LMFDB - Galois orbit of Artin representations 2.729.18t16.a

Basic invariants

Dimension:	$2$
Group:	$C_9\times S_3$
Conductor:	$729$$\medspace = 3^{6} $
Artin number field:	Galois closure of 18.0.2954312706550833698643.2
Galois orbit size:	$6$
Smallest permutation container:	$C_9\times S_3$
Parity:	odd
Projective image:	$S_3$
Projective field:	Galois closure of 3.1.243.1

Galois action

Roots of defining polynomial

The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 31 }$ to precision 10.

Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 31 }$: $ x^{9} + 4x^{3} + 20x^{2} + 29x + 28 $

Roots:

$r_{ 1 }$	$=$	\( 30 a^{8} + 3 a^{7} + 24 a^{6} + 19 a^{5} + 9 a^{4} + 8 a^{3} + 14 a^{2} + 2 a + 16 + \left(6 a^{7} + 15 a^{6} + 11 a^{5} + 25 a^{4} + 5 a^{3} + 22 a + 27\right)\cdot 31 + \left(30 a^{8} + 9 a^{7} + 22 a^{6} + 29 a^{5} + 19 a^{4} + 23 a^{3} + 20 a^{2} + 19 a + 5\right)\cdot 31^{2} + \left(30 a^{8} + 23 a^{7} + 18 a^{5} + 28 a^{3} + 15 a^{2} + 21 a + 12\right)\cdot 31^{3} + \left(4 a^{8} + 12 a^{7} + 29 a^{6} + 12 a^{5} + 29 a^{4} + 3 a^{3} + 10 a^{2} + 28 a + 15\right)\cdot 31^{4} + \left(22 a^{8} + 13 a^{7} + 13 a^{6} + 3 a^{5} + 19 a^{3} + 24 a^{2} + 14\right)\cdot 31^{5} + \left(16 a^{8} + 13 a^{7} + 4 a^{6} + 3 a^{5} + a^{4} + 13 a^{3} + 25 a^{2} + 4 a + 14\right)\cdot 31^{6} + \left(5 a^{8} + 25 a^{7} + 12 a^{6} + 29 a^{5} + 24 a^{4} + 27 a^{3} + 17 a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 31^{7} + \left(9 a^{8} + 15 a^{7} + 20 a^{6} + 18 a^{5} + 22 a^{4} + 3 a^{3} + 30 a^{2} + 2 a + 10\right)\cdot 31^{8} + \left(4 a^{8} + 15 a^{7} + 2 a^{6} + 5 a^{5} + 12 a^{4} + 24 a^{3} + 6 a^{2} + 25 a + 4\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\) 30a^8 + 3a^7 + 24a^6 + 19a^5 + 9a^4 + 8a^3 + 14a^2 + 2a + 16 + (6a^7 + 15a^6 + 11a^5 + 25a^4 + 5a^3 + 22a + 27)31 + (30a^8 + 9a^7 + 22a^6 + 29a^5 + 19a^4 + 23a^3 + 20a^2 + 19a + 5)31^2 + (30a^8 + 23a^7 + 18a^5 + 28a^3 + 15a^2 + 21a + 12)31^3 + (4a^8 + 12a^7 + 29a^6 + 12a^5 + 29a^4 + 3a^3 + 10a^2 + 28a + 15)31^4 + (22a^8 + 13a^7 + 13a^6 + 3a^5 + 19a^3 + 24a^2 + 14)31^5 + (16a^8 + 13a^7 + 4a^6 + 3a^5 + a^4 + 13a^3 + 25a^2 + 4a + 14)31^6 + (5a^8 + 25a^7 + 12a^6 + 29a^5 + 24a^4 + 27a^3 + 17a^2 + 4a + 2)31^7 + (9a^8 + 15a^7 + 20a^6 + 18a^5 + 22a^4 + 3a^3 + 30a^2 + 2a + 10)31^8 + (4a^8 + 15a^7 + 2a^6 + 5a^5 + 12a^4 + 24a^3 + 6a^2 + 25a + 4)31^9+O(31^10)
$r_{ 2 }$	$=$	\( 9 a^{8} + 29 a^{7} + 30 a^{6} + 28 a^{5} + 4 a^{4} + 29 a^{3} + 29 a^{2} + 17 a + 26 + \left(11 a^{8} + 15 a^{7} + 29 a^{6} + 28 a^{5} + 19 a^{4} + 19 a^{3} + 22 a + 29\right)\cdot 31 + \left(11 a^{8} + 29 a^{7} + 21 a^{6} + 14 a^{5} + 11 a^{4} + 30 a^{3} + 19 a^{2} + 25 a + 14\right)\cdot 31^{2} + \left(22 a^{7} + 26 a^{6} + 23 a^{5} + 18 a^{4} + 6 a^{3} + 29 a^{2} + 27 a + 17\right)\cdot 31^{3} + \left(11 a^{8} + 23 a^{7} + 12 a^{6} + 25 a^{5} + 16 a^{4} + 22 a^{3} + 29\right)\cdot 31^{4} + \left(8 a^{8} + 14 a^{7} + 13 a^{6} + 14 a^{5} + 12 a^{4} + 4 a^{3} + 16 a^{2} + 18 a + 8\right)\cdot 31^{5} + \left(29 a^{8} + 24 a^{7} + 23 a^{6} + 29 a^{5} + 21 a^{4} + 27 a^{3} + 22 a^{2} + 9 a + 16\right)\cdot 31^{6} + \left(15 a^{8} + 17 a^{7} + 19 a^{6} + 9 a^{5} + 28 a^{4} + 9 a^{3} + 2 a^{2} + 16 a + 20\right)\cdot 31^{7} + \left(15 a^{8} + 10 a^{7} + 7 a^{6} + 6 a^{5} + 9 a^{4} + 25 a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 31^{8} + \left(5 a^{8} + 11 a^{7} + 30 a^{6} + 16 a^{5} + 7 a^{4} + 3 a^{3} + 7 a^{2} + 28 a + 13\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\) 9a^8 + 29a^7 + 30a^6 + 28a^5 + 4a^4 + 29a^3 + 29a^2 + 17a + 26 + (11a^8 + 15a^7 + 29a^6 + 28a^5 + 19a^4 + 19a^3 + 22a + 29)31 + (11a^8 + 29a^7 + 21a^6 + 14a^5 + 11a^4 + 30a^3 + 19a^2 + 25a + 14)31^2 + (22a^7 + 26a^6 + 23a^5 + 18a^4 + 6a^3 + 29a^2 + 27a + 17)31^3 + (11a^8 + 23a^7 + 12a^6 + 25a^5 + 16a^4 + 22a^3 + 29)31^4 + (8a^8 + 14a^7 + 13a^6 + 14a^5 + 12a^4 + 4a^3 + 16a^2 + 18a + 8)31^5 + (29a^8 + 24a^7 + 23a^6 + 29a^5 + 21a^4 + 27a^3 + 22a^2 + 9a + 16)31^6 + (15a^8 + 17a^7 + 19a^6 + 9a^5 + 28a^4 + 9a^3 + 2a^2 + 16a + 20)31^7 + (15a^8 + 10a^7 + 7a^6 + 6a^5 + 9a^4 + 25a^2 + 2a + 2)31^8 + (5a^8 + 11a^7 + 30a^6 + 16a^5 + 7a^4 + 3a^3 + 7a^2 + 28a + 13)31^9+O(31^10)
