LMFDB - Artin representation 2.639.14t3.a.a

Basic invariants

Dimension:	$2$
Group:	$D_{14}$
Conductor:	$639$$\medspace = 3^{2} \cdot 71 $
Frobenius-Schur indicator:	$1$
Root number:	$1$
Artin stem field:	Galois closure of 14.0.280155320935227.1
Galois orbit size:	$3$
Smallest permutation container:	$D_{14}$
Parity:	odd
Determinant:	1.71.2t1.a.a
Projective image:	$D_7$
Projective stem field:	Galois closure of 7.1.357911.1

Defining polynomial

$f(x)$

$=$

$ x^{14} - x^{13} + 2 x^{12} - x^{11} + 3 x^{10} - 4 x^{9} + 3 x^{8} - 4 x^{7} + 2 x^{6} - 4 x^{5} + \cdots + 1 $

The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 19 }$ to precision 10.

Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 19 }$: $ x^{7} + 6x + 17 $ x^7 + 6*x + 17

Roots:

$r_{ 1 }$	$=$	$ 2 a^{6} + 6 a^{5} + 8 a^{4} + 14 a^{3} + 8 a^{2} + 6 a + 12 + \left(5 a^{6} + 8 a^{5} + 18 a^{4} + 16 a^{2} + 17 a + 18\right)\cdot 19 + \left(10 a^{6} + 18 a^{5} + 8 a^{4} + 11 a^{3} + 4 a^{2} + 15 a + 10\right)\cdot 19^{2} + \left(14 a^{6} + 6 a^{5} + 7 a^{4} + 7 a^{3} + 8 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 19^{3} + \left(3 a^{6} + 18 a^{5} + 8 a^{4} + 3 a^{3} + a^{2} + 2 a + 16\right)\cdot 19^{4} + \left(a^{6} + 4 a^{5} + 18 a^{4} + 10 a^{3} + 12 a^{2} + 5 a\right)\cdot 19^{5} + \left(4 a^{6} + 5 a^{5} + 13 a^{4} + 9 a^{3} + 11 a^{2} + a + 18\right)\cdot 19^{6} + \left(8 a^{6} + 6 a^{5} + 10 a^{3} + 9 a^{2} + 7 a\right)\cdot 19^{7} + \left(8 a^{6} + 8 a^{5} + 10 a^{4} + 3 a^{3} + 3 a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 19^{8} + \left(6 a^{6} + 15 a^{5} + 4 a^{4} + 3 a^{3} + 17 a^{2} + 13 a + 16\right)\cdot 19^{9} +O(19^{10})$ 2a^6 + 6a^5 + 8a^4 + 14a^3 + 8a^2 + 6a + 12 + (5a^6 + 8a^5 + 18a^4 + 16a^2 + 17a + 18)19 + (10a^6 + 18a^5 + 8a^4 + 11a^3 + 4a^2 + 15a + 10)19^2 + (14a^6 + 6a^5 + 7a^4 + 7a^3 + 8a^2 + 2a + 9)19^3 + (3a^6 + 18a^5 + 8a^4 + 3a^3 + a^2 + 2a + 16)19^4 + (a^6 + 4a^5 + 18a^4 + 10a^3 + 12a^2 + 5a)19^5 + (4a^6 + 5a^5 + 13a^4 + 9a^3 + 11a^2 + a + 18)19^6 + (8a^6 + 6a^5 + 10a^3 + 9a^2 + 7a)19^7 + (8a^6 + 8a^5 + 10a^4 + 3a^3 + 3a^2 + 4a + 1)19^8 + (6a^6 + 15a^5 + 4a^4 + 3a^3 + 17a^2 + 13a + 16)19^9+O(19^10)
$r_{ 2 }$	$=$	$ 3 a^{6} + 9 a^{5} + 13 a^{4} + 4 a^{3} + 8 a^{2} + 4 a + 3 + \left(14 a^{6} + a^{5} + 4 a^{4} + 17 a^{3} + 16 a^{2} + 18 a + 7\right)\cdot 19 + \left(9 a^{6} + 7 a^{5} + 8 a^{3} + 5 a^{2} + 9 a + 2\right)\cdot 19^{2} + \left(7 a^{6} + 10 a^{5} + 7 a^{4} + 8 a^{3} + 9 a^{2} + a + 6\right)\cdot 19^{3} + \left(6 a^{6} + 18 a^{5} + 16 a^{4} + 7 a^{2} + 16 a + 11\right)\cdot 19^{4} + \left(5 a^{6} + 10 a^{5} + 18 a^{4} + 8 a^{3} + a^{2} + 18 a + 5\right)\cdot 19^{5} + \left(11 a^{6} + 3 a^{5} + 12 a^{4} + 4 a^{3} + 5 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 19^{6} + \left(17 a^{6} + 9 a^{5} + 7 a^{3} + 3 a^{2} + 10 a + 1\right)\cdot 19^{7} + \left(8 a^{6} + 3 a^{5} + 6 a^{4} + 5 a^{3} + 14 a^{2} + 14 a + 4\right)\cdot 19^{8} + \left(17 a^{6} + 17 a^{5} + 18 a^{4} + 11 a^{3} + 18 a^{2} + 16 a + 9\right)\cdot 19^{9} +O(19^{10})$ 3a^6 + 9a^5 + 13a^4 + 4a^3 + 8a^2 + 4a + 3 + (14a^6 + a^5 + 4a^4 + 17a^3 + 16a^2 + 18a + 7)19 + (9a^6 + 7a^5 + 8a^3 + 5a^2 + 9a + 2)19^2 + (7a^6 + 10a^5 + 7a^4 + 8a^3 + 9a^2 + a + 6)19^3 + (6a^6 + 18a^5 + 16a^4 + 7a^2 + 16a + 11)19^4 + (5a^6 + 10a^5 + 18a^4 + 8a^3 + a^2 + 18a + 5)19^5 + (11a^6 + 3a^5 + 12a^4 + 4a^3 + 5a^2 + 7a + 9)19^6 + (17a^6 + 9a^5 + 7a^3 + 3a^2 + 10a + 1)19^7 + (8a^6 + 3a^5 + 6a^4 + 5a^3 + 14a^2 + 14a + 4)19^8 + (17a^6 + 17a^5 + 18a^4 + 11a^3 + 18a^2 + 16a + 9)*19^9+O(19^10)
$r_{ 3 }$	$=$	$ 4 a^{6} + 16 a^{5} + 13 a^{4} + 3 a^{3} + 10 a^{2} + 10 a + \left(8 a^{6} + 12 a^{5} + 3 a^{3} + 4 a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 19 + \left(9 a^{6} + 15 a^{5} + 4 a^{4} + 2 a^{3} + a^{2} + 12 a + 17\right)\cdot 19^{2} + \left(15 a^{6} + 18 a^{5} + 4 a^{4} + 3 a^{3} + 3 a + 11\right)\cdot 19^{3} + \left(7 a^{6} + a^{5} + 17 a^{4} + 8 a^{3} + 18 a^{2} + 12 a + 18\right)\cdot 19^{4} + \left(4 a^{5} + 17 a^{4} + 4 a^{3} + 2 a^{2} + 13 a + 1\right)\cdot 19^{5} + \left(16 a^{6} + 5 a^{5} + 9 a^{3} + 12 a^{2} + 2 a + 1\right)\cdot 19^{6} + \left(11 a^{6} + 3 a^{5} + 14 a^{4} + 12 a^{3} + 14 a^{2} + 14 a + 18\right)\cdot 19^{7} + \left(15 a^{6} + 18 a^{5} + a^{4} + 16 a^{3} + 3 a + 5\right)\cdot 19^{8} + \left(10 a^{6} + 9 a^{5} + 14 a^{4} + 2 a^{3} + 13 a^{2} + 18 a + 10\right)\cdot 19^{9} +O(19^{10})$ 4a^6 + 16a^5 + 13a^4 + 3a^3 + 10a^2 + 10a + (8a^6 + 12a^5 + 3a^3 + 4a^2 + 8a + 1)19 + (9a^6 + 15a^5 + 4a^4 + 2a^3 + a^2 + 12a + 17)19^2 + (15a^6 + 18a^5 + 4a^4 + 3a^3 + 3a + 11)19^3 + (7a^6 + a^5 + 17a^4 + 8a^3 + 18a^2 + 12a + 18)19^4 + (4a^5 + 17a^4 + 4a^3 + 2a^2 + 13a + 1)19^5 + (16a^6 + 5a^5 + 9a^3 + 12a^2 + 2a + 1)19^6 + (11a^6 + 3a^5 + 14a^4 + 12a^3 + 14a^2 + 14a + 18)19^7 + (15a^6 + 18a^5 + a^4 + 16a^3 + 3a + 5)19^8 + (10a^6 + 9a^5 + 14a^4 + 2a^3 + 13a^2 + 18a + 10)*19^9+O(19^10)
