Basic invariants
Dimension: | $2$ |
Group: | $D_{13}$ |
Conductor: | \(631\) |
Frobenius-Schur indicator: | $1$ |
Root number: | $1$ |
Artin stem field: | Galois closure of 13.1.63121332085847281.1 |
Galois orbit size: | $6$ |
Smallest permutation container: | $D_{13}$ |
Parity: | odd |
Determinant: | 1.631.2t1.a.a |
Projective image: | $D_{13}$ |
Projective stem field: | Galois closure of 13.1.63121332085847281.1 |
Defining polynomial
$f(x)$ | $=$ | \( x^{13} - 4 x^{12} + 12 x^{11} - 21 x^{10} + 37 x^{9} - 46 x^{8} + 54 x^{7} - 72 x^{6} + 71 x^{5} + \cdots + 1 \) . |
The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 17 }$ to precision 5.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 17 }$: \( x^{13} + 15x + 14 \)
Roots:
$r_{ 1 }$ | $=$ | \( 12 a^{11} + 14 a^{10} + a^{9} + 13 a^{8} + 15 a^{7} + 4 a^{6} + 9 a^{5} + 12 a^{4} + 8 a^{3} + 5 a^{2} + 9 a + 16 + \left(3 a^{12} + 5 a^{11} + a^{10} + 15 a^{9} + 13 a^{8} + 2 a^{7} + a^{6} + 15 a^{5} + 5 a^{4} + 6 a^{3} + 13 a^{2} + 6 a + 4\right)\cdot 17 + \left(13 a^{12} + 10 a^{11} + 14 a^{10} + 10 a^{9} + 15 a^{8} + 7 a^{7} + 7 a^{6} + 8 a^{5} + a^{4} + 9 a^{3} + 10 a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 17^{2} + \left(13 a^{12} + 6 a^{11} + 5 a^{10} + 14 a^{9} + 3 a^{8} + 16 a^{7} + 9 a^{6} + 8 a^{5} + 12 a^{4} + 12 a^{3} + 7 a^{2} + 14 a + 14\right)\cdot 17^{3} + \left(15 a^{12} + 14 a^{11} + 4 a^{10} + 11 a^{9} + 5 a^{8} + 9 a^{7} + 14 a^{6} + 13 a^{5} + 13 a^{4} + 2 a^{3} + a^{2} + 10 a + 1\right)\cdot 17^{4} +O(17^{5})\) |
$r_{ 2 }$ | $=$ | \( 2 a^{12} + 4 a^{11} + 15 a^{10} + 10 a^{9} + 14 a^{8} + 6 a^{7} + 14 a^{6} + 11 a^{5} + 7 a^{3} + 9 a^{2} + 8 a + 11 + \left(11 a^{12} + 10 a^{11} + 5 a^{10} + 9 a^{9} + 11 a^{8} + 8 a^{7} + 10 a^{6} + 15 a^{5} + a^{4} + a^{3} + 9 a^{2} + a + 16\right)\cdot 17 + \left(7 a^{12} + 8 a^{11} + 4 a^{10} + 3 a^{9} + 15 a^{8} + 4 a^{7} + 13 a^{5} + 2 a^{4} + 3 a^{3} + a^{2} + 16 a + 3\right)\cdot 17^{2} + \left(8 a^{12} + 16 a^{11} + 16 a^{10} + 8 a^{9} + 10 a^{8} + 15 a^{7} + 8 a^{6} + 11 a^{5} + 7 a^{4} + 3 a^{3} + 4 a^{2} + 11 a + 3\right)\cdot 17^{3} + \left(7 a^{12} + 5 a^{11} + 8 a^{10} + 5 a^{9} + 15 a^{8} + 7 a^{6} + 5 a^{5} + 6 a^{4} + 6 a^{3} + 13 a^{2} + 15 a + 16\right)\cdot 17^{4} +O(17^{5})\) |
