Basic invariants
Dimension: | $2$ |
Group: | 25T3 |
Conductor: | \(77\)\(\medspace = 7 \cdot 11 \) |
Artin stem field: | Galois closure of 25.5.190035222333323626806494766049.1 |
Galois orbit size: | $4$ |
Smallest permutation container: | $D_5\times C_5$ |
Parity: | odd |
Determinant: | 1.77.10t1.a.d |
Projective image: | $D_5$ |
Projective stem field: | Galois closure of 5.1.717409.1 |
Defining polynomial
$f(x)$ | $=$ | \( x^{25} - 4 x^{24} + 4 x^{23} + 5 x^{22} - 20 x^{21} + 18 x^{20} + 19 x^{19} - 28 x^{18} - 2 x^{16} + 2 x^{15} - 28 x^{14} - 29 x^{13} + 120 x^{12} + 59 x^{11} - 112 x^{10} - 35 x^{9} + 16 x^{8} - 23 x^{7} + \cdots - 1 \) . |
The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 31 }$ to precision 9.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 31 }$: \( x^{10} + 30x^{5} + 26x^{4} + 13x^{3} + 13x^{2} + 13x + 3 \)
Roots:
$r_{ 1 }$ | $=$ |
\( 28 a^{9} + 7 a^{8} + 9 a^{7} + 27 a^{6} + 6 a^{5} + 7 a^{4} + 28 a^{3} + 8 a^{2} + 19 a + 10 + \left(23 a^{9} + 10 a^{8} + 2 a^{7} + 7 a^{6} + 6 a^{5} + 26 a^{4} + 15 a^{3} + 3 a^{2} + 23 a + 17\right)\cdot 31 + \left(a^{9} + 19 a^{8} + 24 a^{7} + 15 a^{6} + 5 a^{5} + 20 a^{4} + 2 a^{3} + 22 a^{2} + 22 a + 24\right)\cdot 31^{2} + \left(22 a^{9} + 5 a^{8} + 11 a^{7} + 5 a^{6} + 11 a^{5} + 19 a^{4} + 30 a^{3} + 2 a^{2} + 9 a + 22\right)\cdot 31^{3} + \left(30 a^{9} + 3 a^{8} + 16 a^{7} + 6 a^{6} + 27 a^{5} + 7 a^{4} + 16 a^{3} + 20 a^{2} + 12 a + 24\right)\cdot 31^{4} + \left(21 a^{9} + 14 a^{8} + 12 a^{7} + 10 a^{6} + 8 a^{5} + 23 a^{4} + 26 a^{3} + 29 a^{2} + 21 a + 27\right)\cdot 31^{5} + \left(10 a^{9} + 6 a^{8} + 17 a^{7} + 16 a^{6} + 7 a^{5} + 11 a^{4} + 22 a^{3} + 24 a^{2} + 8 a + 16\right)\cdot 31^{6} + \left(17 a^{9} + 22 a^{8} + 7 a^{7} + 11 a^{6} + 17 a^{5} + 5 a^{4} + 14 a^{3} + 11 a^{2} + 21 a + 21\right)\cdot 31^{7} + \left(12 a^{9} + 17 a^{8} + 17 a^{7} + 17 a^{6} + 10 a^{5} + 10 a^{4} + 7 a^{3} + 10 a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 31^{8} +O(31^{9})\)
$r_{ 2 }$ |
$=$ |
\( 4 a^{9} + 16 a^{8} + 10 a^{7} + 13 a^{6} + 9 a^{5} + 27 a^{4} + 29 a^{3} + 18 a^{2} + 8 a + 19 + \left(21 a^{9} + a^{8} + 3 a^{7} + 7 a^{6} + 17 a^{5} + 5 a^{3} + 27 a^{2} + 21 a + 27\right)\cdot 31 + \left(15 a^{9} + 3 a^{8} + 13 a^{7} + 15 a^{6} + 23 a^{5} + 24 a^{4} + 25 a^{3} + 20 a^{2} + 26 a + 26\right)\cdot 31^{2} + \left(15 a^{9} + 12 a^{8} + 16 a^{7} + 10 a^{6} + 3 a^{5} + 3 a^{4} + 20 a^{3} + 3 a^{2} + a + 19\right)\cdot 31^{3} + \left(26 a^{9} + 14 a^{8} + 29 a^{7} + 20 a^{6} + 9 a^{5} + 2 a^{4} + 10 a^{3} + 9 a^{2} + 3 a + 28\right)\cdot 31^{4} + \left(a^{9} + 8 a^{8} + 24 a^{7} + 5 a^{6} + 12 a^{5} + 22 a^{4} + 25 a^{3} + 24 a^{2} + 17 a + 10\right)\cdot 31^{5} + \left(13 a^{9} + 7 a^{8} + 7 a^{7} + 6 a^{6} + 4 a^{5} + 22 a^{4} + 29 a^{3} + 4 a^{2} + 20 a + 7\right)\cdot 31^{6} + \left(22 a^{9} + 15 a^{8} + 13 a^{7} + 27 a^{6} + 24 a^{5} + 24 a^{4} + 28 a^{3} + 21 a^{2} + 16 a + 16\right)\cdot 31^{7} + \left(2 a^{9} + 12 a^{8} + 19 a^{7} + 4 a^{6} + 20 a^{5} + 19 a^{4} + 14 a^{3} + 17 a^{2} + 2 a + 19\right)\cdot 31^{8} +O(31^{9})\)
| $r_{ 3 }$ |
$=$ |
\( 22 a^{9} + 14 a^{8} + 30 a^{7} + 19 a^{6} + a^{5} + 29 a^{4} + a^{3} + 25 a^{2} + 15 a + 26 + \left(9 a^{9} + 26 a^{8} + 2 a^{7} + 8 a^{6} + 17 a^{5} + 10 a^{4} + 21 a^{3} + 19 a^{2} + 14 a + 16\right)\cdot 31 + \left(17 a^{9} + 10 a^{8} + a^{7} + 21 a^{6} + 15 a^{5} + 28 a^{4} + 17 a^{3} + 11 a^{2} + 24 a + 7\right)\cdot 31^{2} + \left(25 a^{9} + 2 a^{8} + 4 a^{7} + 19 a^{6} + 6 a^{5} + 22 a^{4} + 28 a^{3} + 11 a^{2} + 7 a + 22\right)\cdot 31^{3} + \left(a^{9} + 15 a^{8} + 17 a^{7} + 16 a^{6} + 24 a^{5} + 14 a^{4} + 18 a^{3} + 3 a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 31^{4} + \left(22 a^{9} + 12 a^{8} + 30 a^{7} + 20 a^{6} + 23 a^{5} + 25 a^{4} + 27 a^{3} + 15 a^{2} + 22 a + 30\right)\cdot 31^{5} + \left(27 a^{9} + 2 a^{8} + 4 a^{7} + 4 a^{6} + 7 a^{4} + 18 a^{3} + 17 a^{2} + 7 a + 22\right)\cdot 31^{6} + \left(4 a^{9} + 20 a^{8} + 4 a^{7} + 23 a^{6} + 29 a^{5} + 19 a^{4} + 15 a^{3} + 29 a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 31^{7} + \left(30 a^{9} + 24 a^{8} + 8 a^{7} + 6 a^{6} + 14 a^{5} + 16 a^{4} + 19 a^{3} + 14 a^{2} + 22 a + 17\right)\cdot 31^{8} +O(31^{9})\)
