LMFDB - Artin representation 2.847.10t6.a.d

Basic invariants

Dimension:	$2$
Group:	25T3
Conductor:	$847$$\medspace = 7 \cdot 11^{2} $
Artin stem field:	Galois closure of 25.5.190035222333323626806494766049.1
Galois orbit size:	$4$
Smallest permutation container:	$D_5\times C_5$
Parity:	odd
Determinant:	1.77.10t1.a.d
Projective image:	$D_5$
Projective stem field:	Galois closure of 5.1.717409.1

Defining polynomial

$f(x)$

$=$

$ x^{25} - 4 x^{24} + 4 x^{23} + 5 x^{22} - 20 x^{21} + 18 x^{20} + 19 x^{19} - 28 x^{18} - 2 x^{16} + \cdots - 1 $

The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 31 }$ to precision 9.

Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 31 }$: $ x^{10} + 30x^{5} + 26x^{4} + 13x^{3} + 13x^{2} + 13x + 3 $ x^10 + 30*x^5 + 26*x^4 + 13*x^3 + 13*x^2 + 13*x + 3

Roots:

$r_{ 1 }$	$=$	\( 28 a^{9} + 7 a^{8} + 9 a^{7} + 27 a^{6} + 6 a^{5} + 7 a^{4} + 28 a^{3} + 8 a^{2} + 19 a + 10 + \left(23 a^{9} + 10 a^{8} + 2 a^{7} + 7 a^{6} + 6 a^{5} + 26 a^{4} + 15 a^{3} + 3 a^{2} + 23 a + 17\right)\cdot 31 + \left(a^{9} + 19 a^{8} + 24 a^{7} + 15 a^{6} + 5 a^{5} + 20 a^{4} + 2 a^{3} + 22 a^{2} + 22 a + 24\right)\cdot 31^{2} + \left(22 a^{9} + 5 a^{8} + 11 a^{7} + 5 a^{6} + 11 a^{5} + 19 a^{4} + 30 a^{3} + 2 a^{2} + 9 a + 22\right)\cdot 31^{3} + \left(30 a^{9} + 3 a^{8} + 16 a^{7} + 6 a^{6} + 27 a^{5} + 7 a^{4} + 16 a^{3} + 20 a^{2} + 12 a + 24\right)\cdot 31^{4} + \left(21 a^{9} + 14 a^{8} + 12 a^{7} + 10 a^{6} + 8 a^{5} + 23 a^{4} + 26 a^{3} + 29 a^{2} + 21 a + 27\right)\cdot 31^{5} + \left(10 a^{9} + 6 a^{8} + 17 a^{7} + 16 a^{6} + 7 a^{5} + 11 a^{4} + 22 a^{3} + 24 a^{2} + 8 a + 16\right)\cdot 31^{6} + \left(17 a^{9} + 22 a^{8} + 7 a^{7} + 11 a^{6} + 17 a^{5} + 5 a^{4} + 14 a^{3} + 11 a^{2} + 21 a + 21\right)\cdot 31^{7} + \left(12 a^{9} + 17 a^{8} + 17 a^{7} + 17 a^{6} + 10 a^{5} + 10 a^{4} + 7 a^{3} + 10 a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 31^{8} +O(31^{9})\) 28a^9 + 7a^8 + 9a^7 + 27a^6 + 6a^5 + 7a^4 + 28a^3 + 8a^2 + 19a + 10 + (23a^9 + 10a^8 + 2a^7 + 7a^6 + 6a^5 + 26a^4 + 15a^3 + 3a^2 + 23a + 17)31 + (a^9 + 19a^8 + 24a^7 + 15a^6 + 5a^5 + 20a^4 + 2a^3 + 22a^2 + 22a + 24)31^2 + (22a^9 + 5a^8 + 11a^7 + 5a^6 + 11a^5 + 19a^4 + 30a^3 + 2a^2 + 9a + 22)31^3 + (30a^9 + 3a^8 + 16a^7 + 6a^6 + 27a^5 + 7a^4 + 16a^3 + 20a^2 + 12a + 24)31^4 + (21a^9 + 14a^8 + 12a^7 + 10a^6 + 8a^5 + 23a^4 + 26a^3 + 29a^2 + 21a + 27)31^5 + (10a^9 + 6a^8 + 17a^7 + 16a^6 + 7a^5 + 11a^4 + 22a^3 + 24a^2 + 8a + 16)31^6 + (17a^9 + 22a^8 + 7a^7 + 11a^6 + 17a^5 + 5a^4 + 14a^3 + 11a^2 + 21a + 21)31^7 + (12a^9 + 17a^8 + 17a^7 + 17a^6 + 10a^5 + 10a^4 + 7a^3 + 10a^2 + 9a + 7)31^8+O(31^9)
$r_{ 2 }$	$=$	\( 4 a^{9} + 16 a^{8} + 10 a^{7} + 13 a^{6} + 9 a^{5} + 27 a^{4} + 29 a^{3} + 18 a^{2} + 8 a + 19 + \left(21 a^{9} + a^{8} + 3 a^{7} + 7 a^{6} + 17 a^{5} + 5 a^{3} + 27 a^{2} + 21 a + 27\right)\cdot 31 + \left(15 a^{9} + 3 a^{8} + 13 a^{7} + 15 a^{6} + 23 a^{5} + 24 a^{4} + 25 a^{3} + 20 a^{2} + 26 a + 26\right)\cdot 31^{2} + \left(15 a^{9} + 12 a^{8} + 16 a^{7} + 10 a^{6} + 3 a^{5} + 3 a^{4} + 20 a^{3} + 3 a^{2} + a + 19\right)\cdot 31^{3} + \left(26 a^{9} + 14 a^{8} + 29 a^{7} + 20 a^{6} + 9 a^{5} + 2 a^{4} + 10 a^{3} + 9 a^{2} + 3 a + 28\right)\cdot 31^{4} + \left(a^{9} + 8 a^{8} + 24 a^{7} + 5 a^{6} + 12 a^{5} + 22 a^{4} + 25 a^{3} + 24 a^{2} + 17 a + 10\right)\cdot 31^{5} + \left(13 a^{9} + 7 a^{8} + 7 a^{7} + 6 a^{6} + 4 a^{5} + 22 a^{4} + 29 a^{3} + 4 a^{2} + 20 a + 7\right)\cdot 31^{6} + \left(22 a^{9} + 15 a^{8} + 13 a^{7} + 27 a^{6} + 24 a^{5} + 24 a^{4} + 28 a^{3} + 21 a^{2} + 16 a + 16\right)\cdot 31^{7} + \left(2 a^{9} + 12 a^{8} + 19 a^{7} + 4 a^{6} + 20 a^{5} + 19 a^{4} + 14 a^{3} + 17 a^{2} + 2 a + 19\right)\cdot 31^{8} +O(31^{9})\) 4a^9 + 16a^8 + 10a^7 + 13a^6 + 9a^5 + 27a^4 + 29a^3 + 18a^2 + 8a + 19 + (21a^9 + a^8 + 3a^7 + 7a^6 + 17a^5 + 5a^3 + 27a^2 + 21a + 27)31 + (15a^9 + 3a^8 + 13a^7 + 15a^6 + 23a^5 + 24a^4 + 25a^3 + 20a^2 + 26a + 26)31^2 + (15a^9 + 12a^8 + 16a^7 + 10a^6 + 3a^5 + 3a^4 + 20a^3 + 3a^2 + a + 19)31^3 + (26a^9 + 14a^8 + 29a^7 + 20a^6 + 9a^5 + 2a^4 + 10a^3 + 9a^2 + 3a + 28)31^4 + (a^9 + 8a^8 + 24a^7 + 5a^6 + 12a^5 + 22a^4 + 25a^3 + 24a^2 + 17a + 10)31^5 + (13a^9 + 7a^8 + 7a^7 + 6a^6 + 4a^5 + 22a^4 + 29a^3 + 4a^2 + 20a + 7)31^6 + (22a^9 + 15a^8 + 13a^7 + 27a^6 + 24a^5 + 24a^4 + 28a^3 + 21a^2 + 16a + 16)31^7 + (2a^9 + 12a^8 + 19a^7 + 4a^6 + 20a^5 + 19a^4 + 14a^3 + 17a^2 + 2a + 19)*31^8+O(31^9)
$r_{ 3 }$	$=$	\( 22 a^{9} + 14 a^{8} + 30 a^{7} + 19 a^{6} + a^{5} + 29 a^{4} + a^{3} + 25 a^{2} + 15 a + 26 + \left(9 a^{9} + 26 a^{8} + 2 a^{7} + 8 a^{6} + 17 a^{5} + 10 a^{4} + 21 a^{3} + 19 a^{2} + 14 a + 16\right)\cdot 31 + \left(17 a^{9} + 10 a^{8} + a^{7} + 21 a^{6} + 15 a^{5} + 28 a^{4} + 17 a^{3} + 11 a^{2} + 24 a + 7\right)\cdot 31^{2} + \left(25 a^{9} + 2 a^{8} + 4 a^{7} + 19 a^{6} + 6 a^{5} + 22 a^{4} + 28 a^{3} + 11 a^{2} + 7 a + 22\right)\cdot 31^{3} + \left(a^{9} + 15 a^{8} + 17 a^{7} + 16 a^{6} + 24 a^{5} + 14 a^{4} + 18 a^{3} + 3 a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 31^{4} + \left(22 a^{9} + 12 a^{8} + 30 a^{7} + 20 a^{6} + 23 a^{5} + 25 a^{4} + 27 a^{3} + 15 a^{2} + 22 a + 30\right)\cdot 31^{5} + \left(27 a^{9} + 2 a^{8} + 4 a^{7} + 4 a^{6} + 7 a^{4} + 18 a^{3} + 17 a^{2} + 7 a + 22\right)\cdot 31^{6} + \left(4 a^{9} + 20 a^{8} + 4 a^{7} + 23 a^{6} + 29 a^{5} + 19 a^{4} + 15 a^{3} + 29 a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 31^{7} + \left(30 a^{9} + 24 a^{8} + 8 a^{7} + 6 a^{6} + 14 a^{5} + 16 a^{4} + 19 a^{3} + 14 a^{2} + 22 a + 17\right)\cdot 31^{8} +O(31^{9})\) 22a^9 + 14a^8 + 30a^7 + 19a^6 + a^5 + 29a^4 + a^3 + 25a^2 + 15a + 26 + (9a^9 + 26a^8 + 2a^7 + 8a^6 + 17a^5 + 10a^4 + 21a^3 + 19a^2 + 14a + 16)31 + (17a^9 + 10a^8 + a^7 + 21a^6 + 15a^5 + 28a^4 + 17a^3 + 11a^2 + 24a + 7)31^2 + (25a^9 + 2a^8 + 4a^7 + 19a^6 + 6a^5 + 22a^4 + 28a^3 + 11a^2 + 7a + 22)31^3 + (a^9 + 15a^8 + 17a^7 + 16a^6 + 24a^5 + 14a^4 + 18a^3 + 3a^2 + 6a + 2)31^4 + (22a^9 + 12a^8 + 30a^7 + 20a^6 + 23a^5 + 25a^4 + 27a^3 + 15a^2 + 22a + 30)31^5 + (27a^9 + 2a^8 + 4a^7 + 4a^6 + 7a^4 + 18a^3 + 17a^2 + 7a + 22)31^6 + (4a^9 + 20a^8 + 4a^7 + 23a^6 + 29a^5 + 19a^4 + 15a^3 + 29a^2 + 6a + 9)31^7 + (30a^9 + 24a^8 + 8a^7 + 6a^6 + 14a^5 + 16a^4 + 19a^3 + 14a^2 + 22a + 17)31^8+O(31^9)
