Basic invariants

Dimension:	$2$
Group:	24T138
Conductor:	$785$$\medspace = 5 \cdot 157 $
Artin stem field:	Galois closure of 24.0.26487736730222919205972572443624664306640625.1
Galois orbit size:	$2$
Smallest permutation container:	24T138
Parity:	even
Determinant:	1.785.4t1.b.b
Projective image:	$S_4$
Projective stem field:	Galois closure of 4.4.483736625.1

Defining polynomial

$f(x)$

$=$

$ x^{24} + 54 x^{22} + 1215 x^{20} + 14877 x^{18} + 108917 x^{16} + 494532 x^{14} + 1401010 x^{12} + \cdots + 785 $

The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 31 }$ to precision 10.

Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 31 }$: $ x^{12} + 4x^{7} + 14x^{6} + 28x^{5} + 2x^{4} + 9x^{3} + 25x^{2} + 12x + 3 $ x^12 + 4*x^7 + 14*x^6 + 28*x^5 + 2*x^4 + 9*x^3 + 25*x^2 + 12*x + 3

Roots:

$r_{ 1 }$	$=$	\( 4 a^{11} + 18 a^{10} + 10 a^{9} + 2 a^{8} + 17 a^{7} + 22 a^{6} + 26 a^{5} + 5 a^{4} + 18 a^{3} + a^{2} + 24 + \left(29 a^{11} + 28 a^{10} + 7 a^{9} + 13 a^{8} + 12 a^{7} + 25 a^{6} + a^{5} + 30 a^{4} + 15 a^{3} + 27 a^{2} + 19 a + 7\right)\cdot 31 + \left(5 a^{11} + a^{9} + 29 a^{8} + 17 a^{7} + 9 a^{6} + 19 a^{5} + 8 a^{4} + 21 a^{3} + 4 a^{2} + 23 a + 30\right)\cdot 31^{2} + \left(17 a^{11} + 28 a^{10} + 12 a^{9} + 4 a^{8} + 25 a^{7} + 16 a^{6} + 27 a^{5} + a^{4} + 11 a^{3} + 28 a^{2} + 10 a + 17\right)\cdot 31^{3} + \left(3 a^{11} + 9 a^{10} + 8 a^{9} + 27 a^{8} + 20 a^{7} + 9 a^{6} + 28 a^{5} + 25 a^{4} + 19 a^{3} + 29 a^{2} + 14 a + 12\right)\cdot 31^{4} + \left(25 a^{11} + 30 a^{9} + 15 a^{8} + 15 a^{7} + 16 a^{6} + 25 a^{5} + 6 a^{4} + 29 a^{2} + 15 a + 2\right)\cdot 31^{5} + \left(a^{11} + 27 a^{10} + 20 a^{9} + 15 a^{8} + 15 a^{7} + 23 a^{6} + 19 a^{5} + 10 a^{4} + 21 a^{3} + 21 a^{2} + 10 a + 29\right)\cdot 31^{6} + \left(17 a^{11} + 25 a^{10} + 25 a^{9} + 27 a^{8} + 24 a^{7} + 23 a^{6} + 12 a^{5} + 23 a^{4} + 20 a^{3} + 6 a^{2} + 16 a + 23\right)\cdot 31^{7} + \left(8 a^{11} + 19 a^{10} + 17 a^{9} + 16 a^{8} + 15 a^{7} + 18 a^{6} + 26 a^{5} + 15 a^{4} + 6 a^{3} + 10 a\right)\cdot 31^{8} + \left(21 a^{11} + 11 a^{10} + 29 a^{9} + 20 a^{8} + 17 a^{7} + 24 a^{6} + 12 a^{5} + 14 a^{4} + 14 a^{3} + 5 a^{2} + 22 a + 16\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\) 4a^11 + 18a^10 + 10a^9 + 2a^8 + 17a^7 + 22a^6 + 26a^5 + 5a^4 + 18a^3 + a^2 + 24 + (29a^11 + 28a^10 + 7a^9 + 13a^8 + 12a^7 + 25a^6 + a^5 + 30a^4 + 15a^3 + 27a^2 + 19a + 7)31 + (5a^11 + a^9 + 29a^8 + 17a^7 + 9a^6 + 19a^5 + 8a^4 + 21a^3 + 4a^2 + 23a + 30)31^2 + (17a^11 + 28a^10 + 12a^9 + 4a^8 + 25a^7 + 16a^6 + 27a^5 + a^4 + 11a^3 + 28a^2 + 10a + 17)31^3 + (3a^11 + 9a^10 + 8a^9 + 27a^8 + 20a^7 + 9a^6 + 28a^5 + 25a^4 + 19a^3 + 29a^2 + 14a + 12)31^4 + (25a^11 + 30a^9 + 15a^8 + 15a^7 + 16a^6 + 25a^5 + 6a^4 + 29a^2 + 15a + 2)31^5 + (a^11 + 27a^10 + 20a^9 + 15a^8 + 15a^7 + 23a^6 + 19a^5 + 10a^4 + 21a^3 + 21a^2 + 10a + 29)31^6 + (17a^11 + 25a^10 + 25a^9 + 27a^8 + 24a^7 + 23a^6 + 12a^5 + 23a^4 + 20a^3 + 6a^2 + 16a + 23)31^7 + (8a^11 + 19a^10 + 17a^9 + 16a^8 + 15a^7 + 18a^6 + 26a^5 + 15a^4 + 6a^3 + 10a)31^8 + (21a^11 + 11a^10 + 29a^9 + 20a^8 + 17a^7 + 24a^6 + 12a^5 + 14a^4 + 14a^3 + 5a^2 + 22a + 16)*31^9+O(31^10)
$r_{ 2 }$	$=$	\( 23 a^{11} + 9 a^{10} + 16 a^{9} + 25 a^{8} + 2 a^{7} + 22 a^{6} + 8 a^{5} + 20 a^{4} + 9 a^{3} + 21 a^{2} + 5 a + 1 + \left(12 a^{11} + 18 a^{10} + 19 a^{9} + 29 a^{8} + 24 a^{7} + 4 a^{6} + 11 a^{4} + 25 a^{3} + 18 a^{2} + 16 a + 15\right)\cdot 31 + \left(27 a^{11} + 19 a^{10} + 8 a^{9} + 5 a^{8} + 28 a^{7} + 16 a^{6} + 3 a^{5} + 15 a^{4} + 27 a^{3} + 12 a^{2} + 30 a + 4\right)\cdot 31^{2} + \left(30 a^{11} + 10 a^{10} + 12 a^{9} + 30 a^{8} + 14 a^{7} + 25 a^{6} + 17 a^{5} + 22 a^{4} + 7 a^{3} + 8 a^{2} + 14 a + 24\right)\cdot 31^{3} + \left(9 a^{11} + a^{10} + 2 a^{9} + 24 a^{8} + 14 a^{7} + 13 a^{6} + 23 a^{5} + 28 a^{4} + 9 a^{3} + 30 a^{2} + 19\right)\cdot 31^{4} + \left(18 a^{11} + 25 a^{10} + 6 a^{9} + 20 a^{8} + 10 a^{7} + 13 a^{6} + 10 a^{5} + 6 a^{4} + 10 a^{3} + 20 a^{2} + 30 a + 16\right)\cdot 31^{5} + \left(16 a^{11} + 29 a^{10} + 3 a^{9} + 26 a^{8} + 17 a^{7} + 20 a^{6} + 13 a^{5} + 18 a^{4} + 4 a^{3} + 28 a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 31^{6} + \left(23 a^{11} + 12 a^{10} + 11 a^{9} + 4 a^{8} + 19 a^{7} + 4 a^{6} + 16 a^{5} + 21 a^{4} + 5 a^{3} + 16 a^{2} + 24 a + 18\right)\cdot 31^{7} + \left(9 a^{11} + 29 a^{10} + 28 a^{9} + 21 a^{8} + 22 a^{7} + 12 a^{6} + 19 a^{5} + 6 a^{4} + 26 a^{3} + 30 a^{2} + 23 a + 19\right)\cdot 31^{8} + \left(a^{11} + 13 a^{10} + 14 a^{9} + 7 a^{8} + 14 a^{7} + 8 a^{6} + 28 a^{5} + 21 a^{4} + 26 a^{3} + 21 a^{2} + 14 a\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\) 23a^11 + 9a^10 + 16a^9 + 25a^8 + 2a^7 + 22a^6 + 8a^5 + 20a^4 + 9a^3 + 21a^2 + 5a + 1 + (12a^11 + 18a^10 + 19a^9 + 29a^8 + 24a^7 + 4a^6 + 11a^4 + 25a^3 + 18a^2 + 16a + 15)31 + (27a^11 + 19a^10 + 8a^9 + 5a^8 + 28a^7 + 16a^6 + 3a^5 + 15a^4 + 27a^3 + 12a^2 + 30a + 4)31^2 + (30a^11 + 10a^10 + 12a^9 + 30a^8 + 14a^7 + 25a^6 + 17a^5 + 22a^4 + 7a^3 + 8a^2 + 14a + 24)31^3 + (9a^11 + a^10 + 2a^9 + 24a^8 + 14a^7 + 13a^6 + 23a^5 + 28a^4 + 9a^3 + 30a^2 + 19)31^4 + (18a^11 + 25a^10 + 6a^9 + 20a^8 + 10a^7 + 13a^6 + 10a^5 + 6a^4 + 10a^3 + 20a^2 + 30a + 16)31^5 + (16a^11 + 29a^10 + 3a^9 + 26a^8 + 17a^7 + 20a^6 + 13a^5 + 18a^4 + 4a^3 + 28a^2 + 4a + 5)31^6 + (23a^11 + 12a^10 + 11a^9 + 4a^8 + 19a^7 + 4a^6 + 16a^5 + 21a^4 + 5a^3 + 16a^2 + 24a + 18)31^7 + (9a^11 + 29a^10 + 28a^9 + 21a^8 + 22a^7 + 12a^6 + 19a^5 + 6a^4 + 26a^3 + 30a^2 + 23a + 19)31^8 + (a^11 + 13a^10 + 14a^9 + 7a^8 + 14a^7 + 8a^6 + 28a^5 + 21a^4 + 26a^3 + 21a^2 + 14a)*31^9+O(31^10)
$r_{ 3 }$	$=$	\( a^{11} + a^{10} + 11 a^{9} + 13 a^{8} + 8 a^{7} + a^{6} + 18 a^{5} + 25 a^{4} + 11 a^{3} + 25 a^{2} + 24 a + 29 + \left(12 a^{11} + 10 a^{10} + 16 a^{9} + 23 a^{8} + 4 a^{7} + 24 a^{6} + 23 a^{5} + 25 a^{4} + 23 a^{3} + 11 a^{2} + 28 a + 10\right)\cdot 31 + \left(30 a^{11} + 16 a^{10} + 8 a^{9} + 30 a^{8} + 8 a^{7} + 8 a^{6} + 11 a^{5} + 29 a^{4} + 22 a^{3} + 25 a^{2} + 19 a + 23\right)\cdot 31^{2} + \left(21 a^{11} + 21 a^{10} + 26 a^{9} + 17 a^{8} + 12 a^{7} + 28 a^{6} + 23 a^{5} + 30 a^{4} + 25 a^{3} + 10 a^{2} + 9 a + 2\right)\cdot 31^{3} + \left(26 a^{11} + 15 a^{10} + a^{9} + 16 a^{8} + 17 a^{7} + 23 a^{6} + 22 a^{5} + 12 a^{4} + 10 a^{3} + 2 a^{2} + 15 a + 10\right)\cdot 31^{4} + \left(25 a^{11} + 27 a^{10} + 12 a^{9} + 23 a^{8} + 8 a^{7} + 25 a^{6} + 29 a^{5} + 20 a^{4} + 25 a^{3} + 14 a + 20\right)\cdot 31^{5} + \left(12 a^{10} + 21 a^{9} + 21 a^{8} + 5 a^{6} + 27 a^{5} + 21 a^{4} + 28 a^{3} + 10 a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 31^{6} + \left(22 a^{11} + 21 a^{10} + 23 a^{9} + 20 a^{8} + 24 a^{7} + 17 a^{6} + 12 a^{5} + 25 a^{4} + 4 a^{3} + 2 a^{2} + a + 7\right)\cdot 31^{7} + \left(25 a^{11} + 9 a^{10} + 15 a^{9} + 8 a^{8} + 25 a^{7} + 17 a^{6} + 15 a^{5} + 24 a^{4} + 26 a^{3} + 29 a + 2\right)\cdot 31^{8} + \left(17 a^{11} + 20 a^{10} + 13 a^{9} + 16 a^{8} + 24 a^{7} + 11 a^{6} + 27 a^{5} + 6 a^{4} + 2 a^{3} + 25 a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\) a^11 + a^10 + 11a^9 + 13a^8 + 8a^7 + a^6 + 18a^5 + 25a^4 + 11a^3 + 25a^2 + 24a + 29 + (12a^11 + 10a^10 + 16a^9 + 23a^8 + 4a^7 + 24a^6 + 23a^5 + 25a^4 + 23a^3 + 11a^2 + 28a + 10)31 + (30a^11 + 16a^10 + 8a^9 + 30a^8 + 8a^7 + 8a^6 + 11a^5 + 29a^4 + 22a^3 + 25a^2 + 19a + 23)31^2 + (21a^11 + 21a^10 + 26a^9 + 17a^8 + 12a^7 + 28a^6 + 23a^5 + 30a^4 + 25a^3 + 10a^2 + 9a + 2)31^3 + (26a^11 + 15a^10 + a^9 + 16a^8 + 17a^7 + 23a^6 + 22a^5 + 12a^4 + 10a^3 + 2a^2 + 15a + 10)31^4 + (25a^11 + 27a^10 + 12a^9 + 23a^8 + 8a^7 + 25a^6 + 29a^5 + 20a^4 + 25a^3 + 14a + 20)31^5 + (12a^10 + 21a^9 + 21a^8 + 5a^6 + 27a^5 + 21a^4 + 28a^3 + 10a^2 + 5a + 8)31^6 + (22a^11 + 21a^10 + 23a^9 + 20a^8 + 24a^7 + 17a^6 + 12a^5 + 25a^4 + 4a^3 + 2a^2 + a + 7)31^7 + (25a^11 + 9a^10 + 15a^9 + 8a^8 + 25a^7 + 17a^6 + 15a^5 + 24a^4 + 26a^3 + 29a + 2)31^8 + (17a^11 + 20a^10 + 13a^9 + 16a^8 + 24a^7 + 11a^6 + 27a^5 + 6a^4 + 2a^3 + 25a^2 + 4a + 2)31^9+O(31^10)