| $r_{ 4 }$ |
$=$ |
\( 20 a^{9} + 12 a^{8} + 16 a^{7} + 12 a^{6} + 16 a^{5} + 16 a^{4} + 8 a^{3} + 5 a^{2} + 4 a + 26 + \left(28 a^{9} + 23 a^{8} + 9 a^{7} + 16 a^{6} + 11 a^{5} + 9 a^{4} + 5 a^{3} + 5 a\right)\cdot 31 + \left(26 a^{9} + 16 a^{8} + 25 a^{7} + 11 a^{6} + 30 a^{5} + 24 a^{4} + 20 a^{3} + 20 a^{2} + 26 a + 10\right)\cdot 31^{2} + \left(28 a^{9} + 4 a^{8} + 10 a^{7} + 25 a^{6} + 13 a^{5} + 5 a^{3} + 26 a^{2} + 29 a + 5\right)\cdot 31^{3} + \left(5 a^{8} + 12 a^{7} + 11 a^{6} + 13 a^{4} + 30 a^{3} + 29 a^{2} + 22 a + 9\right)\cdot 31^{4} + \left(19 a^{9} + 21 a^{8} + 21 a^{7} + 6 a^{6} + 4 a^{5} + 14 a^{4} + 30 a^{3} + 11 a^{2} + 13 a + 11\right)\cdot 31^{5} + \left(19 a^{9} + 21 a^{8} + 19 a^{7} + 15 a^{6} + 20 a^{5} + 22 a^{4} + 4 a^{3} + 21 a^{2} + 30 a + 1\right)\cdot 31^{6} + \left(16 a^{9} + 8 a^{8} + 11 a^{7} + 15 a^{6} + 25 a^{5} + 3 a^{4} + 25 a^{3} + 8 a^{2} + 5 a + 1\right)\cdot 31^{7} + \left(26 a^{9} + 15 a^{8} + 17 a^{7} + 6 a^{6} + 26 a^{5} + 7 a^{4} + a^{3} + 24 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 31^{8} +O(31^{9})\)
| $r_{ 5 }$ |
$=$ |
\( 7 a^{9} + 17 a^{8} + 9 a^{7} + 18 a^{6} + 18 a^{5} + 7 a^{4} + 6 a^{3} + a^{2} + 15 a + 23 + \left(10 a^{9} + 7 a^{8} + 18 a^{7} + 7 a^{6} + 28 a^{5} + 22 a^{4} + 27 a^{3} + 18 a^{2} + 2 a + 26\right)\cdot 31 + \left(24 a^{9} + a^{8} + 17 a^{7} + 7 a^{6} + 20 a^{5} + 25 a^{4} + 30 a^{3} + 15 a^{2} + 8 a + 13\right)\cdot 31^{2} + \left(9 a^{9} + 3 a^{8} + 6 a^{7} + 7 a^{6} + 8 a^{5} + 25 a^{4} + 29 a^{3} + 7 a^{2} + 5 a + 22\right)\cdot 31^{3} + \left(a^{9} + 22 a^{8} + 8 a^{7} + 22 a^{6} + 7 a^{5} + 8 a^{4} + 3 a^{3} + 16 a^{2} + 14 a + 29\right)\cdot 31^{4} + \left(17 a^{9} + 11 a^{8} + 11 a^{7} + 16 a^{6} + 30 a^{5} + 16 a^{4} + 17 a^{3} + 13 a^{2} + 20 a + 7\right)\cdot 31^{5} + \left(9 a^{9} + 27 a^{8} + 13 a^{7} + 24 a^{6} + 6 a^{5} + 17 a^{4} + 7 a^{3} + 6 a^{2} + 12 a + 10\right)\cdot 31^{6} + \left(26 a^{9} + 17 a^{8} + 10 a^{7} + 21 a^{6} + 9 a^{5} + 19 a^{4} + a^{3} + 18 a^{2} + 15 a + 7\right)\cdot 31^{7} + \left(30 a^{9} + 9 a^{8} + 11 a^{7} + 28 a^{6} + 13 a^{5} + 2 a^{4} + a^{3} + 22 a^{2} + 21 a + 14\right)\cdot 31^{8} +O(31^{9})\)
| $r_{ 6 }$ |
$=$ |
\( 22 a^{9} + 15 a^{8} + 16 a^{7} + 26 a^{6} + 27 a^{5} + 7 a^{4} + 23 a^{3} + 2 a^{2} + 21 a + 15 + \left(15 a^{9} + 16 a^{8} + 4 a^{6} + 24 a^{5} + 29 a^{4} + 24 a^{3} + 5 a + 3\right)\cdot 31 + \left(22 a^{9} + 26 a^{8} + 20 a^{7} + 13 a^{6} + 25 a^{5} + 11 a^{4} + 12 a^{3} + 27 a^{2} + 3 a + 15\right)\cdot 31^{2} + \left(5 a^{9} + 20 a^{8} + 27 a^{7} + 12 a^{6} + 28 a^{5} + 2 a^{4} + 3 a^{3} + a^{2} + 29 a + 27\right)\cdot 31^{3} + \left(8 a^{9} + 27 a^{8} + 12 a^{7} + 3 a^{6} + 27 a^{5} + 24 a^{4} + 14 a^{3} + 18 a^{2} + 25 a + 1\right)\cdot 31^{4} + \left(7 a^{9} + 17 a^{8} + 26 a^{7} + 10 a^{6} + 7 a^{5} + 20 a^{4} + 9 a^{3} + 20 a^{2} + 2 a\right)\cdot 31^{5} + \left(22 a^{9} + 19 a^{8} + 17 a^{7} + 17 a^{6} + 6 a^{5} + 15 a^{4} + 23 a^{3} + 11 a^{2} + 26 a + 15\right)\cdot 31^{6} + \left(15 a^{9} + 17 a^{8} + 4 a^{7} + 2 a^{6} + 18 a^{5} + 24 a^{4} + 11 a^{3} + 13 a^{2} + 28 a + 5\right)\cdot 31^{7} + \left(2 a^{9} + 5 a^{8} + 23 a^{7} + 25 a^{5} + 24 a^{4} + 25 a^{3} + 23 a^{2} + 27 a + 7\right)\cdot 31^{8} +O(31^{9})\)
| $r_{ 7 }$ |
$=$ |