$r_{ 4 }$	$=$	$ 6 a^{6} + 5 a^{5} + 10 a^{4} + 14 a^{3} + 15 a^{2} + 15 a + \left(7 a^{6} + 18 a^{5} + 8 a^{4} + 5 a^{3} + 3 a^{2} + 9 a + 11\right)\cdot 19 + \left(a^{6} + 6 a^{5} + 18 a^{4} + 9 a^{3} + 4 a^{2} + 6 a\right)\cdot 19^{2} + \left(18 a^{5} + 14 a^{4} + 15 a^{3} + 6 a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 19^{3} + \left(15 a^{6} + 12 a^{5} + 4 a^{4} + 2 a^{3} + 7 a^{2} + 16 a + 9\right)\cdot 19^{4} + \left(13 a^{6} + 17 a^{5} + 18 a^{4} + 10 a^{3} + 15 a^{2} + 6 a\right)\cdot 19^{5} + \left(14 a^{6} + 15 a^{5} + 4 a^{4} + 9 a^{3} + 10 a^{2} + 16 a + 5\right)\cdot 19^{6} + \left(11 a^{6} + 14 a^{5} + 18 a^{4} + 18 a^{3} + 16 a^{2} + 14 a\right)\cdot 19^{7} + \left(17 a^{5} + 4 a^{4} + 17 a^{3} + 16 a^{2} + 10 a + 7\right)\cdot 19^{8} + \left(10 a^{6} + 3 a^{5} + 11 a^{4} + 18 a^{3} + 14 a^{2} + 13 a + 7\right)\cdot 19^{9} +O(19^{10})$ 6a^6 + 5a^5 + 10a^4 + 14a^3 + 15a^2 + 15a + (7a^6 + 18a^5 + 8a^4 + 5a^3 + 3a^2 + 9a + 11)19 + (a^6 + 6a^5 + 18a^4 + 9a^3 + 4a^2 + 6a)19^2 + (18a^5 + 14a^4 + 15a^3 + 6a^2 + 9a + 3)19^3 + (15a^6 + 12a^5 + 4a^4 + 2a^3 + 7a^2 + 16a + 9)19^4 + (13a^6 + 17a^5 + 18a^4 + 10a^3 + 15a^2 + 6a)19^5 + (14a^6 + 15a^5 + 4a^4 + 9a^3 + 10a^2 + 16a + 5)19^6 + (11a^6 + 14a^5 + 18a^4 + 18a^3 + 16a^2 + 14a)19^7 + (17a^5 + 4a^4 + 17a^3 + 16a^2 + 10a + 7)19^8 + (10a^6 + 3a^5 + 11a^4 + 18a^3 + 14a^2 + 13a + 7)19^9+O(19^10)
$r_{ 5 }$	$=$	$ 8 a^{6} + 4 a^{5} + 17 a^{4} + 7 a^{3} + 2 a^{2} + 13 a + 7 + \left(3 a^{6} + 9 a^{5} + a^{4} + 7 a^{3} + 13 a^{2} + 12 a + 14\right)\cdot 19 + \left(13 a^{6} + 8 a^{5} + 14 a^{4} + 3 a^{3} + 11 a^{2} + 12 a + 3\right)\cdot 19^{2} + \left(18 a^{6} + a^{5} + 13 a^{4} + 16 a^{3} + 7 a^{2} + 10 a + 1\right)\cdot 19^{3} + \left(15 a^{6} + 2 a^{5} + 18 a^{4} + 9 a^{3} + 6 a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 19^{4} + \left(6 a^{6} + 13 a^{5} + 5 a^{4} + 2 a^{3} + 10 a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 19^{5} + \left(14 a^{5} + 17 a^{4} + 14 a^{3} + 9 a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 19^{6} + \left(6 a^{6} + a^{5} + 9 a^{4} + 2 a^{3} + 13 a^{2} + 13 a + 12\right)\cdot 19^{7} + \left(10 a^{6} + 7 a^{5} + 9 a^{4} + 15 a^{3} + 8 a^{2} + 16\right)\cdot 19^{8} + \left(18 a^{6} + 18 a^{5} + 18 a^{4} + a^{3} + 9 a + 3\right)\cdot 19^{9} +O(19^{10})$ 8a^6 + 4a^5 + 17a^4 + 7a^3 + 2a^2 + 13a + 7 + (3a^6 + 9a^5 + a^4 + 7a^3 + 13a^2 + 12a + 14)19 + (13a^6 + 8a^5 + 14a^4 + 3a^3 + 11a^2 + 12a + 3)19^2 + (18a^6 + a^5 + 13a^4 + 16a^3 + 7a^2 + 10a + 1)19^3 + (15a^6 + 2a^5 + 18a^4 + 9a^3 + 6a^2 + 6a + 9)19^4 + (6a^6 + 13a^5 + 5a^4 + 2a^3 + 10a^2 + 5a + 2)19^5 + (14a^5 + 17a^4 + 14a^3 + 9a^2 + 6a + 10)19^6 + (6a^6 + a^5 + 9a^4 + 2a^3 + 13a^2 + 13a + 12)19^7 + (10a^6 + 7a^5 + 9a^4 + 15a^3 + 8a^2 + 16)19^8 + (18a^6 + 18a^5 + 18a^4 + a^3 + 9a + 3)19^9+O(19^10)
$r_{ 6 }$	$=$	$ 8 a^{6} + 10 a^{5} + 13 a^{3} + 16 a^{2} + 15 a + 13 + \left(17 a^{6} + 8 a^{5} + 14 a^{4} + 9 a^{3} + 4 a^{2} + 13 a + 8\right)\cdot 19 + \left(5 a^{6} + 15 a^{5} + 16 a^{4} + 6 a^{3} + 18 a^{2} + 17 a + 18\right)\cdot 19^{2} + \left(11 a^{6} + 10 a^{5} + 9 a^{4} + 15 a^{2} + 11\right)\cdot 19^{3} + \left(18 a^{6} + 15 a^{5} + 4 a^{4} + 8 a^{3} + 8 a^{2} + 6 a + 8\right)\cdot 19^{4} + \left(16 a^{6} + 4 a^{5} + 7 a^{3} + 3 a + 11\right)\cdot 19^{5} + \left(7 a^{6} + 11 a^{4} + 10 a^{3} + 14 a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 19^{6} + \left(7 a^{6} + 13 a^{5} + 12 a^{4} + a^{3} + 14 a^{2} + 17 a + 18\right)\cdot 19^{7} + \left(5 a^{6} + 3 a^{5} + 4 a^{4} + 16 a^{3} + 16 a^{2} + 17 a + 17\right)\cdot 19^{8} + \left(4 a^{6} + 14 a^{5} + 17 a^{4} + 4 a^{3} + 12 a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 19^{9} +O(19^{10})$ 8a^6 + 10a^5 + 13a^3 + 16a^2 + 15a + 13 + (17a^6 + 8a^5 + 14a^4 + 9a^3 + 4a^2 + 13a + 8)19 + (5a^6 + 15a^5 + 16a^4 + 6a^3 + 18a^2 + 17a + 18)19^2 + (11a^6 + 10a^5 + 9a^4 + 15a^2 + 11)19^3 + (18a^6 + 15a^5 + 4a^4 + 8a^3 + 8a^2 + 6a + 8)19^4 + (16a^6 + 4a^5 + 7a^3 + 3a + 11)19^5 + (7a^6 + 11a^4 + 10a^3 + 14a^2 + 8a + 10)19^6 + (7a^6 + 13a^5 + 12a^4 + a^3 + 14a^2 + 17a + 18)19^7 + (5a^6 + 3a^5 + 4a^4 + 16a^3 + 16a^2 + 17a + 17)19^8 + (4a^6 + 14a^5 + 17a^4 + 4a^3 + 12a^2 + 8a + 4)19^9+O(19^10)
$r_{ 7 }$	$=$	$ 12 a^{6} + 5 a^{5} + 3 a^{3} + 12 a^{2} + 11 a + 14 + \left(14 a^{6} + 17 a^{5} + 2 a^{4} + a^{3} + 13 a^{2} + 16 a + 17\right)\cdot 19 + \left(5 a^{6} + 10 a^{5} + 9 a^{4} + 13 a^{3} + 6 a^{2} + 16 a\right)\cdot 19^{2} + \left(18 a^{6} + 2 a^{5} + 4 a^{4} + 9 a^{3} + 15 a^{2} + 13 a + 10\right)\cdot 19^{3} + \left(10 a^{6} + 4 a^{5} + 6 a^{4} + 17 a^{3} + 18 a^{2} + 12 a + 18\right)\cdot 19^{4} + \left(14 a^{6} + 2 a^{5} + 14 a^{4} + 9 a^{3} + 16 a^{2} + 9 a + 6\right)\cdot 19^{5} + \left(7 a^{6} + 4 a^{4} + 16 a^{3} + 3 a^{2} + 11 a + 18\right)\cdot 19^{6} + \left(17 a^{6} + 8 a^{5} + 13 a^{4} + 4 a^{3} + 9 a^{2} + 5\right)\cdot 19^{7} + \left(2 a^{6} + 17 a^{5} + 7 a^{4} + 14 a^{3} + 13 a^{2} + 16 a\right)\cdot 19^{8} + \left(16 a^{6} + 8 a^{5} + 16 a^{4} + 15 a^{3} + 10 a^{2} + 4 a + 16\right)\cdot 19^{9} +O(19^{10})$ 12a^6 + 5a^5 + 3a^3 + 12a^2 + 11a + 14 + (14a^6 + 17a^5 + 2a^4 + a^3 + 13a^2 + 16a + 17)19 + (5a^6 + 10a^5 + 9a^4 + 13a^3 + 6a^2 + 16a)19^2 + (18a^6 + 2a^5 + 4a^4 + 9a^3 + 15a^2 + 13a + 10)19^3 + (10a^6 + 4a^5 + 6a^4 + 17a^3 + 18a^2 + 12a + 18)19^4 + (14a^6 + 2a^5 + 14a^4 + 9a^3 + 16a^2 + 9a + 6)19^5 + (7a^6 + 4a^4 + 16a^3 + 3a^2 + 11a + 18)19^6 + (17a^6 + 8a^5 + 13a^4 + 4a^3 + 9a^2 + 5)19^7 + (2a^6 + 17a^5 + 7a^4 + 14a^3 + 13a^2 + 16a)19^8 + (16a^6 + 8a^5 + 16a^4 + 15a^3 + 10a^2 + 4a + 16)*19^9+O(19^10)