$r_{ 4 }$	$=$	\( 19 a^{11} + 13 a^{10} + 3 a^{9} + 13 a^{8} + 13 a^{7} + 9 a^{6} + 19 a^{5} + 6 a^{4} + 18 a^{3} + 14 a^{2} + 20 a + 13 + \left(24 a^{11} + 30 a^{10} + 28 a^{9} + 29 a^{8} + 12 a^{7} + 15 a^{6} + 29 a^{5} + 23 a^{4} + 18 a^{3} + 10 a^{2} + a + 13\right)\cdot 31 + \left(24 a^{11} + 16 a^{10} + 25 a^{9} + 24 a^{8} + 16 a^{7} + 20 a^{6} + 11 a^{5} + 21 a^{4} + 29 a^{3} + 30 a^{2} + 16 a + 19\right)\cdot 31^{2} + \left(a^{11} + 14 a^{10} + 29 a^{9} + 25 a^{8} + 8 a^{7} + 15 a^{6} + 25 a^{5} + 5 a^{4} + 30 a^{3} + 5 a^{2} + 27\right)\cdot 31^{3} + \left(6 a^{11} + 5 a^{10} + 26 a^{9} + 3 a^{8} + 13 a^{7} + 20 a^{6} + 9 a^{5} + 19 a^{3} + 25 a^{2} + 17 a + 6\right)\cdot 31^{4} + \left(21 a^{11} + 17 a^{10} + 30 a^{9} + 30 a^{8} + 18 a^{7} + 3 a^{6} + 13 a^{5} + 4 a^{4} + 12 a^{3} + 29 a^{2} + 11 a + 14\right)\cdot 31^{5} + \left(18 a^{11} + 18 a^{10} + a^{9} + 29 a^{8} + 19 a^{7} + 17 a^{6} + 15 a^{5} + 5 a^{4} + 10 a^{3} + 9 a^{2} + 9 a + 2\right)\cdot 31^{6} + \left(30 a^{11} + 19 a^{10} + 14 a^{9} + 21 a^{8} + 5 a^{7} + 11 a^{6} + 22 a^{4} + 3 a^{3} + 4 a^{2} + 28 a + 18\right)\cdot 31^{7} + \left(16 a^{11} + 9 a^{10} + 11 a^{9} + 24 a^{8} + 20 a^{7} + 19 a^{6} + 17 a^{5} + 4 a^{4} + 20 a^{3} + 29 a^{2} + 3 a + 21\right)\cdot 31^{8} + \left(2 a^{11} + 28 a^{10} + 20 a^{9} + 18 a^{8} + 28 a^{6} + 28 a^{5} + 15 a^{3} + 29 a^{2} + 19 a + 29\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\) 19a^11 + 13a^10 + 3a^9 + 13a^8 + 13a^7 + 9a^6 + 19a^5 + 6a^4 + 18a^3 + 14a^2 + 20a + 13 + (24a^11 + 30a^10 + 28a^9 + 29a^8 + 12a^7 + 15a^6 + 29a^5 + 23a^4 + 18a^3 + 10a^2 + a + 13)31 + (24a^11 + 16a^10 + 25a^9 + 24a^8 + 16a^7 + 20a^6 + 11a^5 + 21a^4 + 29a^3 + 30a^2 + 16a + 19)31^2 + (a^11 + 14a^10 + 29a^9 + 25a^8 + 8a^7 + 15a^6 + 25a^5 + 5a^4 + 30a^3 + 5a^2 + 27)31^3 + (6a^11 + 5a^10 + 26a^9 + 3a^8 + 13a^7 + 20a^6 + 9a^5 + 19a^3 + 25a^2 + 17a + 6)31^4 + (21a^11 + 17a^10 + 30a^9 + 30a^8 + 18a^7 + 3a^6 + 13a^5 + 4a^4 + 12a^3 + 29a^2 + 11a + 14)31^5 + (18a^11 + 18a^10 + a^9 + 29a^8 + 19a^7 + 17a^6 + 15a^5 + 5a^4 + 10a^3 + 9a^2 + 9a + 2)31^6 + (30a^11 + 19a^10 + 14a^9 + 21a^8 + 5a^7 + 11a^6 + 22a^4 + 3a^3 + 4a^2 + 28a + 18)31^7 + (16a^11 + 9a^10 + 11a^9 + 24a^8 + 20a^7 + 19a^6 + 17a^5 + 4a^4 + 20a^3 + 29a^2 + 3a + 21)31^8 + (2a^11 + 28a^10 + 20a^9 + 18a^8 + 28a^6 + 28a^5 + 15a^3 + 29a^2 + 19a + 29)*31^9+O(31^10)
$r_{ 5 }$	$=$	\( 12 a^{11} + 9 a^{10} + 25 a^{9} + 8 a^{8} + 15 a^{7} + 18 a^{5} + 16 a^{4} + 9 a^{3} + 11 a^{2} + 26 a + 23 + \left(16 a^{11} + 10 a^{10} + 18 a^{9} + 14 a^{8} + 19 a^{7} + 21 a^{6} + a^{5} + 18 a^{4} + 21 a^{3} + 8 a^{2} + 2 a + 23\right)\cdot 31 + \left(9 a^{11} + 12 a^{10} + 23 a^{9} + 23 a^{8} + 19 a^{7} + 24 a^{6} + 16 a^{5} + 24 a^{4} + 24 a^{3} + 23 a^{2} + 24 a + 25\right)\cdot 31^{2} + \left(17 a^{11} + 17 a^{10} + 30 a^{9} + 5 a^{8} + 10 a^{7} + 21 a^{6} + 10 a^{5} + 9 a^{4} + 3 a^{3} + 19 a^{2} + 26 a + 24\right)\cdot 31^{3} + \left(24 a^{11} + 8 a^{10} + 5 a^{9} + 2 a^{8} + 6 a^{7} + 26 a^{6} + 5 a^{5} + 27 a^{4} + 10 a^{3} + 30 a^{2} + 13 a + 23\right)\cdot 31^{4} + \left(6 a^{11} + 6 a^{10} + 24 a^{9} + 26 a^{8} + 5 a^{7} + 2 a^{6} + 15 a^{5} + 30 a^{4} + 21 a^{3} + 8 a^{2} + 16 a + 16\right)\cdot 31^{5} + \left(16 a^{11} + 28 a^{10} + 17 a^{9} + 19 a^{8} + 29 a^{7} + 3 a^{6} + 6 a^{5} + 22 a^{4} + 16 a^{3} + 24 a^{2} + 5 a + 23\right)\cdot 31^{6} + \left(24 a^{11} + 12 a^{10} + 14 a^{9} + 22 a^{8} + 4 a^{7} + 19 a^{6} + 27 a^{5} + a^{4} + 15 a^{3} + 20 a^{2} + 23 a + 5\right)\cdot 31^{7} + \left(29 a^{11} + 21 a^{10} + 20 a^{9} + 26 a^{8} + 24 a^{7} + 6 a^{6} + 6 a^{5} + 9 a^{4} + 11 a^{3} + 17 a + 12\right)\cdot 31^{8} + \left(19 a^{11} + 28 a^{10} + 14 a^{9} + 12 a^{8} + 2 a^{7} + 16 a^{6} + 15 a^{5} + 24 a^{4} + 18 a^{3} + 14 a^{2} + 7 a + 15\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\) 12a^11 + 9a^10 + 25a^9 + 8a^8 + 15a^7 + 18a^5 + 16a^4 + 9a^3 + 11a^2 + 26a + 23 + (16a^11 + 10a^10 + 18a^9 + 14a^8 + 19a^7 + 21a^6 + a^5 + 18a^4 + 21a^3 + 8a^2 + 2a + 23)31 + (9a^11 + 12a^10 + 23a^9 + 23a^8 + 19a^7 + 24a^6 + 16a^5 + 24a^4 + 24a^3 + 23a^2 + 24a + 25)31^2 + (17a^11 + 17a^10 + 30a^9 + 5a^8 + 10a^7 + 21a^6 + 10a^5 + 9a^4 + 3a^3 + 19a^2 + 26a + 24)31^3 + (24a^11 + 8a^10 + 5a^9 + 2a^8 + 6a^7 + 26a^6 + 5a^5 + 27a^4 + 10a^3 + 30a^2 + 13a + 23)31^4 + (6a^11 + 6a^10 + 24a^9 + 26a^8 + 5a^7 + 2a^6 + 15a^5 + 30a^4 + 21a^3 + 8a^2 + 16a + 16)31^5 + (16a^11 + 28a^10 + 17a^9 + 19a^8 + 29a^7 + 3a^6 + 6a^5 + 22a^4 + 16a^3 + 24a^2 + 5a + 23)31^6 + (24a^11 + 12a^10 + 14a^9 + 22a^8 + 4a^7 + 19a^6 + 27a^5 + a^4 + 15a^3 + 20a^2 + 23a + 5)31^7 + (29a^11 + 21a^10 + 20a^9 + 26a^8 + 24a^7 + 6a^6 + 6a^5 + 9a^4 + 11a^3 + 17a + 12)31^8 + (19a^11 + 28a^10 + 14a^9 + 12a^8 + 2a^7 + 16a^6 + 15a^5 + 24a^4 + 18a^3 + 14a^2 + 7a + 15)*31^9+O(31^10)
$r_{ 6 }$	$=$	\( 11 a^{11} + 22 a^{10} + 19 a^{9} + 7 a^{8} + 15 a^{7} + 27 a^{5} + 26 a^{4} + 27 a^{3} + 4 a^{2} + 25 a + 14 + \left(6 a^{11} + 17 a^{10} + 16 a^{9} + 28 a^{8} + 5 a^{7} + 20 a^{6} + 29 a^{5} + 3 a^{4} + 12 a^{3} + 29 a^{2} + 17 a + 28\right)\cdot 31 + \left(21 a^{11} + 5 a^{10} + 3 a^{9} + 30 a^{8} + 14 a^{7} + 5 a^{6} + 14 a^{5} + 6 a^{4} + 26 a^{3} + 11 a^{2} + 15 a + 23\right)\cdot 31^{2} + \left(a^{11} + 25 a^{10} + 11 a^{9} + 24 a^{8} + 23 a^{7} + 10 a^{6} + 11 a^{5} + 28 a^{4} + 7 a^{3} + 14 a^{2} + 15 a + 20\right)\cdot 31^{3} + \left(16 a^{11} + 6 a^{10} + 29 a^{9} + 28 a^{8} + 27 a^{7} + 3 a^{6} + 2 a^{5} + 28 a^{4} + 29 a^{3} + 24 a^{2} + 17 a + 26\right)\cdot 31^{4} + \left(8 a^{11} + 11 a^{10} + 5 a^{9} + 19 a^{8} + 28 a^{7} + 17 a^{6} + 24 a^{5} + 10 a^{4} + 22 a^{3} + 19 a^{2} + 10 a + 30\right)\cdot 31^{5} + \left(4 a^{11} + 17 a^{10} + 5 a^{9} + 25 a^{8} + 5 a^{7} + 6 a^{6} + 28 a^{5} + 23 a^{4} + 14 a^{3} + 7 a^{2} + 14 a + 7\right)\cdot 31^{6} + \left(23 a^{11} + a^{10} + 25 a^{9} + 26 a^{8} + 25 a^{7} + 16 a^{6} + 16 a^{5} + 12 a^{4} + 8 a^{3} + 21 a^{2} + 21 a + 5\right)\cdot 31^{7} + \left(26 a^{11} + 8 a^{10} + 8 a^{9} + 14 a^{8} + 11 a^{7} + 5 a^{5} + 11 a^{4} + 15 a^{3} + 28 a^{2} + 27 a + 10\right)\cdot 31^{8} + \left(3 a^{11} + 11 a^{10} + 4 a^{9} + 26 a^{8} + 15 a^{7} + 6 a^{6} + 26 a^{5} + 21 a^{4} + 11 a^{3} + 20 a^{2} + 2 a + 30\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\) 11a^11 + 22a^10 + 19a^9 + 7a^8 + 15a^7 + 27a^5 + 26a^4 + 27a^3 + 4a^2 + 25a + 14 + (6a^11 + 17a^10 + 16a^9 + 28a^8 + 5a^7 + 20a^6 + 29a^5 + 3a^4 + 12a^3 + 29a^2 + 17a + 28)31 + (21a^11 + 5a^10 + 3a^9 + 30a^8 + 14a^7 + 5a^6 + 14a^5 + 6a^4 + 26a^3 + 11a^2 + 15a + 23)31^2 + (a^11 + 25a^10 + 11a^9 + 24a^8 + 23a^7 + 10a^6 + 11a^5 + 28a^4 + 7a^3 + 14a^2 + 15a + 20)31^3 + (16a^11 + 6a^10 + 29a^9 + 28a^8 + 27a^7 + 3a^6 + 2a^5 + 28a^4 + 29a^3 + 24a^2 + 17a + 26)31^4 + (8a^11 + 11a^10 + 5a^9 + 19a^8 + 28a^7 + 17a^6 + 24a^5 + 10a^4 + 22a^3 + 19a^2 + 10a + 30)31^5 + (4a^11 + 17a^10 + 5a^9 + 25a^8 + 5a^7 + 6a^6 + 28a^5 + 23a^4 + 14a^3 + 7a^2 + 14a + 7)31^6 + (23a^11 + a^10 + 25a^9 + 26a^8 + 25a^7 + 16a^6 + 16a^5 + 12a^4 + 8a^3 + 21a^2 + 21a + 5)31^7 + (26a^11 + 8a^10 + 8a^9 + 14a^8 + 11a^7 + 5a^5 + 11a^4 + 15a^3 + 28a^2 + 27a + 10)31^8 + (3a^11 + 11a^10 + 4a^9 + 26a^8 + 15a^7 + 6a^6 + 26a^5 + 21a^4 + 11a^3 + 20a^2 + 2a + 30)*31^9+O(31^10)
$r_{ 7 }$	$=$	\( 17 a^{11} + 6 a^{10} + 18 a^{9} + 2 a^{8} + 12 a^{7} + 14 a^{6} + 25 a^{5} + 24 a^{4} + 11 a^{3} + 12 a^{2} + 4 a + 9 + \left(16 a^{11} + 8 a^{10} + 26 a^{9} + 7 a^{8} + 4 a^{7} + 3 a^{6} + 26 a^{5} + a^{4} + 20 a^{3} + 28 a^{2} + 15 a + 5\right)\cdot 31 + \left(11 a^{11} + 14 a^{9} + 4 a^{8} + 9 a^{7} + 29 a^{6} + 18 a^{5} + 17 a^{4} + 14 a^{3} + 30 a^{2} + 27 a + 3\right)\cdot 31^{2} + \left(6 a^{11} + 4 a^{10} + 8 a^{9} + 28 a^{8} + 29 a^{7} + 28 a^{6} + 25 a^{5} + 26 a^{4} + 6 a^{3} + a^{2} + 19 a + 24\right)\cdot 31^{3} + \left(24 a^{11} + 20 a^{10} + 14 a^{9} + 8 a^{8} + 24 a^{7} + 12 a^{6} + 10 a^{5} + 6 a^{4} + 10 a^{3} + 7 a^{2} + 12 a + 15\right)\cdot 31^{4} + \left(29 a^{11} + 10 a^{10} + 11 a^{9} + 9 a^{8} + 5 a^{7} + 7 a^{6} + 11 a^{5} + 23 a^{4} + 13 a^{3} + 18 a + 8\right)\cdot 31^{5} + \left(14 a^{11} + 21 a^{10} + 9 a^{9} + 7 a^{8} + 27 a^{7} + 12 a^{6} + a^{5} + 26 a^{4} + 8 a^{3} + 22 a^{2} + 6 a + 4\right)\cdot 31^{6} + \left(8 a^{11} + 27 a^{10} + 4 a^{9} + 26 a^{8} + 11 a^{7} + 29 a^{6} + 25 a^{5} + 26 a^{4} + 22 a^{3} + 4 a^{2} + 20 a + 13\right)\cdot 31^{7} + \left(17 a^{11} + 19 a^{10} + 22 a^{9} + 21 a^{7} + 16 a^{6} + 24 a^{5} + 4 a^{4} + 12 a^{3} + 2 a^{2} + 4 a + 12\right)\cdot 31^{8} + \left(5 a^{11} + 3 a^{10} + 22 a^{9} + 18 a^{8} + 10 a^{7} + 7 a^{6} + 11 a^{5} + 21 a^{4} + a^{3} + 8 a + 19\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\) 17a^11 + 6a^10 + 18a^9 + 2a^8 + 12a^7 + 14a^6 + 25a^5 + 24a^4 + 11a^3 + 12a^2 + 4a + 9 + (16a^11 + 8a^10 + 26a^9 + 7a^8 + 4a^7 + 3a^6 + 26a^5 + a^4 + 20a^3 + 28a^2 + 15a + 5)31 + (11a^11 + 14a^9 + 4a^8 + 9a^7 + 29a^6 + 18a^5 + 17a^4 + 14a^3 + 30a^2 + 27a + 3)31^2 + (6a^11 + 4a^10 + 8a^9 + 28a^8 + 29a^7 + 28a^6 + 25a^5 + 26a^4 + 6a^3 + a^2 + 19a + 24)31^3 + (24a^11 + 20a^10 + 14a^9 + 8a^8 + 24a^7 + 12a^6 + 10a^5 + 6a^4 + 10a^3 + 7a^2 + 12a + 15)31^4 + (29a^11 + 10a^10 + 11a^9 + 9a^8 + 5a^7 + 7a^6 + 11a^5 + 23a^4 + 13a^3 + 18a + 8)31^5 + (14a^11 + 21a^10 + 9a^9 + 7a^8 + 27a^7 + 12a^6 + a^5 + 26a^4 + 8a^3 + 22a^2 + 6a + 4)31^6 + (8a^11 + 27a^10 + 4a^9 + 26a^8 + 11a^7 + 29a^6 + 25a^5 + 26a^4 + 22a^3 + 4a^2 + 20a + 13)31^7 + (17a^11 + 19a^10 + 22a^9 + 21a^7 + 16a^6 + 24a^5 + 4a^4 + 12a^3 + 2a^2 + 4a + 12)31^8 + (5a^11 + 3a^10 + 22a^9 + 18a^8 + 10a^7 + 7a^6 + 11a^5 + 21a^4 + a^3 + 8a + 19)*31^9+O(31^10)