$r_{ 3 }$	$=$	\( 4 a^{8} + 30 a^{7} + 30 a^{6} + 24 a^{5} + 9 a^{4} + 11 a^{3} + 14 a^{2} + 29 a + 16 + \left(5 a^{8} + 18 a^{7} + 22 a^{6} + 14 a^{5} + 4 a^{4} + 30 a^{3} + 8 a^{2} + 30 a + 23\right)\cdot 31 + \left(30 a^{8} + 8 a^{7} + 20 a^{6} + 14 a^{5} + 23 a^{4} + 19 a^{3} + 9 a^{2} + 14 a + 12\right)\cdot 31^{2} + \left(29 a^{8} + 19 a^{7} + 28 a^{6} + 11 a^{5} + 21 a^{4} + 5 a^{3} + 22 a^{2} + 25 a + 5\right)\cdot 31^{3} + \left(3 a^{8} + 8 a^{7} + 7 a^{6} + 26 a^{5} + 16 a^{4} + 2 a^{3} + 20 a^{2} + 27 a + 30\right)\cdot 31^{4} + \left(4 a^{8} + 13 a^{7} + 23 a^{6} + 2 a^{5} + 9 a^{4} + 8 a^{3} + 24 a^{2} + 26 a + 2\right)\cdot 31^{5} + \left(12 a^{8} + 27 a^{7} + 3 a^{6} + 14 a^{5} + 26 a^{4} + 8 a^{3} + 14 a^{2} + 27 a + 26\right)\cdot 31^{6} + \left(17 a^{8} + 20 a^{7} + 15 a^{6} + 12 a^{5} + 16 a^{4} + 3 a^{3} + 4 a^{2} + 4 a + 17\right)\cdot 31^{7} + \left(19 a^{8} + 26 a^{7} + 7 a^{6} + 19 a^{5} + 21 a^{4} + 17 a^{3} + 10 a^{2} + 16 a + 12\right)\cdot 31^{8} + \left(21 a^{8} + 23 a^{7} + 14 a^{6} + 20 a^{5} + 17 a^{4} + 17 a^{3} + 9 a^{2} + 10 a + 26\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\) 4a^8 + 30a^7 + 30a^6 + 24a^5 + 9a^4 + 11a^3 + 14a^2 + 29a + 16 + (5a^8 + 18a^7 + 22a^6 + 14a^5 + 4a^4 + 30a^3 + 8a^2 + 30a + 23)31 + (30a^8 + 8a^7 + 20a^6 + 14a^5 + 23a^4 + 19a^3 + 9a^2 + 14a + 12)31^2 + (29a^8 + 19a^7 + 28a^6 + 11a^5 + 21a^4 + 5a^3 + 22a^2 + 25a + 5)31^3 + (3a^8 + 8a^7 + 7a^6 + 26a^5 + 16a^4 + 2a^3 + 20a^2 + 27a + 30)31^4 + (4a^8 + 13a^7 + 23a^6 + 2a^5 + 9a^4 + 8a^3 + 24a^2 + 26a + 2)31^5 + (12a^8 + 27a^7 + 3a^6 + 14a^5 + 26a^4 + 8a^3 + 14a^2 + 27a + 26)31^6 + (17a^8 + 20a^7 + 15a^6 + 12a^5 + 16a^4 + 3a^3 + 4a^2 + 4a + 17)31^7 + (19a^8 + 26a^7 + 7a^6 + 19a^5 + 21a^4 + 17a^3 + 10a^2 + 16a + 12)31^8 + (21a^8 + 23a^7 + 14a^6 + 20a^5 + 17a^4 + 17a^3 + 9a^2 + 10a + 26)*31^9+O(31^10)
$r_{ 4 }$	$=$	\( 7 a^{8} + 14 a^{7} + 12 a^{6} + 22 a^{5} + 16 a^{4} + 29 a^{2} + 21 a + 10 + \left(28 a^{8} + 3 a^{7} + 4 a^{6} + 17 a^{5} + 5 a^{4} + 3 a^{3} + 10 a^{2} + 4 a + 28\right)\cdot 31 + \left(14 a^{8} + 28 a^{7} + 20 a^{6} + 17 a^{5} + 15 a^{4} + 14 a^{3} + 11 a^{2} + 16 a + 3\right)\cdot 31^{2} + \left(12 a^{8} + 23 a^{7} + 20 a^{6} + 23 a^{5} + 18 a^{4} + a^{3} + 17 a^{2} + 17 a + 8\right)\cdot 31^{3} + \left(30 a^{8} + 22 a^{7} + 29 a^{6} + 4 a^{4} + 21 a^{3} + 14 a^{2} + 6 a + 25\right)\cdot 31^{4} + \left(9 a^{8} + 10 a^{7} + 13 a^{6} + 14 a^{5} + 25 a^{4} + 24 a^{3} + 23 a^{2} + 13 a + 6\right)\cdot 31^{5} + \left(6 a^{8} + 2 a^{7} + 19 a^{6} + a^{5} + 3 a^{4} + 7 a^{3} + 5 a^{2} + 11 a + 10\right)\cdot 31^{6} + \left(4 a^{8} + 9 a^{7} + 28 a^{6} + 24 a^{5} + 23 a^{4} + 16 a^{3} + 9 a^{2} + 25 a + 19\right)\cdot 31^{7} + \left(17 a^{8} + 19 a^{7} + 4 a^{6} + 19 a^{5} + 12 a^{4} + 13 a^{3} + 20 a^{2} + 22 a\right)\cdot 31^{8} + \left(27 a^{8} + 5 a^{7} + 17 a^{6} + 3 a^{5} + 10 a^{4} + 7 a^{3} + 2 a^{2} + 10 a + 3\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\) 7a^8 + 14a^7 + 12a^6 + 22a^5 + 16a^4 + 29a^2 + 21a + 10 + (28a^8 + 3a^7 + 4a^6 + 17a^5 + 5a^4 + 3a^3 + 10a^2 + 4a + 28)31 + (14a^8 + 28a^7 + 20a^6 + 17a^5 + 15a^4 + 14a^3 + 11a^2 + 16a + 3)31^2 + (12a^8 + 23a^7 + 20a^6 + 23a^5 + 18a^4 + a^3 + 17a^2 + 17a + 8)31^3 + (30a^8 + 22a^7 + 29a^6 + 4a^4 + 21a^3 + 14a^2 + 6a + 25)31^4 + (9a^8 + 10a^7 + 13a^6 + 14a^5 + 25a^4 + 24a^3 + 23a^2 + 13a + 6)31^5 + (6a^8 + 2a^7 + 19a^6 + a^5 + 3a^4 + 7a^3 + 5a^2 + 11a + 10)31^6 + (4a^8 + 9a^7 + 28a^6 + 24a^5 + 23a^4 + 16a^3 + 9a^2 + 25a + 19)31^7 + (17a^8 + 19a^7 + 4a^6 + 19a^5 + 12a^4 + 13a^3 + 20a^2 + 22a)31^8 + (27a^8 + 5a^7 + 17a^6 + 3a^5 + 10a^4 + 7a^3 + 2a^2 + 10a + 3)*31^9+O(31^10)
$r_{ 5 }$	$=$	\( 24 a^{8} + 14 a^{7} + 17 a^{6} + 6 a^{5} + 12 a^{4} + 9 a^{3} + 17 a^{2} + 18 a + \left(a^{8} + 10 a^{7} + 27 a^{6} + 15 a^{5} + 11 a^{4} + 15 a^{3} + 20 a + 20\right)\cdot 31 + \left(20 a^{8} + 26 a^{7} + 28 a^{6} + 20 a^{5} + 8 a^{4} + 24 a^{3} + 21 a^{2} + 9 a + 18\right)\cdot 31^{2} + \left(29 a^{8} + 15 a^{7} + 15 a^{6} + 30 a^{5} + 4 a^{4} + 24 a^{3} + 8 a^{2} + 15 a + 9\right)\cdot 31^{3} + \left(23 a^{8} + 24 a^{7} + 9 a^{6} + 9 a^{5} + 24 a^{4} + 25 a^{3} + 28 a^{2} + 25\right)\cdot 31^{4} + \left(11 a^{8} + 16 a^{7} + 26 a^{6} + 5 a^{5} + 23 a^{4} + 11 a^{3} + 19 a^{2} + 30 a + 14\right)\cdot 31^{5} + \left(8 a^{8} + 22 a^{7} + 5 a^{6} + 10 a^{5} + 6 a^{4} + 3 a^{3} + 17 a^{2} + 24 a + 10\right)\cdot 31^{6} + \left(20 a^{8} + 4 a^{7} + 17 a^{6} + 7 a^{5} + 22 a^{4} + 3 a^{3} + 20 a^{2} + 12 a + 25\right)\cdot 31^{7} + \left(6 a^{8} + 27 a^{7} + 25 a^{5} + 12 a^{4} + 7 a^{3} + a^{2} + 12 a + 9\right)\cdot 31^{8} + \left(6 a^{8} + a^{7} + 9 a^{6} + 14 a^{5} + 24 a^{4} + 22 a^{3} + 6 a^{2} + 3\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\) 24a^8 + 14a^7 + 17a^6 + 6a^5 + 12a^4 + 9a^3 + 17a^2 + 18a + (a^8 + 10a^7 + 27a^6 + 15a^5 + 11a^4 + 15a^3 + 20a + 20)31 + (20a^8 + 26a^7 + 28a^6 + 20a^5 + 8a^4 + 24a^3 + 21a^2 + 9a + 18)31^2 + (29a^8 + 15a^7 + 15a^6 + 30a^5 + 4a^4 + 24a^3 + 8a^2 + 15a + 9)31^3 + (23a^8 + 24a^7 + 9a^6 + 9a^5 + 24a^4 + 25a^3 + 28a^2 + 25)31^4 + (11a^8 + 16a^7 + 26a^6 + 5a^5 + 23a^4 + 11a^3 + 19a^2 + 30a + 14)31^5 + (8a^8 + 22a^7 + 5a^6 + 10a^5 + 6a^4 + 3a^3 + 17a^2 + 24a + 10)31^6 + (20a^8 + 4a^7 + 17a^6 + 7a^5 + 22a^4 + 3a^3 + 20a^2 + 12a + 25)31^7 + (6a^8 + 27a^7 + 25a^5 + 12a^4 + 7a^3 + a^2 + 12a + 9)31^8 + (6a^8 + a^7 + 9a^6 + 14a^5 + 24a^4 + 22a^3 + 6a^2 + 3)31^9+O(31^10)
