# Properties

 Label 2.700.24t65.a.d Dimension $2$ Group $C_{12}\times S_3$ Conductor $700$ Root number not computed Indicator $0$

# Related objects

## Basic invariants

 Dimension: $2$ Group: 24T65 Conductor: $$700$$$$\medspace = 2^{2} \cdot 5^{2} \cdot 7$$ Artin stem field: 24.0.368947264000000000000000000.1 Galois orbit size: $4$ Smallest permutation container: 24T65 Parity: odd Determinant: 1.28.6t1.a.b Projective image: $S_3$ Projective stem field: 3.1.980.1

## Defining polynomial

 $f(x)$ $=$ $$x^{24} - 6 x^{23} + 21 x^{22} - 54 x^{21} + 107 x^{20} - 178 x^{19} + 265 x^{18} - 376 x^{17} + 537 x^{16} - 744 x^{15} + 966 x^{14} - 1140 x^{13} + 1221 x^{12} - 1228 x^{11} + 1176 x^{10} - 1074 x^{9} + 914 x^{8} - 696 x^{7} + 471 x^{6} - 280 x^{5} + 140 x^{4} - 58 x^{3} + 21 x^{2} - 6 x + 1$$  .

The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 37 }$ to precision 8.

Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 37 }$: $$x^{12} + 4 x^{7} + 31 x^{6} + 10 x^{5} + 23 x^{4} + 23 x^{3} + 18 x^{2} + 33 x + 2$$

Roots:
 $r_{ 1 }$ $=$ $$2 a^{11} + 15 a^{10} + 12 a^{9} + 36 a^{8} + 22 a^{7} + 4 a^{6} + 11 a^{5} + 32 a^{4} + 34 a^{3} + 3 a^{2} + 7 a + 35 + \left(30 a^{11} + 17 a^{10} + 15 a^{9} + 33 a^{8} + 36 a^{7} + 35 a^{6} + 8 a^{5} + 33 a^{4} + 32 a^{2} + 16 a + 14\right)\cdot 37 + \left(20 a^{11} + 25 a^{10} + 12 a^{9} + 6 a^{8} + 21 a^{7} + 31 a^{6} + 25 a^{5} + 16 a^{4} + 29 a^{2} + 3 a + 35\right)\cdot 37^{2} + \left(13 a^{11} + 5 a^{10} + 15 a^{9} + 26 a^{8} + 28 a^{7} + 33 a^{6} + 21 a^{5} + 3 a^{4} + 26 a^{3} + 22 a^{2} + 2 a + 13\right)\cdot 37^{3} + \left(10 a^{11} + 11 a^{10} + 6 a^{9} + 27 a^{8} + 13 a^{7} + 22 a^{6} + 28 a^{5} + 10 a^{4} + 34 a^{3} + 21 a^{2} + 35 a + 6\right)\cdot 37^{4} + \left(34 a^{11} + 3 a^{10} + 34 a^{9} + 30 a^{8} + 35 a^{6} + 24 a^{5} + 21 a^{4} + 28 a^{3} + 28 a^{2} + 20 a + 33\right)\cdot 37^{5} + \left(29 a^{11} + 2 a^{10} + 35 a^{9} + 12 a^{8} + 16 a^{7} + 7 a^{6} + 29 a^{5} + 22 a^{4} + 31 a^{3} + 24 a^{2} + 10 a + 15\right)\cdot 37^{6} + \left(11 a^{11} + 8 a^{10} + 24 a^{9} + 30 a^{8} + 4 a^{7} + 17 a^{6} + 18 a^{5} + 19 a^{4} + 28 a^{3} + 22 a^{2} + 4 a + 15\right)\cdot 37^{7} +O(37^{8})$$ $r_{ 2 }$ $=$ $$26 a^{11} + 34 a^{10} + 34 a^{9} + 3 a^{8} + 5 a^{6} + 2 a^{5} + 11 a^{4} + 12 a^{3} + 16 a^{2} + 7 a + 9 + \left(12 a^{11} + 33 a^{10} + 11 a^{9} + 9 a^{8} + 24 a^{7} + a^{6} + 29 a^{2} + 20 a + 9\right)\cdot 37 + \left(20 a^{11} + 17 a^{10} + 18 a^{9} + a^{8} + 16 a^{7} + 32 a^{6} + 11 a^{5} + 3 a^{4} + 28 a^{2} + 16 a + 22\right)\cdot 37^{2} + \left(27 a^{11} + 16 a^{10} + 13 a^{9} + 7 a^{8} + 3 a^{7} + 13 a^{6} + 9 a^{5} + 24 a^{4} + 16 a^{3} + 7 a^{2} + 27 a + 27\right)\cdot 37^{3} + \left(30 a^{11} + 24 a^{10} + 25 a^{9} + 36 a^{8} + 26 a^{7} + 19 a^{6} + 24 a^{5} + 4 a^{4} + 31 a^{2} + 36 a + 21\right)\cdot 37^{4} + \left(4 a^{11} + 35 a^{10} + 32 a^{9} + 20 a^{8} + 4 a^{7} + 27 a^{6} + 4 a^{5} + 2 a^{4} + 20 a^{3} + 21 a^{2} + 31 a + 23\right)\cdot 37^{5} + \left(25 a^{11} + 21 a^{10} + 5 a^{9} + 36 a^{8} + 21 a^{7} + 11 a^{6} + 25 a^{5} + 25 a^{4} + 19 a^{3} + a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 37^{6} + \left(6 a^{11} + 24 a^{10} + 5 a^{9} + 6 a^{8} + 7 a^{7} + 23 a^{6} + 7 a^{5} + 23 a^{4} + 30 a^{3} + 18 a^{2} + 33 a + 34\right)\cdot 37^{7} +O(37^{8})$$ $r_{ 3 }$ $=$ $$18 a^{11} + 17 a^{10} + 30 a^{9} + 12 a^{7} + 27 a^{6} + 3 a^{5} + 13 a^{4} + 7 a^{3} + 20 a^{2} + 3 a + 6 + \left(11 a^{11} + 5 a^{10} + 33 a^{9} + 22 a^{8} + 11 a^{7} + 26 a^{6} + 11 a^{5} + 28 a^{4} + 11 a^{3} + 14 a^{2} + 33 a + 4\right)\cdot 37 + \left(23 a^{11} + 2 a^{10} + 17 a^{9} + 19 a^{8} + 28 a^{7} + 33 a^{6} + 16 a^{5} + 30 a^{4} + 19 a^{3} + 3 a^{2} + 5 a + 36\right)\cdot 37^{2} + \left(3 a^{11} + 29 a^{10} + 22 a^{9} + 31 a^{8} + 33 a^{7} + 21 a^{6} + 22 a^{5} + 22 a^{4} + 24 a^{3} + 10 a^{2} + 32 a + 27\right)\cdot 37^{3} + \left(3 a^{11} + 6 a^{10} + 33 a^{9} + 2 a^{8} + 12 a^{7} + 2 a^{6} + 32 a^{5} + 8 a^{4} + 5 a^{3} + 2 a^{2} + 21 a + 11\right)\cdot 37^{4} + \left(33 