Basic invariants
| Dimension: | $2$ |
| Group: | $D_{30}$ |
| Conductor: | \(5975\)\(\medspace = 5^{2} \cdot 239 \) |
| Frobenius-Schur indicator: | $1$ |
| Root number: | $1$ |
| Artin stem field: | Galois closure of 30.2.60550910545856385116788597847358428955078125.1 |
| Galois orbit size: | $4$ |
| Smallest permutation container: | $D_{30}$ |
| Parity: | odd |
| Determinant: | 1.239.2t1.a.a |
| Projective image: | $D_{15}$ |
| Projective stem field: | Galois closure of 15.1.44543599279432079.1 |
Defining polynomial
| $f(x)$ | $=$ |
\( x^{30} - 4 x^{29} - 4 x^{28} + 32 x^{27} + 29 x^{26} - 207 x^{25} - 80 x^{24} + 808 x^{23} + 324 x^{22} + \cdots - 1 \)
|
The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 31 }$ to precision 10.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 31 }$:
\( x^{15} + 30x^{6} + 29x^{5} + 12x^{4} + 13x^{3} + 23x^{2} + 25x + 28 \)
Roots:
| $r_{ 1 }$ | $=$ |
\( 2 a^{14} + a^{13} + 27 a^{12} + 13 a^{11} + 28 a^{10} + 11 a^{9} + 19 a^{8} + 7 a^{7} + 8 a^{6} + 17 a^{5} + 18 a^{4} + 27 a^{3} + 12 a^{2} + 13 a + 8 + \left(21 a^{14} + 25 a^{13} + 25 a^{12} + 25 a^{11} + 20 a^{10} + 10 a^{9} + 5 a^{8} + 9 a^{7} + 6 a^{6} + 16 a^{5} + 23 a^{4} + a^{3} + 16 a^{2} + 10 a + 23\right)\cdot 31 + \left(30 a^{14} + 30 a^{13} + 4 a^{12} + 20 a^{11} + 9 a^{10} + 20 a^{9} + 16 a^{8} + 16 a^{7} + 4 a^{6} + 11 a^{5} + 25 a^{4} + 29 a^{3} + 29 a^{2} + 16 a + 11\right)\cdot 31^{2} + \left(10 a^{14} + 16 a^{13} + 28 a^{12} + 4 a^{11} + 27 a^{10} + 8 a^{9} + 5 a^{8} + 18 a^{7} + 17 a^{6} + 21 a^{5} + 4 a^{4} + 12 a^{3} + 20 a^{2} + 11\right)\cdot 31^{3} + \left(19 a^{14} + 16 a^{13} + 29 a^{11} + 18 a^{10} + 14 a^{9} + 30 a^{8} + 14 a^{7} + 22 a^{6} + a^{5} + 14 a^{4} + 2 a^{3} + 21 a^{2} + 3 a + 30\right)\cdot 31^{4} + \left(19 a^{14} + 13 a^{12} + 17 a^{11} + 20 a^{9} + 13 a^{8} + 16 a^{7} + 25 a^{6} + 18 a^{5} + 30 a^{4} + 2 a^{3} + 16 a^{2} + 19 a + 15\right)\cdot 31^{5} + \left(24 a^{14} + 24 a^{13} + 30 a^{12} + 19 a^{11} + 12 a^{10} + 19 a^{9} + 27 a^{8} + 12 a^{7} + 19 a^{6} + 11 a^{5} + 6 a^{4} + 12 a^{3} + 6 a^{2} + 15 a + 2\right)\cdot 31^{6} + \left(2 a^{14} + 16 a^{13} + 7 a^{12} + 8 a^{11} + 29 a^{10} + 21 a^{9} + 7 a^{8} + 20 a^{7} + 3 a^{6} + 12 a^{5} + 5 a^{4} + 14 a^{3} + 16 a^{2} + 17 a + 16\right)\cdot 31^{7} + \left(10 a^{14} + 30 a^{13} + 3 a^{12} + 18 a^{11} + 13 a^{9} + 17 a^{8} + 8 a^{7} + 28 a^{6} + 22 a^{5} + 19 a^{4} + 4 a^{3} + 3 a^{2} + 2 a + 20\right)\cdot 31^{8} + \left(2 a^{14} + 6 a^{13} + 30 a^{12} + 26 a^{11} + 23 a^{10} + 18 a^{9} + 29 a^{8} + 8 a^{7} + 25 a^{6} + 18 a^{5} + 13 a^{4} + 13 a^{3} + 27 a^{2} + 6 a + 22\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\)
|
| $r_{ 2 }$ | $=$ |
\( 18 a^{14} + 20 a^{13} + 12 a^{11} + 21 a^{10} + 24 a^{9} + 5 a^{8} + 21 a^{7} + 30 a^{6} + 10 a^{5} + 19 a^{4} + 25 a^{3} + 16 a^{2} + 6 a + 21 + \left(16 a^{14} + 3 a^{13} + 6 a^{11} + a^{10} + 6 a^{9} + 8 a^{8} + 16 a^{7} + 24 a^{6} + 8 a^{5} + 20 a^{4} + 8 a^{3} + 28 a^{2} + 7 a + 25\right)\cdot 31 + \left(24 a^{14} + 23 a^{13} + 6 a^{12} + 12 a^{11} + 4 a^{10} + 28 a^{9} + 7 a^{8} + 15 a^{7} + 18 a^{6} + a^{5} + 8 a^{4} + 27 a^{3} + 14 a^{2} + 24 a + 8\right)\cdot 31^{2} + \left(9 a^{14} + 15 a^{13} + 21 a^{12} + 27 a^{11} + 8 a^{10} + 21 a^{9} + 22 a^{8} + 29 a^{7} + 2 a^{6} + a^{5} + a^{4} + 13 a^{3} + 4 a + 5\right)\cdot 31^{3} + \left(17 a^{14} + 10 a^{13} + 2 a^{12} + 13 a^{11} + 7 a^{10} + 22 a^{9} + 5 a^{8} + 22 a^{7} + 4 a^{6} + 5 a^{5} + 10 a^{4} + 19 a^{3} + 22 a^{2} + 23 a + 17\right)\cdot 31^{4} + \left(11 a^{14} + 23 a^{13} + 25 a^{12} + 22 a^{11} + 7 a^{10} + 4 a^{9} + 18 a^{8} + 10 a^{7} + 17 a^{6} + 25 a^{5} + 9 a^{4} + 13 a^{3} + a^{2} + 23 a + 6\right)\cdot 31^{5} + \left(27 a^{14} + 10 a^{13} + 4 a^{12} + 25 a^{11} + 7 a^{10} + 21 a^{9} + 28 a^{8} + 20 a^{5} + 6 a^{4} + 3 a^{2} + 8 a + 2\right)\cdot 31^{6} + \left(16 a^{14} + 7 a^{13} + 10 a^{12} + 23 a^{11} + 7 a^{10} + 27 a^{9} + 26 a^{8} + 20 a^{7} + 17 a^{6} + 11 a^{5} + 28 a^{4} + a^{3} + 14 a^{2} + 4 a + 24\right)\cdot 31^{7} + \left(10 a^{14} + 10 a^{13} + 7 a^{12} + 3 a^{11} + 25 a^{10} + 8 a^{9} + 13 a^{8} + 27 a^{7} + 12 a^{6} + 28 a^{5} + 25 a^{4} + a^{3} + 17 a + 12\right)\cdot 31^{8} + \left(26 a^{14} + 15 a^{13} + 6 a^{12} + 4 a^{11} + 21 a^{10} + 7 a^{9} + 13 a^{8} + a^{7} + 14 a^{6} + 22 a^{5} + 12 a^{4} + 22 a^{3} + 28 a^{2} + 14 a + 2\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\)