$r_{ 6 }$	$=$	\( 28 a^{8} + 5 a^{7} + 26 a^{6} + 18 a^{5} + 5 a^{4} + 26 a^{3} + 7 a^{2} + 6 a + 25 + \left(10 a^{8} + 26 a^{7} + 13 a^{6} + 12 a^{5} + 5 a^{4} + 5 a^{3} + 22 a^{2} + 6 a + 18\right)\cdot 31 + \left(26 a^{8} + 15 a^{7} + 2 a^{6} + 24 a^{5} + a^{4} + 2 a^{3} + 13 a^{2} + 26 a + 12\right)\cdot 31^{2} + \left(5 a^{8} + 26 a^{7} + 18 a^{6} + 5 a^{5} + 28 a^{4} + 4 a^{3} + 27 a^{2} + 13 a + 22\right)\cdot 31^{3} + \left(a^{8} + 2 a^{7} + 15 a^{6} + 9 a^{5} + 23 a^{4} + 5 a^{3} + 18 a^{2} + 2 a + 16\right)\cdot 31^{4} + \left(22 a^{7} + a^{6} + 25 a^{5} + 22 a^{4} + 5 a^{3} + 9 a^{2} + 28 a + 14\right)\cdot 31^{5} + \left(24 a^{8} + 18 a^{7} + 16 a^{6} + 24 a^{5} + 8 a^{4} + 23 a^{3} + 19 a^{2} + 2 a + 29\right)\cdot 31^{6} + \left(7 a^{8} + 29 a^{7} + 14 a^{6} + 12 a^{5} + 15 a^{4} + 2 a^{3} + 14 a^{2} + 23 a + 27\right)\cdot 31^{7} + \left(23 a^{8} + 7 a^{7} + 2 a^{6} + 27 a^{5} + 19 a^{4} + 9 a^{3} + 25 a^{2} + 9 a + 2\right)\cdot 31^{8} + \left(2 a^{8} + 7 a^{7} + 4 a^{6} + 16 a^{5} + 14 a^{4} + 2 a^{3} + 30 a^{2} + 19 a + 12\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\) 28a^8 + 5a^7 + 26a^6 + 18a^5 + 5a^4 + 26a^3 + 7a^2 + 6a + 25 + (10a^8 + 26a^7 + 13a^6 + 12a^5 + 5a^4 + 5a^3 + 22a^2 + 6a + 18)31 + (26a^8 + 15a^7 + 2a^6 + 24a^5 + a^4 + 2a^3 + 13a^2 + 26a + 12)31^2 + (5a^8 + 26a^7 + 18a^6 + 5a^5 + 28a^4 + 4a^3 + 27a^2 + 13a + 22)31^3 + (a^8 + 2a^7 + 15a^6 + 9a^5 + 23a^4 + 5a^3 + 18a^2 + 2a + 16)31^4 + (22a^7 + a^6 + 25a^5 + 22a^4 + 5a^3 + 9a^2 + 28a + 14)31^5 + (24a^8 + 18a^7 + 16a^6 + 24a^5 + 8a^4 + 23a^3 + 19a^2 + 2a + 29)31^6 + (7a^8 + 29a^7 + 14a^6 + 12a^5 + 15a^4 + 2a^3 + 14a^2 + 23a + 27)31^7 + (23a^8 + 7a^7 + 2a^6 + 27a^5 + 19a^4 + 9a^3 + 25a^2 + 9a + 2)31^8 + (2a^8 + 7a^7 + 4a^6 + 16a^5 + 14a^4 + 2a^3 + 30a^2 + 19a + 12)*31^9+O(31^10)
$r_{ 7 }$	$=$	\( 6 a^{8} + 13 a^{7} + 11 a^{6} + 10 a^{5} + 8 a^{4} + 14 a^{3} + 9 a^{2} + 19 a + 28 + \left(8 a^{8} + 14 a^{7} + 3 a^{6} + 5 a^{5} + a^{4} + 11 a^{3} + 18 a^{2} + 25 a + 13\right)\cdot 31 + \left(16 a^{8} + 4 a^{7} + 29 a^{6} + 11 a^{5} + 24 a^{4} + 29 a^{3} + 2 a^{2} + 20 a + 1\right)\cdot 31^{2} + \left(29 a^{8} + 26 a^{7} + 8 a^{6} + 5 a^{5} + 25 a^{3} + 30 a^{2} + 9 a + 17\right)\cdot 31^{3} + \left(3 a^{8} + 17 a^{7} + 19 a^{6} + 7 a^{5} + 9 a^{3} + 4 a^{2} + 17 a + 17\right)\cdot 31^{4} + \left(3 a^{8} + 27 a^{7} + 6 a^{6} + 27 a^{5} + 23 a^{3} + 28 a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 31^{5} + \left(13 a^{8} + 24 a^{7} + 14 a^{6} + 22 a^{5} + 23 a^{4} + 28 a^{3} + 18 a^{2} + 5 a + 15\right)\cdot 31^{6} + \left(12 a^{8} + 22 a^{7} + 26 a^{6} + 3 a^{5} + 7 a^{4} + 20 a^{3} + 22 a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 31^{7} + \left(29 a^{8} + 4 a^{7} + 9 a^{6} + 8 a^{5} + 18 a^{4} + 20 a^{3} + 11 a^{2} + 5 a + 7\right)\cdot 31^{8} + \left(13 a^{8} + 22 a^{6} + 13 a^{5} + a^{4} + 27 a^{3} + 18 a^{2} + 24 a + 1\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\) 6a^8 + 13a^7 + 11a^6 + 10a^5 + 8a^4 + 14a^3 + 9a^2 + 19a + 28 + (8a^8 + 14a^7 + 3a^6 + 5a^5 + a^4 + 11a^3 + 18a^2 + 25a + 13)31 + (16a^8 + 4a^7 + 29a^6 + 11a^5 + 24a^4 + 29a^3 + 2a^2 + 20a + 1)31^2 + (29a^8 + 26a^7 + 8a^6 + 5a^5 + 25a^3 + 30a^2 + 9a + 17)31^3 + (3a^8 + 17a^7 + 19a^6 + 7a^5 + 9a^3 + 4a^2 + 17a + 17)31^4 + (3a^8 + 27a^7 + 6a^6 + 27a^5 + 23a^3 + 28a^2 + 10a + 10)31^5 + (13a^8 + 24a^7 + 14a^6 + 22a^5 + 23a^4 + 28a^3 + 18a^2 + 5a + 15)31^6 + (12a^8 + 22a^7 + 26a^6 + 3a^5 + 7a^4 + 20a^3 + 22a^2 + 8a + 1)31^7 + (29a^8 + 4a^7 + 9a^6 + 8a^5 + 18a^4 + 20a^3 + 11a^2 + 5a + 7)31^8 + (13a^8 + 22a^6 + 13a^5 + a^4 + 27a^3 + 18a^2 + 24a + 1)*31^9+O(31^10)
$r_{ 8 }$	$=$	\( 8 a^{8} + 12 a^{7} + 6 a^{6} + 18 a^{5} + 7 a^{4} + 12 a^{3} + 12 a^{2} + 22 a + 30 + \left(23 a^{8} + 25 a^{7} + 20 a^{6} + 23 a^{5} + 15 a^{4} + a^{3} + 22 a^{2} + 29 a + 14\right)\cdot 31 + \left(22 a^{8} + 19 a^{7} + 30 a^{6} + 11 a^{5} + 19 a^{3} + 13 a^{2} + 20 a + 15\right)\cdot 31^{2} + \left(22 a^{8} + 12 a^{7} + 29 a^{6} + 3 a^{5} + 11 a^{4} + 27 a^{3} + 14 a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 31^{3} + \left(23 a^{8} + 7 a^{7} + 8 a^{6} + 4 a^{5} + 7 a^{4} + 25 a^{3} + 19 a^{2} + 20 a\right)\cdot 31^{4} + \left(6 a^{8} + 20 a^{7} + 24 a^{6} + 15 a^{5} + 29 a^{2} + 28 a + 27\right)\cdot 31^{5} + \left(29 a^{8} + 30 a^{7} + 19 a^{6} + 15 a^{5} + 15 a^{4} + 28 a^{3} + 25 a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 31^{6} + \left(6 a^{8} + 27 a^{7} + 3 a^{6} + a^{4} + 3 a^{3} + 