a^{11} + 33 a^{10} + 25 a^{9} + 33 a^{8} + 32 a^{7} + 3 a^{6} + 29 a^{5} + 11 a^{4} + 7 a^{3} + 11 a^{2} + 12 a + 27\right)\cdot 37^{5} + \left(3 a^{11} + 3 a^{10} + 21 a^{9} + 16 a^{8} + 11 a^{7} + 18 a^{6} + 10 a^{5} + 5 a^{4} + 7 a^{3} + 32 a^{2} + 8 a + 11\right)\cdot 37^{6} + \left(17 a^{11} + 16 a^{10} + 2 a^{9} + 26 a^{8} + 20 a^{7} + 26 a^{6} + 19 a^{5} + 9 a^{4} + 16 a^{3} + 24 a^{2} + 11 a + 30\right)\cdot 37^{7} +O(37^{8})$$ $r_{ 4 }$ $=$ $$31 a^{11} + 7 a^{10} + 35 a^{9} + 8 a^{8} + 13 a^{7} + 30 a^{6} + 22 a^{5} + 2 a^{4} + 24 a^{3} + 30 a^{2} + 19 a + 13 + \left(32 a^{11} + 27 a^{10} + 35 a^{9} + 15 a^{8} + 17 a^{7} + 9 a^{6} + 29 a^{5} + 23 a^{4} + 13 a^{3} + 25 a^{2} + 29 a + 12\right)\cdot 37 + \left(28 a^{11} + 15 a^{10} + 7 a^{9} + 12 a^{8} + 17 a^{7} + 21 a^{6} + 11 a^{5} + 15 a^{4} + 2 a^{3} + 2 a^{2} + 35 a + 14\right)\cdot 37^{2} + \left(12 a^{11} + 34 a^{10} + 26 a^{9} + 26 a^{8} + 32 a^{7} + 35 a^{6} + 16 a^{5} + 7 a^{4} + 25 a^{2} + 30 a + 15\right)\cdot 37^{3} + \left(13 a^{11} + 15 a^{10} + 3 a^{9} + 31 a^{8} + 32 a^{6} + 3 a^{5} + a^{4} + 25 a^{3} + 36 a^{2} + 11 a + 14\right)\cdot 37^{4} + \left(20 a^{11} + 24 a^{10} + 13 a^{9} + 11 a^{8} + 8 a^{7} + 23 a^{6} + 28 a^{5} + 9 a^{4} + 5 a^{3} + 33 a^{2} + 27 a + 24\right)\cdot 37^{5} + \left(25 a^{11} + 10 a^{10} + 18 a^{9} + 34 a^{8} + 29 a^{7} + 31 a^{6} + 21 a^{5} + 33 a^{4} + 21 a^{3} + 7 a + 18\right)\cdot 37^{6} + \left(8 a^{11} + 31 a^{10} + 32 a^{9} + 26 a^{8} + 20 a^{7} + 10 a^{6} + 21 a^{4} + a^{3} + 30 a^{2} + 35 a + 13\right)\cdot 37^{7} +O(37^{8})$$ $r_{ 5 }$ $=$ $$23 a^{11} + 8 a^{10} + 2 a^{9} + 27 a^{8} + a^{7} + 24 a^{6} + 28 a^{5} + 26 a^{4} + 4 a^{3} + 29 a^{2} + 5 a + 8 + \left(17 a^{11} + 20 a^{10} + 6 a^{9} + 19 a^{8} + 3 a^{7} + 29 a^{6} + 11 a^{5} + 8 a^{4} + 19 a^{3} + 7 a^{2} + 8 a + 6\right)\cdot 37 + \left(21 a^{11} + 23 a^{10} + 15 a^{9} + 23 a^{8} + 35 a^{7} + 29 a^{6} + 33 a^{5} + 15 a^{4} + 35 a^{3} + 17 a^{2} + 31 a + 5\right)\cdot 37^{2} + \left(7 a^{11} + 12 a^{10} + 6 a^{9} + 18 a^{8} + 12 a^{6} + 18 a^{5} + 3 a^{4} + 20 a^{3} + 31 a + 6\right)\cdot 37^{3} + \left(36 a^{11} + 7 a^{10} + 17 a^{9} + 32 a^{8} + 33 a^{7} + 36 a^{6} + 9 a^{5} + 34 a^{4} + a^{3} + 3 a^{2} + 6 a + 35\right)\cdot 37^{4} + \left(6 a^{11} + 4 a^{10} + 7 a^{9} + 17 a^{7} + 33 a^{5} + 8 a^{4} + 30 a^{3} + 27 a^{2} + 30 a + 22\right)\cdot 37^{5} + \left(7 a^{11} + 36 a^{10} + 19 a^{9} + 4 a^{8} + 36 a^{7} + 18 a^{6} + 31 a^{5} + 32 a^{4} + 22 a^{3} + 30 a^{2} + 28 a + 10\right)\cdot 37^{6} + \left(15 a^{11} + 13 a^{10} + 30 a^{9} + 22 a^{8} + 5 a^{7} + 10 a^{6} + 36 a^{5} + 6 a^{4} + 7 a^{3} + 5 a^{2} + 11 a + 7\right)\cdot 37^{7} +O(37^{8})$$ $r_{ 6 }$ $=$ $$25 a^{11} + 26 a^{10} + 26 a^{9} + 36 a^{8} + 31 a^{7} + 13 a^{6} + 21 a^{5} + 7 a^{4} + a^{3} + 15 a^{2} + 34 a + 18 + \left(17 a^{11} + 16 a^{10} + 9 a^{9} + 22 a^{8} + 4 a^{7} + 7 a^{6} + 4 a^{5} + 31 a^{4} + 13 a^{3} + 9 a^{2} + 13 a + 12\right)\cdot 37 + \left(17 a^{11} + 19 a^{10} + 23 a^{9} + 21 a^{8} + 4 a^{7} + 30 a^{6} + 28 a^{5} + 23 a^{4} + 23 a^{3} + 18 a^{2} + 29 a + 25\right)\cdot 37^{2} + \left(20 a^{11} + 27 a^{10} + 16 a^{9} + 12 a^{8} + 20 a^{7} + 15 a^{6} + 12 a^{5} + 19 a^{4} + 11 a^{3} + 14 a^{2} + 20 a + 32\right)\cdot 37^{3} + \left(12 a^{11} + 22 a^{10} + 7 a^{9} + 29 a^{8} + 22 a^{7} + 9 a^{6} + 2 a^{5} + 34 a^{4} + 13 a^{3} + 25 a^{2} + 23\right)\cdot 37^{4} + \left(21 a^{11} + 27 a^{10} + 5 a^{9} + 24 a^{8} + 19 a^{7} + 36 a^{6} + 31 a^{5} + a^{4} + 9 a^{3} + 23 a^{2} + 24 a + 2\right)\cdot 37^{5} + \left(11 a^{11} + 27 a^{10} + 6 a^{9} + 11 a^{8} + 7 a^{7} + 2 a^{6} + 26 a^{5} + 6 a^{3} + a^{2} + 4 a + 12\right)\cdot 37^{6} + \left(21 a^{11} + 3 a^{10} + 20 a^{9} + 11 a^{8} + 23 a^{7} + a^{6} + 31 a^{5} + 28 a^{4} + 28 a^{3} + 6 a^{2} + 15 a\right)\cdot 37^{7} +O(37^{8})$$ $r_{ 7 }$ $=$ $$5 a^{11} + 35 a^{10} + 10 a^{9} + 32 a^{8} + 30 a^{7} + 13 a^{6} + 26 a^{5} + 28 a^{4} + 3 a^{2} + 2 a + 2 + \left(19 a^{11} + 29 a^{10} + 25 a^{9} + 34 a^{8} + 32 a^{7} + 32 a^{6} + 4 a^{5} + 