Basic invariants
| Dimension: | $2$ |
| Group: | $D_{25}$ |
| Conductor: | \(9559\)\(\medspace = 11^{2} \cdot 79 \) |
| Frobenius-Schur indicator: | $1$ |
| Root number: | $1$ |
| Artin stem field: | Galois closure of 25.1.39753813747116100568718553941184504222638641.1 |
| Galois orbit size: | $10$ |
| Smallest permutation container: | $D_{25}$ |
| Parity: | odd |
| Determinant: | 1.79.2t1.a.a |
| Projective image: | $D_{25}$ |
| Projective stem field: | Galois closure of 25.1.39753813747116100568718553941184504222638641.1 |
Defining polynomial
| $f(x)$ | $=$ |
\( x^{25} - x^{24} + 2 x^{23} - 2 x^{22} + 114 x^{21} + 14 x^{20} + 388 x^{19} + 1085 x^{18} + \cdots + 8362683 \)
|
The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 31 }$ to precision 5.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 31 }$:
\( x^{25} + 30x^{6} + 3x^{5} + 18x^{4} + 17x^{3} + 15x + 28 \)
Roots:
| $r_{ 1 }$ | $=$ |
\( 11 a^{23} + 9 a^{22} + 6 a^{21} + 24 a^{20} + 2 a^{19} + 17 a^{18} + 29 a^{17} + 30 a^{16} + 19 a^{15} + 20 a^{14} + 8 a^{13} + 23 a^{12} + 14 a^{11} + a^{10} + 19 a^{9} + 3 a^{8} + 26 a^{7} + 30 a^{6} + 20 a^{5} + 13 a^{4} + 9 a^{3} + 30 a^{2} + 8 a + \left(25 a^{24} + 5 a^{23} + 30 a^{22} + 29 a^{21} + 10 a^{20} + 16 a^{19} + 11 a^{18} + 8 a^{17} + 26 a^{16} + 15 a^{15} + 13 a^{14} + 27 a^{13} + 3 a^{12} + 29 a^{11} + 16 a^{10} + 2 a^{9} + 18 a^{8} + 30 a^{7} + 13 a^{6} + 18 a^{5} + 14 a^{4} + 29 a^{3} + a^{2} + 23 a + 26\right)\cdot 31 + \left(7 a^{24} + 21 a^{23} + 16 a^{22} + 4 a^{21} + 10 a^{20} + 13 a^{19} + 23 a^{17} + 24 a^{16} + 22 a^{15} + 12 a^{14} + 10 a^{13} + 19 a^{12} + 16 a^{11} + 13 a^{10} + 15 a^{9} + 30 a^{8} + 3 a^{7} + 25 a^{6} + 13 a^{5} + 11 a^{4} + a^{3} + a^{2} + 13 a + 7\right)\cdot 31^{2} + \left(4 a^{24} + 28 a^{23} + 20 a^{22} + 12 a^{21} + 24 a^{20} + 12 a^{19} + 9 a^{18} + 13 a^{17} + 27 a^{16} + 6 a^{15} + 22 a^{14} + 20 a^{13} + 2 a^{12} + 21 a^{11} + 30 a^{9} + 27 a^{8} + 20 a^{7} + 17 a^{6} + 22 a^{5} + 23 a^{4} + 12 a^{3} + 6 a^{2} + 15 a + 15\right)\cdot 31^{3} + \left(16 a^{24} + 22 a^{23} + a^{22} + 9 a^{21} + 23 a^{20} + 23 a^{19} + 28 a^{18} + 11 a^{17} + 7 a^{16} + 27 a^{15} + 14 a^{14} + 27 a^{13} + 8 a^{12} + 28 a^{11} + 8 a^{10} + 27 a^{9} + 18 a^{8} + 15 a^{7} + 5 a^{6} + 21 a^{5} + 6 a^{4} + 12 a^{3} + 19 a^{2} + 4 a + 16\right)\cdot 31^{4} +O(31^{5})\)
|
| $r_{ 2 }$ | $=$ |
\( a^{24} + 14 a^{23} + 25 a^{22} + 28 a^{21} + 27 a^{20} + 10 a^{19} + 13 a^{18} + 10 a^{17} + 27 a^{16} + 7 a^{15} + 5 a^{14} + 24 a^{13} + 18 a^{12} + 28 a^{11} + 26 a^{10} + 27 a^{9} + 5 a^{8} + 6 a^{7} + 20 a^{6} + 29 a^{5} + 10 a^{4} + 3 a^{3} + 19 a^{2} + 11 a + 1 + \left(24 a^{24} + 29 a^{23} + 25 a^{22} + 7 a^{21} + 24 a^{20} + a^{19} + 26 a^{18} + 21 a^{17} + 10 a^{16} + 17 a^{15} + 12 a^{14} + 17 a^{13} + 16 a^{12} + 18 a^{11} + 11 a^{10} + 19 a^{9} + 19 a^{8} + 19 a^{7} + 26 a^{6} + 6 a^{5} + 10 a^{4} + 14 a^{3} + 7 a^{2} + 15 a + 4\right)\cdot 31 + \left(a^{24} + 3 a^{23} + 9 a^{22} + 23 a^{21} + 7 a^{20} + 8 a^{19} + 14 a^{18} + 30 a^{17} + 7 a^{16} + 28 a^{15} + 24 a^{14} + 15 a^{13} + 11 a^{12} + 20 a^{11} + 29 a^{10} + 14 a^{9} + 15 a^{8} + 4 a^{7} + 25 a^{6} + 17 a^{5} + 14 a^{4} + 20 a^{3} + 29 a^{2} + 25 a + 12\right)\cdot 31^{2} + \left(18 a^{24} + 3 a^{23} + 29 a^{22} + 20 a^{21} + 12 a^{20} + 3 a^{19} + 30 a^{18} + 25 a^{17} + 24 a^{16} + 3 a^{15} + 21 a^{14} + 29 a^{13} + 25 a^{12} + 17 a^{11} + 12 a^{10} + 25 a^{9} + 16 a^{8} + 8 a^{7} + a^{6} + 19 a^{5} + 4 a^{4} + 8 a^{3} + 29 a^{2} + 6 a + 22\right)\cdot 31^{3} + \left(2 a^{23} + 5 a^{22} + 27 a^{21} + 8 a^{20} + 22 a^{19} + 19 a^{18} + 19 a^{17} + 5 a^{16} + 21 a^{15} + 30 a^{14} + 30 a^{13} + 8 a^{12} + 2 a^{11} + 24 a^{10} + 22 a^{9} + 19 a^{8} + 27 a^{7} + 21 a^{6} + 4 a^{4} + 14 a^{3} + 10 a^{2} + 17 a\right)\cdot 31^{4} +O(31^{5})\)
|
| $r_{ 3 }$ | $=$ |
\( 4 a^{24} + 19 a^{23} + 23 a^{22} + 9 a^{21} + 27 a^{20} + 14 a^{19} + 24 a^{18} + 23 a^{17} + 25 a^{16} + 25 a^{15} + 13 a^{14} + 6 a^{13} + 15 a^{12} + 24 a^{11} + 20 a^{10} + 27 a^{9} + 6 a^{8} + 25 a^{7} + 15 a^{6} + 19 a^{5} + 28 a^{4} + 17 a^{3} + 9 a^{2} + 23 a + 29 + \left(18 a^{24} + 30 a^{23} + 23 a^{22} + 11 a^{21} + 24 a^{20} + 7 a^{19} + 12 a^{18} + 14 a^{17} + 12 a^{16} + 3 a^{15} + 24 a^{14} + 7 a^{13} + a^{12} + 22 a^{11} + 29 a^{10} + 27 a^{9} + 28 a^{8} + 2 a^{7} + 28 a^{6} + 29 a^{5} + a^{4} + 15 a^{3} + 19 a^{2} + 29 a + 5\right)\cdot 31 + \left(25 a^{24} + 11 a^{23} + 4 a^{22} + 19 a^{21} + 22 a^{20} + 10 a^{19} + 20 a^{18} + 22 a^{17} + 16 a^{16} + 29 a^{15} + 7 a^{14} + 22 a^{12} + 20 a^{11} + 15 a^{10} + 7 a^{9} + 23 a^{8} + 10 a^{7} + 25 a^{6} + 4 a^{5} + 18 a^{4} + 30 a^{3} + 4 a^{2} + 7 a\right)\cdot 31^{2} + \left(7 a^{24} + 29 a^{23} + 9 a^{22} + 10 a^{21} + 5 a^{20} + 8 a^{19} + 5 a^{18} + 28 a^{17} + 25 a^{16} + 13 a^{15} + 17 a^{14} + 7 a^{13} + 17 a^{11} + 28 a^{10} + 29 a^{9} + 22 a^{8} + 5 a^{7} + 8 a^{6} + 20 a^{5} + 4 a^{4} + 3 a^{3} + 2 a^{2} + 3 a + 20\right)\cdot 31^{3} + \left(17 a^{24} + 6 a^{23} + 25 a^{22} + 15 a^{21} + 21 a^{20} + 20 a^{19} + 23 a^{18} + 20 a^{17} + 29 a^{16} + 12 a^{15} + 28 a^{14} + 29 a^{13} + 13 a^{12} + 5 a^{11} + 24 a^{10} + 29 a^{8} + 7 a^{7} + 12 a^{6} + 7 a^{5} + 7 a^{4} + 7 a^{3} + 23 a^{2} + 27\right)\cdot 31^{4} +O(31^{5})\)
