# Properties

 Label 2.900.24t65.b.b Dimension $2$ Group $C_{12}\times S_3$ Conductor $900$ Root number not computed Indicator $0$

# Related objects

## Basic invariants

 Dimension: $2$ Group: 24T65 Conductor: $$900$$$$\medspace = 2^{2} \cdot 3^{2} \cdot 5^{2}$$ Artin stem field: 24.0.2754990144000000000000000000.1 Galois orbit size: $4$ Smallest permutation container: 24T65 Parity: odd Determinant: 1.36.6t1.b.b Projective image: $S_3$ Projective stem field: 3.1.1620.1

## Defining polynomial

 $f(x)$ $=$ $$x^{24} - 2 x^{23} + 5 x^{22} - 12 x^{21} + 16 x^{20} - 30 x^{19} + 35 x^{18} - 36 x^{17} + 47 x^{16} - 36 x^{15} + 9 x^{14} - 16 x^{13} + 39 x^{12} + 80 x^{11} + 53 x^{10} - 46 x^{8} - 20 x^{7} + 34 x^{6} + 50 x^{5} + 38 x^{4} + 18 x^{3} + 9 x^{2} + 4 x + 1$$  .

The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 43 }$ to precision 8.

Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 43 }$: $$x^{12} + 34 x^{7} + 27 x^{6} + 16 x^{5} + 17 x^{4} + 6 x^{3} + 23 x^{2} + 38 x + 3$$

Roots:
 $r_{ 1 }$ $=$ $$41 a^{11} + 32 a^{10} + 8 a^{9} + 7 a^{8} + 32 a^{7} + 3 a^{6} + 17 a^{5} + 28 a^{4} + 29 a^{3} + 32 a^{2} + 4 a + 31 + \left(29 a^{11} + 20 a^{10} + 42 a^{9} + 10 a^{8} + 4 a^{7} + 40 a^{6} + 34 a^{5} + 16 a^{4} + 39 a^{3} + 21 a^{2} + 18 a + 21\right)\cdot 43 + \left(18 a^{11} + 10 a^{10} + 22 a^{9} + 3 a^{8} + 40 a^{7} + 13 a^{6} + 37 a^{5} + 42 a^{4} + 11 a^{2} + 27 a + 23\right)\cdot 43^{2} + \left(26 a^{11} + 26 a^{10} + 37 a^{9} + 33 a^{8} + 31 a^{7} + 26 a^{6} + 6 a^{5} + 37 a^{4} + 21 a^{3} + 17 a^{2} + a + 15\right)\cdot 43^{3} + \left(28 a^{11} + 32 a^{10} + 11 a^{9} + 6 a^{8} + 17 a^{7} + 29 a^{6} + 29 a^{5} + 24 a^{4} + 30 a^{3} + 34 a^{2} + 29 a + 20\right)\cdot 43^{4} + \left(36 a^{11} + 19 a^{10} + 10 a^{9} + 11 a^{8} + 29 a^{7} + 3 a^{6} + 20 a^{5} + 39 a^{3} + 38 a^{2} + 18 a + 9\right)\cdot 43^{5} + \left(22 a^{11} + 34 a^{10} + 13 a^{9} + 38 a^{8} + 19 a^{7} + 6 a^{6} + 30 a^{5} + 34 a^{4} + 34 a^{3} + 2 a^{2} + 28 a + 33\right)\cdot 43^{6} + \left(41 a^{11} + 5 a^{10} + 13 a^{9} + 42 a^{8} + 22 a^{7} + 3 a^{6} + 35 a^{5} + 41 a^{4} + 21 a^{3} + 11 a^{2} + 37 a + 14\right)\cdot 43^{7} +O(43^{8})$$ $r_{ 2 }$ $=$ $$42 a^{11} + 40 a^{10} + 2 a^{9} + a^{8} + 7 a^{7} + 3 a^{6} + 36 a^{5} + 10 a^{4} + 6 a^{3} + 14 a^{2} + 6 a + 19 + \left(37 a^{11} + 2 a^{10} + 24 a^{9} + 23 a^{7} + 29 a^{6} + 12 a^{5} + 21 a^{4} + 14 a^{3} + 22 a^{2} + 8 a + 26\right)\cdot 43 + \left(15 a^{11} + 5 a^{10} + 13 a^{9} + 26 a^{8} + 26 a^{7} + 26 a^{6} + 16 a^{5} + a^{4} + 37 a^{3} + 33 a^{2} + 12 a + 9\right)\cdot 43^{2} + \left(13 a^{11} + 3 a^{10} + 11 a^{9} + 35 a^{8} + 24 a^{7} + 42 a^{6} + 35 a^{5} + 11 a^{4} + 20 a^{3} + 10 a^{2} + 8 a\right)\cdot 43^{3} + \left(4 a^{11} + 37 a^{10} + 6 a^{9} + 22 a^{8} + 33 a^{7} + 24 a^{5} + 17 a^{4} + 40 a^{3} + 34 a^{2} + 12 a + 18\right)\cdot 43^{4} + \left(42 a^{11} + 33 a^{10} + 21 a^{9} + 24 a^{8} + 4 a^{7} + a^{6} + 8 a^{5} + 33 a^{4} + 17 a^{3} + 34 a^{2} + 27 a + 28\right)\cdot 43^{5} + \left(7 a^{11} + 14 a^{10} + 10 a^{9} + 17 a^{8} + 20 a^{7} + 4 a^{6} + 28 a^{5} + 5 a^{4} + 24 a^{3} + 18 a^{2} + 32 a + 13\right)\cdot 43^{6} + \left(24 a^{11} + 31 a^{10} + 39 a^{9} + 18 a^{8} + 11 a^{7} + 14 a^{6} + 38 a^{5} + 10 a^{4} + 42 a^{3} + 2 a^{2} + 19 a + 31\right)\cdot 43^{7} +O(43^{8})$$ $r_{ 3 }$ $=$ $$40 a^{11} + 18 a^{10} + 12 a^{9} + 20 a^{8} + 32 a^{7} + 7 a^{6} + 13 a^{5} + 12 a^{4} + 22 a^{3} + 16 a^{2} + 23 a + 22 + \left(10 a^{11} + 37 a^{10} + 27 a^{9} + 41 a^{8} + 6 a^{7} + 2 a^{6} + 42 a^{5} + 12 a^{4} + 24 a^{3} + 20 a^{2} + 19 a + 22\right)\cdot 43 + \left(27 a^{11} + 28 a^{10} + 14 a^{9} + 19 a^{8} + 35 a^{7} + 39 a^{6} + 8 a^{5} + 6 a^{4} + 21 a^{3} + 27 a^{2} + 33 a + 39\right)\cdot 43^{2} + \left(26 a^{11} + 28 a^{10} + 19 a^{9} + 15 a^{8} + 41 a^{7} + 14 a^{6} + 12 a^{5} + 14 a^{4} + 23 a^{3} + 11 a^{2} + 11 a + 33\right)\cdot 43^{3} + \left(42 a^{11} + 31 a^{10} + 30 a^{9} + 14 a^{8} + 41 a^{7} + 32 a^{6} + 4 a^{5} + 8 a^{4} + 33 a^{3} + 5 a^{2} + 20 a + 25\right)\cdot 43^{4} + \left(7 a^{11} + 15 