$r_{ 4 }$	$=$	\( 20 a^{9} + 12 a^{8} + 16 a^{7} + 12 a^{6} + 16 a^{5} + 16 a^{4} + 8 a^{3} + 5 a^{2} + 4 a + 26 + \left(28 a^{9} + 23 a^{8} + 9 a^{7} + 16 a^{6} + 11 a^{5} + 9 a^{4} + 5 a^{3} + 5 a\right)\cdot 31 + \left(26 a^{9} + 16 a^{8} + 25 a^{7} + 11 a^{6} + 30 a^{5} + 24 a^{4} + 20 a^{3} + 20 a^{2} + 26 a + 10\right)\cdot 31^{2} + \left(28 a^{9} + 4 a^{8} + 10 a^{7} + 25 a^{6} + 13 a^{5} + 5 a^{3} + 26 a^{2} + 29 a + 5\right)\cdot 31^{3} + \left(5 a^{8} + 12 a^{7} + 11 a^{6} + 13 a^{4} + 30 a^{3} + 29 a^{2} + 22 a + 9\right)\cdot 31^{4} + \left(19 a^{9} + 21 a^{8} + 21 a^{7} + 6 a^{6} + 4 a^{5} + 14 a^{4} + 30 a^{3} + 11 a^{2} + 13 a + 11\right)\cdot 31^{5} + \left(19 a^{9} + 21 a^{8} + 19 a^{7} + 15 a^{6} + 20 a^{5} + 22 a^{4} + 4 a^{3} + 21 a^{2} + 30 a + 1\right)\cdot 31^{6} + \left(16 a^{9} + 8 a^{8} + 11 a^{7} + 15 a^{6} + 25 a^{5} + 3 a^{4} + 25 a^{3} + 8 a^{2} + 5 a + 1\right)\cdot 31^{7} + \left(26 a^{9} + 15 a^{8} + 17 a^{7} + 6 a^{6} + 26 a^{5} + 7 a^{4} + a^{3} + 24 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 31^{8} +O(31^{9})\) 20a^9 + 12a^8 + 16a^7 + 12a^6 + 16a^5 + 16a^4 + 8a^3 + 5a^2 + 4a + 26 + (28a^9 + 23a^8 + 9a^7 + 16a^6 + 11a^5 + 9a^4 + 5a^3 + 5a)31 + (26a^9 + 16a^8 + 25a^7 + 11a^6 + 30a^5 + 24a^4 + 20a^3 + 20a^2 + 26a + 10)31^2 + (28a^9 + 4a^8 + 10a^7 + 25a^6 + 13a^5 + 5a^3 + 26a^2 + 29a + 5)31^3 + (5a^8 + 12a^7 + 11a^6 + 13a^4 + 30a^3 + 29a^2 + 22a + 9)31^4 + (19a^9 + 21a^8 + 21a^7 + 6a^6 + 4a^5 + 14a^4 + 30a^3 + 11a^2 + 13a + 11)31^5 + (19a^9 + 21a^8 + 19a^7 + 15a^6 + 20a^5 + 22a^4 + 4a^3 + 21a^2 + 30a + 1)31^6 + (16a^9 + 8a^8 + 11a^7 + 15a^6 + 25a^5 + 3a^4 + 25a^3 + 8a^2 + 5a + 1)31^7 + (26a^9 + 15a^8 + 17a^7 + 6a^6 + 26a^5 + 7a^4 + a^3 + 24a^2 + 7a + 9)31^8+O(31^9)
$r_{ 5 }$	$=$	\( 7 a^{9} + 17 a^{8} + 9 a^{7} + 18 a^{6} + 18 a^{5} + 7 a^{4} + 6 a^{3} + a^{2} + 15 a + 23 + \left(10 a^{9} + 7 a^{8} + 18 a^{7} + 7 a^{6} + 28 a^{5} + 22 a^{4} + 27 a^{3} + 18 a^{2} + 2 a + 26\right)\cdot 31 + \left(24 a^{9} + a^{8} + 17 a^{7} + 7 a^{6} + 20 a^{5} + 25 a^{4} + 30 a^{3} + 15 a^{2} + 8 a + 13\right)\cdot 31^{2} + \left(9 a^{9} + 3 a^{8} + 6 a^{7} + 7 a^{6} + 8 a^{5} + 25 a^{4} + 29 a^{3} + 7 a^{2} + 5 a + 22\right)\cdot 31^{3} + \left(a^{9} + 22 a^{8} + 8 a^{7} + 22 a^{6} + 7 a^{5} + 8 a^{4} + 3 a^{3} + 16 a^{2} + 14 a + 29\right)\cdot 31^{4} + \left(17 a^{9} + 11 a^{8} + 11 a^{7} + 16 a^{6} + 30 a^{5} + 16 a^{4} + 17 a^{3} + 13 a^{2} + 20 a + 7\right)\cdot 31^{5} + \left(9 a^{9} + 27 a^{8} + 13 a^{7} + 24 a^{6} + 6 a^{5} + 17 a^{4} + 7 a^{3} + 6 a^{2} + 12 a + 10\right)\cdot 31^{6} + \left(26 a^{9} + 17 a^{8} + 10 a^{7} + 21 a^{6} + 9 a^{5} + 19 a^{4} + a^{3} + 18 a^{2} + 15 a + 7\right)\cdot 31^{7} + \left(30 a^{9} + 9 a^{8} + 11 a^{7} + 28 a^{6} + 13 a^{5} + 2 a^{4} + a^{3} + 22 a^{2} + 21 a + 14\right)\cdot 31^{8} +O(31^{9})\) 7a^9 + 17a^8 + 9a^7 + 18a^6 + 18a^5 + 7a^4 + 6a^3 + a^2 + 15a + 23 + (10a^9 + 7a^8 + 18a^7 + 7a^6 + 28a^5 + 22a^4 + 27a^3 + 18a^2 + 2a + 26)31 + (24a^9 + a^8 + 17a^7 + 7a^6 + 20a^5 + 25a^4 + 30a^3 + 15a^2 + 8a + 13)31^2 + (9a^9 + 3a^8 + 6a^7 + 7a^6 + 8a^5 + 25a^4 + 29a^3 + 7a^2 + 5a + 22)31^3 + (a^9 + 22a^8 + 8a^7 + 22a^6 + 7a^5 + 8a^4 + 3a^3 + 16a^2 + 14a + 29)31^4 + (17a^9 + 11a^8 + 11a^7 + 16a^6 + 30a^5 + 16a^4 + 17a^3 + 13a^2 + 20a + 7)31^5 + (9a^9 + 27a^8 + 13a^7 + 24a^6 + 6a^5 + 17a^4 + 7a^3 + 6a^2 + 12a + 10)31^6 + (26a^9 + 17a^8 + 10a^7 + 21a^6 + 9a^5 + 19a^4 + a^3 + 18a^2 + 15a + 7)31^7 + (30a^9 + 9a^8 + 11a^7 + 28a^6 + 13a^5 + 2a^4 + a^3 + 22a^2 + 21a + 14)31^8+O(31^9)
$r_{ 6 }$	$=$	\( 22 a^{9} + 15 a^{8} + 16 a^{7} + 26 a^{6} + 27 a^{5} + 7 a^{4} + 23 a^{3} + 2 a^{2} + 21 a + 15 + \left(15 a^{9} + 16 a^{8} + 4 a^{6} + 24 a^{5} + 29 a^{4} + 24 a^{3} + 5 a + 3\right)\cdot 31 + \left(22 a^{9} + 26 a^{8} + 20 a^{7} + 13 a^{6} + 25 a^{5} + 11 a^{4} + 12 a^{3} + 27 a^{2} + 3 a + 15\right)\cdot 31^{2} + \left(5 a^{9} + 20 a^{8} + 27 a^{7} + 12 a^{6} + 28 a^{5} + 2 a^{4} + 3 a^{3} + a^{2} + 29 a + 27\right)\cdot 31^{3} + \left(8 a^{9} + 27 a^{8} + 12 a^{7} + 3 a^{6} + 27 a^{5} + 24 a^{4} + 14 a^{3} + 18 a^{2} + 25 a + 1\right)\cdot 31^{4} + \left(7 a^{9} + 17 a^{8} + 26 a^{7} + 10 a^{6} + 7 a^{5} + 20 a^{4} + 9 a^{3} + 20 a^{2} + 2 a\right)\cdot 31^{5} + \left(22 a^{9} + 19 a^{8} + 17 a^{7} + 17 a^{6} + 6 a^{5} + 15 a^{4} + 23 a^{3} + 11 a^{2} + 26 a + 15\right)\cdot 31^{6} + \left(15 a^{9} + 17 a^{8} + 4 a^{7} + 2 a^{6} + 18 a^{5} + 24 a^{4} + 11 a^{3} + 13 a^{2} + 28 a + 5\right)\cdot 31^{7} + \left(2 a^{9} + 5 a^{8} + 23 a^{7} + 25 a^{5} + 24 a^{4} + 25 a^{3} + 23 a^{2} + 27 a + 7\right)\cdot 31^{8} +O(31^{9})\) 22a^9 + 15a^8 + 16a^7 + 26a^6 + 27a^5 + 7a^4 + 23a^3 + 2a^2 + 21a + 15 + (15a^9 + 16a^8 + 4a^6 + 24a^5 + 29a^4 + 24a^3 + 5a + 3)31 + (22a^9 + 26a^8 + 20a^7 + 13a^6 + 25a^5 + 11a^4 + 12a^3 + 27a^2 + 3a + 15)31^2 + (5a^9 + 20a^8 + 27a^7 + 12a^6 + 28a^5 + 2a^4 + 3a^3 + a^2 + 29a + 27)31^3 + (8a^9 + 27a^8 + 12a^7 + 3a^6 + 27a^5 + 24a^4 + 14a^3 + 18a^2 + 25a + 1)31^4 + (7a^9 + 17a^8 + 26a^7 + 10a^6 + 7a^5 + 20a^4 + 9a^3 + 20a^2 + 2a)31^5 + (22a^9 + 19a^8 + 17a^7 + 17a^6 + 6a^5 + 15a^4 + 23a^3 + 11a^2 + 26a + 15)31^6 + (15a^9 + 17a^8 + 4a^7 + 2a^6 + 18a^5 + 24a^4 + 11a^3 + 13a^2 + 28a + 5)31^7 + (2a^9 + 5a^8 + 23a^7 + 25a^5 + 24a^4 + 25a^3 + 23a^2 + 27a + 7)*31^8+O(31^9)
$r_{ 7 }$	$=$	\( 11 a^{9} + 11 a^{8} + 4 a^{7} + 6 a^{6} + 18 a^{5} + 30 a^{4} + 16 a^{3} + 11 a^{2} + 13 a + 13 + \left(26 a^{9} + 8 a^{8} + 4 a^{7} + 9 a^{6} + 11 a^{5} + 21 a^{4} + 20 a^{3} + 14 a^{2} + 8 a + 11\right)\cdot 31 + \left(27 a^{9} + 9 a^{8} + 5 a^{7} + a^{6} + 9 a^{5} + 28 a^{4} + 7 a^{3} + 21 a^{2} + 23 a + 15\right)\cdot 31^{2} + \left(9 a^{9} + 18 a^{8} + 25 a^{7} + 4 a^{6} + 25 a^{5} + 29 a^{4} + 20 a^{3} + 11 a^{2} + 28 a + 10\right)\cdot 31^{3} + \left(26 a^{9} + 21 a^{8} + 23 a^{7} + 7 a^{6} + 22 a^{5} + 22 a^{4} + 6 a^{3} + 13 a^{2} + 8 a + 30\right)\cdot 31^{4} + \left(26 a^{9} + 11 a^{8} + 18 a^{7} + 3 a^{6} + 19 a^{5} + 22 a^{4} + 2 a^{3} + 7 a^{2} + 23 a + 30\right)\cdot 31^{5} + \left(26 a^{9} + a^{8} + 14 a^{7} + 23 a^{6} + 26 a^{5} + 30 a^{4} + 25 a^{3} + 19 a^{2} + 19 a + 8\right)\cdot 31^{6} + \left(23 a^{9} + 16 a^{8} + 24 a^{7} + 20 a^{6} + 18 a^{5} + 3 a^{4} + 12 a^{3} + 11 a^{2} + 7 a + 30\right)\cdot 31^{7} + \left(22 a^{9} + 26 a^{8} + 8 a^{7} + 19 a^{6} + 14 a^{5} + 6 a^{4} + 30 a^{3} + 5 a^{2} + 14 a + 8\right)\cdot 31^{8} +O(31^{9})\) 11a^9 + 11a^8 + 4a^7 + 6a^6 + 18a^5 + 30a^4 + 16a^3 + 11a^2 + 13a + 13 + (26a^9 + 8a^8 + 4a^7 + 9a^6 + 11a^5 + 21a^4 + 20a^3 + 14a^2 + 8a + 11)31 + (27a^9 + 9a^8 + 5a^7 + a^6 + 9a^5 + 28a^4 + 7a^3 + 21a^2 + 23a + 15)31^2 + (9a^9 + 18a^8 + 25a^7 + 4a^6 + 25a^5 + 29a^4 + 20a^3 + 11a^2 + 28a + 10)31^3 + (26a^9 + 21a^8 + 23a^7 + 7a^6 + 22a^5 + 22a^4 + 6a^3 + 13a^2 + 8a + 30)31^4 + (26a^9 + 11a^8 + 18a^7 + 3a^6 + 19a^5 + 22a^4 + 2a^3 + 7a^2 + 23a + 30)31^5 + (26a^9 + a^8 + 14a^7 + 23a^6 + 26a^5 + 30a^4 + 25a^3 + 19a^2 + 19a + 8)31^6 + (23a^9 + 16a^8 + 24a^7 + 20a^6 + 18a^5 + 3a^4 + 12a^3 + 11a^2 + 7a + 30)31^7 + (22a^9 + 26a^8 + 8a^7 + 19a^6 + 14a^5 + 6a^4 + 30a^3 + 5a^2 + 14a + 8)*31^8+O(31^9)
