Properties

 Label 2.133.16t60.a.a Dimension 2 Group $\SL(2,3):C_2$ Conductor $7 \cdot 19$ Root number not computed Frobenius-Schur indicator 0

Related objects

Basic invariants

 Dimension: $2$ Group: 16T60 Conductor: $133= 7 \cdot 19$ Artin number field: Splitting field of $f= x^{16} - 3 x^{15} + 3 x^{14} - 3 x^{13} + 2 x^{12} - x^{11} + 13 x^{10} - 23 x^{9} + 19 x^{8} - 3 x^{7} - 9 x^{6} - 2 x^{5} + 2 x^{4} - x^{3} + 4 x^{2} + x + 1$ over $\Q$ Size of Galois orbit: 4 Smallest containing permutation representation: 16T60 Parity: Odd Determinant: 1.133.6t1.j.b

Galois action

Roots of defining polynomial

The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 43 }$ to precision 9.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 43 }$: $x^{6} + 19 x^{3} + 28 x^{2} + 21 x + 3$
Roots:
 $r_{ 1 }$ $=$ $19 a^{5} + 41 a^{4} + 2 a^{3} + a^{2} + 24 a + 42 + \left(22 a^{5} + 18 a^{4} + 26 a^{3} + 2 a^{2} + 18 a + 18\right)\cdot 43 + \left(11 a^{5} + 16 a^{4} + 37 a^{3} + 37 a^{2} + 26 a + 30\right)\cdot 43^{2} + \left(3 a^{5} + 20 a^{4} + 22 a^{3} + 9 a^{2} + 12 a + 4\right)\cdot 43^{3} + \left(35 a^{5} + 8 a^{4} + 17 a^{3} + 24 a^{2} + 19 a + 12\right)\cdot 43^{4} + \left(12 a^{5} + 38 a^{4} + 22 a^{3} + 18 a^{2} + 41 a + 41\right)\cdot 43^{5} + \left(20 a^{5} + 39 a^{4} + 9 a^{3} + 8 a^{2} + 34 a + 12\right)\cdot 43^{6} + \left(34 a^{5} + 12 a^{4} + 7 a^{3} + 27 a^{2} + 36 a + 12\right)\cdot 43^{7} + \left(37 a^{5} + 40 a^{4} + 11 a^{3} + 34 a^{2} + 17 a + 12\right)\cdot 43^{8} +O\left(43^{ 9 }\right)$ $r_{ 2 }$ $=$ $39 a^{5} + 28 a^{4} + 13 a^{3} + 9 a^{2} + 33 a + 24 + \left(20 a^{5} + 6 a^{4} + 16 a^{3} + 24 a^{2} + 31 a + 23\right)\cdot 43 + \left(8 a^{5} + 13 a^{4} + 9 a^{3} + 25 a^{2} + 36 a + 10\right)\cdot 43^{2} + \left(27 a^{5} + 27 a^{4} + 6 a^{3} + 21 a^{2} + 27 a + 20\right)\cdot 43^{3} + \left(14 a^{5} + 27 a^{4} + 39 a^{3} + 12 a^{2} + 8 a + 35\right)\cdot 43^{4} + \left(35 a^{5} + 19 a^{4} + 40 a^{3} + 17 a^{2} + 18 a + 35\right)\cdot 43^{5} + \left(3 a^{5} + 33 a^{4} + 25 a^{3} + 30 a^{2} + 34 a + 18\right)\cdot 43^{6} + \left(6 a^{5} + 4 a^{4} + 6 a^{3} + 41 a^{2} + 20 a + 31\right)\cdot 43^{7} + \left(35 a^{5} + 37 a^{4} + 33 a^{3} + 9 a^{2} + 19 a + 5\right)\cdot 43^{8} +O\left(43^{ 9 }\right)$ $r_{ 3 }$ $=$ $37 a^{5} + 33 a^{4} + 4 a^{3} + 32 a^{2} + 42 a + 4 + \left(41 a^{5} + 3 a^{4} + 17 a^{3} + 23 a^{2} + 7 a + 7\right)\cdot 43 + \left(24 a^{5} + 6 a^{4} + 42 a^{3} + 9 