|
| $r_{ 4 }$ | $=$ |
\( 5 a^{24} + 28 a^{23} + 28 a^{22} + 15 a^{21} + 3 a^{20} + 11 a^{18} + 11 a^{17} + 18 a^{16} + 17 a^{15} + 25 a^{14} + 26 a^{13} + 13 a^{12} + 4 a^{11} + 13 a^{10} + a^{9} + 6 a^{8} + 17 a^{7} + 26 a^{6} + 9 a^{5} + 4 a^{4} + 28 a^{3} + 29 a^{2} + 8 a + 2 + \left(19 a^{24} + 29 a^{23} + 21 a^{22} + 7 a^{21} + 20 a^{20} + 14 a^{19} + 10 a^{18} + 6 a^{17} + 19 a^{16} + 19 a^{15} + 6 a^{14} + 19 a^{13} + 30 a^{12} + 8 a^{11} + 23 a^{10} + 28 a^{9} + 29 a^{8} + 22 a^{7} + 25 a^{6} + 5 a^{5} + 9 a^{4} + 22 a^{2} + 26 a + 14\right)\cdot 31 + \left(28 a^{24} + 26 a^{23} + 5 a^{21} + 19 a^{20} + 18 a^{19} + 11 a^{18} + 9 a^{17} + 18 a^{16} + 13 a^{15} + 4 a^{14} + 15 a^{13} + 25 a^{12} + 19 a^{11} + 11 a^{10} + 24 a^{8} + 3 a^{7} + 25 a^{6} + 6 a^{5} + 12 a^{4} + 11 a^{3} + 6 a^{2} + 18 a + 17\right)\cdot 31^{2} + \left(25 a^{24} + 9 a^{23} + 3 a^{21} + 25 a^{20} + 18 a^{19} + 27 a^{18} + 10 a^{17} + 4 a^{16} + 2 a^{15} + 23 a^{14} + 12 a^{13} + 3 a^{12} + 13 a^{11} + 22 a^{10} + 2 a^{9} + 30 a^{8} + 26 a^{7} + 9 a^{6} + 12 a^{5} + 29 a^{4} + 22 a^{3} + 5 a^{2} + 16 a + 5\right)\cdot 31^{3} + \left(3 a^{24} + 17 a^{23} + 26 a^{22} + 13 a^{20} + 30 a^{19} + 15 a^{18} + 9 a^{17} + 26 a^{16} + 28 a^{15} + 18 a^{14} + 9 a^{13} + 8 a^{12} + 9 a^{11} + 19 a^{10} + 18 a^{9} + 25 a^{8} + 2 a^{7} + 5 a^{6} + 13 a^{5} + 18 a^{4} + 17 a^{3} + 30 a^{2} + 13 a + 22\right)\cdot 31^{4} +O(31^{5})\)
|
| $r_{ 5 }$ | $=$ |
\( 6 a^{24} + 19 a^{23} + 16 a^{22} + 7 a^{21} + a^{20} + 6 a^{19} + 3 a^{18} + 7 a^{17} + 16 a^{16} + 3 a^{15} + 5 a^{14} + 13 a^{13} + 13 a^{12} + 16 a^{11} + 16 a^{10} + 19 a^{9} + 6 a^{8} + 21 a^{7} + 30 a^{6} + 19 a^{5} + 29 a^{4} + 4 a^{3} + 5 a^{2} + 26 a + 24 + \left(a^{24} + 19 a^{23} + 10 a^{22} + 29 a^{21} + 25 a^{20} + 21 a^{19} + 30 a^{18} + 12 a^{17} + 20 a^{16} + 10 a^{15} + 24 a^{14} + 7 a^{13} + 4 a^{12} + 9 a^{11} + 14 a^{10} + a^{9} + 24 a^{8} + 6 a^{7} + 28 a^{6} + a^{5} + 30 a^{4} + 7 a^{3} + 10 a^{2} + 16 a + 2\right)\cdot 31 + \left(16 a^{24} + 15 a^{23} + 17 a^{22} + 3 a^{21} + 20 a^{20} + 10 a^{19} + 2 a^{18} + 30 a^{17} + 18 a^{16} + 8 a^{15} + 4 a^{14} + 4 a^{13} + 30 a^{12} + 23 a^{11} + 8 a^{10} + 5 a^{9} + 28 a^{8} + a^{7} + 7 a^{6} + 13 a^{5} + 28 a^{3} + 2 a^{2} + 28 a + 25\right)\cdot 31^{2} + \left(6 a^{24} + 19 a^{23} + 5 a^{21} + 6 a^{20} + 24 a^{19} + 8 a^{18} + 8 a^{17} + 19 a^{16} + 20 a^{15} + 2 a^{14} + 4 a^{13} + 18 a^{12} + 19 a^{11} + 17 a^{9} + 19 a^{8} + 2 a^{7} + 24 a^{6} + a^{4} + 14 a^{3} + 25 a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 31^{3} + \left(3 a^{24} + 8 a^{23} + 17 a^{22} + 27 a^{21} + 9 a^{20} + 28 a^{19} + 16 a^{18} + 23 a^{17} + 17 a^{16} + 15 a^{15} + 14 a^{14} + 10 a^{13} + 27 a^{12} + 9 a^{11} + a^{10} + 29 a^{9} + 2 a^{8} + 23 a^{7} + 26 a^{6} + 12 a^{4} + 25 a^{3} + 23 a^{2} + 30 a + 27\right)\cdot 31^{4} +O(31^{5})\)
|
| $r_{ 6 }$ | $=$ |
\( 7 a^{24} + 18 a^{23} + 14 a^{22} + 29 a^{21} + 16 a^{20} + 2 a^{19} + 27 a^{18} + 10 a^{17} + 12 a^{16} + a^{15} + 29 a^{14} + 15 a^{13} + 27 a^{12} + 24 a^{11} + 20 a^{10} + 5 a^{9} + 19 a^{8} + 7 a^{7} + 5 a^{6} + 10 a^{5} + 4 a^{4} + 12 a^{3} + 6 a^{2} + 26 a + 28 + \left(24 a^{24} + 17 a^{23} + 20 a^{22} + 18 a^{21} + 24 a^{20} + 12 a^{19} + 2 a^{18} + 20 a^{17} + 2 a^{16} + 11 a^{15} + 17 a^{14} + 11 a^{13} + 7 a^{12} + 11 a^{11} + 19 a^{10} + 22 a^{9} + 30 a^{8} + 7 a^{7} + 12 a^{6} + 3 a^{5} + 2 a^{4} + 2 a^{3} + 17 a^{2} + 29 a + 18\right)\cdot 31 + \left(11 a^{24} + 11 a^{23} + 19 a^{22} + 29 a^{21} + 8 a^{20} + 8 a^{19} + 15 a^{18} + 3 a^{17} + 2 a^{16} + 18 a^{14} + 23 a^{13} + 20 a^{12} + 2 a^{11} + 28 a^{10} + 30 a^{9} + 15 a^{8} + 17 a^{7} + 11 a^{6} + 3 a^{5} + 25 a^{4} + 28 a^{3} + 9 a^{2} + 17 a + 6\right)\cdot 31^{2} + \left(9 a^{24} + 9 a^{23} + 14 a^{22} + 12 a^{21} + 6 a^{20} + 13 a^{18} + 25 a^{17} + 30 a^{15} + 15 a^{14} + 19 a^{13} + 19 a^{12} + 13 a^{11} + 15 a^{10} + 14 a^{9} + 19 a^{8} + 26 a^{7} + 28 a^{6} + 18 a^{5} + 21 a^{4} + 3 a^{3} + 28 a^{2} + 24 a + 3\right)\cdot 31^{3} + \left(4 a^{24} + 17 a^{23} + 25 a^{22} + 2 a^{21} + 20 a^{20} + 5 a^{19} + 17 a^{18} + 13 a^{17} + 29 a^{16} + 29 a^{15} + 16 a^{14} + 6 a^{13} + 25 a^{12} + 12 a^{11} + 2 a^{10} + 26 a^{9} + 25 a^{8} + 18 a^{7} + a^{6} + 11 a^{5} + 11 a^{3} + 18 a^{2} + 9 a + 11\right)\cdot 31^{4} +O(31^{5})\)
|
| $r_{ 7 }$ | $=$ |