$r_{ 8 }$	$=$	\( 18 a^{9} + 15 a^{8} + 18 a^{7} + 26 a^{6} + 20 a^{5} + 16 a^{4} + 22 a^{3} + 25 a^{2} + a + 8 + \left(15 a^{9} + 9 a^{8} + 10 a^{7} + 19 a^{6} + 21 a^{5} + 30 a^{4} + 3 a^{3} + 15 a^{2} + 14 a + 24\right)\cdot 31 + \left(5 a^{9} + 10 a^{8} + 30 a^{7} + 21 a^{6} + 25 a^{5} + 3 a^{3} + 5 a^{2} + 15 a + 11\right)\cdot 31^{2} + \left(6 a^{9} + 9 a^{8} + 2 a^{7} + 4 a^{6} + 21 a^{5} + 10 a^{4} + 29 a^{2} + 29 a + 3\right)\cdot 31^{3} + \left(4 a^{9} + 14 a^{8} + 23 a^{7} + 23 a^{6} + 5 a^{5} + 12 a^{4} + 16 a^{3} + 3 a^{2} + 2 a + 3\right)\cdot 31^{4} + \left(26 a^{9} + 28 a^{8} + 9 a^{7} + 28 a^{6} + 28 a^{5} + 19 a^{4} + 29 a^{3} + 25 a^{2} + 22 a + 13\right)\cdot 31^{5} + \left(28 a^{9} + 27 a^{8} + 8 a^{7} + 16 a^{6} + 16 a^{5} + 20 a^{4} + 28 a^{3} + 21 a^{2} + 18 a + 24\right)\cdot 31^{6} + \left(7 a^{9} + 29 a^{8} + 4 a^{7} + 28 a^{6} + 28 a^{5} + 10 a^{4} + 12 a^{3} + 5 a^{2} + 6 a + 20\right)\cdot 31^{7} + \left(14 a^{9} + 2 a^{8} + 19 a^{7} + 19 a^{5} + 2 a^{4} + 2 a^{3} + 29 a + 27\right)\cdot 31^{8} +O(31^{9})\) 18a^9 + 15a^8 + 18a^7 + 26a^6 + 20a^5 + 16a^4 + 22a^3 + 25a^2 + a + 8 + (15a^9 + 9a^8 + 10a^7 + 19a^6 + 21a^5 + 30a^4 + 3a^3 + 15a^2 + 14a + 24)31 + (5a^9 + 10a^8 + 30a^7 + 21a^6 + 25a^5 + 3a^3 + 5a^2 + 15a + 11)31^2 + (6a^9 + 9a^8 + 2a^7 + 4a^6 + 21a^5 + 10a^4 + 29a^2 + 29a + 3)31^3 + (4a^9 + 14a^8 + 23a^7 + 23a^6 + 5a^5 + 12a^4 + 16a^3 + 3a^2 + 2a + 3)31^4 + (26a^9 + 28a^8 + 9a^7 + 28a^6 + 28a^5 + 19a^4 + 29a^3 + 25a^2 + 22a + 13)31^5 + (28a^9 + 27a^8 + 8a^7 + 16a^6 + 16a^5 + 20a^4 + 28a^3 + 21a^2 + 18a + 24)31^6 + (7a^9 + 29a^8 + 4a^7 + 28a^6 + 28a^5 + 10a^4 + 12a^3 + 5a^2 + 6a + 20)31^7 + (14a^9 + 2a^8 + 19a^7 + 19a^5 + 2a^4 + 2a^3 + 29a + 27)31^8+O(31^9)
$r_{ 9 }$	$=$	\( 19 a^{9} + a^{8} + 18 a^{7} + 22 a^{6} + 19 a^{5} + 25 a^{4} + 19 a^{3} + 26 a^{2} + 8 a + 4 + \left(18 a^{9} + 19 a^{8} + 15 a^{7} + 27 a^{6} + 4 a^{5} + 30 a^{4} + 25 a^{3} + a^{2} + 9 a + 1\right)\cdot 31 + \left(10 a^{9} + 9 a^{8} + 15 a^{7} + 15 a^{6} + 24 a^{5} + 12 a^{4} + 13 a^{3} + 17 a^{2} + 15 a + 26\right)\cdot 31^{2} + \left(3 a^{9} + 22 a^{8} + 30 a^{7} + 23 a^{6} + 18 a^{5} + 15 a^{4} + 15 a^{3} + 19 a^{2} + 26 a + 9\right)\cdot 31^{3} + \left(10 a^{9} + 14 a^{8} + 10 a^{7} + 6 a^{6} + a^{5} + 13 a^{4} + 8 a^{3} + 29 a^{2} + 22 a + 4\right)\cdot 31^{4} + \left(5 a^{9} + 28 a^{8} + 24 a^{7} + 6 a^{6} + 3 a^{5} + 4 a^{4} + a^{3} + 24 a^{2} + 13 a + 27\right)\cdot 31^{5} + \left(29 a^{9} + a^{8} + 20 a^{6} + 4 a^{5} + 2 a^{4} + 12 a^{3} + 7 a^{2} + 28 a + 9\right)\cdot 31^{6} + \left(8 a^{9} + 15 a^{8} + 27 a^{7} + 3 a^{6} + 20 a^{5} + 19 a^{4} + 25 a^{3} + 24 a^{2} + 24 a + 30\right)\cdot 31^{7} + \left(8 a^{9} + 20 a^{8} + 3 a^{7} + 25 a^{6} + 27 a^{5} + 3 a^{4} + 7 a^{3} + 19 a^{2} + 3 a + 21\right)\cdot 31^{8} +O(31^{9})\) 19a^9 + a^8 + 18a^7 + 22a^6 + 19a^5 + 25a^4 + 19a^3 + 26a^2 + 8a + 4 + (18a^9 + 19a^8 + 15a^7 + 27a^6 + 4a^5 + 30a^4 + 25a^3 + a^2 + 9a + 1)31 + (10a^9 + 9a^8 + 15a^7 + 15a^6 + 24a^5 + 12a^4 + 13a^3 + 17a^2 + 15a + 26)31^2 + (3a^9 + 22a^8 + 30a^7 + 23a^6 + 18a^5 + 15a^4 + 15a^3 + 19a^2 + 26a + 9)31^3 + (10a^9 + 14a^8 + 10a^7 + 6a^6 + a^5 + 13a^4 + 8a^3 + 29a^2 + 22a + 4)31^4 + (5a^9 + 28a^8 + 24a^7 + 6a^6 + 3a^5 + 4a^4 + a^3 + 24a^2 + 13a + 27)31^5 + (29a^9 + a^8 + 20a^6 + 4a^5 + 2a^4 + 12a^3 + 7a^2 + 28a + 9)31^6 + (8a^9 + 15a^8 + 27a^7 + 3a^6 + 20a^5 + 19a^4 + 25a^3 + 24a^2 + 24a + 30)31^7 + (8a^9 + 20a^8 + 3a^7 + 25a^6 + 27a^5 + 3a^4 + 7a^3 + 19a^2 + 3a + 21)*31^8+O(31^9)
$r_{ 10 }$	$=$	\( 23 a^{9} + 14 a^{8} + 5 a^{6} + 22 a^{5} + 24 a^{4} + 13 a^{3} + 8 a + 19 + \left(10 a^{9} + 2 a^{8} + a^{7} + 21 a^{6} + 26 a^{5} + 13 a^{4} + 2 a^{3} + 27 a^{2} + 14 a\right)\cdot 31 + \left(6 a^{9} + 2 a^{8} + 15 a^{7} + 28 a^{6} + 25 a^{5} + 2 a^{4} + 22 a^{3} + 7 a^{2} + 29 a + 1\right)\cdot 31^{2} + \left(29 a^{9} + 30 a^{8} + 30 a^{7} + 12 a^{6} + 23 a^{5} + 12 a^{4} + 27 a^{3} + 23 a^{2} + 27 a + 6\right)\cdot 31^{3} + \left(23 a^{8} + 23 a^{7} + 20 a^{6} + 28 a^{5} + 23 a^{4} + 14 a^{3} + 20 a^{2} + 23 a + 22\right)\cdot 31^{4} + \left(7 a^{9} + 13 a^{8} + 29 a^{7} + 5 a^{6} + 20 a^{5} + 22 a^{4} + 17 a^{3} + 26 a^{2} + 28 a + 10\right)\cdot 31^{5} + \left(16 a^{9} + a^{8} + 25 a^{7} + 21 a^{6} + 18 a^{5} + 28 a^{4} + 30 a^{3} + 19 a^{2} + 17 a\right)\cdot 31^{6} + \left(16 a^{9} + 16 a^{8} + 6 a^{7} + 11 a^{6} + 27 a^{5} + 5 a^{4} + 13 a^{3} + 25 a^{2} + 8 a\right)\cdot 31^{7} + \left(20 a^{9} + 24 a^{8} + 18 a^{7} + 10 a^{6} + 8 a^{5} + 17 a^{4} + 8 a^{3} + 11 a^{2} + 12 a\right)\cdot 31^{8} +O(31^{9})\) 23a^9 + 14a^8 + 5a^6 + 22a^5 + 24a^4 + 13a^3 + 8a + 19 + (10a^9 + 2a^8 + a^7 + 21a^6 + 26a^5 + 13a^4 + 2a^3 + 27a^2 + 14a)31 + (6a^9 + 2a^8 + 15a^7 + 28a^6 + 25a^5 + 2a^4 + 22a^3 + 7a^2 + 29a + 1)31^2 + (29a^9 + 30a^8 + 30a^7 + 12a^6 + 23a^5 + 12a^4 + 27a^3 + 23a^2 + 27a + 6)31^3 + (23a^8 + 23a^7 + 20a^6 + 28a^5 + 23a^4 + 14a^3 + 20a^2 + 23a + 22)31^4 + (7a^9 + 13a^8 + 29a^7 + 5a^6 + 20a^5 + 22a^4 + 17a^3 + 26a^2 + 28a + 10)31^5 + (16a^9 + a^8 + 25a^7 + 21a^6 + 18a^5 + 28a^4 + 30a^3 + 19a^2 + 17a)31^6 + (16a^9 + 16a^8 + 6a^7 + 11a^6 + 27a^5 + 5a^4 + 13a^3 + 25a^2 + 8a)31^7 + (20a^9 + 24a^8 + 18a^7 + 10a^6 + 8a^5 + 17a^4 + 8a^3 + 11a^2 + 12a)31^8+O(31^9)