$r_{ 8 }$	$=$	$ 12 a^{6} + 6 a^{5} + 16 a^{4} + a^{3} + 3 a^{2} + 10 a + 1 + \left(4 a^{6} + 18 a^{5} + 14 a^{4} + 7 a^{3} + 17 a^{2} + 7 a + 8\right)\cdot 19 + \left(15 a^{6} + 12 a^{5} + 5 a^{4} + 3 a^{3} + 18 a^{2} + 16 a + 9\right)\cdot 19^{2} + \left(8 a^{6} + 5 a^{5} + 7 a^{4} + 15 a^{3} + 13 a^{2} + 15 a + 4\right)\cdot 19^{3} + \left(4 a^{6} + 12 a^{5} + 3 a^{4} + 8 a^{3} + 16 a^{2} + 8 a + 9\right)\cdot 19^{4} + \left(16 a^{6} + 8 a^{4} + 3 a^{3} + 3 a^{2} + 12 a + 18\right)\cdot 19^{5} + \left(11 a^{6} + 10 a^{5} + 10 a^{4} + 5 a^{3} + 8 a^{2} + 11\right)\cdot 19^{6} + \left(9 a^{6} + 16 a^{5} + 5 a^{4} + 4 a^{3} + a^{2} + 3 a + 13\right)\cdot 19^{7} + \left(16 a^{6} + 8 a^{5} + 10 a^{4} + 15 a^{3} + 13 a^{2} + 4 a + 12\right)\cdot 19^{8} + \left(8 a^{6} + 3 a^{5} + 8 a^{4} + 18 a^{3} + 14 a^{2} + 15 a + 17\right)\cdot 19^{9} +O(19^{10})$ 12a^6 + 6a^5 + 16a^4 + a^3 + 3a^2 + 10a + 1 + (4a^6 + 18a^5 + 14a^4 + 7a^3 + 17a^2 + 7a + 8)19 + (15a^6 + 12a^5 + 5a^4 + 3a^3 + 18a^2 + 16a + 9)19^2 + (8a^6 + 5a^5 + 7a^4 + 15a^3 + 13a^2 + 15a + 4)19^3 + (4a^6 + 12a^5 + 3a^4 + 8a^3 + 16a^2 + 8a + 9)19^4 + (16a^6 + 8a^4 + 3a^3 + 3a^2 + 12a + 18)19^5 + (11a^6 + 10a^5 + 10a^4 + 5a^3 + 8a^2 + 11)19^6 + (9a^6 + 16a^5 + 5a^4 + 4a^3 + a^2 + 3a + 13)19^7 + (16a^6 + 8a^5 + 10a^4 + 15a^3 + 13a^2 + 4a + 12)19^8 + (8a^6 + 3a^5 + 8a^4 + 18a^3 + 14a^2 + 15a + 17)*19^9+O(19^10)
$r_{ 9 }$	$=$	$ 14 a^{6} + 4 a^{5} + 10 a^{4} + 6 a^{3} + 12 a^{2} + 6 a + 14 + \left(12 a^{6} + 5 a^{5} + 14 a^{4} + 11 a^{3} + 14 a^{2} + 3 a + 11\right)\cdot 19 + \left(11 a^{6} + 10 a^{5} + 7 a^{4} + 3 a^{3} + 11 a^{2} + 18 a + 4\right)\cdot 19^{2} + \left(17 a^{6} + 9 a^{5} + 2 a^{4} + a^{3} + 7 a^{2} + 14 a + 17\right)\cdot 19^{3} + \left(11 a^{6} + 17 a^{5} + 15 a^{4} + 12 a^{3} + 17 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 19^{4} + \left(6 a^{6} + 5 a^{5} + 18 a^{4} + 8 a^{3} + 11 a^{2} + a + 4\right)\cdot 19^{5} + \left(14 a^{6} + 4 a^{5} + 2 a^{4} + 16 a^{3} + 2 a^{2} + a + 11\right)\cdot 19^{6} + \left(8 a^{6} + 2 a^{5} + 3 a^{4} + 14 a^{3} + 7 a^{2} + 14\right)\cdot 19^{7} + \left(12 a^{5} + 2 a^{4} + 7 a^{3} + 5 a^{2} + 5 a\right)\cdot 19^{8} + \left(14 a^{6} + 14 a^{5} + 11 a^{4} + 11 a^{3} + 13 a^{2} + 13 a + 17\right)\cdot 19^{9} +O(19^{10})$ 14a^6 + 4a^5 + 10a^4 + 6a^3 + 12a^2 + 6a + 14 + (12a^6 + 5a^5 + 14a^4 + 11a^3 + 14a^2 + 3a + 11)19 + (11a^6 + 10a^5 + 7a^4 + 3a^3 + 11a^2 + 18a + 4)19^2 + (17a^6 + 9a^5 + 2a^4 + a^3 + 7a^2 + 14a + 17)19^3 + (11a^6 + 17a^5 + 15a^4 + 12a^3 + 17a^2 + 2a + 6)19^4 + (6a^6 + 5a^5 + 18a^4 + 8a^3 + 11a^2 + a + 4)19^5 + (14a^6 + 4a^5 + 2a^4 + 16a^3 + 2a^2 + a + 11)19^6 + (8a^6 + 2a^5 + 3a^4 + 14a^3 + 7a^2 + 14)19^7 + (12a^5 + 2a^4 + 7a^3 + 5a^2 + 5a)19^8 + (14a^6 + 14a^5 + 11a^4 + 11a^3 + 13a^2 + 13a + 17)19^9+O(19^10)
$r_{ 10 }$	$=$	$ 14 a^{6} + 4 a^{5} + 18 a^{4} + 3 a^{3} + 18 a^{2} + 4 a + 8 + \left(8 a^{6} + 15 a^{5} + a^{4} + 6 a^{3} + 6 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 19 + \left(10 a^{6} + 10 a^{5} + 15 a^{4} + 15 a^{3} + 13 a^{2} + 14 a + 3\right)\cdot 19^{2} + \left(6 a^{6} + 3 a^{5} + 11 a^{4} + 14 a^{3} + 17 a^{2} + 18 a + 1\right)\cdot 19^{3} + \left(14 a^{6} + 7 a^{5} + 13 a^{4} + 4 a^{2} + 3 a + 6\right)\cdot 19^{4} + \left(17 a^{6} + 13 a^{4} + 10 a^{3} + a^{2} + 4 a + 4\right)\cdot 19^{5} + \left(3 a^{6} + 9 a^{5} + 13 a^{4} + a^{3} + 3 a^{2} + 10 a + 12\right)\cdot 19^{6} + \left(11 a^{6} + 7 a^{5} + 12 a^{4} + 18 a^{3} + 17 a^{2} + 18 a + 6\right)\cdot 19^{7} + \left(5 a^{6} + 14 a^{5} + 8 a^{4} + 13 a^{3} + 2 a^{2} + 10 a + 11\right)\cdot 19^{8} + \left(6 a^{6} + 9 a^{5} + 8 a^{4} + 5 a^{2} + 3 a\right)\cdot 19^{9} +O(19^{10})$ 14a^6 + 4a^5 + 18a^4 + 3a^3 + 18a^2 + 4a + 8 + (8a^6 + 15a^5 + a^4 + 6a^3 + 6a^2 + 2a + 6)19 + (10a^6 + 10a^5 + 15a^4 + 15a^3 + 13a^2 + 14a + 3)19^2 + (6a^6 + 3a^5 + 11a^4 + 14a^3 + 17a^2 + 18a + 1)19^3 + (14a^6 + 7a^5 + 13a^4 + 4a^2 + 3a + 6)19^4 + (17a^6 + 13a^4 + 10a^3 + a^2 + 4a + 4)19^5 + (3a^6 + 9a^5 + 13a^4 + a^3 + 3a^2 + 10a + 12)19^6 + (11a^6 + 7a^5 + 12a^4 + 18a^3 + 17a^2 + 18a + 6)19^7 + (5a^6 + 14a^5 + 8a^4 + 13a^3 + 2a^2 + 10a + 11)19^8 + (6a^6 + 9a^5 + 8a^4 + 5a^2 + 3a)*19^9+O(19^10)