\( 8 a^{24} + 12 a^{23} + 18 a^{22} + 5 a^{21} + 27 a^{20} + 5 a^{18} + a^{17} + 4 a^{16} + 8 a^{15} + 26 a^{14} + 16 a^{13} + 16 a^{11} + 19 a^{10} + 29 a^{9} + 12 a^{8} + 23 a^{7} + 29 a^{6} + 29 a^{5} + 25 a^{4} + 20 a^{3} + 6 a^{2} + 9 a + 19 + \left(13 a^{24} + 28 a^{23} + 26 a^{22} + 19 a^{21} + 2 a^{20} + 27 a^{19} + 8 a^{18} + 29 a^{17} + 25 a^{16} + 30 a^{15} + 10 a^{14} + 12 a^{13} + 25 a^{12} + 11 a^{11} + 9 a^{10} + 27 a^{9} + 24 a^{8} + 6 a^{7} + 16 a^{6} + 24 a^{5} + 28 a^{4} + 25 a^{3} + 22 a^{2} + 21 a + 1\right)\cdot 31 + \left(17 a^{24} + 5 a^{23} + 18 a^{22} + 13 a^{21} + 11 a^{20} + 28 a^{19} + 14 a^{18} + 26 a^{17} + 12 a^{16} + a^{15} + a^{14} + 8 a^{13} + 20 a^{12} + 23 a^{11} + a^{10} + 30 a^{9} + 5 a^{8} + 12 a^{7} + 16 a^{6} + 4 a^{5} + 14 a^{4} + 29 a^{3} + 17 a^{2} + 4\right)\cdot 31^{2} + \left(6 a^{24} + 12 a^{23} + 11 a^{22} + 14 a^{21} + 4 a^{20} + 8 a^{19} + 23 a^{18} + 12 a^{17} + 11 a^{16} + 28 a^{15} + 17 a^{14} + 22 a^{13} + 18 a^{12} + 6 a^{11} + 19 a^{10} + 23 a^{9} + 22 a^{8} + 12 a^{7} + 14 a^{6} + 25 a^{5} + 22 a^{4} + 18 a^{3} + 4 a^{2} + 25 a + 11\right)\cdot 31^{3} + \left(30 a^{24} + 2 a^{23} + 11 a^{22} + 26 a^{21} + 15 a^{20} + 2 a^{19} + 16 a^{18} + 28 a^{17} + 27 a^{16} + 7 a^{15} + 23 a^{14} + 25 a^{12} + 21 a^{11} + 7 a^{10} + 5 a^{9} + 15 a^{8} + 30 a^{7} + 9 a^{6} + 13 a^{5} + 17 a^{4} + 5 a^{2} + 12 a + 11\right)\cdot 31^{4} +O(31^{5})\)
|
| $r_{ 8 }$ | $=$ |
\( 9 a^{24} + 12 a^{22} + 21 a^{21} + 13 a^{20} + 8 a^{19} + 8 a^{18} + 14 a^{17} + 11 a^{16} + 19 a^{15} + 20 a^{14} + 23 a^{13} + 20 a^{12} + 17 a^{10} + 3 a^{9} + 22 a^{8} + 15 a^{7} + 11 a^{6} + 15 a^{5} + 21 a^{3} + 15 a^{2} + 20 a + 7 + \left(16 a^{24} + 27 a^{23} + 9 a^{22} + 2 a^{21} + 16 a^{20} + 22 a^{19} + 4 a^{18} + 15 a^{17} + 2 a^{16} + 7 a^{15} + 28 a^{14} + 18 a^{13} + 29 a^{11} + 8 a^{10} + 6 a^{9} + 15 a^{8} + 11 a^{7} + 4 a^{6} + a^{5} + 25 a^{4} + 6 a^{3} + 8 a^{2} + 15 a + 21\right)\cdot 31 + \left(a^{24} + 21 a^{23} + 20 a^{22} + 23 a^{21} + a^{20} + 20 a^{19} + 8 a^{18} + 23 a^{17} + 9 a^{16} + a^{15} + 2 a^{14} + 17 a^{13} + 24 a^{12} + 4 a^{11} + 16 a^{10} + 8 a^{9} + 23 a^{8} + 22 a^{7} + 11 a^{6} + 25 a^{5} + 3 a^{4} + 24 a^{3} + a^{2} + 28 a + 18\right)\cdot 31^{2} + \left(24 a^{24} + 27 a^{23} + 25 a^{22} + 2 a^{21} + 2 a^{20} + 22 a^{19} + 8 a^{18} + 26 a^{17} + 23 a^{16} + 15 a^{15} + 4 a^{14} + 16 a^{13} + 14 a^{12} + 17 a^{11} + 28 a^{10} + 16 a^{9} + 2 a^{8} + 25 a^{7} + 23 a^{6} + 14 a^{5} + 20 a^{4} + 9 a^{3} + a^{2} + 17 a + 23\right)\cdot 31^{3} + \left(9 a^{24} + 27 a^{23} + 24 a^{22} + 23 a^{21} + 3 a^{20} + a^{19} + 22 a^{18} + 29 a^{17} + 23 a^{16} + 5 a^{15} + 27 a^{14} + 19 a^{13} + 25 a^{12} + 19 a^{11} + 8 a^{10} + 24 a^{9} + a^{8} + 20 a^{7} + 26 a^{6} + 13 a^{5} + 13 a^{4} + 8 a^{3} + 24 a^{2} + 15 a + 22\right)\cdot 31^{4} +O(31^{5})\)
|
| $r_{ 9 }$ | $=$ |
\( 10 a^{24} + 10 a^{23} + 16 a^{22} + 27 a^{21} + 29 a^{20} + 8 a^{19} + 12 a^{18} + 28 a^{17} + 28 a^{16} + 15 a^{15} + 5 a^{14} + 4 a^{13} + 11 a^{12} + 13 a^{11} + 14 a^{10} + 19 a^{9} + 3 a^{8} + 16 a^{7} + 23 a^{6} + 15 a^{5} + 7 a^{4} + 25 a^{3} + 19 a^{2} + 13 a + 7 + \left(17 a^{24} + 30 a^{22} + 28 a^{21} + 3 a^{20} + 30 a^{19} + 19 a^{18} + 21 a^{17} + 8 a^{16} + 15 a^{15} + 12 a^{14} + 7 a^{13} + 12 a^{12} + 14 a^{11} + 22 a^{9} + 24 a^{8} + 15 a^{7} + 30 a^{6} + 5 a^{5} + 28 a^{4} + 4 a^{3} + 3 a^{2} + 14 a + 25\right)\cdot 31 + \left(9 a^{24} + 18 a^{23} + 9 a^{22} + 29 a^{21} + 28 a^{20} + 29 a^{19} + 25 a^{18} + 29 a^{17} + 20 a^{16} + 3 a^{15} + 9 a^{14} + 2 a^{13} + 3 a^{12} + 10 a^{11} + 28 a^{10} + 5 a^{9} + 28 a^{8} + 26 a^{7} + 17 a^{6} + 19 a^{5} + 24 a^{4} + 17 a^{3} + 13 a^{2} + 21 a + 29\right)\cdot 31^{2} + \left(15 a^{24} + 2 a^{23} + 16 a^{22} + 15 a^{21} + 30 a^{20} + 30 a^{19} + 5 a^{17} + 20 a^{16} + 21 a^{15} + 27 a^{14} + 13 a^{13} + 2 a^{12} + 22 a^{11} + 17 a^{10} + 21 a^{9} + 29 a^{8} + 24 a^{7} + 8 a^{6} + 25 a^{5} + 14 a^{4} + 17 a^{3} + 4 a^{2} + 1\right)\cdot 31^{3} + \left(16 a^{24} + 5 a^{23} + 7 a^{22} + 11 a^{21} + 8 a^{20} + 17 a^{19} + 8 a^{18} + 24 a^{17} + 23 a^{16} + 30 a^{15} + 14 a^{14} + 5 a^{13} + 26 a^{11} + 2 a^{10} + 22 a^{9} + 20 a^{8} + a^{7} + 18 a^{6} + 30 a^{5} + 28 a^{3} + a^{2} + 15 a + 10\right)\cdot 31^{4} +O(31^{5})\)
|
| $r_{ 10 }$ | $=$ |
\( 14 a^{24} + 27 a^{23} + 29 a^{22} + 21 a^{21} + 17 a^{20} + 21 a^{19} + 8 a^{18} + 21 a^{17} + 7 a^{16} + 5 a^{15} + 9 a^{14} + 3 a^{13} + 11 a^{12} + 6 a^{11} + 20 a^{10} + 28 a^{9} + 25 a^{8} + 7 a^{7} + 21 a^{6} + 11 a^{5} + 22 a^{4} + a^{3} + 29 a^{2} + 9 a + 28 + \left(26 a^{24} + 5 a^{23} + 13 a^{22} + 20 a^{21} + 12 a^{20} + 3 a^{19} + 29 a^{18} + 20 a^{17} + 2 a^{16} + 10 a^{14} + 30 a^{13} + 28 a^{12} + 12 a^{11} + 6 a^{10} + 13 a^{9} + 3 a^{8} + 2 a^{7} + 6 a^{6} + 5 a^{5} + 12 a^{4} + 12 a^{3} + 28 a^{2} + 14 a + 2\right)\cdot 31 + \left(4 a^{24} + 20 a^{23} + 8 a^{22} + 4 a^{21} + 6 a^{20} + 24 a^{19} + 29 a^{18} + 27 a^{17} + 3 a^{16} + 9 a^{15} + 15 a^{14} + 10 a^{13} + 22 a^{12} + 28 a^{11} + 28 a^{10} + 15 a^{9} + 15 a^{8} + 8 a^{7} + 8 a^{6} + 14 a^{5} + 4 a^{4} + 24 a^{3} + 13 a^{2} + 28 a\right)\cdot 31^{2} + \left(29 a^{24} + 6 a^{23} + 21 a^{22} + 27 a^{21} + 19 a^{20} + 9 a^{19} + 10 a^{18} + 27 a^{17} + 11 a^{16} + 2 a^{15} + 29 a^{14} + 10 a^{13} + 5 a^{12} + 16 a^{11} + 27 a^{10} + 3 a^{9} + 28 a^{8} + 20 a^{7} + 29 a^{6} + 24 a^{5} + 25 a^{4} + 19 a^{3} + 18 a + 9\right)\cdot 31^{3} + \left(29 a^{24} + 30 a^{23} + 24 a^{22} + 10 a^{21} + 4 a^{20} + 5 a^{19} + 24 a^{18} + 14 a^{17} + 5 a^{16} + 30 a^{15} + 23 a^{14} + 17 a^{13} + 24 a^{12} + 20 a^{11} + 13 a^{10} + 10 a^{9} + 7 a^{8} + 27 a^{7} + 20 a^{6} + 13 a^{5} + 10 a^{4} + 4 a^{3} + 7 a^{2} + 7 a + 28\right)\cdot 31^{4} +O(31^{5})\)