$r_{ 11 }$	$=$	\( 9 a^{9} + 12 a^{8} + 4 a^{7} + 20 a^{6} + 5 a^{5} + 26 a^{4} + 10 a^{3} + 27 a^{2} + 23 a + 30 + \left(16 a^{9} + 29 a^{8} + 21 a^{7} + 13 a^{6} + 4 a^{5} + 29 a^{4} + 25 a^{3} + 27 a^{2} + 30 a + 16\right)\cdot 31 + \left(17 a^{8} + 27 a^{7} + 21 a^{6} + a^{4} + 4 a^{3} + 20 a^{2} + 22 a + 3\right)\cdot 31^{2} + \left(15 a^{9} + 24 a^{8} + 25 a^{7} + 25 a^{6} + 25 a^{5} + 23 a^{4} + 9 a^{3} + 28 a^{2} + 6 a + 15\right)\cdot 31^{3} + \left(15 a^{9} + 30 a^{8} + 13 a^{7} + 14 a^{6} + 10 a^{5} + 25 a^{4} + 25 a^{3} + 20 a^{2} + 19 a + 26\right)\cdot 31^{4} + \left(23 a^{9} + a^{7} + 11 a^{6} + 16 a^{5} + 24 a^{4} + 16 a^{3} + 7 a^{2} + 12 a + 1\right)\cdot 31^{5} + \left(4 a^{9} + 7 a^{8} + 18 a^{7} + 26 a^{6} + 23 a^{5} + 8 a^{4} + 28 a^{3} + 8 a^{2} + 27 a\right)\cdot 31^{6} + \left(28 a^{9} + 10 a^{8} + 24 a^{7} + 20 a^{6} + 9 a^{5} + 12 a^{4} + 21 a^{3} + 24 a^{2} + 15 a + 28\right)\cdot 31^{7} + \left(4 a^{9} + 11 a^{8} + a^{7} + 23 a^{6} + 9 a^{5} + 24 a^{4} + 29 a^{2} + 3 a + 30\right)\cdot 31^{8} +O(31^{9})\) 9a^9 + 12a^8 + 4a^7 + 20a^6 + 5a^5 + 26a^4 + 10a^3 + 27a^2 + 23a + 30 + (16a^9 + 29a^8 + 21a^7 + 13a^6 + 4a^5 + 29a^4 + 25a^3 + 27a^2 + 30a + 16)31 + (17a^8 + 27a^7 + 21a^6 + a^4 + 4a^3 + 20a^2 + 22a + 3)31^2 + (15a^9 + 24a^8 + 25a^7 + 25a^6 + 25a^5 + 23a^4 + 9a^3 + 28a^2 + 6a + 15)31^3 + (15a^9 + 30a^8 + 13a^7 + 14a^6 + 10a^5 + 25a^4 + 25a^3 + 20a^2 + 19a + 26)31^4 + (23a^9 + a^7 + 11a^6 + 16a^5 + 24a^4 + 16a^3 + 7a^2 + 12a + 1)31^5 + (4a^9 + 7a^8 + 18a^7 + 26a^6 + 23a^5 + 8a^4 + 28a^3 + 8a^2 + 27a)31^6 + (28a^9 + 10a^8 + 24a^7 + 20a^6 + 9a^5 + 12a^4 + 21a^3 + 24a^2 + 15a + 28)31^7 + (4a^9 + 11a^8 + a^7 + 23a^6 + 9a^5 + 24a^4 + 29a^2 + 3a + 30)31^8+O(31^9)
$r_{ 12 }$	$=$	\( 16 a^{9} + 21 a^{8} + 19 a^{7} + 5 a^{6} + 6 a^{5} + 20 a^{4} + 21 a^{3} + 8 a^{2} + 6 a + 11 + \left(28 a^{9} + 24 a^{8} + 9 a^{7} + 19 a^{6} + 18 a^{5} + 11 a^{4} + 26 a^{3} + 30 a^{2} + 14 a + 24\right)\cdot 31 + \left(27 a^{9} + 4 a^{8} + 22 a^{7} + 21 a^{6} + 17 a^{5} + 6 a^{4} + 15 a^{3} + 11 a^{2} + 12 a + 26\right)\cdot 31^{2} + \left(5 a^{9} + 30 a^{8} + 5 a^{7} + 24 a^{6} + 28 a^{5} + 16 a^{4} + 14 a^{3} + 23 a^{2} + 26 a + 20\right)\cdot 31^{3} + \left(a^{9} + 12 a^{8} + 8 a^{7} + 12 a^{6} + 29 a^{5} + 24 a^{4} + 30 a^{3} + 9 a^{2} + 17 a + 15\right)\cdot 31^{4} + \left(12 a^{9} + 10 a^{8} + 20 a^{7} + 8 a^{6} + 24 a^{5} + 23 a^{4} + 8 a^{3} + 12 a^{2} + 12 a + 23\right)\cdot 31^{5} + \left(12 a^{9} + 5 a^{8} + 16 a^{7} + 30 a^{6} + 8 a^{5} + 7 a^{4} + 29 a^{3} + 25 a^{2} + 17 a + 22\right)\cdot 31^{6} + \left(6 a^{9} + 12 a^{8} + 12 a^{7} + 4 a^{6} + 14 a^{5} + 22 a^{4} + 11 a^{3} + 27 a^{2} + 3 a + 22\right)\cdot 31^{7} + \left(20 a^{9} + 29 a^{8} + 30 a^{7} + 18 a^{6} + 16 a^{5} + 24 a^{4} + 19 a^{2} + 8 a + 20\right)\cdot 31^{8} +O(31^{9})\) 16a^9 + 21a^8 + 19a^7 + 5a^6 + 6a^5 + 20a^4 + 21a^3 + 8a^2 + 6a + 11 + (28a^9 + 24a^8 + 9a^7 + 19a^6 + 18a^5 + 11a^4 + 26a^3 + 30a^2 + 14a + 24)31 + (27a^9 + 4a^8 + 22a^7 + 21a^6 + 17a^5 + 6a^4 + 15a^3 + 11a^2 + 12a + 26)31^2 + (5a^9 + 30a^8 + 5a^7 + 24a^6 + 28a^5 + 16a^4 + 14a^3 + 23a^2 + 26a + 20)31^3 + (a^9 + 12a^8 + 8a^7 + 12a^6 + 29a^5 + 24a^4 + 30a^3 + 9a^2 + 17a + 15)31^4 + (12a^9 + 10a^8 + 20a^7 + 8a^6 + 24a^5 + 23a^4 + 8a^3 + 12a^2 + 12a + 23)31^5 + (12a^9 + 5a^8 + 16a^7 + 30a^6 + 8a^5 + 7a^4 + 29a^3 + 25a^2 + 17a + 22)31^6 + (6a^9 + 12a^8 + 12a^7 + 4a^6 + 14a^5 + 22a^4 + 11a^3 + 27a^2 + 3a + 22)31^7 + (20a^9 + 29a^8 + 30a^7 + 18a^6 + 16a^5 + 24a^4 + 19a^2 + 8a + 20)*31^8+O(31^9)
$r_{ 13 }$	$=$	\( 3 a^{9} + 15 a^{8} + 8 a^{7} + 25 a^{6} + 14 a^{4} + 10 a^{3} + 21 a^{2} + 16 a + 30 + \left(10 a^{9} + 14 a^{8} + 12 a^{7} + 15 a^{6} + 24 a^{5} + 17 a^{4} + 14 a^{3} + 8 a^{2} + 23 a + 18\right)\cdot 31 + \left(15 a^{9} + 5 a^{8} + 23 a^{7} + 14 a^{6} + 24 a^{5} + 24 a^{4} + 28 a^{3} + 16 a^{2} + 8 a + 29\right)\cdot 31^{2} + \left(20 a^{9} + 19 a^{8} + 17 a^{7} + 14 a^{6} + 21 a^{5} + 17 a^{4} + 21 a^{3} + 23 a^{2} + 4 a + 21\right)\cdot 31^{3} + \left(15 a^{9} + 6 a^{8} + 6 a^{7} + a^{5} + 3 a^{4} + 17 a^{3} + 6 a^{2} + 20 a + 18\right)\cdot 31^{4} + \left(20 a^{9} + 21 a^{8} + 5 a^{6} + 3 a^{5} + 5 a^{4} + 10 a^{2} + 28 a + 8\right)\cdot 31^{5} + \left(12 a^{9} + 4 a^{8} + 13 a^{7} + 6 a^{6} + 4 a^{5} + 30 a^{4} + 28 a^{3} + 10 a^{2} + 4 a + 4\right)\cdot 31^{6} + \left(16 a^{9} + 22 a^{8} + 6 a^{7} + 10 a^{6} + 23 a^{5} + 10 a^{4} + 26 a^{3} + 6 a^{2} + 25 a + 30\right)\cdot 31^{7} + \left(3 a^{9} + 15 a^{8} + 10 a^{7} + 9 a^{6} + 15 a^{5} + 9 a^{4} + 21 a^{3} + 28 a^{2} + 2 a + 29\right)\cdot 31^{8} +O(31^{9})\) 3a^9 + 15a^8 + 8a^7 + 25a^6 + 14a^4 + 10a^3 + 21a^2 + 16a + 30 + (10a^9 + 14a^8 + 12a^7 + 15a^6 + 24a^5 + 17a^4 + 14a^3 + 8a^2 + 23a + 18)31 + (15a^9 + 5a^8 + 23a^7 + 14a^6 + 24a^5 + 24a^4 + 28a^3 + 16a^2 + 8a + 29)31^2 + (20a^9 + 19a^8 + 17a^7 + 14a^6 + 21a^5 + 17a^4 + 21a^3 + 23a^2 + 4a + 21)31^3 + (15a^9 + 6a^8 + 6a^7 + a^5 + 3a^4 + 17a^3 + 6a^2 + 20a + 18)31^4 + (20a^9 + 21a^8 + 5a^6 + 3a^5 + 5a^4 + 10a^2 + 28a + 8)31^5 + (12a^9 + 4a^8 + 13a^7 + 6a^6 + 4a^5 + 30a^4 + 28a^3 + 10a^2 + 4a + 4)31^6 + (16a^9 + 22a^8 + 6a^7 + 10a^6 + 23a^5 + 10a^4 + 26a^3 + 6a^2 + 25a + 30)31^7 + (3a^9 + 15a^8 + 10a^7 + 9a^6 + 15a^5 + 9a^4 + 21a^3 + 28a^2 + 2a + 29)31^8+O(31^9)
$r_{ 14 }$	$=$	\( 21 a^{9} + 21 a^{8} + 8 a^{6} + 21 a^{5} + 29 a^{4} + 30 a^{3} + 23 a^{2} + 8 a + 5 + \left(5 a^{9} + 11 a^{8} + 15 a^{7} + 20 a^{6} + 15 a^{5} + 27 a^{4} + 7 a^{3} + 29 a^{2} + 5 a + 27\right)\cdot 31 + \left(12 a^{9} + 21 a^{8} + 26 a^{7} + 3 a^{6} + 23 a^{5} + 13 a^{4} + 19 a^{3} + 30 a^{2} + 24 a + 26\right)\cdot 31^{2} + \left(20 a^{9} + 17 a^{8} + 18 a^{7} + 12 a^{6} + 7 a^{5} + 10 a^{4} + 5 a^{3} + 11 a^{2} + 4 a\right)\cdot 31^{3} + \left(4 a^{9} + 17 a^{8} + 14 a^{7} + 13 a^{6} + 26 a^{5} + 26 a^{4} + 2 a^{3} + 23 a^{2} + 25 a + 8\right)\cdot 31^{4} + \left(14 a^{9} + 19 a^{8} + a^{7} + 12 a^{6} + 15 a^{5} + 27 a^{4} + 28 a^{3} + 2 a^{2} + 27 a + 20\right)\cdot 31^{5} + \left(28 a^{9} + 28 a^{8} + 5 a^{7} + 11 a^{6} + 22 a^{5} + 23 a^{4} + 26 a^{3} + 8 a^{2} + 27 a + 24\right)\cdot 31^{6} + \left(12 a^{9} + 29 a^{8} + 8 a^{7} + 22 a^{6} + 29 a^{5} + 23 a^{4} + 4 a^{3} + 10 a^{2} + 28 a + 16\right)\cdot 31^{7} + \left(14 a^{9} + 5 a^{8} + 20 a^{7} + 24 a^{6} + 8 a^{5} + 25 a^{4} + 3 a^{3} + 3 a^{2} + 25 a + 17\right)\cdot 31^{8} +O(31^{9})\) 21a^9 + 21a^8 + 8a^6 + 21a^5 + 29a^4 + 30a^3 + 23a^2 + 8a + 5 + (5a^9 + 11a^8 + 15a^7 + 20a^6 + 15a^5 + 27a^4 + 7a^3 + 29a^2 + 5a + 27)31 + (12a^9 + 21a^8 + 26a^7 + 3a^6 + 23a^5 + 13a^4 + 19a^3 + 30a^2 + 24a + 26)31^2 + (20a^9 + 17a^8 + 18a^7 + 12a^6 + 7a^5 + 10a^4 + 5a^3 + 11a^2 + 4a)31^3 + (4a^9 + 17a^8 + 14a^7 + 13a^6 + 26a^5 + 26a^4 + 2a^3 + 23a^2 + 25a + 8)31^4 + (14a^9 + 19a^8 + a^7 + 12a^6 + 15a^5 + 27a^4 + 28a^3 + 2a^2 + 27a + 20)31^5 + (28a^9 + 28a^8 + 5a^7 + 11a^6 + 22a^5 + 23a^4 + 26a^3 + 8a^2 + 27a + 24)31^6 + (12a^9 + 29a^8 + 8a^7 + 22a^6 + 29a^5 + 23a^4 + 4a^3 + 10a^2 + 28a + 16)31^7 + (14a^9 + 5a^8 + 20a^7 + 24a^6 + 8a^5 + 25a^4 + 3a^3 + 3a^2 + 25a + 17)*31^8+O(31^9)