$r_{ 8 }$	$=$	\( 24 a^{11} + 27 a^{10} + 22 a^{9} + 26 a^{8} + 2 a^{7} + 22 a^{6} + 30 a^{5} + 10 a^{4} + 22 a^{3} + 28 a^{2} + 6 a + 10 + \left(22 a^{11} + 10 a^{10} + 21 a^{9} + 15 a^{8} + 7 a^{7} + 5 a^{6} + 2 a^{5} + 26 a^{4} + 2 a^{3} + 28 a^{2} + a + 10\right)\cdot 31 + \left(15 a^{11} + 26 a^{10} + 28 a^{9} + 29 a^{8} + 3 a^{7} + 4 a^{6} + 4 a^{5} + 2 a^{4} + 26 a^{3} + 23 a^{2} + 8 a + 6\right)\cdot 31^{2} + \left(15 a^{11} + 2 a^{10} + 10 a^{8} + 2 a^{7} + 6 a^{6} + 16 a^{5} + 4 a^{4} + 3 a^{3} + 13 a^{2} + 26 a + 28\right)\cdot 31^{3} + \left(18 a^{11} + 3 a^{10} + 10 a^{9} + 29 a^{8} + 24 a^{7} + 6 a^{6} + 26 a^{5} + 27 a^{4} + 21 a^{3} + 5 a^{2} + 27 a + 16\right)\cdot 31^{4} + \left(16 a^{11} + 20 a^{10} + 24 a^{9} + 26 a^{8} + 17 a^{7} + 30 a^{6} + a^{5} + 26 a^{4} + 8 a^{3} + 10 a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 31^{5} + \left(28 a^{11} + 9 a^{10} + 15 a^{9} + 20 a^{8} + 9 a^{7} + 16 a^{6} + 22 a^{5} + 17 a^{4} + 6 a^{3} + 14 a^{2} + 27 a + 21\right)\cdot 31^{6} + \left(24 a^{11} + 24 a^{10} + 30 a^{7} + 7 a^{6} + 26 a^{5} + 10 a^{4} + 12 a^{3} + 16 a^{2} + 25 a + 18\right)\cdot 31^{7} + \left(12 a^{11} + 11 a^{10} + 9 a^{9} + 2 a^{8} + 3 a^{7} + 18 a^{6} + 20 a^{5} + 4 a^{4} + 22 a^{3} + 2 a^{2} + 13 a + 21\right)\cdot 31^{8} + \left(17 a^{11} + 25 a^{9} + 25 a^{8} + 2 a^{7} + 18 a^{6} + 17 a^{5} + 24 a^{4} + 2 a^{3} + 15 a^{2} + 19 a + 16\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\) 24a^11 + 27a^10 + 22a^9 + 26a^8 + 2a^7 + 22a^6 + 30a^5 + 10a^4 + 22a^3 + 28a^2 + 6a + 10 + (22a^11 + 10a^10 + 21a^9 + 15a^8 + 7a^7 + 5a^6 + 2a^5 + 26a^4 + 2a^3 + 28a^2 + a + 10)31 + (15a^11 + 26a^10 + 28a^9 + 29a^8 + 3a^7 + 4a^6 + 4a^5 + 2a^4 + 26a^3 + 23a^2 + 8a + 6)31^2 + (15a^11 + 2a^10 + 10a^8 + 2a^7 + 6a^6 + 16a^5 + 4a^4 + 3a^3 + 13a^2 + 26a + 28)31^3 + (18a^11 + 3a^10 + 10a^9 + 29a^8 + 24a^7 + 6a^6 + 26a^5 + 27a^4 + 21a^3 + 5a^2 + 27a + 16)31^4 + (16a^11 + 20a^10 + 24a^9 + 26a^8 + 17a^7 + 30a^6 + a^5 + 26a^4 + 8a^3 + 10a^2 + 4a + 2)31^5 + (28a^11 + 9a^10 + 15a^9 + 20a^8 + 9a^7 + 16a^6 + 22a^5 + 17a^4 + 6a^3 + 14a^2 + 27a + 21)31^6 + (24a^11 + 24a^10 + 30a^7 + 7a^6 + 26a^5 + 10a^4 + 12a^3 + 16a^2 + 25a + 18)31^7 + (12a^11 + 11a^10 + 9a^9 + 2a^8 + 3a^7 + 18a^6 + 20a^5 + 4a^4 + 22a^3 + 2a^2 + 13a + 21)31^8 + (17a^11 + 25a^9 + 25a^8 + 2a^7 + 18a^6 + 17a^5 + 24a^4 + 2a^3 + 15a^2 + 19a + 16)*31^9+O(31^10)
$r_{ 9 }$	$=$	\( 6 a^{11} + 3 a^{10} + 29 a^{9} + 23 a^{8} + 21 a^{7} + 8 a^{6} + 14 a^{5} + 27 a^{4} + 29 a^{3} + 9 a^{2} + a + 23 + \left(27 a^{11} + 10 a^{10} + 23 a^{9} + 22 a^{8} + 19 a^{7} + a^{6} + 4 a^{5} + 9 a^{4} + 4 a^{3} + 21 a^{2} + a + 9\right)\cdot 31 + \left(15 a^{11} + 19 a^{10} + 24 a^{9} + a^{8} + 19 a^{7} + 18 a^{6} + 15 a^{5} + 29 a^{4} + 13 a^{3} + 12 a^{2} + 3 a + 1\right)\cdot 31^{2} + \left(24 a^{11} + 6 a^{10} + 3 a^{9} + 2 a^{8} + 16 a^{7} + 27 a^{6} + 22 a^{5} + 26 a^{4} + a^{3} + 6 a^{2} + 26 a\right)\cdot 31^{3} + \left(16 a^{11} + 12 a^{10} + 19 a^{9} + 16 a^{8} + 20 a^{7} + 12 a^{5} + 21 a^{4} + 30 a^{3} + 23 a^{2} + 18 a + 4\right)\cdot 31^{4} + \left(19 a^{11} + 14 a^{10} + 25 a^{9} + 11 a^{8} + 4 a^{7} + 6 a^{6} + 30 a^{5} + 14 a^{4} + 27 a^{3} + 20 a^{2} + 11 a + 8\right)\cdot 31^{5} + \left(a^{11} + 8 a^{10} + 24 a^{9} + 19 a^{8} + 21 a^{7} + 8 a^{6} + 11 a^{5} + 22 a^{4} + 26 a^{3} + 6 a^{2} + 29 a + 1\right)\cdot 31^{6} + \left(15 a^{11} + 16 a^{10} + 6 a^{9} + 9 a^{8} + 7 a^{7} + 6 a^{6} + 22 a^{5} + 25 a^{4} + 13 a^{3} + 12 a^{2} + 3 a + 5\right)\cdot 31^{7} + \left(23 a^{11} + 9 a^{10} + 6 a^{9} + 20 a^{8} + a^{7} + 26 a^{6} + 25 a^{5} + a^{4} + 13 a^{3} + 28 a^{2} + 19 a + 7\right)\cdot 31^{8} + \left(26 a^{11} + 10 a^{10} + 23 a^{9} + 20 a^{8} + 4 a^{7} + 16 a^{5} + 25 a^{3} + 21 a^{2} + 6 a + 12\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\) 6a^11 + 3a^10 + 29a^9 + 23a^8 + 21a^7 + 8a^6 + 14a^5 + 27a^4 + 29a^3 + 9a^2 + a + 23 + (27a^11 + 10a^10 + 23a^9 + 22a^8 + 19a^7 + a^6 + 4a^5 + 9a^4 + 4a^3 + 21a^2 + a + 9)31 + (15a^11 + 19a^10 + 24a^9 + a^8 + 19a^7 + 18a^6 + 15a^5 + 29a^4 + 13a^3 + 12a^2 + 3a + 1)31^2 + (24a^11 + 6a^10 + 3a^9 + 2a^8 + 16a^7 + 27a^6 + 22a^5 + 26a^4 + a^3 + 6a^2 + 26a)31^3 + (16a^11 + 12a^10 + 19a^9 + 16a^8 + 20a^7 + 12a^5 + 21a^4 + 30a^3 + 23a^2 + 18a + 4)31^4 + (19a^11 + 14a^10 + 25a^9 + 11a^8 + 4a^7 + 6a^6 + 30a^5 + 14a^4 + 27a^3 + 20a^2 + 11a + 8)31^5 + (a^11 + 8a^10 + 24a^9 + 19a^8 + 21a^7 + 8a^6 + 11a^5 + 22a^4 + 26a^3 + 6a^2 + 29a + 1)31^6 + (15a^11 + 16a^10 + 6a^9 + 9a^8 + 7a^7 + 6a^6 + 22a^5 + 25a^4 + 13a^3 + 12a^2 + 3a + 5)31^7 + (23a^11 + 9a^10 + 6a^9 + 20a^8 + a^7 + 26a^6 + 25a^5 + a^4 + 13a^3 + 28a^2 + 19a + 7)31^8 + (26a^11 + 10a^10 + 23a^9 + 20a^8 + 4a^7 + 16a^5 + 25a^3 + 21a^2 + 6a + 12)31^9+O(31^10)
$r_{ 10 }$	$=$	\( 24 a^{11} + 10 a^{10} + 27 a^{9} + 7 a^{8} + 10 a^{7} + 23 a^{6} + 26 a^{5} + 14 a^{4} + 20 a^{3} + 15 a^{2} + 29 a + 30 + \left(24 a^{11} + 28 a^{10} + 4 a^{9} + 22 a^{8} + 28 a^{7} + 28 a^{6} + 23 a^{5} + 6 a^{4} + 17 a^{3} + 30 a^{2} + 13 a + 25\right)\cdot 31 + \left(26 a^{11} + 4 a^{10} + 17 a^{9} + 5 a^{8} + 5 a^{7} + 24 a^{6} + 14 a^{5} + 14 a^{4} + 19 a^{3} + 6 a^{2} + 19 a + 27\right)\cdot 31^{2} + \left(21 a^{11} + a^{10} + 7 a^{9} + 17 a^{8} + 27 a^{7} + 22 a^{6} + 9 a^{5} + 22 a^{4} + 2 a^{3} + 19 a^{2} + 24 a + 26\right)\cdot 31^{3} + \left(5 a^{11} + 17 a^{10} + 4 a^{9} + 10 a^{8} + 6 a^{6} + 15 a^{5} + 10 a^{4} + 20 a^{3} + a^{2} + 15 a + 29\right)\cdot 31^{4} + \left(13 a^{11} + 21 a^{10} + 18 a^{9} + 13 a^{8} + 19 a^{7} + 8 a^{6} + 9 a^{5} + 27 a^{4} + 4 a^{3} + 21 a^{2} + 13 a + 5\right)\cdot 31^{5} + \left(17 a^{11} + 11 a^{10} + 24 a^{9} + 17 a^{8} + 17 a^{7} + 26 a^{6} + 10 a^{5} + 8 a^{4} + 2 a^{3} + 7 a^{2} + 10 a + 14\right)\cdot 31^{6} + \left(14 a^{11} + 3 a^{10} + 3 a^{9} + 25 a^{8} + 12 a^{7} + 21 a^{6} + 29 a^{5} + 16 a^{4} + 10 a^{3} + 19 a^{2} + 25 a + 25\right)\cdot 31^{7} + \left(4 a^{11} + 8 a^{10} + 13 a^{9} + 29 a^{8} + 17 a^{7} + 29 a^{6} + 3 a^{5} + 21 a^{3} + 30 a^{2} + 21 a + 21\right)\cdot 31^{8} + \left(19 a^{11} + 3 a^{10} + 28 a^{9} + 23 a^{8} + 8 a^{7} + 19 a^{6} + 25 a^{5} + 28 a^{4} + 29 a^{3} + 15 a^{2} + 19 a + 2\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\) 24a^11 + 10a^10 + 27a^9 + 7a^8 + 10a^7 + 23a^6 + 26a^5 + 14a^4 + 20a^3 + 15a^2 + 29a + 30 + (24a^11 + 28a^10 + 4a^9 + 22a^8 + 28a^7 + 28a^6 + 23a^5 + 6a^4 + 17a^3 + 30a^2 + 13a + 25)31 + (26a^11 + 4a^10 + 17a^9 + 5a^8 + 5a^7 + 24a^6 + 14a^5 + 14a^4 + 19a^3 + 6a^2 + 19a + 27)31^2 + (21a^11 + a^10 + 7a^9 + 17a^8 + 27a^7 + 22a^6 + 9a^5 + 22a^4 + 2a^3 + 19a^2 + 24a + 26)31^3 + (5a^11 + 17a^10 + 4a^9 + 10a^8 + 6a^6 + 15a^5 + 10a^4 + 20a^3 + a^2 + 15a + 29)31^4 + (13a^11 + 21a^10 + 18a^9 + 13a^8 + 19a^7 + 8a^6 + 9a^5 + 27a^4 + 4a^3 + 21a^2 + 13a + 5)31^5 + (17a^11 + 11a^10 + 24a^9 + 17a^8 + 17a^7 + 26a^6 + 10a^5 + 8a^4 + 2a^3 + 7a^2 + 10a + 14)31^6 + (14a^11 + 3a^10 + 3a^9 + 25a^8 + 12a^7 + 21a^6 + 29a^5 + 16a^4 + 10a^3 + 19a^2 + 25a + 25)31^7 + (4a^11 + 8a^10 + 13a^9 + 29a^8 + 17a^7 + 29a^6 + 3a^5 + 21a^3 + 30a^2 + 21a + 21)31^8 + (19a^11 + 3a^10 + 28a^9 + 23a^8 + 8a^7 + 19a^6 + 25a^5 + 28a^4 + 29a^3 + 15a^2 + 19a + 2)*31^9+O(31^10)