\( 11 a^{9} + 11 a^{8} + 4 a^{7} + 6 a^{6} + 18 a^{5} + 30 a^{4} + 16 a^{3} + 11 a^{2} + 13 a + 13 + \left(26 a^{9} + 8 a^{8} + 4 a^{7} + 9 a^{6} + 11 a^{5} + 21 a^{4} + 20 a^{3} + 14 a^{2} + 8 a + 11\right)\cdot 31 + \left(27 a^{9} + 9 a^{8} + 5 a^{7} + a^{6} + 9 a^{5} + 28 a^{4} + 7 a^{3} + 21 a^{2} + 23 a + 15\right)\cdot 31^{2} + \left(9 a^{9} + 18 a^{8} + 25 a^{7} + 4 a^{6} + 25 a^{5} + 29 a^{4} + 20 a^{3} + 11 a^{2} + 28 a + 10\right)\cdot 31^{3} + \left(26 a^{9} + 21 a^{8} + 23 a^{7} + 7 a^{6} + 22 a^{5} + 22 a^{4} + 6 a^{3} + 13 a^{2} + 8 a + 30\right)\cdot 31^{4} + \left(26 a^{9} + 11 a^{8} + 18 a^{7} + 3 a^{6} + 19 a^{5} + 22 a^{4} + 2 a^{3} + 7 a^{2} + 23 a + 30\right)\cdot 31^{5} + \left(26 a^{9} + a^{8} + 14 a^{7} + 23 a^{6} + 26 a^{5} + 30 a^{4} + 25 a^{3} + 19 a^{2} + 19 a + 8\right)\cdot 31^{6} + \left(23 a^{9} + 16 a^{8} + 24 a^{7} + 20 a^{6} + 18 a^{5} + 3 a^{4} + 12 a^{3} + 11 a^{2} + 7 a + 30\right)\cdot 31^{7} + \left(22 a^{9} + 26 a^{8} + 8 a^{7} + 19 a^{6} + 14 a^{5} + 6 a^{4} + 30 a^{3} + 5 a^{2} + 14 a + 8\right)\cdot 31^{8} +O(31^{9})\)
| $r_{ 8 }$ |
$=$ |
\( 18 a^{9} + 15 a^{8} + 18 a^{7} + 26 a^{6} + 20 a^{5} + 16 a^{4} + 22 a^{3} + 25 a^{2} + a + 8 + \left(15 a^{9} + 9 a^{8} + 10 a^{7} + 19 a^{6} + 21 a^{5} + 30 a^{4} + 3 a^{3} + 15 a^{2} + 14 a + 24\right)\cdot 31 + \left(5 a^{9} + 10 a^{8} + 30 a^{7} + 21 a^{6} + 25 a^{5} + 3 a^{3} + 5 a^{2} + 15 a + 11\right)\cdot 31^{2} + \left(6 a^{9} + 9 a^{8} + 2 a^{7} + 4 a^{6} + 21 a^{5} + 10 a^{4} + 29 a^{2} + 29 a + 3\right)\cdot 31^{3} + \left(4 a^{9} + 14 a^{8} + 23 a^{7} + 23 a^{6} + 5 a^{5} + 12 a^{4} + 16 a^{3} + 3 a^{2} + 2 a + 3\right)\cdot 31^{4} + \left(26 a^{9} + 28 a^{8} + 9 a^{7} + 28 a^{6} + 28 a^{5} + 19 a^{4} + 29 a^{3} + 25 a^{2} + 22 a + 13\right)\cdot 31^{5} + \left(28 a^{9} + 27 a^{8} + 8 a^{7} + 16 a^{6} + 16 a^{5} + 20 a^{4} + 28 a^{3} + 21 a^{2} + 18 a + 24\right)\cdot 31^{6} + \left(7 a^{9} + 29 a^{8} + 4 a^{7} + 28 a^{6} + 28 a^{5} + 10 a^{4} + 12 a^{3} + 5 a^{2} + 6 a + 20\right)\cdot 31^{7} + \left(14 a^{9} + 2 a^{8} + 19 a^{7} + 19 a^{5} + 2 a^{4} + 2 a^{3} + 29 a + 27\right)\cdot 31^{8} +O(31^{9})\)
| $r_{ 9 }$ |
$=$ |
\( 19 a^{9} + a^{8} + 18 a^{7} + 22 a^{6} + 19 a^{5} + 25 a^{4} + 19 a^{3} + 26 a^{2} + 8 a + 4 + \left(18 a^{9} + 19 a^{8} + 15 a^{7} + 27 a^{6} + 4 a^{5} + 30 a^{4} + 25 a^{3} + a^{2} + 9 a + 1\right)\cdot 31 + \left(10 a^{9} + 9 a^{8} + 15 a^{7} + 15 a^{6} + 24 a^{5} + 12 a^{4} + 13 a^{3} + 17 a^{2} + 15 a + 26\right)\cdot 31^{2} + \left(3 a^{9} + 22 a^{8} + 30 a^{7} + 23 a^{6} + 18 a^{5} + 15 a^{4} + 15 a^{3} + 19 a^{2} + 26 a + 9\right)\cdot 31^{3} + \left(10 a^{9} + 14 a^{8} + 10 a^{7} + 6 a^{6} + a^{5} + 13 a^{4} + 8 a^{3} + 29 a^{2} + 22 a + 4\right)\cdot 31^{4} + \left(5 a^{9} + 28 a^{8} + 24 a^{7} + 6 a^{6} + 3 a^{5} + 4 a^{4} + a^{3} + 24 a^{2} + 13 a + 27\right)\cdot 31^{5} + \left(29 a^{9} + a^{8} + 20 a^{6} + 4 a^{5} + 2 a^{4} + 12 a^{3} + 7 a^{2} + 28 a + 9\right)\cdot 31^{6} + \left(8 a^{9} + 15 a^{8} + 27 a^{7} + 3 a^{6} + 20 a^{5} + 19 a^{4} + 25 a^{3} + 24 a^{2} + 24 a + 30\right)\cdot 31^{7} + \left(8 a^{9} + 20 a^{8} + 3 a^{7} + 25 a^{6} + 27 a^{5} + 3 a^{4} + 7 a^{3} + 19 a^{2} + 3 a + 21\right)\cdot 31^{8} +O(31^{9})\)
| $r_{ 10 }$ |
$=$ |
\( 23 a^{9} + 14 a^{8} + 5 a^{6} + 22 a^{5} + 24 a^{4} + 13 a^{3} + 8 a + 19 + \left(10 a^{9} + 2 a^{8} + a^{7} + 21 a^{6} + 26 a^{5} + 13 a^{4} + 2 a^{3} + 27 a^{2} + 14 a\right)\cdot 31 + \left(6 a^{9} + 2 a^{8} + 15 a^{7} + 28 a^{6} + 25 a^{5} + 2 a^{4} + 22 a^{3} + 7 a^{2} + 29 a + 1\right)\cdot 31^{2} + \left(29 a^{9} + 30 a^{8} + 30 a^{7} + 12 a^{6} + 23 a^{5} + 12 a^{4} + 27 a^{3} + 23 a^{2} + 27 a + 6\right)\cdot 31^{3} + \left(23 a^{8} + 23 a^{7} + 20 a^{6} + 28 a^{5} + 23 a^{4} + 14 a^{3} + 20 a^{2} + 23 a + 22\right)\cdot 31^{4} + \left(7 a^{9} + 13 a^{8} + 29 a^{7} + 5 a^{6} + 20 a^{5} + 22 a^{4} + 17 a^{3} + 26 a^{2} + 28 a + 10\right)\cdot 31^{5} + \left(16 a^{9} + a^{8} + 25 a^{7} + 21 a^{6} + 18 a^{5} + 28 a^{4} + 30 a^{3} + 19 a^{2} + 17 a\right)\cdot 31^{6} + \left(16 a^{9} + 16 a^{8} + 6 a^{7} + 11 a^{6} + 27 a^{5} + 5 a^{4} + 13 a^{3} + 25 a^{2} + 8 a\right)\cdot 31^{7} + \left(20 a^{9} + 24 a^{8} + 18 a^{7} + 10 a^{6} + 8 a^{5} + 17 a^{4} + 8 a^{3} + 11 a^{2} + 12 a\right)\cdot 31^{8} +O(31^{9})\)