|
| $r_{ 3 }$ | $=$ |
\( 19 a^{14} + 17 a^{13} + 18 a^{12} + 30 a^{11} + 4 a^{9} + 20 a^{8} + 17 a^{7} + 5 a^{6} + 15 a^{5} + 7 a^{4} + 3 a^{3} + 21 a^{2} + 6 a + 25 + \left(13 a^{13} + 15 a^{12} + 15 a^{11} + 25 a^{10} + 28 a^{8} + 30 a^{7} + 19 a^{6} + 28 a^{5} + 16 a^{4} + 23 a^{3} + 19 a^{2} + 24 a + 14\right)\cdot 31 + \left(10 a^{14} + 9 a^{13} + 3 a^{12} + 12 a^{11} + 3 a^{10} + 26 a^{9} + 16 a^{8} + 13 a^{7} + 14 a^{6} + 2 a^{5} + 17 a^{4} + 18 a^{3} + 30 a^{2} + 16 a + 9\right)\cdot 31^{2} + \left(4 a^{14} + 18 a^{13} + 9 a^{12} + 11 a^{11} + 8 a^{10} + 26 a^{9} + 5 a^{8} + 3 a^{7} + 30 a^{6} + 3 a^{5} + 6 a^{4} + 18 a^{3} + 4 a^{2} + 30 a + 11\right)\cdot 31^{3} + \left(10 a^{14} + 13 a^{13} + 23 a^{12} + 10 a^{11} + 25 a^{10} + 22 a^{9} + 29 a^{8} + 19 a^{7} + a^{6} + 7 a^{5} + 8 a^{4} + 8 a^{3} + 29 a^{2} + 8 a + 9\right)\cdot 31^{4} + \left(6 a^{14} + 29 a^{13} + 30 a^{12} + 30 a^{11} + 22 a^{10} + 7 a^{9} + 8 a^{8} + 12 a^{7} + 5 a^{6} + 18 a^{5} + 15 a^{4} + 12 a^{3} + 17 a^{2} + 20 a + 12\right)\cdot 31^{5} + \left(11 a^{14} + 26 a^{13} + 14 a^{12} + a^{11} + 14 a^{10} + 27 a^{9} + 23 a^{8} + 29 a^{7} + 21 a^{6} + 8 a^{5} + 22 a^{4} + 2 a^{3} + 21 a^{2} + 13 a + 2\right)\cdot 31^{6} + \left(11 a^{14} + 27 a^{13} + 10 a^{12} + 22 a^{11} + 20 a^{10} + 4 a^{9} + 5 a^{8} + 6 a^{7} + 16 a^{6} + a^{5} + 18 a^{4} + 25 a^{3} + 30 a^{2} + 22 a + 24\right)\cdot 31^{7} + \left(28 a^{14} + 14 a^{13} + 2 a^{12} + 22 a^{11} + 27 a^{10} + 22 a^{8} + 24 a^{7} + 13 a^{5} + 8 a^{4} + 22 a^{3} + 12 a^{2} + 21 a + 21\right)\cdot 31^{8} + \left(23 a^{13} + 23 a^{12} + 2 a^{11} + 11 a^{10} + a^{9} + 5 a^{8} + 14 a^{7} + 9 a^{6} + 13 a^{5} + 2 a^{4} + 19 a^{3} + 24 a^{2} + 7 a + 20\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\)
|
| $r_{ 4 }$ | $=$ |
\( a^{14} + 21 a^{13} + 30 a^{12} + 25 a^{11} + 12 a^{10} + 20 a^{9} + a^{8} + 9 a^{7} + 20 a^{6} + 9 a^{5} + 6 a^{4} + 3 a^{3} + 6 a^{2} + 20 a + 7 + \left(2 a^{14} + 24 a^{13} + 11 a^{12} + 19 a^{11} + a^{10} + 27 a^{9} + 16 a^{8} + 27 a^{7} + 25 a^{6} + 24 a^{5} + 27 a^{4} + 5 a^{3} + 18 a^{2} + a\right)\cdot 31 + \left(13 a^{14} + 30 a^{13} + 8 a^{12} + 3 a^{11} + 24 a^{10} + 6 a^{9} + 12 a^{8} + 5 a^{7} + 27 a^{5} + 25 a^{4} + 28 a^{3} + 30 a^{2} + 27 a + 14\right)\cdot 31^{2} + \left(8 a^{14} + 23 a^{13} + 20 a^{12} + 11 a^{11} + 21 a^{10} + 19 a^{9} + 14 a^{8} + 20 a^{7} + 9 a^{6} + 18 a^{5} + 17 a^{4} + 25 a^{3} + a^{2} + 10 a + 12\right)\cdot 31^{3} + \left(3 a^{14} + 14 a^{13} + 10 a^{12} + 2 a^{11} + 3 a^{10} + 4 a^{9} + 9 a^{8} + 5 a^{7} + 18 a^{6} + 30 a^{5} + 24 a^{4} + 23 a^{3} + 14 a^{2} + 19 a + 22\right)\cdot 31^{4} + \left(23 a^{13} + 23 a^{12} + 13 a^{11} + 28 a^{10} + 26 a^{9} + 26 a^{8} + 11 a^{7} + 2 a^{6} + 7 a^{5} + 7 a^{4} + a^{3} + 26 a^{2} + 29 a + 7\right)\cdot 31^{5} + \left(14 a^{14} + 7 a^{13} + 4 a^{12} + 17 a^{11} + 9 a^{10} + 6 a^{9} + 14 a^{8} + 29 a^{6} + 4 a^{5} + 26 a^{4} + 30 a^{3} + 19 a^{2} + 4 a + 30\right)\cdot 31^{6} + \left(10 a^{14} + 7 a^{13} + 4 a^{12} + 16 a^{11} + 27 a^{10} + 19 a^{9} + 23 a^{8} + a^{6} + 26 a^{5} + 7 a^{4} + 11 a^{3} + 9 a^{2} + 18 a + 29\right)\cdot 31^{7} + \left(14 a^{14} + 26 a^{13} + 9 a^{12} + 4 a^{10} + 2 a^{9} + 25 a^{8} + 28 a^{7} + 14 a^{6} + 5 a^{5} + 24 a^{4} + 16 a^{3} + 19 a^{2} + 7 a + 19\right)\cdot 31^{8} + \left(30 a^{14} + 17 a^{13} + 26 a^{12} + 27 a^{11} + 25 a^{10} + 10 a^{9} + 26 a^{8} + 30 a^{7} + 18 a^{6} + 24 a^{4} + 6 a^{3} + 13 a^{2} + 23 a + 10\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\)
|
| $r_{ 5 }$ | $=$ |
\( 24 a^{14} + 15 a^{13} + 21 a^{12} + 11 a^{11} + 29 a^{10} + 27 a^{9} + 7 a^{8} + 15 a^{7} + 7 a^{6} + 28 a^{5} + 2 a^{4} + 27 a^{3} + 27 a^{2} + 30 a + 13 + \left(8 a^{14} + 24 a^{13} + 25 a^{12} + 17 a^{11} + 15 a^{10} + 2 a^{9} + 8 a^{8} + 6 a^{7} + 26 a^{5} + 17 a^{4} + 29 a^{3} + 10 a^{2} + 18 a + 29\right)\cdot 31 + \left(7 a^{14} + 23 a^{13} + 2 a^{12} + 23 a^{11} + 7 a^{10} + 18 a^{9} + 30 a^{8} + 16 a^{7} + 3 a^{6} + 30 a^{5} + 11 a^{4} + 5 a^{2} + 2 a + 17\right)\cdot 31^{2} + \left(28 a^{14} + 7 a^{13} + 5 a^{12} + 28 a^{11} + 8 a^{10} + 11 a^{9} + 4 a^{8} + 11 a^{7} + 17 a^{5} + 13 a^{4} + 11 a^{3} + 16 a^{2} + 27 a + 28\right)\cdot 31^{3} + \left(7 a^{14} + 23 a^{13} + 12 a^{11} + 16 a^{10} + 25 a^{9} + 18 a^{8} + 7 a^{7} + 15 