a^{16} + a^{14} + 37 a^{13} + 40 a^{11} + 22 a^{10} + 36 a^{8} + a^{7} + 29 a^{5} + 19 a^{4} + 23 a^{2} + 27 a + 29 + \left(30 a^{26} + 17 a^{25} + 35 a^{23} + 38 a^{22} + 16 a^{20} + 37 a^{19} + 28 a^{17} + 24 a^{16} + 42 a^{14} + 40 a^{13} + 18 a^{11} + 35 a^{10} + a^{8} + 39 a^{7} + 11 a^{5} + 8 a^{4} + 18 a^{2} + 20 a + 28\right)\cdot 43 + \left(12 a^{26} + 9 a^{25} + 24 a^{23} + 8 a^{22} + 31 a^{20} + 13 a^{19} + 25 a^{17} + 40 a^{16} + 10 a^{14} + 15 a^{13} + 32 a^{11} + 31 a^{10} + 12 a^{8} + 24 a^{7} + 3 a^{5} + 31 a^{4} + 41 a^{2} + 19 a + 28\right)\cdot 43^{2} + \left(17 a^{26} + 22 a^{25} + 12 a^{23} + 15 a^{22} + 5 a^{20} + 38 a^{19} + 22 a^{17} + 28 a^{16} + 13 a^{14} + 40 a^{13} + 24 a^{11} + 2 a^{10} + 10 a^{8} + 7 a^{7} + 17 a^{5} + 32 a^{4} + 40 a^{2} + 31 a + 28\right)\cdot 43^{3} + \left(26 a^{26} + 10 a^{25} + 30 a^{23} + 40 a^{22} + a^{20} + 34 a^{19} + 10 a^{17} + 6 a^{16} + 11 a^{14} + 19 a^{13} + 10 a^{11} + 15 a^{10} + 19 a^{8} + 6 a^{7} + 7 a^{5} + 38 a^{4} + 33 a^{2} + 23 a + 28\right)\cdot 43^{4} +O(43^{5})\)
|
| $r_{ 17 }$ | $=$ |
\( 15 a^{26} + 12 a^{25} + 23 a^{23} + 19 a^{22} + 29 a^{20} + 29 a^{19} + 30 a^{17} + 37 a^{14} + 31 a^{13} + 17 a^{11} + 21 a^{10} + 14 a^{8} + 19 a^{7} + 23 a^{5} + 16 a^{4} + 13 a^{2} + 34 a + 29 + \left(42 a^{26} + 28 a^{25} + 6 a^{23} + 14 a^{22} + 30 a^{20} + 26 a^{19} + 39 a^{17} + 5 a^{16} + 15 a^{14} + 34 a^{13} + 8 a^{11} + 12 a^{10} + 40 a^{8} + 9 a^{7} + 2 a^{5} + 16 a^{4} + 35 a^{2} + 39 a + 28\right)\cdot 43 + \left(23 a^{26} + 6 a^{25} + 17 a^{23} + 2 a^{22} + 16 a^{20} + 10 a^{19} + 34 a^{17} + 24 a^{16} + 21 a^{14} + 28 a^{13} + 24 a^{11} + a^{10} + 34 a^{8} + 12 a^{7} + 36 a^{5} + 7 a^{4} + 12 a^{2} + 33 a + 28\right)\cdot 43^{2} + \left(37 a^{26} + 33 a^{25} + 5 a^{23} + 35 a^{22} + 34 a^{20} + 25 a^{19} + 10 a^{17} + 36 a^{16} + 29 a^{14} + 42 a^{13} + 40 a^{11} + 38 a^{10} + 40 a^{8} + 12 a^{7} + 22 a^{5} + 9 a^{4} + 23 a^{2} + 38 a + 28\right)\cdot 43^{3} + \left(32 a^{26} + 21 a^{23} + 30 a^{22} + 26 a^{20} + a^{19} + 41 a^{17} + 16 a^{16} + 42 a^{14} + 35 a^{11} + 24 a^{10} + 2 a^{8} + 13 a^{7} + 19 a^{5} + 23 a^{4} + 33 a^{2} + 13 a + 28\right)\cdot 43^{4} +O(43^{5})\)
|
| $r_{ 18 }$ | $=$ |