18 a^{2} + 27 a + 28\right)\cdot 31^{7} + \left(11 a^{8} + 18 a^{7} + 3 a^{6} + 12 a^{5} + 25 a^{4} + 30 a^{3} + 22 a^{2} + 13 a + 19\right)\cdot 31^{8} + \left(25 a^{8} + 16 a^{6} + 22 a^{5} + 21 a^{4} + 7 a^{3} + 15 a^{2} + 18 a + 27\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\) 8a^8 + 12a^7 + 6a^6 + 18a^5 + 7a^4 + 12a^3 + 12a^2 + 22a + 30 + (23a^8 + 25a^7 + 20a^6 + 23a^5 + 15a^4 + a^3 + 22a^2 + 29a + 14)31 + (22a^8 + 19a^7 + 30a^6 + 11a^5 + 19a^3 + 13a^2 + 20a + 15)31^2 + (22a^8 + 12a^7 + 29a^6 + 3a^5 + 11a^4 + 27a^3 + 14a^2 + 4a + 1)31^3 + (23a^8 + 7a^7 + 8a^6 + 4a^5 + 7a^4 + 25a^3 + 19a^2 + 20a)31^4 + (6a^8 + 20a^7 + 24a^6 + 15a^5 + 29a^2 + 28a + 27)31^5 + (29a^8 + 30a^7 + 19a^6 + 15a^5 + 15a^4 + 28a^3 + 25a^2 + 8a + 4)31^6 + (6a^8 + 27a^7 + 3a^6 + a^4 + 3a^3 + 18a^2 + 27a + 28)31^7 + (11a^8 + 18a^7 + 3a^6 + 12a^5 + 25a^4 + 30a^3 + 22a^2 + 13a + 19)31^8 + (25a^8 + 16a^6 + 22a^5 + 21a^4 + 7a^3 + 15a^2 + 18a + 27)31^9+O(31^10)
$r_{ 9 }$	$=$	\( 7 a^{8} + 6 a^{7} + 6 a^{6} + 11 a^{5} + 8 a^{4} + 27 a^{3} + 9 a^{2} + 12 a + 28 + \left(6 a^{8} + 24 a^{7} + 9 a^{5} + 3 a^{4} + 4 a^{3} + a^{2} + 28 a + 6\right)\cdot 31 + \left(23 a^{8} + 16 a^{7} + 12 a^{6} + 29 a^{5} + 19 a^{4} + 28 a^{3} + 17 a^{2} + 20 a + 16\right)\cdot 31^{2} + \left(17 a^{8} + 29 a^{7} + 17 a^{6} + 18 a^{5} + 21 a^{4} + 16 a^{3} + 10 a^{2} + 26 a + 26\right)\cdot 31^{3} + \left(21 a^{8} + 19 a^{7} + 3 a^{6} + 23 a^{5} + 21 a^{4} + 10 a^{3} + 13 a^{2} + 20 a + 14\right)\cdot 31^{4} + \left(21 a^{8} + 9 a^{7} + 30 a^{6} + 27 a^{5} + 27 a^{4} + 6 a^{2} + 16 a + 21\right)\cdot 31^{5} + \left(5 a^{8} + 5 a^{7} + 17 a^{6} + 14 a^{5} + 23 a^{4} + a^{3} + 22 a^{2} + 13 a + 15\right)\cdot 31^{6} + \left(9 a^{8} + 21 a^{7} + 20 a^{6} + 26 a^{5} + 20 a^{4} + 5 a^{3} + 18 a^{2} + 14 a + 28\right)\cdot 31^{7} + \left(4 a^{8} + 4 a^{7} + 22 a^{6} + 19 a^{5} + 28 a^{4} + 26 a^{3} + 27 a^{2} + 21 a + 2\right)\cdot 31^{8} + \left(6 a^{8} + 4 a^{7} + a^{6} + 28 a^{5} + 19 a^{4} + a^{3} + 25 a^{2} + 29 a\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\) 7a^8 + 6a^7 + 6a^6 + 11a^5 + 8a^4 + 27a^3 + 9a^2 + 12a + 28 + (6a^8 + 24a^7 + 9a^5 + 3a^4 + 4a^3 + a^2 + 28a + 6)31 + (23a^8 + 16a^7 + 12a^6 + 29a^5 + 19a^4 + 28a^3 + 17a^2 + 20a + 16)31^2 + (17a^8 + 29a^7 + 17a^6 + 18a^5 + 21a^4 + 16a^3 + 10a^2 + 26a + 26)31^3 + (21a^8 + 19a^7 + 3a^6 + 23a^5 + 21a^4 + 10a^3 + 13a^2 + 20a + 14)31^4 + (21a^8 + 9a^7 + 30a^6 + 27a^5 + 27a^4 + 6a^2 + 16a + 21)31^5 + (5a^8 + 5a^7 + 17a^6 + 14a^5 + 23a^4 + a^3 + 22a^2 + 13a + 15)31^6 + (9a^8 + 21a^7 + 20a^6 + 26a^5 + 20a^4 + 5a^3 + 18a^2 + 14a + 28)31^7 + (4a^8 + 4a^7 + 22a^6 + 19a^5 + 28a^4 + 26a^3 + 27a^2 + 21a + 2)31^8 + (6a^8 + 4a^7 + a^6 + 28a^5 + 19a^4 + a^3 + 25a^2 + 29a)*31^9+O(31^10)
$r_{ 10 }$	$=$	$ 20 a^{8} + 9 a^{7} + 21 a^{6} + 23 a^{5} + 28 a^{4} + 12 a^{2} + 29 a + 2 + \left(11 a^{8} + 22 a^{6} + 19 a^{5} + 21 a^{4} + 13 a^{3} + 24 a^{2} + 18 a\right)\cdot 31 + \left(29 a^{8} + 5 a^{7} + 25 a^{6} + 17 a^{5} + 5 a^{4} + 28 a^{3} + 12 a^{2} + 15 a + 22\right)\cdot 31^{2} + \left(5 a^{8} + 12 a^{7} + 12 a^{6} + 3 a^{5} + 5 a^{4} + 17 a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 31^{3} + \left(18 a^{8} + 7 a^{6} + 8 a^{5} + 9 a^{4} + 18 a^{3} + 27 a^{2} + 28 a + 9\right)\cdot 31^{4} + \left(27 a^{8} + 24 a^{7} + 29 a^{6} + 9 a^{5} + 20 a^{4} + 6 a^{3} + 11 a + 5\right)\cdot 31^{5} + \left(10 a^{8} + 4 a^{7} + 11 a^{6} + 24 a^{5} + 20 a^{4} + 21 a^{3} + 14 a^{2} + 5 a + 25\right)\cdot 31^{6} + \left(8 a^{8} + 12 a^{7} + 28 a^{6} + 17 a^{5} + 6 a^{4} + 4 a^{3} + 7 a^{2} + 16 a + 28\right)\cdot 31^{7} + \left(a^{8} + 3 a^{7} + 5 a^{6} + 16 a^{5} + 21 a^{4} + 19 a^{3} + 5 a^{2} + 21 a + 28\right)\cdot 31^{8} + \left(25 a^{8} + 29 a^{6} + 3 a^{5} + 19 a^{4} + 7 a^{3} + 21 a^{2} + 26 a + 18\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})$ 20a^8 + 9a^7 + 21a^6 + 23a^5 + 28a^4 + 12a^2 + 29a + 2 + (11a^8 + 22a^6 + 19a^5 + 21a^4 + 13a^3 + 24a^2 + 18a)31 + (29a^8 + 5a^7 + 25a^6 + 17a^5 + 5a^4 + 28a^3 + 12a^2 + 15a + 22)31^2 + (5a^8 + 12a^7 + 12a^6 + 3a^5 + 5a^4 + 17a^2 + 8a + 4)31^3 + (18a^8 + 7a^6 + 8a^5 + 9a^4 + 18a^3 + 27a^2 + 28a + 9)31^4 + (27a^8 + 24a^7 + 29a^6 + 9a^5 + 20a^4 + 6a^3 + 11a + 5)31^5 + (10a^8 + 4a^7 + 11a^6 + 24a^5 + 20a^4 + 21a^3 + 14a^2 + 5a + 25)31^6 + (8a^8 + 12a^7 + 28a^6 + 17a^5 + 6a^4 + 4a^3 + 7a^2 + 16a + 28)31^7 + (a^8 + 3a^7 + 5a^6 + 16a^5 + 21a^4 + 19a^3 + 5a^2 + 21a + 28)31^8 + (25a^8 + 29a^6 + 3a^5 + 19a^4 + 7a^3 + 21a^2 + 26a + 18)31^9+O(31^10)