26 a^{4} + 32 a^{3} + 19 a^{2} + 25 a + 10\right)\cdot 37 + \left(a^{11} + 8 a^{10} + 33 a^{9} + a^{8} + 18 a^{6} + 34 a^{5} + 2 a^{4} + 14 a^{3} + 27 a^{2} + 25 a + 24\right)\cdot 37^{2} + \left(32 a^{11} + a^{10} + 20 a^{9} + 29 a^{8} + 15 a^{7} + 32 a^{6} + 27 a^{5} + 6 a^{4} + 10 a^{3} + 10 a^{2} + 24 a + 33\right)\cdot 37^{3} + \left(9 a^{11} + 26 a^{10} + 14 a^{9} + 28 a^{8} + 31 a^{7} + 29 a^{6} + 30 a^{5} + 33 a^{4} + 15 a^{3} + a^{2} + 4 a + 34\right)\cdot 37^{4} + \left(15 a^{11} + 16 a^{10} + 9 a^{9} + 17 a^{8} + 36 a^{7} + 28 a^{6} + 35 a^{5} + 14 a^{4} + 11 a^{3} + 29 a^{2} + 35 a + 36\right)\cdot 37^{5} + \left(36 a^{11} + 27 a^{10} + 13 a^{9} + 5 a^{8} + 10 a^{7} + 31 a^{6} + 32 a^{5} + 10 a^{4} + 12 a^{3} + 31 a^{2} + 12 a + 14\right)\cdot 37^{6} + \left(2 a^{11} + 32 a^{10} + 36 a^{9} + 31 a^{7} + 27 a^{6} + 12 a^{5} + 33 a^{4} + 7 a^{3} + 5 a^{2} + 10 a\right)\cdot 37^{7} +O(37^{8})$$ $r_{ 8 }$ $=$ $$13 a^{10} + 8 a^{9} + 24 a^{8} + 19 a^{7} + 2 a^{6} + 36 a^{5} + 4 a^{4} + 10 a^{3} + 36 a^{2} + 15 a + 24 + \left(4 a^{11} + 36 a^{10} + 5 a^{9} + 34 a^{8} + 9 a^{7} + 7 a^{6} + 12 a^{5} + a^{4} + 16 a^{3} + 5 a^{2} + 18 a + 24\right)\cdot 37 + \left(36 a^{11} + a^{10} + 28 a^{9} + 12 a^{8} + 14 a^{7} + 17 a^{6} + 30 a^{5} + 31 a^{4} + 7 a^{3} + 5 a^{2} + 8 a + 18\right)\cdot 37^{2} + \left(17 a^{11} + 8 a^{10} + 2 a^{9} + 2 a^{8} + 3 a^{7} + 33 a^{6} + 36 a^{5} + 12 a^{4} + 14 a^{3} + 14 a^{2} + 31 a + 6\right)\cdot 37^{3} + \left(22 a^{10} + 33 a^{9} + 15 a^{7} + 34 a^{6} + 16 a^{5} + 36 a^{4} + 20 a^{3} + 29 a^{2} + 8 a + 29\right)\cdot 37^{4} + \left(15 a^{11} + 19 a^{10} + 6 a^{9} + a^{8} + 21 a^{7} + 5 a^{6} + 30 a^{5} + 36 a^{4} + 12 a^{3} + 17 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 37^{5} + \left(7 a^{11} + 33 a^{10} + 15 a^{9} + 9 a^{8} + 13 a^{7} + 5 a^{6} + 18 a^{5} + 3 a^{4} + 23 a^{3} + 24 a^{2} + 36 a + 15\right)\cdot 37^{6} + \left(5 a^{11} + 24 a^{10} + 15 a^{9} + 30 a^{7} + 33 a^{6} + 10 a^{5} + 28 a^{4} + 29 a^{3} + 26 a^{2} + 12 a + 2\right)\cdot 37^{7} +O(37^{8})$$ $r_{ 9 }$ $=$ $$2 a^{11} + 11 a^{10} + 14 a^{9} + 21 a^{8} + 18 a^{7} + 21 a^{6} + 3 a^{5} + 18 a^{4} + 21 a^{3} + 2 a^{2} + 8 a + 33 + \left(34 a^{11} + 15 a^{10} + 32 a^{9} + a^{8} + 27 a^{7} + 19 a^{6} + 17 a^{5} + 17 a^{4} + 20 a^{3} + 19 a^{2} + 4 a + 4\right)\cdot 37 + \left(24 a^{11} + 32 a^{9} + 26 a^{8} + 28 a^{7} + 9 a^{6} + 10 a^{5} + 10 a^{4} + 29 a^{3} + 29 a^{2} + 34 a + 10\right)\cdot 37^{2} + \left(36 a^{11} + 19 a^{10} + 30 a^{9} + 35 a^{8} + 4 a^{7} + 6 a^{6} + 35 a^{5} + 18 a^{4} + 17 a^{3} + 19 a^{2} + 17 a + 31\right)\cdot 37^{3} + \left(6 a^{11} + 5 a^{10} + 9 a^{9} + 17 a^{8} + 17 a^{7} + a^{6} + 29 a^{5} + 17 a^{4} + 27 a^{3} + 26 a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 37^{4} + \left(a^{11} + 22 a^{10} + 12 a^{9} + 4 a^{8} + 15 a^{7} + 36 a^{6} + 29 a^{5} + 28 a^{4} + 26 a^{3} + 16 a^{2} + 5 a + 25\right)\cdot 37^{5} + \left(19 a^{11} + 24 a^{10} + 20 a^{9} + 21 a^{8} + 20 a^{7} + 19 a^{6} + 11 a^{5} + 9 a^{3} + 33 a^{2} + 30 a + 11\right)\cdot 37^{6} + \left(11 a^{11} + 12 a^{10} + 27 a^{9} + 31 a^{8} + 24 a^{7} + 4 a^{5} + 9 a^{4} + 8 a^{3} + 7 a^{2} + 5 a + 10\right)\cdot 37^{7} +O(37^{8})$$ $r_{ 10 }$ $=$ $$5 a^{11} + 34 a^{10} + 28 a^{9} + 3 a^{8} + 19 a^{7} + 4 a^{6} + 20 a^{5} + 23 a^{4} + 5 a^{3} + 29 a^{2} + 27 a + 22 + \left(29 a^{11} + 29 a^{10} + 28 a^{9} + 24 a^{8} + 5 a^{7} + 31 a^{6} + 34 a^{5} + 14 a^{4} + 7 a^{3} + 33 a^{2} + 6 a + 11\right)\cdot 37 + \left(26 a^{11} + 15 a^{10} + 11 a^{9} + 34 a^{8} + 17 a^{7} + 3 a^{6} + 12 a^{5} + 14 a^{4} + 36 a^{3} + 4 a^{2} + 26 a + 15\right)\cdot 37^{2} + \left(35 a^{11} + 9 a^{10} + 33 a^{9} + 28 a^{8} + 8 a^{7} + 28 a^{6} + a^{5} + 2 a^{4} + 36 a^{3} + 33 a^{2} + 22 a + 16\right)\cdot 37^{3} + \left(34 a^{11} + 27 a^{10} + 11 a^{9} + 31 a^{8} + 9 a^{7} + 9 a^{6} + 29 a^{5} + 6 a^{4} + 29 a^{3} + 35 a + 29\right)\cdot 37^{4} + \left(a^{11} + 26 a^{10} + 33 a^{9} + 6 a^{8} + 35 a^{7} + 3 a^{6} + 36 a^{5} + 12 a^{4} + 25 a^{3} + 7 a^{2} + 