| $r_{ 11 }$ |
$=$ |
\( 9 a^{9} + 12 a^{8} + 4 a^{7} + 20 a^{6} + 5 a^{5} + 26 a^{4} + 10 a^{3} + 27 a^{2} + 23 a + 30 + \left(16 a^{9} + 29 a^{8} + 21 a^{7} + 13 a^{6} + 4 a^{5} + 29 a^{4} + 25 a^{3} + 27 a^{2} + 30 a + 16\right)\cdot 31 + \left(17 a^{8} + 27 a^{7} + 21 a^{6} + a^{4} + 4 a^{3} + 20 a^{2} + 22 a + 3\right)\cdot 31^{2} + \left(15 a^{9} + 24 a^{8} + 25 a^{7} + 25 a^{6} + 25 a^{5} + 23 a^{4} + 9 a^{3} + 28 a^{2} + 6 a + 15\right)\cdot 31^{3} + \left(15 a^{9} + 30 a^{8} + 13 a^{7} + 14 a^{6} + 10 a^{5} + 25 a^{4} + 25 a^{3} + 20 a^{2} + 19 a + 26\right)\cdot 31^{4} + \left(23 a^{9} + a^{7} + 11 a^{6} + 16 a^{5} + 24 a^{4} + 16 a^{3} + 7 a^{2} + 12 a + 1\right)\cdot 31^{5} + \left(4 a^{9} + 7 a^{8} + 18 a^{7} + 26 a^{6} + 23 a^{5} + 8 a^{4} + 28 a^{3} + 8 a^{2} + 27 a\right)\cdot 31^{6} + \left(28 a^{9} + 10 a^{8} + 24 a^{7} + 20 a^{6} + 9 a^{5} + 12 a^{4} + 21 a^{3} + 24 a^{2} + 15 a + 28\right)\cdot 31^{7} + \left(4 a^{9} + 11 a^{8} + a^{7} + 23 a^{6} + 9 a^{5} + 24 a^{4} + 29 a^{2} + 3 a + 30\right)\cdot 31^{8} +O(31^{9})\)
| $r_{ 12 }$ |
$=$ |
\( 16 a^{9} + 21 a^{8} + 19 a^{7} + 5 a^{6} + 6 a^{5} + 20 a^{4} + 21 a^{3} + 8 a^{2} + 6 a + 11 + \left(28 a^{9} + 24 a^{8} + 9 a^{7} + 19 a^{6} + 18 a^{5} + 11 a^{4} + 26 a^{3} + 30 a^{2} + 14 a + 24\right)\cdot 31 + \left(27 a^{9} + 4 a^{8} + 22 a^{7} + 21 a^{6} + 17 a^{5} + 6 a^{4} + 15 a^{3} + 11 a^{2} + 12 a + 26\right)\cdot 31^{2} + \left(5 a^{9} + 30 a^{8} + 5 a^{7} + 24 a^{6} + 28 a^{5} + 16 a^{4} + 14 a^{3} + 23 a^{2} + 26 a + 20\right)\cdot 31^{3} + \left(a^{9} + 12 a^{8} + 8 a^{7} + 12 a^{6} + 29 a^{5} + 24 a^{4} + 30 a^{3} + 9 a^{2} + 17 a + 15\right)\cdot 31^{4} + \left(12 a^{9} + 10 a^{8} + 20 a^{7} + 8 a^{6} + 24 a^{5} + 23 a^{4} + 8 a^{3} + 12 a^{2} + 12 a + 23\right)\cdot 31^{5} + \left(12 a^{9} + 5 a^{8} + 16 a^{7} + 30 a^{6} + 8 a^{5} + 7 a^{4} + 29 a^{3} + 25 a^{2} + 17 a + 22\right)\cdot 31^{6} + \left(6 a^{9} + 12 a^{8} + 12 a^{7} + 4 a^{6} + 14 a^{5} + 22 a^{4} + 11 a^{3} + 27 a^{2} + 3 a + 22\right)\cdot 31^{7} + \left(20 a^{9} + 29 a^{8} + 30 a^{7} + 18 a^{6} + 16 a^{5} + 24 a^{4} + 19 a^{2} + 8 a + 20\right)\cdot 31^{8} +O(31^{9})\)
| $r_{ 13 }$ |
$=$ |
\( 3 a^{9} + 15 a^{8} + 8 a^{7} + 25 a^{6} + 14 a^{4} + 10 a^{3} + 21 a^{2} + 16 a + 30 + \left(10 a^{9} + 14 a^{8} + 12 a^{7} + 15 a^{6} + 24 a^{5} + 17 a^{4} + 14 a^{3} + 8 a^{2} + 23 a + 18\right)\cdot 31 + \left(15 a^{9} + 5 a^{8} + 23 a^{7} + 14 a^{6} + 24 a^{5} + 24 a^{4} + 28 a^{3} + 16 a^{2} + 8 a + 29\right)\cdot 31^{2} + \left(20 a^{9} + 19 a^{8} + 17 a^{7} + 14 a^{6} + 21 a^{5} + 17 a^{4} + 21 a^{3} + 23 a^{2} + 4 a + 21\right)\cdot 31^{3} + \left(15 a^{9} + 6 a^{8} + 6 a^{7} + a^{5} + 3 a^{4} + 17 a^{3} + 6 a^{2} + 20 a + 18\right)\cdot 31^{4} + \left(20 a^{9} + 21 a^{8} + 5 a^{6} + 3 a^{5} + 5 a^{4} + 10 a^{2} + 28 a + 8\right)\cdot 31^{5} + \left(12 a^{9} + 4 a^{8} + 13 a^{7} + 6 a^{6} + 4 a^{5} + 30 a^{4} + 28 a^{3} + 10 a^{2} + 4 a + 4\right)\cdot 31^{6} + \left(16 a^{9} + 22 a^{8} + 6 a^{7} + 10 a^{6} + 23 a^{5} + 10 a^{4} + 26 a^{3} + 6 a^{2} + 25 a + 30\right)\cdot 31^{7} + \left(3 a^{9} + 15 a^{8} + 10 a^{7} + 9 a^{6} + 15 a^{5} + 9 a^{4} + 21 a^{3} + 28 a^{2} + 2 a + 29\right)\cdot 31^{8} +O(31^{9})\)
| $r_{ 14 }$ |
$=$ |
