Basic invariants
| Dimension: | $2$ |
| Group: | $S_3 \times C_3$ |
| Conductor: | $1225= 5^{2} \cdot 7^{2} $ |
| Artin number field: | Splitting field of $f= x^{18} - 5 x^{17} + 16 x^{16} - 34 x^{15} + 63 x^{14} - 91 x^{13} + 92 x^{12} - 7 x^{11} - 128 x^{10} + 193 x^{9} - 128 x^{8} - 7 x^{7} + 92 x^{6} - 91 x^{5} + 63 x^{4} - 34 x^{3} + 16 x^{2} - 5 x + 1 $ over $\Q$ |
| Size of Galois orbit: | 2 |
| Smallest containing permutation representation: | $S_3\times C_3$ |
| Parity: | Odd |
| Determinant: | 1.7.6t1.1c1 |
Galois action
Roots of defining polynomial
The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 19 }$ to precision 7.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 19 }$: $ x^{6} + 17 x^{3} + 17 x^{2} + 6 x + 2 $
Roots:
| $r_{ 1 }$ | $=$ | $ 6 a^{5} + 3 a^{4} + 17 a^{3} + 9 a^{2} + 17 a + 16 + \left(14 a^{5} + 5 a^{4} + 11 a^{3} + 16 a^{2} + 4 a + 12\right)\cdot 19 + \left(11 a^{5} + 9 a^{4} + 17 a^{3} + 18 a^{2} + 9 a + 4\right)\cdot 19^{2} + \left(11 a^{5} + 8 a^{4} + a^{3} + 7 a + 7\right)\cdot 19^{3} + \left(12 a^{5} + 17 a^{4} + 13 a^{3} + 2 a^{2} + 12 a + 13\right)\cdot 19^{4} + \left(a^{5} + 13 a^{4} + 18 a^{3} + 11 a^{2} + 2 a + 15\right)\cdot 19^{5} + \left(10 a^{5} + 7 a^{3} + 3 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 19^{6} +O\left(19^{ 7 }\right)$ |
| $r_{ 2 }$ | $=$ | $ 11 a^{5} + 10 a^{4} + 5 a^{3} + 4 a + 10 + \left(14 a^{5} + 3 a^{4} + 10 a^{3} + 4 a^{2} + 11 a + 18\right)\cdot 19 + \left(3 a^{5} + 6 a^{4} + 4 a^{3} + 18 a^{2} + 2 a + 17\right)\cdot 19^{2} + \left(a^{5} + 2 a^{4} + 2 a^{3} + a^{2} + 11 a + 15\right)\cdot 19^{3} + \left(13 a^{5} + 18 a^{4} + a^{3} + 18 a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 19^{4} + \left(3 a^{5} + 10 a^{4} + 9 a^{3} + 3 a^{2} + 15 a + 5\right)\cdot 19^{5} + \left(6 a^{5} + 5 a^{4} + 7 a^{3} + 11 a^{2} + 16 a + 7\right)\cdot 19^{6} +O\left(19^{ 7 }\right)$ |
| $r_{ 3 }$ | $=$ | $ 6 a^{5} + 10 a^{4} + 3 a^{3} + a^{2} + 4 a + 6 + \left(8 a^{5} + 9 a^{4} + 11 a^{3} + 17 a^{2} + 15 a + 15\right)\cdot 19 + \left(10 a^{5} + 15 a^{4} + a^{3} + 5 a^{2} + 17\right)\cdot 19^{2} + \left(18 a^{5} + 8 a^{4} + 3 a^{3} + 2 a^{2} + 18 a + 2\right)\cdot 19^{3} + \left(13 a^{5} + 3 a^{4} + 10 a^{3} + 15 a^{2} + 14 a + 1\right)\cdot 19^{4} + \left(7 a^{5} + 10 a^{4} + 2 a^{3} + 11 a^{2} + a + 9\right)\cdot 19^{5} + \left(2 a^{5} + 17 a^{4} + 17 a^{3} + 3 a^{2} + 4 a + 6\right)\cdot 19^{6} +O\left(19^{ 7 }\right)$ |
