Basic invariants
| Dimension: | $2$ |
| Group: | $S_3 \times C_6$ |
| Conductor: | $1225= 5^{2} \cdot 7^{2} $ |
| Artin number field: | Splitting field of $f= x^{18} - 5 x^{17} + 6 x^{16} - x^{15} + 25 x^{14} - 75 x^{13} + 50 x^{12} - 15 x^{11} + 155 x^{10} - 220 x^{9} + 111 x^{8} - 60 x^{7} + 146 x^{6} - 56 x^{5} + 50 x^{4} - 51 x^{3} + 40 x^{2} - 11 x + 1 $ over $\Q$ |
| Size of Galois orbit: | 2 |
| Smallest containing permutation representation: | $C_6\times S_3$ |
| Parity: | Odd |
| Determinant: | 1.7.6t1.1c1 |
Galois action
Roots of defining polynomial
The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 19 }$ to precision 8.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 19 }$: $ x^{6} + 17 x^{3} + 17 x^{2} + 6 x + 2 $
Roots:
| $r_{ 1 }$ | $=$ | $ 18 a^{4} + 12 a^{3} + 2 a^{2} + 5 a + 6 + \left(8 a^{5} + 4 a^{4} + 16 a^{3} + 8 a^{2} + 9 a + 13\right)\cdot 19 + \left(18 a^{5} + 3 a^{4} + 8 a^{3} + 7 a^{2} + 3 a + 5\right)\cdot 19^{2} + \left(9 a^{5} + 13 a^{4} + 11 a^{3} + 4 a^{2} + 3 a + 13\right)\cdot 19^{3} + \left(a^{5} + 17 a^{4} + 6 a^{3} + 15 a + 5\right)\cdot 19^{4} + \left(9 a^{5} + 5 a^{4} + 10 a^{3} + 5 a^{2} + 17 a + 17\right)\cdot 19^{5} + \left(2 a^{4} + 6 a^{3} + 8 a^{2} + 14 a + 15\right)\cdot 19^{6} + \left(14 a^{5} + 17 a^{4} + 9 a^{3} + 14 a^{2} + 10 a + 4\right)\cdot 19^{7} +O\left(19^{ 8 }\right)$ |
| $r_{ 2 }$ | $=$ | $ 5 a^{5} + 4 a^{4} + 15 a^{3} + 14 a + 4 + \left(2 a^{5} + 12 a^{4} + 6 a^{3} + 3 a^{2} + 16 a + 10\right)\cdot 19 + \left(2 a^{5} + 14 a^{4} + 15 a^{3} + 18 a^{2} + 14 a + 10\right)\cdot 19^{2} + \left(14 a^{5} + 3 a^{4} + 2 a^{3} + 10 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 19^{3} + \left(18 a^{5} + 2 a^{4} + 4 a^{3} + 7 a^{2} + 6 a + 14\right)\cdot 19^{4} + \left(7 a^{5} + 16 a^{3} + 8 a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 19^{5} + \left(17 a^{5} + 17 a^{4} + 4 a^{3} + 3 a^{2} + 7 a + 1\right)\cdot 19^{6} + \left(10 a^{5} + 18 a^{4} + 14 a^{3} + 8 a + 14\right)\cdot 19^{7} +O\left(19^{ 8 }\right)$ |