a^{6} + 17 a^{5} + 30 a^{4} + 10 a^{3} + 26 a^{2} + 11 a + 29\right)\cdot 31^{4} + \left(2 a^{14} + 2 a^{13} + 20 a^{12} + 9 a^{11} + 30 a^{10} + 7 a^{9} + 24 a^{8} + 12 a^{7} + 20 a^{6} + 28 a^{5} + 21 a^{4} + 3 a^{3} + 7 a^{2} + 17 a + 25\right)\cdot 31^{5} + \left(30 a^{14} + 11 a^{13} + 14 a^{12} + 15 a^{11} + a^{10} + 22 a^{9} + 15 a^{8} + 12 a^{7} + 20 a^{6} + 2 a^{5} + 5 a^{4} + a^{3} + 25 a^{2} + 23 a + 22\right)\cdot 31^{6} + \left(22 a^{14} + 21 a^{13} + 19 a^{12} + 16 a^{11} + 26 a^{10} + 15 a^{9} + 7 a^{8} + 3 a^{7} + 2 a^{6} + 12 a^{5} + 12 a^{4} + 26 a^{3} + 12 a^{2} + 28 a + 25\right)\cdot 31^{7} + \left(30 a^{14} + 15 a^{13} + 14 a^{12} + 11 a^{11} + 5 a^{10} + 13 a^{9} + 7 a^{8} + 19 a^{7} + 17 a^{6} + 15 a^{5} + 13 a^{4} + 5 a^{3} + 14 a^{2} + 10 a + 29\right)\cdot 31^{8} + \left(7 a^{14} + 13 a^{13} + 11 a^{12} + 19 a^{10} + 4 a^{8} + 24 a^{7} + 7 a^{6} + 5 a^{5} + 17 a^{4} + 8 a^{3} + 22 a^{2} + 9 a + 19\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\)
|
| $r_{ 6 }$ | $=$ |
\( 12 a^{14} + 7 a^{13} + 12 a^{12} + 16 a^{11} + 4 a^{10} + 19 a^{9} + 2 a^{8} + 5 a^{7} + 7 a^{6} + 7 a^{5} + 27 a^{4} + 26 a^{3} + 4 a^{2} + 26 a + 25 + \left(11 a^{14} + 7 a^{13} + 20 a^{12} + 18 a^{11} + 14 a^{9} + 6 a^{8} + 20 a^{7} + 24 a^{5} + 6 a^{4} + 8 a^{3} + 27 a^{2} + 13 a + 24\right)\cdot 31 + \left(14 a^{14} + 7 a^{13} + 9 a^{12} + 9 a^{11} + 22 a^{10} + 28 a^{9} + 21 a^{8} + 6 a^{7} + 4 a^{6} + 11 a^{5} + 26 a^{4} + 6 a^{3} + 12 a^{2} + 10 a + 3\right)\cdot 31^{2} + \left(20 a^{14} + 26 a^{13} + 9 a^{12} + 24 a^{11} + 23 a^{10} + 28 a^{9} + 11 a^{8} + 20 a^{7} + 30 a^{6} + 13 a^{5} + 11 a^{4} + 12 a^{3} + 8 a^{2} + 8 a + 25\right)\cdot 31^{3} + \left(30 a^{14} + 21 a^{13} + 23 a^{12} + 13 a^{11} + 27 a^{10} + 9 a^{9} + 5 a^{8} + 12 a^{7} + 12 a^{6} + 15 a^{5} + 21 a^{4} + 5 a^{3} + 9 a + 28\right)\cdot 31^{4} + \left(9 a^{14} + 2 a^{13} + 17 a^{12} + 9 a^{11} + 20 a^{10} + 7 a^{8} + 22 a^{7} + 12 a^{6} + 10 a^{5} + 19 a^{4} + 16 a^{3} + 15 a^{2} + 16 a + 7\right)\cdot 31^{5} + \left(3 a^{13} + 8 a^{12} + 8 a^{11} + 13 a^{10} + 23 a^{9} + 7 a^{8} + 24 a^{7} + 24 a^{6} + 24 a^{5} + 18 a^{4} + 15 a^{3} + 27 a^{2} + 23 a + 3\right)\cdot 31^{6} + \left(16 a^{14} + 9 a^{13} + 27 a^{12} + 22 a^{11} + 14 a^{9} + 15 a^{8} + 17 a^{7} + 13 a^{6} + 30 a^{5} + 2 a^{3} + 23 a^{2} + 29 a + 15\right)\cdot 31^{7} + \left(26 a^{14} + 3 a^{13} + 22 a^{12} + 5 a^{11} + 25 a^{10} + 14 a^{9} + 18 a^{8} + 21 a^{7} + 23 a^{6} + 29 a^{5} + 9 a^{4} + 21 a^{3} + 16 a^{2} + 2 a + 30\right)\cdot 31^{8} + \left(29 a^{14} + 29 a^{13} + 24 a^{12} + 24 a^{11} + 29 a^{10} + 17 a^{9} + 13 a^{8} + 21 a^{7} + 7 a^{6} + 27 a^{5} + 17 a^{4} + 6 a^{3} + 11 a^{2} + 28 a + 11\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\)
|
| $r_{ 7 }$ | $=$ |
\( 4 a^{14} + 18 a^{13} + 22 a^{12} + 17 a^{11} + 27 a^{10} + 22 a^{9} + 25 a^{8} + 28 a^{7} + 6 a^{6} + 28 a^{5} + 7 a^{4} + 14 a^{3} + 13 a^{2} + 13 a + 16 + \left(a^{13} + 10 a^{12} + 2 a^{11} + 12 a^{10} + 22 a^{9} + 5 a^{8} + 3 a^{7} + 21 a^{6} + 17 a^{5} + 30 a^{4} + a^{3} + 17 a^{2} + 4 a + 17\right)\cdot 31 + \left(6 a^{14} + 5 a^{13} + 10 a^{12} + 25 a^{11} + 9 a^{10} + 19 a^{9} + 15 a^{8} + 28 a^{7} + 9 a^{6} + 21 a^{5} + 22 a^{4} + 22 a^{3} + 16 a^{2} + 19 a + 24\right)\cdot 31^{2} + \left(6 a^{14} + 19 a^{13} + 25 a^{12} + 5 a^{11} + 9 a^{10} + 4 a^{9} + 16 a^{8} + 10 a^{7} + 30 a^{6} + 10 a^{5} + 30 a^{4} + 24 a^{3} + 23 a^{2} + 29 a + 27\right)\cdot 31^{3} + \left(22 a^{14} + 24 a^{13} + 6 a^{11} + 13 a^{10} + 22 a^{9} + 23 a^{8} + 27 a^{7} + 5 a^{6} + 26 a^{5} + 5 a^{4} + 18 a^{3} + 18 a^{2} + 10 a + 11\right)\cdot 31^{4} + \left(25 a^{14} + 13 a^{13} + 10 a^{11} + 3 a^{10} + 20 a^{9} + 5 a^{8} + 19 a^{7} + 14 a^{6} + 18 a^{5} + 24 a^{4} + 26 a^{3} + 22 a^{2} + 6 a + 5\right)\cdot 31^{5} + \left(5 a^{14} + 9 a^{13} + 17 a^{12} + 23 a^{11} + 15 a^{10} + 6 a^{9} + 25 a^{8} + 20 a^{7} + 22 a^{6} + 18 a^{5} + 28 a^{4} + 7 a^{3} + 7 a^{2} + 29 a + 1\right)\cdot 31^{6} + \left(18 a^{14} + 9 a^{13} + 14 a^{12} + 27 a^{11} + 2 a^{10} + 2 a^{9} + 3 a^{8} + 9 a^{7} + 24 a^{6} + 2 a^{5} + 29 a^{4} + 29 a^{3} + 2 a^{2} + 29 a + 19\right)\cdot 31^{7} + \left(22 a^{14} + a^{13} + 18 a^{12} + 2 a^{11} + 22 a^{9} + 14 a^{8} + a^{7} + 3 a^{6} + 6 a^{4} + 26 a^{3} + 6 a^{2} + 23 a + 28\right)\cdot 31^{8} + \left(23 a^{14} + 13 a^{12} + 27 a^{11} + 12 a^{10} + 14 a^{9} + 11 a^{8} + 19 a^{7} + a^{6} + 18 a^{5} + 3 a^{4} + 15 a^{3} + 6 a^{2} + 20 a + 24\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\)