| $r_{ 4 }$ | $=$ | $ 13 a^{5} + 4 a^{4} + 11 a^{3} + 11 a^{2} + 9 a + 3 + \left(a^{4} + 6 a^{3} + 8 a^{2} + 17 a + 18\right)\cdot 19 + \left(11 a^{5} + 9 a^{4} + 9 a^{2} + 8 a + 6\right)\cdot 19^{2} + \left(a^{5} + 7 a^{3} + 7 a^{2} + 6 a + 15\right)\cdot 19^{3} + \left(17 a^{5} + 3 a^{4} + 12 a^{3} + 4 a^{2} + 9 a + 17\right)\cdot 19^{4} + \left(14 a^{5} + 13 a^{4} + a^{3} + 11 a^{2} + 17 a + 10\right)\cdot 19^{5} + \left(a^{4} + 16 a^{3} + 17 a^{2} + 7 a + 12\right)\cdot 19^{6} +O\left(19^{ 7 }\right)$ |
| $r_{ 5 }$ | $=$ | $ 4 a^{5} + 12 a^{4} + 7 a^{3} + 10 a^{2} + 6 a + 4 + \left(14 a^{4} + 4 a^{3} + 12 a^{2} + 15 a + 14\right)\cdot 19 + \left(14 a^{5} + 18 a^{4} + a^{3} + 7 a^{2} + 18 a + 12\right)\cdot 19^{2} + \left(11 a^{4} + 10 a^{3} + 2 a^{2} + 13 a + 4\right)\cdot 19^{3} + \left(13 a^{5} + 8 a^{4} + 8 a^{3} + 13 a^{2} + 14 a\right)\cdot 19^{4} + \left(13 a^{5} + a^{4} + 16 a^{3} + 7 a^{2} + 13 a + 1\right)\cdot 19^{5} + \left(17 a^{5} + 17 a^{4} + 6 a^{3} + 16 a^{2} + 13 a\right)\cdot 19^{6} +O\left(19^{ 7 }\right)$ |
| $r_{ 6 }$ | $=$ | $ 14 a^{5} + 13 a^{4} + 16 a^{3} + 12 a^{2} + 9 a + 16 + \left(16 a^{5} + 4 a^{4} + 5 a^{3} + 12 a^{2} + 6 a + 6\right)\cdot 19 + \left(5 a^{5} + 18 a^{4} + 5 a^{3} + 5 a^{2} + 17 a + 6\right)\cdot 19^{2} + \left(6 a^{5} + 18 a^{4} + 8 a^{3} + 13 a^{2} + 16 a + 15\right)\cdot 19^{3} + \left(8 a^{5} + 11 a^{4} + 5 a^{3} + 14 a^{2} + 15 a + 13\right)\cdot 19^{4} + \left(6 a^{5} + 14 a^{4} + 13 a^{3} + 15 a^{2} + 18 a + 7\right)\cdot 19^{5} + \left(a^{5} + 10 a^{4} + 11 a^{3} + 6 a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 19^{6} +O\left(19^{ 7 }\right)$ |
| $r_{ 7 }$ | $=$ | $ 2 a^{5} + 8 a^{4} + 10 a^{3} + 3 a^{2} + 13 a + 13 + \left(7 a^{5} + a^{4} + 2 a^{3} + 15 a^{2} + 4 a + 10\right)\cdot 19 + \left(4 a^{5} + 13 a^{4} + 15 a^{3} + 12 a^{2} + 1\right)\cdot 19^{2} + \left(a^{5} + 3 a^{4} + 7 a^{3} + 11 a^{2} + a + 9\right)\cdot 19^{3} + \left(18 a^{5} + 10 a^{4} + 5 a^{2} + 13 a + 2\right)\cdot 19^{4} + \left(15 a^{5} + 12 a^{4} + 12 a^{3} + 5 a^{2} + 11 a + 8\right)\cdot 19^{5} + \left(11 a^{5} + 7 a^{4} + 5 a^{3} + 9 a^{2} + 8 a + 13\right)\cdot 19^{6} +O\left(19^{ 7 }\right)$ |