| $r_{ 3 }$ | $=$ | $ 7 a^{5} + 7 a^{4} + 2 a^{3} + 4 a^{2} + 2 a + 18 + \left(a^{5} + 17 a^{4} + 10 a^{3} + a^{2} + 18 a + 7\right)\cdot 19 + \left(18 a^{5} + 10 a^{4} + 13 a^{3} + a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 19^{2} + \left(18 a^{5} + 13 a^{4} + 6 a^{3} + 3 a^{2} + 13 a + 12\right)\cdot 19^{3} + \left(2 a^{5} + 17 a^{4} + 7 a^{3} + a^{2} + 12 a + 17\right)\cdot 19^{4} + \left(2 a^{5} + 8 a^{3} + 6 a^{2} + 18 a + 1\right)\cdot 19^{5} + \left(12 a^{4} + a^{3} + 18 a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 19^{6} + \left(5 a^{4} + 7 a^{3} + 12 a^{2} + 2 a + 12\right)\cdot 19^{7} +O\left(19^{ 8 }\right)$ |
| $r_{ 4 }$ | $=$ | $ 14 a^{5} + 10 a^{4} + 14 a^{3} + 14 a^{2} + 6 a + 18 + \left(9 a^{5} + a^{4} + 6 a^{3} + 15 a^{2} + 9 a + 18\right)\cdot 19 + \left(8 a^{5} + 6 a^{4} + 16 a^{3} + 18 a^{2} + 12 a + 7\right)\cdot 19^{2} + \left(11 a^{5} + 7 a^{4} + 10 a^{3} + a^{2} + 11 a + 18\right)\cdot 19^{3} + \left(11 a^{5} + 9 a^{4} + 5 a^{3} + 16 a^{2} + 9 a + 4\right)\cdot 19^{4} + \left(5 a^{5} + 15 a^{4} + 11 a^{3} + 5 a^{2} + a + 6\right)\cdot 19^{5} + \left(5 a^{5} + 10 a^{4} + 3 a^{3} + 13 a^{2} + 3 a + 13\right)\cdot 19^{6} + \left(a^{5} + 16 a^{4} + 13 a^{3} + 18 a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 19^{7} +O\left(19^{ 8 }\right)$ |
| $r_{ 5 }$ | $=$ | $ 2 a^{5} + 6 a^{4} + 8 a^{3} + 4 a + 17 + \left(17 a^{5} + 10 a^{4} + 13 a^{3} + 18 a^{2} + 6\right)\cdot 19 + \left(16 a^{5} + 12 a^{4} + 3 a^{3} + 16 a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 19^{2} + \left(8 a^{5} + 2 a^{4} + 9 a^{3} + 8 a^{2} + 9 a + 15\right)\cdot 19^{3} + \left(7 a^{5} + 18 a^{3} + 7 a^{2} + 6 a\right)\cdot 19^{4} + \left(18 a^{5} + 12 a^{4} + 13 a^{3} + 7 a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 19^{5} + \left(10 a^{5} + 4 a^{4} + 6 a^{3} + 9 a^{2} + a + 17\right)\cdot 19^{6} + \left(18 a^{5} + 12 a^{4} + 3 a^{3} + 11 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 19^{7} +O\left(19^{ 8 }\right)$ |
| $r_{ 6 }$ | $=$ | $ 8 a^{5} + 15 a^{4} + 7 a^{3} + 18 a^{2} + 18 a + 1 + \left(13 a^{5} + 17 a^{4} + 13 a^{3} + 18 a^{2} + 3 a + 12\right)\cdot 19 + \left(3 a^{5} + 6 a^{4} + 6 a^{3} + 13 a^{2} + 5 a + 6\right)\cdot 19^{2} + \left(4 a^{5} + 11 a^{4} + 6 a^{3} + 18 a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 19^{3} + \left(12 a^{5} + 9 a^{4} + 17 a^{3} + 3 a^{2} + 11 a + 9\right)\cdot 19^{4} + \left(a^{5} + 2 a^{4} + 11 a^{3} + 6 a^{2} + 5 a + 15\right)\cdot 19^{5} + \left(16 a^{5} + 15 a^{4} + 15 a^{3} + 8 a^{2} + 7 a + 15\right)\cdot 19^{6} + \left(18 a^{5} + 2 a^{4} + 10 a^{3} + 10 a^{2} + 12 a + 7\right)\cdot 19^{7} +O\left(19^{ 8 }\right)$ |