$r_{ 11 }$	$=$	\( 13 a^{11} + 19 a^{10} + 8 a^{9} + 26 a^{7} + 23 a^{6} + 30 a^{5} + 19 a^{4} + 24 a^{3} + 11 a^{2} + 4 a + 16 + \left(18 a^{11} + 10 a^{10} + 19 a^{9} + 25 a^{8} + 22 a^{7} + 8 a^{6} + 24 a^{5} + 2 a^{4} + 4 a^{3} + a^{2} + 27 a + 28\right)\cdot 31 + \left(5 a^{11} + 30 a^{10} + 13 a^{9} + 5 a^{8} + 22 a^{7} + 19 a^{6} + 30 a^{5} + 8 a^{4} + 24 a^{3} + 26 a^{2} + 3 a + 3\right)\cdot 31^{2} + \left(20 a^{11} + 6 a^{10} + 27 a^{9} + 23 a^{8} + 3 a^{7} + 12 a^{6} + 28 a^{5} + 25 a^{4} + 25 a^{3} + 4 a^{2} + 9 a + 6\right)\cdot 31^{3} + \left(20 a^{11} + 10 a^{10} + 5 a^{9} + 12 a^{8} + 4 a^{7} + 3 a^{6} + 12 a^{5} + 12 a^{4} + 21 a^{3} + 8 a^{2} + 29 a + 3\right)\cdot 31^{4} + \left(4 a^{11} + 10 a^{10} + 12 a^{9} + 24 a^{8} + 21 a^{7} + 22 a^{6} + 16 a^{5} + 16 a^{4} + 12 a^{3} + a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 31^{5} + \left(13 a^{11} + 25 a^{10} + 19 a^{9} + 22 a^{8} + 11 a^{7} + 19 a^{6} + 12 a^{5} + 16 a^{4} + 18 a^{3} + 27 a + 6\right)\cdot 31^{6} + \left(22 a^{11} + a^{10} + 9 a^{9} + 29 a^{8} + 18 a^{7} + 5 a^{6} + 12 a^{5} + 3 a^{4} + a^{3} + 29 a^{2} + 3 a + 20\right)\cdot 31^{7} + \left(8 a^{11} + 4 a^{9} + 14 a^{8} + 5 a^{7} + 29 a^{6} + 29 a^{5} + 20 a^{4} + 6 a^{3} + a^{2} + 25 a + 11\right)\cdot 31^{8} + \left(15 a^{11} + 23 a^{10} + 24 a^{9} + 28 a^{8} + 24 a^{7} + 13 a^{6} + 29 a^{5} + 6 a^{4} + 18 a^{3} + 26 a^{2} + 16 a + 3\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\) 13a^11 + 19a^10 + 8a^9 + 26a^7 + 23a^6 + 30a^5 + 19a^4 + 24a^3 + 11a^2 + 4a + 16 + (18a^11 + 10a^10 + 19a^9 + 25a^8 + 22a^7 + 8a^6 + 24a^5 + 2a^4 + 4a^3 + a^2 + 27a + 28)31 + (5a^11 + 30a^10 + 13a^9 + 5a^8 + 22a^7 + 19a^6 + 30a^5 + 8a^4 + 24a^3 + 26a^2 + 3a + 3)31^2 + (20a^11 + 6a^10 + 27a^9 + 23a^8 + 3a^7 + 12a^6 + 28a^5 + 25a^4 + 25a^3 + 4a^2 + 9a + 6)31^3 + (20a^11 + 10a^10 + 5a^9 + 12a^8 + 4a^7 + 3a^6 + 12a^5 + 12a^4 + 21a^3 + 8a^2 + 29a + 3)31^4 + (4a^11 + 10a^10 + 12a^9 + 24a^8 + 21a^7 + 22a^6 + 16a^5 + 16a^4 + 12a^3 + a^2 + 2a + 6)31^5 + (13a^11 + 25a^10 + 19a^9 + 22a^8 + 11a^7 + 19a^6 + 12a^5 + 16a^4 + 18a^3 + 27a + 6)31^6 + (22a^11 + a^10 + 9a^9 + 29a^8 + 18a^7 + 5a^6 + 12a^5 + 3a^4 + a^3 + 29a^2 + 3a + 20)31^7 + (8a^11 + 4a^9 + 14a^8 + 5a^7 + 29a^6 + 29a^5 + 20a^4 + 6a^3 + a^2 + 25a + 11)31^8 + (15a^11 + 23a^10 + 24a^9 + 28a^8 + 24a^7 + 13a^6 + 29a^5 + 6a^4 + 18a^3 + 26a^2 + 16a + 3)*31^9+O(31^10)
$r_{ 12 }$	$=$	\( 5 a^{11} + 19 a^{10} + 21 a^{9} + 15 a^{8} + 25 a^{7} + 23 a^{6} + 13 a^{5} + 30 a^{4} + 29 a^{3} + 26 a^{2} + 24 a + 22 + \left(10 a^{11} + 7 a^{10} + 23 a^{9} + 5 a^{8} + 16 a^{7} + 18 a^{6} + 25 a^{5} + 24 a^{4} + 7 a^{3} + 7 a^{2} + 16 a + 18\right)\cdot 31 + \left(5 a^{11} + 17 a^{10} + 9 a^{9} + 29 a^{8} + 25 a^{7} + 18 a^{6} + 30 a^{5} + 7 a^{4} + 13 a^{3} + 30 a^{2} + 12 a + 22\right)\cdot 31^{2} + \left(8 a^{11} + 18 a^{10} + 7 a^{9} + 22 a^{8} + 6 a^{7} + 13 a^{6} + 19 a^{5} + a^{4} + 6 a^{3} + 7 a^{2} + 20 a + 20\right)\cdot 31^{3} + \left(30 a^{11} + 25 a^{10} + 10 a^{9} + 12 a^{8} + 7 a^{7} + 2 a^{6} + 20 a^{5} + 7 a^{4} + 30 a^{3} + a^{2} + 29 a + 22\right)\cdot 31^{4} + \left(19 a^{11} + 27 a^{10} + 11 a^{9} + 8 a^{8} + 24 a^{7} + 11 a^{6} + 24 a^{5} + 27 a^{4} + 25 a^{3} + 30 a^{2} + 29 a + 22\right)\cdot 31^{5} + \left(2 a^{11} + 8 a^{10} + 11 a^{9} + 6 a^{8} + 15 a^{7} + 29 a^{6} + 16 a^{5} + 18 a^{3} + 15 a + 6\right)\cdot 31^{6} + \left(8 a^{11} + 16 a^{10} + 18 a^{9} + 17 a^{8} + 17 a^{7} + 9 a^{6} + 25 a^{5} + 18 a^{4} + 25 a^{3} + 9 a^{2} + 17 a\right)\cdot 31^{7} + \left(3 a^{11} + 29 a^{10} + 2 a^{9} + 25 a^{8} + 10 a^{7} + 5 a^{6} + 10 a^{5} + 9 a^{4} + a^{3} + 8 a + 3\right)\cdot 31^{8} + \left(8 a^{11} + 12 a^{9} + 5 a^{8} + 11 a^{7} + 5 a^{6} + 9 a^{5} + 21 a^{4} + 17 a^{3} + 30 a^{2} + 27 a + 18\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\) 5a^11 + 19a^10 + 21a^9 + 15a^8 + 25a^7 + 23a^6 + 13a^5 + 30a^4 + 29a^3 + 26a^2 + 24a + 22 + (10a^11 + 7a^10 + 23a^9 + 5a^8 + 16a^7 + 18a^6 + 25a^5 + 24a^4 + 7a^3 + 7a^2 + 16a + 18)31 + (5a^11 + 17a^10 + 9a^9 + 29a^8 + 25a^7 + 18a^6 + 30a^5 + 7a^4 + 13a^3 + 30a^2 + 12a + 22)31^2 + (8a^11 + 18a^10 + 7a^9 + 22a^8 + 6a^7 + 13a^6 + 19a^5 + a^4 + 6a^3 + 7a^2 + 20a + 20)31^3 + (30a^11 + 25a^10 + 10a^9 + 12a^8 + 7a^7 + 2a^6 + 20a^5 + 7a^4 + 30a^3 + a^2 + 29a + 22)31^4 + (19a^11 + 27a^10 + 11a^9 + 8a^8 + 24a^7 + 11a^6 + 24a^5 + 27a^4 + 25a^3 + 30a^2 + 29a + 22)31^5 + (2a^11 + 8a^10 + 11a^9 + 6a^8 + 15a^7 + 29a^6 + 16a^5 + 18a^3 + 15a + 6)31^6 + (8a^11 + 16a^10 + 18a^9 + 17a^8 + 17a^7 + 9a^6 + 25a^5 + 18a^4 + 25a^3 + 9a^2 + 17a)31^7 + (3a^11 + 29a^10 + 2a^9 + 25a^8 + 10a^7 + 5a^6 + 10a^5 + 9a^4 + a^3 + 8a + 3)31^8 + (8a^11 + 12a^9 + 5a^8 + 11a^7 + 5a^6 + 9a^5 + 21a^4 + 17a^3 + 30a^2 + 27a + 18)31^9+O(31^10)
$r_{ 13 }$	$=$	\( 27 a^{11} + 13 a^{10} + 21 a^{9} + 29 a^{8} + 14 a^{7} + 9 a^{6} + 5 a^{5} + 26 a^{4} + 13 a^{3} + 30 a^{2} + 7 + \left(a^{11} + 2 a^{10} + 23 a^{9} + 17 a^{8} + 18 a^{7} + 5 a^{6} + 29 a^{5} + 15 a^{3} + 3 a^{2} + 12 a + 23\right)\cdot 31 + \left(25 a^{11} + 30 a^{10} + 29 a^{9} + a^{8} + 13 a^{7} + 21 a^{6} + 11 a^{5} + 22 a^{4} + 9 a^{3} + 26 a^{2} + 7 a\right)\cdot 31^{2} + \left(13 a^{11} + 2 a^{10} + 18 a^{9} + 26 a^{8} + 5 a^{7} + 14 a^{6} + 3 a^{5} + 29 a^{4} + 19 a^{3} + 2 a^{2} + 20 a + 13\right)\cdot 31^{3} + \left(27 a^{11} + 21 a^{10} + 22 a^{9} + 3 a^{8} + 10 a^{7} + 21 a^{6} + 2 a^{5} + 5 a^{4} + 11 a^{3} + a^{2} + 16 a + 18\right)\cdot 31^{4} + \left(5 a^{11} + 30 a^{10} + 15 a^{8} + 15 a^{7} + 14 a^{6} + 5 a^{5} + 24 a^{4} + 30 a^{3} + a^{2} + 15 a + 28\right)\cdot 31^{5} + \left(29 a^{11} + 3 a^{10} + 10 a^{9} + 15 a^{8} + 15 a^{7} + 7 a^{6} + 11 a^{5} + 20 a^{4} + 9 a^{3} + 9 a^{2} + 20 a + 1\right)\cdot 31^{6} + \left(13 a^{11} + 5 a^{10} + 5 a^{9} + 3 a^{8} + 6 a^{7} + 7 a^{6} + 18 a^{5} + 7 a^{4} + 10 a^{3} + 24 a^{2} + 14 a + 7\right)\cdot 31^{7} + \left(22 a^{11} + 11 a^{10} + 13 a^{9} + 14 a^{8} + 15 a^{7} + 12 a^{6} + 4 a^{5} + 15 a^{4} + 24 a^{3} + 30 a^{2} + 20 a + 30\right)\cdot 31^{8} + \left(9 a^{11} + 19 a^{10} + a^{9} + 10 a^{8} + 13 a^{7} + 6 a^{6} + 18 a^{5} + 16 a^{4} + 16 a^{3} + 25 a^{2} + 8 a + 14\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\) 27a^11 + 13a^10 + 21a^9 + 29a^8 + 14a^7 + 9a^6 + 5a^5 + 26a^4 + 13a^3 + 30a^2 + 7 + (a^11 + 2a^10 + 23a^9 + 17a^8 + 18a^7 + 5a^6 + 29a^5 + 15a^3 + 3a^2 + 12a + 23)31 + (25a^11 + 30a^10 + 29a^9 + a^8 + 13a^7 + 21a^6 + 11a^5 + 22a^4 + 9a^3 + 26a^2 + 7a)31^2 + (13a^11 + 2a^10 + 18a^9 + 26a^8 + 5a^7 + 14a^6 + 3a^5 + 29a^4 + 19a^3 + 2a^2 + 20a + 13)31^3 + (27a^11 + 21a^10 + 22a^9 + 3a^8 + 10a^7 + 21a^6 + 2a^5 + 5a^4 + 11a^3 + a^2 + 16a + 18)31^4 + (5a^11 + 30a^10 + 15a^8 + 15a^7 + 14a^6 + 5a^5 + 24a^4 + 30a^3 + a^2 + 15a + 28)31^5 + (29a^11 + 3a^10 + 10a^9 + 15a^8 + 15a^7 + 7a^6 + 11a^5 + 20a^4 + 9a^3 + 9a^2 + 20a + 1)31^6 + (13a^11 + 5a^10 + 5a^9 + 3a^8 + 6a^7 + 7a^6 + 18a^5 + 7a^4 + 10a^3 + 24a^2 + 14a + 7)31^7 + (22a^11 + 11a^10 + 13a^9 + 14a^8 + 15a^7 + 12a^6 + 4a^5 + 15a^4 + 24a^3 + 30a^2 + 20a + 30)31^8 + (9a^11 + 19a^10 + a^9 + 10a^8 + 13a^7 + 6a^6 + 18a^5 + 16a^4 + 16a^3 + 25a^2 + 8a + 14)*31^9+O(31^10)
$r_{ 14 }$	$=$	\( 8 a^{11} + 22 a^{10} + 15 a^{9} + 6 a^{8} + 29 a^{7} + 9 a^{6} + 23 a^{5} + 11 a^{4} + 22 a^{3} + 10 a^{2} + 26 a + 30 + \left(18 a^{11} + 12 a^{10} + 11 a^{9} + a^{8} + 6 a^{7} + 26 a^{6} + 30 a^{5} + 19 a^{4} + 5 a^{3} + 12 a^{2} + 14 a + 15\right)\cdot 31 + \left(3 a^{11} + 11 a^{10} + 22 a^{9} + 25 a^{8} + 2 a^{7} + 14 a^{6} + 27 a^{5} + 15 a^{4} + 3 a^{3} + 18 a^{2} + 26\right)\cdot 31^{2} + \left(20 a^{10} + 18 a^{9} + 16 a^{7} + 5 a^{6} + 13 a^{5} + 8 a^{4} + 23 a^{3} + 22 a^{2} + 16 a + 6\right)\cdot 31^{3} + \left(21 a^{11} + 29 a^{10} + 28 a^{9} + 6 a^{8} + 16 a^{7} + 17 a^{6} + 7 a^{5} + 2 a^{4} + 21 a^{3} + 30 a + 11\right)\cdot 31^{4} + \left(12 a^{11} + 5 a^{10} + 24 a^{9} + 10 a^{8} + 20 a^{7} + 17 a^{6} + 20 a^{5} + 24 a^{4} + 20 a^{3} + 10 a^{2} + 14\right)\cdot 31^{5} + \left(14 a^{11} + a^{10} + 27 a^{9} + 4 a^{8} + 13 a^{7} + 10 a^{6} + 17 a^{5} + 12 a^{4} + 26 a^{3} + 2 a^{2} + 26 a + 25\right)\cdot 31^{6} + \left(7 a^{11} + 18 a^{10} + 19 a^{9} + 26 a^{8} + 11 a^{7} + 26 a^{6} + 14 a^{5} + 9 a^{4} + 25 a^{3} + 14 a^{2} + 6 a + 12\right)\cdot 31^{7} + \left(21 a^{11} + a^{10} + 2 a^{9} + 9 a^{8} + 8 a^{7} + 18 a^{6} + 11 a^{5} + 24 a^{4} + 4 a^{3} + 7 a + 11\right)\cdot 31^{8} + \left(29 a^{11} + 17 a^{10} + 16 a^{9} + 23 a^{8} + 16 a^{7} + 22 a^{6} + 2 a^{5} + 9 a^{4} + 4 a^{3} + 9 a^{2} + 16 a + 30\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\) 8a^11 + 22a^10 + 15a^9 + 6a^8 + 29a^7 + 9a^6 + 23a^5 + 11a^4 + 22a^3 + 10a^2 + 26a + 30 + (18a^11 + 12a^10 + 11a^9 + a^8 + 6a^7 + 26a^6 + 30a^5 + 19a^4 + 5a^3 + 12a^2 + 14a + 15)31 + (3a^11 + 11a^10 + 22a^9 + 25a^8 + 2a^7 + 14a^6 + 27a^5 + 15a^4 + 3a^3 + 18a^2 + 26)31^2 + (20a^10 + 18a^9 + 16a^7 + 5a^6 + 13a^5 + 8a^4 + 23a^3 + 22a^2 + 16a + 6)31^3 + (21a^11 + 29a^10 + 28a^9 + 6a^8 + 16a^7 + 17a^6 + 7a^5 + 2a^4 + 21a^3 + 30a + 11)31^4 + (12a^11 + 5a^10 + 24a^9 + 10a^8 + 20a^7 + 17a^6 + 20a^5 + 24a^4 + 20a^3 + 10a^2 + 14)31^5 + (14a^11 + a^10 + 27a^9 + 4a^8 + 13a^7 + 10a^6 + 17a^5 + 12a^4 + 26a^3 + 2a^2 + 26a + 25)31^6 + (7a^11 + 18a^10 + 19a^9 + 26a^8 + 11a^7 + 26a^6 + 14a^5 + 9a^4 + 25a^3 + 14a^2 + 6a + 12)31^7 + (21a^11 + a^10 + 2a^9 + 9a^8 + 8a^7 + 18a^6 + 11a^5 + 24a^4 + 4a^3 + 7a + 11)31^8 + (29a^11 + 17a^10 + 16a^9 + 23a^8 + 16a^7 + 22a^6 + 2a^5 + 9a^4 + 4a^3 + 9a^2 + 16a + 30)31^9+O(31^10)