| $r_{ 8 }$ | $=$ | $ 13 a^{5} + 6 a^{4} + 12 a^{3} + 8 a^{2} + 9 a + 18 + \left(18 a^{5} + 2 a^{4} + 13 a^{3} + 12 a^{2} + 18 a + 17\right)\cdot 19 + \left(7 a^{5} + 18 a^{4} + 18 a^{3} + 6 a^{2} + 7 a + 5\right)\cdot 19^{2} + \left(2 a^{5} + 5 a^{4} + 4 a^{3} + 12 a^{2} + 11 a + 7\right)\cdot 19^{3} + \left(9 a^{5} + 18 a^{4} + 10 a^{3} + 10 a^{2} + 3 a + 16\right)\cdot 19^{4} + \left(11 a^{5} + 17 a^{4} + 9 a^{3} + 4 a^{2} + 9 a\right)\cdot 19^{5} + \left(8 a^{5} + 14 a^{3} + 14 a^{2} + 6\right)\cdot 19^{6} +O\left(19^{ 7 }\right)$ |
| $r_{ 9 }$ | $=$ | $ 2 a^{4} + 8 a^{3} + 17 a^{2} + a + 9 + \left(9 a^{5} + 15 a^{4} + 8 a^{3} + 14 a^{2} + 12 a + 12\right)\cdot 19 + \left(15 a^{5} + 2 a^{4} + 7 a^{3} + 14 a^{2} + 9 a + 2\right)\cdot 19^{2} + \left(17 a^{5} + 16 a^{4} + 14 a^{3} + 13 a^{2} + 11 a + 6\right)\cdot 19^{3} + \left(2 a^{5} + 17 a^{4} + a^{3} + 9 a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 19^{4} + \left(17 a^{5} + 15 a^{4} + a^{3} + 14 a^{2} + 18 a + 4\right)\cdot 19^{5} + \left(11 a^{5} + 17 a^{4} + 18 a^{3} + 8 a^{2} + 18 a + 8\right)\cdot 19^{6} +O\left(19^{ 7 }\right)$ |
| $r_{ 10 }$ | $=$ | $ 7 a^{5} + a^{4} + 6 a^{3} + 8 a^{2} + 13 a + 3 + \left(16 a^{5} + 12 a^{4} + 6 a^{3} + 18 a^{2} + 7 a + 3\right)\cdot 19 + \left(2 a^{5} + 12 a^{4} + 6 a^{3} + 12 a^{2} + 11 a + 13\right)\cdot 19^{2} + \left(5 a^{5} + 10 a^{4} + 16 a^{3} + 16 a^{2} + 10 a + 1\right)\cdot 19^{3} + \left(9 a^{5} + 6 a^{4} + 16 a^{3} + 10 a^{2} + 15 a + 16\right)\cdot 19^{4} + \left(8 a^{5} + 14 a^{4} + 5 a^{3} + 13 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 19^{5} + \left(7 a^{5} + 6 a^{4} + 10 a^{3} + 13 a^{2} + 10 a + 16\right)\cdot 19^{6} +O\left(19^{ 7 }\right)$ |
| $r_{ 11 }$ | $=$ | $ 15 a^{5} + 18 a^{4} + 9 a^{3} + 2 a^{2} + 11 a + 9 + \left(11 a^{5} + 10 a^{4} + 4 a^{3} + 7 a^{2} + 9 a + 1\right)\cdot 19 + \left(5 a^{5} + 7 a^{4} + 2 a^{3} + 7 a^{2} + 2 a + 17\right)\cdot 19^{2} + \left(9 a^{5} + 5 a^{4} + a^{3} + 16 a^{2} + 7 a + 8\right)\cdot 19^{3} + \left(2 a^{5} + 15 a^{4} + 7 a^{3} + 13 a^{2} + 14 a + 16\right)\cdot 19^{4} + \left(16 a^{5} + 2 a^{3} + 11 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 19^{5} + \left(12 a^{5} + 7 a^{4} + a^{3} + 8 a^{2} + 18 a + 9\right)\cdot 19^{6} +O\left(19^{ 7 }\right)$ |