\( 4 a^{26} + 39 a^{25} + 40 a^{23} + 29 a^{22} + 14 a^{20} + 32 a^{19} + 33 a^{17} + 36 a^{16} + 9 a^{14} + 3 a^{13} + 39 a^{11} + 10 a^{10} + 15 a^{8} + 18 a^{7} + 19 a^{5} + 6 a^{2} + 6 a + 29 + \left(14 a^{26} + 33 a^{25} + 19 a^{23} + 23 a^{22} + 26 a^{20} + 23 a^{19} + 20 a^{17} + 25 a^{16} + 40 a^{14} + 12 a^{13} + 41 a^{11} + 35 a^{10} + 30 a^{8} + 34 a^{7} + 21 a^{5} + 29 a^{4} + 33 a^{2} + 11 a + 28\right)\cdot 43 + \left(35 a^{26} + 4 a^{25} + 41 a^{23} + 29 a^{22} + 38 a^{20} + 34 a^{19} + 31 a^{17} + 39 a^{16} + 4 a^{14} + 23 a^{13} + 29 a^{11} + 18 a^{10} + 7 a^{8} + 12 a^{7} + 36 a^{5} + 14 a^{4} + 16 a^{2} + 11 a + 28\right)\cdot 43^{2} + \left(31 a^{26} + 29 a^{25} + 28 a^{23} + 35 a^{22} + a^{20} + 13 a^{19} + 24 a^{17} + 4 a^{16} + 15 a^{14} + 23 a^{13} + 38 a^{11} + 32 a^{10} + 20 a^{8} + 17 a^{7} + 42 a^{5} + 39 a^{4} + 2 a^{2} + 2 a + 28\right)\cdot 43^{3} + \left(36 a^{26} + a^{25} + 33 a^{23} + 24 a^{22} + 26 a^{20} + 42 a^{19} + 19 a^{17} + 8 a^{16} + 17 a^{14} + 4 a^{13} + 11 a^{11} + 25 a^{10} + 36 a^{8} + 21 a^{7} + 13 a^{5} + 22 a^{4} + 4 a^{2} + 4 a + 28\right)\cdot 43^{4} +O(43^{5})\)
|
| $r_{ 19 }$ | $=$ |
\( 35 a^{26} + 3 a^{25} + 26 a^{23} + 32 a^{22} + 41 a^{20} + 33 a^{19} + 15 a^{17} + 11 a^{16} + 24 a^{14} + 42 a^{13} + 30 a^{11} + 19 a^{10} + 18 a^{8} + 31 a^{7} + 24 a^{5} + 11 a^{4} + 31 a^{2} + 29 + \left(16 a^{26} + 30 a^{25} + 13 a^{23} + 29 a^{22} + 19 a^{20} + 25 a^{19} + 25 a^{17} + 33 a^{16} + 6 a^{14} + 13 a^{13} + 41 a^{11} + 29 a^{10} + 5 a^{8} + 30 a^{7} + 2 a^{5} + 17 a^{4} + 42 a^{2} + 27 a + 28\right)\cdot 43 + \left(29 a^{26} + 24 a^{25} + 39 a^{23} + 22 a^{22} + 20 a^{20} + 19 a^{19} + 5 a^{17} + 9 a^{16} + 6 a^{14} + 38 a^{13} + 2 a^{11} + 31 a^{10} + 40 a^{8} + 24 a^{7} + 28 a^{5} + 42 a^{4} + 38 a^{2} + 22 a + 28\right)\cdot 43^{2} + \left(2 a^{26} + 13 a^{25} + 13 a^{23} + 23 a^{22} + 32 a^{20} + 5 a^{19} + 19 a^{17} + 30 a^{16} + 25 a^{14} + 25 a^{13} + 30 a^{11} + 38 a^{10} + 18 a^{8} + 12 a^{7} + 17 a^{5} + 15 a^{4} + 17 a^{2} + 34 a + 28\right)\cdot 43^{3} + \left(17 a^{26} + 30 a^{25} + 24 a^{23} + 36 a^{22} + 36 a^{20} + 40 a^{19} + 23 a^{17} + 35 a^{16} + 34 a^{14} + 16 a^{13} + 20 a^{11} + 25 a^{10} + 19 a^{8} + 39 a^{7} + 18 a^{5} + 28 a^{4} + 29 a^{2} + 40 a + 28\right)\cdot 43^{4} +O(43^{5})\)
|
| $r_{ 20 }$ | $=$ |