\( 21 a^{9} + 21 a^{8} + 8 a^{6} + 21 a^{5} + 29 a^{4} + 30 a^{3} + 23 a^{2} + 8 a + 5 + \left(5 a^{9} + 11 a^{8} + 15 a^{7} + 20 a^{6} + 15 a^{5} + 27 a^{4} + 7 a^{3} + 29 a^{2} + 5 a + 27\right)\cdot 31 + \left(12 a^{9} + 21 a^{8} + 26 a^{7} + 3 a^{6} + 23 a^{5} + 13 a^{4} + 19 a^{3} + 30 a^{2} + 24 a + 26\right)\cdot 31^{2} + \left(20 a^{9} + 17 a^{8} + 18 a^{7} + 12 a^{6} + 7 a^{5} + 10 a^{4} + 5 a^{3} + 11 a^{2} + 4 a\right)\cdot 31^{3} + \left(4 a^{9} + 17 a^{8} + 14 a^{7} + 13 a^{6} + 26 a^{5} + 26 a^{4} + 2 a^{3} + 23 a^{2} + 25 a + 8\right)\cdot 31^{4} + \left(14 a^{9} + 19 a^{8} + a^{7} + 12 a^{6} + 15 a^{5} + 27 a^{4} + 28 a^{3} + 2 a^{2} + 27 a + 20\right)\cdot 31^{5} + \left(28 a^{9} + 28 a^{8} + 5 a^{7} + 11 a^{6} + 22 a^{5} + 23 a^{4} + 26 a^{3} + 8 a^{2} + 27 a + 24\right)\cdot 31^{6} + \left(12 a^{9} + 29 a^{8} + 8 a^{7} + 22 a^{6} + 29 a^{5} + 23 a^{4} + 4 a^{3} + 10 a^{2} + 28 a + 16\right)\cdot 31^{7} + \left(14 a^{9} + 5 a^{8} + 20 a^{7} + 24 a^{6} + 8 a^{5} + 25 a^{4} + 3 a^{3} + 3 a^{2} + 25 a + 17\right)\cdot 31^{8} +O(31^{9})\)
| $r_{ 15 }$ |
$=$ |
\( 21 a^{9} + a^{8} + 27 a^{7} + 24 a^{6} + a^{5} + 13 a^{4} + 18 a^{3} + 20 a^{2} + 15 a + 10 + \left(20 a^{9} + 4 a^{8} + 25 a^{7} + 17 a^{6} + 8 a^{5} + 3 a^{4} + 9 a^{3} + 10 a^{2} + 3 a + 17\right)\cdot 31 + \left(26 a^{9} + 23 a^{8} + 6 a^{7} + 19 a^{6} + 3 a^{5} + a^{4} + 9 a^{3} + 26 a^{2} + 23 a + 13\right)\cdot 31^{2} + \left(a^{9} + 21 a^{8} + 20 a^{7} + 12 a^{6} + 26 a^{5} + 3 a^{4} + 25 a^{3} + 25 a^{2} + 19 a + 25\right)\cdot 31^{3} + \left(6 a^{9} + 22 a^{8} + 11 a^{7} + 12 a^{6} + 30 a^{5} + 3 a^{4} + 5 a^{3} + 4 a^{2} + 24 a + 17\right)\cdot 31^{4} + \left(17 a^{9} + 23 a^{8} + 29 a^{7} + 17 a^{6} + 25 a^{5} + 18 a^{4} + 22 a^{3} + 28 a^{2} + 4 a + 17\right)\cdot 31^{5} + \left(9 a^{9} + 2 a^{8} + 23 a^{7} + 28 a^{6} + 11 a^{5} + 9 a^{4} + 20 a^{3} + 13 a^{2} + 29 a + 1\right)\cdot 31^{6} + \left(26 a^{9} + 19 a^{8} + 24 a^{7} + 4 a^{6} + 6 a^{5} + 22 a^{4} + 11 a^{3} + 9 a^{2} + 10 a + 25\right)\cdot 31^{7} + \left(14 a^{9} + 16 a^{8} + 22 a^{7} + 26 a^{6} + 10 a^{5} + 19 a^{4} + 10 a^{3} + 13 a^{2} + 28 a\right)\cdot 31^{8} +O(31^{9})\)
| $r_{ 16 }$ |
$=$ |
\( 14 a^{9} + 4 a^{8} + a^{7} + 3 a^{6} + 5 a^{5} + 25 a^{4} + 26 a^{3} + 12 a^{2} + 27 a + 10 + \left(17 a^{9} + 12 a^{8} + 12 a^{7} + 6 a^{6} + 16 a^{5} + 16 a^{4} + 22 a^{3} + 8 a^{2} + 4 a + 23\right)\cdot 31 + \left(20 a^{9} + 8 a^{8} + 24 a^{7} + 3 a^{6} + 16 a^{5} + 16 a^{4} + 2 a^{3} + 30 a^{2} + 18 a + 6\right)\cdot 31^{2} + \left(18 a^{9} + 29 a^{8} + 8 a^{7} + 10 a^{6} + 8 a^{4} + 12 a^{3} + 8 a^{2} + a + 21\right)\cdot 31^{3} + \left(16 a^{9} + 23 a^{8} + a^{7} + 4 a^{6} + 28 a^{5} + 8 a^{4} + 6 a^{3} + 7 a^{2} + 26 a + 27\right)\cdot 31^{4} + \left(30 a^{9} + 25 a^{8} + 25 a^{7} + 24 a^{6} + 4 a^{5} + 15 a^{4} + 23 a^{3} + 14 a^{2} + 18 a + 27\right)\cdot 31^{5} + \left(3 a^{8} + a^{7} + 15 a^{6} + 15 a^{5} + 28 a^{4} + 22 a^{3} + 8 a^{2} + 20 a + 13\right)\cdot 31^{6} + \left(29 a^{9} + 28 a^{8} + 25 a^{7} + 26 a^{6} + 14 a^{5} + 21 a^{4} + 24 a^{3} + 14 a^{2} + 29 a + 10\right)\cdot 31^{7} + \left(25 a^{9} + 20 a^{8} + a^{7} + 21 a^{6} + 2 a^{5} + 29 a^{4} + 9 a^{3} + 11 a^{2} + 2 a + 30\right)\cdot 31^{8} +O(31^{9})\)
| $r_{ 17 }$ |
$=$ |
\( 13 a^{9} + 15 a^{8} + 19 a^{7} + 13 a^{6} + 20 a^{5} + 13 a^{4} + 15 a^{3} + 6 a + 26 + \left(3 a^{9} + 6 a^{8} + 26 a^{7} + 27 a^{6} + 13 a^{5} + 27 a^{4} + 13 a^{3} + 14 a^{2} + 18 a + 15\right)\cdot 31 + \left(5 a^{9} + 26 a^{8} + 15 a^{7} + 10 a^{6} + 25 a^{5} + 13 a^{4} + 13 a^{3} + 24 a^{2} + a + 8\right)\cdot 31^{2} + \left(12 a^{9} + 11 a^{8} + 29 a^{7} + 6 a^{6} + 9 a^{5} + 17 a^{4} + 18 a^{3} + 2 a^{2} + a + 21\right)\cdot 31^{3} + \left(2 a^{9} + 29 a^{8} + 15 a^{7} + 11 a^{6} + 25 a^{5} + 26 a^{4} + 2 a^{3} + 8 a^{2} + 17 a + 12\right)\cdot 31^{4} + \left(12 a^{9} + 15 a^{8} + 22 a^{7} + 19 a^{6} + 25 a^{5} + 4 a^{4} + a^{3} + 11 a^{2} + 27 a + 1\right)\cdot 31^{5} + \left(14 a^{9} + 26 a^{8} + 28 a^{7} + 28 a^{6} + 8 a^{5} + 21 a^{4} + 9 a^{3} + 29 a^{2} + 24 a + 24\right)\cdot 31^{6} + \left(2 a^{9} + 29 a^{8} + 4 a^{7} + 7 a^{6} + 3 a^{4} + 22 a^{3} + 13 a^{2} + 11 a + 15\right)\cdot 31^{7} + \left(28 a^{9} + 3 a^{8} + 12 a^{7} + 10 a^{6} + 9 a^{5} + 4 a^{4} + 26 a^{3} + 11 a^{2} + 25 a\right)\cdot 31^{8} +O(31^{9})\)