|
| $r_{ 11 }$ | $=$ |
\( 15 a^{24} + 24 a^{23} + 5 a^{22} + 29 a^{21} + 9 a^{20} + 12 a^{19} + 13 a^{18} + 25 a^{17} + 15 a^{16} + 22 a^{15} + 16 a^{14} + 12 a^{13} + 6 a^{12} + 20 a^{11} + 28 a^{10} + 5 a^{9} + 12 a^{8} + a^{7} + 26 a^{6} + 7 a^{5} + 20 a^{4} + 14 a^{3} + 4 a^{2} + 4 a + 4 + \left(19 a^{24} + 13 a^{23} + 5 a^{22} + 27 a^{21} + 16 a^{20} + 27 a^{19} + 11 a^{18} + 3 a^{17} + 10 a^{16} + 8 a^{15} + 12 a^{14} + 2 a^{13} + 16 a^{12} + 10 a^{11} + 16 a^{10} + 23 a^{9} + 27 a^{8} + 29 a^{7} + 7 a^{6} + 21 a^{5} + 13 a^{4} + 26 a^{3} + 16 a^{2} + 2 a + 25\right)\cdot 31 + \left(18 a^{24} + 6 a^{23} + 5 a^{22} + 20 a^{21} + 24 a^{20} + 10 a^{19} + 9 a^{18} + 11 a^{17} + 11 a^{16} + 29 a^{15} + 30 a^{14} + 16 a^{13} + 30 a^{12} + 13 a^{11} + a^{10} + 6 a^{9} + 6 a^{8} + 21 a^{7} + 2 a^{6} + 19 a^{5} + 10 a^{4} + 25 a^{2} + 13 a + 8\right)\cdot 31^{2} + \left(24 a^{24} + 28 a^{23} + 8 a^{22} + 18 a^{21} + 17 a^{20} + 22 a^{19} + 7 a^{18} + 4 a^{17} + 19 a^{16} + 18 a^{15} + 5 a^{14} + 2 a^{13} + 30 a^{12} + 20 a^{11} + 15 a^{10} + 30 a^{9} + 29 a^{8} + 5 a^{7} + 7 a^{6} + 19 a^{5} + 25 a^{4} + 5 a^{3} + 24 a^{2} + 6 a + 15\right)\cdot 31^{3} + \left(16 a^{24} + 10 a^{23} + 8 a^{22} + 5 a^{21} + 15 a^{20} + 25 a^{19} + 7 a^{18} + 6 a^{17} + 26 a^{16} + 29 a^{15} + 16 a^{14} + 10 a^{13} + 9 a^{12} + 13 a^{11} + 4 a^{10} + 26 a^{9} + 25 a^{8} + 7 a^{7} + 29 a^{6} + 17 a^{5} + 3 a^{4} + 8 a^{3} + 29 a^{2} + 22 a + 17\right)\cdot 31^{4} +O(31^{5})\)
|
| $r_{ 12 }$ | $=$ |
\( 16 a^{24} + 12 a^{23} + 6 a^{22} + 9 a^{21} + 24 a^{20} + 9 a^{19} + 11 a^{18} + 5 a^{17} + 17 a^{16} + 5 a^{15} + 25 a^{14} + 4 a^{13} + 2 a^{12} + 19 a^{11} + 18 a^{10} + 30 a^{9} + 27 a^{8} + 27 a^{7} + 5 a^{6} + 6 a^{5} + 29 a^{4} + 26 a^{3} + 29 a^{2} + 23 a + 16 + \left(30 a^{23} + 11 a^{22} + 12 a^{21} + 3 a^{20} + 24 a^{19} + 21 a^{18} + 24 a^{16} + 9 a^{15} + 7 a^{14} + 30 a^{13} + 14 a^{12} + a^{10} + 28 a^{9} + 6 a^{8} + 22 a^{7} + 16 a^{6} + 30 a^{5} + 27 a^{4} + 12 a^{3} + 6 a^{2} + 8 a + 3\right)\cdot 31 + \left(8 a^{24} + 20 a^{23} + 27 a^{22} + 27 a^{21} + 25 a^{20} + 23 a^{19} + 8 a^{18} + 11 a^{17} + 19 a^{16} + 3 a^{15} + 22 a^{14} + 28 a^{13} + 25 a^{12} + 5 a^{11} + 22 a^{10} + 11 a^{9} + 23 a^{8} + 6 a^{7} + 18 a^{6} + a^{5} + 2 a^{4} + 11 a^{3} + 11 a^{2} + 22 a + 15\right)\cdot 31^{2} + \left(4 a^{24} + 29 a^{23} + 6 a^{22} + 14 a^{21} + 12 a^{20} + 4 a^{19} + 9 a^{18} + 4 a^{17} + 8 a^{16} + 14 a^{15} + 20 a^{14} + 29 a^{13} + 17 a^{12} + a^{11} + 28 a^{10} + a^{9} + 2 a^{8} + 3 a^{7} + 29 a^{6} + a^{5} + a^{4} + 13 a^{3} + 8 a^{2} + 23 a + 5\right)\cdot 31^{3} + \left(9 a^{24} + 5 a^{23} + 25 a^{22} + 29 a^{21} + 8 a^{19} + 12 a^{18} + 28 a^{17} + a^{16} + 20 a^{15} + 6 a^{14} + 27 a^{13} + 28 a^{12} + 14 a^{11} + 26 a^{10} + 28 a^{9} + 5 a^{8} + 24 a^{7} + 14 a^{6} + 23 a^{5} + 17 a^{4} + 12 a^{3} + 20 a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 31^{4} +O(31^{5})\)
|
| $r_{ 13 }$ | $=$ |
\( 16 a^{24} + 19 a^{23} + 5 a^{22} + 12 a^{21} + 19 a^{20} + 21 a^{19} + 25 a^{18} + 28 a^{17} + 8 a^{16} + 28 a^{15} + 12 a^{14} + 26 a^{13} + 30 a^{12} + 20 a^{11} + 21 a^{10} + 13 a^{9} + 21 a^{8} + 2 a^{7} + 7 a^{6} + 14 a^{5} + 26 a^{4} + 13 a^{3} + 15 a^{2} + 10 a + 29 + \left(30 a^{24} + 3 a^{23} + 26 a^{22} + 5 a^{20} + 28 a^{18} + 30 a^{17} + 5 a^{16} + 8 a^{15} + 27 a^{14} + 25 a^{13} + 14 a^{12} + 11 a^{11} + a^{10} + 11 a^{8} + 7 a^{7} + a^{6} + 8 a^{5} + 20 a^{4} + 27 a^{3} + 11 a^{2} + 10 a + 14\right)\cdot 31 + \left(22 a^{24} + 14 a^{23} + 20 a^{22} + a^{21} + 30 a^{20} + 13 a^{19} + 19 a^{18} + 26 a^{17} + 9 a^{16} + 18 a^{15} + 4 a^{14} + 21 a^{13} + 16 a^{12} + 6 a^{11} + 17 a^{10} + 6 a^{9} + 11 a^{8} + 21 a^{7} + 6 a^{6} + 5 a^{5} + 27 a^{4} + 18 a^{3} + 9 a^{2} + 5 a + 30\right)\cdot 31^{2} + \left(24 a^{24} + 4 a^{23} + 6 a^{21} + 30 a^{20} + 18 a^{19} + 28 a^{18} + 7 a^{17} + 8 a^{16} + 9 a^{15} + 19 a^{14} + 17 a^{13} + 23 a^{12} + 29 a^{11} + 11 a^{10} + 30 a^{9} + 19 a^{8} + a^{7} + 2 a^{6} + 30 a^{5} + 23 a^{4} + 10 a^{3} + 16 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 31^{3} + \left(22 a^{24} + 27 a^{23} + 29 a^{22} + 3 a^{21} + 16 a^{20} + 20 a^{19} + 24 a^{18} + 11 a^{17} + 8 a^{16} + 26 a^{15} + 6 a^{14} + 10 a^{13} + 8 a^{12} + 26 a^{10} + 27 a^{9} + 29 a^{8} + 13 a^{7} + 23 a^{6} + 11 a^{5} + 2 a^{4} + 11 a^{3} + 21 a^{2} + 24 a + 4\right)\cdot 31^{4} +O(31^{5})\)