| $r_{ 7 }$ | $=$ | $ 13 a^{5} + 4 a^{4} + 7 a^{3} + 14 a^{2} + 14 a + 14 + \left(a^{5} + a^{4} + 5 a^{3} + 18 a^{2} + 14 a + 6\right)\cdot 19 + \left(18 a^{5} + 14 a^{4} + a^{3} + 11 a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 19^{2} + \left(9 a^{5} + 5 a^{3} + 11 a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 19^{3} + \left(17 a^{5} + 9 a^{4} + 12 a^{3} + 8 a^{2} + 3 a + 9\right)\cdot 19^{4} + \left(6 a^{5} + 9 a^{4} + 14 a^{3} + 2 a^{2} + 2 a + 8\right)\cdot 19^{5} + \left(5 a^{5} + 9 a^{4} + 4 a^{3} + 5 a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 19^{6} + \left(12 a^{5} + 3 a^{3} + 13 a^{2} + 18 a + 13\right)\cdot 19^{7} +O\left(19^{ 8 }\right)$ |
| $r_{ 8 }$ | $=$ | $ 17 a^{5} + 13 a^{4} + 16 a^{3} + 10 a^{2} + 6 a + 5 + \left(10 a^{5} + 17 a^{4} + 17 a^{3} + 16 a + 8\right)\cdot 19 + \left(10 a^{5} + 17 a^{4} + 9 a^{3} + 18 a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 19^{2} + \left(2 a^{5} + 3 a^{4} + 4 a^{3} + 12 a^{2} + 9 a + 12\right)\cdot 19^{3} + \left(15 a^{5} + a^{4} + 16 a^{3} + 5 a^{2} + 15 a + 3\right)\cdot 19^{4} + \left(16 a^{5} + 3 a^{4} + 5 a^{3} + 10 a^{2} + 16 a + 4\right)\cdot 19^{5} + \left(16 a^{5} + 11 a^{4} + 17 a^{3} + 14 a^{2} + 5 a + 14\right)\cdot 19^{6} + \left(3 a^{5} + 18 a^{4} + 3 a^{3} + 11 a^{2} + 6 a + 3\right)\cdot 19^{7} +O\left(19^{ 8 }\right)$ |
| $r_{ 9 }$ | $=$ | $ 5 a^{5} + 3 a^{4} + 8 a^{3} + 11 a + 6 + \left(2 a^{5} + 10 a^{4} + 12 a^{3} + 4 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 19 + \left(13 a^{5} + 5 a^{4} + 17 a^{3} + 11 a^{2} + a + 10\right)\cdot 19^{2} + \left(17 a^{5} + 17 a^{4} + 9 a^{3} + 17\right)\cdot 19^{3} + \left(18 a^{5} + 7 a^{4} + 13 a^{3} + 14 a^{2} + 17 a + 10\right)\cdot 19^{4} + \left(11 a^{5} + 14 a^{4} + 17 a^{3} + 6 a^{2} + 11 a + 14\right)\cdot 19^{5} + \left(9 a^{5} + a^{4} + 17 a^{3} + a^{2} + 13 a + 11\right)\cdot 19^{6} + \left(13 a^{5} + 6 a^{4} + 17 a^{3} + 8 a^{2} + 12 a + 14\right)\cdot 19^{7} +O\left(19^{ 8 }\right)$ |