$r_{ 3 }$ | $=$ | \( 2 a^{12} + 9 a^{11} + 16 a^{10} + 2 a^{9} + 5 a^{8} + 10 a^{7} + 4 a^{6} + 6 a^{5} + 14 a^{4} + 6 a^{3} + 7 a^{2} + 13 a + 11 + \left(3 a^{12} + 4 a^{11} + 7 a^{10} + 2 a^{9} + 10 a^{8} + 5 a^{7} + 16 a^{6} + 10 a^{5} + 4 a^{4} + 8 a^{3} + 4 a^{2} + 9 a + 2\right)\cdot 17 + \left(8 a^{12} + 10 a^{11} + 8 a^{10} + 5 a^{9} + 3 a^{8} + 10 a^{7} + 15 a^{6} + 4 a^{5} + 15 a^{4} + a^{3} + 14 a + 2\right)\cdot 17^{2} + \left(9 a^{12} + 13 a^{11} + 10 a^{10} + 10 a^{9} + 13 a^{8} + 14 a^{7} + 14 a^{5} + a^{4} + 16 a^{2} + 15 a + 3\right)\cdot 17^{3} + \left(15 a^{12} + a^{11} + 4 a^{10} + a^{9} + 7 a^{8} + 16 a^{7} + a^{6} + 10 a^{5} + 16 a^{4} + 2 a + 6\right)\cdot 17^{4} +O(17^{5})\) |
$r_{ 4 }$ | $=$ | \( 4 a^{12} + 6 a^{11} + 16 a^{10} + 15 a^{9} + 12 a^{8} + 7 a^{7} + 8 a^{6} + 2 a^{5} + 4 a^{4} + a^{3} + 15 a^{2} + 10 a + 6 + \left(6 a^{12} + 7 a^{11} + 13 a^{10} + 5 a^{9} + 3 a^{8} + a^{6} + 11 a^{5} + 16 a^{4} + 4 a^{3} + 12 a^{2} + 1\right)\cdot 17 + \left(14 a^{12} + 16 a^{11} + 12 a^{10} + 6 a^{9} + 10 a^{8} + 8 a^{7} + 5 a^{6} + 13 a^{5} + 3 a^{4} + 12 a^{3} + 5 a^{2} + 5 a + 4\right)\cdot 17^{2} + \left(12 a^{12} + 9 a^{11} + 13 a^{10} + 5 a^{9} + 7 a^{8} + 8 a^{7} + 8 a^{6} + 11 a^{5} + 5 a^{4} + 3 a^{3} + 7 a^{2} + 7 a + 5\right)\cdot 17^{3} + \left(14 a^{12} + 10 a^{11} + 16 a^{10} + 16 a^{9} + a^{8} + 6 a^{7} + 5 a^{6} + 13 a^{5} + 4 a^{4} + 15 a^{3} + 14 a^{2} + 4 a\right)\cdot 17^{4} +O(17^{5})\) |
$r_{ 5 }$ | $=$ | \( 6 a^{12} + 15 a^{11} + a^{10} + 15 a^{9} + 8 a^{8} + 9 a^{7} + 4 a^{6} + 10 a^{5} + 9 a^{4} + 7 a^{3} + 3 a^{2} + 1 + \left(3 a^{12} + 8 a^{11} + 4 a^{10} + 11 a^{9} + 15 a^{8} + 16 a^{7} + 10 a^{6} + 14 a^{5} + 9 a^{4} + 7 a^{3} + 2 a^{2} + 2 a + 15\right)\cdot 17 + \left(5 a^{12} + 9 a^{11} + 15 a^{9} + 12 a^{8} + 6 a^{7} + 12 a^{6} + 16 a^{5} + 14 a^{4} + 10 a^{3} + 3 a^{2} + 13 a + 7\right)\cdot 17^{2} + \left(6 a^{12} + 2 a^{11} + 3 a^{9} + 4 a^{8} + 12 a^{7} + 7 a^{6} + 14 a^{5} + 7 a^{4} + 4 a^{3} + 7 a + 11\right)\cdot 17^{3} + \left(4 a^{12} + 8 a^{11} + 12 a^{10} + 3 a^{9} + 12 a^{8} + 14 a^{7} + 4 a^{6} + 2 a^{5} + a^{4} + 8 a^{3} + 10 a^{2} + 9 a + 1\right)\cdot 17^{4} +O(17^{5})\) |