a^{2} + 17 a + 22\right)\cdot 43^{2} + \left(21 a^{5} + 10 a^{4} + 11 a^{3} + 33 a^{2} + 4 a + 7\right)\cdot 43^{3} + \left(31 a^{5} + 4 a^{4} + a^{2} + 38 a + 19\right)\cdot 43^{4} + \left(15 a^{5} + 40 a^{4} + 33 a^{3} + 13 a^{2} + 15 a + 42\right)\cdot 43^{5} + \left(3 a^{5} + 31 a^{4} + 17 a^{3} + 38 a^{2} + 4\right)\cdot 43^{6} + \left(21 a^{5} + 16 a^{4} + 35 a^{3} + 15 a^{2} + 29 a + 31\right)\cdot 43^{7} + \left(35 a^{5} + 24 a^{4} + 15 a^{3} + 4 a^{2} + 14 a + 39\right)\cdot 43^{8} +O\left(43^{ 9 }\right)$ $r_{ 4 }$ $=$ $16 a^{5} + 21 a^{4} + a^{3} + 10 a^{2} + 8 a + 29 + \left(15 a^{5} + 17 a^{4} + 2 a^{3} + 38 a^{2} + 39 a + 7\right)\cdot 43 + \left(4 a^{5} + 19 a^{4} + 31 a^{3} + a^{2} + 40 a + 17\right)\cdot 43^{2} + \left(10 a^{5} + 23 a^{4} + 21 a^{3} + 36 a^{2} + 27 a + 11\right)\cdot 43^{3} + \left(29 a^{5} + 34 a^{4} + 33 a^{3} + 8 a + 15\right)\cdot 43^{4} + \left(22 a^{5} + 8 a^{4} + 40 a^{3} + 16 a^{2} + 15 a + 26\right)\cdot 43^{5} + \left(3 a^{5} + 33 a^{4} + 25 a^{3} + 3 a^{2} + 21 a + 37\right)\cdot 43^{6} + \left(23 a^{5} + 26 a^{4} + 42 a^{3} + 6 a^{2} + 12 a + 27\right)\cdot 43^{7} + \left(21 a^{5} + 25 a^{4} + 5 a^{3} + 9 a^{2} + 41 a + 4\right)\cdot 43^{8} +O\left(43^{ 9 }\right)$ $r_{ 5 }$ $=$ $30 a^{5} + 2 a^{4} + 36 a^{3} + 35 a^{2} + 15 a + 8 + \left(22 a^{5} + 6 a^{4} + 9 a^{3} + a^{2} + 21 a + 37\right)\cdot 43 + \left(11 a^{5} + 35 a^{4} + 37 a^{3} + 33 a^{2} + 5 a + 25\right)\cdot 43^{2} + \left(a^{5} + 14 a^{4} + 7 a^{3} + 3 a^{2} + 19 a + 15\right)\cdot 43^{3} + \left(30 a^{5} + 5 a^{4} + 41 a^{3} + 7 a^{2} + 30 a + 13\right)\cdot 43^{4} + \left(17 a^{5} + 12 a^{4} + 6 a^{3} + 7 a^{2} + 4 a + 29\right)\cdot 43^{5} + \left(36 a^{5} + 27 a^{4} + 19 a^{3} + 21 a^{2} + 18 a\right)\cdot 43^{6} + \left(8 a^{5} + 23 a^{2} + 11 a + 17\right)\cdot 43^{7} + \left(24 a^{5} + 38 a^{4} + 13 a^{3} + 4 a^{2} + a + 3\right)\cdot 43^{8} +O\left(43^{ 9 }\right)$ $r_{ 6 }$ $=$ $35 a^{5} + 26 a^{4} + 12 a^{3} + 30 a^{2} + 22 a + 36 + \left(29 a^{5} + 20 a^{4} + 3 a^{3} + 9 a^{2} + 19 a + 12\right)\cdot 43 + \left(31 a^{4} + 25 a^{3} + 12 a^{2} + 40 a + 32\right)\cdot 43^{2} + \left(29 a^{5} + 31 a^{4} + 3 a^{3} + 38 a^{2} + 9 a + 23\right)\cdot 43^{3} + \left(14 a^{5} + 32 a^{4} + 36 a^{3} + 42 a^{2} + 35\right)\cdot 43^{4} + \left(27 a^{5} + 42 a^{4} + 15 a^{3} + 12 a^{2} + 33 a + 15\right)\cdot 43^{5} + \left(17 a^{5} + a^{4} + 13 a^{3} + 14 a^{2} + 6 a + 19\right)\cdot 43^{6} + \left(19 