|
| $r_{ 8 }$ | $=$ |
\( a^{14} + 3 a^{13} + 9 a^{12} + 19 a^{11} + 25 a^{10} + 27 a^{9} + 21 a^{8} + 19 a^{7} + 30 a^{6} + 22 a^{5} + 28 a^{4} + 12 a^{3} + 6 a^{2} + 30 a + 23 + \left(2 a^{14} + 24 a^{13} + 9 a^{12} + 11 a^{11} + 7 a^{10} + 28 a^{9} + 29 a^{8} + 19 a^{7} + 5 a^{6} + 4 a^{5} + 2 a^{4} + 17 a^{3} + 10 a^{2} + a + 30\right)\cdot 31 + \left(10 a^{14} + 19 a^{13} + 14 a^{11} + 22 a^{10} + 6 a^{9} + 27 a^{8} + 24 a^{7} + 22 a^{5} + 30 a^{4} + 28 a^{3} + 17 a^{2} + 29 a + 16\right)\cdot 31^{2} + \left(6 a^{14} + 19 a^{13} + 29 a^{12} + 22 a^{11} + 22 a^{10} + 29 a^{9} + 10 a^{8} + 27 a^{7} + 19 a^{6} + 29 a^{5} + 3 a^{4} + 22 a^{3} + 5 a^{2} + 2 a + 13\right)\cdot 31^{3} + \left(24 a^{14} + 18 a^{13} + 25 a^{12} + 21 a^{11} + 6 a^{10} + 6 a^{9} + 10 a^{8} + 26 a^{7} + 12 a^{6} + 10 a^{5} + 4 a^{4} + 14 a^{3} + 26 a^{2} + 16 a + 23\right)\cdot 31^{4} + \left(14 a^{14} + 5 a^{13} + 24 a^{12} + 18 a^{11} + 8 a^{10} + 25 a^{9} + 30 a^{8} + 25 a^{7} + 26 a^{6} + 9 a^{5} + 18 a^{4} + 10 a^{3} + 13 a^{2} + 9 a + 8\right)\cdot 31^{5} + \left(11 a^{14} + 24 a^{13} + 10 a^{12} + a^{11} + 17 a^{10} + 26 a^{9} + 13 a^{8} + 6 a^{7} + 15 a^{6} + 8 a^{5} + 20 a^{4} + 24 a^{3} + 21 a^{2} + 10 a + 17\right)\cdot 31^{6} + \left(29 a^{14} + 14 a^{13} + 11 a^{12} + 22 a^{11} + 20 a^{10} + 28 a^{9} + 17 a^{8} + 16 a^{7} + 4 a^{6} + 12 a^{5} + 3 a^{4} + 19 a^{3} + 11 a^{2} + 29 a + 14\right)\cdot 31^{7} + \left(12 a^{14} + 27 a^{13} + 23 a^{12} + 7 a^{11} + 28 a^{10} + 5 a^{9} + 19 a^{8} + 9 a^{7} + 9 a^{6} + 14 a^{5} + 30 a^{4} + 18 a^{3} + 21 a^{2} + 11 a + 17\right)\cdot 31^{8} + \left(26 a^{14} + 19 a^{13} + 24 a^{12} + 21 a^{11} + 20 a^{10} + 18 a^{9} + 9 a^{8} + 30 a^{6} + 4 a^{5} + 12 a^{4} + a^{3} + 8 a^{2} + 25 a + 26\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\)
|
| $r_{ 9 }$ | $=$ |
\( 27 a^{14} + 30 a^{13} + 18 a^{11} + 16 a^{10} + 5 a^{9} + 23 a^{8} + 16 a^{7} + 14 a^{6} + 15 a^{5} + 13 a^{4} + 22 a^{3} + 24 a^{2} + 9 a + 16 + \left(14 a^{13} + 24 a^{11} + 5 a^{10} + 9 a^{9} + 10 a^{8} + 12 a^{7} + 28 a^{6} + 9 a^{5} + 5 a^{3} + 18 a + 10\right)\cdot 31 + \left(23 a^{14} + 3 a^{13} + 9 a^{12} + 18 a^{11} + 22 a^{10} + 20 a^{9} + 6 a^{8} + 19 a^{7} + a^{6} + 29 a^{5} + 23 a^{4} + 9 a^{3} + 17 a^{2} + 10 a + 28\right)\cdot 31^{2} + \left(12 a^{14} + 8 a^{12} + 24 a^{11} + 27 a^{10} + 12 a^{8} + 6 a^{7} + 16 a^{6} + a^{5} + 23 a^{4} + a^{3} + 26 a^{2} + 11 a + 29\right)\cdot 31^{3} + \left(11 a^{14} + 28 a^{13} + 11 a^{12} + 2 a^{11} + 7 a^{10} + 11 a^{9} + 14 a^{8} + 18 a^{7} + 10 a^{6} + 11 a^{5} + 14 a^{4} + 24 a^{3} + 21 a^{2} + 13 a + 14\right)\cdot 31^{4} + \left(29 a^{14} + 19 a^{13} + 29 a^{12} + 9 a^{11} + 4 a^{10} + 7 a^{9} + 27 a^{8} + 22 a^{7} + 17 a^{6} + 19 a^{5} + 15 a^{4} + 22 a^{3} + a^{2} + 13 a + 12\right)\cdot 31^{5} + \left(26 a^{14} + 24 a^{13} + 3 a^{12} + 10 a^{11} + 12 a^{10} + 29 a^{9} + 18 a^{8} + 23 a^{7} + 16 a^{6} + 5 a^{5} + 19 a^{4} + 27 a^{3} + 25 a^{2} + 7 a + 4\right)\cdot 31^{6} + \left(26 a^{14} + 16 a^{13} + 22 a^{12} + 14 a^{11} + 12 a^{10} + 3 a^{9} + 2 a^{8} + 3 a^{7} + 5 a^{6} + 19 a^{5} + 21 a^{4} + a^{3} + 10 a^{2} + 24 a + 25\right)\cdot 31^{7} + \left(30 a^{14} + 25 a^{13} + 26 a^{12} + 30 a^{11} + 15 a^{10} + 9 a^{9} + 9 a^{8} + 22 a^{7} + 18 a^{6} + 14 a^{5} + 30 a^{4} + 7 a^{3} + 18 a^{2} + 24 a + 19\right)\cdot 31^{8} + \left(9 a^{14} + 18 a^{13} + 25 a^{12} + 13 a^{11} + 21 a^{10} + 18 a^{8} + 21 a^{7} + 2 a^{6} + 5 a^{5} + 5 a^{4} + 12 a^{3} + 12 a^{2} + 16 a\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\)
|
| $r_{ 10 }$ | $=$ |