$r_{ 6 }$ | $=$ | \( 7 a^{12} + 5 a^{11} + 12 a^{10} + 15 a^{9} + a^{8} + 11 a^{7} + 12 a^{6} + 8 a^{4} + 10 a^{3} + 6 a^{2} + 5 a + 7 + \left(9 a^{12} + 13 a^{11} + 6 a^{10} + 11 a^{9} + 3 a^{8} + 5 a^{7} + 9 a^{6} + 2 a^{5} + 15 a^{4} + 11 a^{3} + 15 a^{2} + 15 a + 7\right)\cdot 17 + \left(12 a^{12} + 6 a^{11} + a^{9} + 11 a^{8} + 16 a^{7} + 5 a^{6} + 13 a^{5} + 8 a^{4} + 9 a^{3} + 13 a^{2} + 9 a + 6\right)\cdot 17^{2} + \left(9 a^{11} + 14 a^{10} + 16 a^{9} + 13 a^{8} + 6 a^{7} + 3 a^{6} + 12 a^{5} + 7 a^{4} + a^{3} + 6 a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 17^{3} + \left(8 a^{12} + a^{10} + 15 a^{9} + 12 a^{8} + 5 a^{7} + 12 a^{6} + 14 a^{5} + 2 a^{4} + 13 a^{3} + 3 a^{2} + 15 a + 4\right)\cdot 17^{4} +O(17^{5})\) |
$r_{ 7 }$ | $=$ | \( 7 a^{12} + 10 a^{11} + 14 a^{10} + 3 a^{9} + 13 a^{8} + 10 a^{7} + 8 a^{6} + 6 a^{5} + 10 a^{4} + 11 a^{3} + 9 a + 7 + \left(16 a^{12} + 6 a^{11} + 10 a^{10} + 9 a^{9} + 12 a^{8} + 2 a^{7} + 6 a^{6} + 6 a^{5} + a^{4} + 11 a^{3} + 16 a^{2} + a + 15\right)\cdot 17 + \left(12 a^{12} + 8 a^{11} + 8 a^{10} + 2 a^{9} + 3 a^{8} + 3 a^{7} + 13 a^{6} + 16 a^{5} + 9 a^{4} + a^{3} + 3 a^{2} + 9 a + 6\right)\cdot 17^{2} + \left(3 a^{12} + 2 a^{11} + 7 a^{10} + 10 a^{9} + 10 a^{8} + a^{7} + 10 a^{6} + 11 a^{5} + 12 a^{4} + 6 a^{3} + 5 a^{2} + 13 a + 2\right)\cdot 17^{3} + \left(a^{12} + 2 a^{11} + 12 a^{10} + 10 a^{9} + 8 a^{8} + 15 a^{6} + 7 a^{5} + 11 a^{4} + 4 a^{3} + 12 a^{2} + a + 5\right)\cdot 17^{4} +O(17^{5})\) |
$r_{ 8 }$ | $=$ | \( 8 a^{12} + 12 a^{11} + 3 a^{10} + 9 a^{9} + 5 a^{8} + 8 a^{7} + 4 a^{6} + 13 a^{5} + 2 a^{4} + 10 a^{3} + 2 a^{2} + 13 + \left(3 a^{12} + 10 a^{11} + 11 a^{10} + 15 a^{9} + 5 a^{6} + 7 a^{5} + 5 a^{4} + 4 a^{3} + 9 a^{2} + 7 a + 12\right)\cdot 17 + \left(6 a^{12} + 3 a^{11} + 5 a^{10} + 3 a^{9} + 2 a^{8} + 3 a^{7} + 9 a^{6} + 14 a^{5} + 6 a^{4} + 13 a^{3} + 4 a^{2} + 15 a + 8\right)\cdot 17^{2} + \left(10 a^{12} + 9 a^{11} + 16 a^{10} + 16 a^{8} + 13 a^{7} + a^{6} + 15 a^{5} + 16 a^{4} + 9 a^{3} + 16 a^{2} + 12 a + 7\right)\cdot 17^{3} + \left(6 a^{12} + 10 a^{11} + 10 a^{10} + 9 a^{9} + 5 a^{8} + 2 a^{7} + 14 a^{6} + 8 a^{5} + a^{4} + 8 a^{3} + a^{2} + 7 a + 10\right)\cdot 17^{4} +O(17^{5})\) |