| $r_{ 18 }$ |
$=$ |
\( 2 a^{9} + 26 a^{8} + 17 a^{7} + 2 a^{6} + 16 a^{5} + 17 a^{4} + 27 a^{3} + 19 a^{2} + 19 a + 13 + \left(16 a^{9} + 25 a^{8} + 16 a^{7} + 2 a^{6} + 21 a^{5} + 7 a^{4} + 9 a^{3} + 21 a^{2} + 11 a + 8\right)\cdot 31 + \left(6 a^{9} + 15 a^{8} + 17 a^{7} + 19 a^{6} + 25 a^{5} + 29 a^{4} + 22 a^{3} + 20 a^{2} + 6 a + 17\right)\cdot 31^{2} + \left(8 a^{9} + 30 a^{8} + 20 a^{6} + 11 a^{5} + 27 a^{4} + 13 a^{3} + 10 a^{2} + 25 a + 9\right)\cdot 31^{3} + \left(20 a^{9} + 3 a^{8} + 20 a^{7} + 13 a^{6} + 4 a^{5} + 13 a^{4} + a^{3} + 3 a^{2} + 21 a + 7\right)\cdot 31^{4} + \left(26 a^{9} + 17 a^{7} + 14 a^{6} + 17 a^{4} + 29 a^{3} + 3 a^{2} + 17 a + 28\right)\cdot 31^{5} + \left(14 a^{9} + 11 a^{8} + 2 a^{7} + 29 a^{6} + 20 a^{5} + 9 a^{4} + 3 a^{3} + 8 a^{2} + 24 a + 27\right)\cdot 31^{6} + \left(8 a^{9} + a^{6} + 20 a^{5} + 16 a^{4} + 25 a^{3} + 3 a^{2} + 6 a + 21\right)\cdot 31^{7} + \left(14 a^{9} + 3 a^{8} + 18 a^{7} + 22 a^{6} + 28 a^{5} + 18 a^{4} + 22 a^{3} + 6 a^{2} + 11 a + 1\right)\cdot 31^{8} +O(31^{9})\)
| $r_{ 19 }$ |
$=$ |
\( 6 a^{8} + 26 a^{6} + 3 a^{5} + 10 a^{4} + 27 a^{3} + 24 a^{2} + 10 a + 29 + \left(13 a^{9} + 17 a^{8} + 13 a^{7} + 5 a^{6} + 23 a^{5} + 24 a^{4} + 17 a^{2} + 18 a + 1\right)\cdot 31 + \left(16 a^{9} + 16 a^{8} + 8 a^{7} + 16 a^{6} + 19 a^{5} + 9 a^{4} + 21 a^{3} + 25 a^{2} + 10 a + 29\right)\cdot 31^{2} + \left(20 a^{9} + 3 a^{8} + 16 a^{7} + 23 a^{6} + 29 a^{5} + 29 a^{4} + 11 a^{3} + 22 a^{2} + a + 28\right)\cdot 31^{3} + \left(13 a^{9} + 7 a^{8} + 27 a^{7} + 22 a^{6} + 15 a^{5} + 11 a^{4} + 17 a^{3} + 12 a^{2} + 20 a + 6\right)\cdot 31^{4} + \left(5 a^{9} + 23 a^{8} + 22 a^{7} + 21 a^{6} + 29 a^{5} + 4 a^{4} + 20 a^{3} + a^{2} + 16 a + 10\right)\cdot 31^{5} + \left(26 a^{9} + 9 a^{8} + 8 a^{7} + 20 a^{6} + 8 a^{5} + 9 a^{4} + 14 a^{3} + 12 a^{2} + 23 a + 17\right)\cdot 31^{6} + \left(16 a^{9} + 23 a^{8} + 13 a^{7} + 25 a^{5} + 13 a^{4} + 5 a^{3} + 27 a^{2} + 2 a + 17\right)\cdot 31^{7} + \left(a^{9} + 12 a^{8} + 4 a^{7} + 21 a^{6} + 7 a^{5} + 18 a^{4} + 18 a^{3} + 23 a^{2} + 7 a\right)\cdot 31^{8} +O(31^{9})\)
| $r_{ 20 }$ |
$=$ |
\( 9 a^{9} + 15 a^{8} + 6 a^{7} + 17 a^{6} + 26 a^{5} + 22 a^{4} + 27 a^{3} + 28 a^{2} + a + \left(22 a^{9} + 20 a^{8} + 14 a^{7} + 21 a^{6} + 15 a^{4} + 21 a^{3} + 2 a^{2} + 21\right)\cdot 31 + \left(28 a^{9} + 6 a^{8} + 18 a^{7} + a^{6} + 18 a^{5} + 3 a^{4} + 23 a^{3} + 17 a^{2} + 11 a + 7\right)\cdot 31^{2} + \left(13 a^{9} + 18 a^{8} + 30 a^{7} + 18 a^{6} + 22 a^{5} + 7 a^{4} + 10 a^{3} + 3 a^{2} + 2 a + 14\right)\cdot 31^{3} + \left(12 a^{9} + 20 a^{8} + 3 a^{7} + 3 a^{6} + 4 a^{5} + 23 a^{4} + 30 a^{3} + 21 a^{2} + 27 a + 29\right)\cdot 31^{4} + \left(4 a^{9} + 18 a^{8} + 2 a^{7} + 20 a^{6} + 23 a^{5} + 24 a^{4} + 6 a^{3} + 10 a^{2} + 2 a\right)\cdot 31^{5} + \left(24 a^{9} + 18 a^{8} + 26 a^{7} + 10 a^{6} + 15 a^{5} + 22 a^{4} + 5 a^{3} + 27 a^{2} + 19 a + 30\right)\cdot 31^{6} + \left(18 a^{9} + 10 a^{8} + 21 a^{7} + 13 a^{6} + 10 a^{5} + 18 a^{4} + 4 a^{3} + 2 a^{2} + 15 a + 5\right)\cdot 31^{7} + \left(11 a^{9} + 20 a^{8} + 18 a^{7} + 28 a^{6} + 15 a^{5} + 8 a^{4} + 4 a^{3} + 22 a^{2} + 17 a + 27\right)\cdot 31^{8} +O(31^{9})\)
| $r_{ 21 }$ |
$=$ |