a^{10} + 9 a^{9} + 23 a^{8} + 9 a^{7} + 27 a^{6} + 35 a^{5} + 34 a^{3} + 19 a^{2} + 34 a + 34\right)\cdot 43^{5} + \left(2 a^{11} + 37 a^{10} + 32 a^{9} + 26 a^{8} + 37 a^{7} + 3 a^{6} + 34 a^{5} + 38 a^{4} + 31 a^{3} + 37 a^{2} + 26 a + 10\right)\cdot 43^{6} + \left(29 a^{11} + 37 a^{10} + 12 a^{9} + 23 a^{8} + 11 a^{7} + 30 a^{6} + 18 a^{5} + 8 a^{4} + 13 a^{3} + 42 a^{2} + 5 a + 22\right)\cdot 43^{7} +O(43^{8})$$ $r_{ 4 }$ $=$ $$7 a^{11} + 20 a^{10} + 28 a^{9} + 2 a^{8} + 35 a^{7} + 23 a^{6} + 10 a^{5} + 39 a^{4} + 17 a^{3} + 36 a^{2} + 12 a + 8 + \left(25 a^{11} + 38 a^{10} + 19 a^{9} + 16 a^{8} + 37 a^{7} + 19 a^{6} + 41 a^{5} + 28 a^{4} + 24 a^{3} + a^{2} + 14 a + 12\right)\cdot 43 + \left(4 a^{11} + 36 a^{10} + 26 a^{9} + 32 a^{8} + 22 a^{7} + 28 a^{6} + 20 a^{4} + 27 a^{3} + 12 a^{2} + 11 a + 39\right)\cdot 43^{2} + \left(12 a^{11} + 35 a^{10} + 14 a^{9} + 5 a^{8} + 31 a^{7} + 17 a^{6} + 28 a^{5} + 20 a^{4} + 5 a^{3} + 9 a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 43^{3} + \left(39 a^{11} + 5 a^{10} + 27 a^{9} + 35 a^{8} + 19 a^{7} + 7 a^{6} + a^{4} + 41 a^{3} + 17 a^{2} + 28 a + 30\right)\cdot 43^{4} + \left(10 a^{11} + 10 a^{10} + 24 a^{9} + 37 a^{8} + 26 a^{7} + 12 a^{6} + 13 a^{5} + 28 a^{4} + 4 a^{3} + 29 a^{2} + 35 a + 7\right)\cdot 43^{5} + \left(41 a^{10} + 4 a^{9} + 15 a^{8} + 14 a^{7} + 3 a^{6} + 33 a^{5} + 23 a^{4} + 6 a^{3} + 19 a^{2} + 13 a + 42\right)\cdot 43^{6} + \left(25 a^{11} + 2 a^{10} + 3 a^{9} + 14 a^{8} + 28 a^{7} + 28 a^{6} + 41 a^{5} + 13 a^{4} + 33 a^{3} + 14 a^{2} + 41 a + 4\right)\cdot 43^{7} +O(43^{8})$$ $r_{ 5 }$ $=$ $$21 a^{11} + 22 a^{10} + 11 a^{9} + 16 a^{8} + 12 a^{7} + 33 a^{6} + 30 a^{5} + 12 a^{4} + a^{3} + 39 a^{2} + 17 a + 11 + \left(19 a^{11} + 14 a^{10} + 15 a^{9} + 39 a^{8} + 2 a^{7} + 25 a^{6} + 25 a^{5} + 3 a^{4} + 23 a^{3} + 35 a^{2} + 16 a + 7\right)\cdot 43 + \left(16 a^{11} + 5 a^{10} + 11 a^{9} + 14 a^{8} + 5 a^{7} + 25 a^{6} + 11 a^{5} + 37 a^{4} + 17 a^{3} + 20 a^{2} + 30 a + 4\right)\cdot 43^{2} + \left(31 a^{11} + 39 a^{10} + 8 a^{9} + 34 a^{7} + 9 a^{6} + 2 a^{5} + 30 a^{4} + 34 a^{3} + 26 a^{2} + 34 a + 42\right)\cdot 43^{3} + \left(23 a^{11} + 42 a^{10} + 39 a^{9} + 27 a^{8} + 34 a^{7} + 6 a^{6} + 42 a^{5} + 24 a^{4} + 33 a^{3} + 38 a^{2} + a + 5\right)\cdot 43^{4} + \left(16 a^{11} + 25 a^{10} + 35 a^{9} + 29 a^{8} + 4 a^{7} + 16 a^{6} + a^{5} + 10 a^{4} + 36 a^{3} + 9 a^{2} + 5 a + 14\right)\cdot 43^{5} + \left(30 a^{11} + 3 a^{10} + 29 a^{9} + 18 a^{8} + 39 a^{7} + 8 a^{6} + 11 a^{5} + 10 a^{4} + 28 a^{3} + 6 a^{2} + 5 a + 11\right)\cdot 43^{6} + \left(12 a^{11} + 27 a^{10} + 36 a^{9} + 40 a^{8} + 21 a^{7} + 32 a^{6} + 4 a^{5} + 23 a^{4} + 33 a^{3} + 27 a^{2} + 22 a + 16\right)\cdot 43^{7} +O(43^{8})$$ $r_{ 6 }$ $=$ $$21 a^{11} + 7 a^{10} + 32 a^{9} + 28 a^{8} + 7 a^{7} + 31 a^{6} + 4 a^{5} + a^{4} + 34 a^{3} + 30 a^{2} + 40 a + 26 + \left(2 a^{11} + 14 a^{10} + 14 a^{9} + 34 a^{8} + 26 a^{7} + 24 a^{6} + 38 a^{5} + 27 a^{4} + 35 a^{3} + 32 a^{2} + 40 a + 35\right)\cdot 43 + \left(28 a^{11} + 26 a^{10} + 6 a^{9} + 36 a^{8} + 8 a^{7} + 5 a^{6} + 39 a^{5} + 13 a^{4} + 15 a^{3} + 31 a^{2} + 36 a + 20\right)\cdot 43^{2} + \left(23 a^{11} + 19 a^{10} + a^{9} + 4 a^{8} + 20 a^{7} + 41 a^{6} + 14 a^{5} + 42 a^{4} + 17 a^{3} + 25 a^{2} + 2\right)\cdot 43^{3} + \left(8 a^{11} + 22 a^{10} + 39 a^{9} + 29 a^{8} + 29 a^{7} + 32 a^{6} + 30 a^{5} + 13 a^{4} + 4 a^{2} + 42 a + 35\right)\cdot 43^{4} + \left(22 a^{11} + 22 a^{10} + 9 a^{9} + 4 a^{8} + 25 a^{7} + 27 a^{6} + 39 a^{5} + 23 a^{4} + 38 a^{3} + 3 a^{2} + 19 a + 13\right)\cdot 43^{5} + \left(13 a^{11} + 4 a^{10} + 10 a^{9} + 3 a^{8} + 15 a^{7} + 39 a^{6} + 36 a^{5} + 34 a^{4} + 16 a^{3} + 29 a^{2} + 10 a + 11\right)\cdot 43^{6} + \left(39 a^{11} + 33 a^{10} + 9 a^{9} + 6 a^{8} + 8 a^{7} + 30 a^{6} + 7 a^{5} + 41 a^{4} + 12 a^{3} + 22 a^{2} + 21 a + 12\right)\cdot 43^{7} +O(43^{8})$$ $r_{ 7 }$ $=$ $$39 a^{11} + 42 a^{10} + 40 a^{9} + 38 a^{8} + 39 a^{7} + 31 a^{6} + 32 a^{5} + 35 a^{4} + 17 a^{3} + 41 a^{2} + 18 a + 1 + \left(41 a^{11} + 5 a^{10} + 