\( 16 a^{26} + 31 a^{23} + 21 a^{22} + 40 a^{20} + 10 a^{19} + 10 a^{17} + 37 a^{16} + 36 a^{14} + 15 a^{13} + 30 a^{11} + 8 a^{10} + 20 a^{8} + 34 a^{7} + 28 a^{5} + 3 a^{4} + 25 a^{2} + 20 a + 29 + \left(4 a^{26} + 12 a^{25} + 9 a^{23} + 23 a^{22} + 19 a^{20} + 3 a^{19} + 22 a^{17} + 18 a^{16} + 23 a^{14} + 2 a^{13} + 11 a^{11} + 17 a^{10} + 14 a^{8} + 35 a^{7} + 9 a^{5} + 11 a^{4} + 5 a^{2} + 42 a + 28\right)\cdot 43 + \left(17 a^{26} + 5 a^{25} + 38 a^{23} + 21 a^{22} + 4 a^{20} + 13 a^{19} + 18 a^{17} + 25 a^{16} + 8 a^{14} + 34 a^{13} + 12 a^{11} + 20 a^{10} + 3 a^{8} + 34 a^{7} + 35 a^{5} + 37 a^{4} + 20 a^{2} + 8 a + 28\right)\cdot 43^{2} + \left(16 a^{26} + 18 a^{25} + 41 a^{23} + 12 a^{22} + 24 a^{20} + 26 a^{19} + 22 a^{17} + 5 a^{16} + 16 a^{14} + 10 a^{13} + 31 a^{11} + 36 a^{10} + 29 a^{8} + 10 a^{7} + 12 a^{5} + 5 a^{4} + 28 a^{2} + 35 a + 28\right)\cdot 43^{3} + \left(24 a^{25} + 12 a^{23} + 34 a^{22} + 29 a^{20} + 41 a^{19} + 7 a^{17} + 40 a^{16} + 8 a^{14} + 4 a^{13} + 15 a^{11} + 4 a^{10} + 12 a^{8} + 25 a^{7} + 3 a^{5} + 10 a^{4} + 25 a^{2} + 42 a + 28\right)\cdot 43^{4} +O(43^{5})\)
|
| $r_{ 21 }$ | $=$ |
\( 11 a^{26} + 9 a^{25} + 20 a^{23} + 27 a^{22} + 35 a^{20} + 15 a^{19} + 17 a^{17} + 26 a^{16} + 14 a^{14} + 13 a^{11} + 9 a^{10} + 22 a^{8} + 3 a^{7} + a^{5} + 34 a^{4} + 27 a^{2} + 28 a + 29 + \left(38 a^{26} + 3 a^{25} + 36 a^{23} + 19 a^{22} + 19 a^{20} + 40 a^{19} + 16 a^{17} + a^{16} + 13 a^{14} + 3 a^{13} + a^{11} + 9 a^{10} + 3 a^{8} + 20 a^{7} + 38 a^{5} + 6 a^{4} + 37 a^{2} + 34 a + 28\right)\cdot 43 + \left(37 a^{26} + 24 a^{25} + 20 a^{23} + 22 a^{22} + 29 a^{20} + 18 a^{19} + 34 a^{17} + 21 a^{16} + 36 a^{14} + 17 a^{13} + 19 a^{11} + 15 a^{10} + 13 a^{8} + 38 a^{7} + 4 a^{5} + 5 a^{4} + 38 a^{2} + 27 a + 28\right)\cdot 43^{2} + \left(27 a^{26} + 3 a^{25} + 3 a^{23} + 38 a^{22} + 12 a^{20} + 12 a^{19} + 32 a^{17} + 34 a^{16} + 3 a^{14} + 9 a^{13} + 39 a^{11} + 24 a^{10} + 5 a^{8} + 5 a^{7} + 21 a^{5} + 16 a^{4} + 8 a^{2} + 6 a + 28\right)\cdot 43^{3} + \left(11 a^{26} + a^{25} + 26 a^{23} + 25 a^{22} + 16 a^{20} + 26 a^{19} + 23 a^{17} + 7 a^{16} + 41 a^{14} + 22 a^{13} + 24 a^{11} + 11 a^{10} + 28 a^{8} + 42 a^{7} + 32 a^{5} + 2 a^{4} + 20 a^{2} + 16 a + 28\right)\cdot 43^{4} +O(43^{5})\)