\( 5 a^{9} + 18 a^{8} + 15 a^{7} + 5 a^{6} + 11 a^{5} + 20 a^{4} + 28 a^{3} + 10 a^{2} + 13 a + 11 + \left(11 a^{9} + 17 a^{8} + a^{7} + 6 a^{6} + 13 a^{5} + 4 a^{4} + 11 a^{3} + 12 a^{2} + a + 11\right)\cdot 31 + \left(25 a^{9} + 26 a^{8} + 22 a^{7} + 7 a^{6} + 17 a^{5} + 26 a^{4} + 2 a^{3} + 17 a^{2} + 17 a + 16\right)\cdot 31^{2} + \left(20 a^{9} + 16 a^{8} + 23 a^{7} + 10 a^{6} + 15 a^{5} + 19 a^{4} + 17 a^{3} + 7 a^{2} + 30 a + 18\right)\cdot 31^{3} + \left(25 a^{9} + 14 a^{8} + 28 a^{7} + 18 a^{6} + 20 a^{5} + 24 a^{4} + 21 a^{3} + 26 a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 31^{4} + \left(a^{9} + 11 a^{8} + 8 a^{7} + 2 a^{6} + 24 a^{5} + 28 a^{4} + 23 a^{3} + 28 a^{2} + 26 a + 26\right)\cdot 31^{5} + \left(22 a^{9} + 17 a^{7} + 14 a^{6} + 21 a^{5} + 19 a^{4} + 15 a^{3} + 23 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 31^{6} + \left(22 a^{9} + 27 a^{8} + 28 a^{7} + 12 a^{6} + 17 a^{5} + 18 a^{4} + 12 a^{3} + 26 a^{2} + 26 a + 8\right)\cdot 31^{7} + \left(17 a^{9} + 20 a^{8} + 27 a^{7} + 16 a^{6} + a^{5} + 16 a^{4} + 19 a^{3} + 29 a^{2} + 23 a + 6\right)\cdot 31^{8} +O(31^{9})\)
| $r_{ 22 }$ |
$=$ |
\( 11 a^{9} + 9 a^{8} + 3 a^{7} + 18 a^{6} + 7 a^{5} + 14 a^{4} + 2 a^{3} + 7 a + 15 + \left(24 a^{9} + 12 a^{8} + 19 a^{7} + 5 a^{6} + 14 a^{5} + 18 a^{4} + 10 a^{3} + 25 a^{2} + 24 a + 11\right)\cdot 31 + \left(13 a^{9} + 14 a^{8} + 25 a^{7} + 22 a^{6} + 25 a^{5} + 19 a^{4} + 6 a^{3} + 22 a^{2} + 29 a + 29\right)\cdot 31^{2} + \left(22 a^{9} + 13 a^{8} + 2 a^{7} + 7 a^{6} + 12 a^{5} + 30 a^{4} + 22 a^{3} + 24 a^{2} + 9 a + 13\right)\cdot 31^{3} + \left(13 a^{9} + 22 a^{8} + 4 a^{7} + 26 a^{6} + 24 a^{5} + 5 a^{3} + 12 a^{2} + 21 a + 23\right)\cdot 31^{4} + \left(7 a^{9} + 7 a^{8} + 19 a^{7} + 7 a^{6} + 14 a^{5} + 13 a^{4} + 17 a^{3} + 13 a^{2} + 7 a + 23\right)\cdot 31^{5} + \left(13 a^{9} + 29 a^{8} + 18 a^{5} + 20 a^{4} + 15 a^{3} + 21 a^{2} + 4 a + 4\right)\cdot 31^{6} + \left(30 a^{9} + 19 a^{8} + 14 a^{7} + 9 a^{6} + 25 a^{5} + 5 a^{4} + 12 a^{3} + 24 a^{2} + 26 a + 13\right)\cdot 31^{7} + \left(a^{9} + 29 a^{8} + 11 a^{7} + 28 a^{6} + 13 a^{5} + 5 a^{4} + 14 a^{3} + 24 a^{2} + 16 a + 2\right)\cdot 31^{8} +O(31^{9})\)
| $r_{ 23 }$ |
$=$ |
\( 19 a^{9} + 14 a^{8} + 24 a^{7} + 22 a^{6} + 22 a^{5} + 11 a^{4} + 8 a^{3} + 21 a^{2} + 28 a + 16 + \left(26 a^{9} + 27 a^{8} + 6 a^{7} + 5 a^{6} + 3 a^{5} + 12 a^{4} + 25 a^{3} + 11 a^{2} + 4 a + 14\right)\cdot 31 + \left(22 a^{9} + 4 a^{8} + 14 a^{7} + 24 a^{6} + 19 a^{5} + 13 a^{4} + 5 a^{3} + 4 a^{2} + 28 a + 5\right)\cdot 31^{2} + \left(23 a^{9} + 29 a^{8} + a^{7} + 21 a^{6} + 27 a^{5} + 9 a^{4} + 9 a^{3} + 28 a^{2} + 17 a + 1\right)\cdot 31^{3} + \left(29 a^{9} + 21 a^{8} + 24 a^{7} + 4 a^{6} + 20 a^{5} + 6 a^{4} + 13 a^{3} + 18 a^{2} + 29 a + 11\right)\cdot 31^{4} + \left(19 a^{9} + 3 a^{8} + 11 a^{7} + 25 a^{6} + 16 a^{5} + 25 a^{4} + 2 a^{3} + 14 a^{2} + 19 a + 6\right)\cdot 31^{5} + \left(10 a^{9} + 26 a^{8} + 8 a^{7} + 13 a^{6} + 19 a^{5} + 20 a^{4} + 15 a^{3} + 19 a^{2} + 17 a + 1\right)\cdot 31^{6} + \left(4 a^{9} + 23 a^{8} + 6 a^{7} + 8 a^{6} + 19 a^{5} + 2 a^{4} + 7 a^{3} + 14 a^{2} + 26 a + 23\right)\cdot 31^{7} + \left(22 a^{9} + 16 a^{8} + 7 a^{7} + 21 a^{5} + 10 a^{4} + 10 a^{3} + 14 a^{2} + 9 a + 24\right)\cdot 31^{8} +O(31^{9})\)
| $r_{ 24 }$ |
$=$ |
\( 11 a^{9} + 4 a^{8} + a^{7} + 21 a^{6} + 21 a^{5} + 6 a^{4} + 8 a^{3} + 21 a^{2} + 11 a + 9 + \left(7 a^{9} + 8 a^{8} + 27 a^{7} + 8 a^{6} + 7 a^{5} + 28 a^{4} + 26 a^{3} + 16 a^{2} + 22 a + 12\right)\cdot 31 + \left(20 a^{9} + 4 a^{8} + 30 a^{7} + 2 a^{6} + 10 a^{5} + 6 a^{4} + 28 a^{3} + 15 a^{2} + 21 a + 28\right)\cdot 31^{2} + \left(29 a^{9} + 22 a^{8} + 4 a^{7} + 29 a^{6} + 7 a^{5} + 25 a^{4} + 7 a^{3} + 12 a^{2} + 7 a + 1\right)\cdot 31^{3} + \left(3 a^{9} + 4 a^{8} + 17 a^{7} + 18 a^{6} + 10 a^{5} + 24 a^{4} + 17 a^{3} + 21 a^{2} + 2 a + 21\right)\cdot 31^{4} + \left(9 a^{9} + 18 a^{8} + 23 a^{7} + 23 a^{6} + 20 a^{5} + 25 a^{4} + 14 a^{3} + 21 a^{2} + 28\right)\cdot 31^{5} + \left(12 a^{9} + 15 a^{8} + 14 a^{7} + 13 a^{6} + 11 a^{5} + 13 a^{4} + 20 a^{3} + 28 a^{2} + 20 a + 10\right)\cdot 31^{6} + \left(22 a^{9} + 24 a^{8} + 29 a^{7} + 16 a^{6} + 2 a^{5} + 24 a^{4} + 8 a^{3} + 20 a^{2} + 7 a + 21\right)\cdot 31^{7} + \left(14 a^{9} + 24 a^{8} + 22 a^{7} + 9 a^{6} + 2 a^{5} + 25 a^{4} + 23 a^{3} + 12 a^{2} + 24 a + 23\right)\cdot 31^{8} +O(31^{9})\)