a^{5} + 29 a^{4} + 41 a^{3} + 12 a^{2} + 16 a + 2\right)\cdot 43^{7} + \left(15 a^{5} + a^{4} + 11 a^{3} + 41 a^{2} + 7 a + 29\right)\cdot 43^{8} +O\left(43^{ 9 }\right)$ $r_{ 7 }$ $=$ $14 a^{5} + 18 a^{4} + 35 a^{3} + 41 a^{2} + 13 a + 10 + \left(12 a^{5} + 19 a^{4} + 23 a^{3} + a^{2} + 26 a + 30\right)\cdot 43 + \left(14 a^{5} + 20 a^{4} + 17 a^{3} + 33 a^{2} + 9 a + 28\right)\cdot 43^{2} + \left(37 a^{5} + 41 a^{4} + 25 a^{3} + 12 a^{2} + 25 a + 6\right)\cdot 43^{3} + \left(18 a^{5} + 10 a^{4} + 39 a^{3} + 33 a^{2} + 15 a + 8\right)\cdot 43^{4} + \left(36 a^{5} + 21 a^{4} + 8 a^{3} + 18 a^{2} + 35 a + 23\right)\cdot 43^{5} + \left(37 a^{5} + 38 a^{4} + 18 a^{3} + 31 a^{2} + 41 a + 32\right)\cdot 43^{6} + \left(6 a^{5} + 2 a^{4} + 24 a^{3} + 12 a^{2} + 17 a + 1\right)\cdot 43^{7} + \left(9 a^{5} + 40 a^{4} + 29 a^{3} + 28 a^{2} + 25 a + 36\right)\cdot 43^{8} +O\left(43^{ 9 }\right)$ $r_{ 8 }$ $=$ $17 a^{5} + 5 a^{4} + 38 a^{3} + 19 a^{2} + 26 a + 39 + \left(42 a^{5} + 27 a^{4} + 10 a^{3} + 11 a^{2} + 5 a + 12\right)\cdot 43 + \left(31 a^{5} + 32 a^{4} + 37 a^{3} + 17 a^{2} + 12 a + 15\right)\cdot 43^{2} + \left(5 a^{5} + 39 a^{4} + 36 a^{3} + 19 a^{2} + 19 a + 13\right)\cdot 43^{3} + \left(42 a^{5} + 12 a^{4} + 36 a^{3} + 3 a^{2} + 2 a + 18\right)\cdot 43^{4} + \left(20 a^{5} + 36 a^{4} + 26 a^{3} + 21 a^{2} + 29 a + 28\right)\cdot 43^{5} + \left(27 a^{5} + 31 a^{4} + 17 a^{2} + 8 a + 19\right)\cdot 43^{6} + \left(8 a^{5} + 20 a^{4} + 15 a^{3} + 38 a^{2} + 14 a + 8\right)\cdot 43^{7} + \left(38 a^{5} + 42 a^{4} + 32 a^{3} + 15 a^{2} + 8 a + 5\right)\cdot 43^{8} +O\left(43^{ 9 }\right)$ $r_{ 9 }$ $=$ $24 a^{5} + 2 a^{4} + 41 a^{3} + 42 a^{2} + 19 a + 30 + \left(20 a^{5} + 24 a^{4} + 16 a^{3} + 40 a^{2} + 24 a + 37\right)\cdot 43 + \left(31 a^{5} + 26 a^{4} + 5 a^{3} + 5 a^{2} + 16 a + 18\right)\cdot 43^{2} + \left(39 a^{5} + 22 a^{4} + 20 a^{3} + 33 a^{2} + 30 a + 13\right)\cdot 43^{3} + \left(7 a^{5} + 34 a^{4} + 25 a^{3} + 18 a^{2} + 23 a + 41\right)\cdot 43^{4} + \left(30 a^{5} + 4 a^{4} + 20 a^{3} + 24 a^{2} + a + 19\right)\cdot 43^{5} + \left(22 a^{5} + 3 a^{4} + 33 a^{3} + 34 a^{2} + 8 a + 40\right)\cdot 43^{6} + \left(8 a^{5} + 30 a^{4} + 35 a^{3} + 15 a^{2} + 6 a + 34\right)\cdot 43^{7} + \left(5 a^{5} + 2 a^{4} + 31 a^{3} + 8 a^{2} + 25 a + 39\right)\cdot 43^{8} +O\left(43^{ 9 }\right)$ $r_{ 10 }$ $=$ $26 a^{5} + 36 a^{4} + 2 a^{2} + 34 a + 23 + \left(27 a^{5} + 30 a^{4} + 11 a^{3} + 