$r_{ 11 }$	$=$	\( 11 a^{8} + 9 a^{7} + 22 a^{6} + 26 a^{5} + 21 a^{4} + 8 a^{3} + 22 a^{2} + 16 a + \left(25 a^{8} + 20 a^{7} + 30 a^{6} + 10 a^{5} + 11 a^{4} + 30 a^{3} + 6 a^{2} + 27 a + 4\right)\cdot 31 + \left(22 a^{8} + 10 a^{7} + 24 a^{6} + 16 a^{5} + 29 a^{4} + 11 a^{3} + 16 a^{2} + 27 a + 11\right)\cdot 31^{2} + \left(19 a^{8} + 10 a^{7} + 4 a^{6} + 15 a^{5} + 14 a^{4} + 30 a^{3} + 2 a + 7\right)\cdot 31^{3} + \left(a^{8} + 27 a^{7} + 19 a^{6} + 29 a^{5} + 20 a^{3} + 10 a^{2} + 23 a + 5\right)\cdot 31^{4} + \left(9 a^{8} + 13 a^{7} + 28 a^{6} + 30 a^{5} + 6 a^{4} + 7 a^{3} + 25 a + 26\right)\cdot 31^{5} + \left(20 a^{8} + 22 a^{7} + 4 a^{6} + 19 a^{5} + 6 a^{4} + 8 a^{3} + 29 a^{2} + 22 a + 20\right)\cdot 31^{6} + \left(5 a^{8} + 6 a^{7} + 11 a^{6} + 23 a^{5} + 4 a^{4} + 29 a^{3} + 17 a^{2} + a + 28\right)\cdot 31^{7} + \left(8 a^{8} + 22 a^{7} + 19 a^{6} + 18 a^{5} + 29 a^{4} + 15 a^{3} + 18 a^{2} + 16 a + 1\right)\cdot 31^{8} + \left(23 a^{8} + 26 a^{7} + 8 a^{6} + 7 a^{5} + 15 a^{4} + 19 a^{3} + a^{2} + 27 a + 29\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\) 11a^8 + 9a^7 + 22a^6 + 26a^5 + 21a^4 + 8a^3 + 22a^2 + 16a + (25a^8 + 20a^7 + 30a^6 + 10a^5 + 11a^4 + 30a^3 + 6a^2 + 27a + 4)31 + (22a^8 + 10a^7 + 24a^6 + 16a^5 + 29a^4 + 11a^3 + 16a^2 + 27a + 11)31^2 + (19a^8 + 10a^7 + 4a^6 + 15a^5 + 14a^4 + 30a^3 + 2a + 7)31^3 + (a^8 + 27a^7 + 19a^6 + 29a^5 + 20a^3 + 10a^2 + 23a + 5)31^4 + (9a^8 + 13a^7 + 28a^6 + 30a^5 + 6a^4 + 7a^3 + 25a + 26)31^5 + (20a^8 + 22a^7 + 4a^6 + 19a^5 + 6a^4 + 8a^3 + 29a^2 + 22a + 20)31^6 + (5a^8 + 6a^7 + 11a^6 + 23a^5 + 4a^4 + 29a^3 + 17a^2 + a + 28)31^7 + (8a^8 + 22a^7 + 19a^6 + 18a^5 + 29a^4 + 15a^3 + 18a^2 + 16a + 1)31^8 + (23a^8 + 26a^7 + 8a^6 + 7a^5 + 15a^4 + 19a^3 + a^2 + 27a + 29)*31^9+O(31^10)
$r_{ 12 }$	$=$	\( 18 a^{8} + a^{7} + 30 a^{6} + 16 a^{5} + a^{4} + 30 a^{3} + 20 a^{2} + 26 a + 5 + \left(7 a^{8} + 21 a^{7} + 17 a^{6} + 13 a^{5} + 23 a^{4} + 3 a^{3} + 16 a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 31 + \left(9 a^{8} + 7 a^{7} + 4 a^{6} + 20 a^{5} + 17 a^{4} + 25 a^{3} + 27 a^{2} + 15 a + 22\right)\cdot 31^{2} + \left(9 a^{8} + 5 a^{7} + 30 a^{6} + 14 a^{5} + 23 a^{4} + 30 a^{3} + 14 a^{2} + 4 a + 29\right)\cdot 31^{3} + \left(20 a^{8} + 17 a^{7} + 7 a^{6} + 17 a^{4} + 26 a^{3} + 16 a^{2} + 28 a + 15\right)\cdot 31^{4} + \left(18 a^{8} + 29 a^{7} + 21 a^{6} + a^{5} + 3 a^{4} + 7 a^{3} + 11 a^{2} + 23 a + 22\right)\cdot 31^{5} + \left(9 a^{7} + 14 a^{6} + 17 a^{5} + 13 a^{4} + 24 a^{3} + 11 a^{2} + a + 9\right)\cdot 31^{6} + \left(29 a^{8} + a^{7} + 26 a^{6} + 7 a^{5} + 15 a^{4} + 3 a^{3} + 9 a^{2} + 18 a + 26\right)\cdot 31^{7} + \left(28 a^{8} + 2 a^{7} + 4 a^{6} + 2 a^{5} + 3 a^{4} + 7 a^{3} + 25 a^{2} + 26 a + 1\right)\cdot 31^{8} + \left(15 a^{8} + 21 a^{7} + 25 a^{6} + 15 a^{5} + 2 a^{4} + 22 a^{3} + 4 a^{2} + 28 a + 27\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\) 18a^8 + a^7 + 30a^6 + 16a^5 + a^4 + 30a^3 + 20a^2 + 26a + 5 + (7a^8 + 21a^7 + 17a^6 + 13a^5 + 23a^4 + 3a^3 + 16a^2 + 2a + 2)31 + (9a^8 + 7a^7 + 4a^6 + 20a^5 + 17a^4 + 25a^3 + 27a^2 + 15a + 22)31^2 + (9a^8 + 5a^7 + 30a^6 + 14a^5 + 23a^4 + 30a^3 + 14a^2 + 4a + 29)31^3 + (20a^8 + 17a^7 + 7a^6 + 17a^4 + 26a^3 + 16a^2 + 28a + 15)31^4 + (18a^8 + 29a^7 + 21a^6 + a^5 + 3a^4 + 7a^3 + 11a^2 + 23a + 22)31^5 + (9a^7 + 14a^6 + 17a^5 + 13a^4 + 24a^3 + 11a^2 + a + 9)31^6 + (29a^8 + a^7 + 26a^6 + 7a^5 + 15a^4 + 3a^3 + 9a^2 + 18a + 26)31^7 + (28a^8 + 2a^7 + 4a^6 + 2a^5 + 3a^4 + 7a^3 + 25a^2 + 26a + 1)31^8 + (15a^8 + 21a^7 + 25a^6 + 15a^5 + 2a^4 + 22a^3 + 4a^2 + 28a + 27)31^9+O(31^10)
$r_{ 13 }$	$=$	\( 26 a^{8} + 15 a^{7} + 27 a^{6} + 2 a^{5} + 14 a^{4} + 9 a^{3} + 8 a^{2} + 10 a + 18 + \left(21 a^{8} + 10 a^{7} + 11 a^{6} + 14 a^{5} + 4 a^{4} + 14 a^{3} + 12 a^{2} + 14 a + 20\right)\cdot 31 + \left(15 a^{8} + 17 a^{7} + 10 a^{6} + 21 a^{5} + 18 a^{4} + 9 a^{3} + 8 a^{2} + 21 a + 23\right)\cdot 31^{2} + \left(a^{8} + 12 a^{7} + 21 a^{6} + 6 a^{5} + 29 a^{4} + 7 a^{3} + 16 a^{2} + 30 a + 1\right)\cdot 31^{3} + \left(22 a^{8} + 13 a^{6} + 11 a^{5} + a^{4} + 17 a^{3} + 15 a^{2} + 15 a + 29\right)\cdot 31^{4} + \left(5 a^{8} + 21 a^{7} + 10 a^{6} + 30 a^{4} + 19 a^{3} + 9 a^{2} + 19 a + 5\right)\cdot 31^{5} + \left(a^{8} + 23 a^{7} + 12 a^{6} + 5 a^{5} + 6 a^{4} + 19 a^{3} + 17 a^{2} + 21 a + 1\right)\cdot 31^{6} + \left(13 a^{8} + 13 a^{7} + 23 a^{6} + 29 a^{5} + 30 a^{4} + 13 a^{3} + 21 a^{2} + 18 a + 27\right)\cdot 31^{7} + \left(23 a^{8} + 10 a^{7} + 3 a^{5} + 20 a^{4} + 6 a^{3} + 19 a^{2} + 23 a + 13\right)\cdot 31^{8} + \left(12 a^{8} + 15 a^{7} + 6 a^{6} + 12 a^{5} + 16 a^{4} + 10 a^{3} + 5 a^{2} + 12 a + 25\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\) 26a^8 + 15a^7 + 27a^6 + 2a^5 + 14a^4 + 9a^3 + 8a^2 + 10a + 18 + (21a^8 + 10a^7 + 11a^6 + 14a^5 + 4a^4 + 14a^3 + 12a^2 + 14a + 20)31 + (15a^8 + 17a^7 + 10a^6 + 21a^5 + 18a^4 + 9a^3 + 8a^2 + 21a + 23)31^2 + (a^8 + 12a^7 + 21a^6 + 6a^5 + 29a^4 + 7a^3 + 16a^2 + 30a + 1)31^3 + (22a^8 + 13a^6 + 11a^5 + a^4 + 17a^3 + 15a^2 + 15a + 29)31^4 + (5a^8 + 21a^7 + 10a^6 + 30a^4 + 19a^3 + 9a^2 + 19a + 5)31^5 + (a^8 + 23a^7 + 12a^6 + 5a^5 + 6a^4 + 19a^3 + 17a^2 + 21a + 1)31^6 + (13a^8 + 13a^7 + 23a^6 + 29a^5 + 30a^4 + 13a^3 + 21a^2 + 18a + 27)31^7 + (23a^8 + 10a^7 + 3a^5 + 20a^4 + 6a^3 + 19a^2 + 23a + 13)31^8 + (12a^8 + 15a^7 + 6a^6 + 12a^5 + 16a^4 + 10a^3 + 5a^2 + 12a + 25)*31^9+O(31^10)