|
| $r_{ 22 }$ | $=$ |
\( 39 a^{26} + 35 a^{25} + 23 a^{23} + 34 a^{22} + 16 a^{20} + 7 a^{19} + 9 a^{17} + 40 a^{16} + 22 a^{14} + 13 a^{13} + 35 a^{11} + 10 a^{8} + 30 a^{7} + 17 a^{5} + 39 a^{4} + 34 a^{2} + 2 a + 29 + \left(28 a^{26} + 8 a^{25} + 29 a^{23} + 40 a^{22} + a^{20} + 31 a^{19} + 40 a^{17} + 15 a^{16} + 13 a^{14} + 15 a^{13} + 14 a^{11} + 19 a^{10} + 25 a^{8} + 34 a^{7} + 7 a^{5} + 23 a^{4} + 23 a^{2} + 40 a + 28\right)\cdot 43 + \left(8 a^{26} + 34 a^{25} + 28 a^{23} + 30 a^{22} + 18 a^{20} + 4 a^{19} + 22 a^{17} + 26 a^{16} + 8 a^{14} + 9 a^{13} + 30 a^{11} + 32 a^{10} + a^{8} + 30 a^{7} + 8 a^{5} + 2 a^{4} + 20 a^{2} + 15 a + 28\right)\cdot 43^{2} + \left(41 a^{26} + 9 a^{25} + 16 a^{23} + 11 a^{22} + 8 a^{20} + 15 a^{19} + 28 a^{17} + 39 a^{16} + 35 a^{14} + 8 a^{13} + 24 a^{11} + 8 a^{10} + 17 a^{8} + 15 a^{7} + 10 a^{5} + 25 a^{4} + 35 a^{2} + 40 a + 28\right)\cdot 43^{3} + \left(42 a^{26} + 10 a^{25} + 18 a^{23} + 6 a^{22} + 42 a^{20} + 19 a^{19} + 18 a^{17} + 30 a^{16} + 2 a^{14} + 36 a^{13} + 29 a^{11} + 2 a^{10} + 35 a^{8} + 18 a^{7} + 29 a^{5} + 38 a^{4} + 21 a^{2} + 13 a + 28\right)\cdot 43^{4} +O(43^{5})\)
|
| $r_{ 23 }$ | $=$ |
\( 29 a^{26} + 20 a^{25} + 34 a^{23} + 6 a^{22} + 24 a^{20} + 12 a^{19} + 25 a^{17} + 30 a^{16} + 13 a^{14} + 27 a^{13} + 31 a^{11} + 30 a^{10} + 21 a^{8} + 4 a^{5} + 35 a^{4} + 34 a^{2} + 41 a + 29 + \left(37 a^{26} + 3 a^{25} + 9 a^{23} + 6 a^{22} + 15 a^{20} + 37 a^{19} + 16 a^{17} + a^{16} + 7 a^{14} + 10 a^{13} + 3 a^{11} + 38 a^{10} + 39 a^{8} + 34 a^{7} + 3 a^{5} + 30 a^{4} + 32 a^{2} + 22 a + 28\right)\cdot 43 + \left(13 a^{26} + 18 a^{25} + 32 a^{23} + 31 a^{22} + 20 a^{20} + 21 a^{19} + 35 a^{17} + 9 a^{16} + 35 a^{14} + 20 a^{13} + 24 a^{11} + 29 a^{10} + 5 a^{8} + 20 a^{7} + 16 a^{5} + 24 a^{4} + 28 a^{2} + 42 a + 28\right)\cdot 43^{2} + \left(20 a^{26} + 5 a^{25} + 10 a^{23} + 15 a^{22} + 23 a^{20} + 33 a^{19} + a^{17} + 29 a^{16} + 32 a^{14} + 38 a^{13} + 36 a^{11} + 30 a^{10} + 6 a^{8} + 24 a^{7} + 24 a^{5} + 29 a^{4} + 33 a^{2} + 24 a + 28\right)\cdot 43^{3} + \left(39 a^{26} + 34 a^{25} + 16 a^{23} + 25 a^{22} + 2 a^{20} + 2 a^{19} + 14 a^{17} + 29 a^{16} + 5 a^{14} + 39 a^{13} + 38 a^{11} + 15 a^{10} + 32 a^{8} + 32 a^{7} + 42 a^{5} + 23 a^{4} + 12 a^{2} + 24 a + 28\right)\cdot 43^{4} +O(43^{5})\)