29 a + 12\right)\cdot 37^{5} + \left(32 a^{11} + 4 a^{10} + 13 a^{9} + 10 a^{8} + 22 a^{7} + 22 a^{6} + 10 a^{5} + 18 a^{4} + 9 a^{3} + 33 a^{2} + 36 a + 1\right)\cdot 37^{6} + \left(9 a^{11} + 25 a^{10} + 24 a^{9} + 26 a^{8} + 15 a^{7} + 23 a^{6} + 10 a^{5} + 26 a^{4} + 2 a^{3} + 25 a^{2} + 7 a + 27\right)\cdot 37^{7} +O(37^{8})$$ $r_{ 11 }$ $=$ $$11 a^{11} + 27 a^{10} + 12 a^{9} + 27 a^{8} + 9 a^{7} + 20 a^{6} + 21 a^{5} + 15 a^{4} + 23 a^{3} + 32 a^{2} + 4 a + 24 + \left(25 a^{11} + 29 a^{10} + 18 a^{9} + 11 a^{8} + 9 a^{7} + 11 a^{6} + 19 a^{5} + 6 a^{4} + 25 a^{3} + 27 a^{2} + 18 a + 36\right)\cdot 37 + \left(34 a^{11} + 23 a^{10} + a^{9} + 20 a^{8} + 20 a^{7} + a^{6} + 25 a^{5} + 31 a^{4} + 35 a^{3} + 22 a^{2} + 7 a + 24\right)\cdot 37^{2} + \left(35 a^{11} + 35 a^{10} + 5 a^{9} + 4 a^{8} + 35 a^{7} + 27 a^{6} + 33 a^{5} + 31 a^{4} + 10 a^{3} + 7 a^{2} + 21 a + 31\right)\cdot 37^{3} + \left(15 a^{11} + 2 a^{10} + 21 a^{9} + 9 a^{8} + 21 a^{7} + 36 a^{6} + 27 a^{4} + 15 a^{3} + 19 a^{2} + 15 a + 6\right)\cdot 37^{4} + \left(6 a^{11} + 27 a^{10} + 16 a^{9} + 30 a^{8} + 8 a^{7} + 6 a^{6} + 34 a^{5} + 2 a^{4} + 19 a^{3} + 9 a^{2} + 28 a + 31\right)\cdot 37^{5} + \left(6 a^{11} + 18 a^{10} + 14 a^{9} + 17 a^{8} + 31 a^{7} + 36 a^{6} + 3 a^{5} + 27 a^{4} + 35 a^{3} + 34 a^{2} + 15 a + 12\right)\cdot 37^{6} + \left(33 a^{11} + 8 a^{10} + 11 a^{9} + 16 a^{8} + 19 a^{7} + 34 a^{6} + 30 a^{5} + 9 a^{4} + 20 a^{3} + 25 a^{2} + 18 a + 9\right)\cdot 37^{7} +O(37^{8})$$ $r_{ 12 }$ $=$ $$33 a^{11} + 28 a^{10} + 19 a^{9} + 10 a^{8} + 33 a^{7} + 22 a^{6} + 27 a^{5} + 32 a^{4} + 4 a^{3} + 24 a^{2} + a + 5 + \left(17 a^{11} + 6 a^{10} + 30 a^{9} + 21 a^{8} + 34 a^{7} + 2 a^{6} + 28 a^{5} + 13 a^{4} + 14 a^{3} + 23 a^{2} + 32 a + 10\right)\cdot 37 + \left(13 a^{11} + 34 a^{10} + 13 a^{9} + 34 a^{8} + 16 a^{7} + 6 a^{6} + 11 a^{5} + 10 a^{4} + a^{3} + 23 a^{2} + 21 a + 30\right)\cdot 37^{2} + \left(24 a^{11} + a^{10} + 24 a^{9} + 18 a^{8} + a^{7} + 35 a^{6} + 7 a^{5} + 9 a^{4} + 19 a^{3} + 10 a^{2} + 16 a + 24\right)\cdot 37^{3} + \left(23 a^{11} + 18 a^{10} + 7 a^{9} + a^{8} + 31 a^{7} + 15 a^{6} + 5 a^{5} + 3 a^{4} + 16 a^{3} + 9 a^{2} + 20 a + 8\right)\cdot 37^{4} + \left(14 a^{11} + 3 a^{10} + 26 a^{9} + 35 a^{8} + 17 a^{7} + 4 a^{6} + 23 a^{5} + 25 a^{4} + 18 a^{3} + 8 a^{2} + 24 a + 33\right)\cdot 37^{5} + \left(34 a^{11} + 18 a^{10} + 16 a^{9} + 23 a^{8} + 4 a^{7} + 23 a^{6} + 10 a^{5} + 2 a^{4} + 17 a^{3} + 15 a^{2} + 22 a + 28\right)\cdot 37^{6} + \left(4 a^{11} + 10 a^{10} + 26 a^{9} + 12 a^{8} + 9 a^{7} + 25 a^{6} + 12 a^{5} + 30 a^{4} + 35 a^{3} + 23 a^{2} + 15 a + 1\right)\cdot 37^{7} +O(37^{8})$$ $r_{ 13 }$ $=$ $$29 a^{11} + 36 a^{10} + 24 a^{9} + 31 a^{8} + a^{7} + 36 a^{6} + 20 a^{5} + 27 a^{4} + 14 a^{3} + 7 a^{2} + 13 a + 9 + \left(9 a^{10} + 34 a^{9} + 16 a^{8} + 2 a^{7} + 4 a^{6} + 7 a^{5} + 12 a^{4} + 33 a^{3} + 3 a^{2} + 23 a + 19\right)\cdot 37 + \left(13 a^{11} + 25 a^{10} + 29 a^{9} + 13 a^{8} + 18 a^{7} + 33 a^{6} + 9 a^{5} + 11 a^{4} + 17 a^{3} + 20 a^{2} + 14 a + 6\right)\cdot 37^{2} + \left(35 a^{11} + 30 a^{10} + a^{9} + 18 a^{8} + 36 a^{7} + 3 a^{6} + 11 a^{5} + 2 a^{4} + 26 a^{3} + 34 a^{2} + 13 a + 8\right)\cdot 37^{3} + \left(16 a^{11} + 7 a^{10} + 36 a^{9} + 18 a^{8} + 18 a^{6} + 23 a^{5} + 32 a^{4} + 36 a^{2} + 18 a + 17\right)\cdot 37^{4} + \left(35 a^{11} + 11 a^{10} + 11 a^{9} + 12 a^{8} + 29 a^{7} + 32 a^{6} + 8 a^{5} + 33 a^{4} + 4 a^{3} + 31 a^{2} + 15 a + 9\right)\cdot 37^{5} + \left(13 a^{11} + 23 a^{10} + 2 a^{9} + 2 a^{8} + 11 a^{6} + 2 a^{5} + 14 a^{4} + 25 a^{3} + 23 a^{2} + 17 a + 4\right)\cdot 37^{6} + \left(22 a^{11} + 26 a^{10} + 9 a^{9} + 16 a^{8} + 26 a^{7} + 24 a^{6} + 3 a^{5} + 13 a^{4} + 29 a^{3} + a^{2} + 23 a + 7\right)\cdot 37^{7} +O(37^{8})$$ $r_{ 14 }$ $=$ $$2 a^{11} + 8 a^{10} + 2 a^{9} + 27 a^{8} + 9 a^{7} + 29 a^{6} + 26 a^{5} + 24 a^{4} + 16 a^{3} + 3 a^{2} + 21 a + 9 + \left(23 a^{11} + 9 a^{10} + 27 a^{9} + 22 a^{8} + 26 a^{7} + 27 a^{6} + 14 a^{5} + 28 a^{4} + 30 a^{3} + 21 a^{2} + 12 a + 24\right)\cdot 37 + \left(16 a^{11} + 15 a^{10} + 11 a^{9} + 13 a^{8} + 20 a^{7} + 14 a^{6} + 14 a^{5} + 29 a^{4} + 36 a^{3} + 30 a^{2} + 23 a + 30\right)\cdot 37^{2} + \left(33 a^{11} + 36 a^{10} + 12 a^{8} + 3 a^{7} + 33 a^{6} + 20 a^{5} + 6 a^{4} + 25 a^{3} + 15 a^{2} + 2 a + 22\right)\cdot 37^{3} + \left(17 a^{11} + 22 a^{10} + 4 a^{9} + 26 a^{8} + 31 a^{7} + 13 a^{6} + 8 a^{5} + 11 a^{4} + 23 a^{3} + 6 a^{2} + 35 a + 7\right)\cdot 37^{4} + \left(30 a^{11} + 28 a^{10} + 20 a^{9} + 30 a^{8} + a^{7} + 4 a^{6} + 16 a^{5} + 12 a^{4} + 27 a^{3} + 20 a^{2} + 34 a + 31\right)\cdot 37^{5} + \left(16 a^{11} + 4 a^{10} + 26 a^{9} + 23 a^{8} + 9 a^{7} + 20 a^{6} + 24 a^{5} + 3 a^{4} + 32 a^{3} + 36 a^{2} + 22 a + 6\right)\cdot 37^{6} + \left(22 a^{11} + 24 a^{10} + 11 a^{9} + 2 a^{8} + 9 a^{7} + 16 a^{6} + 23 a^{5} + 20 a^{4} + 28 a^{3} + 14 a^{2} + 25 a + 21\right)\cdot 37^{7} +O(37^{8})$$ $r_{ 15 }$ $=$ $$34 a^{11} + 6 a^{10} + 6 a^{9} + 14 a^{8} + 29 a^{7} + 29 a^{6} + 21 a^{5} + 8 a^{4} + 16 a^{3} + 8 a^{2} + 15 a + 2 + \left(17 a^{11} + 2 a^{10} + 23 a^{9} + 12 a^{8} + 36 a^{7} + 36 a^{6} + 7 a^{5} + 7 a^{4} + 6 a^{3} + 24 a^{2} + 26 a + 24\right)\cdot 37 + \left(16 a^{11} + 16 a^{10} + 14 a^{9} + 35 a^{8} + 26 a^{7} + 24 a^{6} + 25 a^{5} + 15 a^{4} + 35 a^{3} + 26 a^{2} + 30 a + 25\right)\cdot 37^{2} + \left(35 a^{11} + 8 a^{10} + 7 a^{9} + 3 a^{8} + 9 a^{7} + 35 a^{6} + 30 a^{5} + 14 a^{4} + 19 a^{3} + 3 a^{2} + 34 a\right)\cdot 37^{3} + \left(16 a^{10} + 22 a^{9} + a^{8} + 7 a^{7} + 30 a^{6} + 29 a^{5} + 24 a^{4} + 7 a^{3} + 33 a^{2} + 2 a + 19\right)\cdot 37^{4} + \left(19 a^{11} + 23 a^{10} + 2 a^{9} + 7 a^{7} + 35 a^{6} + 5 a^{5} + 4 a^{4} + 17 a^{3} + 29 a^{2} + 18 a + 31\right)\cdot 37^{5} + \left(a^{11} + 21 a^{10} + 5 a^{9} + 18 a^{8} + 7 a^{7} + 14 a^{6} + 28 a^{5} + 30 a^{4} + 34 a^{3} + 28 a^{2} + 14 a + 16\right)\cdot 37^{6} + \left(32 a^{11} + 11 a^{10} + 8 a^{9} + 8 a^{8} + 33 a^{7} + 12 a^{6} + 10 a^{5} + 10 a^{4} + 31 a^{3} + 12 a^{2} + 30 a + 34\right)\cdot 37^{7} +O(37^{8})$$ $r_{ 16 }$ $=$ $$28 a^{11} + 8 a^{10} + 22 a^{9} + 15 a^{8} + 23 a^{7} + 4 a^{6} + 32 a^{5} + 18 a^{4} + 30 a^{2} + 9 a + 24 + \left(26 a^{11} + 16 a^{10} + 35 a^{9} + 28 a^{8} + 28 a^{7} + 16 a^{6} + 4 a^{5} + a^{4} + 21 a^{3} + 18 a^{2} + 16 a + 12\right)\cdot 37 + \left(27 a^{11} + 36 a^{10} + 12 a^{9} + 17 a^{8} + 16 a^{7} + 4 a^{6} + 24 a^{5} + 25 a^{4} + 29 a^{3} + 10 a^{2} + 21 a + 4\right)\cdot 37^{2} + \left(17 a^{11} + 9 a^{10} + 25 a^{9} + 25 a^{8} + a^{7} + 28 a^{6} + 19 a^{5} + 26 a^{4} + 35 a^{3} + 12 a^{2} + 22 a + 34\right)\cdot 37^{3} + \left(22 a^{11} + 32 a^{10} + 10 a^{8} + 18 a^{7} + 17 a^{6} + 26 a^{5} + 16 a^{4} + 31 a^{3} + 8 a^{2} + 9 a + 20\right)\cdot 37^{4} + \left(15 a^{11} + 10 a^{10} + 33 a^{9} + 2 a^{8} + 14 a^{7} + 24 a^{6} + 2 a^{4} + 16 a^{3} + 33 a^{2} + 27 a + 9\right)\cdot 37^{5} + \left(30 a^{11} + 15 a^{10} + 32 a^{9} + 17 a^{8} + 30 a^{7} + 17 a^{6} + 8 a^{5} + 24 a^{4} + 26 a^{3} + 18 a^{2} + 15 a + 33\right)\cdot 37^{6} + \left(17 a^{11} + 5 a^{10} + 10 a^{9} + 8 a^{8} + 30 a^{7} + 21 a^{6} + 7 a^{5} + 35 a^{4} + 31 a^{3} + 7 a^{2} + 17 a + 35\right)\cdot 37^{7} +O(37^{8})$$ $r_{ 17 }$ $=$ $$34 a^{11} + 16 a^{10} + 16 a^{9} + 9 a^{8} + 7 a^{7} + 9 a^{6} + 9 a^{5} + 14 a^{4} + 4 a^{3} + 9 a^{2} + 6 a + 25 + \left(28 a^{11} + 36 a^{10} + 7 a^{9} + 11 a^{8} + 4 a^{7} + 30 a^{6} + 11 a^{5} + 5 a^{4} + 19 a^{3} + 10 a^{2} + 7 a + 29\right)\cdot 37 + \left(5 a^{11} + 30 a^{10} + 23 a^{9} + 9 a^{8} + 6 a^{7} + 36 a^{6} + 13 a^{5} + 26 a^{4} + 28 a^{3} + 3 a^{2} + 8 a + 3\right)\cdot 37^{2} + \left(30 a^{11} + 12 a^{10} + 24 a^{9} + 5 a^{8} + 7 a^{7} + 25 a^{6} + 25 a^{5} + 31 a^{4} + 15 a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 37^{3} + \left(33 a^{11} + 31 a^{10} + 32 a^{9} + 4 a^{8} + 34 a^{7} + 5 a^{6} + 16 a^{5} + 17 a^{4} + 2 a^{3} + 33 a^{2} + 10 a + 8\right)\cdot 37^{4} + \left(26 a^{11} + 7 a^{10} + 24 a^{9} + 23 a^{8} + 3 a^{7} + 18 a^{6} + 33 a^{5} + 21 a^{4} + 30 a^{3} + 28 a^{2} + 11 a + 