$r_{ 9 }$ | $=$ | \( 12 a^{12} + 3 a^{11} + 14 a^{10} + 15 a^{9} + 11 a^{8} + 13 a^{7} + 16 a^{6} + 5 a^{5} + 8 a^{4} + 3 a^{3} + 13 a^{2} + 4 a + 3 + \left(4 a^{12} + 5 a^{11} + a^{9} + 3 a^{8} + 14 a^{7} + 14 a^{6} + 2 a^{5} + 8 a^{4} + 10 a^{3} + 2 a^{2} + 16 a + 14\right)\cdot 17 + \left(a^{12} + 10 a^{10} + 11 a^{9} + 13 a^{8} + 10 a^{7} + 14 a^{6} + 4 a^{5} + 9 a^{4} + 12 a^{3} + 10 a^{2} + 3 a + 9\right)\cdot 17^{2} + \left(13 a^{11} + 14 a^{10} + a^{9} + 13 a^{8} + 13 a^{7} + 7 a^{6} + 15 a^{5} + 5 a^{4} + 11 a^{3} + 10 a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 17^{3} + \left(3 a^{12} + 14 a^{11} + 12 a^{10} + 16 a^{9} + 10 a^{8} + 14 a^{7} + 16 a^{6} + 9 a^{5} + 6 a^{4} + 13 a^{3} + 11 a^{2} + 12 a + 15\right)\cdot 17^{4} +O(17^{5})\) |
$r_{ 10 }$ | $=$ | \( 12 a^{12} + 13 a^{11} + 3 a^{10} + 5 a^{9} + 11 a^{8} + a^{7} + 14 a^{6} + 16 a^{5} + 10 a^{4} + 2 a^{3} + 2 a^{2} + a + 3 + \left(11 a^{12} + 16 a^{11} + a^{10} + 12 a^{9} + 3 a^{8} + 13 a^{7} + 6 a^{6} + a^{5} + 10 a^{4} + 13 a^{3} + a^{2} + 15 a + 5\right)\cdot 17 + \left(12 a^{12} + 14 a^{11} + 9 a^{9} + 16 a^{8} + 8 a^{7} + 13 a^{6} + 14 a^{5} + 5 a^{4} + 14 a^{3} + 10 a^{2} + 14 a + 8\right)\cdot 17^{2} + \left(16 a^{12} + 13 a^{11} + 8 a^{10} + 9 a^{9} + 12 a^{8} + 10 a^{7} + 10 a^{6} + 4 a^{5} + 9 a^{4} + 14 a^{3} + 8 a^{2} + 2 a + 13\right)\cdot 17^{3} + \left(12 a^{12} + 7 a^{11} + 10 a^{10} + a^{9} + a^{8} + 8 a^{7} + 10 a^{6} + 2 a^{5} + 11 a^{4} + 2 a^{3} + 8 a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 17^{4} +O(17^{5})\) |
$r_{ 11 }$ | $=$ | \( 12 a^{12} + 16 a^{11} + 3 a^{10} + 4 a^{9} + 13 a^{8} + 6 a^{7} + 4 a^{6} + 14 a^{5} + 11 a^{3} + 16 a^{2} + 3 a + 3 + \left(7 a^{12} + 14 a^{11} + 10 a^{10} + 13 a^{9} + a^{8} + 3 a^{7} + 6 a^{6} + 15 a^{5} + 3 a^{4} + 10 a^{3} + 6 a^{2} + 15 a + 15\right)\cdot 17 + \left(13 a^{12} + a^{11} + 7 a^{10} + 11 a^{9} + 4 a^{8} + 10 a^{7} + 5 a^{6} + 13 a^{5} + 4 a^{4} + 12 a^{3} + 16 a^{2} + 3 a + 1\right)\cdot 17^{2} + \left(2 a^{12} + 6 a^{11} + 2 a^{10} + 15 a^{9} + 5 a^{8} + 10 a^{7} + 14 a^{6} + 4 a^{5} + 14 a^{4} + 8 a^{3} + a^{2} + 11 a + 15\right)\cdot 17^{3} + \left(2 a^{12} + 5 a^{11} + 7 a^{10} + 11 a^{9} + 13 a^{8} + 7 a^{7} + 14 a^{6} + 7 a^{5} + 3 a^{4} + 3 a^{3} + 7 a^{2} + 15 a + 16\right)\cdot 17^{4} +O(17^{5})\) |