\( 27 a^{14} + 5 a^{13} + 4 a^{12} + 8 a^{11} + 9 a^{9} + 23 a^{8} + 20 a^{7} + 25 a^{6} + 28 a^{5} + 11 a^{4} + 17 a^{3} + a^{2} + a + 25 + \left(10 a^{14} + 28 a^{13} + 24 a^{12} + 16 a^{11} + 25 a^{10} + 5 a^{9} + 22 a^{8} + 8 a^{7} + 22 a^{6} + 15 a^{5} + 8 a^{4} + 25 a^{3} + 28 a^{2} + 16\right)\cdot 31 + \left(8 a^{14} + 5 a^{13} + 26 a^{12} + 16 a^{10} + 21 a^{9} + 17 a^{8} + 19 a^{7} + 7 a^{6} + 17 a^{5} + 21 a^{4} + 29 a^{3} + 9 a^{2} + 29\right)\cdot 31^{2} + \left(20 a^{14} + 21 a^{13} + 4 a^{12} + 18 a^{11} + 12 a^{10} + 23 a^{9} + 30 a^{8} + 28 a^{7} + 30 a^{6} + 9 a^{5} + a^{4} + 21 a^{3} + 22 a^{2} + 18 a + 30\right)\cdot 31^{3} + \left(3 a^{14} + 30 a^{13} + a^{12} + 17 a^{11} + 2 a^{10} + 5 a^{9} + 2 a^{8} + 8 a^{7} + 29 a^{6} + 28 a^{5} + 4 a^{4} + 26 a^{3} + 2 a^{2} + 18 a + 17\right)\cdot 31^{4} + \left(20 a^{14} + 26 a^{13} + 15 a^{12} + 22 a^{11} + 7 a^{10} + 26 a^{9} + 17 a^{8} + 5 a^{7} + 6 a^{6} + 13 a^{5} + 22 a^{4} + 13 a^{3} + 15 a^{2} + 30 a + 27\right)\cdot 31^{5} + \left(5 a^{14} + a^{13} + 8 a^{12} + 28 a^{11} + 7 a^{10} + 21 a^{9} + 29 a^{8} + 15 a^{7} + 29 a^{6} + 27 a^{5} + 23 a^{4} + 22 a^{3} + 2 a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 31^{6} + \left(2 a^{14} + 9 a^{13} + 10 a^{12} + 26 a^{11} + 18 a^{10} + 19 a^{9} + 17 a^{8} + 6 a^{7} + 27 a^{6} + 3 a^{5} + 15 a^{4} + 3 a^{3} + 12 a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 31^{7} + \left(19 a^{14} + 29 a^{13} + 10 a^{12} + 16 a^{11} + 8 a^{10} + 17 a^{9} + 14 a^{8} + 17 a^{7} + 7 a^{6} + 12 a^{5} + 3 a^{4} + 15 a^{3} + 7 a^{2} + 12 a + 5\right)\cdot 31^{8} + \left(6 a^{14} + 22 a^{13} + 6 a^{12} + 2 a^{11} + 11 a^{10} + 23 a^{9} + 12 a^{8} + 17 a^{7} + 17 a^{5} + 29 a^{4} + 5 a^{3} + 29 a^{2} + 18 a + 10\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\)
|
| $r_{ 11 }$ | $=$ |
\( 3 a^{14} + 6 a^{13} + 9 a^{12} + 11 a^{11} + 20 a^{10} + 18 a^{8} + 7 a^{7} + 4 a^{6} + 13 a^{5} + 2 a^{4} + 6 a^{3} + 28 a^{2} + 16 a + 5 + \left(28 a^{14} + 24 a^{13} + 8 a^{12} + 9 a^{11} + 15 a^{10} + 11 a^{9} + 21 a^{8} + 15 a^{7} + 2 a^{6} + 23 a^{5} + 11 a^{4} + 12 a^{3} + 13 a^{2} + 7\right)\cdot 31 + \left(4 a^{14} + 22 a^{13} + 14 a^{12} + 18 a^{11} + 23 a^{10} + 23 a^{9} + 13 a^{8} + 8 a^{7} + 22 a^{6} + 10 a^{5} + 19 a^{4} + 18 a^{3} + 24 a^{2} + 3\right)\cdot 31^{2} + \left(22 a^{14} + 22 a^{13} + 17 a^{12} + 25 a^{11} + 14 a^{10} + 17 a^{9} + 21 a^{8} + 29 a^{7} + 9 a^{6} + 15 a^{5} + 10 a^{4} + 6 a^{3} + 27 a^{2} + 22 a + 8\right)\cdot 31^{3} + \left(11 a^{14} + 7 a^{13} + 9 a^{12} + 2 a^{11} + 6 a^{10} + 12 a^{9} + 2 a^{8} + 24 a^{7} + 5 a^{6} + 23 a^{5} + 17 a^{4} + 18 a^{3} + 22 a^{2} + a + 25\right)\cdot 31^{4} + \left(4 a^{14} + 28 a^{13} + 28 a^{12} + 12 a^{11} + 7 a^{10} + 18 a^{9} + 16 a^{8} + 13 a^{7} + 2 a^{6} + 16 a^{4} + 7 a^{3} + a^{2} + 29\right)\cdot 31^{5} + \left(20 a^{14} + 8 a^{13} + 17 a^{12} + 28 a^{11} + 16 a^{10} + 18 a^{9} + 14 a^{8} + 15 a^{7} + 3 a^{6} + 25 a^{5} + 18 a^{4} + 5 a^{3} + 19 a^{2} + 7 a + 7\right)\cdot 31^{6} + \left(19 a^{14} + 11 a^{13} + 15 a^{12} + 20 a^{11} + 6 a^{10} + 22 a^{9} + 19 a^{8} + 2 a^{7} + 28 a^{6} + 2 a^{5} + 23 a^{4} + a^{3} + 24 a + 16\right)\cdot 31^{7} + \left(17 a^{14} + 20 a^{13} + 5 a^{12} + 10 a^{11} + 13 a^{10} + 20 a^{9} + 5 a^{8} + 15 a^{7} + 4 a^{6} + 20 a^{5} + 29 a^{4} + 3 a^{3} + 14 a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 31^{8} + \left(7 a^{14} + 17 a^{13} + a^{12} + 11 a^{11} + 9 a^{10} + 26 a^{9} + 2 a^{8} + 11 a^{7} + 3 a^{6} + 10 a^{5} + 4 a^{4} + 8 a^{3} + 29 a^{2} + 22 a + 8\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\)
|
| $r_{ 12 }$ | $=$ |
\( 13 a^{14} + 10 a^{13} + 27 a^{12} + 14 a^{11} + 6 a^{9} + 30 a^{8} + 10 a^{7} + 23 a^{6} + 7 a^{5} + 26 a^{4} + 20 a^{3} + 16 a^{2} + 9 a + 22 + \left(a^{14} + 18 a^{13} + 14 a^{12} + 30 a^{11} + 22 a^{10} + 5 a^{9} + 5 a^{8} + 28 a^{7} + 11 a^{6} + 7 a^{5} + 9 a^{4} + 30 a^{3} + a^{2} + 28 a + 14\right)\cdot 31 + \left(16 a^{13} + 13 a^{12} + 19 a^{11} + 13 a^{10} + 21 a^{9} + 2 a^{8} + 5 a^{7} + 23 a^{6} + 11 a^{5} + 7 a^{4} + 27 a^{3} + 7 a^{2} + 12 a + 5\right)\cdot 31^{2} + \left(27 a^{14} + 20 a^{13} + 5 a^{12} + 7 a^{11} + 28 a^{10} + 24 a^{9} + 4 a^{8} + 28 a^{7} + 30 a^{6} + 11 a^{4} + 6 a^{2} + 18 a + 10\right)\cdot 31^{3} + \left(9 a^{14} + 6 a^{13} + 29 a^{12} + 7 a^{11} + 16 a^{10} + 16 a^{9} + 26 a^{8} + 25 a^{7} + 21 a^{6} + 17 a^{5} + 14 a^{4} + 11 a^{3} + 21 a^{2} + 22 a + 22\right)\cdot 31^{4} + \left(15 a^{13} + 10 a^{12} + 21 a^{11} + 14 a^{10} + 16 a^{9} + 8 a^{8} + 9 a^{7} + 21 a^{6} + 23 a^{5} + 14 a^{4} + 14 a^{3} + 26 a^{2} + 9 a + 14\right)\cdot 31^{5} + \left(25 a^{14} + 23 a^{13} + a^{12} + 9 a^{11} + 26 a^{9} + 7 a^{8} + 30 a^{7} + 30 a^{6} + 25 a^{5} + 9 a^{4} + 4 a^{3} + 30 a^{2} + 26\right)\cdot 31^{6} + \left(20 a^{14} + 22 a^{13} + 4 a^{12} + 16 a^{11} + 5 a^{10} + 20 a^{9} + 25 a^{8} + 28 a^{7} + 24 a^{6} + 8 a^{5} + 29 a^{4} + 2 a^{3} + 7 a^{2} + 15 a + 28\right)\cdot 31^{7} + \left(17 a^{14} + 21 a^{13} + 29 a^{12} + 13 a^{11} + 8 a^{10} + 29 a^{9} + 19 a^{8} + a^{7} + 28 a^{6} + 4 a^{5} + 4 a^{4} + 7 a^{3} + 12 a^{2} + 7 a + 18\right)\cdot 31^{8} + \left(19 a^{14} + 25 a^{13} + 27 a^{12} + 22 a^{11} + 17 a^{10} + 5 a^{9} + 12 a^{8} + 5 a^{7} + a^{6} + 2 a^{5} + 12 a^{4} + 28 a^{3} + 9 a^{2} + 8 a + 24\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\)