$r_{ 14 }$	$=$	\( 14 a^{8} + 21 a^{7} + 26 a^{6} + 16 a^{5} + 20 a^{4} + 21 a^{3} + 21 a^{2} + 23 a + 6 + \left(27 a^{8} + 20 a^{7} + 11 a^{6} + 9 a^{5} + 27 a^{4} + 9 a^{3} + 7 a^{2} + 9 a + 17\right)\cdot 31 + \left(27 a^{8} + 12 a^{7} + 9 a^{6} + 4 a^{5} + 18 a^{4} + 12 a^{3} + 29 a^{2} + 15 a\right)\cdot 31^{2} + \left(7 a^{8} + 26 a^{7} + 5 a^{6} + 4 a^{5} + a^{4} + 27 a^{3} + 17 a^{2} + 29 a + 12\right)\cdot 31^{3} + \left(27 a^{8} + 30 a^{7} + 9 a^{6} + a^{5} + 7 a^{4} + 13 a^{3} + 10 a^{2} + 9 a + 1\right)\cdot 31^{4} + \left(15 a^{8} + 26 a^{7} + 24 a^{6} + a^{5} + 18 a^{4} + 25 a^{3} + 16 a^{2} + 15 a + 26\right)\cdot 31^{5} + \left(3 a^{8} + 6 a^{7} + 18 a^{6} + 17 a^{5} + 25 a^{4} + 6 a^{3} + 13 a^{2} + 12 a + 9\right)\cdot 31^{6} + \left(8 a^{8} + 16 a^{7} + 7 a^{6} + 20 a^{5} + 17 a^{3} + 9 a^{2} + 18 a + 13\right)\cdot 31^{7} + \left(4 a^{8} + a^{7} + 20 a^{6} + 12 a^{5} + 27 a^{4} + 14 a^{2} + 14 a + 8\right)\cdot 31^{8} + \left(19 a^{7} + 15 a^{6} + 23 a^{5} + a^{4} + 20 a^{3} + 7 a^{2} + 15 a + 21\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\) 14a^8 + 21a^7 + 26a^6 + 16a^5 + 20a^4 + 21a^3 + 21a^2 + 23a + 6 + (27a^8 + 20a^7 + 11a^6 + 9a^5 + 27a^4 + 9a^3 + 7a^2 + 9a + 17)31 + (27a^8 + 12a^7 + 9a^6 + 4a^5 + 18a^4 + 12a^3 + 29a^2 + 15a)31^2 + (7a^8 + 26a^7 + 5a^6 + 4a^5 + a^4 + 27a^3 + 17a^2 + 29a + 12)31^3 + (27a^8 + 30a^7 + 9a^6 + a^5 + 7a^4 + 13a^3 + 10a^2 + 9a + 1)31^4 + (15a^8 + 26a^7 + 24a^6 + a^5 + 18a^4 + 25a^3 + 16a^2 + 15a + 26)31^5 + (3a^8 + 6a^7 + 18a^6 + 17a^5 + 25a^4 + 6a^3 + 13a^2 + 12a + 9)31^6 + (8a^8 + 16a^7 + 7a^6 + 20a^5 + 17a^3 + 9a^2 + 18a + 13)31^7 + (4a^8 + a^7 + 20a^6 + 12a^5 + 27a^4 + 14a^2 + 14a + 8)31^8 + (19a^7 + 15a^6 + 23a^5 + a^4 + 20a^3 + 7a^2 + 15a + 21)*31^9+O(31^10)
$r_{ 15 }$	$=$	\( 20 a^{8} + 26 a^{7} + 26 a^{6} + 27 a^{5} + 14 a^{4} + 24 a^{3} + 8 a^{2} + 21 a + 18 + \left(19 a^{8} + 18 a^{7} + 7 a^{6} + 6 a^{5} + 23 a^{4} + 26 a^{3} + 21 a^{2} + 2 a\right)\cdot 31 + \left(8 a^{8} + 5 a^{7} + 29 a^{6} + 18 a^{5} + 19 a^{4} + 13 a^{3} + 4 a^{2} + 26 a + 2\right)\cdot 31^{2} + \left(14 a^{8} + 13 a^{7} + 15 a^{6} + 18 a^{4} + 8 a^{3} + 29 a^{2} + 9 a + 30\right)\cdot 31^{3} + \left(5 a^{8} + 2 a^{7} + 19 a^{6} + 12 a^{5} + 23 a^{4} + 18 a^{3} + 27 a^{2} + 13 a + 16\right)\cdot 31^{4} + \left(5 a^{8} + 8 a^{7} + 8 a^{6} + 24 a^{4} + 22 a^{3} + 30 a^{2} + 18 a + 6\right)\cdot 31^{5} + \left(13 a^{8} + 29 a^{7} + 9 a^{6} + 2 a^{5} + 11 a^{4} + 21 a^{3} + 24 a^{2} + 20 a + 20\right)\cdot 31^{6} + \left(4 a^{8} + 19 a^{7} + 26 a^{6} + 23 a^{5} + 24 a^{4} + 22 a^{3} + 7 a^{2} + 11 a + 15\right)\cdot 31^{7} + \left(7 a^{8} + 30 a^{7} + 22 a^{5} + 11 a^{4} + 18 a^{3} + 24 a^{2} + 24 a + 15\right)\cdot 31^{8} + \left(3 a^{8} + 2 a^{7} + 15 a^{6} + 12 a^{5} + 24 a^{4} + 11 a^{3} + 26 a^{2} + 21 a + 4\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\) 20a^8 + 26a^7 + 26a^6 + 27a^5 + 14a^4 + 24a^3 + 8a^2 + 21a + 18 + (19a^8 + 18a^7 + 7a^6 + 6a^5 + 23a^4 + 26a^3 + 21a^2 + 2a)31 + (8a^8 + 5a^7 + 29a^6 + 18a^5 + 19a^4 + 13a^3 + 4a^2 + 26a + 2)31^2 + (14a^8 + 13a^7 + 15a^6 + 18a^4 + 8a^3 + 29a^2 + 9a + 30)31^3 + (5a^8 + 2a^7 + 19a^6 + 12a^5 + 23a^4 + 18a^3 + 27a^2 + 13a + 16)31^4 + (5a^8 + 8a^7 + 8a^6 + 24a^4 + 22a^3 + 30a^2 + 18a + 6)31^5 + (13a^8 + 29a^7 + 9a^6 + 2a^5 + 11a^4 + 21a^3 + 24a^2 + 20a + 20)31^6 + (4a^8 + 19a^7 + 26a^6 + 23a^5 + 24a^4 + 22a^3 + 7a^2 + 11a + 15)31^7 + (7a^8 + 30a^7 + 22a^5 + 11a^4 + 18a^3 + 24a^2 + 24a + 15)31^8 + (3a^8 + 2a^7 + 15a^6 + 12a^5 + 24a^4 + 11a^3 + 26a^2 + 21a + 4)31^9+O(31^10)