$r_{ 15 }$	$=$	\( 30 a^{11} + 30 a^{10} + 20 a^{9} + 18 a^{8} + 23 a^{7} + 30 a^{6} + 13 a^{5} + 6 a^{4} + 20 a^{3} + 6 a^{2} + 7 a + 2 + \left(18 a^{11} + 20 a^{10} + 14 a^{9} + 7 a^{8} + 26 a^{7} + 6 a^{6} + 7 a^{5} + 5 a^{4} + 7 a^{3} + 19 a^{2} + 2 a + 20\right)\cdot 31 + \left(14 a^{10} + 22 a^{9} + 22 a^{7} + 22 a^{6} + 19 a^{5} + a^{4} + 8 a^{3} + 5 a^{2} + 11 a + 7\right)\cdot 31^{2} + \left(9 a^{11} + 9 a^{10} + 4 a^{9} + 13 a^{8} + 18 a^{7} + 2 a^{6} + 7 a^{5} + 5 a^{3} + 20 a^{2} + 21 a + 28\right)\cdot 31^{3} + \left(4 a^{11} + 15 a^{10} + 29 a^{9} + 14 a^{8} + 13 a^{7} + 7 a^{6} + 8 a^{5} + 18 a^{4} + 20 a^{3} + 28 a^{2} + 15 a + 20\right)\cdot 31^{4} + \left(5 a^{11} + 3 a^{10} + 18 a^{9} + 7 a^{8} + 22 a^{7} + 5 a^{6} + a^{5} + 10 a^{4} + 5 a^{3} + 30 a^{2} + 16 a + 10\right)\cdot 31^{5} + \left(30 a^{11} + 18 a^{10} + 9 a^{9} + 9 a^{8} + 30 a^{7} + 25 a^{6} + 3 a^{5} + 9 a^{4} + 2 a^{3} + 20 a^{2} + 25 a + 22\right)\cdot 31^{6} + \left(8 a^{11} + 9 a^{10} + 7 a^{9} + 10 a^{8} + 6 a^{7} + 13 a^{6} + 18 a^{5} + 5 a^{4} + 26 a^{3} + 28 a^{2} + 29 a + 23\right)\cdot 31^{7} + \left(5 a^{11} + 21 a^{10} + 15 a^{9} + 22 a^{8} + 5 a^{7} + 13 a^{6} + 15 a^{5} + 6 a^{4} + 4 a^{3} + 30 a^{2} + a + 28\right)\cdot 31^{8} + \left(13 a^{11} + 10 a^{10} + 17 a^{9} + 14 a^{8} + 6 a^{7} + 19 a^{6} + 3 a^{5} + 24 a^{4} + 28 a^{3} + 5 a^{2} + 26 a + 28\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\) 30a^11 + 30a^10 + 20a^9 + 18a^8 + 23a^7 + 30a^6 + 13a^5 + 6a^4 + 20a^3 + 6a^2 + 7a + 2 + (18a^11 + 20a^10 + 14a^9 + 7a^8 + 26a^7 + 6a^6 + 7a^5 + 5a^4 + 7a^3 + 19a^2 + 2a + 20)31 + (14a^10 + 22a^9 + 22a^7 + 22a^6 + 19a^5 + a^4 + 8a^3 + 5a^2 + 11a + 7)31^2 + (9a^11 + 9a^10 + 4a^9 + 13a^8 + 18a^7 + 2a^6 + 7a^5 + 5a^3 + 20a^2 + 21a + 28)31^3 + (4a^11 + 15a^10 + 29a^9 + 14a^8 + 13a^7 + 7a^6 + 8a^5 + 18a^4 + 20a^3 + 28a^2 + 15a + 20)31^4 + (5a^11 + 3a^10 + 18a^9 + 7a^8 + 22a^7 + 5a^6 + a^5 + 10a^4 + 5a^3 + 30a^2 + 16a + 10)31^5 + (30a^11 + 18a^10 + 9a^9 + 9a^8 + 30a^7 + 25a^6 + 3a^5 + 9a^4 + 2a^3 + 20a^2 + 25a + 22)31^6 + (8a^11 + 9a^10 + 7a^9 + 10a^8 + 6a^7 + 13a^6 + 18a^5 + 5a^4 + 26a^3 + 28a^2 + 29a + 23)31^7 + (5a^11 + 21a^10 + 15a^9 + 22a^8 + 5a^7 + 13a^6 + 15a^5 + 6a^4 + 4a^3 + 30a^2 + a + 28)31^8 + (13a^11 + 10a^10 + 17a^9 + 14a^8 + 6a^7 + 19a^6 + 3a^5 + 24a^4 + 28a^3 + 5a^2 + 26a + 28)*31^9+O(31^10)
$r_{ 16 }$	$=$	\( 12 a^{11} + 18 a^{10} + 28 a^{9} + 18 a^{8} + 18 a^{7} + 22 a^{6} + 12 a^{5} + 25 a^{4} + 13 a^{3} + 17 a^{2} + 11 a + 18 + \left(6 a^{11} + 2 a^{9} + a^{8} + 18 a^{7} + 15 a^{6} + a^{5} + 7 a^{4} + 12 a^{3} + 20 a^{2} + 29 a + 17\right)\cdot 31 + \left(6 a^{11} + 14 a^{10} + 5 a^{9} + 6 a^{8} + 14 a^{7} + 10 a^{6} + 19 a^{5} + 9 a^{4} + a^{3} + 14 a + 11\right)\cdot 31^{2} + \left(29 a^{11} + 16 a^{10} + a^{9} + 5 a^{8} + 22 a^{7} + 15 a^{6} + 5 a^{5} + 25 a^{4} + 25 a^{2} + 30 a + 3\right)\cdot 31^{3} + \left(24 a^{11} + 25 a^{10} + 4 a^{9} + 27 a^{8} + 17 a^{7} + 10 a^{6} + 21 a^{5} + 30 a^{4} + 11 a^{3} + 5 a^{2} + 13 a + 24\right)\cdot 31^{4} + \left(9 a^{11} + 13 a^{10} + 12 a^{7} + 27 a^{6} + 17 a^{5} + 26 a^{4} + 18 a^{3} + a^{2} + 19 a + 16\right)\cdot 31^{5} + \left(12 a^{11} + 12 a^{10} + 29 a^{9} + a^{8} + 11 a^{7} + 13 a^{6} + 15 a^{5} + 25 a^{4} + 20 a^{3} + 21 a^{2} + 21 a + 28\right)\cdot 31^{6} + \left(11 a^{10} + 16 a^{9} + 9 a^{8} + 25 a^{7} + 19 a^{6} + 30 a^{5} + 8 a^{4} + 27 a^{3} + 26 a^{2} + 2 a + 12\right)\cdot 31^{7} + \left(14 a^{11} + 21 a^{10} + 19 a^{9} + 6 a^{8} + 10 a^{7} + 11 a^{6} + 13 a^{5} + 26 a^{4} + 10 a^{3} + a^{2} + 27 a + 9\right)\cdot 31^{8} + \left(28 a^{11} + 2 a^{10} + 10 a^{9} + 12 a^{8} + 30 a^{7} + 2 a^{6} + 2 a^{5} + 30 a^{4} + 15 a^{3} + a^{2} + 11 a + 1\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\) 12a^11 + 18a^10 + 28a^9 + 18a^8 + 18a^7 + 22a^6 + 12a^5 + 25a^4 + 13a^3 + 17a^2 + 11a + 18 + (6a^11 + 2a^9 + a^8 + 18a^7 + 15a^6 + a^5 + 7a^4 + 12a^3 + 20a^2 + 29a + 17)31 + (6a^11 + 14a^10 + 5a^9 + 6a^8 + 14a^7 + 10a^6 + 19a^5 + 9a^4 + a^3 + 14a + 11)31^2 + (29a^11 + 16a^10 + a^9 + 5a^8 + 22a^7 + 15a^6 + 5a^5 + 25a^4 + 25a^2 + 30a + 3)31^3 + (24a^11 + 25a^10 + 4a^9 + 27a^8 + 17a^7 + 10a^6 + 21a^5 + 30a^4 + 11a^3 + 5a^2 + 13a + 24)31^4 + (9a^11 + 13a^10 + 12a^7 + 27a^6 + 17a^5 + 26a^4 + 18a^3 + a^2 + 19a + 16)31^5 + (12a^11 + 12a^10 + 29a^9 + a^8 + 11a^7 + 13a^6 + 15a^5 + 25a^4 + 20a^3 + 21a^2 + 21a + 28)31^6 + (11a^10 + 16a^9 + 9a^8 + 25a^7 + 19a^6 + 30a^5 + 8a^4 + 27a^3 + 26a^2 + 2a + 12)31^7 + (14a^11 + 21a^10 + 19a^9 + 6a^8 + 10a^7 + 11a^6 + 13a^5 + 26a^4 + 10a^3 + a^2 + 27a + 9)31^8 + (28a^11 + 2a^10 + 10a^9 + 12a^8 + 30a^7 + 2a^6 + 2a^5 + 30a^4 + 15a^3 + a^2 + 11a + 1)*31^9+O(31^10)
$r_{ 17 }$	$=$	\( 19 a^{11} + 22 a^{10} + 6 a^{9} + 23 a^{8} + 16 a^{7} + 13 a^{5} + 15 a^{4} + 22 a^{3} + 20 a^{2} + 5 a + 8 + \left(14 a^{11} + 20 a^{10} + 12 a^{9} + 16 a^{8} + 11 a^{7} + 10 a^{6} + 29 a^{5} + 12 a^{4} + 9 a^{3} + 22 a^{2} + 28 a + 7\right)\cdot 31 + \left(21 a^{11} + 18 a^{10} + 7 a^{9} + 7 a^{8} + 11 a^{7} + 6 a^{6} + 14 a^{5} + 6 a^{4} + 6 a^{3} + 7 a^{2} + 6 a + 5\right)\cdot 31^{2} + \left(13 a^{11} + 13 a^{10} + 25 a^{8} + 20 a^{7} + 9 a^{6} + 20 a^{5} + 21 a^{4} + 27 a^{3} + 11 a^{2} + 4 a + 6\right)\cdot 31^{3} + \left(6 a^{11} + 22 a^{10} + 25 a^{9} + 28 a^{8} + 24 a^{7} + 4 a^{6} + 25 a^{5} + 3 a^{4} + 20 a^{3} + 17 a + 7\right)\cdot 31^{4} + \left(24 a^{11} + 24 a^{10} + 6 a^{9} + 4 a^{8} + 25 a^{7} + 28 a^{6} + 15 a^{5} + 9 a^{3} + 22 a^{2} + 14 a + 14\right)\cdot 31^{5} + \left(14 a^{11} + 2 a^{10} + 13 a^{9} + 11 a^{8} + a^{7} + 27 a^{6} + 24 a^{5} + 8 a^{4} + 14 a^{3} + 6 a^{2} + 25 a + 7\right)\cdot 31^{6} + \left(6 a^{11} + 18 a^{10} + 16 a^{9} + 8 a^{8} + 26 a^{7} + 11 a^{6} + 3 a^{5} + 29 a^{4} + 15 a^{3} + 10 a^{2} + 7 a + 25\right)\cdot 31^{7} + \left(a^{11} + 9 a^{10} + 10 a^{9} + 4 a^{8} + 6 a^{7} + 24 a^{6} + 24 a^{5} + 21 a^{4} + 19 a^{3} + 30 a^{2} + 13 a + 18\right)\cdot 31^{8} + \left(11 a^{11} + 2 a^{10} + 16 a^{9} + 18 a^{8} + 28 a^{7} + 14 a^{6} + 15 a^{5} + 6 a^{4} + 12 a^{3} + 16 a^{2} + 23 a + 15\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\) 19a^11 + 22a^10 + 6a^9 + 23a^8 + 16a^7 + 13a^5 + 15a^4 + 22a^3 + 20a^2 + 5a + 8 + (14a^11 + 20a^10 + 12a^9 + 16a^8 + 11a^7 + 10a^6 + 29a^5 + 12a^4 + 9a^3 + 22a^2 + 28a + 7)31 + (21a^11 + 18a^10 + 7a^9 + 7a^8 + 11a^7 + 6a^6 + 14a^5 + 6a^4 + 6a^3 + 7a^2 + 6a + 5)31^2 + (13a^11 + 13a^10 + 25a^8 + 20a^7 + 9a^6 + 20a^5 + 21a^4 + 27a^3 + 11a^2 + 4a + 6)31^3 + (6a^11 + 22a^10 + 25a^9 + 28a^8 + 24a^7 + 4a^6 + 25a^5 + 3a^4 + 20a^3 + 17a + 7)31^4 + (24a^11 + 24a^10 + 6a^9 + 4a^8 + 25a^7 + 28a^6 + 15a^5 + 9a^3 + 22a^2 + 14a + 14)31^5 + (14a^11 + 2a^10 + 13a^9 + 11a^8 + a^7 + 27a^6 + 24a^5 + 8a^4 + 14a^3 + 6a^2 + 25a + 7)31^6 + (6a^11 + 18a^10 + 16a^9 + 8a^8 + 26a^7 + 11a^6 + 3a^5 + 29a^4 + 15a^3 + 10a^2 + 7a + 25)31^7 + (a^11 + 9a^10 + 10a^9 + 4a^8 + 6a^7 + 24a^6 + 24a^5 + 21a^4 + 19a^3 + 30a^2 + 13a + 18)31^8 + (11a^11 + 2a^10 + 16a^9 + 18a^8 + 28a^7 + 14a^6 + 15a^5 + 6a^4 + 12a^3 + 16a^2 + 23a + 15)*31^9+O(31^10)