10 a^{9} + 9 a^{8} + 29 a^{7} + 28 a^{6} + 29 a^{5} + 17 a^{4} + 20 a^{3} + 39 a^{2} + 37 a + 33\right)\cdot 43 + \left(19 a^{11} + 16 a^{10} + 5 a^{9} + 29 a^{8} + 19 a^{7} + 23 a^{6} + 36 a^{5} + 5 a^{4} + 7 a^{3} + 39 a^{2} + 5 a + 35\right)\cdot 43^{2} + \left(6 a^{11} + 30 a^{10} + 5 a^{9} + 30 a^{8} + 30 a^{7} + 40 a^{6} + 32 a^{5} + 27 a^{4} + 26 a^{3} + 12 a^{2} + 38 a + 15\right)\cdot 43^{3} + \left(13 a^{11} + 2 a^{10} + 33 a^{9} + 31 a^{8} + 40 a^{7} + 6 a^{6} + 5 a^{5} + 37 a^{4} + a^{3} + 35 a^{2} + 40 a + 22\right)\cdot 43^{4} + \left(12 a^{11} + 40 a^{10} + 41 a^{9} + 35 a^{8} + 4 a^{7} + 19 a^{6} + 27 a^{5} + 39 a^{4} + 18 a^{3} + a^{2} + 2 a + 22\right)\cdot 43^{5} + \left(26 a^{11} + 40 a^{10} + 26 a^{9} + 11 a^{8} + 30 a^{7} + 33 a^{6} + 32 a^{5} + 18 a^{4} + 18 a^{3} + 20 a^{2} + 28 a + 25\right)\cdot 43^{6} + \left(41 a^{11} + 32 a^{10} + 42 a^{9} + 40 a^{8} + 27 a^{7} + 28 a^{6} + 33 a^{5} + 40 a^{4} + 35 a^{3} + 42 a^{2} + 17 a + 21\right)\cdot 43^{7} +O(43^{8})$$ $r_{ 8 }$ $=$ $$9 a^{11} + 32 a^{10} + 10 a^{9} + 2 a^{8} + 14 a^{7} + 4 a^{6} + 36 a^{5} + 40 a^{4} + 26 a^{3} + 3 a^{2} + 36 a + 11 + \left(19 a^{11} + 32 a^{10} + 20 a^{9} + 19 a^{8} + 4 a^{7} + a^{6} + 41 a^{5} + 7 a^{4} + 8 a^{3} + 14 a^{2} + 42 a + 21\right)\cdot 43 + \left(38 a^{11} + 35 a^{10} + 3 a^{9} + 16 a^{8} + 12 a^{7} + 19 a^{6} + 28 a^{5} + 3 a^{4} + 15 a^{3} + 31 a^{2} + 22 a + 15\right)\cdot 43^{2} + \left(17 a^{11} + 37 a^{10} + 27 a^{9} + 22 a^{8} + 7 a^{7} + 14 a^{6} + 14 a^{5} + 7 a^{4} + 6 a^{3} + 14 a^{2} + 13 a + 22\right)\cdot 43^{3} + \left(15 a^{11} + 7 a^{10} + 40 a^{9} + 9 a^{8} + 4 a^{7} + 26 a^{6} + 13 a^{5} + 19 a^{4} + 42 a^{3} + 4 a^{2} + 37 a + 19\right)\cdot 43^{4} + \left(30 a^{11} + 29 a^{10} + 37 a^{9} + 12 a^{8} + 5 a^{7} + 29 a^{6} + 28 a^{5} + 8 a^{4} + 34 a^{3} + 14 a + 16\right)\cdot 43^{5} + \left(32 a^{11} + 31 a^{10} + 29 a^{9} + 23 a^{8} + 37 a^{7} + 25 a^{6} + 27 a^{5} + 26 a^{4} + 8 a^{3} + 39 a^{2} + 42 a + 20\right)\cdot 43^{6} + \left(2 a^{11} + 8 a^{10} + 9 a^{9} + 18 a^{8} + 38 a^{7} + 3 a^{6} + 2 a^{5} + 9 a^{4} + 28 a^{3} + a^{2} + 35 a + 26\right)\cdot 43^{7} +O(43^{8})$$ $r_{ 9 }$ $=$ $$37 a^{11} + 15 a^{10} + 13 a^{9} + 12 a^{8} + 29 a^{7} + 24 a^{6} + 42 a^{5} + 9 a^{4} + 34 a^{3} + 24 a^{2} + 28 a + 30 + \left(12 a^{11} + 20 a^{10} + 37 a^{9} + 23 a^{8} + 3 a^{7} + 27 a^{6} + 13 a^{5} + 31 a^{4} + 35 a^{3} + 29 a^{2} + 29 a + 19\right)\cdot 43 + \left(4 a^{11} + 24 a^{10} + 39 a^{9} + 18 a^{8} + 6 a^{7} + 23 a^{6} + 4 a^{5} + 2 a^{4} + 29 a^{3} + 7 a^{2} + 33 a + 4\right)\cdot 43^{2} + \left(26 a^{11} + 17 a^{10} + 41 a^{9} + 15 a^{8} + 13 a^{7} + 3 a^{6} + 40 a^{5} + 10 a^{4} + 4 a^{3} + 28 a^{2} + 25 a + 40\right)\cdot 43^{3} + \left(35 a^{11} + 35 a^{10} + 12 a^{9} + 40 a^{8} + 12 a^{7} + 18 a^{6} + 30 a^{5} + 30 a^{4} + 13 a^{3} + 35 a^{2} + 4 a + 19\right)\cdot 43^{4} + \left(12 a^{11} + 33 a^{10} + 18 a^{9} + 18 a^{8} + 26 a^{7} + 33 a^{6} + 23 a^{5} + 8 a^{4} + 27 a^{3} + 38 a^{2} + 40 a + 4\right)\cdot 43^{5} + \left(32 a^{11} + 36 a^{10} + 5 a^{9} + 39 a^{8} + 42 a^{7} + 40 a^{6} + 34 a^{5} + 24 a^{4} + 38 a^{3} + 24 a^{2} + 30 a + 24\right)\cdot 43^{6} + \left(38 a^{11} + 15 a^{10} + 17 a^{9} + 42 a^{8} + 7 a^{7} + 27 a^{6} + 23 a^{5} + 18 a^{4} + 7 a^{3} + 18 a^{2} + 28 a + 39\right)\cdot 43^{7} +O(43^{8})$$ $r_{ 10 }$ $=$ $$21 a^{11} + 2 a^{10} + 42 a^{9} + 20 a^{8} + 16 a^{7} + 37 a^{6} + 16 a^{5} + 19 a^{4} + 12 a^{3} + 11 a^{2} + 7 a + 15 + \left(15 a^{11} + 29 a^{10} + 19 a^{9} + 36 a^{8} + 26 a^{7} + 12 a^{6} + 5 a^{5} + 9 a^{4} + 5 a^{3} + 42 a^{2} + a + 39\right)\cdot 43 + \left(34 a^{11} + 21 a^{10} + 18 a^{9} + 31 a^{8} + 26 a^{7} + 17 a^{6} + 6 a^{5} + 11 a^{4} + 39 a^{3} + 32 a^{2} + 41 a + 17\right)\cdot 43^{2} + \left(17 a^{11} + 28 a^{10} + 7 a^{9} + a^{8} + 17 a^{7} + 17 a^{6} + 27 a^{5} + 25 a^{3} + 27 a^{2} + 25 a + 30\right)\cdot 43^{3} + \left(17 a^{11} + 12 a^{10} + 10 a^{9} + 13 a^{8} + 15 a^{7} + 27 a^{6} + 37 a^{5} + 36 a^{4} + 32 a^{3} + 31 a^{2} + 17 a + 16\right)\cdot 43^{4} + \left(39 