| $r_{ 10 }$ | $=$ | $ 2 a^{5} + a^{4} + a^{3} + 13 a^{2} + a + 18 + \left(7 a^{5} + 16 a^{4} + 8 a^{3} + 14 a^{2} + 7 a + 7\right)\cdot 19 + \left(17 a^{5} + 5 a^{4} + 13 a^{3} + 10 a^{2} + 15 a + 11\right)\cdot 19^{2} + \left(18 a^{4} + 16 a^{3} + 9 a + 10\right)\cdot 19^{3} + \left(18 a^{5} + a^{4} + 13 a^{3} + 2 a^{2} + 17 a + 3\right)\cdot 19^{4} + \left(6 a^{5} + 10 a^{4} + 17 a^{3} + 10 a^{2} + 6 a + 12\right)\cdot 19^{5} + \left(16 a^{5} + 9 a^{3} + 14 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 19^{6} + \left(2 a^{5} + 2 a^{4} + 10 a^{3} + 8 a^{2} + 2 a\right)\cdot 19^{7} +O\left(19^{ 8 }\right)$ |
| $r_{ 11 }$ | $=$ | $ a^{5} + 10 a^{3} + 12 a^{2} + 14 a + 7 + \left(3 a^{5} + 10 a^{4} + 9 a^{3} + 16 a^{2} + 3 a + 12\right)\cdot 19 + \left(8 a^{5} + 12 a^{4} + a^{2} + 7\right)\cdot 19^{2} + \left(10 a^{5} + 4 a^{4} + a^{3} + 18 a^{2} + 16 a + 9\right)\cdot 19^{3} + \left(16 a^{4} + 2 a^{3} + 18 a^{2} + 13 a + 1\right)\cdot 19^{4} + \left(a^{5} + 16 a^{4} + 14 a^{3} + 3 a^{2} + 13 a + 1\right)\cdot 19^{5} + \left(17 a^{5} + 17 a^{4} + 14 a^{3} + 7 a^{2} + 3 a + 5\right)\cdot 19^{6} + \left(7 a^{5} + 6 a^{4} + 5 a^{3} + 18 a^{2} + 4 a + 16\right)\cdot 19^{7} +O\left(19^{ 8 }\right)$ |
| $r_{ 12 }$ | $=$ | $ 6 a^{5} + 16 a^{4} + 2 a^{3} + 13 a^{2} + 9 a + 1 + \left(10 a^{5} + 18 a^{4} + 8 a^{3} + 14 a^{2} + 13 a + 8\right)\cdot 19 + \left(15 a^{5} + 10 a^{4} + 10 a^{3} + 11 a^{2} + 11 a + 10\right)\cdot 19^{2} + \left(16 a^{5} + 5 a^{4} + 11 a^{3} + 14 a^{2} + 4 a + 15\right)\cdot 19^{3} + \left(18 a^{5} + 6 a^{4} + 3 a^{3} + 11 a^{2} + 15 a + 11\right)\cdot 19^{4} + \left(7 a^{5} + 8 a^{4} + 16 a^{3} + 18 a^{2} + 6 a + 16\right)\cdot 19^{5} + \left(17 a^{5} + 14 a^{4} + 16 a^{3} + 17 a^{2} + 12 a + 2\right)\cdot 19^{6} + \left(17 a^{5} + a^{3} + a^{2} + 7 a + 18\right)\cdot 19^{7} +O\left(19^{ 8 }\right)$ |
| $r_{ 13 }$ | $=$ | $ 16 a^{5} + 3 a^{4} + 12 a^{3} + 4 a^{2} + 12 a + 14 + \left(16 a^{5} + 3 a^{4} + 17 a^{3} + a^{2} + 8 a + 16\right)\cdot 19 + \left(9 a^{5} + 10 a^{4} + a^{3} + 17 a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 19^{2} + \left(6 a^{5} + 6 a^{3} + 7 a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 19^{3} + \left(7 a^{5} + 3 a^{4} + 2 a^{3} + 17 a^{2} + 13 a + 1\right)\cdot 19^{4} + \left(16 a^{5} + 8 a^{4} + 11 a^{3} + 5 a^{2} + 16 a + 4\right)\cdot 19^{5} + \left(16 a^{5} + 5 a^{4} + 2 a^{3} + 17 a^{2} + 6 a + 14\right)\cdot 19^{6} + \left(2 a^{5} + 10 a^{4} + 13 a^{3} + 9 a^{2} + 12 a + 16\right)\cdot 19^{7} +O\left(19^{ 8 }\right)$ |