|
| $r_{ 24 }$ | $=$ |
\( 19 a^{26} + 28 a^{25} + 35 a^{23} + 7 a^{20} + 35 a^{19} + 36 a^{17} + 33 a^{16} + 7 a^{14} + 5 a^{13} + 11 a^{11} + 42 a^{10} + 40 a^{8} + 4 a^{7} + 35 a^{5} + 2 a^{4} + 9 a^{2} + 40 a + 29 + \left(17 a^{26} + 41 a^{25} + 16 a^{23} + 27 a^{22} + 37 a^{20} + 34 a^{19} + 26 a^{17} + 21 a^{16} + 19 a^{14} + 27 a^{13} + 34 a^{11} + 16 a^{10} + 29 a^{8} + 8 a^{7} + 38 a^{5} + 24 a^{4} + 19 a^{2} + 35 a + 28\right)\cdot 43 + \left(20 a^{26} + 27 a^{25} + 2 a^{23} + 21 a^{22} + 16 a^{20} + 2 a^{19} + 41 a^{17} + 30 a^{16} + 5 a^{13} + 25 a^{11} + 5 a^{10} + 19 a^{8} + 39 a^{7} + 40 a^{5} + 6 a^{4} + 24 a^{2} + 11 a + 28\right)\cdot 43^{2} + \left(22 a^{26} + 11 a^{25} + 5 a^{23} + 21 a^{22} + 30 a^{20} + 9 a^{19} + 12 a^{17} + 5 a^{16} + 24 a^{14} + 31 a^{13} + 39 a^{11} + 16 a^{10} + 40 a^{8} + 11 a^{7} + 20 a^{5} + 17 a^{4} + 11 a^{2} + 6 a + 28\right)\cdot 43^{3} + \left(28 a^{26} + 12 a^{25} + 38 a^{23} + 35 a^{22} + 22 a^{20} + 31 a^{19} + 18 a^{17} + 19 a^{16} + 40 a^{14} + 33 a^{13} + 10 a^{11} + 41 a^{10} + 40 a^{8} + 26 a^{7} + 9 a^{5} + 17 a^{4} + 36 a^{2} + 34 a + 28\right)\cdot 43^{4} +O(43^{5})\)
|
| $r_{ 25 }$ | $=$ |
\( 36 a^{26} + 10 a^{25} + 36 a^{23} + 31 a^{22} + 12 a^{20} + 26 a^{17} + 29 a^{16} + 36 a^{14} + 7 a^{13} + 21 a^{11} + 3 a^{10} + 6 a^{8} + 6 a^{7} + 12 a^{5} + 28 a^{4} + 11 a^{2} + 33 a + 29 + \left(14 a^{26} + 30 a^{25} + 22 a^{23} + 38 a^{22} + a^{20} + 7 a^{19} + 26 a^{17} + 25 a^{16} + 16 a^{14} + 4 a^{13} + 9 a^{11} + 36 a^{10} + 3 a^{8} + 9 a^{7} + 36 a^{5} + 32 a^{4} + 14 a^{2} + 25 a + 28\right)\cdot 43 + \left(20 a^{26} + 14 a^{25} + 28 a^{23} + 12 a^{22} + 41 a^{20} + 14 a^{19} + 23 a^{17} + 13 a^{16} + 23 a^{14} + 3 a^{13} + 19 a^{11} + 38 a^{10} + 24 a^{8} + 36 a^{7} + 15 a^{5} + 33 a^{4} + 17 a^{2} + 36 a + 28\right)\cdot 43^{2} + \left(15 a^{26} + 33 a^{25} + 31 a^{23} + 10 a^{22} + 6 a^{20} + 20 a^{19} + 35 a^{17} + 20 a^{16} + 13 a^{14} + 39 a^{13} + 29 a^{11} + 39 a^{10} + 38 a^{8} + 42 a^{5} + 32 a^{4} + 33 a + 28\right)\cdot 43^{3} + \left(39 a^{26} + 31 a^{25} + 11 a^{23} + 12 a^{22} + 20 a^{20} + 40 a^{17} + 25 a^{16} + 2 a^{14} + 13 a^{13} + 22 a^{11} + 4 a^{10} + 36 a^{8} + 39 a^{7} + 2 a^{5} + 34 a^{4} + 41 a^{2} + 32 a + 28\right)\cdot 43^{4} +O(43^{5})\)