18 a^{2} + 14 a + 11\right)\cdot 43 + \left(19 a^{5} + 34 a^{4} + 10 a^{3} + 26 a\right)\cdot 43^{2} + \left(6 a^{5} + 41 a^{4} + 24 a^{3} + 30 a^{2} + 4 a + 6\right)\cdot 43^{3} + \left(20 a^{5} + 35 a^{4} + 11 a^{3} + 26 a^{2} + 31 a + 4\right)\cdot 43^{4} + \left(23 a^{5} + 38 a^{4} + 22 a^{3} + 8 a^{2} + 23 a + 2\right)\cdot 43^{5} + \left(32 a^{5} + 22 a^{4} + 10 a^{3} + 17 a^{2} + 17 a + 13\right)\cdot 43^{6} + \left(19 a^{5} + 41 a^{4} + 8 a^{3} + 30 a^{2} + 27 a + 26\right)\cdot 43^{7} + \left(20 a^{5} + 35 a^{4} + 11 a^{3} + 25 a^{2} + 29 a + 27\right)\cdot 43^{8} +O\left(43^{ 9 }\right)$ $r_{ 11 }$ $=$ $42 a^{5} + 20 a^{4} + 3 a^{3} + 11 a^{2} + 34 a + 40 + \left(17 a^{5} + 23 a^{4} + 37 a^{3} + 22 a^{2} + 29 a + 31\right)\cdot 43 + \left(35 a^{5} + 14 a^{4} + 33 a^{3} + 13 a^{2} + 18 a + 23\right)\cdot 43^{2} + \left(30 a^{5} + 38 a^{4} + 24 a^{3} + 26 a^{2} + 18 a + 14\right)\cdot 43^{3} + \left(41 a^{5} + 28 a^{4} + 4 a^{3} + 30 a^{2} + 27 a + 25\right)\cdot 43^{4} + \left(23 a^{5} + 16 a^{4} + 38 a^{3} + 3 a^{2} + 32 a + 5\right)\cdot 43^{5} + \left(40 a^{5} + 26 a^{4} + 42 a^{3} + 33 a^{2} + 4 a + 24\right)\cdot 43^{6} + \left(22 a^{5} + 33 a^{4} + 27 a^{3} + 25 a^{2} + 24 a + 21\right)\cdot 43^{7} + \left(16 a^{5} + 33 a^{4} + 21 a^{3} + 35 a^{2} + 8 a + 17\right)\cdot 43^{8} +O\left(43^{ 9 }\right)$ $r_{ 12 }$ $=$ $12 a^{5} + 34 a^{4} + 22 a^{3} + 22 a^{2} + 21 a + 7 + \left(5 a^{5} + 3 a^{4} + 2 a^{3} + 2 a^{2} + 5 a + 17\right)\cdot 43 + \left(36 a^{5} + 41 a^{4} + 2 a^{3} + 35 a^{2} + 32 a + 14\right)\cdot 43^{2} + \left(32 a^{5} + 30 a^{4} + 40 a^{3} + 24 a^{2} + 2 a + 28\right)\cdot 43^{3} + \left(34 a^{5} + 40 a^{4} + 39 a^{3} + 13 a^{2} + 15 a + 1\right)\cdot 43^{4} + \left(7 a^{5} + 4 a^{4} + 39 a^{3} + 27 a^{2} + 23 a + 30\right)\cdot 43^{5} + \left(2 a^{5} + 24 a^{4} + 5 a^{3} + 6 a^{2} + 7 a + 19\right)\cdot 43^{6} + \left(36 a^{5} + 5 a^{4} + 8 a^{3} + 9 a^{2} + 15 a + 4\right)\cdot 43^{7} + \left(42 a^{5} + 15 a^{4} + 41 a^{3} + a^{2} + 15 a + 7\right)\cdot 43^{8} +O\left(43^{ 9 }\right)$ $r_{ 13 }$ $=$ $a^{5} + 34 a^{4} + 3 a^{3} + 30 a^{2} + 39 a + 28 + \left(18 a^{5} + 42 a^{4} + 13 a^{3} + 19 a^{2} + 7 a + 12\right)\cdot 43 + \left(3 a^{5} + 8 a^{3} + 26 a^{2} + 6 a + 25\right)\cdot 43^{2} + \left(21 a^{5} + 33 a^{4} + a^{3} + 22 a^{2} + 18 a + 29\right)\cdot 43^{3} + \left(41 a^{5} + 40 a^{4} + 12 a^{3} + 4 a^{2} + 30 a + 17\right)\cdot 43^{4} + \left(10 a^{5} + 