| $r_{ 14 }$ | $=$ | $ 6 a^{4} + a^{3} + 11 a^{2} + 13 a + 14 + \left(3 a^{5} + 2 a^{3} + 14 a^{2} + 15 a + 17\right)\cdot 19 + \left(a^{5} + 17 a^{4} + 16 a^{3} + 13 a^{2} + a + 6\right)\cdot 19^{2} + \left(2 a^{5} + a^{4} + 3 a^{3} + 5 a^{2} + 18 a + 12\right)\cdot 19^{3} + \left(13 a^{5} + 6 a^{4} + 7 a^{3} + 6 a^{2} + 11 a\right)\cdot 19^{4} + \left(17 a^{5} + 12 a^{4} + 13 a^{2} + a + 10\right)\cdot 19^{5} + \left(11 a^{5} + 5 a^{4} + 13 a^{3} + 2 a^{2} + 16 a + 4\right)\cdot 19^{6} + \left(10 a^{5} + 13 a^{4} + 7 a^{3} + 9 a^{2} + 18 a + 3\right)\cdot 19^{7} +O\left(19^{ 8 }\right)$ |
| $r_{ 15 }$ | $=$ | $ 6 a^{5} + 6 a^{4} + a^{3} + 4 a^{2} + 10 a + 9 + \left(5 a^{5} + 17 a^{4} + a^{3} + 5 a^{2} + 3 a + 13\right)\cdot 19 + \left(a^{5} + 11 a^{4} + 8 a^{3} + 13 a^{2} + 14 a + 11\right)\cdot 19^{2} + \left(18 a^{5} + 18 a^{4} + 15 a^{3} + 10 a^{2} + 17 a + 12\right)\cdot 19^{3} + \left(3 a^{5} + 10 a^{4} + a^{3} + 6 a^{2} + 13 a + 6\right)\cdot 19^{4} + \left(4 a^{5} + 2 a^{4} + 17 a^{3} + 14 a^{2} + 7 a\right)\cdot 19^{5} + \left(a^{5} + 18 a^{4} + 16 a^{3} + 2 a + 18\right)\cdot 19^{6} + \left(16 a^{5} + a^{4} + 10 a^{3} + 3 a^{2} + 14 a + 3\right)\cdot 19^{7} +O\left(19^{ 8 }\right)$ |
| $r_{ 16 }$ | $=$ | $ 10 a^{5} + 5 a^{4} + 16 a^{3} + 13 a^{2} + 11 a + 14 + \left(4 a^{5} + 12 a^{4} + 14 a^{3} + 12 a^{2} + 3 a + 17\right)\cdot 19 + \left(4 a^{5} + 10 a^{4} + 6 a^{3} + 14 a + 16\right)\cdot 19^{2} + \left(17 a^{5} + 8 a^{4} + 6 a^{3} + a^{2} + 9 a + 18\right)\cdot 19^{3} + \left(16 a^{5} + 12 a^{4} + 13 a^{3} + 15 a^{2} + 12 a + 18\right)\cdot 19^{4} + \left(6 a^{5} + 8 a^{3} + 6 a^{2} + 15 a + 12\right)\cdot 19^{5} + \left(16 a^{5} + 14 a^{4} + 5 a^{3} + 17 a^{2} + 6 a + 5\right)\cdot 19^{6} + \left(9 a^{5} + a^{4} + 3 a^{3} + 14 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 19^{7} +O\left(19^{ 8 }\right)$ |
| $r_{ 17 }$ | $=$ | $ 17 a^{5} + 13 a^{4} + 2 a^{2} + 9 a + 2 + \left(10 a^{5} + 7 a^{4} + 18 a^{3} + a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 19 + \left(11 a^{5} + 4 a^{3} + 9 a^{2} + 9 a + 13\right)\cdot 19^{2} + \left(13 a^{5} + 17 a^{4} + 11 a^{3} + 5 a^{2} + 7 a + 3\right)\cdot 19^{3} + \left(a^{5} + 10 a^{4} + 13 a^{3} + 16 a^{2} + 9 a + 11\right)\cdot 19^{4} + \left(7 a^{5} + 13 a^{4} + 8 a^{3} + 10 a^{2} + 11 a + 13\right)\cdot 19^{5} + \left(13 a^{4} + 3 a^{3} + 7 a^{2} + 15 a + 10\right)\cdot 19^{6} + \left(7 a^{5} + 12 a^{4} + 3 a^{3} + a^{2} + 11 a\right)\cdot 19^{7} +O\left(19^{ 8 }\right)$ |