$r_{ 11 }$	$=$	$ 16 a^{6} + 9 a^{5} + 13 a^{4} + 14 a^{3} + 4 a^{2} + 17 a + 8 + \left(2 a^{6} + 2 a^{5} + 2 a^{4} + 4 a^{2} + 17 a + 12\right)\cdot 19 + \left(a^{6} + 13 a^{5} + 7 a^{4} + 14 a^{3} + 18 a^{2} + 5 a + 15\right)\cdot 19^{2} + \left(17 a^{6} + 6 a^{5} + 11 a^{4} + 13 a^{3} + 18 a\right)\cdot 19^{3} + \left(18 a^{6} + 11 a^{4} + 2 a^{3} + 8 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 19^{4} + \left(14 a^{6} + 6 a^{4} + 7 a^{3} + 8 a^{2} + 12\right)\cdot 19^{5} + \left(3 a^{6} + 7 a^{5} + 13 a^{4} + 6 a^{3} + 14 a^{2} + 6 a + 16\right)\cdot 19^{6} + \left(7 a^{6} + 6 a^{4} + 12 a^{3} + 5 a^{2} + 13 a + 3\right)\cdot 19^{7} + \left(2 a^{6} + 4 a^{5} + 14 a^{4} + 15 a^{3} + 15 a^{2} + 17 a + 5\right)\cdot 19^{8} + \left(4 a^{6} + 7 a^{5} + 15 a^{4} + 18 a^{3} + 16 a^{2} + 2 a + 12\right)\cdot 19^{9} +O(19^{10})$ 16a^6 + 9a^5 + 13a^4 + 14a^3 + 4a^2 + 17a + 8 + (2a^6 + 2a^5 + 2a^4 + 4a^2 + 17a + 12)19 + (a^6 + 13a^5 + 7a^4 + 14a^3 + 18a^2 + 5a + 15)19^2 + (17a^6 + 6a^5 + 11a^4 + 13a^3 + 18a)19^3 + (18a^6 + 11a^4 + 2a^3 + 8a^2 + 3a + 2)19^4 + (14a^6 + 6a^4 + 7a^3 + 8a^2 + 12)19^5 + (3a^6 + 7a^5 + 13a^4 + 6a^3 + 14a^2 + 6a + 16)19^6 + (7a^6 + 6a^4 + 12a^3 + 5a^2 + 13a + 3)19^7 + (2a^6 + 4a^5 + 14a^4 + 15a^3 + 15a^2 + 17a + 5)19^8 + (4a^6 + 7a^5 + 15a^4 + 18a^3 + 16a^2 + 2a + 12)19^9+O(19^10)
$r_{ 12 }$	$=$	$ 17 a^{6} + 6 a^{5} + 15 a^{4} + 3 a^{3} + 9 a^{2} + 5 a + 18 + \left(12 a^{6} + 4 a^{4} + 6 a^{3} + 13 a^{2} + 16\right)\cdot 19 + \left(10 a^{6} + 2 a^{5} + 10 a^{4} + 17 a^{3} + 9 a^{2} + 11 a + 9\right)\cdot 19^{2} + \left(4 a^{6} + 14 a^{5} + 15 a^{4} + 7 a^{3} + 5 a^{2} + 4\right)\cdot 19^{3} + \left(13 a^{6} + 13 a^{5} + 10 a^{4} + 14 a^{3} + 12 a^{2} + 11\right)\cdot 19^{4} + \left(7 a^{5} + 4 a^{4} + 2 a^{3} + 15 a^{2} + 11\right)\cdot 19^{5} + \left(18 a^{6} + 14 a^{5} + 6 a^{4} + 8 a^{3} + 16 a^{2} + 2 a\right)\cdot 19^{6} + \left(9 a^{6} + 6 a^{5} + 10 a^{4} + 3 a^{3} + 14 a^{2} + 17 a + 11\right)\cdot 19^{7} + \left(18 a^{6} + 8 a^{5} + 18 a^{4} + 5 a^{3} + 7 a + 4\right)\cdot 19^{8} + \left(15 a^{6} + 16 a^{5} + 7 a^{4} + 16 a^{3} + 15 a^{2} + 15 a + 4\right)\cdot 19^{9} +O(19^{10})$ 17a^6 + 6a^5 + 15a^4 + 3a^3 + 9a^2 + 5a + 18 + (12a^6 + 4a^4 + 6a^3 + 13a^2 + 16)19 + (10a^6 + 2a^5 + 10a^4 + 17a^3 + 9a^2 + 11a + 9)19^2 + (4a^6 + 14a^5 + 15a^4 + 7a^3 + 5a^2 + 4)19^3 + (13a^6 + 13a^5 + 10a^4 + 14a^3 + 12a^2 + 11)19^4 + (7a^5 + 4a^4 + 2a^3 + 15a^2 + 11)19^5 + (18a^6 + 14a^5 + 6a^4 + 8a^3 + 16a^2 + 2a)19^6 + (9a^6 + 6a^5 + 10a^4 + 3a^3 + 14a^2 + 17a + 11)19^7 + (18a^6 + 8a^5 + 18a^4 + 5a^3 + 7a + 4)19^8 + (15a^6 + 16a^5 + 7a^4 + 16a^3 + 15a^2 + 15a + 4)19^9+O(19^10)
$r_{ 13 }$	$=$	$ 18 a^{6} + 13 a^{5} + 15 a^{3} + 17 a^{2} + 10 a + 15 + \left(13 a^{6} + 3 a^{4} + 15 a^{3} + 7 a^{2} + 17 a + 8\right)\cdot 19 + \left(16 a^{6} + 2 a^{5} + 4 a^{4} + 15 a^{3} + 8 a^{2} + 17 a + 8\right)\cdot 19^{2} + \left(4 a^{6} + 6 a^{5} + 15 a^{3} + a^{2} + 7 a + 3\right)\cdot 19^{3} + \left(7 a^{6} + 9 a^{5} + 12 a^{4} + 5 a^{3} + 8 a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 19^{4} + \left(11 a^{6} + 18 a^{5} + 8 a^{2} + 5 a + 4\right)\cdot 19^{5} + \left(18 a^{6} + 9 a^{5} + a^{4} + 3 a^{3} + 6 a^{2} + 16 a + 6\right)\cdot 19^{6} + \left(a^{6} + a^{5} + 15 a^{4} + 8 a^{3} + 3 a^{2} + a + 5\right)\cdot 19^{7} + \left(14 a^{6} + 7 a^{5} + 4 a^{4} + 5 a^{3} + 16 a^{2} + 3 a + 6\right)\cdot 19^{8} + \left(9 a^{6} + 14 a^{5} + 11 a^{4} + 8 a^{3} + 12 a^{2} + 8 a + 18\right)\cdot 19^{9} +O(19^{10})$ 18a^6 + 13a^5 + 15a^3 + 17a^2 + 10a + 15 + (13a^6 + 3a^4 + 15a^3 + 7a^2 + 17a + 8)19 + (16a^6 + 2a^5 + 4a^4 + 15a^3 + 8a^2 + 17a + 8)19^2 + (4a^6 + 6a^5 + 15a^3 + a^2 + 7a + 3)19^3 + (7a^6 + 9a^5 + 12a^4 + 5a^3 + 8a^2 + 5a + 2)19^4 + (11a^6 + 18a^5 + 8a^2 + 5a + 4)19^5 + (18a^6 + 9a^5 + a^4 + 3a^3 + 6a^2 + 16a + 6)19^6 + (a^6 + a^5 + 15a^4 + 8a^3 + 3a^2 + a + 5)19^7 + (14a^6 + 7a^5 + 4a^4 + 5a^3 + 16a^2 + 3a + 6)19^8 + (9a^6 + 14a^5 + 11a^4 + 8a^3 + 12a^2 + 8a + 18)*19^9+O(19^10)
$r_{ 14 }$	$=$	$ 18 a^{6} + 17 a^{5} + 14 a^{3} + 18 a^{2} + 7 a + 2 + \left(6 a^{6} + 14 a^{5} + 3 a^{4} + 2 a^{3} + 14 a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 19 + \left(11 a^{6} + 17 a^{5} + 11 a^{4} + 9 a^{3} + 18 a^{2} + 14 a + 8\right)\cdot 19^{2} + \left(6 a^{6} + 17 a^{5} + 3 a^{4} + 3 a^{3} + 3 a^{2} + 13 a + 9\right)\cdot 19^{3} + \left(3 a^{6} + 17 a^{5} + 9 a^{4} + 16 a^{2} + 16 a + 3\right)\cdot 19^{4} + \left(6 a^{6} + 3 a^{5} + 5 a^{4} + 10 a^{3} + 4 a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 19^{5} + \left(14 a^{5} + 18 a^{3} + 14 a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 19^{6} + \left(4 a^{6} + 3 a^{5} + 10 a^{4} + 13 a^{3} + a^{2} + a + 1\right)\cdot 19^{7} + \left(4 a^{6} + 2 a^{5} + 10 a^{4} + 18 a^{3} + 5 a^{2} + 16 a + 1\right)\cdot 19^{8} + \left(9 a^{6} + 17 a^{5} + 7 a^{4} + 18 a^{3} + 5 a^{2} + 8 a + 14\right)\cdot 19^{9} +O(19^{10})$ 18a^6 + 17a^5 + 14a^3 + 18a^2 + 7a + 2 + (6a^6 + 14a^5 + 3a^4 + 2a^3 + 14a^2 + 6a + 9)19 + (11a^6 + 17a^5 + 11a^4 + 9a^3 + 18a^2 + 14a + 8)19^2 + (6a^6 + 17a^5 + 3a^4 + 3a^3 + 3a^2 + 13a + 9)19^3 + (3a^6 + 17a^5 + 9a^4 + 16a^2 + 16a + 3)19^4 + (6a^6 + 3a^5 + 5a^4 + 10a^3 + 4a^2 + 8a + 10)19^5 + (14a^5 + 18a^3 + 14a^2 + 4a + 1)19^6 + (4a^6 + 3a^5 + 10a^4 + 13a^3 + a^2 + a + 1)19^7 + (4a^6 + 2a^5 + 10a^4 + 18a^3 + 5a^2 + 16a + 1)19^8 + (9a^6 + 17a^5 + 7a^4 + 18a^3 + 5a^2 + 8a + 14)*19^9+O(19^10)

Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 14 }$

Cycle notation
$(1,3)(2,11)(4,10)(5,6)(7,14)(8,13)(9,12)$
$(1,10)(2,9)(3,4)(5,8)(6,13)(7,14)(11,12)$
$(1,2)(3,8)(4,5)(6,7)(9,10)(11,12)(13,14)$

Character values on conjugacy classes

Size	Order	Action on $r_1, \ldots, r_{ 14 }$	Character value
$1$	$1$	$()$	$2$
$1$	$2$	$(1,10)(2,9)(3,4)(5,8)(6,13)(7,14)(11,12)$	$-2$
$7$	$2$	$(1,3)(2,11)(4,10)(5,6)(7,14)(8,13)(9,12)$	$0$
$7$	$2$	$(1,4)(2,12)(3,10)(5,13)(6,8)(9,11)$	$0$
$2$	$7$	$(1,8,14,6,4,9,11)(2,12,10,5,7,13,3)$	$\zeta_{7}^{4} + \zeta_{7}^{3}$
$2$	$7$	$(1,14,4,11,8,6,9)(2,10,7,3,12,5,13)$	$-\zeta_{7}^{5} - \zeta_{7}^{4} - \zeta_{7}^{3} - \zeta_{7}^{2} - 1$
$2$	$7$	$(1,6,11,14,9,8,4)(2,5,3,10,13,12,7)$	$\zeta_{7}^{5} + \zeta_{7}^{2}$
$2$	$14$	$(1,5,14,13,4,2,11,10,8,7,6,3,9,12)$	$-\zeta_{7}^{4} - \zeta_{7}^{3}$
$2$	$14$	$(1,13,11,7,9,5,4,10,6,12,14,2,8,3)$	$-\zeta_{7}^{5} - \zeta_{7}^{2}$
$2$	$14$	$(1,2,6,5,11,3,14,10,9,13,8,12,4,7)$	$\zeta_{7}^{5} + \zeta_{7}^{4} + \zeta_{7}^{3} + \zeta_{7}^{2} + 1$

The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.