$r_{ 16 }$	$=$	\( 4 a^{8} + 8 a^{7} + 29 a^{6} + 17 a^{5} + 18 a^{4} + 21 a^{2} + 12 a + 19 + \left(22 a^{8} + 27 a^{7} + 3 a^{6} + 24 a^{5} + 3 a^{4} + 15 a^{3} + 26 a^{2} + 7 a + 2\right)\cdot 31 + \left(17 a^{8} + 28 a^{7} + 16 a^{6} + 26 a^{5} + 10 a^{4} + 19 a^{3} + 6 a^{2} + 30 a + 5\right)\cdot 31^{2} + \left(12 a^{8} + 25 a^{7} + 28 a^{6} + 3 a^{5} + 7 a^{4} + 28 a^{3} + 27 a^{2} + 4 a + 18\right)\cdot 31^{3} + \left(13 a^{8} + 7 a^{7} + 24 a^{6} + 22 a^{5} + 17 a^{4} + 22 a^{3} + 19 a^{2} + 27 a + 27\right)\cdot 31^{4} + \left(24 a^{8} + 27 a^{7} + 18 a^{6} + 7 a^{5} + 16 a^{4} + 30 a^{3} + 6 a^{2} + 5 a + 18\right)\cdot 31^{5} + \left(13 a^{8} + 23 a^{7} + 30 a^{6} + 5 a^{5} + 6 a^{4} + a^{3} + 11 a^{2} + 14 a + 26\right)\cdot 31^{6} + \left(18 a^{8} + 9 a^{7} + 4 a^{6} + 20 a^{5} + a^{4} + 10 a^{3} + 14 a^{2} + 20 a + 13\right)\cdot 31^{7} + \left(12 a^{8} + 8 a^{7} + 20 a^{6} + 25 a^{5} + 28 a^{4} + 29 a^{3} + 5 a^{2} + 17 a + 1\right)\cdot 31^{8} + \left(9 a^{8} + 25 a^{7} + 15 a^{6} + 23 a^{5} + 15 a^{3} + 7 a^{2} + 24 a + 9\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\) 4a^8 + 8a^7 + 29a^6 + 17a^5 + 18a^4 + 21a^2 + 12a + 19 + (22a^8 + 27a^7 + 3a^6 + 24a^5 + 3a^4 + 15a^3 + 26a^2 + 7a + 2)31 + (17a^8 + 28a^7 + 16a^6 + 26a^5 + 10a^4 + 19a^3 + 6a^2 + 30a + 5)31^2 + (12a^8 + 25a^7 + 28a^6 + 3a^5 + 7a^4 + 28a^3 + 27a^2 + 4a + 18)31^3 + (13a^8 + 7a^7 + 24a^6 + 22a^5 + 17a^4 + 22a^3 + 19a^2 + 27a + 27)31^4 + (24a^8 + 27a^7 + 18a^6 + 7a^5 + 16a^4 + 30a^3 + 6a^2 + 5a + 18)31^5 + (13a^8 + 23a^7 + 30a^6 + 5a^5 + 6a^4 + a^3 + 11a^2 + 14a + 26)31^6 + (18a^8 + 9a^7 + 4a^6 + 20a^5 + a^4 + 10a^3 + 14a^2 + 20a + 13)31^7 + (12a^8 + 8a^7 + 20a^6 + 25a^5 + 28a^4 + 29a^3 + 5a^2 + 17a + 1)31^8 + (9a^8 + 25a^7 + 15a^6 + 23a^5 + 15a^3 + 7a^2 + 24a + 9)*31^9+O(31^10)
$r_{ 17 }$	$=$	\( 27 a^{8} + 8 a^{7} + 23 a^{6} + 30 a^{5} + 29 a^{4} + 14 a^{3} + 23 a^{2} + 28 a + \left(3 a^{8} + 3 a^{6} + 4 a^{5} + 7 a^{4} + 16 a^{3} + 23 a^{2} + 13 a + 7\right)\cdot 31 + \left(19 a^{8} + 25 a^{7} + 8 a^{6} + 25 a^{5} + 24 a^{4} + 25 a^{3} + 24 a^{2} + 24 a + 1\right)\cdot 31^{2} + \left(12 a^{8} + 4 a^{7} + 10 a^{6} + 15 a^{5} + 11 a^{4} + 6 a^{3} + 21 a^{2} + 12 a + 14\right)\cdot 31^{3} + \left(5 a^{8} + 10 a^{7} + 2 a^{6} + 22 a^{5} + 6 a^{4} + 15 a^{3} + 23 a^{2} + 7 a\right)\cdot 31^{4} + \left(10 a^{8} + 7 a^{6} + 25 a^{5} + a^{4} + 11 a^{3} + 10 a^{2} + 6 a + 21\right)\cdot 31^{5} + \left(2 a^{8} + 17 a^{7} + 20 a^{6} + 18 a^{4} + 19 a^{3} + 15 a^{2} + 14 a + 30\right)\cdot 31^{6} + \left(5 a^{8} + 19 a^{7} + 2 a^{6} + 4 a^{4} + 29 a^{3} + 23 a^{2} + 16 a + 7\right)\cdot 31^{7} + \left(16 a^{8} + 12 a^{7} + 11 a^{6} + 18 a^{5} + 20 a^{4} + 7 a^{3} + 10 a^{2} + 2 a + 19\right)\cdot 31^{8} + \left(a^{8} + 2 a^{7} + 13 a^{6} + 8 a^{5} + 21 a^{4} + 20 a^{3} + 23 a^{2} + 3 a + 29\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\) 27a^8 + 8a^7 + 23a^6 + 30a^5 + 29a^4 + 14a^3 + 23a^2 + 28a + (3a^8 + 3a^6 + 4a^5 + 7a^4 + 16a^3 + 23a^2 + 13a + 7)31 + (19a^8 + 25a^7 + 8a^6 + 25a^5 + 24a^4 + 25a^3 + 24a^2 + 24a + 1)31^2 + (12a^8 + 4a^7 + 10a^6 + 15a^5 + 11a^4 + 6a^3 + 21a^2 + 12a + 14)31^3 + (5a^8 + 10a^7 + 2a^6 + 22a^5 + 6a^4 + 15a^3 + 23a^2 + 7a)31^4 + (10a^8 + 7a^6 + 25a^5 + a^4 + 11a^3 + 10a^2 + 6a + 21)31^5 + (2a^8 + 17a^7 + 20a^6 + 18a^4 + 19a^3 + 15a^2 + 14a + 30)31^6 + (5a^8 + 19a^7 + 2a^6 + 4a^4 + 29a^3 + 23a^2 + 16a + 7)31^7 + (16a^8 + 12a^7 + 11a^6 + 18a^5 + 20a^4 + 7a^3 + 10a^2 + 2a + 19)31^8 + (a^8 + 2a^7 + 13a^6 + 8a^5 + 21a^4 + 20a^3 + 23a^2 + 3a + 29)*31^9+O(31^10)
$r_{ 18 }$	$=$	\( 16 a^{8} + 25 a^{7} + 6 a^{6} + 28 a^{5} + 25 a^{4} + 6 a^{3} + 4 a^{2} + 30 a + 1 + \left(12 a^{8} + 14 a^{7} + 30 a^{6} + 4 a^{5} + 2 a^{4} + 21 a^{3} + 23 a^{2} + 21 a + 10\right)\cdot 31 + \left(26 a^{8} + 7 a^{7} + 23 a^{6} + 17 a^{5} + 12 a^{4} + 3 a^{3} + 20 a^{2} + 20 a + 27\right)\cdot 31^{2} + \left(15 a^{8} + 30 a^{7} + 13 a^{6} + 10 a^{5} + 10 a^{4} + 27 a^{3} + 19 a^{2} + 12 a + 9\right)\cdot 31^{3} + \left(9 a^{8} + 10 a^{7} + 7 a^{6} + 21 a^{5} + 20 a^{4} + 29 a^{3} + 26 a^{2} + 29\right)\cdot 31^{4} + \left(12 a^{8} + 10 a^{7} + 8 a^{6} + 4 a^{5} + 4 a^{4} + 17 a^{3} + 9 a^{2} + 10 a + 24\right)\cdot 31^{5} + \left(6 a^{8} + 2 a^{7} + 20 a^{5} + 9 a^{4} + 14 a^{3} + 26 a + 22\right)\cdot 31^{6} + \left(25 a^{8} + 21 a^{6} + 10 a^{5} + 24 a^{3} + 7 a^{2} + 20 a + 7\right)\cdot 31^{7} + \left(9 a^{8} + 21 a^{7} + 23 a^{6} + a^{5} + 8 a^{4} + 14 a^{3} + 11 a^{2} + 25 a + 26\right)\cdot 31^{8} + \left(12 a^{8} + 2 a^{7} + a^{6} + 30 a^{5} + 14 a^{4} + 6 a^{3} + 26 a^{2} + 13 a + 22\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\) 16a^8 + 25a^7 + 6a^6 + 28a^5 + 25a^4 + 6a^3 + 4a^2 + 30a + 1 + (12a^8 + 14a^7 + 30a^6 + 4a^5 + 2a^4 + 21a^3 + 23a^2 + 21a + 10)31 + (26a^8 + 7a^7 + 23a^6 + 17a^5 + 12a^4 + 3a^3 + 20a^2 + 20a + 27)31^2 + (15a^8 + 30a^7 + 13a^6 + 10a^5 + 10a^4 + 27a^3 + 19a^2 + 12a + 9)31^3 + (9a^8 + 10a^7 + 7a^6 + 21a^5 + 20a^4 + 29a^3 + 26a^2 + 29)31^4 + (12a^8 + 10a^7 + 8a^6 + 4a^5 + 4a^4 + 17a^3 + 9a^2 + 10a + 24)31^5 + (6a^8 + 2a^7 + 20a^5 + 9a^4 + 14a^3 + 26a + 22)31^6 + (25a^8 + 21a^6 + 10a^5 + 24a^3 + 7a^2 + 20a + 7)31^7 + (9a^8 + 21a^7 + 23a^6 + a^5 + 8a^4 + 14a^3 + 11a^2 + 25a + 26)31^8 + (12a^8 + 2a^7 + a^6 + 30a^5 + 14a^4 + 6a^3 + 26a^2 + 13a + 22)31^9+O(31^10)

Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 18 }$

Cycle notation
$(1,8)(2,7)(3,4)(5,6)(9,16)(10,15)(11,18)(12,17)(13,14)$
$(1,15,6,7,3,12,13,9,18)(2,4,17,14,16,11,8,10,5)$
$(1,7,13)(3,9,15)(6,12,18)$
$(1,7,13)(2,8,14)(3,9,15)(4,10,16)(5,11,17)(6,12,18)$

Character values on conjugacy classes

Size	Order	Action on $r_1, \ldots, r_{ 18 }$	Character values
			$c1$	$c2$	$c3$	$c4$	$c5$	$c6$
$1$	$1$	$()$	$2$	$2$	$2$	$2$	$2$	$2$
$3$	$2$	$(1,8)(2,7)(3,4)(5,6)(9,16)(10,15)(11,18)(12,17)(13,14)$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
$1$	$3$	$(1,7,13)(2,14,8)(3,9,15)(4,16,10)(5,17,11)(6,12,18)$	$2 \zeta_{9}^{3}$	$-2 \zeta_{9}^{3} - 2$	$2 \zeta_{9}^{3}$	$-2 \zeta_{9}^{3} - 2$	$-2 \zeta_{9}^{3} - 2$	$2 \zeta_{9}^{3}$
$1$	$3$	$(1,13,7)(2,8,14)(3,15,9)(4,10,16)(5,11,17)(6,18,12)$	$-2 \zeta_{9}^{3} - 2$	$2 \zeta_{9}^{3}$	$-2 \zeta_{9}^{3} - 2$	$2 \zeta_{9}^{3}$	$2 \zeta_{9}^{3}$	$-2 \zeta_{9}^{3} - 2$
$2$	$3$	$(1,7,13)(2,8,14)(3,9,15)(4,10,16)(5,11,17)(6,12,18)$	$-1$	$-1$	$-1$	$-1$	$-1$	$-1$
$2$	$3$	$(1,7,13)(3,9,15)(6,12,18)$	$\zeta_{9}^{3} + 1$	$-\zeta_{9}^{3}$	$\zeta_{9}^{3} + 1$	$-\zeta_{9}^{3}$	$-\zeta_{9}^{3}$	$\zeta_{9}^{3} + 1$
$2$	$3$	$(1,13,7)(3,15,9)(6,18,12)$	$-\zeta_{9}^{3}$	$\zeta_{9}^{3} + 1$	$-\zeta_{9}^{3}$	$\zeta_{9}^{3} + 1$	$\zeta_{9}^{3} + 1$	$-\zeta_{9}^{3}$
$3$	$6$	$(1,2,13,8,7,14)(3,16,15,4,9,10)(5,12,11,6,17,18)$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
$3$	$6$	$(1,14,7,8,13,2)(3,10,9,4,15,16)(5,18,17,6,11,12)$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
$1$	$9$	$(1,15,6,7,3,12,13,9,18)(2,4,17,14,16,11,8,10,5)$	$-2 \zeta_{9}^{4} - 2 \zeta_{9}$	$2 \zeta_{9}^{5}$	$2 \zeta_{9}^{4}$	$-2 \zeta_{9}^{5} - 2 \zeta_{9}^{2}$	$2 \zeta_{9}^{2}$	$2 \zeta_{9}$
$1$	$9$	$(1,6,3,13,18,15,7,12,9)(2,17,16,8,5,4,14,11,10)$	$2 \zeta_{9}^{5}$	$2 \zeta_{9}$	$-2 \zeta_{9}^{5} - 2 \zeta_{9}^{2}$	$-2 \zeta_{9}^{4} - 2 \zeta_{9}$	$2 \zeta_{9}^{4}$	$2 \zeta_{9}^{2}$
$1$	$9$	$(1,3,18,7,9,6,13,15,12)(2,16,5,14,10,17,8,4,11)$	$2 \zeta_{9}$	$2 \zeta_{9}^{2}$	$-2 \zeta_{9}^{4} - 2 \zeta_{9}$	$2 \zeta_{9}^{5}$	$-2 \zeta_{9}^{5} - 2 \zeta_{9}^{2}$	$2 \zeta_{9}^{4}$
$1$	$9$	$(1,12,15,13,6,9,7,18,3)(2,11,4,8,17,10,14,5,16)$	$-2 \zeta_{9}^{5} - 2 \zeta_{9}^{2}$	$-2 \zeta_{9}^{4} - 2 \zeta_{9}$	$2 \zeta_{9}^{2}$	$2 \zeta_{9}^{4}$	$2 \zeta_{9}$	$2 \zeta_{9}^{5}$
$1$	$9$	$(1,9,12,7,15,18,13,3,6)(2,10,11,14,4,5,8,16,17)$	$2 \zeta_{9}^{4}$	$-2 \zeta_{9}^{5} - 2 \zeta_{9}^{2}$	$2 \zeta_{9}$	$2 \zeta_{9}^{2}$	$2 \zeta_{9}^{5}$	$-2 \zeta_{9}^{4} - 2 \zeta_{9}$
$1$	$9$	$(1,18,9,13,12,3,7,6,15)(2,5,10,8,11,16,14,17,4)$	$2 \zeta_{9}^{2}$	$2 \zeta_{9}^{4}$	$2 \zeta_{9}^{5}$	$2 \zeta_{9}$	$-2 \zeta_{9}^{4} - 2 \zeta_{9}$	$-2 \zeta_{9}^{5} - 2 \zeta_{9}^{2}$
$2$	$9$	$(1,3,18,7,9,6,13,15,12)(2,10,11,14,4,5,8,16,17)$	$\zeta_{9}^{4} + \zeta_{9}$	$-\zeta_{9}^{5}$	$-\zeta_{9}^{4}$	$\zeta_{9}^{5} + \zeta_{9}^{2}$	$-\zeta_{9}^{2}$	$-\zeta_{9}$
$2$	$9$	$(1,18,9,13,12,3,7,6,15)(2,11,4,8,17,10,14,5,16)$	$-\zeta_{9}^{5}$	$-\zeta_{9}$	$\zeta_{9}^{5} + \zeta_{9}^{2}$	$\zeta_{9}^{4} + \zeta_{9}$	$-\zeta_{9}^{4}$	$-\zeta_{9}^{2}$
$2$	$9$	$(1,9,12,7,15,18,13,3,6)(2,4,17,14,16,11,8,10,5)$	$-\zeta_{9}$	$-\zeta_{9}^{2}$	$\zeta_{9}^{4} + \zeta_{9}$	$-\zeta_{9}^{5}$	$\zeta_{9}^{5} + \zeta_{9}^{2}$	$-\zeta_{9}^{4}$
$2$	$9$	$(1,6,3,13,18,15,7,12,9)(2,5,10,8,11,16,14,17,4)$	$\zeta_{9}^{5} + \zeta_{9}^{2}$	$\zeta_{9}^{4} + \zeta_{9}$	$-\zeta_{9}^{2}$	$-\zeta_{9}^{4}$	$-\zeta_{9}$	$-\zeta_{9}^{5}$
$2$	$9$	$(1,15,6,7,3,12,13,9,18)(2,16,5,14,10,17,8,4,11)$	$-\zeta_{9}^{4}$	$\zeta_{9}^{5} + \zeta_{9}^{2}$	$-\zeta_{9}$	$-\zeta_{9}^{2}$	$-\zeta_{9}^{5}$	$\zeta_{9}^{4} + \zeta_{9}$
$2$	$9$	$(1,12,15,13,6,9,7,18,3)(2,17,16,8,5,4,14,11,10)$	$-\zeta_{9}^{2}$	$-\zeta_{9}^{4}$	$-\zeta_{9}^{5}$	$-\zeta_{9}$	$\zeta_{9}^{4} + \zeta_{9}$	$\zeta_{9}^{5} + \zeta_{9}^{2}$
$3$	$18$	$(1,10,6,2,3,17,13,16,18,8,15,5,7,4,12,14,9,11)$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
$3$	$18$	$(1,17,15,14,6,16,7,11,3,8,12,10,13,5,9,2,18,4)$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
$3$	$18$	$(1,16,12,2,15,11,13,4,6,8,9,17,7,10,18,14,3,5)$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
$3$	$18$	$(1,5,3,14,18,10,7,17,9,8,6,4,13,11,15,2,12,16)$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
$3$	$18$	$(1,4,18,2,9,5,13,10,12,8,3,11,7,16,6,14,15,17)$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
$3$	$18$	$(1,11,9,14,12,4,7,5,15,8,18,16,13,17,3,2,6,10)$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$

The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.

Overview	Random
Universe	Knowledge

Classical	Maass
Hilbert	Bianchi

Elliptic curves over $\Q$
Elliptic curves over $\Q(\alpha)$
Genus 2 curves over $\Q$
Higher genus families
Abelian varieties over $\F_{q}$

Introduction

L-functions

Modular forms

Varieties

Fields

Representations

Groups

Database

Properties

Related objects

Downloads

Learn more

Basic invariants

Galois action

Roots of defining polynomial

Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 18 }$

Character values on conjugacy classes

This project is supported by grants from the US National Science Foundation, the UK Engineering and Physical Sciences Research Council, and the Simons Foundation.

Label	2.729.18t16.a
Dimension	$2$
Group	$C_9\times S_3$
Conductor	$729$
Indicator	$0$