| $r_{ 18 }$ | $=$ | $ 4 a^{5} + 3 a^{4} + a^{3} + 18 a^{2} + 12 a + 8 + \left(5 a^{5} + 11 a^{4} + 8 a^{3} + a^{2} + 10 a + 17\right)\cdot 19 + \left(11 a^{5} + 18 a^{4} + 15 a^{3} + 13 a^{2} + 4 a + 12\right)\cdot 19^{2} + \left(6 a^{5} + 2 a^{4} + 12 a^{3} + 14 a^{2} + 18 a + 1\right)\cdot 19^{3} + \left(3 a^{5} + 9 a^{4} + 11 a^{3} + 11 a^{2} + 3 a + 1\right)\cdot 19^{4} + \left(3 a^{5} + 15 a^{4} + 4 a^{3} + 9 a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 19^{5} + \left(10 a^{5} + 15 a^{4} + 9 a^{3} + 3 a^{2} + 8\right)\cdot 19^{6} + \left(2 a^{5} + 3 a^{4} + 12 a^{3} + 2 a^{2} + 11 a + 14\right)\cdot 19^{7} +O\left(19^{ 8 }\right)$ |
Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 18 }$
| Cycle notation |
Character values on conjugacy classes
| Size | Order | Action on $r_1, \ldots, r_{ 18 }$ | Character value |
| $1$ | $1$ | $()$ | $2$ |
| $1$ | $2$ | $(1,9)(2,5)(3,12)(4,13)(6,15)(7,17)(8,16)(10,18)(11,14)$ | $-2$ |
| $3$ | $2$ | $(1,9)(2,12)(3,5)(4,17)(6,18)(7,13)(8,16)(10,15)(11,14)$ | $0$ |
| $3$ | $2$ | $(1,15)(3,14)(4,8)(6,9)(11,12)(13,16)$ | $0$ |
| $1$ | $3$ | $(1,14,8)(2,7,18)(3,4,15)(5,17,10)(6,12,13)(9,11,16)$ | $-2 \zeta_{3} - 2$ |
| $1$ | $3$ | $(1,8,14)(2,18,7)(3,15,4)(5,10,17)(6,13,12)(9,16,11)$ | $2 \zeta_{3}$ |
| $2$ | $3$ | $(1,18,15)(2,3,14)(4,8,7)(5,12,11)(6,9,10)(13,16,17)$ | $-1$ |
| $2$ | $3$ | $(1,2,4)(3,8,18)(5,13,9)(6,11,17)(7,15,14)(10,12,16)$ | $\zeta_{3} + 1$ |
| $2$ | $3$ | $(1,4,2)(3,18,8)(5,9,13)(6,17,11)(7,14,15)(10,16,12)$ | $-\zeta_{3}$ |
| $1$ | $6$ | $(1,16,14,9,8,11)(2,10,7,5,18,17)(3,6,4,12,15,13)$ | $-2 \zeta_{3}$ |
| $1$ | $6$ | $(1,11,8,9,14,16)(2,17,18,5,7,10)(3,13,15,12,4,6)$ | $2 \zeta_{3} + 2$ |
| $2$ | $6$ | $(1,6,18,9,15,10)(2,11,3,5,14,12)(4,17,8,13,7,16)$ | $1$ |
| $2$ | $6$ | $(1,13,2,9,4,5)(3,10,8,12,18,16)(6,7,11,15,17,14)$ | $\zeta_{3}$ |
| $2$ | $6$ | $(1,5,4,9,2,13)(3,16,18,12,8,10)(6,14,17,15,11,7)$ | $-\zeta_{3} - 1$ |
| $3$ | $6$ | $(1,4,14,15,8,3)(2,18,7)(5,10,17)(6,16,12,9,13,11)$ | $0$ |
| $3$ | $6$ | $(1,3,8,15,14,4)(2,7,18)(5,17,10)(6,11,13,9,12,16)$ | $0$ |
| $3$ | $6$ | $(1,16,14,9,8,11)(2,6,7,12,18,13)(3,10,4,5,15,17)$ | $0$ |
| $3$ | $6$ | $(1,11,8,9,14,16)(2,13,18,12,7,6)(3,17,15,5,4,10)$ | $0$ |