a^{10} + 23 a^{9} + 29 a^{8} + 15 a^{7} + 24 a^{6} + 18 a^{5} + 32 a^{4} + 13 a^{3} + 37 a^{2} + 5 a + 14\right)\cdot 43^{5} + \left(32 a^{11} + 23 a^{10} + 25 a^{9} + 20 a^{8} + 35 a^{7} + 37 a^{6} + 40 a^{5} + 18 a^{4} + 21 a^{3} + 28 a^{2} + 40 a + 5\right)\cdot 43^{6} + \left(40 a^{11} + 29 a^{10} + 16 a^{9} + 22 a^{8} + 10 a^{7} + 4 a^{6} + 39 a^{5} + 6 a^{4} + 38 a^{3} + 2 a^{2} + 14 a + 39\right)\cdot 43^{7} +O(43^{8})$$ $r_{ 11 }$ $=$ $$37 a^{11} + 3 a^{10} + 41 a^{9} + 30 a^{8} + 10 a^{7} + 32 a^{6} + 2 a^{5} + 7 a^{4} + 3 a^{3} + 5 a^{2} + 12 a + 25 + \left(35 a^{11} + 2 a^{10} + 8 a^{9} + 15 a^{7} + 39 a^{6} + 23 a^{5} + 23 a^{4} + 13 a^{3} + 11 a^{2} + 38 a\right)\cdot 43 + \left(20 a^{10} + 17 a^{9} + 24 a^{8} + 6 a^{7} + 35 a^{6} + 37 a^{5} + 38 a^{4} + 18 a^{3} + 3 a^{2} + 5 a + 41\right)\cdot 43^{2} + \left(36 a^{11} + 27 a^{10} + 36 a^{9} + 9 a^{8} + 18 a^{7} + 28 a^{6} + 13 a^{5} + 27 a^{4} + 40 a^{3} + 15 a^{2} + 8 a + 36\right)\cdot 43^{3} + \left(4 a^{11} + 28 a^{10} + 10 a^{9} + 10 a^{8} + 34 a^{7} + 31 a^{6} + 12 a^{5} + 4 a^{4} + 29 a^{3} + 13 a^{2} + 4 a + 32\right)\cdot 43^{4} + \left(30 a^{11} + 34 a^{10} + 35 a^{8} + 36 a^{7} + 2 a^{6} + 4 a^{5} + 24 a^{4} + 29 a^{3} + 42 a^{2} + 36 a + 14\right)\cdot 43^{5} + \left(13 a^{11} + 5 a^{10} + 34 a^{9} + 36 a^{7} + 2 a^{6} + 14 a^{5} + 36 a^{4} + 3 a^{3} + 40 a^{2} + 2 a + 1\right)\cdot 43^{6} + \left(42 a^{11} + 14 a^{10} + 14 a^{9} + 29 a^{8} + 4 a^{7} + 36 a^{6} + 22 a^{5} + 40 a^{4} + 15 a^{3} + 24 a^{2} + 38 a + 9\right)\cdot 43^{7} +O(43^{8})$$ $r_{ 12 }$ $=$ $$5 a^{11} + 36 a^{10} + 29 a^{9} + 17 a^{8} + 30 a^{7} + 30 a^{6} + 40 a^{5} + 23 a^{4} + 15 a^{3} + 20 a^{2} + 3 a + 3 + \left(32 a^{11} + 14 a^{10} + 26 a^{9} + 35 a^{8} + 8 a^{7} + 22 a^{6} + 10 a^{5} + 12 a^{4} + 11 a^{3} + 23 a^{2} + 20 a + 35\right)\cdot 43 + \left(15 a^{11} + 12 a^{10} + 30 a^{9} + 23 a^{7} + 13 a^{6} + 33 a^{5} + 34 a^{4} + 8 a^{3} + 38 a^{2} + 18 a + 9\right)\cdot 43^{2} + \left(35 a^{11} + 32 a^{10} + 30 a^{9} + 3 a^{8} + 14 a^{7} + 31 a^{6} + 32 a^{5} + 34 a^{4} + 40 a^{3} + 42 a^{2} + 16 a + 41\right)\cdot 43^{3} + \left(26 a^{11} + 39 a^{10} + 19 a^{9} + 18 a^{8} + 23 a^{7} + 14 a^{6} + 6 a^{4} + 7 a^{3} + 35 a^{2} + 24 a + 40\right)\cdot 43^{4} + \left(4 a^{11} + 36 a^{10} + 28 a^{9} + 21 a^{8} + 23 a^{7} + 29 a^{6} + 40 a^{5} + 9 a^{4} + 15 a^{3} + 17 a^{2} + 11 a + 15\right)\cdot 43^{5} + \left(23 a^{11} + 29 a^{10} + 31 a^{9} + 8 a^{8} + 40 a^{7} + 39 a^{6} + 34 a^{5} + 13 a^{4} + 19 a^{3} + 37 a^{2} + 6 a + 39\right)\cdot 43^{6} + \left(6 a^{11} + 34 a^{10} + a^{8} + 28 a^{7} + 34 a^{6} + 5 a^{5} + 26 a^{4} + 13 a^{3} + 16 a^{2} + 42 a + 1\right)\cdot 43^{7} +O(43^{8})$$ $r_{ 13 }$ $=$ $$9 a^{11} + 38 a^{10} + 9 a^{9} + 32 a^{8} + 42 a^{7} + 14 a^{6} + 9 a^{5} + 3 a^{4} + 9 a^{3} + 21 a^{2} + 31 a + 25 + \left(9 a^{11} + 7 a^{10} + 34 a^{9} + 17 a^{8} + 6 a^{7} + 39 a^{6} + 33 a^{5} + 22 a^{4} + 34 a^{3} + 23 a^{2} + 39 a + 42\right)\cdot 43 + \left(32 a^{11} + 24 a^{10} + 41 a^{9} + 16 a^{8} + 26 a^{7} + 14 a^{6} + 39 a^{5} + 19 a^{4} + 17 a^{3} + a^{2} + 14 a + 34\right)\cdot 43^{2} + \left(35 a^{11} + 22 a^{10} + 8 a^{9} + 41 a^{8} + 18 a^{7} + 40 a^{6} + 34 a^{5} + 30 a^{4} + 6 a^{3} + 27 a^{2} + 29 a + 5\right)\cdot 43^{3} + \left(a^{11} + 24 a^{10} + 31 a^{9} + 25 a^{8} + 13 a^{7} + 15 a^{6} + 5 a^{5} + 42 a^{4} + 9 a^{3} + 29 a^{2} + 28 a + 31\right)\cdot 43^{4} + \left(4 a^{11} + 20 a^{10} + 2 a^{9} + 14 a^{8} + 31 a^{6} + 32 a^{5} + 30 a^{4} + 41 a^{3} + 38 a^{2} + 15 a\right)\cdot 43^{5} + \left(10 a^{11} + 4 a^{10} + 39 a^{9} + 11 a^{8} + 21 a^{7} + 4 a^{6} + 17 a^{5} + 21 a^{4} + 29 a^{3} + 9 a + 22\right)\cdot 43^{6} + \left(12 a^{11} + 28 a^{10} + 28 a^{9} + 15 a^{8} + 40 a^{7} + 42 a^{6} + 5 a^{5} + 23 a^{4} + 35 a^{3} + 17 a^{2} + 18 a + 21\right)\cdot 43^{7} +O(43^{8})$$ $r_{ 14 }$ $=$ $$10 a^{11} + 6 a^{10} + 19 a^{9} + 21 a^{8} + 31 a^{7} + 9 a^{6} + 23 a^{5} + 20 a^{4} + 25 a^{3} + 41 a^{2} + 35 a + 39 + \left(4 a^{11} + 14 a^{10} + 5 a^{9} + 6 a^{8} + 14 a^{7} + 30 a^{6} + 14 a^{5} + 