|
| $r_{ 26 }$ | $=$ |
\( 24 a^{26} + 29 a^{25} + 11 a^{23} + 28 a^{22} + 12 a^{20} + 2 a^{19} + 5 a^{17} + 42 a^{14} + 14 a^{13} + 10 a^{11} + 40 a^{10} + 31 a^{8} + 28 a^{7} + 11 a^{5} + 10 a^{4} + 38 a^{2} + 32 a + 29 + \left(25 a^{26} + 6 a^{25} + 12 a^{23} + 25 a^{22} + 32 a^{20} + 42 a^{19} + 22 a^{17} + 30 a^{16} + 27 a^{13} + 25 a^{11} + 36 a^{10} + 29 a^{8} + 38 a^{7} + 40 a^{5} + 24 a^{4} + 11 a^{2} + 27 a + 28\right)\cdot 43 + \left(13 a^{26} + 28 a^{25} + 24 a^{23} + 15 a^{22} + 25 a^{20} + 3 a^{19} + 12 a^{17} + 8 a^{16} + 37 a^{14} + 27 a^{13} + 21 a^{11} + 23 a^{10} + 21 a^{8} + 38 a^{7} + 23 a^{5} + 12 a^{4} + 16 a^{2} + 21 a + 28\right)\cdot 43^{2} + \left(3 a^{26} + 30 a^{25} + 19 a^{23} + 19 a^{22} + 38 a^{20} + 29 a^{19} + 20 a^{17} + 30 a^{16} + 9 a^{14} + 19 a^{13} + 26 a^{11} + 11 a^{10} + 21 a^{8} + 32 a^{7} + 33 a^{5} + 42 a^{4} + 40 a^{2} + 21 a + 28\right)\cdot 43^{3} + \left(24 a^{26} + 36 a^{25} + 27 a^{23} + 20 a^{22} + 11 a^{20} + 41 a^{19} + 40 a^{17} + 2 a^{16} + 16 a^{14} + 28 a^{13} + 15 a^{11} + 7 a^{10} + 9 a^{8} + 5 a^{7} + 27 a^{5} + 5 a^{4} + 14 a^{2} + 31 a + 28\right)\cdot 43^{4} +O(43^{5})\)
|
| $r_{ 27 }$ | $=$ |
\( 15 a^{26} + 19 a^{25} + 21 a^{23} + 2 a^{22} + 31 a^{20} + 20 a^{19} + 27 a^{17} + a^{16} + 23 a^{14} + 18 a^{13} + 28 a^{11} + 17 a^{10} + 24 a^{8} + 22 a^{7} + 39 a^{5} + a^{2} + 36 a + 29 + \left(27 a^{26} + 28 a^{25} + 2 a^{23} + 24 a^{22} + 41 a^{20} + 37 a^{19} + 12 a^{17} + 10 a^{16} + 23 a^{14} + 42 a^{13} + 10 a^{11} + 25 a^{10} + 23 a^{8} + 26 a^{7} + 39 a^{5} + 2 a^{4} + 6 a + 28\right)\cdot 43 + \left(32 a^{26} + 9 a^{23} + 18 a^{22} + 27 a^{20} + 18 a^{19} + 5 a^{17} + 18 a^{16} + 24 a^{14} + 32 a^{13} + 27 a^{11} + 36 a^{10} + 7 a^{8} + 31 a^{7} + 27 a^{5} + 13 a^{4} + 14 a^{2} + 27 a + 28\right)\cdot 43^{2} + \left(32 a^{26} + 38 a^{25} + 28 a^{23} + 17 a^{22} + 37 a^{20} + 32 a^{19} + 10 a^{17} + 13 a^{16} + 13 a^{14} + 31 a^{13} + 8 a^{11} + 35 a^{10} + 18 a^{8} + 36 a^{7} + 13 a^{5} + 38 a^{4} + 34 a^{2} + 29 a + 28\right)\cdot 43^{3} + \left(10 a^{26} + 24 a^{25} + 10 a^{23} + 26 a^{22} + 40 a^{20} + 38 a^{19} + 17 a^{17} + 36 a^{16} + 17 a^{14} + 5 a^{13} + 31 a^{11} + 32 a^{10} + 11 a^{8} + 12 a^{7} + 29 a^{5} + 15 a^{4} + 21 a^{2} + 31 a + 28\right)\cdot 43^{4} +O(43^{5})\)