|
| $r_{ 13 }$ | $=$ |
\( a^{14} + 19 a^{13} + 14 a^{12} + 10 a^{11} + 30 a^{10} + 30 a^{9} + 19 a^{8} + 6 a^{7} + 23 a^{6} + 28 a^{5} + 25 a^{4} + 13 a^{3} + 7 a^{2} + 12 a + 2 + \left(7 a^{14} + 9 a^{13} + 13 a^{12} + 8 a^{11} + 9 a^{9} + 22 a^{8} + 28 a^{7} + 27 a^{6} + 30 a^{5} + 5 a^{4} + 9 a^{3} + 15 a^{2} + 6 a + 15\right)\cdot 31 + \left(3 a^{14} + 24 a^{13} + 14 a^{12} + 4 a^{11} + 29 a^{10} + 4 a^{9} + 15 a^{8} + 29 a^{7} + 2 a^{6} + 15 a^{5} + 16 a^{4} + 7 a^{3} + 24 a^{2} + 25 a + 23\right)\cdot 31^{2} + \left(7 a^{14} + 13 a^{13} + 3 a^{12} + 19 a^{11} + 12 a^{10} + 7 a^{9} + 13 a^{8} + 19 a^{7} + 17 a^{6} + 19 a^{5} + 19 a^{4} + 26 a^{3} + 11 a^{2} + 16 a + 8\right)\cdot 31^{3} + \left(18 a^{14} + 24 a^{13} + 18 a^{12} + 27 a^{11} + 16 a^{10} + 24 a^{9} + 7 a^{8} + 10 a^{7} + 30 a^{6} + 26 a^{5} + 10 a^{4} + 24 a^{3} + 24 a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 31^{4} + \left(17 a^{14} + 21 a^{13} + 25 a^{12} + 2 a^{11} + 24 a^{10} + 10 a^{9} + 20 a^{8} + a^{7} + 3 a^{6} + 10 a^{5} + 4 a^{4} + 5 a^{3} + 18 a^{2} + 24 a + 4\right)\cdot 31^{5} + \left(29 a^{14} + 7 a^{13} + 16 a^{12} + 18 a^{11} + 20 a^{10} + 7 a^{9} + 15 a^{7} + 14 a^{6} + 3 a^{5} + 23 a^{4} + 15 a^{3} + 2 a^{2} + 27 a + 4\right)\cdot 31^{6} + \left(7 a^{14} + 14 a^{13} + 22 a^{12} + 11 a^{11} + 26 a^{10} + 18 a^{9} + 29 a^{8} + 2 a^{7} + 22 a^{6} + 30 a^{5} + 22 a^{4} + 6 a^{3} + 9 a^{2} + 13 a + 25\right)\cdot 31^{7} + \left(19 a^{14} + 17 a^{13} + 5 a^{12} + 22 a^{11} + 9 a^{10} + 14 a^{9} + 7 a^{7} + 16 a^{6} + 6 a^{5} + 20 a^{4} + 14 a^{3} + 30 a^{2} + 15 a + 14\right)\cdot 31^{8} + \left(27 a^{14} + 18 a^{13} + 30 a^{12} + 12 a^{11} + 26 a^{10} + 5 a^{9} + 15 a^{8} + 9 a^{7} + 26 a^{6} + 11 a^{4} + 21 a^{3} + a^{2} + 2 a + 29\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\)
|
| $r_{ 14 }$ | $=$ |
\( 10 a^{13} + 12 a^{12} + 27 a^{11} + 15 a^{10} + 2 a^{8} + 23 a^{7} + 5 a^{6} + 18 a^{5} + 17 a^{4} + 24 a^{3} + 22 a^{2} + 4 a + 26 + \left(17 a^{14} + 30 a^{13} + 13 a^{12} + 10 a^{11} + 3 a^{10} + 18 a^{9} + 2 a^{8} + 14 a^{7} + 14 a^{6} + 15 a^{5} + 30 a^{4} + 28 a^{3} + 9 a^{2} + 22 a + 19\right)\cdot 31 + \left(14 a^{14} + 14 a^{13} + 23 a^{12} + 14 a^{11} + 20 a^{10} + a^{9} + 16 a^{8} + 14 a^{7} + 16 a^{6} + 22 a^{5} + 6 a^{4} + 18 a^{3} + 17 a^{2} + 5 a + 14\right)\cdot 31^{2} + \left(14 a^{14} + 30 a^{13} + 24 a^{12} + 28 a^{11} + 18 a^{10} + 22 a^{9} + 30 a^{8} + 27 a^{7} + 9 a^{6} + 28 a^{5} + a^{4} + 11 a^{3} + a^{2} + 7 a + 7\right)\cdot 31^{3} + \left(2 a^{14} + 3 a^{13} + 11 a^{12} + 9 a^{11} + 20 a^{10} + a^{9} + 17 a^{8} + 25 a^{7} + 26 a^{6} + 13 a^{5} + 26 a^{4} + 28 a^{3} + 12 a^{2} + 14 a + 30\right)\cdot 31^{4} + \left(10 a^{14} + 13 a^{13} + 3 a^{12} + 16 a^{11} + 2 a^{10} + 8 a^{9} + 12 a^{8} + 3 a^{7} + 6 a^{6} + 12 a^{5} + 14 a^{4} + a^{3} + 17 a^{2} + 30 a + 7\right)\cdot 31^{5} + \left(6 a^{14} + 6 a^{13} + 19 a^{12} + 20 a^{11} + 4 a^{10} + 5 a^{9} + 16 a^{8} + 21 a^{7} + 22 a^{6} + 19 a^{5} + 13 a^{4} + 17 a^{3} + 25 a^{2} + 5 a + 30\right)\cdot 31^{6} + \left(19 a^{14} + 6 a^{13} + 2 a^{12} + 19 a^{11} + 3 a^{10} + 3 a^{9} + 25 a^{8} + 10 a^{6} + 6 a^{5} + 3 a^{4} + 18 a^{3} + 7 a^{2} + 27 a + 10\right)\cdot 31^{7} + \left(10 a^{14} + 23 a^{13} + 22 a^{12} + 9 a^{11} + 26 a^{10} + 10 a^{9} + 8 a^{8} + 3 a^{7} + 4 a^{6} + 20 a^{5} + 12 a^{4} + 8 a^{3} + 13 a^{2} + 23 a + 14\right)\cdot 31^{8} + \left(9 a^{14} + 22 a^{13} + 29 a^{12} + 15 a^{11} + 15 a^{10} + 16 a^{9} + 11 a^{8} + 20 a^{7} + 21 a^{6} + 17 a^{5} + 10 a^{4} + 16 a^{3} + a^{2} + a + 17\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\)
|
| $r_{ 15 }$ | $=$ |