9\right)\cdot 37^{5} + \left(20 a^{11} + 11 a^{9} + 8 a^{8} + 30 a^{7} + 10 a^{6} + 16 a^{5} + 32 a^{4} + 25 a^{3} + 27 a^{2} + 20 a + 27\right)\cdot 37^{6} + \left(21 a^{11} + 17 a^{10} + 33 a^{9} + 26 a^{8} + 13 a^{7} + 36 a^{6} + a^{5} + 27 a^{4} + 34 a^{3} + 33 a^{2} + 31 a + 8\right)\cdot 37^{7} +O(37^{8})$$ $r_{ 18 }$ $=$ $$3 a^{11} + 13 a^{10} + 31 a^{9} + 7 a^{8} + 30 a^{7} + 29 a^{6} + 17 a^{5} + 25 a^{4} + 29 a^{3} + 17 a^{2} + 18 a + 34 + \left(27 a^{11} + 22 a^{10} + 34 a^{9} + 33 a^{8} + 9 a^{7} + 17 a^{6} + 21 a^{5} + 12 a^{4} + 12 a^{3} + 3\right)\cdot 37 + \left(16 a^{11} + 34 a^{10} + 13 a^{9} + 8 a^{8} + 6 a^{7} + 27 a^{6} + a^{5} + 6 a^{4} + 28 a^{3} + 33 a^{2} + 19 a + 9\right)\cdot 37^{2} + \left(10 a^{11} + 11 a^{10} + 32 a^{9} + 23 a^{8} + 22 a^{7} + 7 a^{6} + a^{5} + 23 a^{4} + 2 a^{3} + 6 a^{2} + 6 a + 14\right)\cdot 37^{3} + \left(18 a^{11} + 6 a^{10} + 11 a^{9} + 31 a^{8} + 22 a^{7} + 28 a^{6} + 10 a^{5} + 17 a^{4} + 34 a^{3} + 23 a^{2} + 36 a + 31\right)\cdot 37^{4} + \left(30 a^{11} + 34 a^{10} + 24 a^{8} + 14 a^{7} + 31 a^{6} + 19 a^{5} + 10 a^{3} + 11 a^{2} + 3 a + 13\right)\cdot 37^{5} + \left(34 a^{11} + 9 a^{10} + 35 a^{9} + 8 a^{8} + 33 a^{7} + 21 a^{6} + 5 a^{5} + 2 a^{4} + 36 a^{3} + 26 a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 37^{6} + \left(30 a^{11} + 36 a^{10} + 9 a^{9} + 13 a^{8} + 36 a^{7} + 24 a^{5} + 8 a^{4} + 15 a^{3} + 6 a^{2} + a + 19\right)\cdot 37^{7} +O(37^{8})$$ $r_{ 19 }$ $=$ $$8 a^{11} + 10 a^{10} + 21 a^{9} + 25 a^{8} + 7 a^{7} + 8 a^{6} + a^{5} + 34 a^{4} + 15 a^{3} + 8 a^{2} + 32 a + 20 + \left(20 a^{11} + 26 a^{10} + 13 a^{9} + 29 a^{8} + 18 a^{7} + 18 a^{6} + 32 a^{5} + 6 a^{4} + 11 a^{3} + 35 a^{2} + 18 a + 36\right)\cdot 37 + \left(24 a^{11} + 6 a^{10} + 6 a^{9} + a^{8} + 25 a^{7} + 15 a^{6} + 14 a^{5} + 8 a^{4} + 5 a^{3} + 33 a^{2} + 3 a + 23\right)\cdot 37^{2} + \left(27 a^{11} + 25 a^{10} + 31 a^{9} + 29 a^{8} + 30 a^{7} + a^{6} + 15 a^{5} + 15 a^{4} + 19 a^{3} + 6 a^{2} + 4 a + 21\right)\cdot 37^{3} + \left(16 a^{11} + 10 a^{10} + a^{9} + 18 a^{8} + 3 a^{6} + 20 a^{5} + 17 a^{4} + 32 a^{3} + 28 a^{2} + 22 a + 16\right)\cdot 37^{4} + \left(8 a^{11} + 5 a^{10} + 32 a^{9} + 18 a^{8} + 10 a^{7} + 2 a^{6} + 25 a^{5} + 7 a^{4} + 15 a^{3} + 3 a^{2} + 18 a + 31\right)\cdot 37^{5} + \left(20 a^{11} + 6 a^{10} + 27 a^{9} + 3 a^{8} + 18 a^{7} + a^{6} + 34 a^{5} + 20 a^{4} + 32 a^{3} + 4 a^{2} + 2 a\right)\cdot 37^{6} + \left(32 a^{11} + 23 a^{10} + 2 a^{9} + 30 a^{8} + 19 a^{6} + 3 a^{5} + 28 a^{4} + 28 a^{3} + 27 a^{2} + 22 a + 15\right)\cdot 37^{7} +O(37^{8})$$ $r_{ 20 }$ $=$ $$a^{11} + 24 a^{10} + 7 a^{9} + 10 a^{8} + 5 a^{7} + 34 a^{6} + 11 a^{5} + 36 a^{4} + 18 a^{3} + 12 a^{2} + 24 a + 25 + \left(14 a^{11} + 4 a^{10} + 29 a^{9} + 6 a^{8} + 18 a^{7} + 35 a^{5} + 27 a^{4} + 18 a^{3} + 35 a^{2} + 31 a + 35\right)\cdot 37 + \left(30 a^{11} + 12 a^{10} + 21 a^{9} + 23 a^{8} + a^{7} + 30 a^{6} + 5 a^{5} + 35 a^{4} + 29 a^{3} + 24 a^{2} + 4 a + 36\right)\cdot 37^{2} + \left(a^{11} + 31 a^{10} + 10 a^{9} + 30 a^{8} + 3 a^{7} + 10 a^{6} + 25 a^{4} + 18 a^{3} + 21 a^{2} + 8 a + 21\right)\cdot 37^{3} + \left(30 a^{11} + 17 a^{10} + 20 a^{9} + 15 a^{8} + 16 a^{7} + 14 a^{6} + 29 a^{5} + 27 a^{3} + 33 a^{2} + 15 a + 10\right)\cdot 37^{4} + \left(10 a^{11} + 24 a^{10} + 2 a^{9} + 24 a^{7} + 29 a^{6} + 9 a^{5} + 26 a^{4} + 4 a^{3} + 4 a^{2} + 33 a + 16\right)\cdot 37^{5} + \left(24 a^{11} + 29 a^{10} + 33 a^{9} + 30 a^{8} + 30 a^{7} + 34 a^{6} + 17 a^{5} + 30 a^{4} + 34 a^{3} + 27 a^{2} + a + 1\right)\cdot 37^{6} + \left(26 a^{11} + 34 a^{10} + 21 a^{9} + 4 a^{8} + 24 a^{7} + 2 a^{6} + 21 a^{5} + 28 a^{4} + 35 a^{3} + 22 a^{2} + 26 a + 2\right)\cdot 37^{7} +O(37^{8})$$ $r_{ 21 }$ $=$ $$2 a^{11} + 19 a^{10} + 23 a^{9} + 12 a^{8} + 6 a^{7} + 13 a^{6} + 23 a^{5} + a^{4} + 15 a^{3} + 26 a^{2} + 7 a + 21 + \left(17 a^{11} + 26 a^{10} + 7 a^{9} + 15 a^{8} + 13 a^{7} + 30 a^{6} + 16 a^{5} + 27 a^{4} + 13 a^{3} + 13 a^{2} + 14 a + 29\right)\cdot 37 + \left(10 a^{11} + 11 a^{9} + 28 a^{8} + 20 