|
Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 27 }$
| Cycle notation |
Character values on conjugacy classes
| Size | Order | Action on $r_1, \ldots, r_{ 27 }$ | Character value |
| $1$ | $1$ | $()$ | $2$ |
| $27$ | $2$ | $(2,12)(3,11)(4,25)(5,9)(6,8)(7,22)(10,19)(13,16)(14,27)(15,26)(17,24)(18,23)(20,21)$ | $0$ |
| $2$ | $3$ | $(1,10,19)(2,11,20)(3,12,21)(4,13,22)(5,14,23)(6,15,24)(7,16,25)(8,17,26)(9,18,27)$ | $-1$ |
| $2$ | $9$ | $(1,4,7,10,13,16,19,22,25)(2,5,8,11,14,17,20,23,26)(3,6,9,12,15,18,21,24,27)$ | $-\zeta_{27}^{15} - \zeta_{27}^{6} + \zeta_{27}^{3}$ |
| $2$ | $9$ | $(1,7,13,19,25,4,10,16,22)(2,8,14,20,26,5,11,17,23)(3,9,15,21,27,6,12,18,24)$ | $-\zeta_{27}^{12} + \zeta_{27}^{6} - \zeta_{27}^{3}$ |
| $2$ | $9$ | $(1,13,25,10,22,7,19,4,16)(2,14,26,11,23,8,20,5,17)(3,15,27,12,24,9,21,6,18)$ | $\zeta_{27}^{15} + \zeta_{27}^{12}$ |
| $2$ | $27$ | $(1,24,20,4,27,23,7,3,26,10,6,2,13,9,5,16,12,8,19,15,11,22,18,14,25,21,17)$ | $-\zeta_{27}^{10} + \zeta_{27}^{8} - \zeta_{27}$ |
| $2$ | $27$ | $(1,20,27,7,26,6,13,5,12,19,11,18,25,17,24,4,23,3,10,2,9,16,8,15,22,14,21)$ | $\zeta_{27}^{16} + \zeta_{27}^{11}$ |
| $2$ | $27$ | $(1,27,26,13,12,11,25,24,23,10,9,8,22,21,20,7,6,5,19,18,17,4,3,2,16,15,14)$ | $-\zeta_{27}^{13} + \zeta_{27}^{5} - \zeta_{27}^{4}$ |
| $2$ | $27$ | $(1,23,6,16,11,21,4,26,9,19,14,24,7,2,12,22,17,27,10,5,15,25,20,3,13,8,18)$ | $\zeta_{27}^{14} + \zeta_{27}^{13}$ |
| $2$ | $27$ | $(1,3,5,22,24,26,16,18,20,10,12,14,4,6,8,25,27,2,19,21,23,13,15,17,7,9,11)$ | $-\zeta_{27}^{16} - \zeta_{27}^{7} + \zeta_{27}^{2}$ |
| $2$ | $27$ | $(1,26,12,25,23,9,22,20,6,19,17,3,16,14,27,13,11,24,10,8,21,7,5,18,4,2,15)$ | $\zeta_{27}^{17} + \zeta_{27}^{10}$ |
| $2$ | $27$ | $(1,6,11,4,9,14,7,12,17,10,15,20,13,18,23,16,21,26,19,24,2,22,27,5,25,3,8)$ | $-\zeta_{27}^{17} - \zeta_{27}^{8} + \zeta_{27}$ |
| $2$ | $27$ | $(1,2,18,7,8,24,13,14,3,19,20,9,25,26,15,4,5,21,10,11,27,16,17,6,22,23,12)$ | $-\zeta_{27}^{11} + \zeta_{27}^{7} - \zeta_{27}^{2}$ |
| $2$ | $27$ | $(1,9,17,13,21,2,25,6,14,10,18,26,22,3,11,7,15,23,19,27,8,4,12,20,16,24,5)$ | $-\zeta_{27}^{14} - \zeta_{27}^{5} + \zeta_{27}^{4}$ |
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.