|
| $r_{ 14 }$ | $=$ |
\( 16 a^{24} + 20 a^{23} + 17 a^{22} + 19 a^{21} + 30 a^{20} + 18 a^{19} + 13 a^{18} + 14 a^{17} + 25 a^{16} + 15 a^{15} + 3 a^{14} + 14 a^{13} + 10 a^{12} + 6 a^{11} + 27 a^{10} + 25 a^{9} + 20 a^{8} + 18 a^{7} + 28 a^{6} + 17 a^{5} + 24 a^{4} + 16 a^{3} + 24 a^{2} + 27 a + 7 + \left(a^{24} + 16 a^{23} + 10 a^{22} + 6 a^{21} + 14 a^{20} + 5 a^{19} + 16 a^{18} + 15 a^{17} + 2 a^{16} + 23 a^{15} + 3 a^{14} + 29 a^{13} + 21 a^{12} + 30 a^{11} + 17 a^{10} + 18 a^{9} + 27 a^{8} + 30 a^{7} + 16 a^{6} + 30 a^{5} + a^{4} + 11 a^{3} + 29 a^{2} + 7 a + 16\right)\cdot 31 + \left(28 a^{24} + 22 a^{23} + 29 a^{22} + 25 a^{21} + 20 a^{20} + 14 a^{19} + 29 a^{18} + 9 a^{17} + 3 a^{16} + 14 a^{15} + 2 a^{14} + 28 a^{13} + 26 a^{12} + a^{11} + 9 a^{10} + 24 a^{9} + 15 a^{8} + 12 a^{7} + 4 a^{6} + 21 a^{4} + 22 a^{3} + a^{2} + 10 a + 15\right)\cdot 31^{2} + \left(28 a^{24} + 29 a^{23} + 20 a^{22} + 4 a^{21} + 5 a^{20} + 29 a^{19} + 13 a^{18} + 19 a^{17} + 4 a^{15} + 30 a^{14} + 11 a^{13} + 9 a^{12} + 3 a^{11} + 27 a^{10} + 11 a^{9} + 11 a^{8} + 29 a^{7} + 26 a^{6} + 30 a^{5} + 30 a^{4} + 20 a^{3} + 11 a^{2} + 13 a + 9\right)\cdot 31^{3} + \left(22 a^{24} + 25 a^{23} + 14 a^{22} + 20 a^{21} + 5 a^{20} + 2 a^{19} + a^{18} + 11 a^{17} + 10 a^{16} + 3 a^{15} + 10 a^{14} + 3 a^{13} + 28 a^{12} + 14 a^{11} + 10 a^{10} + 22 a^{9} + 21 a^{8} + 7 a^{7} + 9 a^{6} + 29 a^{5} + 16 a^{4} + 25 a^{3} + a^{2} + 25\right)\cdot 31^{4} +O(31^{5})\)
|
| $r_{ 15 }$ | $=$ |
\( 18 a^{24} + 27 a^{23} + 30 a^{22} + 22 a^{21} + 11 a^{20} + 8 a^{19} + 6 a^{18} + 24 a^{17} + 26 a^{15} + 25 a^{14} + 5 a^{13} + 4 a^{12} + 17 a^{11} + 30 a^{10} + 5 a^{9} + 19 a^{8} + 15 a^{7} + 10 a^{6} + 23 a^{5} + 30 a^{4} + 7 a^{3} + 3 a^{2} + 24 a + 7 + \left(26 a^{24} + 25 a^{23} + 13 a^{22} + 20 a^{21} + 5 a^{20} + 3 a^{19} + 24 a^{18} + 20 a^{17} + 12 a^{16} + 17 a^{15} + 27 a^{14} + 16 a^{13} + 6 a^{12} + 27 a^{11} + 18 a^{10} + 13 a^{9} + 21 a^{8} + 17 a^{7} + 20 a^{6} + 14 a^{5} + 30 a^{4} + 6 a^{3} + 28 a^{2} + 29 a + 1\right)\cdot 31 + \left(13 a^{24} + 7 a^{23} + 23 a^{22} + 27 a^{21} + 15 a^{20} + 12 a^{18} + 19 a^{17} + 7 a^{16} + 11 a^{15} + 29 a^{14} + 28 a^{13} + 8 a^{12} + 16 a^{11} + 15 a^{10} + 6 a^{9} + 7 a^{8} + 14 a^{7} + 6 a^{6} + 8 a^{5} + 12 a^{4} + 8 a^{3} + 20 a^{2} + 14 a + 13\right)\cdot 31^{2} + \left(24 a^{24} + 5 a^{23} + 18 a^{22} + 2 a^{21} + 5 a^{20} + 5 a^{19} + 11 a^{18} + 20 a^{17} + 14 a^{16} + a^{15} + 18 a^{14} + 20 a^{13} + 17 a^{12} + 27 a^{11} + 12 a^{10} + 20 a^{9} + 13 a^{8} + 6 a^{7} + 29 a^{6} + 24 a^{5} + 19 a^{4} + 6 a^{3} + 11 a^{2} + 16 a + 22\right)\cdot 31^{3} + \left(8 a^{24} + 17 a^{23} + 29 a^{22} + 26 a^{20} + 16 a^{19} + 24 a^{18} + 27 a^{17} + 8 a^{16} + 17 a^{15} + 19 a^{14} + 18 a^{13} + 30 a^{12} + a^{11} + 26 a^{10} + 4 a^{9} + 6 a^{8} + 2 a^{7} + 3 a^{6} + 9 a^{5} + 6 a^{4} + 23 a^{2} + 22 a + 2\right)\cdot 31^{4} +O(31^{5})\)
|
| $r_{ 16 }$ | $=$ |
\( 19 a^{24} + 11 a^{23} + a^{22} + 29 a^{21} + 6 a^{20} + 9 a^{18} + 12 a^{17} + 19 a^{16} + 12 a^{15} + 21 a^{14} + 22 a^{13} + 30 a^{12} + 5 a^{11} + 18 a^{10} + 4 a^{9} + 18 a^{8} + 11 a^{7} + 12 a^{6} + 3 a^{5} + 10 a^{4} + 30 a^{3} + 3 a^{2} + 6 a + 26 + \left(13 a^{24} + 12 a^{23} + 23 a^{22} + 10 a^{21} + 17 a^{20} + 20 a^{19} + 14 a^{18} + 11 a^{17} + 3 a^{16} + 8 a^{15} + 15 a^{14} + 7 a^{13} + 4 a^{12} + 8 a^{10} + 9 a^{9} + 7 a^{8} + 27 a^{7} + 18 a^{6} + 19 a^{5} + 17 a^{4} + 11 a^{3} + 6 a^{2} + 14 a + 7\right)\cdot 31 + \left(16 a^{24} + 27 a^{23} + 15 a^{22} + 6 a^{21} + 10 a^{20} + 13 a^{19} + 13 a^{18} + 9 a^{17} + 12 a^{16} + 15 a^{15} + 25 a^{14} + 12 a^{13} + 29 a^{12} + 16 a^{10} + 30 a^{8} + 16 a^{7} + 27 a^{6} + 7 a^{5} + 5 a^{4} + 5 a^{3} + a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 31^{2} + \left(16 a^{24} + 18 a^{23} + 13 a^{22} + 23 a^{21} + 29 a^{20} + 15 a^{19} + 19 a^{18} + 27 a^{17} + 8 a^{16} + 21 a^{15} + 22 a^{14} + 17 a^{13} + 30 a^{12} + 8 a^{11} + 13 a^{10} + 25 a^{9} + 12 a^{8} + 6 a^{7} + a^{6} + a^{5} + 15 a^{4} + 5 a^{3} + 30 a^{2} + 17 a + 13\right)\cdot 31^{3} + \left(29 a^{24} + 8 a^{23} + 6 a^{22} + 4 a^{21} + 19 a^{20} + 26 a^{19} + 6 a^{18} + 9 a^{17} + 17 a^{16} + 18 a^{15} + a^{14} + 4 a^{13} + 14 a^{12} + 22 a^{11} + 21 a^{10} + 21 a^{9} + 28 a^{8} + 4 a^{7} + 5 a^{6} + 20 a^{5} + 16 a^{4} + 17 a^{3} + 11 a^{2} + 11 a\right)\cdot 31^{4} +O(31^{5})\)
|
| $r_{ 17 }$ | $=$ |