$r_{ 15 }$	$=$	\( 21 a^{9} + a^{8} + 27 a^{7} + 24 a^{6} + a^{5} + 13 a^{4} + 18 a^{3} + 20 a^{2} + 15 a + 10 + \left(20 a^{9} + 4 a^{8} + 25 a^{7} + 17 a^{6} + 8 a^{5} + 3 a^{4} + 9 a^{3} + 10 a^{2} + 3 a + 17\right)\cdot 31 + \left(26 a^{9} + 23 a^{8} + 6 a^{7} + 19 a^{6} + 3 a^{5} + a^{4} + 9 a^{3} + 26 a^{2} + 23 a + 13\right)\cdot 31^{2} + \left(a^{9} + 21 a^{8} + 20 a^{7} + 12 a^{6} + 26 a^{5} + 3 a^{4} + 25 a^{3} + 25 a^{2} + 19 a + 25\right)\cdot 31^{3} + \left(6 a^{9} + 22 a^{8} + 11 a^{7} + 12 a^{6} + 30 a^{5} + 3 a^{4} + 5 a^{3} + 4 a^{2} + 24 a + 17\right)\cdot 31^{4} + \left(17 a^{9} + 23 a^{8} + 29 a^{7} + 17 a^{6} + 25 a^{5} + 18 a^{4} + 22 a^{3} + 28 a^{2} + 4 a + 17\right)\cdot 31^{5} + \left(9 a^{9} + 2 a^{8} + 23 a^{7} + 28 a^{6} + 11 a^{5} + 9 a^{4} + 20 a^{3} + 13 a^{2} + 29 a + 1\right)\cdot 31^{6} + \left(26 a^{9} + 19 a^{8} + 24 a^{7} + 4 a^{6} + 6 a^{5} + 22 a^{4} + 11 a^{3} + 9 a^{2} + 10 a + 25\right)\cdot 31^{7} + \left(14 a^{9} + 16 a^{8} + 22 a^{7} + 26 a^{6} + 10 a^{5} + 19 a^{4} + 10 a^{3} + 13 a^{2} + 28 a\right)\cdot 31^{8} +O(31^{9})\) 21a^9 + a^8 + 27a^7 + 24a^6 + a^5 + 13a^4 + 18a^3 + 20a^2 + 15a + 10 + (20a^9 + 4a^8 + 25a^7 + 17a^6 + 8a^5 + 3a^4 + 9a^3 + 10a^2 + 3a + 17)31 + (26a^9 + 23a^8 + 6a^7 + 19a^6 + 3a^5 + a^4 + 9a^3 + 26a^2 + 23a + 13)31^2 + (a^9 + 21a^8 + 20a^7 + 12a^6 + 26a^5 + 3a^4 + 25a^3 + 25a^2 + 19a + 25)31^3 + (6a^9 + 22a^8 + 11a^7 + 12a^6 + 30a^5 + 3a^4 + 5a^3 + 4a^2 + 24a + 17)31^4 + (17a^9 + 23a^8 + 29a^7 + 17a^6 + 25a^5 + 18a^4 + 22a^3 + 28a^2 + 4a + 17)31^5 + (9a^9 + 2a^8 + 23a^7 + 28a^6 + 11a^5 + 9a^4 + 20a^3 + 13a^2 + 29a + 1)31^6 + (26a^9 + 19a^8 + 24a^7 + 4a^6 + 6a^5 + 22a^4 + 11a^3 + 9a^2 + 10a + 25)31^7 + (14a^9 + 16a^8 + 22a^7 + 26a^6 + 10a^5 + 19a^4 + 10a^3 + 13a^2 + 28a)*31^8+O(31^9)
$r_{ 16 }$	$=$	\( 14 a^{9} + 4 a^{8} + a^{7} + 3 a^{6} + 5 a^{5} + 25 a^{4} + 26 a^{3} + 12 a^{2} + 27 a + 10 + \left(17 a^{9} + 12 a^{8} + 12 a^{7} + 6 a^{6} + 16 a^{5} + 16 a^{4} + 22 a^{3} + 8 a^{2} + 4 a + 23\right)\cdot 31 + \left(20 a^{9} + 8 a^{8} + 24 a^{7} + 3 a^{6} + 16 a^{5} + 16 a^{4} + 2 a^{3} + 30 a^{2} + 18 a + 6\right)\cdot 31^{2} + \left(18 a^{9} + 29 a^{8} + 8 a^{7} + 10 a^{6} + 8 a^{4} + 12 a^{3} + 8 a^{2} + a + 21\right)\cdot 31^{3} + \left(16 a^{9} + 23 a^{8} + a^{7} + 4 a^{6} + 28 a^{5} + 8 a^{4} + 6 a^{3} + 7 a^{2} + 26 a + 27\right)\cdot 31^{4} + \left(30 a^{9} + 25 a^{8} + 25 a^{7} + 24 a^{6} + 4 a^{5} + 15 a^{4} + 23 a^{3} + 14 a^{2} + 18 a + 27\right)\cdot 31^{5} + \left(3 a^{8} + a^{7} + 15 a^{6} + 15 a^{5} + 28 a^{4} + 22 a^{3} + 8 a^{2} + 20 a + 13\right)\cdot 31^{6} + \left(29 a^{9} + 28 a^{8} + 25 a^{7} + 26 a^{6} + 14 a^{5} + 21 a^{4} + 24 a^{3} + 14 a^{2} + 29 a + 10\right)\cdot 31^{7} + \left(25 a^{9} + 20 a^{8} + a^{7} + 21 a^{6} + 2 a^{5} + 29 a^{4} + 9 a^{3} + 11 a^{2} + 2 a + 30\right)\cdot 31^{8} +O(31^{9})\) 14a^9 + 4a^8 + a^7 + 3a^6 + 5a^5 + 25a^4 + 26a^3 + 12a^2 + 27a + 10 + (17a^9 + 12a^8 + 12a^7 + 6a^6 + 16a^5 + 16a^4 + 22a^3 + 8a^2 + 4a + 23)31 + (20a^9 + 8a^8 + 24a^7 + 3a^6 + 16a^5 + 16a^4 + 2a^3 + 30a^2 + 18a + 6)31^2 + (18a^9 + 29a^8 + 8a^7 + 10a^6 + 8a^4 + 12a^3 + 8a^2 + a + 21)31^3 + (16a^9 + 23a^8 + a^7 + 4a^6 + 28a^5 + 8a^4 + 6a^3 + 7a^2 + 26a + 27)31^4 + (30a^9 + 25a^8 + 25a^7 + 24a^6 + 4a^5 + 15a^4 + 23a^3 + 14a^2 + 18a + 27)31^5 + (3a^8 + a^7 + 15a^6 + 15a^5 + 28a^4 + 22a^3 + 8a^2 + 20a + 13)31^6 + (29a^9 + 28a^8 + 25a^7 + 26a^6 + 14a^5 + 21a^4 + 24a^3 + 14a^2 + 29a + 10)31^7 + (25a^9 + 20a^8 + a^7 + 21a^6 + 2a^5 + 29a^4 + 9a^3 + 11a^2 + 2a + 30)31^8+O(31^9)
$r_{ 17 }$	$=$	\( 13 a^{9} + 15 a^{8} + 19 a^{7} + 13 a^{6} + 20 a^{5} + 13 a^{4} + 15 a^{3} + 6 a + 26 + \left(3 a^{9} + 6 a^{8} + 26 a^{7} + 27 a^{6} + 13 a^{5} + 27 a^{4} + 13 a^{3} + 14 a^{2} + 18 a + 15\right)\cdot 31 + \left(5 a^{9} + 26 a^{8} + 15 a^{7} + 10 a^{6} + 25 a^{5} + 13 a^{4} + 13 a^{3} + 24 a^{2} + a + 8\right)\cdot 31^{2} + \left(12 a^{9} + 11 a^{8} + 29 a^{7} + 6 a^{6} + 9 a^{5} + 17 a^{4} + 18 a^{3} + 2 a^{2} + a + 21\right)\cdot 31^{3} + \left(2 a^{9} + 29 a^{8} + 15 a^{7} + 11 a^{6} + 25 a^{5} + 26 a^{4} + 2 a^{3} + 8 a^{2} + 17 a + 12\right)\cdot 31^{4} + \left(12 a^{9} + 15 a^{8} + 22 a^{7} + 19 a^{6} + 25 a^{5} + 4 a^{4} + a^{3} + 11 a^{2} + 27 a + 1\right)\cdot 31^{5} + \left(14 a^{9} + 26 a^{8} + 28 a^{7} + 28 a^{6} + 8 a^{5} + 21 a^{4} + 9 a^{3} + 29 a^{2} + 24 a + 24\right)\cdot 31^{6} + \left(2 a^{9} + 29 a^{8} + 4 a^{7} + 7 a^{6} + 3 a^{4} + 22 a^{3} + 13 a^{2} + 11 a + 15\right)\cdot 31^{7} + \left(28 a^{9} + 3 a^{8} + 12 a^{7} + 10 a^{6} + 9 a^{5} + 4 a^{4} + 26 a^{3} + 11 a^{2} + 25 a\right)\cdot 31^{8} +O(31^{9})\) 13a^9 + 15a^8 + 19a^7 + 13a^6 + 20a^5 + 13a^4 + 15a^3 + 6a + 26 + (3a^9 + 6a^8 + 26a^7 + 27a^6 + 13a^5 + 27a^4 + 13a^3 + 14a^2 + 18a + 15)31 + (5a^9 + 26a^8 + 15a^7 + 10a^6 + 25a^5 + 13a^4 + 13a^3 + 24a^2 + a + 8)31^2 + (12a^9 + 11a^8 + 29a^7 + 6a^6 + 9a^5 + 17a^4 + 18a^3 + 2a^2 + a + 21)31^3 + (2a^9 + 29a^8 + 15a^7 + 11a^6 + 25a^5 + 26a^4 + 2a^3 + 8a^2 + 17a + 12)31^4 + (12a^9 + 15a^8 + 22a^7 + 19a^6 + 25a^5 + 4a^4 + a^3 + 11a^2 + 27a + 1)31^5 + (14a^9 + 26a^8 + 28a^7 + 28a^6 + 8a^5 + 21a^4 + 9a^3 + 29a^2 + 24a + 24)31^6 + (2a^9 + 29a^8 + 4a^7 + 7a^6 + 3a^4 + 22a^3 + 13a^2 + 11a + 15)31^7 + (28a^9 + 3a^8 + 12a^7 + 10a^6 + 9a^5 + 4a^4 + 26a^3 + 11a^2 + 25a)31^8+O(31^9)
$r_{ 18 }$	$=$	$ 2 a^{9} + 26 a^{8} + 17 a^{7} + 2 a^{6} + 16 a^{5} + 17 a^{4} + 27 a^{3} + 19 a^{2} + 19 a + 13 + \left(16 a^{9} + 25 a^{8} + 16 a^{7} + 2 a^{6} + 21 a^{5} + 7 a^{4} + 9 a^{3} + 21 a^{2} + 11 a + 8\right)\cdot 31 + \left(6 a^{9} + 15 a^{8} + 17 a^{7} + 19 a^{6} + 25 a^{5} + 29 a^{4} + 22 a^{3} + 20 a^{2} + 6 a + 17\right)\cdot 31^{2} + \left(8 a^{9} + 30 a^{8} + 20 a^{6} + 11 a^{5} + 27 a^{4} + 13 a^{3} + 10 a^{2} + 25 a + 9\right)\cdot 31^{3} + \left(20 a^{9} + 3 a^{8} + 20 a^{7} + 13 a^{6} + 4 a^{5} + 13 a^{4} + a^{3} + 3 a^{2} + 21 a + 7\right)\cdot 31^{4} + \left(26 a^{9} + 17 a^{7} + 14 a^{6} + 17 a^{4} + 29 a^{3} + 3 a^{2} + 17 a + 28\right)\cdot 31^{5} + \left(14 a^{9} + 11 a^{8} + 2 a^{7} + 29 a^{6} + 20 a^{5} + 9 a^{4} + 3 a^{3} + 8 a^{2} + 24 a + 27\right)\cdot 31^{6} + \left(8 a^{9} + a^{6} + 20 a^{5} + 16 a^{4} + 25 a^{3} + 3 a^{2} + 6 a + 21\right)\cdot 31^{7} + \left(14 a^{9} + 3 a^{8} + 18 a^{7} + 22 a^{6} + 28 a^{5} + 18 a^{4} + 22 a^{3} + 6 a^{2} + 11 a + 1\right)\cdot 31^{8} +O(31^{9})$ 2a^9 + 26a^8 + 17a^7 + 2a^6 + 16a^5 + 17a^4 + 27a^3 + 19a^2 + 19a + 13 + (16a^9 + 25a^8 + 16a^7 + 2a^6 + 21a^5 + 7a^4 + 9a^3 + 21a^2 + 11a + 8)31 + (6a^9 + 15a^8 + 17a^7 + 19a^6 + 25a^5 + 29a^4 + 22a^3 + 20a^2 + 6a + 17)31^2 + (8a^9 + 30a^8 + 20a^6 + 11a^5 + 27a^4 + 13a^3 + 10a^2 + 25a + 9)31^3 + (20a^9 + 3a^8 + 20a^7 + 13a^6 + 4a^5 + 13a^4 + a^3 + 3a^2 + 21a + 7)31^4 + (26a^9 + 17a^7 + 14a^6 + 17a^4 + 29a^3 + 3a^2 + 17a + 28)31^5 + (14a^9 + 11a^8 + 2a^7 + 29a^6 + 20a^5 + 9a^4 + 3a^3 + 8a^2 + 24a + 27)31^6 + (8a^9 + a^6 + 20a^5 + 16a^4 + 25a^3 + 3a^2 + 6a + 21)31^7 + (14a^9 + 3a^8 + 18a^7 + 22a^6 + 28a^5 + 18a^4 + 22a^3 + 6a^2 + 11a + 1)31^8+O(31^9)