$r_{ 18 }$	$=$	\( 20 a^{11} + 9 a^{10} + 12 a^{9} + 24 a^{8} + 16 a^{7} + 4 a^{5} + 5 a^{4} + 4 a^{3} + 27 a^{2} + 6 a + 17 + \left(24 a^{11} + 13 a^{10} + 14 a^{9} + 2 a^{8} + 25 a^{7} + 11 a^{6} + a^{5} + 27 a^{4} + 18 a^{3} + a^{2} + 13 a + 2\right)\cdot 31 + \left(9 a^{11} + 25 a^{10} + 27 a^{9} + 16 a^{7} + 25 a^{6} + 16 a^{5} + 24 a^{4} + 4 a^{3} + 19 a^{2} + 15 a + 7\right)\cdot 31^{2} + \left(29 a^{11} + 5 a^{10} + 19 a^{9} + 6 a^{8} + 7 a^{7} + 20 a^{6} + 19 a^{5} + 2 a^{4} + 23 a^{3} + 16 a^{2} + 15 a + 10\right)\cdot 31^{3} + \left(14 a^{11} + 24 a^{10} + a^{9} + 2 a^{8} + 3 a^{7} + 27 a^{6} + 28 a^{5} + 2 a^{4} + a^{3} + 6 a^{2} + 13 a + 4\right)\cdot 31^{4} + \left(22 a^{11} + 19 a^{10} + 25 a^{9} + 11 a^{8} + 2 a^{7} + 13 a^{6} + 6 a^{5} + 20 a^{4} + 8 a^{3} + 11 a^{2} + 20 a\right)\cdot 31^{5} + \left(26 a^{11} + 13 a^{10} + 25 a^{9} + 5 a^{8} + 25 a^{7} + 24 a^{6} + 2 a^{5} + 7 a^{4} + 16 a^{3} + 23 a^{2} + 16 a + 23\right)\cdot 31^{6} + \left(7 a^{11} + 29 a^{10} + 5 a^{9} + 4 a^{8} + 5 a^{7} + 14 a^{6} + 14 a^{5} + 18 a^{4} + 22 a^{3} + 9 a^{2} + 9 a + 25\right)\cdot 31^{7} + \left(4 a^{11} + 22 a^{10} + 22 a^{9} + 16 a^{8} + 19 a^{7} + 30 a^{6} + 25 a^{5} + 19 a^{4} + 15 a^{3} + 2 a^{2} + 3 a + 20\right)\cdot 31^{8} + \left(27 a^{11} + 19 a^{10} + 26 a^{9} + 4 a^{8} + 15 a^{7} + 24 a^{6} + 4 a^{5} + 9 a^{4} + 19 a^{3} + 10 a^{2} + 28 a\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\) 20a^11 + 9a^10 + 12a^9 + 24a^8 + 16a^7 + 4a^5 + 5a^4 + 4a^3 + 27a^2 + 6a + 17 + (24a^11 + 13a^10 + 14a^9 + 2a^8 + 25a^7 + 11a^6 + a^5 + 27a^4 + 18a^3 + a^2 + 13a + 2)31 + (9a^11 + 25a^10 + 27a^9 + 16a^7 + 25a^6 + 16a^5 + 24a^4 + 4a^3 + 19a^2 + 15a + 7)31^2 + (29a^11 + 5a^10 + 19a^9 + 6a^8 + 7a^7 + 20a^6 + 19a^5 + 2a^4 + 23a^3 + 16a^2 + 15a + 10)31^3 + (14a^11 + 24a^10 + a^9 + 2a^8 + 3a^7 + 27a^6 + 28a^5 + 2a^4 + a^3 + 6a^2 + 13a + 4)31^4 + (22a^11 + 19a^10 + 25a^9 + 11a^8 + 2a^7 + 13a^6 + 6a^5 + 20a^4 + 8a^3 + 11a^2 + 20a)31^5 + (26a^11 + 13a^10 + 25a^9 + 5a^8 + 25a^7 + 24a^6 + 2a^5 + 7a^4 + 16a^3 + 23a^2 + 16a + 23)31^6 + (7a^11 + 29a^10 + 5a^9 + 4a^8 + 5a^7 + 14a^6 + 14a^5 + 18a^4 + 22a^3 + 9a^2 + 9a + 25)31^7 + (4a^11 + 22a^10 + 22a^9 + 16a^8 + 19a^7 + 30a^6 + 25a^5 + 19a^4 + 15a^3 + 2a^2 + 3a + 20)31^8 + (27a^11 + 19a^10 + 26a^9 + 4a^8 + 15a^7 + 24a^6 + 4a^5 + 9a^4 + 19a^3 + 10a^2 + 28a)*31^9+O(31^10)
$r_{ 19 }$	$=$	\( 14 a^{11} + 25 a^{10} + 13 a^{9} + 29 a^{8} + 19 a^{7} + 17 a^{6} + 6 a^{5} + 7 a^{4} + 20 a^{3} + 19 a^{2} + 27 a + 22 + \left(14 a^{11} + 22 a^{10} + 4 a^{9} + 23 a^{8} + 26 a^{7} + 27 a^{6} + 4 a^{5} + 29 a^{4} + 10 a^{3} + 2 a^{2} + 15 a + 25\right)\cdot 31 + \left(19 a^{11} + 30 a^{10} + 16 a^{9} + 26 a^{8} + 21 a^{7} + a^{6} + 12 a^{5} + 13 a^{4} + 16 a^{3} + 3 a + 27\right)\cdot 31^{2} + \left(24 a^{11} + 26 a^{10} + 22 a^{9} + 2 a^{8} + a^{7} + 2 a^{6} + 5 a^{5} + 4 a^{4} + 24 a^{3} + 29 a^{2} + 11 a + 6\right)\cdot 31^{3} + \left(6 a^{11} + 10 a^{10} + 16 a^{9} + 22 a^{8} + 6 a^{7} + 18 a^{6} + 20 a^{5} + 24 a^{4} + 20 a^{3} + 23 a^{2} + 18 a + 15\right)\cdot 31^{4} + \left(a^{11} + 20 a^{10} + 19 a^{9} + 21 a^{8} + 25 a^{7} + 23 a^{6} + 19 a^{5} + 7 a^{4} + 17 a^{3} + 30 a^{2} + 12 a + 22\right)\cdot 31^{5} + \left(16 a^{11} + 9 a^{10} + 21 a^{9} + 23 a^{8} + 3 a^{7} + 18 a^{6} + 29 a^{5} + 4 a^{4} + 22 a^{3} + 8 a^{2} + 24 a + 26\right)\cdot 31^{6} + \left(22 a^{11} + 3 a^{10} + 26 a^{9} + 4 a^{8} + 19 a^{7} + a^{6} + 5 a^{5} + 4 a^{4} + 8 a^{3} + 26 a^{2} + 10 a + 17\right)\cdot 31^{7} + \left(13 a^{11} + 11 a^{10} + 8 a^{9} + 30 a^{8} + 9 a^{7} + 14 a^{6} + 6 a^{5} + 26 a^{4} + 18 a^{3} + 28 a^{2} + 26 a + 18\right)\cdot 31^{8} + \left(25 a^{11} + 27 a^{10} + 8 a^{9} + 12 a^{8} + 20 a^{7} + 23 a^{6} + 19 a^{5} + 9 a^{4} + 29 a^{3} + 30 a^{2} + 22 a + 11\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\) 14a^11 + 25a^10 + 13a^9 + 29a^8 + 19a^7 + 17a^6 + 6a^5 + 7a^4 + 20a^3 + 19a^2 + 27a + 22 + (14a^11 + 22a^10 + 4a^9 + 23a^8 + 26a^7 + 27a^6 + 4a^5 + 29a^4 + 10a^3 + 2a^2 + 15a + 25)31 + (19a^11 + 30a^10 + 16a^9 + 26a^8 + 21a^7 + a^6 + 12a^5 + 13a^4 + 16a^3 + 3a + 27)31^2 + (24a^11 + 26a^10 + 22a^9 + 2a^8 + a^7 + 2a^6 + 5a^5 + 4a^4 + 24a^3 + 29a^2 + 11a + 6)31^3 + (6a^11 + 10a^10 + 16a^9 + 22a^8 + 6a^7 + 18a^6 + 20a^5 + 24a^4 + 20a^3 + 23a^2 + 18a + 15)31^4 + (a^11 + 20a^10 + 19a^9 + 21a^8 + 25a^7 + 23a^6 + 19a^5 + 7a^4 + 17a^3 + 30a^2 + 12a + 22)31^5 + (16a^11 + 9a^10 + 21a^9 + 23a^8 + 3a^7 + 18a^6 + 29a^5 + 4a^4 + 22a^3 + 8a^2 + 24a + 26)31^6 + (22a^11 + 3a^10 + 26a^9 + 4a^8 + 19a^7 + a^6 + 5a^5 + 4a^4 + 8a^3 + 26a^2 + 10a + 17)31^7 + (13a^11 + 11a^10 + 8a^9 + 30a^8 + 9a^7 + 14a^6 + 6a^5 + 26a^4 + 18a^3 + 28a^2 + 26a + 18)31^8 + (25a^11 + 27a^10 + 8a^9 + 12a^8 + 20a^7 + 23a^6 + 19a^5 + 9a^4 + 29a^3 + 30a^2 + 22a + 11)31^9+O(31^10)
$r_{ 20 }$	$=$	\( 7 a^{11} + 4 a^{10} + 9 a^{9} + 5 a^{8} + 29 a^{7} + 9 a^{6} + a^{5} + 21 a^{4} + 9 a^{3} + 3 a^{2} + 25 a + 21 + \left(8 a^{11} + 20 a^{10} + 9 a^{9} + 15 a^{8} + 23 a^{7} + 25 a^{6} + 28 a^{5} + 4 a^{4} + 28 a^{3} + 2 a^{2} + 29 a + 20\right)\cdot 31 + \left(15 a^{11} + 4 a^{10} + 2 a^{9} + a^{8} + 27 a^{7} + 26 a^{6} + 26 a^{5} + 28 a^{4} + 4 a^{3} + 7 a^{2} + 22 a + 24\right)\cdot 31^{2} + \left(15 a^{11} + 28 a^{10} + 30 a^{9} + 20 a^{8} + 28 a^{7} + 24 a^{6} + 14 a^{5} + 26 a^{4} + 27 a^{3} + 17 a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 31^{3} + \left(12 a^{11} + 27 a^{10} + 20 a^{9} + a^{8} + 6 a^{7} + 24 a^{6} + 4 a^{5} + 3 a^{4} + 9 a^{3} + 25 a^{2} + 3 a + 14\right)\cdot 31^{4} + \left(14 a^{11} + 10 a^{10} + 6 a^{9} + 4 a^{8} + 13 a^{7} + 29 a^{5} + 4 a^{4} + 22 a^{3} + 20 a^{2} + 26 a + 28\right)\cdot 31^{5} + \left(2 a^{11} + 21 a^{10} + 15 a^{9} + 10 a^{8} + 21 a^{7} + 14 a^{6} + 8 a^{5} + 13 a^{4} + 24 a^{3} + 16 a^{2} + 3 a + 9\right)\cdot 31^{6} + \left(6 a^{11} + 6 a^{10} + 30 a^{9} + 30 a^{8} + 23 a^{6} + 4 a^{5} + 20 a^{4} + 18 a^{3} + 14 a^{2} + 5 a + 12\right)\cdot 31^{7} + \left(18 a^{11} + 19 a^{10} + 21 a^{9} + 28 a^{8} + 27 a^{7} + 12 a^{6} + 10 a^{5} + 26 a^{4} + 8 a^{3} + 28 a^{2} + 17 a + 9\right)\cdot 31^{8} + \left(13 a^{11} + 30 a^{10} + 5 a^{9} + 5 a^{8} + 28 a^{7} + 12 a^{6} + 13 a^{5} + 6 a^{4} + 28 a^{3} + 15 a^{2} + 11 a + 14\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\) 7a^11 + 4a^10 + 9a^9 + 5a^8 + 29a^7 + 9a^6 + a^5 + 21a^4 + 9a^3 + 3a^2 + 25a + 21 + (8a^11 + 20a^10 + 9a^9 + 15a^8 + 23a^7 + 25a^6 + 28a^5 + 4a^4 + 28a^3 + 2a^2 + 29a + 20)31 + (15a^11 + 4a^10 + 2a^9 + a^8 + 27a^7 + 26a^6 + 26a^5 + 28a^4 + 4a^3 + 7a^2 + 22a + 24)31^2 + (15a^11 + 28a^10 + 30a^9 + 20a^8 + 28a^7 + 24a^6 + 14a^5 + 26a^4 + 27a^3 + 17a^2 + 4a + 2)31^3 + (12a^11 + 27a^10 + 20a^9 + a^8 + 6a^7 + 24a^6 + 4a^5 + 3a^4 + 9a^3 + 25a^2 + 3a + 14)31^4 + (14a^11 + 10a^10 + 6a^9 + 4a^8 + 13a^7 + 29a^5 + 4a^4 + 22a^3 + 20a^2 + 26a + 28)31^5 + (2a^11 + 21a^10 + 15a^9 + 10a^8 + 21a^7 + 14a^6 + 8a^5 + 13a^4 + 24a^3 + 16a^2 + 3a + 9)31^6 + (6a^11 + 6a^10 + 30a^9 + 30a^8 + 23a^6 + 4a^5 + 20a^4 + 18a^3 + 14a^2 + 5a + 12)31^7 + (18a^11 + 19a^10 + 21a^9 + 28a^8 + 27a^7 + 12a^6 + 10a^5 + 26a^4 + 8a^3 + 28a^2 + 17a + 9)31^8 + (13a^11 + 30a^10 + 5a^9 + 5a^8 + 28a^7 + 12a^6 + 13a^5 + 6a^4 + 28a^3 + 15a^2 + 11a + 14)31^9+O(31^10)
$r_{ 21 }$	$=$	\( 25 a^{11} + 28 a^{10} + 2 a^{9} + 8 a^{8} + 10 a^{7} + 23 a^{6} + 17 a^{5} + 4 a^{4} + 2 a^{3} + 22 a^{2} + 30 a + 8 + \left(3 a^{11} + 20 a^{10} + 7 a^{9} + 8 a^{8} + 11 a^{7} + 29 a^{6} + 26 a^{5} + 21 a^{4} + 26 a^{3} + 9 a^{2} + 29 a + 21\right)\cdot 31 + \left(15 a^{11} + 11 a^{10} + 6 a^{9} + 29 a^{8} + 11 a^{7} + 12 a^{6} + 15 a^{5} + a^{4} + 17 a^{3} + 18 a^{2} + 27 a + 29\right)\cdot 31^{2} + \left(6 a^{11} + 24 a^{10} + 27 a^{9} + 28 a^{8} + 14 a^{7} + 3 a^{6} + 8 a^{5} + 4 a^{4} + 29 a^{3} + 24 a^{2} + 4 a + 30\right)\cdot 31^{3} + \left(14 a^{11} + 18 a^{10} + 11 a^{9} + 14 a^{8} + 10 a^{7} + 30 a^{6} + 18 a^{5} + 9 a^{4} + 7 a^{2} + 12 a + 26\right)\cdot 31^{4} + \left(11 a^{11} + 16 a^{10} + 5 a^{9} + 19 a^{8} + 26 a^{7} + 24 a^{6} + 16 a^{4} + 3 a^{3} + 10 a^{2} + 19 a + 22\right)\cdot 31^{5} + \left(29 a^{11} + 22 a^{10} + 6 a^{9} + 11 a^{8} + 9 a^{7} + 22 a^{6} + 19 a^{5} + 8 a^{4} + 4 a^{3} + 24 a^{2} + a + 29\right)\cdot 31^{6} + \left(15 a^{11} + 14 a^{10} + 24 a^{9} + 21 a^{8} + 23 a^{7} + 24 a^{6} + 8 a^{5} + 5 a^{4} + 17 a^{3} + 18 a^{2} + 27 a + 25\right)\cdot 31^{7} + \left(7 a^{11} + 21 a^{10} + 24 a^{9} + 10 a^{8} + 29 a^{7} + 4 a^{6} + 5 a^{5} + 29 a^{4} + 17 a^{3} + 2 a^{2} + 11 a + 23\right)\cdot 31^{8} + \left(4 a^{11} + 20 a^{10} + 7 a^{9} + 10 a^{8} + 26 a^{7} + 30 a^{6} + 14 a^{5} + 30 a^{4} + 5 a^{3} + 9 a^{2} + 24 a + 18\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\) 25a^11 + 28a^10 + 2a^9 + 8a^8 + 10a^7 + 23a^6 + 17a^5 + 4a^4 + 2a^3 + 22a^2 + 30a + 8 + (3a^11 + 20a^10 + 7a^9 + 8a^8 + 11a^7 + 29a^6 + 26a^5 + 21a^4 + 26a^3 + 9a^2 + 29a + 21)31 + (15a^11 + 11a^10 + 6a^9 + 29a^8 + 11a^7 + 12a^6 + 15a^5 + a^4 + 17a^3 + 18a^2 + 27a + 29)31^2 + (6a^11 + 24a^10 + 27a^9 + 28a^8 + 14a^7 + 3a^6 + 8a^5 + 4a^4 + 29a^3 + 24a^2 + 4a + 30)31^3 + (14a^11 + 18a^10 + 11a^9 + 14a^8 + 10a^7 + 30a^6 + 18a^5 + 9a^4 + 7a^2 + 12a + 26)31^4 + (11a^11 + 16a^10 + 5a^9 + 19a^8 + 26a^7 + 24a^6 + 16a^4 + 3a^3 + 10a^2 + 19a + 22)31^5 + (29a^11 + 22a^10 + 6a^9 + 11a^8 + 9a^7 + 22a^6 + 19a^5 + 8a^4 + 4a^3 + 24a^2 + a + 29)31^6 + (15a^11 + 14a^10 + 24a^9 + 21a^8 + 23a^7 + 24a^6 + 8a^5 + 5a^4 + 17a^3 + 18a^2 + 27a + 25)31^7 + (7a^11 + 21a^10 + 24a^9 + 10a^8 + 29a^7 + 4a^6 + 5a^5 + 29a^4 + 17a^3 + 2a^2 + 11a + 23)31^8 + (4a^11 + 20a^10 + 7a^9 + 10a^8 + 26a^7 + 30a^6 + 14a^5 + 30a^4 + 5a^3 + 9a^2 + 24a + 18)*31^9+O(31^10)