| $r_{ 12 }$ | $=$ | $ 13 a^{5} + 14 a^{4} + 8 a^{3} + 10 a^{2} + 18 a + 18 + \left(14 a^{5} + 6 a^{4} + a^{3} + 8 a^{2} + 10 a + 11\right)\cdot 19 + \left(a^{5} + 9 a^{4} + 5 a^{3} + 17 a^{2} + 4 a + 13\right)\cdot 19^{2} + \left(16 a^{5} + 3 a^{4} + 4 a^{3} + 18 a^{2} + a + 3\right)\cdot 19^{3} + \left(4 a^{5} + 13 a^{4} + 7 a^{3} + 8 a^{2} + 3 a + 12\right)\cdot 19^{4} + \left(17 a^{5} + 11 a^{4} + 6 a^{3} + 17 a^{2} + 12 a + 14\right)\cdot 19^{5} + \left(5 a^{4} + 10 a^{3} + 11 a^{2} + 6 a + 8\right)\cdot 19^{6} +O\left(19^{ 7 }\right)$ |
| $r_{ 13 }$ | $=$ | $ 18 a^{5} + a^{4} + 2 a^{3} + 14 a^{2} + 11 a + 3 + \left(6 a^{5} + 6 a^{4} + 4 a^{3} + 11 a^{2} + 11 a + 4\right)\cdot 19 + \left(5 a^{5} + 9 a^{4} + 5 a^{3} + 17 a^{2} + 18 a + 10\right)\cdot 19^{2} + \left(10 a^{5} + 17 a^{4} + a^{3} + 9 a^{2} + 12 a + 6\right)\cdot 19^{3} + \left(5 a^{5} + 3 a^{4} + 15 a^{2} + 9 a + 11\right)\cdot 19^{4} + \left(16 a^{5} + 10 a^{4} + 16 a^{3} + 2 a + 14\right)\cdot 19^{5} + \left(14 a^{5} + 4 a^{3} + 4 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 19^{6} +O\left(19^{ 7 }\right)$ |
| $r_{ 14 }$ | $=$ | $ 10 a^{5} + 9 a^{4} + a^{3} + 12 a^{2} + 3 a + 6 + \left(18 a^{5} + a^{4} + 10 a^{3} + 11 a^{2} + 11 a + 11\right)\cdot 19 + \left(9 a^{5} + 13 a^{3} + 5\right)\cdot 19^{2} + \left(2 a^{5} + 18 a^{4} + 11 a^{3} + 8 a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 19^{3} + \left(3 a^{5} + 11 a^{4} + 10 a^{3} + 16 a^{2} + 10 a + 15\right)\cdot 19^{4} + \left(11 a^{5} + 3 a^{4} + 12 a^{3} + 12 a^{2} + 18 a + 14\right)\cdot 19^{5} + \left(18 a^{5} + 16 a^{4} + 6 a^{3} + 11 a^{2} + 14 a + 14\right)\cdot 19^{6} +O\left(19^{ 7 }\right)$ |
| $r_{ 15 }$ | $=$ | $ 9 a^{5} + 3 a^{4} + 11 a^{3} + 5 a + 3 + \left(17 a^{5} + 4 a^{4} + 5 a^{3} + 5 a^{2} + 7 a + 18\right)\cdot 19 + \left(6 a^{5} + a^{4} + 5 a^{3} + 11 a^{2} + 2 a + 17\right)\cdot 19^{2} + \left(18 a^{5} + 6 a^{4} + a^{3} + 7 a^{2} + 15 a + 2\right)\cdot 19^{3} + \left(17 a^{5} + 10 a^{4} + 13 a^{3} + 17 a\right)\cdot 19^{4} + \left(4 a^{5} + 6 a^{3} + 2 a + 3\right)\cdot 19^{5} + \left(16 a^{5} + 16 a^{4} + 4 a^{3} + a^{2} + 10 a + 18\right)\cdot 19^{6} +O\left(19^{ 7 }\right)$ |