$r_{ 12 }$ | $=$ | \( 14 a^{12} + 7 a^{11} + 2 a^{10} + 6 a^{9} + 2 a^{8} + 7 a^{6} + 11 a^{5} + 9 a^{4} + a^{3} + 3 a^{2} + 5 a + 15 + \left(13 a^{12} + 4 a^{11} + 8 a^{10} + 3 a^{9} + 6 a^{7} + 8 a^{6} + 14 a^{5} + a^{4} + 14 a^{3} + 10 a^{2} + 5 a + 14\right)\cdot 17 + \left(4 a^{12} + 4 a^{11} + 14 a^{10} + 15 a^{8} + 16 a^{7} + 16 a^{6} + 3 a^{5} + 12 a^{4} + 5 a^{3} + 11 a^{2} + 16 a + 3\right)\cdot 17^{2} + \left(16 a^{12} + 8 a^{11} + 6 a^{10} + 7 a^{9} + 8 a^{8} + 6 a^{7} + 9 a^{6} + 15 a^{5} + 11 a^{4} + 4 a^{3} + 12 a^{2} + 14 a + 16\right)\cdot 17^{3} + \left(3 a^{12} + 2 a^{11} + 3 a^{10} + 13 a^{9} + 5 a^{8} + 10 a^{7} + 14 a^{6} + 16 a^{5} + 10 a^{4} + 12 a^{3} + 4 a^{2} + 11 a + 12\right)\cdot 17^{4} +O(17^{5})\) |
$r_{ 13 }$ | $=$ | \( 16 a^{12} + 7 a^{11} + 6 a^{10} + 2 a^{9} + 11 a^{8} + 6 a^{7} + 3 a^{6} + 16 a^{5} + 16 a^{4} + 8 a^{3} + 4 a^{2} + a + 10 + \left(7 a^{12} + 10 a^{11} + 2 a^{10} + 7 a^{9} + 4 a^{8} + 5 a^{7} + 4 a^{6} + a^{4} + 15 a^{3} + 15 a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 17 + \left(6 a^{12} + 6 a^{11} + 15 a^{10} + 2 a^{9} + 12 a^{8} + 13 a^{7} + 16 a^{6} + 15 a^{5} + 9 a^{4} + 11 a^{3} + 9 a^{2} + 8 a\right)\cdot 17^{2} + \left(7 a^{11} + 2 a^{10} + 16 a^{9} + 14 a^{8} + 5 a^{7} + 8 a^{6} + 10 a^{5} + 7 a^{4} + 3 a^{3} + 4 a^{2} + 8 a\right)\cdot 17^{3} + \left(6 a^{12} + 13 a^{10} + a^{9} + 3 a^{7} + 4 a^{6} + 4 a^{5} + 11 a^{4} + 11 a^{3} + 12 a^{2} + 5 a + 1\right)\cdot 17^{4} +O(17^{5})\) |
Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 13 }$
Cycle notation |
Character values on conjugacy classes
Size | Order | Action on $r_1, \ldots, r_{ 13 }$ | Character value |
$1$ | $1$ | $()$ | $2$ |
$13$ | $2$ | $(1,7)(2,6)(3,8)(4,10)(5,11)(12,13)$ | $0$ |
$2$ | $13$ | $(1,11,8,9,3,5,7,4,12,6,2,13,10)$ | $-\zeta_{13}^{11} - \zeta_{13}^{10} - \zeta_{13}^{9} - \zeta_{13}^{8} - \zeta_{13}^{7} - \zeta_{13}^{6} - \zeta_{13}^{5} - \zeta_{13}^{4} - \zeta_{13}^{3} - \zeta_{13}^{2} - 1$ |
$2$ | $13$ | $(1,8,3,7,12,2,10,11,9,5,4,6,13)$ | $\zeta_{13}^{11} + \zeta_{13}^{2}$ |
$2$ | $13$ | $(1,9,7,6,10,8,5,12,13,11,3,4,2)$ | $\zeta_{13}^{10} + \zeta_{13}^{3}$ |
$2$ | $13$ | $(1,3,12,10,9,4,13,8,7,2,11,5,6)$ | $\zeta_{13}^{9} + \zeta_{13}^{4}$ |
$2$ | $13$ | $(1,5,2,8,4,10,3,6,11,7,13,9,12)$ | $\zeta_{13}^{8} + \zeta_{13}^{5}$ |
$2$ | $13$ | $(1,7,10,5,13,3,2,9,6,8,12,11,4)$ | $\zeta_{13}^{7} + \zeta_{13}^{6}$ |
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.