| $r_{ 25 }$ |
$=$ |
\( 13 a^{9} + 7 a^{8} + 5 a^{7} + 20 a^{6} + 21 a^{5} + 6 a^{4} + 12 a^{3} + 17 a^{2} + 8 a + 29 + \left(30 a^{9} + 15 a^{8} + 21 a^{7} + 3 a^{6} + 17 a^{5} + 23 a^{4} + 24 a^{3} + 6 a^{2} + 8 a + 16\right)\cdot 31 + \left(a^{9} + 4 a^{8} + 13 a^{7} + 2 a^{6} + 11 a^{5} + 4 a^{4} + 11 a^{3} + 11 a^{2} + 3 a + 1\right)\cdot 31^{2} + \left(13 a^{9} + 17 a^{8} + 29 a^{7} + 9 a^{6} + 24 a^{5} + 14 a^{4} + 21 a^{3} + 30 a^{2} + 16 a + 7\right)\cdot 31^{3} + \left(17 a^{9} + a^{8} + 26 a^{7} + 25 a^{6} + 24 a^{5} + 5 a^{4} + 2 a^{3} + 9 a^{2} + 13 a + 17\right)\cdot 31^{4} + \left(12 a^{9} + 3 a^{8} + 17 a^{7} + 13 a^{6} + 28 a^{5} + 14 a^{4} + 23 a^{2} + 24 a + 7\right)\cdot 31^{5} + \left(23 a^{9} + 3 a^{8} + 24 a^{7} + 18 a^{6} + 17 a^{5} + 7 a^{4} + 5 a^{3} + 2 a^{2} + 3 a + 1\right)\cdot 31^{6} + \left(27 a^{9} + 5 a^{8} + 6 a^{7} + 14 a^{6} + 26 a^{5} + 18 a^{4} + 9 a^{3} + 6 a^{2} + 23 a\right)\cdot 31^{7} + \left(4 a^{9} + 11 a^{8} + 15 a^{7} + 22 a^{6} + 25 a^{5} + 20 a^{4} + 5 a^{3} + a^{2} + 13 a + 21\right)\cdot 31^{8} +O(31^{9})\)
| |
Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 25 }$
Cycle notation |
Character values on conjugacy classes
Size | Order | Action on $r_1, \ldots, r_{ 25 }$ | Character value |
$1$ | $1$ | $()$ | $2$ |
$5$ | $2$ | $(1,21)(2,24)(3,20)(5,12)(6,13)(7,22)(9,18)(10,11)(14,15)(16,17)$ | $0$ |
$1$ | $5$ | $(1,7,12,20,10)(2,14,17,6,18)(3,11,21,22,5)(4,8,25,23,19)(9,24,15,16,13)$ | $-2 \zeta_{5}^{3} - 2 \zeta_{5}^{2} - 2 \zeta_{5} - 2$ |
$1$ | $5$ | $(1,12,10,7,20)(2,17,18,14,6)(3,21,5,11,22)(4,25,19,8,23)(9,15,13,24,16)$ | $2 \zeta_{5}^{3}$ |
$1$ | $5$ | $(1,20,7,10,12)(2,6,14,18,17)(3,22,11,5,21)(4,23,8,19,25)(9,16,24,13,15)$ | $2 \zeta_{5}^{2}$ |
$1$ | $5$ | $(1,10,20,12,7)(2,18,6,17,14)(3,5,22,21,11)(4,19,23,25,8)(9,13,16,15,24)$ | $2 \zeta_{5}$ |
$2$ | $5$ | $(1,21,17,19,16)(2,25,24,20,3)(4,13,7,22,6)(5,18,8,9,12)(10,11,14,23,15)$ | $\zeta_{5}^{3} + \zeta_{5}^{2}$ |
$2$ | $5$ | $(1,17,16,21,19)(2,24,3,25,20)(4,7,6,13,22)(5,8,12,18,9)(10,14,15,11,23)$ | $-\zeta_{5}^{3} - \zeta_{5}^{2} - 1$ |
$2$ | $5$ | $(1,22,18,25,15)(2,23,16,7,5)(3,14,19,13,12)(4,9,20,11,17)(6,8,24,10,21)$ | $\zeta_{5}^{2} + \zeta_{5}$ |
$2$ | $5$ | $(1,18,15,22,25)(2,16,5,23,7)(3,19,12,14,13)(4,20,17,9,11)(6,24,21,8,10)$ | $-\zeta_{5}^{3} - \zeta_{5} - 1$ |
$2$ | $5$ | $(1,25,22,15,18)(2,7,23,5,16)(3,13,14,12,19)(4,11,9,17,20)(6,10,8,21,24)$ | $\zeta_{5}^{3} + \zeta_{5}$ |
$2$ | $5$ | $(1,15,25,18,22)(2,5,7,16,23)(3,12,13,19,14)(4,17,11,20,9)(6,21,10,24,8)$ | $-\zeta_{5}^{2} - \zeta_{5} - 1$ |
$2$ | $5$ | $(1,5,14,4,24)(2,19,9,10,22)(3,17,8,15,7)(6,25,16,12,11)(13,20,21,18,23)$ | $\zeta_{5} + 1$ |
$2$ | $5$ | $(1,14,24,5,4)(2,9,22,19,10)(3,8,7,17,15)(6,16,11,25,12)(13,21,23,20,18)$ | $\zeta_{5}^{2} + 1$ |
$2$ | $5$ | $(1,4,5,24,14)(2,10,19,22,9)(3,15,17,7,8)(6,12,25,11,16)(13,18,20,23,21)$ | $\zeta_{5}^{3} + 1$ |
$2$ | $5$ | $(1,24,4,14,5)(2,22,10,9,19)(3,7,15,8,17)(6,11,12,16,25)(13,23,18,21,20)$ | $-\zeta_{5}^{3} - \zeta_{5}^{2} - \zeta_{5}$ |
$5$ | $10$ | $(1,22,12,3,10,21,7,5,20,11)(2,15,17,13,18,24,14,16,6,9)(4,8,25,23,19)$ | $0$ |
$5$ | $10$ | $(1,3,7,11,12,21,20,22,10,5)(2,13,14,9,17,24,6,15,18,16)(4,23,8,19,25)$ | $0$ |
$5$ | $10$ | $(1,5,10,22,20,21,12,11,7,3)(2,16,18,15,6,24,17,9,14,13)(4,25,19,8,23)$ | $0$ |
$5$ | $10$ | $(1,11,20,5,7,21,10,3,12,22)(2,9,6,16,14,24,18,13,17,15)(4,19,23,25,8)$ | $0$ |
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.