31 a^{4} + 36 a^{3} + 27 a^{2} + 5 a + 15\right)\cdot 43^{5} + \left(31 a^{5} + 36 a^{4} + 25 a^{3} + 19 a^{2} + 14\right)\cdot 43^{6} + \left(16 a^{5} + 36 a^{4} + 37 a^{3} + 31 a^{2} + 20 a + 37\right)\cdot 43^{7} + \left(11 a^{5} + 7 a^{4} + 11 a^{3} + 34 a^{2} + 18 a\right)\cdot 43^{8} +O\left(43^{ 9 }\right)$ $r_{ 14 }$ $=$ $25 a^{5} + 37 a^{4} + 9 a^{3} + 36 a^{2} + 13 a + 2 + \left(21 a^{5} + 23 a^{4} + 10 a^{3} + 19 a^{2} + 28 a + 24\right)\cdot 43 + \left(20 a^{5} + 23 a^{4} + 36 a^{3} + 17 a^{2} + 18 a + 14\right)\cdot 43^{2} + \left(21 a^{5} + 39 a^{4} + 37 a^{3} + a^{2} + 38 a + 26\right)\cdot 43^{3} + \left(24 a^{5} + 12 a^{4} + 4 a^{3} + 2 a^{2} + 10 a + 35\right)\cdot 43^{4} + \left(42 a^{5} + 2 a^{3} + 5 a^{2} + 23 a + 25\right)\cdot 43^{5} + \left(6 a^{5} + 9 a^{4} + 36 a^{3} + 20 a^{2} + 35 a + 14\right)\cdot 43^{6} + \left(27 a^{5} + 22 a^{4} + 23 a^{2} + 27 a + 27\right)\cdot 43^{7} + \left(13 a^{5} + 38 a^{4} + 38 a^{3} + 33 a^{2} + 6 a + 36\right)\cdot 43^{8} +O\left(43^{ 9 }\right)$ $r_{ 15 }$ $=$ $24 a^{5} + 12 a^{4} + 34 a^{3} + 27 a + 42 + \left(24 a^{5} + 16 a^{4} + 25 a^{3} + 33 a^{2} + 25 a + 10\right)\cdot 43 + \left(35 a^{5} + 17 a^{4} + 4 a^{3} + 6 a^{2} + 5 a + 27\right)\cdot 43^{2} + \left(18 a^{5} + 11 a^{4} + 10 a^{3} + 7 a^{2} + 18 a + 29\right)\cdot 43^{3} + \left(42 a^{5} + 26 a^{4} + 38 a^{3} + 39 a^{2} + 41 a + 19\right)\cdot 43^{4} + \left(36 a^{5} + 20 a^{4} + 15 a^{3} + 14 a^{2} + 26 a + 22\right)\cdot 43^{5} + \left(41 a^{5} + 15 a^{4} + 16 a^{3} + 22 a^{2} + 26 a + 35\right)\cdot 43^{6} + \left(6 a^{5} + 37 a^{4} + 24 a^{3} + 25 a^{2} + 35 a + 22\right)\cdot 43^{7} + \left(12 a^{5} + 2 a^{4} + 24 a^{3} + 29 a^{2} + 26 a + 27\right)\cdot 43^{8} +O\left(43^{ 9 }\right)$ $r_{ 16 }$ $=$ $26 a^{5} + 38 a^{4} + 5 a^{3} + 24 a^{2} + 17 a + 26 + \left(15 a^{4} + 32 a^{3} + 31 a^{2} + 37 a + 4\right)\cdot 43 + \left(11 a^{5} + 10 a^{4} + 5 a^{3} + 25 a^{2} + 30 a + 37\right)\cdot 43^{2} + \left(37 a^{5} + 3 a^{4} + 6 a^{3} + 23 a^{2} + 23 a + 6\right)\cdot 43^{3} + \left(30 a^{4} + 6 a^{3} + 39 a^{2} + 40 a + 41\right)\cdot 43^{4} + \left(22 a^{5} + 6 a^{4} + 16 a^{3} + 21 a^{2} + 13 a + 22\right)\cdot 43^{5} + \left(15 a^{5} + 11 a^{4} + 42 a^{3} + 25 a^{2} + 34 a + 35\right)\cdot 43^{6} + \left(34 a^{5} + 22 a^{4} + 27 a^{3} + 4 a^{2} + 28 a + 36\right)\cdot 43^{7} + \left(4 a^{5} + 10 a^{3} + 27 a^{2} + 34 a + 7\right)\cdot 43^{8} +O\left(43^{ 9 }\right)$

Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 16 }$

 Cycle notation $(1,8,9,16)(2,7,10,15)(3,14,11,6)(4,5,12,13)$ $(1,15,6)(2,3,8)(7,14,9)(10,11,16)$ $(1,9)(2,10)(3,11)(4,12)(5,13)(6,14)(7,15)(8,16)$ $(1,6,9,14)(2,4,10,12)(3,16,11,8)(5,15,13,7)$ $(1,7,9,15)(2,8,10,16)(3,4,11,12)(5,6,13,14)$

Character values on conjugacy classes

 Size Order Action on $r_1, \ldots, r_{ 16 }$ Character value $1$ $1$ $()$ $2$ $1$ $2$ $(1,9)(2,10)(3,11)(4,12)(5,13)(6,14)(7,15)(8,16)$ $-2$ $6$ $2$ $(1,3)(2,5)(4,15)(6,16)(7,12)(8,14)(9,11)(10,13)$ $0$ $4$ $3$ $(1,15,6)(2,3,8)(7,14,9)(10,11,16)$ $\zeta_{12}^{2}$ $4$ $3$ $(1,6,15)(2,8,3)(7,9,14)(10,16,11)$ $-\zeta_{12}^{2} + 1$ $1$ $4$ $(1,8,9,16)(2,7,10,15)(3,14,11,6)(4,5,12,13)$ $2 \zeta_{12}^{3}$ $1$ $4$ $(1,16,9,8)(2,15,10,7)(3,6,11,14)(4,13,12,5)$ $-2 \zeta_{12}^{3}$ $6$ $4$ $(1,6,9,14)(2,4,10,12)(3,16,11,8)(5,15,13,7)$ $0$ $4$ $6$ $(1,14,15,9,6,7)(2,16,3,10,8,11)(4,12)(5,13)$ $\zeta_{12}^{2} - 1$ $4$ $6$ $(1,7,6,9,15,14)(2,11,8,10,3,16)(4,12)(5,13)$ $-\zeta_{12}^{2}$ $4$ $12$ $(1,2,14,16,15,3,9,10,6,8,7,11)(4,5,12,13)$ $\zeta_{12}^{3} - \zeta_{12}$ $4$ $12$ $(1,3,7,16,6,2,9,11,15,8,14,10)(4,5,12,13)$ $\zeta_{12}$ $4$ $12$ $(1,10,14,8,15,11,9,2,6,16,7,3)(4,13,12,5)$ $-\zeta_{12}^{3} + \zeta_{12}$ $4$ $12$ $(1,11,7,8,6,10,9,3,15,16,14,2)(4,13,12,5)$ $-\zeta_{12}$
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.