Overview	Random
Universe	Knowledge

Classical	Maass
Hilbert	Bianchi

Elliptic curves over $\Q$
Elliptic curves over $\Q(\alpha)$
Genus 2 curves over $\Q$
Higher genus families
Abelian varieties over $\F_{q}$

Introduction

L-functions

Modular forms

Varieties

Fields

Representations

Groups

Database

Properties

Related objects

Downloads

Learn more

Basic invariants

Defining polynomial

Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 14 }$

Character values on conjugacy classes

This project is supported by grants from the US National Science Foundation, the UK Engineering and Physical Sciences Research Council, and the Simons Foundation.

Label	2.639.14t3.a.a
Dimension	$2$
Group	$D_{14}$
Conductor	$639$
Root number	$1$
Indicator	$1$

$r_{ 1 }$	$=$	\( 2 a^{6} + 6 a^{5} + 8 a^{4} + 14 a^{3} + 8 a^{2} + 6 a + 12 + \left(5 a^{6} + 8 a^{5} + 18 a^{4} + 16 a^{2} + 17 a + 18\right)\cdot 19 + \left(10 a^{6} + 18 a^{5} + 8 a^{4} + 11 a^{3} + 4 a^{2} + 15 a + 10\right)\cdot 19^{2} + \left(14 a^{6} + 6 a^{5} + 7 a^{4} + 7 a^{3} + 8 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 19^{3} + \left(3 a^{6} + 18 a^{5} + 8 a^{4} + 3 a^{3} + a^{2} + 2 a + 16\right)\cdot 19^{4} + \left(a^{6} + 4 a^{5} + 18 a^{4} + 10 a^{3} + 12 a^{2} + 5 a\right)\cdot 19^{5} + \left(4 a^{6} + 5 a^{5} + 13 a^{4} + 9 a^{3} + 11 a^{2} + a + 18\right)\cdot 19^{6} + \left(8 a^{6} + 6 a^{5} + 10 a^{3} + 9 a^{2} + 7 a\right)\cdot 19^{7} + \left(8 a^{6} + 8 a^{5} + 10 a^{4} + 3 a^{3} + 3 a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 19^{8} + \left(6 a^{6} + 15 a^{5} + 4 a^{4} + 3 a^{3} + 17 a^{2} + 13 a + 16\right)\cdot 19^{9} +O(19^{10})\) 2a^6 + 6a^5 + 8a^4 + 14a^3 + 8a^2 + 6a + 12 + (5a^6 + 8a^5 + 18a^4 + 16a^2 + 17a + 18)19 + (10a^6 + 18a^5 + 8a^4 + 11a^3 + 4a^2 + 15a + 10)19^2 + (14a^6 + 6a^5 + 7a^4 + 7a^3 + 8a^2 + 2a + 9)19^3 + (3a^6 + 18a^5 + 8a^4 + 3a^3 + a^2 + 2a + 16)19^4 + (a^6 + 4a^5 + 18a^4 + 10a^3 + 12a^2 + 5a)19^5 + (4a^6 + 5a^5 + 13a^4 + 9a^3 + 11a^2 + a + 18)19^6 + (8a^6 + 6a^5 + 10a^3 + 9a^2 + 7a)19^7 + (8a^6 + 8a^5 + 10a^4 + 3a^3 + 3a^2 + 4a + 1)19^8 + (6a^6 + 15a^5 + 4a^4 + 3a^3 + 17a^2 + 13a + 16)19^9+O(19^10)
$r_{ 2 }$	$=$	\( 3 a^{6} + 9 a^{5} + 13 a^{4} + 4 a^{3} + 8 a^{2} + 4 a + 3 + \left(14 a^{6} + a^{5} + 4 a^{4} + 17 a^{3} + 16 a^{2} + 18 a + 7\right)\cdot 19 + \left(9 a^{6} + 7 a^{5} + 8 a^{3} + 5 a^{2} + 9 a + 2\right)\cdot 19^{2} + \left(7 a^{6} + 10 a^{5} + 7 a^{4} + 8 a^{3} + 9 a^{2} + a + 6\right)\cdot 19^{3} + \left(6 a^{6} + 18 a^{5} + 16 a^{4} + 7 a^{2} + 16 a + 11\right)\cdot 19^{4} + \left(5 a^{6} + 10 a^{5} + 18 a^{4} + 8 a^{3} + a^{2} + 18 a + 5\right)\cdot 19^{5} + \left(11 a^{6} + 3 a^{5} + 12 a^{4} + 4 a^{3} + 5 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 19^{6} + \left(17 a^{6} + 9 a^{5} + 7 a^{3} + 3 a^{2} + 10 a + 1\right)\cdot 19^{7} + \left(8 a^{6} + 3 a^{5} + 6 a^{4} + 5 a^{3} + 14 a^{2} + 14 a + 4\right)\cdot 19^{8} + \left(17 a^{6} + 17 a^{5} + 18 a^{4} + 11 a^{3} + 18 a^{2} + 16 a + 9\right)\cdot 19^{9} +O(19^{10})\) 3a^6 + 9a^5 + 13a^4 + 4a^3 + 8a^2 + 4a + 3 + (14a^6 + a^5 + 4a^4 + 17a^3 + 16a^2 + 18a + 7)19 + (9a^6 + 7a^5 + 8a^3 + 5a^2 + 9a + 2)19^2 + (7a^6 + 10a^5 + 7a^4 + 8a^3 + 9a^2 + a + 6)19^3 + (6a^6 + 18a^5 + 16a^4 + 7a^2 + 16a + 11)19^4 + (5a^6 + 10a^5 + 18a^4 + 8a^3 + a^2 + 18a + 5)19^5 + (11a^6 + 3a^5 + 12a^4 + 4a^3 + 5a^2 + 7a + 9)19^6 + (17a^6 + 9a^5 + 7a^3 + 3a^2 + 10a + 1)19^7 + (8a^6 + 3a^5 + 6a^4 + 5a^3 + 14a^2 + 14a + 4)19^8 + (17a^6 + 17a^5 + 18a^4 + 11a^3 + 18a^2 + 16a + 9)*19^9+O(19^10)
$r_{ 3 }$	$=$	\( 4 a^{6} + 16 a^{5} + 13 a^{4} + 3 a^{3} + 10 a^{2} + 10 a + \left(8 a^{6} + 12 a^{5} + 3 a^{3} + 4 a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 19 + \left(9 a^{6} + 15 a^{5} + 4 a^{4} + 2 a^{3} + a^{2} + 12 a + 17\right)\cdot 19^{2} + \left(15 a^{6} + 18 a^{5} + 4 a^{4} + 3 a^{3} + 3 a + 11\right)\cdot 19^{3} + \left(7 a^{6} + a^{5} + 17 a^{4} + 8 a^{3} + 18 a^{2} + 12 a + 18\right)\cdot 19^{4} + \left(4 a^{5} + 17 a^{4} + 4 a^{3} + 2 a^{2} + 13 a + 1\right)\cdot 19^{5} + \left(16 a^{6} + 5 a^{5} + 9 a^{3} + 12 a^{2} + 2 a + 1\right)\cdot 19^{6} + \left(11 a^{6} + 3 a^{5} + 14 a^{4} + 12 a^{3} + 14 a^{2} + 14 a + 18\right)\cdot 19^{7} + \left(15 a^{6} + 18 a^{5} + a^{4} + 16 a^{3} + 3 a + 5\right)\cdot 19^{8} + \left(10 a^{6} + 9 a^{5} + 14 a^{4} + 2 a^{3} + 13 a^{2} + 18 a + 10\right)\cdot 19^{9} +O(19^{10})\) 4a^6 + 16a^5 + 13a^4 + 3a^3 + 10a^2 + 10a + (8a^6 + 12a^5 + 3a^3 + 4a^2 + 8a + 1)19 + (9a^6 + 15a^5 + 4a^4 + 2a^3 + a^2 + 12a + 17)19^2 + (15a^6 + 18a^5 + 4a^4 + 3a^3 + 3a + 11)19^3 + (7a^6 + a^5 + 17a^4 + 8a^3 + 18a^2 + 12a + 18)19^4 + (4a^5 + 17a^4 + 4a^3 + 2a^2 + 13a + 1)19^5 + (16a^6 + 5a^5 + 9a^3 + 12a^2 + 2a + 1)19^6 + (11a^6 + 3a^5 + 14a^4 + 12a^3 + 14a^2 + 14a + 18)19^7 + (15a^6 + 18a^5 + a^4 + 16a^3 + 3a + 5)19^8 + (10a^6 + 9a^5 + 14a^4 + 2a^3 + 13a^2 + 18a + 10)*19^9+O(19^10)
$r_{ 4 }$	$=$	\( 6 a^{6} + 5 a^{5} + 10 a^{4} + 14 a^{3} + 15 a^{2} + 15 a + \left(7 a^{6} + 18 a^{5} + 8 a^{4} + 5 a^{3} + 3 a^{2} + 9 a + 11\right)\cdot 19 + \left(a^{6} + 6 a^{5} + 18 a^{4} + 9 a^{3} + 4 a^{2} + 6 a\right)\cdot 19^{2} + \left(18 a^{5} + 14 a^{4} + 15 a^{3} + 6 a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 19^{3} + \left(15 a^{6} + 12 a^{5} + 4 a^{4} + 2 a^{3} + 7 a^{2} + 16 a + 9\right)\cdot 19^{4} + \left(13 a^{6} + 17 a^{5} + 18 a^{4} + 10 a^{3} + 15 a^{2} + 6 a\right)\cdot 19^{5} + \left(14 a^{6} + 15 a^{5} + 4 a^{4} + 9 a^{3} + 10 a^{2} + 16 a + 5\right)\cdot 19^{6} + \left(11 a^{6} + 14 a^{5} + 18 a^{4} + 18 a^{3} + 16 a^{2} + 14 a\right)\cdot 19^{7} + \left(17 a^{5} + 4 a^{4} + 17 a^{3} + 16 a^{2} + 10 a + 7\right)\cdot 19^{8} + \left(10 a^{6} + 3 a^{5} + 11 a^{4} + 18 a^{3} + 14 a^{2} + 13 a + 7\right)\cdot 19^{9} +O(19^{10})\) 6a^6 + 5a^5 + 10a^4 + 14a^3 + 15a^2 + 15a + (7a^6 + 18a^5 + 8a^4 + 5a^3 + 3a^2 + 9a + 11)19 + (a^6 + 6a^5 + 18a^4 + 9a^3 + 4a^2 + 6a)19^2 + (18a^5 + 14a^4 + 15a^3 + 6a^2 + 9a + 3)19^3 + (15a^6 + 12a^5 + 4a^4 + 2a^3 + 7a^2 + 16a + 9)19^4 + (13a^6 + 17a^5 + 18a^4 + 10a^3 + 15a^2 + 6a)19^5 + (14a^6 + 15a^5 + 4a^4 + 9a^3 + 10a^2 + 16a + 5)19^6 + (11a^6 + 14a^5 + 18a^4 + 18a^3 + 16a^2 + 14a)19^7 + (17a^5 + 4a^4 + 17a^3 + 16a^2 + 10a + 7)19^8 + (10a^6 + 3a^5 + 11a^4 + 18a^3 + 14a^2 + 13a + 7)19^9+O(19^10)