a^{7} + 27 a^{6} + 11 a^{5} + 35 a^{4} + 24 a^{3} + 35 a^{2} + 35 a + 13\right)\cdot 37^{2} + \left(15 a^{11} + 2 a^{10} + 24 a^{8} + 13 a^{7} + 29 a^{6} + 27 a^{5} + 3 a^{4} + 36 a^{3} + 14 a^{2} + 26 a + 33\right)\cdot 37^{3} + \left(27 a^{10} + 23 a^{9} + 34 a^{8} + 30 a^{7} + 23 a^{6} + 17 a^{5} + 11 a^{4} + 29 a^{3} + 15 a^{2} + 8 a + 20\right)\cdot 37^{4} + \left(3 a^{11} + 29 a^{10} + 13 a^{9} + 7 a^{8} + 23 a^{7} + a^{6} + 2 a^{5} + 34 a^{4} + 18 a^{3} + 29 a^{2} + 11 a + 31\right)\cdot 37^{5} + \left(6 a^{11} + 15 a^{10} + 33 a^{9} + 16 a^{8} + 25 a^{7} + 7 a^{6} + 30 a^{5} + 12 a^{3} + 2 a^{2} + 4 a + 29\right)\cdot 37^{6} + \left(35 a^{11} + 18 a^{10} + 29 a^{9} + 16 a^{8} + 17 a^{7} + 12 a^{6} + 23 a^{5} + 23 a^{4} + 34 a^{3} + 24 a^{2} + 25 a + 15\right)\cdot 37^{7} +O(37^{8})$$ $r_{ 22 }$ $=$ $$6 a^{11} + 23 a^{10} + 30 a^{9} + 9 a^{8} + 28 a^{7} + 34 a^{6} + 3 a^{5} + 19 a^{3} + 28 a^{2} + 10 a + 34 + \left(27 a^{11} + 10 a^{10} + 22 a^{9} + 7 a^{8} + 10 a^{7} + 13 a^{6} + 3 a^{5} + 31 a^{4} + 27 a^{3} + 29 a^{2} + 14 a + 16\right)\cdot 37 + \left(5 a^{11} + 7 a^{10} + 34 a^{9} + 12 a^{7} + 29 a^{6} + 32 a^{5} + 7 a^{4} + 35 a^{3} + 11 a^{2} + 22 a + 1\right)\cdot 37^{2} + \left(19 a^{11} + 23 a^{9} + 26 a^{8} + 2 a^{7} + 5 a^{6} + 8 a^{5} + 25 a^{4} + 21 a^{3} + 4 a^{2} + 22 a + 15\right)\cdot 37^{3} + \left(2 a^{11} + 19 a^{10} + 32 a^{9} + 21 a^{8} + 30 a^{7} + 31 a^{6} + 30 a^{5} + 26 a^{4} + 31 a^{3} + 2 a^{2} + 6 a + 14\right)\cdot 37^{4} + \left(17 a^{10} + 12 a^{9} + 32 a^{8} + 5 a^{7} + 19 a^{6} + 24 a^{5} + 13 a^{4} + 6 a^{3} + 31 a^{2} + 36 a + 2\right)\cdot 37^{5} + \left(36 a^{11} + 32 a^{10} + 23 a^{9} + 16 a^{8} + 27 a^{7} + 6 a^{6} + 31 a^{5} + 9 a^{4} + 21 a^{3} + 29 a^{2} + 27 a + 36\right)\cdot 37^{6} + \left(10 a^{11} + 36 a^{10} + 20 a^{9} + 14 a^{8} + 10 a^{7} + 4 a^{6} + 22 a^{5} + 13 a^{4} + 14 a^{3} + 11 a^{2} + 11 a + 23\right)\cdot 37^{7} +O(37^{8})$$ $r_{ 23 }$ $=$ $$32 a^{11} + 36 a^{10} + 33 a^{9} + 26 a^{8} + 23 a^{7} + 7 a^{6} + 28 a^{5} + 35 a^{4} + 11 a^{3} + 33 a^{2} + 9 a + 29 + \left(17 a^{11} + 3 a^{10} + 14 a^{9} + 31 a^{8} + 9 a^{7} + 3 a^{6} + 33 a^{5} + 25 a^{4} + 17 a^{3} + 28 a^{2} + 6 a + 5\right)\cdot 37 + \left(33 a^{11} + 9 a^{10} + 35 a^{9} + 35 a^{8} + 34 a^{7} + 8 a^{6} + 19 a^{5} + 5 a^{4} + 9 a^{3} + 4 a^{2} + 6 a + 1\right)\cdot 37^{2} + \left(32 a^{11} + 22 a^{10} + 33 a^{9} + 28 a^{8} + 9 a^{7} + 8 a^{6} + 7 a^{5} + 17 a^{4} + 28 a^{3} + 17 a^{2} + 6 a + 25\right)\cdot 37^{3} + \left(25 a^{11} + 30 a^{9} + 30 a^{8} + 9 a^{7} + 7 a^{6} + 35 a^{5} + 27 a^{4} + 16 a^{3} + 35 a^{2} + 26 a + 9\right)\cdot 37^{4} + \left(17 a^{11} + 9 a^{10} + 23 a^{9} + 17 a^{8} + 30 a^{7} + 33 a^{6} + 23 a^{5} + 21 a^{4} + 21 a^{3} + 15 a^{2} + 15 a + 17\right)\cdot 37^{5} + \left(a^{11} + 35 a^{10} + 6 a^{9} + 12 a^{8} + 27 a^{6} + 5 a^{5} + 28 a^{4} + 23 a^{2} + 3 a + 16\right)\cdot 37^{6} + \left(35 a^{11} + 20 a^{10} + 10 a^{9} + 16 a^{8} + 31 a^{7} + 28 a^{6} + 5 a^{5} + 8 a^{4} + 34 a^{3} + 36 a^{2} + 22 a + 30\right)\cdot 37^{7} +O(37^{8})$$ $r_{ 24 }$ $=$ $$10 a^{11} + 27 a^{10} + 36 a^{9} + 32 a^{8} + 32 a^{7} + 27 a^{6} + 33 a^{5} + 11 a^{4} + 31 a^{3} + 24 a^{2} + 19 + \left(8 a^{11} + 6 a^{10} + 13 a^{9} + 14 a^{8} + 12 a^{7} + 29 a^{6} + 35 a^{5} + 14 a^{4} + 21 a^{3} + 11 a^{2} + 10 a + 11\right)\cdot 37 + \left(10 a^{11} + 23 a^{10} + 11 a^{9} + 3 a^{8} + 33 a^{7} + 29 a^{6} + 20 a^{5} + 31 a^{4} + 31 a^{3} + 32 a^{2} + 8 a + 24\right)\cdot 37^{2} + \left(27 a^{11} + 14 a^{10} + 34 a^{9} + 11 a^{8} + 4 a^{7} + 30 a^{6} + 32 a^{5} + 15 a^{4} + 35 a^{3} + 2 a^{2} + 11 a + 13\right)\cdot 37^{3} + \left(22 a^{11} + 24 a^{10} + 35 a^{9} + 17 a^{8} + 8 a^{7} + 34 a^{6} + 19 a^{5} + 23 a^{4} + 36 a^{3} + 18 a^{2} + 13 a + 6\right)\cdot 37^{4} + \left(33 a^{11} + 34 a^{10} + 5 a^{9} + 18 a^{8} + 23 a^{7} + 34 a^{6} + 5 a^{5} + 16 a^{4} + 16 a^{3} + 5 a^{2} + 19 a + 34\right)\cdot 37^{5} + \left(35 a^{11} + 19 a^{10} + 5 a^{9} + 8 a^{8} + 4 a^{7} + 3 a^{6} + 4 a^{5} + 28 a^{4} + 19 a^{3} + 4 a^{2} + 14 a + 28\right)\cdot 37^{6} + \left(7 a^{11} + 13 a^{10} + 18 a^{9} + a^{8} + 33 a^{7} + 30 a^{6} + 27 a^{5} + 16 a^{4} + 17 a^{3} + 21 a^{2} + 25 a + 3\right)\cdot 37^{7} +O(37^{8})$$

## Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 24 }$

 Cycle notation $(1,17)(2,23)(3,14)(4,7)(5,11)(6,24)(8,22)(9,13)(10,15)(12,16)(18,19)(20,21)$ $(1,7,12,14,11,24,17,4,16,3,5,6)(2,19,23,18)(8,9,22,13)(10,21,15,20)$ $(1,17)(2,13,10,23,9,15)(3,14)(4,7)(5,11)(6,24)(8,21,18,22,20,19)(12,16)$ $(1,3,17,14)(2,19,23,18)(4,11,7,5)(6,16,24,12)(8,9,22,13)(10,21,15,20)$ $(1,2,12,15,11,9,17,23,16,10,5,13)(3,19,6,20,7,22,14,18,24,21,4,8)$

## Character values on conjugacy classes

 Size Order Action on $r_1, \ldots, r_{ 24 }$ Character value $1$ $1$ $()$ $2$ $1$ $2$ $(1,17)(2,23)(3,14)(4,7)(5,11)(6,24)(8,22)(9,13)(10,15)(12,16)(18,19)(20,21)$ $-2$ $3$ $2$ $(1,22)(2,6)(3,13)(4,10)(5,20)(7,15)(8,17)(9,14)(11,21)(12,18)(16,19)(23,24)$ $0$ $3$ $2$ $(1,8)(2,24)(3,9)(4,15)(5,21)(6,23)(7,10)(11,20)(12,19)(13,14)(16,18)(17,22)$ $0$ $1$ $3$ $(1,11,16)(2,9,10)(3,7,24)(4,6,14)(5,12,17)(8,20,18)(13,15,23)(19,22,21)$ $-2 \zeta_{12}^{2}$ $1$ $3$ $(1,16,11)(2,10,9)(3,24,7)(4,14,6)(5,17,12)(8,18,20)(13,23,15)(19,21,22)$ $2 \zeta_{12}^{2} - 2$ $2$ $3$ $(1,11,16)(3,7,24)(4,6,14)(5,12,17)$ $-\zeta_{12}^{2} + 1$ $2$ $3$ $(1,16,11)(3,24,7)(4,14,6)(5,17,12)$ $\zeta_{12}^{2}$ $2$ $3$ $(1,11,16)(2,10,9)(3,7,24)(4,6,14)(5,12,17)(8,18,20)(13,23,15)(19,21,22)$ $-1$ $1$ $4$ $(1,14,17,3)(2,18,23,19)(4,5,7,11)(6,12,24,16)(8,13,22,9)(10,20,15,21)$ $-2 \zeta_{12}^{3}$ $1$ $4$ $(1,3,17,14)(2,19,23,18)(4,11,7,5)(6,16,24,12)(8,9,22,13)(10,21,15,20)$ $2 \zeta_{12}^{3}$ $3$ $4$ $(1,15,17,10)(2,11,23,5)(3,20,14,21)(4,19,7,18)(6,22,24,8)(9,16,13,12)$ $0$ $3$ $4$ $(1,10,17,15)(2,5,23,11)(3,21,14,20)(4,18,7,19)(6,8,24,22)(9,12,13,16)$ $0$ $1$ $6$ $(1,12,11,17,16,5)(2,15,9,23,10,13)(3,6,7,14,24,4)(8,19,20,22,18,21)$ $-2 \zeta_{12}^{2} + 2$ $1$ $6$ $(1,5,16,17,11,12)(2,13,10,23,9,15)(3,4,24,14,7,6)(8,21,18,22,20,19)$ $2 \zeta_{12}^{2}$ $2$ $6$ $(1,12,11,17,16,5)(2,23)(3,6,7,14,24,4)(8,22)(9,13)(10,15)(18,19)(20,21)$ $-\zeta_{12}^{2}$ $2$ $6$ $(1,5,16,17,11,12)(2,23)(3,4,24,14,7,6)(8,22)(9,13)(10,15)(18,19)(20,21)$ $\zeta_{12}^{2} - 1$ $2$ $6$ $(1,12,11,17,16,5)(2,13,10,23,9,15)(3,6,7,14,24,4)(8,21,18,22,20,19)$ $1$ $3$ $6$ $(1,20,16,8,11,18)(2,3,10,24,9,7)(4,23,14,15,6,13)(5,19,17,21,12,22)$ $0$ $3$ $6$ $(1,18,11,8,16,20)(2,7,9,24,10,3)(4,13,6,15,14,23)(5,22,12,21,17,19)$ $0$ $3$ $6$ $(1,19,16,21,11,22)(2,6,10,4,9,14)(3,23,24,15,7,13)(5,8,17,18,12,20)$ $0$ $3$ $6$ $(1,22,11,21,16,19)(2,14,9,4,10,6)(3,13,7,15,24,23)(5,20,12,18,17,8)$ $0$ $1$ $12$ $(1,6,5,3,16,4,17,24,11,14,12,7)(2,20,13,19,10,8,23,21,9,18,15,22)$ $2 \zeta_{12}$ $1$ $12$ $(1,4,12,3,11,6,17,7,16,14,5,24)(2,8,15,19,9,20,23,22,10,18,13,21)$ $2 \zeta_{12}^{3} - 2 \zeta_{12}$ $1$ $12$ $(1,24,5,14,16,7,17,6,11,3,12,4)(2,21,13,18,10,22,23,20,9,19,15,8)$ $-2 \zeta_{12}$ $1$ $12$ $(1,7,12,14,11,24,17,4,16,3,5,6)(2,22,15,18,9,21,23,8,10,19,13,20)$ $-2 \zeta_{12}^{3} + 2 \zeta_{12}$ $2$ $12$ $(1,7,12,14,11,24,17,4,16,3,5,6)(2,19,23,18)(8,9,22,13)(10,21,15,20)$ $\zeta_{12}$ $2$ $12$ $(1,24,5,14,16,7,17,6,11,3,12,4)(2,19,23,18)(8,9,22,13)(10,21,15,20)$ $\zeta_{12}^{3} - \zeta_{12}$ $2$ $12$ $(1,4,12,3,11,6,17,7,16,14,5,24)(2,18,23,19)(8,13,22,9)(10,20,15,21)$ $-\zeta_{12}$ $2$ $12$ $(1,6,5,3,16,4,17,24,11,14,12,7)(2,18,23,19)(8,13,22,9)(10,20,15,21)$ $-\zeta_{12}^{3} + \zeta_{12}$ $2$ $12$ $(1,7,12,14,11,24,17,4,16,3,5,6)(2,21,13,18,10,22,23,20,9,19,15,8)$ $-\zeta_{12}^{3}$ $2$ $12$ $(1,4,12,3,11,6,17,7,16,14,5,24)(2,20,13,19,10,8,23,21,9,18,15,22)$ $\zeta_{12}^{3}$ $3$ $12$ $(1,2,12,15,11,9,17,23,16,10,5,13)(3,19,6,20,7,22,14,18,24,21,4,8)$ $0$ $3$ $12$ $(1,9,5,15,16,2,17,13,11,10,12,23)(3,22,4,20,24,19,14,8,7,21,6,18)$ $0$ $3$ $12$ $(1,23,12,10,11,13,17,2,16,15,5,9)(3,18,6,21,7,8,14,19,24,20,4,22)$ $0$ $3$ $12$ $(1,13,5,10,16,23,17,9,11,15,12,2)(3,8,4,21,24,18,14,22,7,20,6,19)$ $0$

The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.