$r_{ 19 }$	$=$	\( 6 a^{8} + 26 a^{6} + 3 a^{5} + 10 a^{4} + 27 a^{3} + 24 a^{2} + 10 a + 29 + \left(13 a^{9} + 17 a^{8} + 13 a^{7} + 5 a^{6} + 23 a^{5} + 24 a^{4} + 17 a^{2} + 18 a + 1\right)\cdot 31 + \left(16 a^{9} + 16 a^{8} + 8 a^{7} + 16 a^{6} + 19 a^{5} + 9 a^{4} + 21 a^{3} + 25 a^{2} + 10 a + 29\right)\cdot 31^{2} + \left(20 a^{9} + 3 a^{8} + 16 a^{7} + 23 a^{6} + 29 a^{5} + 29 a^{4} + 11 a^{3} + 22 a^{2} + a + 28\right)\cdot 31^{3} + \left(13 a^{9} + 7 a^{8} + 27 a^{7} + 22 a^{6} + 15 a^{5} + 11 a^{4} + 17 a^{3} + 12 a^{2} + 20 a + 6\right)\cdot 31^{4} + \left(5 a^{9} + 23 a^{8} + 22 a^{7} + 21 a^{6} + 29 a^{5} + 4 a^{4} + 20 a^{3} + a^{2} + 16 a + 10\right)\cdot 31^{5} + \left(26 a^{9} + 9 a^{8} + 8 a^{7} + 20 a^{6} + 8 a^{5} + 9 a^{4} + 14 a^{3} + 12 a^{2} + 23 a + 17\right)\cdot 31^{6} + \left(16 a^{9} + 23 a^{8} + 13 a^{7} + 25 a^{5} + 13 a^{4} + 5 a^{3} + 27 a^{2} + 2 a + 17\right)\cdot 31^{7} + \left(a^{9} + 12 a^{8} + 4 a^{7} + 21 a^{6} + 7 a^{5} + 18 a^{4} + 18 a^{3} + 23 a^{2} + 7 a\right)\cdot 31^{8} +O(31^{9})\) 6a^8 + 26a^6 + 3a^5 + 10a^4 + 27a^3 + 24a^2 + 10a + 29 + (13a^9 + 17a^8 + 13a^7 + 5a^6 + 23a^5 + 24a^4 + 17a^2 + 18a + 1)31 + (16a^9 + 16a^8 + 8a^7 + 16a^6 + 19a^5 + 9a^4 + 21a^3 + 25a^2 + 10a + 29)31^2 + (20a^9 + 3a^8 + 16a^7 + 23a^6 + 29a^5 + 29a^4 + 11a^3 + 22a^2 + a + 28)31^3 + (13a^9 + 7a^8 + 27a^7 + 22a^6 + 15a^5 + 11a^4 + 17a^3 + 12a^2 + 20a + 6)31^4 + (5a^9 + 23a^8 + 22a^7 + 21a^6 + 29a^5 + 4a^4 + 20a^3 + a^2 + 16a + 10)31^5 + (26a^9 + 9a^8 + 8a^7 + 20a^6 + 8a^5 + 9a^4 + 14a^3 + 12a^2 + 23a + 17)31^6 + (16a^9 + 23a^8 + 13a^7 + 25a^5 + 13a^4 + 5a^3 + 27a^2 + 2a + 17)31^7 + (a^9 + 12a^8 + 4a^7 + 21a^6 + 7a^5 + 18a^4 + 18a^3 + 23a^2 + 7a)31^8+O(31^9)
$r_{ 20 }$	$=$	\( 9 a^{9} + 15 a^{8} + 6 a^{7} + 17 a^{6} + 26 a^{5} + 22 a^{4} + 27 a^{3} + 28 a^{2} + a + \left(22 a^{9} + 20 a^{8} + 14 a^{7} + 21 a^{6} + 15 a^{4} + 21 a^{3} + 2 a^{2} + 21\right)\cdot 31 + \left(28 a^{9} + 6 a^{8} + 18 a^{7} + a^{6} + 18 a^{5} + 3 a^{4} + 23 a^{3} + 17 a^{2} + 11 a + 7\right)\cdot 31^{2} + \left(13 a^{9} + 18 a^{8} + 30 a^{7} + 18 a^{6} + 22 a^{5} + 7 a^{4} + 10 a^{3} + 3 a^{2} + 2 a + 14\right)\cdot 31^{3} + \left(12 a^{9} + 20 a^{8} + 3 a^{7} + 3 a^{6} + 4 a^{5} + 23 a^{4} + 30 a^{3} + 21 a^{2} + 27 a + 29\right)\cdot 31^{4} + \left(4 a^{9} + 18 a^{8} + 2 a^{7} + 20 a^{6} + 23 a^{5} + 24 a^{4} + 6 a^{3} + 10 a^{2} + 2 a\right)\cdot 31^{5} + \left(24 a^{9} + 18 a^{8} + 26 a^{7} + 10 a^{6} + 15 a^{5} + 22 a^{4} + 5 a^{3} + 27 a^{2} + 19 a + 30\right)\cdot 31^{6} + \left(18 a^{9} + 10 a^{8} + 21 a^{7} + 13 a^{6} + 10 a^{5} + 18 a^{4} + 4 a^{3} + 2 a^{2} + 15 a + 5\right)\cdot 31^{7} + \left(11 a^{9} + 20 a^{8} + 18 a^{7} + 28 a^{6} + 15 a^{5} + 8 a^{4} + 4 a^{3} + 22 a^{2} + 17 a + 27\right)\cdot 31^{8} +O(31^{9})\) 9a^9 + 15a^8 + 6a^7 + 17a^6 + 26a^5 + 22a^4 + 27a^3 + 28a^2 + a + (22a^9 + 20a^8 + 14a^7 + 21a^6 + 15a^4 + 21a^3 + 2a^2 + 21)31 + (28a^9 + 6a^8 + 18a^7 + a^6 + 18a^5 + 3a^4 + 23a^3 + 17a^2 + 11a + 7)31^2 + (13a^9 + 18a^8 + 30a^7 + 18a^6 + 22a^5 + 7a^4 + 10a^3 + 3a^2 + 2a + 14)31^3 + (12a^9 + 20a^8 + 3a^7 + 3a^6 + 4a^5 + 23a^4 + 30a^3 + 21a^2 + 27a + 29)31^4 + (4a^9 + 18a^8 + 2a^7 + 20a^6 + 23a^5 + 24a^4 + 6a^3 + 10a^2 + 2a)31^5 + (24a^9 + 18a^8 + 26a^7 + 10a^6 + 15a^5 + 22a^4 + 5a^3 + 27a^2 + 19a + 30)31^6 + (18a^9 + 10a^8 + 21a^7 + 13a^6 + 10a^5 + 18a^4 + 4a^3 + 2a^2 + 15a + 5)31^7 + (11a^9 + 20a^8 + 18a^7 + 28a^6 + 15a^5 + 8a^4 + 4a^3 + 22a^2 + 17a + 27)*31^8+O(31^9)
$r_{ 21 }$	$=$	\( 5 a^{9} + 18 a^{8} + 15 a^{7} + 5 a^{6} + 11 a^{5} + 20 a^{4} + 28 a^{3} + 10 a^{2} + 13 a + 11 + \left(11 a^{9} + 17 a^{8} + a^{7} + 6 a^{6} + 13 a^{5} + 4 a^{4} + 11 a^{3} + 12 a^{2} + a + 11\right)\cdot 31 + \left(25 a^{9} + 26 a^{8} + 22 a^{7} + 7 a^{6} + 17 a^{5} + 26 a^{4} + 2 a^{3} + 17 a^{2} + 17 a + 16\right)\cdot 31^{2} + \left(20 a^{9} + 16 a^{8} + 23 a^{7} + 10 a^{6} + 15 a^{5} + 19 a^{4} + 17 a^{3} + 7 a^{2} + 30 a + 18\right)\cdot 31^{3} + \left(25 a^{9} + 14 a^{8} + 28 a^{7} + 18 a^{6} + 20 a^{5} + 24 a^{4} + 21 a^{3} + 26 a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 31^{4} + \left(a^{9} + 11 a^{8} + 8 a^{7} + 2 a^{6} + 24 a^{5} + 28 a^{4} + 23 a^{3} + 28 a^{2} + 26 a + 26\right)\cdot 31^{5} + \left(22 a^{9} + 17 a^{7} + 14 a^{6} + 21 a^{5} + 19 a^{4} + 15 a^{3} + 23 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 31^{6} + \left(22 a^{9} + 27 a^{8} + 28 a^{7} + 12 a^{6} + 17 a^{5} + 18 a^{4} + 12 a^{3} + 26 a^{2} + 26 a + 8\right)\cdot 31^{7} + \left(17 a^{9} + 20 a^{8} + 27 a^{7} + 16 a^{6} + a^{5} + 16 a^{4} + 19 a^{3} + 29 a^{2} + 23 a + 6\right)\cdot 31^{8} +O(31^{9})\) 5a^9 + 18a^8 + 15a^7 + 5a^6 + 11a^5 + 20a^4 + 28a^3 + 10a^2 + 13a + 11 + (11a^9 + 17a^8 + a^7 + 6a^6 + 13a^5 + 4a^4 + 11a^3 + 12a^2 + a + 11)31 + (25a^9 + 26a^8 + 22a^7 + 7a^6 + 17a^5 + 26a^4 + 2a^3 + 17a^2 + 17a + 16)31^2 + (20a^9 + 16a^8 + 23a^7 + 10a^6 + 15a^5 + 19a^4 + 17a^3 + 7a^2 + 30a + 18)31^3 + (25a^9 + 14a^8 + 28a^7 + 18a^6 + 20a^5 + 24a^4 + 21a^3 + 26a^2 + 4a + 2)31^4 + (a^9 + 11a^8 + 8a^7 + 2a^6 + 24a^5 + 28a^4 + 23a^3 + 28a^2 + 26a + 26)31^5 + (22a^9 + 17a^7 + 14a^6 + 21a^5 + 19a^4 + 15a^3 + 23a^2 + 8a + 7)31^6 + (22a^9 + 27a^8 + 28a^7 + 12a^6 + 17a^5 + 18a^4 + 12a^3 + 26a^2 + 26a + 8)31^7 + (17a^9 + 20a^8 + 27a^7 + 16a^6 + a^5 + 16a^4 + 19a^3 + 29a^2 + 23a + 6)31^8+O(31^9)