\( 20 a^{24} + 11 a^{23} + 28 a^{22} + 23 a^{21} + 30 a^{20} + 21 a^{19} + 4 a^{18} + 24 a^{17} + 9 a^{16} + 2 a^{15} + 12 a^{14} + 7 a^{13} + 25 a^{12} + 11 a^{11} + 22 a^{10} + 12 a^{9} + 30 a^{8} + 23 a^{7} + 23 a^{6} + 2 a^{5} + 8 a^{4} + 23 a^{3} + 22 + \left(2 a^{24} + 22 a^{23} + 18 a^{22} + 27 a^{21} + 10 a^{20} + 2 a^{19} + 10 a^{18} + 14 a^{17} + 3 a^{16} + 19 a^{15} + 20 a^{14} + 16 a^{13} + 16 a^{12} + 17 a^{11} + 16 a^{10} + 20 a^{9} + 10 a^{8} + 3 a^{6} + 8 a^{5} + 30 a^{4} + 23 a^{3} + 6 a^{2} + 4 a + 21\right)\cdot 31 + \left(15 a^{24} + 16 a^{23} + 23 a^{22} + 17 a^{21} + 27 a^{20} + 9 a^{19} + 9 a^{18} + 25 a^{17} + 17 a^{16} + 6 a^{15} + 4 a^{14} + 12 a^{13} + 8 a^{12} + 28 a^{11} + 4 a^{10} + 25 a^{9} + 20 a^{8} + 11 a^{7} + 30 a^{6} + 5 a^{5} + 13 a^{4} + 21 a^{3} + 7 a^{2} + 17 a + 12\right)\cdot 31^{2} + \left(30 a^{24} + 9 a^{23} + 22 a^{22} + 18 a^{21} + 12 a^{20} + 22 a^{19} + 18 a^{18} + 24 a^{17} + 10 a^{16} + 16 a^{15} + 12 a^{14} + 24 a^{13} + 26 a^{12} + 30 a^{11} + 29 a^{10} + 13 a^{9} + 14 a^{8} + 23 a^{7} + 17 a^{6} + 8 a^{4} + 2 a^{3} + 29 a^{2} + 17 a + 12\right)\cdot 31^{3} + \left(20 a^{24} + 26 a^{23} + 2 a^{22} + 5 a^{21} + 2 a^{20} + 12 a^{19} + 12 a^{18} + 13 a^{17} + 10 a^{16} + 5 a^{15} + 16 a^{14} + 9 a^{13} + 10 a^{12} + 2 a^{11} + 11 a^{10} + 4 a^{9} + 15 a^{8} + 4 a^{7} + 18 a^{6} + 8 a^{5} + 13 a^{4} + 7 a^{3} + 18 a^{2} + 3 a + 25\right)\cdot 31^{4} +O(31^{5})\)
|
| $r_{ 18 }$ | $=$ |
\( 20 a^{24} + 20 a^{23} + 23 a^{22} + 3 a^{21} + 18 a^{20} + 16 a^{19} + 13 a^{18} + 8 a^{17} + 6 a^{16} + 13 a^{15} + 21 a^{14} + 26 a^{13} + 26 a^{12} + 16 a^{11} + 7 a^{10} + 2 a^{9} + 4 a^{8} + 18 a^{7} + 8 a^{6} + 23 a^{5} + 19 a^{4} + 17 a^{3} + 14 a^{2} + 2 a + 29 + \left(8 a^{24} + 21 a^{23} + 5 a^{22} + 3 a^{21} + 5 a^{20} + 19 a^{19} + 14 a^{18} + 4 a^{17} + 19 a^{16} + 28 a^{15} + 16 a^{14} + 6 a^{13} + 23 a^{12} + 12 a^{11} + 17 a^{10} + 8 a^{9} + 28 a^{8} + 25 a^{7} + 6 a^{6} + 25 a^{5} + 28 a^{4} + 5 a^{3} + 22 a^{2} + 19 a + 19\right)\cdot 31 + \left(14 a^{24} + 11 a^{23} + 15 a^{22} + 10 a^{21} + 25 a^{20} + 4 a^{19} + 29 a^{18} + 24 a^{17} + 10 a^{16} + 17 a^{15} + 9 a^{14} + 9 a^{13} + 23 a^{12} + 19 a^{11} + 12 a^{10} + 7 a^{9} + 29 a^{8} + 17 a^{7} + 30 a^{6} + 10 a^{5} + 20 a^{4} + 20 a^{3} + 9 a^{2} + 24 a + 18\right)\cdot 31^{2} + \left(8 a^{24} + 24 a^{23} + 16 a^{22} + 17 a^{21} + 13 a^{20} + 30 a^{19} + 20 a^{18} + 6 a^{17} + 27 a^{16} + 13 a^{15} + 8 a^{14} + 13 a^{13} + a^{11} + 12 a^{10} + 27 a^{9} + 23 a^{8} + 19 a^{7} + 22 a^{6} + 16 a^{5} + a^{4} + 17 a^{3} + 8 a^{2} + 14 a + 10\right)\cdot 31^{3} + \left(24 a^{24} + 11 a^{23} + 19 a^{22} + 23 a^{21} + 26 a^{20} + 5 a^{19} + 11 a^{18} + a^{17} + 15 a^{16} + 13 a^{15} + 30 a^{14} + 13 a^{13} + 16 a^{12} + 7 a^{11} + 17 a^{10} + 27 a^{9} + 24 a^{8} + 17 a^{7} + 25 a^{6} + 24 a^{5} + 30 a^{4} + 4 a^{3} + 21 a^{2} + 19 a + 18\right)\cdot 31^{4} +O(31^{5})\)
|
| $r_{ 19 }$ | $=$ |
\( 21 a^{24} + 28 a^{23} + 26 a^{22} + 9 a^{21} + 18 a^{20} + 9 a^{19} + 13 a^{18} + 20 a^{17} + 28 a^{15} + 20 a^{14} + 9 a^{12} + 2 a^{11} + 20 a^{10} + 25 a^{9} + 6 a^{8} + 29 a^{7} + 19 a^{6} + 17 a^{5} + 25 a^{4} + 11 a^{3} + 21 a^{2} + 28 a + 7 + \left(23 a^{24} + 9 a^{23} + 3 a^{22} + 29 a^{21} + 5 a^{20} + 15 a^{19} + 18 a^{18} + 30 a^{17} + 20 a^{16} + 25 a^{15} + 4 a^{14} + 17 a^{13} + 12 a^{12} + 6 a^{11} + 13 a^{9} + 21 a^{8} + 29 a^{7} + 12 a^{6} + 6 a^{5} + a^{4} + 11 a^{3} + 8 a^{2} + 26 a + 30\right)\cdot 31 + \left(28 a^{24} + 15 a^{23} + 27 a^{22} + 7 a^{21} + 7 a^{20} + 4 a^{19} + 6 a^{18} + 12 a^{17} + a^{16} + 4 a^{15} + 23 a^{14} + 12 a^{13} + 19 a^{12} + a^{11} + 11 a^{10} + 5 a^{9} + 4 a^{8} + 30 a^{7} + 18 a^{6} + 22 a^{5} + 22 a^{4} + 17 a^{3} + 21 a^{2} + 28 a + 11\right)\cdot 31^{2} + \left(12 a^{24} + 13 a^{23} + a^{22} + 28 a^{21} + 17 a^{20} + 27 a^{19} + 11 a^{18} + 20 a^{17} + 25 a^{16} + 19 a^{15} + 4 a^{14} + 11 a^{13} + 27 a^{12} + 16 a^{11} + a^{10} + 22 a^{8} + 16 a^{7} + 8 a^{6} + 13 a^{5} + 27 a^{4} + 27 a^{3} + 14 a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 31^{3} + \left(17 a^{24} + 3 a^{23} + 12 a^{22} + 4 a^{21} + 14 a^{20} + 9 a^{19} + 10 a^{18} + 11 a^{17} + 8 a^{16} + 16 a^{15} + 29 a^{14} + 25 a^{12} + 26 a^{11} + 13 a^{10} + 27 a^{9} + 30 a^{8} + 12 a^{7} + 30 a^{6} + 23 a^{5} + 11 a^{4} + 5 a^{2} + 4 a + 30\right)\cdot 31^{4} +O(31^{5})\)
|
| $r_{ 20 }$ | $=$ |
\( 22 a^{24} + 3 a^{23} + 25 a^{22} + 2 a^{21} + 10 a^{20} + 7 a^{19} + a^{18} + 13 a^{17} + 18 a^{16} + 13 a^{15} + a^{14} + 22 a^{13} + 15 a^{12} + 18 a^{11} + 14 a^{10} + 24 a^{9} + 27 a^{8} + 27 a^{7} + 3 a^{6} + 15 a^{5} + 29 a^{4} + 2 a^{3} + 22 a^{2} + 27 a + 28 + \left(20 a^{24} + 11 a^{23} + 7 a^{22} + 16 a^{21} + 2 a^{20} + 21 a^{19} + a^{18} + 9 a^{17} + 21 a^{16} + 6 a^{15} + a^{14} + 2 a^{13} + 29 a^{12} + 26 a^{11} + 25 a^{10} + 28 a^{9} + 28 a^{8} + 4 a^{7} + 22 a^{6} + 12 a^{5} + 4 a^{4} + 7 a^{3} + 3 a + 2\right)\cdot 31 + \left(21 a^{24} + 29 a^{23} + 30 a^{22} + 19 a^{21} + 25 a^{20} + 28 a^{19} + 13 a^{18} + a^{17} + 14 a^{16} + 22 a^{15} + 29 a^{14} + 23 a^{13} + 24 a^{12} + 9 a^{11} + 17 a^{10} + 11 a^{9} + 25 a^{8} + 16 a^{7} + a^{6} + 16 a^{5} + 15 a^{4} + 5 a^{3} + 9 a^{2} + 25 a + 13\right)\cdot 31^{2} + \left(29 a^{24} + 9 a^{23} + 30 a^{22} + 18 a^{21} + 7 a^{20} + 4 a^{19} + 23 a^{18} + 30 a^{17} + 3 a^{16} + 25 a^{15} + 15 a^{14} + 16 a^{13} + 10 a^{12} + 2 a^{11} + 26 a^{10} + 29 a^{9} + 16 a^{8} + 3 a^{7} + 16 a^{6} + 17 a^{5} + 4 a^{4} + 19 a^{3} + 4 a^{2} + 15\right)\cdot 31^{3} + \left(9 a^{24} + 10 a^{23} + 12 a^{22} + 8 a^{21} + 23 a^{20} + 7 a^{19} + 26 a^{18} + 2 a^{17} + 20 a^{16} + 2 a^{15} + 8 a^{14} + 6 a^{13} + 15 a^{12} + 23 a^{11} + 26 a^{10} + 24 a^{9} + 10 a^{8} + a^{7} + 10 a^{6} + a^{4} + 16 a^{3} + 9 a^{2} + 18 a + 28\right)\cdot 31^{4} +O(31^{5})\)