| $r_{ 16 }$ | $=$ | $ 17 a^{5} + 3 a^{4} + 18 a^{3} + 6 a^{2} + 5 a + 17 + \left(16 a^{5} + 2 a^{4} + 2 a^{3} + 11 a^{2} + 12 a + 1\right)\cdot 19 + \left(8 a^{5} + 5 a^{4} + a^{3} + 3 a^{2} + 7 a + 5\right)\cdot 19^{2} + \left(7 a^{5} + 14 a^{4} + 12 a^{3} + 17 a^{2} + 10 a + 3\right)\cdot 19^{3} + \left(14 a^{5} + 6 a^{4} + 18 a^{3} + 15 a^{2} + 9 a + 8\right)\cdot 19^{4} + \left(15 a^{5} + 11 a^{4} + 16 a^{3} + 14 a^{2} + a + 7\right)\cdot 19^{5} + \left(4 a^{5} + 17 a^{4} + 16 a^{3} + 15 a + 9\right)\cdot 19^{6} +O\left(19^{ 7 }\right)$ |
| $r_{ 17 }$ | $=$ | $ 2 a^{5} + 5 a^{4} + 9 a^{3} + 9 a^{2} + 16 a + 18 + \left(18 a^{5} + 4 a^{4} + 7 a^{3} + 7 a + 6\right)\cdot 19 + \left(3 a^{5} + a^{4} + 11 a^{3} + 17 a^{2} + 2 a + 4\right)\cdot 19^{2} + \left(2 a^{5} + 8 a^{4} + 3 a^{3} + 13 a^{2} + 2 a + 15\right)\cdot 19^{3} + \left(8 a^{5} + 18 a^{4} + 9 a^{3} + 9 a^{2} + 16 a + 9\right)\cdot 19^{4} + \left(2 a^{5} + 18 a^{4} + 17 a^{3} + 16 a^{2} + 12 a + 15\right)\cdot 19^{5} + \left(14 a^{5} + 3 a^{4} + 3 a^{3} + 5 a^{2} + 16 a + 6\right)\cdot 19^{6} +O\left(19^{ 7 }\right)$ |
| $r_{ 18 }$ | $=$ | $ 11 a^{5} + 11 a^{4} + 18 a^{3} + a^{2} + 17 a + 4 + \left(17 a^{5} + 8 a^{4} + 15 a^{3} + 2 a^{2} + 5 a + 4\right)\cdot 19 + \left(2 a^{5} + 13 a^{4} + 10 a^{3} + 2 a^{2} + 7 a + 7\right)\cdot 19^{2} + \left(10 a^{4} + 2 a^{3} + 15 a^{2} + 5 a + 15\right)\cdot 19^{3} + \left(16 a^{5} + 13 a^{4} + 6 a^{3} + 4 a^{2} + 16 a + 15\right)\cdot 19^{4} + \left(4 a^{5} + 7 a^{4} + 2 a^{3} + 16 a^{2} + 18 a + 5\right)\cdot 19^{5} + \left(10 a^{5} + 17 a^{4} + 7 a^{3} + 2 a^{2} + 9 a\right)\cdot 19^{6} +O\left(19^{ 7 }\right)$ |
Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 18 }$
| Cycle notation |
Character values on conjugacy classes
| Size | Order | Action on $r_1, \ldots, r_{ 18 }$ | Character value |
| $1$ | $1$ | $()$ | $2$ |
| $3$ | $2$ | $(1,13)(2,6)(3,18)(4,8)(5,15)(7,9)(10,17)(11,14)(12,16)$ | $0$ |
| $1$ | $3$ | $(1,14,18)(2,12,4)(3,13,11)(5,9,10)(6,16,8)(7,17,15)$ | $2 \zeta_{3}$ |
| $1$ | $3$ | $(1,18,14)(2,4,12)(3,11,13)(5,10,9)(6,8,16)(7,15,17)$ | $-2 \zeta_{3} - 2$ |
| $2$ | $3$ | $(1,2,7)(3,10,6)(4,15,18)(5,16,13)(8,11,9)(12,17,14)$ | $-\zeta_{3}$ |
| $2$ | $3$ | $(1,7,2)(3,6,10)(4,18,15)(5,13,16)(8,9,11)(12,14,17)$ | $\zeta_{3} + 1$ |
| $2$ | $3$ | $(1,4,17)(2,15,14)(3,9,16)(5,6,11)(7,18,12)(8,13,10)$ | $-1$ |
| $3$ | $6$ | $(1,3,14,13,18,11)(2,8,12,6,4,16)(5,17,9,15,10,7)$ | $0$ |
| $3$ | $6$ | $(1,11,18,13,14,3)(2,16,4,6,12,8)(5,7,10,15,9,17)$ | $0$ |