$r_{ 22 }$	$=$	\( 11 a^{9} + 9 a^{8} + 3 a^{7} + 18 a^{6} + 7 a^{5} + 14 a^{4} + 2 a^{3} + 7 a + 15 + \left(24 a^{9} + 12 a^{8} + 19 a^{7} + 5 a^{6} + 14 a^{5} + 18 a^{4} + 10 a^{3} + 25 a^{2} + 24 a + 11\right)\cdot 31 + \left(13 a^{9} + 14 a^{8} + 25 a^{7} + 22 a^{6} + 25 a^{5} + 19 a^{4} + 6 a^{3} + 22 a^{2} + 29 a + 29\right)\cdot 31^{2} + \left(22 a^{9} + 13 a^{8} + 2 a^{7} + 7 a^{6} + 12 a^{5} + 30 a^{4} + 22 a^{3} + 24 a^{2} + 9 a + 13\right)\cdot 31^{3} + \left(13 a^{9} + 22 a^{8} + 4 a^{7} + 26 a^{6} + 24 a^{5} + 5 a^{3} + 12 a^{2} + 21 a + 23\right)\cdot 31^{4} + \left(7 a^{9} + 7 a^{8} + 19 a^{7} + 7 a^{6} + 14 a^{5} + 13 a^{4} + 17 a^{3} + 13 a^{2} + 7 a + 23\right)\cdot 31^{5} + \left(13 a^{9} + 29 a^{8} + 18 a^{5} + 20 a^{4} + 15 a^{3} + 21 a^{2} + 4 a + 4\right)\cdot 31^{6} + \left(30 a^{9} + 19 a^{8} + 14 a^{7} + 9 a^{6} + 25 a^{5} + 5 a^{4} + 12 a^{3} + 24 a^{2} + 26 a + 13\right)\cdot 31^{7} + \left(a^{9} + 29 a^{8} + 11 a^{7} + 28 a^{6} + 13 a^{5} + 5 a^{4} + 14 a^{3} + 24 a^{2} + 16 a + 2\right)\cdot 31^{8} +O(31^{9})\) 11a^9 + 9a^8 + 3a^7 + 18a^6 + 7a^5 + 14a^4 + 2a^3 + 7a + 15 + (24a^9 + 12a^8 + 19a^7 + 5a^6 + 14a^5 + 18a^4 + 10a^3 + 25a^2 + 24a + 11)31 + (13a^9 + 14a^8 + 25a^7 + 22a^6 + 25a^5 + 19a^4 + 6a^3 + 22a^2 + 29a + 29)31^2 + (22a^9 + 13a^8 + 2a^7 + 7a^6 + 12a^5 + 30a^4 + 22a^3 + 24a^2 + 9a + 13)31^3 + (13a^9 + 22a^8 + 4a^7 + 26a^6 + 24a^5 + 5a^3 + 12a^2 + 21a + 23)31^4 + (7a^9 + 7a^8 + 19a^7 + 7a^6 + 14a^5 + 13a^4 + 17a^3 + 13a^2 + 7a + 23)31^5 + (13a^9 + 29a^8 + 18a^5 + 20a^4 + 15a^3 + 21a^2 + 4a + 4)31^6 + (30a^9 + 19a^8 + 14a^7 + 9a^6 + 25a^5 + 5a^4 + 12a^3 + 24a^2 + 26a + 13)31^7 + (a^9 + 29a^8 + 11a^7 + 28a^6 + 13a^5 + 5a^4 + 14a^3 + 24a^2 + 16a + 2)31^8+O(31^9)
$r_{ 23 }$	$=$	\( 19 a^{9} + 14 a^{8} + 24 a^{7} + 22 a^{6} + 22 a^{5} + 11 a^{4} + 8 a^{3} + 21 a^{2} + 28 a + 16 + \left(26 a^{9} + 27 a^{8} + 6 a^{7} + 5 a^{6} + 3 a^{5} + 12 a^{4} + 25 a^{3} + 11 a^{2} + 4 a + 14\right)\cdot 31 + \left(22 a^{9} + 4 a^{8} + 14 a^{7} + 24 a^{6} + 19 a^{5} + 13 a^{4} + 5 a^{3} + 4 a^{2} + 28 a + 5\right)\cdot 31^{2} + \left(23 a^{9} + 29 a^{8} + a^{7} + 21 a^{6} + 27 a^{5} + 9 a^{4} + 9 a^{3} + 28 a^{2} + 17 a + 1\right)\cdot 31^{3} + \left(29 a^{9} + 21 a^{8} + 24 a^{7} + 4 a^{6} + 20 a^{5} + 6 a^{4} + 13 a^{3} + 18 a^{2} + 29 a + 11\right)\cdot 31^{4} + \left(19 a^{9} + 3 a^{8} + 11 a^{7} + 25 a^{6} + 16 a^{5} + 25 a^{4} + 2 a^{3} + 14 a^{2} + 19 a + 6\right)\cdot 31^{5} + \left(10 a^{9} + 26 a^{8} + 8 a^{7} + 13 a^{6} + 19 a^{5} + 20 a^{4} + 15 a^{3} + 19 a^{2} + 17 a + 1\right)\cdot 31^{6} + \left(4 a^{9} + 23 a^{8} + 6 a^{7} + 8 a^{6} + 19 a^{5} + 2 a^{4} + 7 a^{3} + 14 a^{2} + 26 a + 23\right)\cdot 31^{7} + \left(22 a^{9} + 16 a^{8} + 7 a^{7} + 21 a^{5} + 10 a^{4} + 10 a^{3} + 14 a^{2} + 9 a + 24\right)\cdot 31^{8} +O(31^{9})\) 19a^9 + 14a^8 + 24a^7 + 22a^6 + 22a^5 + 11a^4 + 8a^3 + 21a^2 + 28a + 16 + (26a^9 + 27a^8 + 6a^7 + 5a^6 + 3a^5 + 12a^4 + 25a^3 + 11a^2 + 4a + 14)31 + (22a^9 + 4a^8 + 14a^7 + 24a^6 + 19a^5 + 13a^4 + 5a^3 + 4a^2 + 28a + 5)31^2 + (23a^9 + 29a^8 + a^7 + 21a^6 + 27a^5 + 9a^4 + 9a^3 + 28a^2 + 17a + 1)31^3 + (29a^9 + 21a^8 + 24a^7 + 4a^6 + 20a^5 + 6a^4 + 13a^3 + 18a^2 + 29a + 11)31^4 + (19a^9 + 3a^8 + 11a^7 + 25a^6 + 16a^5 + 25a^4 + 2a^3 + 14a^2 + 19a + 6)31^5 + (10a^9 + 26a^8 + 8a^7 + 13a^6 + 19a^5 + 20a^4 + 15a^3 + 19a^2 + 17a + 1)31^6 + (4a^9 + 23a^8 + 6a^7 + 8a^6 + 19a^5 + 2a^4 + 7a^3 + 14a^2 + 26a + 23)31^7 + (22a^9 + 16a^8 + 7a^7 + 21a^5 + 10a^4 + 10a^3 + 14a^2 + 9a + 24)*31^8+O(31^9)
$r_{ 24 }$	$=$	\( 11 a^{9} + 4 a^{8} + a^{7} + 21 a^{6} + 21 a^{5} + 6 a^{4} + 8 a^{3} + 21 a^{2} + 11 a + 9 + \left(7 a^{9} + 8 a^{8} + 27 a^{7} + 8 a^{6} + 7 a^{5} + 28 a^{4} + 26 a^{3} + 16 a^{2} + 22 a + 12\right)\cdot 31 + \left(20 a^{9} + 4 a^{8} + 30 a^{7} + 2 a^{6} + 10 a^{5} + 6 a^{4} + 28 a^{3} + 15 a^{2} + 21 a + 28\right)\cdot 31^{2} + \left(29 a^{9} + 22 a^{8} + 4 a^{7} + 29 a^{6} + 7 a^{5} + 25 a^{4} + 7 a^{3} + 12 a^{2} + 7 a + 1\right)\cdot 31^{3} + \left(3 a^{9} + 4 a^{8} + 17 a^{7} + 18 a^{6} + 10 a^{5} + 24 a^{4} + 17 a^{3} + 21 a^{2} + 2 a + 21\right)\cdot 31^{4} + \left(9 a^{9} + 18 a^{8} + 23 a^{7} + 23 a^{6} + 20 a^{5} + 25 a^{4} + 14 a^{3} + 21 a^{2} + 28\right)\cdot 31^{5} + \left(12 a^{9} + 15 a^{8} + 14 a^{7} + 13 a^{6} + 11 a^{5} + 13 a^{4} + 20 a^{3} + 28 a^{2} + 20 a + 10\right)\cdot 31^{6} + \left(22 a^{9} + 24 a^{8} + 29 a^{7} + 16 a^{6} + 2 a^{5} + 24 a^{4} + 8 a^{3} + 20 a^{2} + 7 a + 21\right)\cdot 31^{7} + \left(14 a^{9} + 24 a^{8} + 22 a^{7} + 9 a^{6} + 2 a^{5} + 25 a^{4} + 23 a^{3} + 12 a^{2} + 24 a + 23\right)\cdot 31^{8} +O(31^{9})\) 11a^9 + 4a^8 + a^7 + 21a^6 + 21a^5 + 6a^4 + 8a^3 + 21a^2 + 11a + 9 + (7a^9 + 8a^8 + 27a^7 + 8a^6 + 7a^5 + 28a^4 + 26a^3 + 16a^2 + 22a + 12)31 + (20a^9 + 4a^8 + 30a^7 + 2a^6 + 10a^5 + 6a^4 + 28a^3 + 15a^2 + 21a + 28)31^2 + (29a^9 + 22a^8 + 4a^7 + 29a^6 + 7a^5 + 25a^4 + 7a^3 + 12a^2 + 7a + 1)31^3 + (3a^9 + 4a^8 + 17a^7 + 18a^6 + 10a^5 + 24a^4 + 17a^3 + 21a^2 + 2a + 21)31^4 + (9a^9 + 18a^8 + 23a^7 + 23a^6 + 20a^5 + 25a^4 + 14a^3 + 21a^2 + 28)31^5 + (12a^9 + 15a^8 + 14a^7 + 13a^6 + 11a^5 + 13a^4 + 20a^3 + 28a^2 + 20a + 10)31^6 + (22a^9 + 24a^8 + 29a^7 + 16a^6 + 2a^5 + 24a^4 + 8a^3 + 20a^2 + 7a + 21)31^7 + (14a^9 + 24a^8 + 22a^7 + 9a^6 + 2a^5 + 25a^4 + 23a^3 + 12a^2 + 24a + 23)*31^8+O(31^9)
$r_{ 25 }$	$=$	\( 13 a^{9} + 7 a^{8} + 5 a^{7} + 20 a^{6} + 21 a^{5} + 6 a^{4} + 12 a^{3} + 17 a^{2} + 8 a + 29 + \left(30 a^{9} + 15 a^{8} + 21 a^{7} + 3 a^{6} + 17 a^{5} + 23 a^{4} + 24 a^{3} + 6 a^{2} + 8 a + 16\right)\cdot 31 + \left(a^{9} + 4 a^{8} + 13 a^{7} + 2 a^{6} + 11 a^{5} + 4 a^{4} + 11 a^{3} + 11 a^{2} + 3 a + 1\right)\cdot 31^{2} + \left(13 a^{9} + 17 a^{8} + 29 a^{7} + 9 a^{6} + 24 a^{5} + 14 a^{4} + 21 a^{3} + 30 a^{2} + 16 a + 7\right)\cdot 31^{3} + \left(17 a^{9} + a^{8} + 26 a^{7} + 25 a^{6} + 24 a^{5} + 5 a^{4} + 2 a^{3} + 9 a^{2} + 13 a + 17\right)\cdot 31^{4} + \left(12 a^{9} + 3 a^{8} + 17 a^{7} + 13 a^{6} + 28 a^{5} + 14 a^{4} + 23 a^{2} + 24 a + 7\right)\cdot 31^{5} + \left(23 a^{9} + 3 a^{8} + 24 a^{7} + 18 a^{6} + 17 a^{5} + 7 a^{4} + 5 a^{3} + 2 a^{2} + 3 a + 1\right)\cdot 31^{6} + \left(27 a^{9} + 5 a^{8} + 6 a^{7} + 14 a^{6} + 26 a^{5} + 18 a^{4} + 9 a^{3} + 6 a^{2} + 23 a\right)\cdot 31^{7} + \left(4 a^{9} + 11 a^{8} + 15 a^{7} + 22 a^{6} + 25 a^{5} + 20 a^{4} + 5 a^{3} + a^{2} + 13 a + 21\right)\cdot 31^{8} +O(31^{9})\) 13a^9 + 7a^8 + 5a^7 + 20a^6 + 21a^5 + 6a^4 + 12a^3 + 17a^2 + 8a + 29 + (30a^9 + 15a^8 + 21a^7 + 3a^6 + 17a^5 + 23a^4 + 24a^3 + 6a^2 + 8a + 16)31 + (a^9 + 4a^8 + 13a^7 + 2a^6 + 11a^5 + 4a^4 + 11a^3 + 11a^2 + 3a + 1)31^2 + (13a^9 + 17a^8 + 29a^7 + 9a^6 + 24a^5 + 14a^4 + 21a^3 + 30a^2 + 16a + 7)31^3 + (17a^9 + a^8 + 26a^7 + 25a^6 + 24a^5 + 5a^4 + 2a^3 + 9a^2 + 13a + 17)31^4 + (12a^9 + 3a^8 + 17a^7 + 13a^6 + 28a^5 + 14a^4 + 23a^2 + 24a + 7)31^5 + (23a^9 + 3a^8 + 24a^7 + 18a^6 + 17a^5 + 7a^4 + 5a^3 + 2a^2 + 3a + 1)31^6 + (27a^9 + 5a^8 + 6a^7 + 14a^6 + 26a^5 + 18a^4 + 9a^3 + 6a^2 + 23a)31^7 + (4a^9 + 11a^8 + 15a^7 + 22a^6 + 25a^5 + 20a^4 + 5a^3 + a^2 + 13a + 21)*31^8+O(31^9)

Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 25 }$

Cycle notation
$(1,21)(2,24)(3,20)(5,12)(6,13)(7,22)(9,18)(10,11)(14,15)(16,17)$
$(1,7,12,20,10)(2,14,17,6,18)(3,11,21,22,5)(4,8,25,23,19)(9,24,15,16,13)$
$(1,17)(2,20)(4,13)(6,7)(8,9)(10,14)(12,18)(15,23)(16,19)(24,25)$
$(1,16)(3,25)(4,22)(5,8)(7,13)(9,12)(10,15)(11,23)(19,21)(20,24)$

Character values on conjugacy classes

Size	Order	Action on $r_1, \ldots, r_{ 25 }$	Character value
$1$	$1$	$()$	$2$
$5$	$2$	$(1,21)(2,24)(3,20)(5,12)(6,13)(7,22)(9,18)(10,11)(14,15)(16,17)$	$0$
$1$	$5$	$(1,7,12,20,10)(2,14,17,6,18)(3,11,21,22,5)(4,8,25,23,19)(9,24,15,16,13)$	$-2 \zeta_{5}^{3} - 2 \zeta_{5}^{2} - 2 \zeta_{5} - 2$
$1$	$5$	$(1,12,10,7,20)(2,17,18,14,6)(3,21,5,11,22)(4,25,19,8,23)(9,15,13,24,16)$	$2 \zeta_{5}^{3}$
$1$	$5$	$(1,20,7,10,12)(2,6,14,18,17)(3,22,11,5,21)(4,23,8,19,25)(9,16,24,13,15)$	$2 \zeta_{5}^{2}$
$1$	$5$	$(1,10,20,12,7)(2,18,6,17,14)(3,5,22,21,11)(4,19,23,25,8)(9,13,16,15,24)$	$2 \zeta_{5}$
$2$	$5$	$(1,21,17,19,16)(2,25,24,20,3)(4,13,7,22,6)(5,18,8,9,12)(10,11,14,23,15)$	$-\zeta_{5}^{3} - \zeta_{5}^{2} - 1$
$2$	$5$	$(1,17,16,21,19)(2,24,3,25,20)(4,7,6,13,22)(5,8,12,18,9)(10,14,15,11,23)$	$\zeta_{5}^{3} + \zeta_{5}^{2}$
$2$	$5$	$(1,22,18,25,15)(2,23,16,7,5)(3,14,19,13,12)(4,9,20,11,17)(6,8,24,10,21)$	$\zeta_{5}^{3} + 1$
$2$	$5$	$(1,18,15,22,25)(2,16,5,23,7)(3,19,12,14,13)(4,20,17,9,11)(6,24,21,8,10)$	$\zeta_{5} + 1$
$2$	$5$	$(1,25,22,15,18)(2,7,23,5,16)(3,13,14,12,19)(4,11,9,17,20)(6,10,8,21,24)$	$-\zeta_{5}^{3} - \zeta_{5}^{2} - \zeta_{5}$
$2$	$5$	$(1,15,25,18,22)(2,5,7,16,23)(3,12,13,19,14)(4,17,11,20,9)(6,21,10,24,8)$	$\zeta_{5}^{2} + 1$
$2$	$5$	$(1,5,14,4,24)(2,19,9,10,22)(3,17,8,15,7)(6,25,16,12,11)(13,20,21,18,23)$	$-\zeta_{5}^{3} - \zeta_{5} - 1$
$2$	$5$	$(1,14,24,5,4)(2,9,22,19,10)(3,8,7,17,15)(6,16,11,25,12)(13,21,23,20,18)$	$-\zeta_{5}^{2} - \zeta_{5} - 1$
$2$	$5$	$(1,4,5,24,14)(2,10,19,22,9)(3,15,17,7,8)(6,12,25,11,16)(13,18,20,23,21)$	$\zeta_{5}^{2} + \zeta_{5}$
$2$	$5$	$(1,24,4,14,5)(2,22,10,9,19)(3,7,15,8,17)(6,11,12,16,25)(13,23,18,21,20)$	$\zeta_{5}^{3} + \zeta_{5}$
$5$	$10$	$(1,22,12,3,10,21,7,5,20,11)(2,15,17,13,18,24,14,16,6,9)(4,8,25,23,19)$	$0$
$5$	$10$	$(1,3,7,11,12,21,20,22,10,5)(2,13,14,9,17,24,6,15,18,16)(4,23,8,19,25)$	$0$
$5$	$10$	$(1,5,10,22,20,21,12,11,7,3)(2,16,18,15,6,24,17,9,14,13)(4,25,19,8,23)$	$0$
$5$	$10$	$(1,11,20,5,7,21,10,3,12,22)(2,9,6,16,14,24,18,13,17,15)(4,19,23,25,8)$	$0$

The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.

Overview	Random
Universe	Knowledge

Classical	Maass
Hilbert	Bianchi

Elliptic curves over $\Q$
Elliptic curves over $\Q(\alpha)$
Genus 2 curves over $\Q$
Higher genus families
Abelian varieties over $\F_{q}$

Introduction

L-functions

Modular forms

Varieties

Fields

Representations

Groups

Database

Properties

Related objects

Downloads

Learn more

Basic invariants

Defining polynomial

Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 25 }$

Character values on conjugacy classes

This project is supported by grants from the US National Science Foundation, the UK Engineering and Physical Sciences Research Council, and the Simons Foundation.

Label	2.847.10t6.a.d
Dimension	$2$
Group	$C_5\times D_5$
Conductor	$847$
Root number	not computed
Indicator	$0$