33 a^{4} + 36 a^{3} + 26 a^{2} + 12 a + 18\right)\cdot 43 + \left(7 a^{11} + 38 a^{10} + 7 a^{9} + 14 a^{8} + 12 a^{7} + 31 a^{6} + 11 a^{5} + 5 a^{4} + 27 a^{3} + 17 a^{2} + 6 a + 21\right)\cdot 43^{2} + \left(18 a^{11} + 16 a^{10} + 19 a^{9} + a^{8} + 18 a^{7} + 4 a^{6} + 23 a^{5} + 12 a^{4} + 41 a^{3} + 10 a^{2} + 5\right)\cdot 43^{3} + \left(38 a^{11} + 3 a^{10} + 32 a^{9} + 10 a^{8} + 5 a^{7} + 16 a^{6} + 28 a^{5} + 2 a^{4} + 11 a^{3} + 15 a^{2} + 12 a + 13\right)\cdot 43^{4} + \left(22 a^{11} + 20 a^{10} + 12 a^{8} + 7 a^{7} + 28 a^{6} + 16 a^{5} + 14 a^{4} + 34 a^{3} + 21 a^{2}\right)\cdot 43^{5} + \left(25 a^{11} + 25 a^{10} + 21 a^{9} + 32 a^{8} + 39 a^{7} + a^{6} + 38 a^{5} + 38 a^{4} + 36 a^{3} + 36 a^{2} + 5 a + 39\right)\cdot 43^{6} + \left(21 a^{11} + 25 a^{10} + 31 a^{9} + 3 a^{8} + 17 a^{7} + 37 a^{6} + 37 a^{5} + 26 a^{4} + 13 a^{3} + 33 a^{2} + 2 a + 19\right)\cdot 43^{7} +O(43^{8})$$ $r_{ 15 }$ $=$ $$40 a^{11} + 33 a^{10} + 23 a^{9} + 18 a^{8} + 30 a^{7} + 21 a^{6} + 35 a^{5} + 37 a^{4} + 17 a^{3} + 18 a^{2} + 5 a + 32 + \left(28 a^{11} + 31 a^{10} + 29 a^{9} + 2 a^{8} + 8 a^{7} + 10 a^{6} + 12 a^{5} + 15 a^{4} + 36 a^{3} + 22 a^{2} + 13 a + 30\right)\cdot 43 + \left(39 a^{11} + 37 a^{10} + 29 a^{9} + 40 a^{8} + 27 a^{7} + 41 a^{6} + 5 a^{5} + 5 a^{4} + 14 a^{3} + 9 a^{2} + 18 a + 29\right)\cdot 43^{2} + \left(32 a^{10} + 18 a^{9} + 24 a^{8} + 34 a^{7} + 3 a^{6} + 39 a^{4} + 39 a^{3} + 8 a^{2} + 17 a + 19\right)\cdot 43^{3} + \left(8 a^{11} + 6 a^{10} + 8 a^{9} + 14 a^{8} + 22 a^{7} + 36 a^{6} + 4 a^{5} + 26 a^{4} + 5 a^{3} + 22 a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 43^{4} + \left(9 a^{11} + 20 a^{10} + 32 a^{9} + 2 a^{8} + 15 a^{7} + 9 a^{6} + 22 a^{5} + 21 a^{4} + 12 a^{3} + 20 a^{2} + 37 a + 9\right)\cdot 43^{5} + \left(23 a^{11} + 9 a^{10} + 34 a^{9} + 20 a^{8} + 40 a^{7} + 41 a^{6} + 33 a^{5} + 34 a^{4} + 42 a^{3} + 13 a^{2} + 20 a + 32\right)\cdot 43^{6} + \left(24 a^{11} + 7 a^{10} + 36 a^{9} + 16 a^{8} + 25 a^{7} + 12 a^{6} + 34 a^{5} + 26 a^{3} + 4 a^{2} + 7 a + 19\right)\cdot 43^{7} +O(43^{8})$$ $r_{ 16 }$ $=$ $$28 a^{11} + 36 a^{10} + 14 a^{9} + 24 a^{8} + 27 a^{7} + 20 a^{6} + 21 a^{5} + 14 a^{4} + 18 a^{3} + 4 a^{2} + 22 a + 21 + \left(30 a^{11} + 28 a^{10} + 37 a^{9} + 19 a^{8} + 36 a^{7} + 16 a^{6} + 42 a^{5} + 17 a^{4} + 16 a^{3} + 41 a^{2} + 39 a + 28\right)\cdot 43 + \left(40 a^{11} + 16 a^{10} + 25 a^{9} + 22 a^{8} + 38 a^{7} + 26 a^{6} + 42 a^{5} + 28 a^{4} + 36 a^{3} + 8 a^{2} + 34 a + 22\right)\cdot 43^{2} + \left(29 a^{11} + 14 a^{10} + a^{9} + 39 a^{8} + 32 a^{7} + 3 a^{6} + 23 a^{5} + 15 a^{4} + 21 a^{3} + 2 a^{2} + 14 a + 19\right)\cdot 43^{3} + \left(5 a^{11} + 24 a^{10} + 35 a^{9} + 16 a^{8} + 21 a^{7} + 39 a^{6} + 5 a^{5} + 20 a^{4} + 12 a^{3} + 11 a^{2} + 22 a + 4\right)\cdot 43^{4} + \left(39 a^{11} + 42 a^{10} + 4 a^{9} + 15 a^{8} + 10 a^{7} + 24 a^{6} + 33 a^{5} + 37 a^{4} + 8 a^{3} + 13 a^{2} + 42 a + 40\right)\cdot 43^{5} + \left(8 a^{11} + 18 a^{10} + 8 a^{9} + 30 a^{8} + 28 a^{7} + 20 a^{6} + 13 a^{5} + 18 a^{4} + 4 a^{3} + 27 a + 27\right)\cdot 43^{6} + \left(13 a^{11} + 8 a^{10} + 40 a^{9} + 18 a^{8} + 8 a^{7} + 34 a^{6} + 7 a^{5} + 9 a^{4} + 8 a^{3} + 17 a^{2} + 14 a + 6\right)\cdot 43^{7} +O(43^{8})$$ $r_{ 17 }$ $=$ $$2 a^{11} + 33 a^{10} + 8 a^{9} + 26 a^{8} + 24 a^{7} + 3 a^{6} + 34 a^{5} + 35 a^{4} + 27 a^{3} + 14 a^{2} + 3 a + 20 + \left(24 a^{11} + 40 a^{10} + 28 a^{9} + 3 a^{8} + 35 a^{7} + 31 a^{6} + 21 a^{5} + 39 a^{4} + 18 a^{3} + 7 a^{2} + 35 a + 34\right)\cdot 43 + \left(7 a^{11} + 36 a^{10} + 15 a^{9} + 23 a^{8} + 35 a^{7} + 2 a^{6} + 3 a^{5} + 8 a^{4} + 19 a^{3} + 3 a^{2} + 10 a + 8\right)\cdot 43^{2} + \left(40 a^{11} + 11 a^{10} + a^{8} + 21 a^{7} + 35 a^{6} + 4 a^{5} + 16 a^{4} + 8 a^{3} + 36 a^{2} + 24 a + 24\right)\cdot 43^{3} + \left(23 a^{11} + 23 a^{10} + 22 a^{9} + 30 a^{8} + 11 a^{7} + 28 a^{6} + 31 a^{5} + 11 a^{4} + 19 a^{3} + 15 a^{2} + 30 a + 24\right)\cdot 43^{4} + \left(16 a^{11} + 34 a^{10} + 7 a^{9} + a^{8} + a^{7} + 22 a^{6} + 4 a^{5} + 32 a^{4} + 14 a^{3} + 27 