$r_{ 22 }$	$=$	\( 7 a^{11} + 21 a^{10} + 4 a^{9} + 24 a^{8} + 21 a^{7} + 8 a^{6} + 5 a^{5} + 17 a^{4} + 11 a^{3} + 16 a^{2} + 2 a + 1 + \left(6 a^{11} + 2 a^{10} + 26 a^{9} + 8 a^{8} + 2 a^{7} + 2 a^{6} + 7 a^{5} + 24 a^{4} + 13 a^{3} + 17 a + 5\right)\cdot 31 + \left(4 a^{11} + 26 a^{10} + 13 a^{9} + 25 a^{8} + 25 a^{7} + 6 a^{6} + 16 a^{5} + 16 a^{4} + 11 a^{3} + 24 a^{2} + 11 a + 3\right)\cdot 31^{2} + \left(9 a^{11} + 29 a^{10} + 23 a^{9} + 13 a^{8} + 3 a^{7} + 8 a^{6} + 21 a^{5} + 8 a^{4} + 28 a^{3} + 11 a^{2} + 6 a + 4\right)\cdot 31^{3} + \left(25 a^{11} + 13 a^{10} + 26 a^{9} + 20 a^{8} + 30 a^{7} + 24 a^{6} + 15 a^{5} + 20 a^{4} + 10 a^{3} + 29 a^{2} + 15 a + 1\right)\cdot 31^{4} + \left(17 a^{11} + 9 a^{10} + 12 a^{9} + 17 a^{8} + 11 a^{7} + 22 a^{6} + 21 a^{5} + 3 a^{4} + 26 a^{3} + 9 a^{2} + 17 a + 25\right)\cdot 31^{5} + \left(13 a^{11} + 19 a^{10} + 6 a^{9} + 13 a^{8} + 13 a^{7} + 4 a^{6} + 20 a^{5} + 22 a^{4} + 28 a^{3} + 23 a^{2} + 20 a + 16\right)\cdot 31^{6} + \left(16 a^{11} + 27 a^{10} + 27 a^{9} + 5 a^{8} + 18 a^{7} + 9 a^{6} + a^{5} + 14 a^{4} + 20 a^{3} + 11 a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 31^{7} + \left(26 a^{11} + 22 a^{10} + 17 a^{9} + a^{8} + 13 a^{7} + a^{6} + 27 a^{5} + 30 a^{4} + 9 a^{3} + 9 a + 9\right)\cdot 31^{8} + \left(11 a^{11} + 27 a^{10} + 2 a^{9} + 7 a^{8} + 22 a^{7} + 11 a^{6} + 5 a^{5} + 2 a^{4} + a^{3} + 15 a^{2} + 11 a + 28\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\) 7a^11 + 21a^10 + 4a^9 + 24a^8 + 21a^7 + 8a^6 + 5a^5 + 17a^4 + 11a^3 + 16a^2 + 2a + 1 + (6a^11 + 2a^10 + 26a^9 + 8a^8 + 2a^7 + 2a^6 + 7a^5 + 24a^4 + 13a^3 + 17a + 5)31 + (4a^11 + 26a^10 + 13a^9 + 25a^8 + 25a^7 + 6a^6 + 16a^5 + 16a^4 + 11a^3 + 24a^2 + 11a + 3)31^2 + (9a^11 + 29a^10 + 23a^9 + 13a^8 + 3a^7 + 8a^6 + 21a^5 + 8a^4 + 28a^3 + 11a^2 + 6a + 4)31^3 + (25a^11 + 13a^10 + 26a^9 + 20a^8 + 30a^7 + 24a^6 + 15a^5 + 20a^4 + 10a^3 + 29a^2 + 15a + 1)31^4 + (17a^11 + 9a^10 + 12a^9 + 17a^8 + 11a^7 + 22a^6 + 21a^5 + 3a^4 + 26a^3 + 9a^2 + 17a + 25)31^5 + (13a^11 + 19a^10 + 6a^9 + 13a^8 + 13a^7 + 4a^6 + 20a^5 + 22a^4 + 28a^3 + 23a^2 + 20a + 16)31^6 + (16a^11 + 27a^10 + 27a^9 + 5a^8 + 18a^7 + 9a^6 + a^5 + 14a^4 + 20a^3 + 11a^2 + 5a + 5)31^7 + (26a^11 + 22a^10 + 17a^9 + a^8 + 13a^7 + a^6 + 27a^5 + 30a^4 + 9a^3 + 9a + 9)31^8 + (11a^11 + 27a^10 + 2a^9 + 7a^8 + 22a^7 + 11a^6 + 5a^5 + 2a^4 + a^3 + 15a^2 + 11a + 28)*31^9+O(31^10)
$r_{ 23 }$	$=$	\( 18 a^{11} + 12 a^{10} + 23 a^{9} + 5 a^{7} + 8 a^{6} + a^{5} + 12 a^{4} + 7 a^{3} + 20 a^{2} + 27 a + 15 + \left(12 a^{11} + 20 a^{10} + 11 a^{9} + 6 a^{8} + 8 a^{7} + 22 a^{6} + 6 a^{5} + 28 a^{4} + 26 a^{3} + 29 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 31 + \left(25 a^{11} + 17 a^{9} + 25 a^{8} + 8 a^{7} + 11 a^{6} + 22 a^{4} + 6 a^{3} + 4 a^{2} + 27 a + 27\right)\cdot 31^{2} + \left(10 a^{11} + 24 a^{10} + 3 a^{9} + 7 a^{8} + 27 a^{7} + 18 a^{6} + 2 a^{5} + 5 a^{4} + 5 a^{3} + 26 a^{2} + 21 a + 24\right)\cdot 31^{3} + \left(10 a^{11} + 20 a^{10} + 25 a^{9} + 18 a^{8} + 26 a^{7} + 27 a^{6} + 18 a^{5} + 18 a^{4} + 9 a^{3} + 22 a^{2} + a + 27\right)\cdot 31^{4} + \left(26 a^{11} + 20 a^{10} + 18 a^{9} + 6 a^{8} + 9 a^{7} + 8 a^{6} + 14 a^{5} + 14 a^{4} + 18 a^{3} + 29 a^{2} + 28 a + 24\right)\cdot 31^{5} + \left(17 a^{11} + 5 a^{10} + 11 a^{9} + 8 a^{8} + 19 a^{7} + 11 a^{6} + 18 a^{5} + 14 a^{4} + 12 a^{3} + 30 a^{2} + 3 a + 24\right)\cdot 31^{6} + \left(8 a^{11} + 29 a^{10} + 21 a^{9} + a^{8} + 12 a^{7} + 25 a^{6} + 18 a^{5} + 27 a^{4} + 29 a^{3} + a^{2} + 27 a + 10\right)\cdot 31^{7} + \left(22 a^{11} + 30 a^{10} + 26 a^{9} + 16 a^{8} + 25 a^{7} + a^{6} + a^{5} + 10 a^{4} + 24 a^{3} + 29 a^{2} + 5 a + 19\right)\cdot 31^{8} + \left(15 a^{11} + 7 a^{10} + 6 a^{9} + 2 a^{8} + 6 a^{7} + 17 a^{6} + a^{5} + 24 a^{4} + 12 a^{3} + 4 a^{2} + 14 a + 27\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\) 18a^11 + 12a^10 + 23a^9 + 5a^7 + 8a^6 + a^5 + 12a^4 + 7a^3 + 20a^2 + 27a + 15 + (12a^11 + 20a^10 + 11a^9 + 6a^8 + 8a^7 + 22a^6 + 6a^5 + 28a^4 + 26a^3 + 29a^2 + 3a + 2)31 + (25a^11 + 17a^9 + 25a^8 + 8a^7 + 11a^6 + 22a^4 + 6a^3 + 4a^2 + 27a + 27)31^2 + (10a^11 + 24a^10 + 3a^9 + 7a^8 + 27a^7 + 18a^6 + 2a^5 + 5a^4 + 5a^3 + 26a^2 + 21a + 24)31^3 + (10a^11 + 20a^10 + 25a^9 + 18a^8 + 26a^7 + 27a^6 + 18a^5 + 18a^4 + 9a^3 + 22a^2 + a + 27)31^4 + (26a^11 + 20a^10 + 18a^9 + 6a^8 + 9a^7 + 8a^6 + 14a^5 + 14a^4 + 18a^3 + 29a^2 + 28a + 24)31^5 + (17a^11 + 5a^10 + 11a^9 + 8a^8 + 19a^7 + 11a^6 + 18a^5 + 14a^4 + 12a^3 + 30a^2 + 3a + 24)31^6 + (8a^11 + 29a^10 + 21a^9 + a^8 + 12a^7 + 25a^6 + 18a^5 + 27a^4 + 29a^3 + a^2 + 27a + 10)31^7 + (22a^11 + 30a^10 + 26a^9 + 16a^8 + 25a^7 + a^6 + a^5 + 10a^4 + 24a^3 + 29a^2 + 5a + 19)31^8 + (15a^11 + 7a^10 + 6a^9 + 2a^8 + 6a^7 + 17a^6 + a^5 + 24a^4 + 12a^3 + 4a^2 + 14a + 27)*31^9+O(31^10)
$r_{ 24 }$	$=$	\( 26 a^{11} + 12 a^{10} + 10 a^{9} + 16 a^{8} + 6 a^{7} + 8 a^{6} + 18 a^{5} + a^{4} + 2 a^{3} + 5 a^{2} + 7 a + 9 + \left(20 a^{11} + 23 a^{10} + 7 a^{9} + 25 a^{8} + 14 a^{7} + 12 a^{6} + 5 a^{5} + 6 a^{4} + 23 a^{3} + 23 a^{2} + 14 a + 12\right)\cdot 31 + \left(25 a^{11} + 13 a^{10} + 21 a^{9} + a^{8} + 5 a^{7} + 12 a^{6} + 23 a^{4} + 17 a^{3} + 18 a + 8\right)\cdot 31^{2} + \left(22 a^{11} + 12 a^{10} + 23 a^{9} + 8 a^{8} + 24 a^{7} + 17 a^{6} + 11 a^{5} + 29 a^{4} + 24 a^{3} + 23 a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 31^{3} + \left(5 a^{10} + 20 a^{9} + 18 a^{8} + 23 a^{7} + 28 a^{6} + 10 a^{5} + 23 a^{4} + 29 a^{2} + a + 8\right)\cdot 31^{4} + \left(11 a^{11} + 3 a^{10} + 19 a^{9} + 22 a^{8} + 6 a^{7} + 19 a^{6} + 6 a^{5} + 3 a^{4} + 5 a^{3} + a + 8\right)\cdot 31^{5} + \left(28 a^{11} + 22 a^{10} + 19 a^{9} + 24 a^{8} + 15 a^{7} + a^{6} + 14 a^{5} + 30 a^{4} + 12 a^{3} + 30 a^{2} + 15 a + 24\right)\cdot 31^{6} + \left(22 a^{11} + 14 a^{10} + 12 a^{9} + 13 a^{8} + 13 a^{7} + 21 a^{6} + 5 a^{5} + 12 a^{4} + 5 a^{3} + 21 a^{2} + 13 a + 30\right)\cdot 31^{7} + \left(27 a^{11} + a^{10} + 28 a^{9} + 5 a^{8} + 20 a^{7} + 25 a^{6} + 20 a^{5} + 21 a^{4} + 29 a^{3} + 30 a^{2} + 22 a + 27\right)\cdot 31^{8} + \left(22 a^{11} + 30 a^{10} + 18 a^{9} + 25 a^{8} + 19 a^{7} + 25 a^{6} + 21 a^{5} + 9 a^{4} + 13 a^{3} + 3 a + 12\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\) 26a^11 + 12a^10 + 10a^9 + 16a^8 + 6a^7 + 8a^6 + 18a^5 + a^4 + 2a^3 + 5a^2 + 7a + 9 + (20a^11 + 23a^10 + 7a^9 + 25a^8 + 14a^7 + 12a^6 + 5a^5 + 6a^4 + 23a^3 + 23a^2 + 14a + 12)31 + (25a^11 + 13a^10 + 21a^9 + a^8 + 5a^7 + 12a^6 + 23a^4 + 17a^3 + 18a + 8)31^2 + (22a^11 + 12a^10 + 23a^9 + 8a^8 + 24a^7 + 17a^6 + 11a^5 + 29a^4 + 24a^3 + 23a^2 + 10a + 10)31^3 + (5a^10 + 20a^9 + 18a^8 + 23a^7 + 28a^6 + 10a^5 + 23a^4 + 29a^2 + a + 8)31^4 + (11a^11 + 3a^10 + 19a^9 + 22a^8 + 6a^7 + 19a^6 + 6a^5 + 3a^4 + 5a^3 + a + 8)31^5 + (28a^11 + 22a^10 + 19a^9 + 24a^8 + 15a^7 + a^6 + 14a^5 + 30a^4 + 12a^3 + 30a^2 + 15a + 24)31^6 + (22a^11 + 14a^10 + 12a^9 + 13a^8 + 13a^7 + 21a^6 + 5a^5 + 12a^4 + 5a^3 + 21a^2 + 13a + 30)31^7 + (27a^11 + a^10 + 28a^9 + 5a^8 + 20a^7 + 25a^6 + 20a^5 + 21a^4 + 29a^3 + 30a^2 + 22a + 27)31^8 + (22a^11 + 30a^10 + 18a^9 + 25a^8 + 19a^7 + 25a^6 + 21a^5 + 9a^4 + 13a^3 + 3a + 12)*31^9+O(31^10)

Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 24 }$

Cycle notation
$(1,13)(2,14)(3,15)(4,16)(5,17)(6,18)(7,19)(8,20)(9,21)(10,22)(11,23)(12,24)$
$(1,22,13,10)(2,23,14,11)(3,7,15,19)(4,21,16,9)(5,18,17,6)(8,24,20,12)$
$(1,9)(3,18)(4,22)(5,19)(6,15)(7,17)(8,20)(10,16)(12,24)(13,21)$
$(1,15,9,6)(3,21,18,13)(4,5,22,19)(7,16,17,10)(8,24,20,12)$
$(1,2,17,13,14,5)(3,4,23,15,16,11)(6,9,24,18,21,12)(7,10,20,19,22,8)$
$(1,21,13,9)(2,8,14,20)(3,17,15,5)(4,10,16,22)(6,7,18,19)(11,24,23,12)$

Character values on conjugacy classes

Size	Order	Action on $r_1, \ldots, r_{ 24 }$	Character value
$1$	$1$	$()$	$2$
$1$	$2$	$(1,13)(2,14)(3,15)(4,16)(5,17)(6,18)(7,19)(8,20)(9,21)(10,22)(11,23)(12,24)$	$-2$
$6$	$2$	$(1,10)(2,12)(3,15)(4,9)(5,17)(8,11)(13,22)(14,24)(16,21)(20,23)$	$0$
$8$	$3$	$(1,17,14)(2,13,5)(3,23,16)(4,15,11)(6,24,21)(7,20,22)(8,10,19)(9,18,12)$	$-1$
$1$	$4$	$(1,16,13,4)(2,11,14,23)(3,5,15,17)(6,7,18,19)(8,24,20,12)(9,10,21,22)$	$2 \zeta_{4}$
$1$	$4$	$(1,4,13,16)(2,23,14,11)(3,17,15,5)(6,19,18,7)(8,12,20,24)(9,22,21,10)$	$-2 \zeta_{4}$
$6$	$4$	$(1,21,13,9)(2,8,14,20)(3,17,15,5)(4,10,16,22)(6,7,18,19)(11,24,23,12)$	$0$
$6$	$4$	$(1,2,10,12)(3,5,15,17)(4,23,9,20)(8,16,11,21)(13,14,22,24)$	$\zeta_{4} + 1$
$6$	$4$	$(1,12,10,2)(3,17,15,5)(4,20,9,23)(8,21,11,16)(13,24,22,14)$	$-\zeta_{4} + 1$
$6$	$4$	$(1,19,21,17)(2,23,14,11)(3,16,6,22)(4,18,10,15)(5,13,7,9)(8,20)(12,24)$	$-\zeta_{4} - 1$
$6$	$4$	$(1,17,21,19)(2,11,14,23)(3,22,6,16)(4,15,10,18)(5,9,7,13)(8,20)(12,24)$	$\zeta_{4} - 1$
$8$	$6$	$(1,2,17,13,14,5)(3,4,23,15,16,11)(6,9,24,18,21,12)(7,10,20,19,22,8)$	$1$
$12$	$8$	$(1,2,16,11,13,14,4,23)(3,19,5,6,15,7,17,18)(8,10,24,21,20,22,12,9)$	$0$
$12$	$8$	$(1,11,4,2,13,23,16,14)(3,6,17,19,15,18,5,7)(8,21,12,10,20,9,24,22)$	$0$
$8$	$12$	$(1,2,7,16,11,18,13,14,19,4,23,6)(3,22,20,5,9,12,15,10,8,17,21,24)$	$\zeta_{4}$
$8$	$12$	$(1,14,7,4,11,6,13,2,19,16,23,18)(3,10,20,17,9,24,15,22,8,5,21,12)$	$-\zeta_{4}$

The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.

Additional information

This representation has the smallest conductor of any $2$-dimensional representation with projective image isomorphic to $S_4$.

Overview	Random
Universe	Knowledge

Classical	Maass
Hilbert	Bianchi

Elliptic curves over $\Q$
Elliptic curves over $\Q(\alpha)$
Genus 2 curves over $\Q$
Higher genus families
Abelian varieties over $\F_{q}$

Introduction

L-functions

Modular forms

Varieties

Fields

Representations

Groups

Database

Properties

Related objects

Downloads

Learn more

Basic invariants

Defining polynomial

Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 24 }$

Character values on conjugacy classes

Additional information

This project is supported by grants from the US National Science Foundation, the UK Engineering and Physical Sciences Research Council, and the Simons Foundation.

Label	2.785.24t138.b.a
Dimension	$2$
Group	$\GU(2,3)$
Conductor	$785$
Root number	not computed
Indicator	$0$