$r_{ 5 }$	$=$	\( 8 a^{6} + 4 a^{5} + 17 a^{4} + 7 a^{3} + 2 a^{2} + 13 a + 7 + \left(3 a^{6} + 9 a^{5} + a^{4} + 7 a^{3} + 13 a^{2} + 12 a + 14\right)\cdot 19 + \left(13 a^{6} + 8 a^{5} + 14 a^{4} + 3 a^{3} + 11 a^{2} + 12 a + 3\right)\cdot 19^{2} + \left(18 a^{6} + a^{5} + 13 a^{4} + 16 a^{3} + 7 a^{2} + 10 a + 1\right)\cdot 19^{3} + \left(15 a^{6} + 2 a^{5} + 18 a^{4} + 9 a^{3} + 6 a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 19^{4} + \left(6 a^{6} + 13 a^{5} + 5 a^{4} + 2 a^{3} + 10 a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 19^{5} + \left(14 a^{5} + 17 a^{4} + 14 a^{3} + 9 a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 19^{6} + \left(6 a^{6} + a^{5} + 9 a^{4} + 2 a^{3} + 13 a^{2} + 13 a + 12\right)\cdot 19^{7} + \left(10 a^{6} + 7 a^{5} + 9 a^{4} + 15 a^{3} + 8 a^{2} + 16\right)\cdot 19^{8} + \left(18 a^{6} + 18 a^{5} + 18 a^{4} + a^{3} + 9 a + 3\right)\cdot 19^{9} +O(19^{10})\) 8a^6 + 4a^5 + 17a^4 + 7a^3 + 2a^2 + 13a + 7 + (3a^6 + 9a^5 + a^4 + 7a^3 + 13a^2 + 12a + 14)19 + (13a^6 + 8a^5 + 14a^4 + 3a^3 + 11a^2 + 12a + 3)19^2 + (18a^6 + a^5 + 13a^4 + 16a^3 + 7a^2 + 10a + 1)19^3 + (15a^6 + 2a^5 + 18a^4 + 9a^3 + 6a^2 + 6a + 9)19^4 + (6a^6 + 13a^5 + 5a^4 + 2a^3 + 10a^2 + 5a + 2)19^5 + (14a^5 + 17a^4 + 14a^3 + 9a^2 + 6a + 10)19^6 + (6a^6 + a^5 + 9a^4 + 2a^3 + 13a^2 + 13a + 12)19^7 + (10a^6 + 7a^5 + 9a^4 + 15a^3 + 8a^2 + 16)19^8 + (18a^6 + 18a^5 + 18a^4 + a^3 + 9a + 3)19^9+O(19^10)
$r_{ 6 }$	$=$	\( 8 a^{6} + 10 a^{5} + 13 a^{3} + 16 a^{2} + 15 a + 13 + \left(17 a^{6} + 8 a^{5} + 14 a^{4} + 9 a^{3} + 4 a^{2} + 13 a + 8\right)\cdot 19 + \left(5 a^{6} + 15 a^{5} + 16 a^{4} + 6 a^{3} + 18 a^{2} + 17 a + 18\right)\cdot 19^{2} + \left(11 a^{6} + 10 a^{5} + 9 a^{4} + 15 a^{2} + 11\right)\cdot 19^{3} + \left(18 a^{6} + 15 a^{5} + 4 a^{4} + 8 a^{3} + 8 a^{2} + 6 a + 8\right)\cdot 19^{4} + \left(16 a^{6} + 4 a^{5} + 7 a^{3} + 3 a + 11\right)\cdot 19^{5} + \left(7 a^{6} + 11 a^{4} + 10 a^{3} + 14 a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 19^{6} + \left(7 a^{6} + 13 a^{5} + 12 a^{4} + a^{3} + 14 a^{2} + 17 a + 18\right)\cdot 19^{7} + \left(5 a^{6} + 3 a^{5} + 4 a^{4} + 16 a^{3} + 16 a^{2} + 17 a + 17\right)\cdot 19^{8} + \left(4 a^{6} + 14 a^{5} + 17 a^{4} + 4 a^{3} + 12 a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 19^{9} +O(19^{10})\) 8a^6 + 10a^5 + 13a^3 + 16a^2 + 15a + 13 + (17a^6 + 8a^5 + 14a^4 + 9a^3 + 4a^2 + 13a + 8)19 + (5a^6 + 15a^5 + 16a^4 + 6a^3 + 18a^2 + 17a + 18)19^2 + (11a^6 + 10a^5 + 9a^4 + 15a^2 + 11)19^3 + (18a^6 + 15a^5 + 4a^4 + 8a^3 + 8a^2 + 6a + 8)19^4 + (16a^6 + 4a^5 + 7a^3 + 3a + 11)19^5 + (7a^6 + 11a^4 + 10a^3 + 14a^2 + 8a + 10)19^6 + (7a^6 + 13a^5 + 12a^4 + a^3 + 14a^2 + 17a + 18)19^7 + (5a^6 + 3a^5 + 4a^4 + 16a^3 + 16a^2 + 17a + 17)19^8 + (4a^6 + 14a^5 + 17a^4 + 4a^3 + 12a^2 + 8a + 4)19^9+O(19^10)
$r_{ 7 }$	$=$	\( 12 a^{6} + 5 a^{5} + 3 a^{3} + 12 a^{2} + 11 a + 14 + \left(14 a^{6} + 17 a^{5} + 2 a^{4} + a^{3} + 13 a^{2} + 16 a + 17\right)\cdot 19 + \left(5 a^{6} + 10 a^{5} + 9 a^{4} + 13 a^{3} + 6 a^{2} + 16 a\right)\cdot 19^{2} + \left(18 a^{6} + 2 a^{5} + 4 a^{4} + 9 a^{3} + 15 a^{2} + 13 a + 10\right)\cdot 19^{3} + \left(10 a^{6} + 4 a^{5} + 6 a^{4} + 17 a^{3} + 18 a^{2} + 12 a + 18\right)\cdot 19^{4} + \left(14 a^{6} + 2 a^{5} + 14 a^{4} + 9 a^{3} + 16 a^{2} + 9 a + 6\right)\cdot 19^{5} + \left(7 a^{6} + 4 a^{4} + 16 a^{3} + 3 a^{2} + 11 a + 18\right)\cdot 19^{6} + \left(17 a^{6} + 8 a^{5} + 13 a^{4} + 4 a^{3} + 9 a^{2} + 5\right)\cdot 19^{7} + \left(2 a^{6} + 17 a^{5} + 7 a^{4} + 14 a^{3} + 13 a^{2} + 16 a\right)\cdot 19^{8} + \left(16 a^{6} + 8 a^{5} + 16 a^{4} + 15 a^{3} + 10 a^{2} + 4 a + 16\right)\cdot 19^{9} +O(19^{10})\) 12a^6 + 5a^5 + 3a^3 + 12a^2 + 11a + 14 + (14a^6 + 17a^5 + 2a^4 + a^3 + 13a^2 + 16a + 17)19 + (5a^6 + 10a^5 + 9a^4 + 13a^3 + 6a^2 + 16a)19^2 + (18a^6 + 2a^5 + 4a^4 + 9a^3 + 15a^2 + 13a + 10)19^3 + (10a^6 + 4a^5 + 6a^4 + 17a^3 + 18a^2 + 12a + 18)19^4 + (14a^6 + 2a^5 + 14a^4 + 9a^3 + 16a^2 + 9a + 6)19^5 + (7a^6 + 4a^4 + 16a^3 + 3a^2 + 11a + 18)19^6 + (17a^6 + 8a^5 + 13a^4 + 4a^3 + 9a^2 + 5)19^7 + (2a^6 + 17a^5 + 7a^4 + 14a^3 + 13a^2 + 16a)19^8 + (16a^6 + 8a^5 + 16a^4 + 15a^3 + 10a^2 + 4a + 16)*19^9+O(19^10)
$r_{ 8 }$	$=$	\( 12 a^{6} + 6 a^{5} + 16 a^{4} + a^{3} + 3 a^{2} + 10 a + 1 + \left(4 a^{6} + 18 a^{5} + 14 a^{4} + 7 a^{3} + 17 a^{2} + 7 a + 8\right)\cdot 19 + \left(15 a^{6} + 12 a^{5} + 5 a^{4} + 3 a^{3} + 18 a^{2} + 16 a + 9\right)\cdot 19^{2} + \left(8 a^{6} + 5 a^{5} + 7 a^{4} + 15 a^{3} + 13 a^{2} + 15 a + 4\right)\cdot 19^{3} + \left(4 a^{6} + 12 a^{5} + 3 a^{4} + 8 a^{3} + 16 a^{2} + 8 a + 9\right)\cdot 19^{4} + \left(16 a^{6} + 8 a^{4} + 3 a^{3} + 3 a^{2} + 12 a + 18\right)\cdot 19^{5} + \left(11 a^{6} + 10 a^{5} + 10 a^{4} + 5 a^{3} + 8 a^{2} + 11\right)\cdot 19^{6} + \left(9 a^{6} + 16 a^{5} + 5 a^{4} + 4 a^{3} + a^{2} + 3 a + 13\right)\cdot 19^{7} + \left(16 a^{6} + 8 a^{5} + 10 a^{4} + 15 a^{3} + 13 a^{2} + 4 a + 12\right)\cdot 19^{8} + \left(8 a^{6} + 3 a^{5} + 8 a^{4} + 18 a^{3} + 14 a^{2} + 15 a + 17\right)\cdot 19^{9} +O(19^{10})\) 12a^6 + 6a^5 + 16a^4 + a^3 + 3a^2 + 10a + 1 + (4a^6 + 18a^5 + 14a^4 + 7a^3 + 17a^2 + 7a + 8)19 + (15a^6 + 12a^5 + 5a^4 + 3a^3 + 18a^2 + 16a + 9)19^2 + (8a^6 + 5a^5 + 7a^4 + 15a^3 + 13a^2 + 15a + 4)19^3 + (4a^6 + 12a^5 + 3a^4 + 8a^3 + 16a^2 + 8a + 9)19^4 + (16a^6 + 8a^4 + 3a^3 + 3a^2 + 12a + 18)19^5 + (11a^6 + 10a^5 + 10a^4 + 5a^3 + 8a^2 + 11)19^6 + (9a^6 + 16a^5 + 5a^4 + 4a^3 + a^2 + 3a + 13)19^7 + (16a^6 + 8a^5 + 10a^4 + 15a^3 + 13a^2 + 4a + 12)19^8 + (8a^6 + 3a^5 + 8a^4 + 18a^3 + 14a^2 + 15a + 17)*19^9+O(19^10)
$r_{ 9 }$	$=$	\( 14 a^{6} + 4 a^{5} + 10 a^{4} + 6 a^{3} + 12 a^{2} + 6 a + 14 + \left(12 a^{6} + 5 a^{5} + 14 a^{4} + 11 a^{3} + 14 a^{2} + 3 a + 11\right)\cdot 19 + \left(11 a^{6} + 10 a^{5} + 7 a^{4} + 3 a^{3} + 11 a^{2} + 18 a + 4\right)\cdot 19^{2} + \left(17 a^{6} + 9 a^{5} + 2 a^{4} + a^{3} + 7 a^{2} + 14 a + 17\right)\cdot 19^{3} + \left(11 a^{6} + 17 a^{5} + 15 a^{4} + 12 a^{3} + 17 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 19^{4} + \left(6 a^{6} + 5 a^{5} + 18 a^{4} + 8 a^{3} + 11 a^{2} + a + 4\right)\cdot 19^{5} + \left(14 a^{6} + 4 a^{5} + 2 a^{4} + 16 a^{3} + 2 a^{2} + a + 11\right)\cdot 19^{6} + \left(8 a^{6} + 2 a^{5} + 3 a^{4} + 14 a^{3} + 7 a^{2} + 14\right)\cdot 19^{7} + \left(12 a^{5} + 2 a^{4} + 7 a^{3} + 5 a^{2} + 5 a\right)\cdot 19^{8} + \left(14 a^{6} + 14 a^{5} + 11 a^{4} + 11 a^{3} + 13 a^{2} + 13 a + 17\right)\cdot 19^{9} +O(19^{10})\) 14a^6 + 4a^5 + 10a^4 + 6a^3 + 12a^2 + 6a + 14 + (12a^6 + 5a^5 + 14a^4 + 11a^3 + 14a^2 + 3a + 11)19 + (11a^6 + 10a^5 + 7a^4 + 3a^3 + 11a^2 + 18a + 4)19^2 + (17a^6 + 9a^5 + 2a^4 + a^3 + 7a^2 + 14a + 17)19^3 + (11a^6 + 17a^5 + 15a^4 + 12a^3 + 17a^2 + 2a + 6)19^4 + (6a^6 + 5a^5 + 18a^4 + 8a^3 + 11a^2 + a + 4)19^5 + (14a^6 + 4a^5 + 2a^4 + 16a^3 + 2a^2 + a + 11)19^6 + (8a^6 + 2a^5 + 3a^4 + 14a^3 + 7a^2 + 14)19^7 + (12a^5 + 2a^4 + 7a^3 + 5a^2 + 5a)19^8 + (14a^6 + 14a^5 + 11a^4 + 11a^3 + 13a^2 + 13a + 17)19^9+O(19^10)