a^{2} + 18 a + 18\right)\cdot 43^{5} + \left(7 a^{11} + 6 a^{10} + 24 a^{9} + 24 a^{8} + 21 a^{7} + 36 a^{6} + 13 a^{5} + 12 a^{4} + 11 a^{3} + 3 a^{2} + 39 a + 18\right)\cdot 43^{6} + \left(a^{11} + 30 a^{10} + 31 a^{9} + 25 a^{8} + 22 a^{7} + 29 a^{6} + 9 a^{4} + 8 a^{2} + 40 a + 17\right)\cdot 43^{7} +O(43^{8})$$ $r_{ 18 }$ $=$ $$40 a^{11} + 37 a^{10} + a^{9} + 34 a^{8} + 32 a^{7} + 6 a^{6} + 20 a^{5} + 36 a^{4} + 28 a^{3} + 9 a^{2} + 7 a + 15 + \left(20 a^{11} + 3 a^{10} + 31 a^{9} + 42 a^{8} + 25 a^{7} + 21 a^{6} + 35 a^{4} + 8 a^{3} + 37 a^{2} + 11 a + 3\right)\cdot 43 + \left(27 a^{11} + 11 a^{10} + 22 a^{9} + 19 a^{8} + 14 a^{7} + 20 a^{6} + 38 a^{5} + 14 a^{4} + 41 a^{3} + 22 a^{2} + 40 a + 4\right)\cdot 43^{2} + \left(41 a^{11} + 12 a^{10} + 18 a^{9} + 27 a^{8} + 2 a^{7} + 10 a^{5} + a^{4} + 35 a^{3} + 42 a^{2} + 12 a + 16\right)\cdot 43^{3} + \left(10 a^{11} + 32 a^{10} + 17 a^{9} + 12 a^{8} + 41 a^{7} + 30 a^{6} + 11 a^{5} + 14 a^{4} + 30 a^{3} + 13 a + 18\right)\cdot 43^{4} + \left(34 a^{11} + 7 a^{10} + 24 a^{9} + 12 a^{8} + 8 a^{7} + 7 a^{6} + 18 a^{5} + 19 a^{4} + 7 a^{3} + 13 a^{2} + 13 a + 2\right)\cdot 43^{5} + \left(24 a^{11} + 7 a^{10} + 25 a^{9} + 36 a^{8} + 4 a^{7} + 11 a^{6} + 11 a^{5} + 27 a^{4} + 24 a^{3} + 40 a^{2} + 7 a + 12\right)\cdot 43^{6} + \left(9 a^{11} + 28 a^{10} + 7 a^{9} + 41 a^{8} + 23 a^{7} + 6 a^{6} + 14 a^{5} + 14 a^{4} + 26 a^{3} + 22 a^{2} + 22 a + 18\right)\cdot 43^{7} +O(43^{8})$$ $r_{ 19 }$ $=$ $$37 a^{11} + 16 a^{10} + 3 a^{9} + 21 a^{8} + 19 a^{7} + 10 a^{6} + 7 a^{5} + 17 a^{4} + 28 a^{3} + 8 a^{2} + 14 a + 33 + \left(38 a^{11} + 22 a^{10} + 21 a^{9} + 40 a^{8} + 9 a^{7} + 34 a^{6} + 23 a^{5} + 41 a^{4} + 37 a^{3} + 25 a^{2} + 5 a + 21\right)\cdot 43 + \left(2 a^{11} + 16 a^{10} + 13 a^{9} + 5 a^{8} + 17 a^{7} + 3 a^{6} + 4 a^{5} + 28 a^{4} + 14 a^{3} + 22 a^{2} + 29 a + 6\right)\cdot 43^{2} + \left(40 a^{11} + 38 a^{10} + 30 a^{9} + 22 a^{8} + 15 a^{7} + 12 a^{6} + 22 a^{5} + 29 a^{4} + 26 a^{3} + 40 a^{2} + 30 a + 8\right)\cdot 43^{3} + \left(14 a^{11} + 26 a^{10} + 25 a^{9} + 31 a^{8} + 7 a^{7} + 13 a^{6} + 20 a^{5} + 31 a^{4} + 2 a^{3} + 17 a^{2} + 29 a + 17\right)\cdot 43^{4} + \left(40 a^{10} + 29 a^{9} + 26 a^{8} + 25 a^{7} + 19 a^{6} + 15 a^{5} + 27 a^{4} + a^{3} + 12 a^{2} + 20 a + 28\right)\cdot 43^{5} + \left(15 a^{11} + 32 a^{10} + 40 a^{9} + 15 a^{8} + 42 a^{7} + 13 a^{6} + 31 a^{5} + 37 a^{4} + 23 a^{3} + 20 a^{2} + 42 a + 1\right)\cdot 43^{6} + \left(9 a^{11} + 9 a^{10} + 5 a^{9} + 6 a^{8} + 14 a^{7} + 9 a^{6} + 18 a^{5} + 15 a^{4} + a^{3} + 17 a^{2} + 17 a + 11\right)\cdot 43^{7} +O(43^{8})$$ $r_{ 20 }$ $=$ $$27 a^{11} + 5 a^{10} + a^{9} + 35 a^{8} + 11 a^{7} + 5 a^{6} + 20 a^{5} + 3 a^{4} + 26 a^{3} + 28 a^{2} + 30 a + 13 + \left(5 a^{11} + 38 a^{10} + 32 a^{9} + 3 a^{8} + 10 a^{7} + 15 a^{6} + 4 a^{5} + a^{4} + 8 a^{2} + 35 a + 18\right)\cdot 43 + \left(26 a^{11} + 5 a^{10} + 14 a^{9} + 34 a^{8} + 38 a^{7} + 5 a^{6} + 40 a^{5} + 42 a^{4} + 9 a^{3} + 28 a^{2} + 20 a + 33\right)\cdot 43^{2} + \left(29 a^{11} + 19 a^{10} + 14 a^{9} + 32 a^{8} + 13 a^{7} + 2 a^{6} + 30 a^{5} + 35 a^{4} + 37 a^{3} + 6 a^{2} + 8 a + 36\right)\cdot 43^{3} + \left(26 a^{11} + 30 a^{10} + 27 a^{8} + 25 a^{7} + 22 a^{6} + 7 a^{5} + 8 a^{4} + 8 a^{3} + a^{2} + 32\right)\cdot 43^{4} + \left(4 a^{11} + 27 a^{10} + 22 a^{9} + 11 a^{8} + 41 a^{7} + 41 a^{6} + 11 a^{5} + 42 a^{3} + 40 a^{2} + 25 a + 4\right)\cdot 43^{5} + \left(10 a^{11} + 27 a^{10} + 22 a^{9} + 25 a^{8} + 33 a^{7} + 7 a^{6} + 17 a^{5} + 22 a^{4} + 17 a^{3} + 23 a^{2} + 30 a + 38\right)\cdot 43^{6} + \left(30 a^{11} + 41 a^{10} + 20 a^{9} + 8 a^{8} + 22 a^{7} + 33 a^{6} + 25 a^{5} + 6 a^{4} + 21 a^{3} + 2 a^{2} + 34 a + 24\right)\cdot 43^{7} +O(43^{8})$$ $r_{ 21 }$ $=$ $$14 a^{11} + 20 a^{10} + 8 a^{9} + 18 a^{8} + 16 a^{7} + 3 a^{6} + 34 a^{5} + 28 a^{4} + 21 a^{3} + 23 a^{2} + 23 a + 10 + \left(31 a^{11} + 7 a^{10} + 7 a^{9} + 8 a^{8} + 38 a^{7} + 39 a^{6} + 10 a^{5} + 42 a^{4} + 2 a^{3} + 13 a^{2} + 27 a + 21\right)\cdot 43 + \left(a^{11} + 12 a^{10} + 18 a^{9} + 41 