|
| $r_{ 21 }$ | $=$ |
\( 23 a^{24} + 9 a^{23} + 4 a^{22} + 3 a^{21} + 11 a^{20} + 11 a^{19} + 13 a^{18} + 29 a^{17} + 15 a^{16} + 2 a^{15} + 26 a^{14} + 17 a^{13} + 30 a^{12} + 16 a^{11} + 26 a^{10} + 24 a^{9} + 6 a^{8} + 20 a^{7} + 27 a^{5} + 24 a^{4} + 5 a^{3} + 19 a^{2} + 23 a + 18 + \left(26 a^{24} + 29 a^{23} + 13 a^{22} + 14 a^{21} + 15 a^{20} + 17 a^{19} + 26 a^{18} + 16 a^{17} + 27 a^{16} + 30 a^{15} + 30 a^{14} + 24 a^{13} + 19 a^{12} + 10 a^{11} + 27 a^{10} + 19 a^{9} + 17 a^{8} + 16 a^{7} + 16 a^{6} + 14 a^{5} + 13 a^{4} + 2 a^{3} + 10 a^{2} + 15 a + 30\right)\cdot 31 + \left(18 a^{24} + 30 a^{23} + a^{22} + 9 a^{21} + 11 a^{20} + 22 a^{19} + 9 a^{18} + 6 a^{17} + 22 a^{16} + 27 a^{15} + 11 a^{14} + 28 a^{13} + 21 a^{12} + 10 a^{11} + 13 a^{10} + 22 a^{9} + 25 a^{8} + 16 a^{7} + 6 a^{6} + 5 a^{5} + 11 a^{4} + 26 a^{3} + a^{2} + 24 a + 27\right)\cdot 31^{2} + \left(13 a^{24} + 25 a^{23} + 20 a^{22} + 2 a^{21} + 8 a^{20} + 8 a^{19} + 29 a^{18} + 30 a^{17} + 5 a^{16} + 28 a^{15} + 24 a^{14} + 28 a^{13} + 7 a^{12} + 14 a^{11} + 24 a^{10} + 14 a^{9} + 18 a^{8} + 8 a^{7} + 11 a^{6} + 30 a^{5} + 28 a^{4} + 16 a^{3} + 21 a^{2} + 9 a + 21\right)\cdot 31^{3} + \left(16 a^{24} + 25 a^{23} + 2 a^{22} + 7 a^{21} + a^{20} + 6 a^{19} + 23 a^{18} + 25 a^{17} + 11 a^{16} + 8 a^{15} + 7 a^{14} + 8 a^{13} + 29 a^{12} + 7 a^{11} + 28 a^{10} + 29 a^{9} + 25 a^{8} + 16 a^{7} + 8 a^{6} + 26 a^{5} + 13 a^{4} + 11 a^{3} + a^{2} + 8 a + 13\right)\cdot 31^{4} +O(31^{5})\)
|
| $r_{ 22 }$ | $=$ |
\( 23 a^{24} + 14 a^{23} + 14 a^{22} + 5 a^{21} + 4 a^{20} + 9 a^{19} + 26 a^{18} + 15 a^{17} + 7 a^{16} + 23 a^{15} + 22 a^{14} + 4 a^{13} + 24 a^{12} + 11 a^{11} + 14 a^{10} + 16 a^{9} + 13 a^{7} + 12 a^{6} + 9 a^{5} + 20 a^{4} + 15 a^{3} + 4 a^{2} + 19 a + 4 + \left(22 a^{24} + 20 a^{23} + 6 a^{22} + 21 a^{21} + 8 a^{20} + 30 a^{19} + a^{18} + 9 a^{17} + 30 a^{16} + 16 a^{15} + 28 a^{14} + 29 a^{13} + 6 a^{12} + 8 a^{11} + 26 a^{10} + 4 a^{9} + 25 a^{8} + 6 a^{7} + 7 a^{6} + 16 a^{5} + 25 a^{4} + 23 a^{3} + 29 a^{2} + 23\right)\cdot 31 + \left(19 a^{24} + 27 a^{23} + 24 a^{22} + 6 a^{21} + 5 a^{20} + 27 a^{19} + 5 a^{18} + 22 a^{17} + 28 a^{16} + 15 a^{15} + 22 a^{14} + 6 a^{13} + 12 a^{12} + 21 a^{11} + 2 a^{10} + 29 a^{9} + 26 a^{8} + 4 a^{7} + 13 a^{6} + 16 a^{5} + 16 a^{4} + 30 a^{3} + 23 a^{2} + 4 a + 17\right)\cdot 31^{2} + \left(4 a^{24} + 7 a^{23} + 16 a^{22} + 3 a^{21} + 16 a^{20} + 24 a^{19} + 7 a^{18} + 6 a^{17} + 28 a^{16} + 30 a^{15} + 5 a^{14} + 8 a^{13} + 15 a^{12} + 5 a^{11} + 3 a^{10} + 10 a^{9} + 28 a^{8} + 9 a^{7} + 13 a^{5} + 10 a^{4} + 19 a^{3} + 4 a^{2} + 5 a + 4\right)\cdot 31^{3} + \left(8 a^{24} + 18 a^{23} + 10 a^{22} + 7 a^{21} + 18 a^{20} + 29 a^{19} + 21 a^{18} + 4 a^{17} + 12 a^{16} + 7 a^{15} + 29 a^{14} + 21 a^{13} + 16 a^{12} + 27 a^{11} + 9 a^{10} + 24 a^{9} + 21 a^{8} + 9 a^{7} + 16 a^{6} + 21 a^{5} + 2 a^{4} + 29 a^{3} + 12 a^{2} + 29 a + 25\right)\cdot 31^{4} +O(31^{5})\)
|
| $r_{ 23 }$ | $=$ |
\( 25 a^{24} + 30 a^{23} + 10 a^{22} + 2 a^{21} + 23 a^{20} + 28 a^{19} + 5 a^{18} + 28 a^{17} + 8 a^{16} + 24 a^{15} + 6 a^{14} + 18 a^{13} + 23 a^{12} + 5 a^{11} + 27 a^{10} + a^{9} + 20 a^{8} + 29 a^{7} + 12 a^{6} + 28 a^{5} + 6 a^{4} + 8 a^{3} + 17 a^{2} + 22 a + 22 + \left(20 a^{24} + 6 a^{23} + 16 a^{22} + 3 a^{21} + 22 a^{20} + a^{19} + 8 a^{18} + a^{17} + 21 a^{16} + 28 a^{15} + 5 a^{14} + 13 a^{13} + 3 a^{12} + 28 a^{11} + a^{10} + 13 a^{9} + 11 a^{8} + 23 a^{7} + 23 a^{6} + a^{5} + 4 a^{4} + a^{3} + a^{2} + 24 a + 24\right)\cdot 31 + \left(9 a^{24} + 28 a^{23} + 16 a^{22} + 23 a^{21} + 19 a^{20} + 29 a^{19} + 3 a^{18} + 10 a^{17} + 24 a^{16} + 17 a^{15} + 27 a^{14} + 25 a^{13} + 5 a^{12} + 13 a^{11} + 9 a^{10} + 17 a^{9} + 9 a^{8} + 6 a^{6} + 13 a^{5} + 24 a^{4} + 13 a^{3} + 20 a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 31^{2} + \left(20 a^{24} + 28 a^{23} + 4 a^{22} + 17 a^{21} + 3 a^{20} + 4 a^{19} + 6 a^{18} + 28 a^{17} + 28 a^{16} + 22 a^{15} + 29 a^{14} + 6 a^{13} + 17 a^{11} + 20 a^{10} + 21 a^{9} + 26 a^{8} + a^{7} + 12 a^{6} + 6 a^{5} + 17 a^{4} + 7 a^{3} + 8 a^{2} + 24 a + 18\right)\cdot 31^{3} + \left(22 a^{24} + 16 a^{23} + 3 a^{22} + 21 a^{21} + 27 a^{20} + 30 a^{19} + a^{18} + 4 a^{17} + 17 a^{16} + 5 a^{15} + 13 a^{14} + 11 a^{13} + 29 a^{12} + 20 a^{11} + 4 a^{10} + 2 a^{9} + 18 a^{8} + 24 a^{7} + 5 a^{6} + 22 a^{5} + 11 a^{4} + 10 a^{3} + 16 a + 7\right)\cdot 31^{4} +O(31^{5})\)
|
| $r_{ 24 }$ | $=$ |