\( 26 a^{14} + 28 a^{13} + 23 a^{12} + 25 a^{11} + 10 a^{9} + 13 a^{8} + 22 a^{7} + 24 a^{6} + 13 a^{5} + 19 a^{4} + 14 a^{3} + 29 a^{2} + 19 a + 9 + \left(17 a^{14} + 5 a^{13} + 23 a^{12} + 9 a^{11} + 13 a^{10} + 5 a^{9} + 14 a^{8} + 28 a^{7} + 21 a^{6} + 25 a^{5} + 12 a^{4} + 4 a^{3} + 19 a^{2} + 7 a + 26\right)\cdot 31 + \left(12 a^{14} + a^{13} + 7 a^{12} + 5 a^{11} + 3 a^{10} + 17 a^{9} + 23 a^{8} + 6 a^{7} + 30 a^{6} + 30 a^{5} + 6 a^{4} + 26 a^{3} + 27 a^{2} + 29 a + 16\right)\cdot 31^{2} + \left(21 a^{14} + 16 a^{13} + 22 a^{12} + a^{11} + 22 a^{10} + 13 a^{9} + 22 a^{8} + 25 a^{7} + 2 a^{6} + 2 a^{5} + 23 a^{4} + a^{3} + 12 a^{2} + 18 a + 6\right)\cdot 31^{3} + \left(16 a^{14} + 21 a^{13} + 21 a^{12} + 27 a^{11} + 14 a^{10} + 22 a^{9} + 20 a^{8} + 21 a^{7} + 25 a^{6} + 28 a^{5} + a^{4} + 12 a^{3} + 5 a^{2} + 22 a + 1\right)\cdot 31^{4} + \left(7 a^{14} + 17 a^{13} + 14 a^{12} + 19 a^{11} + 9 a^{10} + 19 a^{9} + 28 a^{8} + 21 a^{7} + 20 a^{6} + 16 a^{5} + 21 a^{4} + 19 a^{3} + 30 a^{2} + 24 a + 24\right)\cdot 31^{5} + \left(4 a^{14} + 13 a^{13} + 4 a^{12} + 18 a^{11} + 21 a^{10} + 14 a^{9} + 9 a^{8} + 4 a^{7} + 7 a^{6} + 28 a^{5} + 19 a^{4} + 9 a^{3} + 13 a^{2} + 5 a + 14\right)\cdot 31^{6} + \left(19 a^{14} + 5 a^{13} + 14 a^{12} + 12 a^{11} + a^{10} + 23 a^{9} + 3 a^{8} + 20 a^{7} + 21 a^{6} + 24 a^{5} + 16 a^{4} + 6 a^{3} + 4 a^{2} + 16 a + 21\right)\cdot 31^{7} + \left(24 a^{14} + 23 a^{13} + 21 a^{12} + 4 a^{11} + 23 a^{10} + 10 a^{9} + 17 a^{8} + 27 a^{7} + 17 a^{6} + 18 a^{5} + 20 a^{4} + 27 a^{3} + 6 a^{2} + 2 a + 19\right)\cdot 31^{8} + \left(30 a^{14} + 4 a^{12} + a^{11} + 19 a^{10} + 4 a^{9} + 6 a^{8} + 15 a^{7} + 13 a^{4} + 7 a^{3} + 4 a^{2} + 12 a + 27\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\)
|
| $r_{ 16 }$ | $=$ |
\( 2 a^{14} + 26 a^{13} + 24 a^{12} + 19 a^{11} + 30 a^{10} + 22 a^{9} + 19 a^{8} + 3 a^{7} + 12 a^{6} + 11 a^{5} + 16 a^{4} + 29 a^{2} + 15 a + 16 + \left(8 a^{14} + 9 a^{13} + a^{12} + 15 a^{11} + 18 a^{9} + 7 a^{8} + 22 a^{7} + 7 a^{6} + 5 a^{5} + 10 a^{4} + 26 a^{3} + 25 a^{2} + 16 a + 13\right)\cdot 31 + \left(15 a^{14} + 21 a^{13} + 24 a^{12} + 22 a^{11} + 3 a^{10} + 7 a^{8} + a^{7} + 13 a^{6} + 23 a^{5} + a^{4} + 14 a^{3} + 14 a^{2} + 22 a + 24\right)\cdot 31^{2} + \left(17 a^{14} + 28 a^{13} + 30 a^{12} + 13 a^{11} + 17 a^{10} + 17 a^{9} + 2 a^{8} + 23 a^{7} + 19 a^{6} + 12 a^{5} + 19 a^{4} + 4 a^{3} + 15 a^{2} + a + 15\right)\cdot 31^{3} + \left(12 a^{14} + 28 a^{12} + 2 a^{11} + 8 a^{10} + 5 a^{9} + 23 a^{8} + 6 a^{7} + 24 a^{6} + 7 a^{5} + 16 a^{4} + 10 a^{3} + 29 a^{2} + 4 a + 13\right)\cdot 31^{4} + \left(15 a^{13} + 25 a^{12} + 17 a^{11} + 22 a^{10} + 5 a^{9} + 12 a^{8} + 6 a^{7} + 22 a^{6} + 16 a^{5} + 18 a^{4} + 2 a^{3} + 3 a^{2} + 8 a + 6\right)\cdot 31^{5} + \left(28 a^{14} + 19 a^{13} + 26 a^{12} + 5 a^{11} + 9 a^{10} + 28 a^{9} + 14 a^{8} + 14 a^{7} + 14 a^{6} + 17 a^{5} + 23 a^{4} + 13 a^{3} + 2 a^{2} + 22 a + 18\right)\cdot 31^{6} + \left(15 a^{14} + 29 a^{13} + 28 a^{12} + 30 a^{11} + 23 a^{10} + 4 a^{9} + 18 a^{8} + 2 a^{7} + a^{6} + 24 a^{5} + 5 a^{4} + 7 a^{3} + 13 a^{2} + 7 a + 1\right)\cdot 31^{7} + \left(19 a^{14} + 17 a^{13} + 30 a^{12} + 18 a^{11} + 2 a^{10} + 11 a^{9} + 12 a^{8} + 5 a^{7} + 24 a^{6} + 27 a^{5} + 27 a^{4} + 2 a^{3} + 2 a^{2} + 14 a + 12\right)\cdot 31^{8} + \left(26 a^{14} + 26 a^{13} + 13 a^{12} + 28 a^{11} + 6 a^{10} + 13 a^{9} + 12 a^{8} + 18 a^{7} + 16 a^{5} + 8 a^{4} + 22 a^{3} + 10 a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\)
|
| $r_{ 17 }$ | $=$ |
\( 25 a^{14} + 23 a^{13} + 6 a^{12} + 12 a^{11} + 29 a^{9} + 19 a^{8} + 30 a^{7} + 22 a^{6} + 11 a^{5} + a^{4} + 10 a^{3} + 17 a^{2} + 17 a + 22 + \left(26 a^{14} + 9 a^{13} + 10 a^{12} + 3 a^{11} + 22 a^{10} + 26 a^{9} + 8 a^{8} + 6 a^{7} + 26 a^{6} + 12 a^{5} + 3 a^{4} + 5 a^{3} + 4 a^{2} + 24 a + 17\right)\cdot 31 + \left(20 a^{14} + 29 a^{13} + 21 a^{12} + 16 a^{11} + 17 a^{10} + 28 a^{9} + 21 a^{8} + 27 a^{7} + 12 a^{6} + 5 a^{5} + 16 a^{4} + 22 a^{2} + 18 a + 22\right)\cdot 31^{2} + \left(11 a^{13} + 8 a^{12} + 14 a^{11} + 12 a^{10} + 4 a^{9} + 29 a^{8} + 30 a^{7} + 4 a^{5} + 27 a^{4} + 13 a^{3} + 4 a^{2} + 26 a + 24\right)\cdot 31^{3} + \left(2 a^{14} + 28 a^{13} + 9 a^{12} + 19 a^{11} + 30 a^{10} + 28 a^{9} + 18 a^{8} + 18 a^{7} + 13 a^{6} + 15 a^{5} + 29 a^{4} + 21 a^{3} + 20 a^{2} + 4 a + 7\right)\cdot 31^{4} + \left(27 a^{14} + 3 a^{13} + 22 a^{12} + 19 a^{11} + 8 a^{10} + 13 a^{9} + 28 a^{8} + 8 a^{7} + 25 a^{6} + 28 a^{5} + 19 a^{4} + 29 a^{3} + 19 a^{2} + 10 a + 11\right)\cdot 31^{5} + \left(16 a^{14} + 14 a^{13} + 11 a^{12} + 17 a^{11} + 22 a^{10} + 2 a^{9} + 22 a^{8} + 10 a^{7} + 12 a^{6} + 26 a^{5} + 4 a^{4} + 27 a^{3} + 23 a^{2} + 9 a + 12\right)\cdot 31^{6} + \left(30 a^{14} + 25 a^{13} + 11 a^{12} + 14 a^{11} + 2 a^{10} + 11 a^{9} + 9 a^{8} + 30 a^{7} + 18 a^{6} + 22 a^{5} + 17 a^{4} + 26 a^{3} + 30 a^{2} + 12 a + 26\right)\cdot 31^{7} + \left(30 a^{14} + 7 a^{12} + 19 a^{11} + 23 a^{9} + 10 a^{8} + 12 a^{7} + 6 a^{6} + 27 a^{5} + 26 a^{4} + 12 a^{3} + 18 a^{2} + 21 a + 24\right)\cdot 31^{8} + \left(29 a^{14} + 15 a^{13} + 4 a^{12} + 22 a^{11} + 21 a^{10} + 19 a^{9} + 4 a^{7} + 29 a^{6} + 4 a^{5} + 24 a^{4} + 15 a^{2} + 30 a\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\)