$r_{ 10 }$	$=$	\( 14 a^{6} + 4 a^{5} + 18 a^{4} + 3 a^{3} + 18 a^{2} + 4 a + 8 + \left(8 a^{6} + 15 a^{5} + a^{4} + 6 a^{3} + 6 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 19 + \left(10 a^{6} + 10 a^{5} + 15 a^{4} + 15 a^{3} + 13 a^{2} + 14 a + 3\right)\cdot 19^{2} + \left(6 a^{6} + 3 a^{5} + 11 a^{4} + 14 a^{3} + 17 a^{2} + 18 a + 1\right)\cdot 19^{3} + \left(14 a^{6} + 7 a^{5} + 13 a^{4} + 4 a^{2} + 3 a + 6\right)\cdot 19^{4} + \left(17 a^{6} + 13 a^{4} + 10 a^{3} + a^{2} + 4 a + 4\right)\cdot 19^{5} + \left(3 a^{6} + 9 a^{5} + 13 a^{4} + a^{3} + 3 a^{2} + 10 a + 12\right)\cdot 19^{6} + \left(11 a^{6} + 7 a^{5} + 12 a^{4} + 18 a^{3} + 17 a^{2} + 18 a + 6\right)\cdot 19^{7} + \left(5 a^{6} + 14 a^{5} + 8 a^{4} + 13 a^{3} + 2 a^{2} + 10 a + 11\right)\cdot 19^{8} + \left(6 a^{6} + 9 a^{5} + 8 a^{4} + 5 a^{2} + 3 a\right)\cdot 19^{9} +O(19^{10})\) 14a^6 + 4a^5 + 18a^4 + 3a^3 + 18a^2 + 4a + 8 + (8a^6 + 15a^5 + a^4 + 6a^3 + 6a^2 + 2a + 6)19 + (10a^6 + 10a^5 + 15a^4 + 15a^3 + 13a^2 + 14a + 3)19^2 + (6a^6 + 3a^5 + 11a^4 + 14a^3 + 17a^2 + 18a + 1)19^3 + (14a^6 + 7a^5 + 13a^4 + 4a^2 + 3a + 6)19^4 + (17a^6 + 13a^4 + 10a^3 + a^2 + 4a + 4)19^5 + (3a^6 + 9a^5 + 13a^4 + a^3 + 3a^2 + 10a + 12)19^6 + (11a^6 + 7a^5 + 12a^4 + 18a^3 + 17a^2 + 18a + 6)19^7 + (5a^6 + 14a^5 + 8a^4 + 13a^3 + 2a^2 + 10a + 11)19^8 + (6a^6 + 9a^5 + 8a^4 + 5a^2 + 3a)*19^9+O(19^10)
$r_{ 11 }$	$=$	\( 16 a^{6} + 9 a^{5} + 13 a^{4} + 14 a^{3} + 4 a^{2} + 17 a + 8 + \left(2 a^{6} + 2 a^{5} + 2 a^{4} + 4 a^{2} + 17 a + 12\right)\cdot 19 + \left(a^{6} + 13 a^{5} + 7 a^{4} + 14 a^{3} + 18 a^{2} + 5 a + 15\right)\cdot 19^{2} + \left(17 a^{6} + 6 a^{5} + 11 a^{4} + 13 a^{3} + 18 a\right)\cdot 19^{3} + \left(18 a^{6} + 11 a^{4} + 2 a^{3} + 8 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 19^{4} + \left(14 a^{6} + 6 a^{4} + 7 a^{3} + 8 a^{2} + 12\right)\cdot 19^{5} + \left(3 a^{6} + 7 a^{5} + 13 a^{4} + 6 a^{3} + 14 a^{2} + 6 a + 16\right)\cdot 19^{6} + \left(7 a^{6} + 6 a^{4} + 12 a^{3} + 5 a^{2} + 13 a + 3\right)\cdot 19^{7} + \left(2 a^{6} + 4 a^{5} + 14 a^{4} + 15 a^{3} + 15 a^{2} + 17 a + 5\right)\cdot 19^{8} + \left(4 a^{6} + 7 a^{5} + 15 a^{4} + 18 a^{3} + 16 a^{2} + 2 a + 12\right)\cdot 19^{9} +O(19^{10})\) 16a^6 + 9a^5 + 13a^4 + 14a^3 + 4a^2 + 17a + 8 + (2a^6 + 2a^5 + 2a^4 + 4a^2 + 17a + 12)19 + (a^6 + 13a^5 + 7a^4 + 14a^3 + 18a^2 + 5a + 15)19^2 + (17a^6 + 6a^5 + 11a^4 + 13a^3 + 18a)19^3 + (18a^6 + 11a^4 + 2a^3 + 8a^2 + 3a + 2)19^4 + (14a^6 + 6a^4 + 7a^3 + 8a^2 + 12)19^5 + (3a^6 + 7a^5 + 13a^4 + 6a^3 + 14a^2 + 6a + 16)19^6 + (7a^6 + 6a^4 + 12a^3 + 5a^2 + 13a + 3)19^7 + (2a^6 + 4a^5 + 14a^4 + 15a^3 + 15a^2 + 17a + 5)19^8 + (4a^6 + 7a^5 + 15a^4 + 18a^3 + 16a^2 + 2a + 12)19^9+O(19^10)
$r_{ 12 }$	$=$	\( 17 a^{6} + 6 a^{5} + 15 a^{4} + 3 a^{3} + 9 a^{2} + 5 a + 18 + \left(12 a^{6} + 4 a^{4} + 6 a^{3} + 13 a^{2} + 16\right)\cdot 19 + \left(10 a^{6} + 2 a^{5} + 10 a^{4} + 17 a^{3} + 9 a^{2} + 11 a + 9\right)\cdot 19^{2} + \left(4 a^{6} + 14 a^{5} + 15 a^{4} + 7 a^{3} + 5 a^{2} + 4\right)\cdot 19^{3} + \left(13 a^{6} + 13 a^{5} + 10 a^{4} + 14 a^{3} + 12 a^{2} + 11\right)\cdot 19^{4} + \left(7 a^{5} + 4 a^{4} + 2 a^{3} + 15 a^{2} + 11\right)\cdot 19^{5} + \left(18 a^{6} + 14 a^{5} + 6 a^{4} + 8 a^{3} + 16 a^{2} + 2 a\right)\cdot 19^{6} + \left(9 a^{6} + 6 a^{5} + 10 a^{4} + 3 a^{3} + 14 a^{2} + 17 a + 11\right)\cdot 19^{7} + \left(18 a^{6} + 8 a^{5} + 18 a^{4} + 5 a^{3} + 7 a + 4\right)\cdot 19^{8} + \left(15 a^{6} + 16 a^{5} + 7 a^{4} + 16 a^{3} + 15 a^{2} + 15 a + 4\right)\cdot 19^{9} +O(19^{10})\) 17a^6 + 6a^5 + 15a^4 + 3a^3 + 9a^2 + 5a + 18 + (12a^6 + 4a^4 + 6a^3 + 13a^2 + 16)19 + (10a^6 + 2a^5 + 10a^4 + 17a^3 + 9a^2 + 11a + 9)19^2 + (4a^6 + 14a^5 + 15a^4 + 7a^3 + 5a^2 + 4)19^3 + (13a^6 + 13a^5 + 10a^4 + 14a^3 + 12a^2 + 11)19^4 + (7a^5 + 4a^4 + 2a^3 + 15a^2 + 11)19^5 + (18a^6 + 14a^5 + 6a^4 + 8a^3 + 16a^2 + 2a)19^6 + (9a^6 + 6a^5 + 10a^4 + 3a^3 + 14a^2 + 17a + 11)19^7 + (18a^6 + 8a^5 + 18a^4 + 5a^3 + 7a + 4)19^8 + (15a^6 + 16a^5 + 7a^4 + 16a^3 + 15a^2 + 15a + 4)19^9+O(19^10)
$r_{ 13 }$	$=$	\( 18 a^{6} + 13 a^{5} + 15 a^{3} + 17 a^{2} + 10 a + 15 + \left(13 a^{6} + 3 a^{4} + 15 a^{3} + 7 a^{2} + 17 a + 8\right)\cdot 19 + \left(16 a^{6} + 2 a^{5} + 4 a^{4} + 15 a^{3} + 8 a^{2} + 17 a + 8\right)\cdot 19^{2} + \left(4 a^{6} + 6 a^{5} + 15 a^{3} + a^{2} + 7 a + 3\right)\cdot 19^{3} + \left(7 a^{6} + 9 a^{5} + 12 a^{4} + 5 a^{3} + 8 a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 19^{4} + \left(11 a^{6} + 18 a^{5} + 8 a^{2} + 5 a + 4\right)\cdot 19^{5} + \left(18 a^{6} + 9 a^{5} + a^{4} + 3 a^{3} + 6 a^{2} + 16 a + 6\right)\cdot 19^{6} + \left(a^{6} + a^{5} + 15 a^{4} + 8 a^{3} + 3 a^{2} + a + 5\right)\cdot 19^{7} + \left(14 a^{6} + 7 a^{5} + 4 a^{4} + 5 a^{3} + 16 a^{2} + 3 a + 6\right)\cdot 19^{8} + \left(9 a^{6} + 14 a^{5} + 11 a^{4} + 8 a^{3} + 12 a^{2} + 8 a + 18\right)\cdot 19^{9} +O(19^{10})\) 18a^6 + 13a^5 + 15a^3 + 17a^2 + 10a + 15 + (13a^6 + 3a^4 + 15a^3 + 7a^2 + 17a + 8)19 + (16a^6 + 2a^5 + 4a^4 + 15a^3 + 8a^2 + 17a + 8)19^2 + (4a^6 + 6a^5 + 15a^3 + a^2 + 7a + 3)19^3 + (7a^6 + 9a^5 + 12a^4 + 5a^3 + 8a^2 + 5a + 2)19^4 + (11a^6 + 18a^5 + 8a^2 + 5a + 4)19^5 + (18a^6 + 9a^5 + a^4 + 3a^3 + 6a^2 + 16a + 6)19^6 + (a^6 + a^5 + 15a^4 + 8a^3 + 3a^2 + a + 5)19^7 + (14a^6 + 7a^5 + 4a^4 + 5a^3 + 16a^2 + 3a + 6)19^8 + (9a^6 + 14a^5 + 11a^4 + 8a^3 + 12a^2 + 8a + 18)*19^9+O(19^10)
$r_{ 14 }$	$=$	\( 18 a^{6} + 17 a^{5} + 14 a^{3} + 18 a^{2} + 7 a + 2 + \left(6 a^{6} + 14 a^{5} + 3 a^{4} + 2 a^{3} + 14 a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 19 + \left(11 a^{6} + 17 a^{5} + 11 a^{4} + 9 a^{3} + 18 a^{2} + 14 a + 8\right)\cdot 19^{2} + \left(6 a^{6} + 17 a^{5} + 3 a^{4} + 3 a^{3} + 3 a^{2} + 13 a + 9\right)\cdot 19^{3} + \left(3 a^{6} + 17 a^{5} + 9 a^{4} + 16 a^{2} + 16 a + 3\right)\cdot 19^{4} + \left(6 a^{6} + 3 a^{5} + 5 a^{4} + 10 a^{3} + 4 a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 19^{5} + \left(14 a^{5} + 18 a^{3} + 14 a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 19^{6} + \left(4 a^{6} + 3 a^{5} + 10 a^{4} + 13 a^{3} + a^{2} + a + 1\right)\cdot 19^{7} + \left(4 a^{6} + 2 a^{5} + 10 a^{4} + 18 a^{3} + 5 a^{2} + 16 a + 1\right)\cdot 19^{8} + \left(9 a^{6} + 17 a^{5} + 7 a^{4} + 18 a^{3} + 5 a^{2} + 8 a + 14\right)\cdot 19^{9} +O(19^{10})\) 18a^6 + 17a^5 + 14a^3 + 18a^2 + 7a + 2 + (6a^6 + 14a^5 + 3a^4 + 2a^3 + 14a^2 + 6a + 9)19 + (11a^6 + 17a^5 + 11a^4 + 9a^3 + 18a^2 + 14a + 8)19^2 + (6a^6 + 17a^5 + 3a^4 + 3a^3 + 3a^2 + 13a + 9)19^3 + (3a^6 + 17a^5 + 9a^4 + 16a^2 + 16a + 3)19^4 + (6a^6 + 3a^5 + 5a^4 + 10a^3 + 4a^2 + 8a + 10)19^5 + (14a^5 + 18a^3 + 14a^2 + 4a + 1)19^6 + (4a^6 + 3a^5 + 10a^4 + 13a^3 + a^2 + a + 1)19^7 + (4a^6 + 2a^5 + 10a^4 + 18a^3 + 5a^2 + 16a + 1)19^8 + (9a^6 + 17a^5 + 7a^4 + 18a^3 + 5a^2 + 8a + 14)*19^9+O(19^10)