\( 26 a^{24} + 19 a^{23} + 23 a^{22} + 24 a^{21} + a^{20} + 13 a^{19} + 26 a^{18} + 15 a^{17} + 20 a^{16} + 3 a^{15} + 13 a^{14} + 4 a^{13} + 13 a^{12} + 12 a^{11} + 26 a^{10} + 3 a^{9} + 11 a^{8} + 23 a^{7} + 18 a^{6} + 12 a^{5} + 9 a^{4} + 20 a^{3} + 19 a^{2} + 16 a + 10 + \left(22 a^{24} + 28 a^{23} + 8 a^{22} + a^{21} + 26 a^{20} + 3 a^{19} + 13 a^{18} + 5 a^{17} + 5 a^{16} + 20 a^{15} + 29 a^{14} + 2 a^{12} + 26 a^{11} + 11 a^{10} + 12 a^{9} + 23 a^{8} + 2 a^{6} + 14 a^{5} + 17 a^{4} + 7 a^{3} + 7 a^{2} + 8 a + 19\right)\cdot 31 + \left(a^{24} + 2 a^{23} + 25 a^{22} + 19 a^{21} + 27 a^{20} + 12 a^{19} + 25 a^{18} + 24 a^{17} + 2 a^{16} + 15 a^{15} + 9 a^{14} + 30 a^{13} + 27 a^{12} + 11 a^{11} + 7 a^{10} + a^{9} + 30 a^{8} + 14 a^{7} + 25 a^{6} + 6 a^{5} + 3 a^{4} + 21 a^{3} + 24 a^{2} + 26 a + 2\right)\cdot 31^{2} + \left(28 a^{24} + 14 a^{23} + 6 a^{22} + 17 a^{21} + 10 a^{20} + 27 a^{19} + 2 a^{18} + 12 a^{17} + 28 a^{16} + 4 a^{15} + a^{14} + 17 a^{12} + 17 a^{10} + 24 a^{9} + a^{8} + 22 a^{7} + 5 a^{6} + 2 a^{5} + 22 a^{4} + 19 a^{3} + 5 a^{2} + 28 a + 13\right)\cdot 31^{3} + \left(16 a^{24} + 24 a^{23} + 3 a^{22} + 25 a^{21} + 17 a^{20} + 12 a^{19} + 2 a^{18} + 22 a^{17} + 14 a^{16} + 22 a^{15} + 26 a^{14} + 27 a^{12} + 23 a^{11} + 27 a^{10} + 21 a^{9} + 8 a^{8} + 4 a^{7} + 8 a^{5} + 8 a^{4} + 12 a^{3} + 16 a^{2} + 27 a + 10\right)\cdot 31^{4} +O(31^{5})\)
|
| $r_{ 25 }$ | $=$ |
\( 28 a^{24} + 29 a^{23} + 27 a^{22} + 13 a^{21} + 5 a^{20} + 26 a^{19} + 4 a^{18} + 20 a^{17} + 27 a^{16} + 6 a^{15} + 23 a^{14} + 22 a^{13} + 5 a^{12} + 18 a^{11} + a^{10} + 6 a^{9} + 13 a^{8} + 15 a^{7} + 10 a^{6} + 24 a^{5} + 13 a^{4} + 25 a^{3} + 11 a^{2} + 19 a + 30 + \left(7 a^{24} + 17 a^{23} + 18 a^{22} + a^{21} + 15 a^{20} + 23 a^{19} + 6 a^{18} + 25 a^{17} + a^{16} + 20 a^{15} + 10 a^{14} + 21 a^{13} + 17 a^{12} + 18 a^{11} + 7 a^{10} + 16 a^{9} + 9 a^{8} + 3 a^{7} + 2 a^{6} + 13 a^{5} + 12 a^{3} + 13 a^{2} + 19 a + 7\right)\cdot 31 + \left(9 a^{24} + 14 a^{23} + 21 a^{22} + 23 a^{21} + 21 a^{20} + 15 a^{19} + 2 a^{18} + 22 a^{17} + 22 a^{16} + a^{15} + 17 a^{14} + 8 a^{13} + 16 a^{12} + 10 a^{11} + 29 a^{10} + 29 a^{9} + 14 a^{8} + 25 a^{7} + 29 a^{6} + 17 a^{5} + 2 a^{4} + 26 a^{3} + 23 a^{2} + 15 a + 18\right)\cdot 31^{2} + \left(15 a^{24} + 3 a^{23} + 2 a^{22} + 21 a^{21} + 10 a^{20} + 17 a^{19} + 25 a^{18} + 3 a^{17} + 17 a^{16} + 28 a^{15} + 2 a^{14} + 5 a^{13} + 22 a^{12} + 27 a^{11} + 16 a^{10} + 19 a^{9} + a^{8} + 11 a^{7} + 13 a^{6} + 13 a^{5} + 30 a^{4} + 16 a^{3} + 3 a^{2} + 10 a + 13\right)\cdot 31^{3} + \left(24 a^{24} + 29 a^{23} + 22 a^{22} + 19 a^{21} + 28 a^{20} + 30 a^{19} + 23 a^{18} + 25 a^{17} + 22 a^{16} + 26 a^{15} + 29 a^{14} + 6 a^{13} + 6 a^{12} + 10 a^{11} + 2 a^{10} + 12 a^{9} + 24 a^{8} + 16 a^{7} + 22 a^{6} + 28 a^{5} + 29 a^{4} + 11 a^{3} + 15 a^{2} + a + 7\right)\cdot 31^{4} +O(31^{5})\)
|
Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 25 }$
| Cycle notation |
Character values on conjugacy classes
| Size | Order | Action on $r_1, \ldots, r_{ 25 }$ | Character value |
| $1$ | $1$ | $()$ | $2$ |
| $25$ | $2$ | $(1,8)(2,23)(3,14)(4,9)(5,10)(6,16)(7,22)(11,18)(12,17)(13,25)(15,21)(19,24)$ | $0$ |
| $2$ | $5$ | $(1,16,5,4,12)(2,19,13,21,14)(3,15,25,24,23)(6,8,17,9,10)(7,20,22,11,18)$ | $-\zeta_{25}^{15} - \zeta_{25}^{10} - 1$ |
| $2$ | $5$ | $(1,5,12,16,4)(2,13,14,19,21)(3,25,23,15,24)(6,17,10,8,9)(7,22,18,20,11)$ | $\zeta_{25}^{15} + \zeta_{25}^{10}$ |
| $2$ | $25$ | $(1,19,24,8,18,16,13,23,17,7,5,21,3,9,20,4,14,15,10,22,12,2,25,6,11)$ | $\zeta_{25}^{16} + \zeta_{25}^{9}$ |
| $2$ | $25$ | $(1,24,18,13,17,5,3,20,14,10,12,25,11,19,8,16,23,7,21,9,4,15,22,2,6)$ | $\zeta_{25}^{18} + \zeta_{25}^{7}$ |
| $2$ | $25$ | $(1,8,13,7,3,4,10,2,11,24,16,17,21,20,15,12,6,19,18,23,5,9,14,22,25)$ | $-\zeta_{25}^{18} - \zeta_{25}^{13} - \zeta_{25}^{8} - \zeta_{25}^{3} + \zeta_{25}^{2}$ |
| $2$ | $25$ | $(1,18,17,3,14,12,11,8,23,21,4,22,6,24,13,5,20,10,25,19,16,7,9,15,2)$ | $\zeta_{25}^{14} + \zeta_{25}^{11}$ |
| $2$ | $25$ | $(1,13,3,10,11,16,21,15,6,18,5,14,25,8,7,4,2,24,17,20,12,19,23,9,22)$ | $-\zeta_{25}^{16} - \zeta_{25}^{11} - \zeta_{25}^{6} + \zeta_{25}^{4} - \zeta_{25}$ |
| $2$ | $25$ | $(1,23,20,2,8,5,15,11,13,9,12,24,7,14,6,16,3,22,19,17,4,25,18,21,10)$ | $\zeta_{25}^{13} + \zeta_{25}^{12}$ |
| $2$ | $25$ | $(1,17,14,11,23,4,6,13,20,25,16,9,2,18,3,12,8,21,22,24,5,10,19,7,15)$ | $-\zeta_{25}^{17} - \zeta_{25}^{12} - \zeta_{25}^{7} + \zeta_{25}^{3} - \zeta_{25}^{2}$ |
| $2$ | $25$ | $(1,7,10,24,21,12,18,9,25,13,4,11,17,15,19,5,22,8,3,2,16,20,6,23,14)$ | $\zeta_{25}^{19} + \zeta_{25}^{6}$ |
| $2$ | $25$ | $(1,21,25,17,22,16,14,24,9,11,5,2,23,10,18,4,19,3,6,7,12,13,15,8,20)$ | $-\zeta_{25}^{19} - \zeta_{25}^{14} - \zeta_{25}^{9} - \zeta_{25}^{4} + \zeta_{25}$ |
| $2$ | $25$ | $(1,3,11,21,6,5,25,7,2,17,12,23,22,13,10,16,15,18,14,8,4,24,20,19,9)$ | $\zeta_{25}^{17} + \zeta_{25}^{8}$ |
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.