a^{8} + 32 a^{7} + 33 a^{5} + a^{4} + 11 a^{3} + 33 a^{2} + 33 a + 8\right)\cdot 43^{2} + \left(19 a^{11} + 36 a^{10} + 23 a^{9} + 15 a^{8} + 34 a^{7} + 28 a^{6} + 17 a^{5} + 2 a^{4} + 35 a^{3} + 38 a^{2} + 39 a + 6\right)\cdot 43^{3} + \left(40 a^{11} + 8 a^{10} + 41 a^{9} + 27 a^{8} + 12 a^{7} + 29 a^{6} + 29 a^{5} + 35 a^{4} + 11 a^{3} + 6 a^{2} + 5 a + 19\right)\cdot 43^{4} + \left(27 a^{11} + 12 a^{10} + 28 a^{9} + 24 a^{7} + 32 a^{6} + 20 a^{5} + 10 a^{4} + 9 a^{3} + 24 a^{2} + 2 a + 3\right)\cdot 43^{5} + \left(7 a^{11} + 34 a^{10} + 5 a^{9} + 16 a^{8} + a^{7} + 9 a^{6} + 17 a^{5} + 7 a^{4} + 28 a^{3} + 35 a^{2} + 28 a + 34\right)\cdot 43^{6} + \left(42 a^{11} + 12 a^{10} + 7 a^{9} + 9 a^{8} + 39 a^{7} + 19 a^{6} + 36 a^{5} + 21 a^{4} + 10 a^{3} + 30 a^{2} + 29 a + 19\right)\cdot 43^{7} +O(43^{8})$$ $r_{ 22 }$ $=$ $$33 a^{11} + 23 a^{10} + 24 a^{9} + 31 a^{8} + 5 a^{7} + 27 a^{6} + 4 a^{5} + 24 a^{4} + 25 a^{3} + 30 a^{2} + 4 a + 17 + \left(35 a^{11} + 23 a^{10} + 39 a^{9} + 41 a^{8} + 27 a^{7} + 9 a^{6} + 29 a^{5} + 10 a^{4} + 5 a^{3} + 36 a^{2} + 25 a + 21\right)\cdot 43 + \left(35 a^{11} + 24 a^{10} + 14 a^{9} + 38 a^{8} + 12 a^{7} + 42 a^{6} + 19 a^{5} + 25 a^{4} + 18 a^{3} + 34 a^{2} + 31 a + 36\right)\cdot 43^{2} + \left(12 a^{11} + 31 a^{10} + 39 a^{9} + 10 a^{8} + 3 a^{7} + 8 a^{6} + 16 a^{5} + 15 a^{4} + 40 a^{3} + 10 a^{2} + 16 a + 29\right)\cdot 43^{3} + \left(a^{11} + 26 a^{10} + 18 a^{9} + 31 a^{8} + 21 a^{7} + 20 a^{6} + 33 a^{5} + 13 a^{4} + 15 a^{3} + 36 a^{2} + 4 a + 20\right)\cdot 43^{4} + \left(30 a^{11} + 41 a^{9} + 14 a^{8} + 31 a^{7} + 21 a^{6} + 40 a^{5} + 25 a^{4} + 33 a^{3} + 26 a^{2} + 16 a + 6\right)\cdot 43^{5} + \left(26 a^{11} + 16 a^{10} + 16 a^{9} + 34 a^{8} + 8 a^{7} + 37 a^{6} + 38 a^{5} + 5 a^{4} + 32 a^{3} + 28 a^{2} + 10 a + 27\right)\cdot 43^{6} + \left(30 a^{11} + 23 a^{10} + 37 a^{9} + 10 a^{8} + 15 a^{7} + 3 a^{6} + 41 a^{5} + 33 a^{4} + 30 a^{3} + 34 a^{2} + 32 a + 23\right)\cdot 43^{7} +O(43^{8})$$ $r_{ 23 }$ $=$ $$12 a^{11} + 37 a^{10} + 31 a^{8} + 5 a^{7} + 15 a^{6} + 2 a^{5} + a^{4} + 40 a^{3} + 13 a^{2} + 8 a + 7 + \left(5 a^{11} + 27 a^{10} + 19 a^{9} + 23 a^{8} + 3 a^{7} + 39 a^{6} + 31 a^{5} + 11 a^{4} + 9 a^{3} + 13 a^{2} + 34\right)\cdot 43 + \left(a^{11} + 14 a^{10} + 8 a^{9} + 20 a^{8} + 13 a^{7} + a^{6} + 8 a^{5} + 42 a^{4} + 20 a^{3} + 39 a^{2} + 26 a + 3\right)\cdot 43^{2} + \left(29 a^{11} + 12 a^{10} + 18 a^{9} + 38 a^{8} + 42 a^{7} + 28 a^{6} + 37 a^{5} + 40 a^{4} + 5 a^{3} + 21 a^{2} + 33 a + 40\right)\cdot 43^{3} + \left(36 a^{11} + 39 a^{10} + a^{9} + 31 a^{8} + 5 a^{7} + 42 a^{6} + 37 a^{5} + 9 a^{4} + 30 a^{3} + 26 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 43^{4} + \left(15 a^{11} + 37 a^{10} + 22 a^{9} + 7 a^{8} + 10 a^{7} + 13 a^{6} + 31 a^{5} + 40 a^{4} + 24 a^{3} + 36 a^{2} + 9 a + 38\right)\cdot 43^{5} + \left(29 a^{11} + 24 a^{10} + 23 a^{9} + 29 a^{8} + 36 a^{7} + 23 a^{6} + 40 a^{5} + 35 a^{4} + 12 a^{3} + 42 a^{2} + 18 a + 32\right)\cdot 43^{6} + \left(13 a^{11} + 6 a^{10} + 40 a^{9} + 21 a^{8} + 19 a^{7} + 2 a^{6} + 28 a^{5} + a^{4} + 17 a^{3} + 10 a + 40\right)\cdot 43^{7} +O(43^{8})$$ $r_{ 24 }$ $=$ $$30 a^{11} + 6 a^{10} + 9 a^{9} + 32 a^{8} + 11 a^{7} + 39 a^{6} + 29 a^{5} + 20 a^{4} + 36 a^{3} + 36 a^{2} + 42 a + 41 + \left(40 a^{11} + 36 a^{10} + 7 a^{9} + 38 a^{8} + 24 a^{7} + 41 a^{6} + 15 a^{5} + 33 a^{4} + 9 a^{3} + 7 a^{2} + 26 a + 8\right)\cdot 43 + \left(25 a^{11} + 33 a^{10} + 7 a^{9} + 27 a^{8} + 14 a^{7} + 8 a^{6} + 6 a^{5} + 32 a^{4} + 3 a^{3} + 3 a^{2} + 12 a + 1\right)\cdot 43^{2} + \left(31 a^{11} + 26 a^{10} + 39 a^{9} + 38 a^{8} + 35 a^{7} + 17 a^{6} + 33 a^{5} + 12 a^{4} + 37 a^{3} + 28 a^{2} + 12 a + 17\right)\cdot 43^{3} + \left(3 a^{11} + 12 a^{10} + 42 a^{9} + 40 a^{8} + 19 a^{7} + 30 a^{6} + 25 a^{5} + 31 a^{4} + 6 a^{3} + 41 a^{2} + 11 a + 29\right)\cdot 43^{4} + \left(41 a^{11} + 38 a^{10} + 37 a^{9} + 25 a^{8} + 40 a^{7} + 34 a^{6} + 7 a^{5} + 36 a^{4} + 19 a^{3} + 10 a^{2} + 20 a + 37\right)\cdot 43^{5} + \left(3 a^{11} + 2 a^{10} + 42 a^{9} + 16 a^{8} + 41 a^{7} + 20 a^{6} + 12 a^{5} + 12 a^{4} + 42 a^{3} + 7 a^{2} + 8 a + 34\right)\cdot 43^{6} + \left(6 a^{11} + 20 a^{10} + 11 a^{9} + 37 a^{8} + 41 a^{7} + 10 a^{6} + 32 a^{5} + 28 a^{4} + 26 a^{3} + 12 a^{2} + 3 a + 9\right)\cdot 43^{7} +O(43^{8})$$

## Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 24 }$

 Cycle notation $(1,7,18,13,20,12,4,22,6,9,3,10)(2,19,5,11,15,17,16,24,21,8,23,14)$ $(2,15,21)(5,16,23)(7,12,9)(10,13,22)$ $(1,4)(2,16)(3,20)(5,21)(6,18)(7,22)(8,11)(9,13)(10,12)(14,17)(15,23)(19,24)$ $(1,11,3,19,6,14,4,8,20,24,18,17)(2,22,23,12,21,13,16,7,15,10,5,9)$ $(1,24,4,19)(2,10,16,12)(3,17,20,14)(5,7,21,22)(6,11,18,8)(9,15,13,23)$

## Character values on conjugacy classes

 Size Order Action on $r_1, \ldots, r_{ 24 }$ Character value $1$ $1$ $()$ $2$ $1$ $2$ $(1,4)(2,16)(3,20)(5,21)(6,18)(7,22)(8,11)(9,13)(10,12)(14,17)(15,23)(19,24)$ $-2$ $3$ $2$ $(1,15)(2,6)(3,5)(4,23)(7,17)(8,12)(9,19)(10,11)(13,24)(14,22)(16,18)(20,21)$ $0$ $3$ $2$ $(1,23)(2,18)(3,21)(4,15)(5,20)(6,16)(7,14)(8,10)(9,24)(11,12)(13,19)(17,22)$ $0$ $1$ $3$ $(1,20,6)(2,15,21)(3,18,4)(5,16,23)(7,12,9)(8,19,17)(10,13,22)(11,24,14)$ $2 \zeta_{12}^{2} - 2$ $1$ $3$ $(1,6,20)(2,21,15)(3,4,18)(5,23,16)(7,9,12)(8,17,19)(10,22,13)(11,14,24)$ $-2 \zeta_{12}^{2}$ $2$ $3$ $(2,15,21)(5,16,23)(7,12,9)(10,13,22)$ $\zeta_{12}^{2}$ $2$ $3$ $(2,21,15)(5,23,16)(7,9,12)(10,22,13)$ $-\zeta_{12}^{2} + 1$ $2$ $3$ $(1,20,6)(2,21,15)(3,18,4)(5,23,16)(7,9,12)(8,19,17)(10,22,13)(11,24,14)$ $-1$ $1$ $4$ $(1,19,4,24)(2,12,16,10)(3,14,20,17)(5,22,21,7)(6,8,18,11)(9,23,13,15)$ $2 \zeta_{12}^{3}$ $1$ $4$ $(1,24,4,19)(2,10,16,12)(3,17,20,14)(5,7,21,22)(6,11,18,8)(9,15,13,23)$ $-2 \zeta_{12}^{3}$ $3$ $4$ $(1,13,4,9)(2,11,16,8)(3,7,20,22)(5,17,21,14)(6,10,18,12)(15,24,23,19)$ $0$ $3$ $4$ $(1,9,4,13)(2,8,16,11)(3,22,20,7)(5,14,21,17)(6,12,18,10)(15,19,23,24)$ $0$ $1$ $6$ $(1,18,20,4,6,3)(2,5,15,16,21,23)(7,13,12,22,9,10)(8,14,19,11,17,24)$ $2 \zeta_{12}^{2}$ $1$ $6$ $(1,3,6,4,20,18)(2,23,21,16,15,5)(7,10,9,22,12,13)(8,24,17,11,19,14)$ $-2 \zeta_{12}^{2} + 2$ $2$ $6$ $(1,4)(2,23,21,16,15,5)(3,20)(6,18)(7,10,9,22,12,13)(8,11)(14,17)(19,24)$ $-\zeta_{12}^{2}$ $2$ $6$ $(1,4)(2,5,15,16,21,23)(3,20)(6,18)(7,13,12,22,9,10)(8,11)(14,17)(19,24)$ $\zeta_{12}^{2} - 1$ $2$ $6$ $(1,18,20,4,6,3)(2,23,21,16,15,5)(7,10,9,22,12,13)(8,14,19,11,17,24)$ $1$ $3$ $6$ $(1,21,6,15,20,2)(3,16,4,5,18,23)(7,8,9,17,12,19)(10,24,22,11,13,14)$ $0$ $3$ $6$ $(1,2,20,15,6,21)(3,23,18,5,4,16)(7,19,12,17,9,8)(10,14,13,11,22,24)$ $0$ $3$ $6$ $(1,16,20,23,6,5)(2,3,15,18,21,4)(7,24,12,14,9,11)(8,22,19,10,17,13)$ $0$ $3$ $6$ $(1,5,6,23,20,16)(2,4,21,18,15,3)(7,11,9,14,12,24)(8,13,17,10,19,22)$ $0$ $1$ $12$ $(1,11,3,19,6,14,4,8,20,24,18,17)(2,22,23,12,21,13,16,7,15,10,5,9)$ $2 \zeta_{12}^{3} - 2 \zeta_{12}$ $1$ $12$ $(1,14,18,19,20,11,4,17,6,24,3,8)(2,13,5,12,15,22,16,9,21,10,23,7)$ $2 \zeta_{12}$ $1$ $12$ $(1,8,3,24,6,17,4,11,20,19,18,14)(2,7,23,10,21,9,16,22,15,12,5,13)$ $-2 \zeta_{12}^{3} + 2 \zeta_{12}$ $1$ $12$ $(1,17,18,24,20,8,4,14,6,19,3,11)(2,9,5,10,15,7,16,13,21,12,23,22)$ $-2 \zeta_{12}$ $2$ $12$ $(1,11,3,19,6,14,4,8,20,24,18,17)(2,10,16,12)(5,7,21,22)(9,15,13,23)$ $-\zeta_{12}$ $2$ $12$ $(1,14,18,19,20,11,4,17,6,24,3,8)(2,10,16,12)(5,7,21,22)(9,15,13,23)$ $-\zeta_{12}^{3} + \zeta_{12}$ $2$ $12$ $(1,8,3,24,6,17,4,11,20,19,18,14)(2,12,16,10)(5,22,21,7)(9,23,13,15)$ $\zeta_{12}$ $2$ $12$ $(1,17,18,24,20,8,4,14,6,19,3,11)(2,12,16,10)(5,22,21,7)(9,23,13,15)$ $\zeta_{12}^{3} - \zeta_{12}$ $2$ $12$ $(1,17,18,24,20,8,4,14,6,19,3,11)(2,7,23,10,21,9,16,22,15,12,5,13)$ $-\zeta_{12}^{3}$ $2$ $12$ $(1,14,18,19,20,11,4,17,6,24,3,8)(2,22,23,12,21,13,16,7,15,10,5,9)$ $\zeta_{12}^{3}$ $3$ $12$ $(1,7,18,13,20,12,4,22,6,9,3,10)(2,19,5,11,15,17,16,24,21,8,23,14)$ $0$ $3$ $12$ $(1,12,3,13,6,7,4,10,20,9,18,22)(2,17,23,11,21,19,16,14,15,8,5,24)$ $0$ $3$ $12$ $(1,22,18,9,20,10,4,7,6,13,3,12)(2,24,5,8,15,14,16,19,21,11,23,17)$ $0$ $3$ $12$ $(1,10,3,9,6,22,4,12,20,13,18,7)(2,14,23,8,21,24,16,17,15,11,5,19)$ $0$

The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.