|
| $r_{ 18 }$ | $=$ |
\( 20 a^{14} + 9 a^{13} + 29 a^{12} + a^{11} + 30 a^{10} + 27 a^{8} + 26 a^{7} + 6 a^{6} + 4 a^{5} + 3 a^{4} + 9 a^{3} + 11 a^{2} + 24 a + 23 + \left(22 a^{14} + 28 a^{13} + 15 a^{12} + 20 a^{11} + a^{10} + a^{9} + 23 a^{8} + 23 a^{7} + 8 a^{6} + 28 a^{5} + 19 a^{4} + 10 a^{3} + 9 a^{2} + 20 a + 24\right)\cdot 31 + \left(5 a^{14} + 21 a^{13} + 14 a^{12} + 20 a^{11} + 19 a^{10} + 10 a^{9} + 20 a^{8} + 15 a^{7} + 2 a^{6} + 17 a^{5} + 10 a^{4} + 13 a^{2} + 21 a + 6\right)\cdot 31^{2} + \left(5 a^{14} + 29 a^{13} + 4 a^{12} + 8 a^{11} + 22 a^{10} + 6 a^{9} + 9 a^{8} + 7 a^{7} + 16 a^{6} + 28 a^{5} + 5 a^{4} + 23 a^{3} + 10 a^{2} + 26 a + 29\right)\cdot 31^{3} + \left(19 a^{14} + 14 a^{13} + 2 a^{12} + a^{11} + 23 a^{10} + 26 a^{9} + 28 a^{8} + 9 a^{6} + 20 a^{5} + 21 a^{4} + 17 a^{3} + 22 a^{2} + 14 a + 28\right)\cdot 31^{4} + \left(6 a^{14} + 30 a^{13} + 8 a^{12} + 6 a^{11} + 14 a^{10} + 22 a^{9} + 11 a^{8} + 2 a^{7} + 4 a^{6} + 4 a^{5} + 25 a^{4} + 4 a^{3} + 10 a^{2} + 15 a + 8\right)\cdot 31^{5} + \left(17 a^{14} + 8 a^{13} + 27 a^{12} + 2 a^{11} + 16 a^{10} + 22 a^{9} + 20 a^{8} + 9 a^{7} + 29 a^{6} + 25 a^{5} + 14 a^{4} + 7 a^{3} + 28 a^{2} + 26 a + 8\right)\cdot 31^{6} + \left(20 a^{14} + 11 a^{13} + 30 a^{12} + 16 a^{11} + 2 a^{10} + 9 a^{9} + 10 a^{8} + 27 a^{7} + 29 a^{6} + 30 a^{5} + 13 a^{4} + 8 a^{3} + 23 a^{2} + 21 a + 13\right)\cdot 31^{7} + \left(3 a^{14} + 4 a^{13} + 18 a^{12} + 23 a^{11} + 5 a^{10} + 13 a^{9} + 5 a^{8} + 30 a^{7} + 8 a^{6} + 12 a^{5} + 5 a^{4} + 5 a^{3} + 8 a^{2} + 4 a + 30\right)\cdot 31^{8} + \left(11 a^{14} + 9 a^{13} + 3 a^{12} + 18 a^{11} + 27 a^{10} + 25 a^{9} + 27 a^{8} + 17 a^{7} + 11 a^{6} + 12 a^{5} + 6 a^{4} + 19 a^{3} + 6 a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\)
|
| $r_{ 19 }$ | $=$ |
\( 9 a^{14} + 22 a^{13} + 22 a^{12} + 18 a^{11} + 28 a^{10} + 3 a^{9} + 17 a^{8} + 22 a^{7} + 6 a^{6} + 7 a^{5} + a^{4} + a^{3} + 29 a^{2} + 19 a + 20 + \left(29 a^{14} + 11 a^{13} + 14 a^{12} + 20 a^{11} + 2 a^{10} + 6 a^{9} + 26 a^{7} + 8 a^{6} + 28 a^{5} + 30 a^{4} + 17 a^{3} + 2 a^{2} + 16 a + 5\right)\cdot 31 + \left(7 a^{14} + 14 a^{13} + 8 a^{12} + 3 a^{11} + 5 a^{10} + 28 a^{9} + 18 a^{8} + 25 a^{7} + 13 a^{6} + 6 a^{5} + 10 a^{4} + 8 a^{3} + 5 a^{2} + 26 a + 19\right)\cdot 31^{2} + \left(8 a^{14} + a^{13} + 26 a^{12} + 6 a^{11} + 30 a^{10} + 30 a^{9} + 30 a^{8} + 23 a^{7} + 8 a^{6} + 17 a^{5} + 21 a^{4} + 13 a^{3} + 5 a^{2} + 26 a + 22\right)\cdot 31^{3} + \left(3 a^{14} + 15 a^{13} + 13 a^{12} + 22 a^{11} + 11 a^{10} + 9 a^{8} + 18 a^{7} + 24 a^{6} + 9 a^{5} + 28 a^{4} + 4 a^{3} + a + 20\right)\cdot 31^{4} + \left(13 a^{14} + 11 a^{13} + 10 a^{12} + 27 a^{11} + 5 a^{10} + 6 a^{9} + 8 a^{8} + 11 a^{7} + 16 a^{6} + 13 a^{5} + 4 a^{4} + 13 a^{3} + 7 a^{2} + 26 a + 14\right)\cdot 31^{5} + \left(20 a^{14} + 19 a^{13} + 20 a^{12} + 5 a^{11} + 6 a^{10} + 24 a^{9} + a^{8} + 15 a^{7} + 4 a^{6} + 15 a^{5} + 14 a^{4} + 26 a^{3} + 25 a^{2} + 13 a + 14\right)\cdot 31^{6} + \left(2 a^{14} + 4 a^{13} + 4 a^{11} + 24 a^{10} + 25 a^{9} + 8 a^{8} + 22 a^{7} + 13 a^{6} + 10 a^{5} + 6 a^{4} + 20 a^{3} + 19 a^{2} + 7 a + 13\right)\cdot 31^{7} + \left(25 a^{14} + 17 a^{13} + 29 a^{12} + 28 a^{11} + 28 a^{10} + 11 a^{9} + 20 a^{8} + 4 a^{7} + 2 a^{6} + 4 a^{5} + 28 a^{4} + 23 a^{3} + 24 a^{2} + 17 a + 30\right)\cdot 31^{8} + \left(15 a^{14} + 27 a^{13} + 2 a^{12} + 29 a^{11} + 30 a^{10} + 6 a^{8} + 21 a^{7} + 17 a^{6} + a^{5} + 19 a^{4} + 14 a^{3} + 24 a^{2} + 20 a\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\)
|
| $r_{ 20 }$ | $=$ |
\( 17 a^{14} + 13 a^{13} + 21 a^{12} + 15 a^{11} + 14 a^{10} + 14 a^{9} + 13 a^{8} + 9 a^{7} + 19 a^{6} + 11 a^{5} + 22 a^{4} + 4 a^{3} + 26 a^{2} + 18 a + 3 + \left(19 a^{14} + 30 a^{13} + 6 a^{12} + 9 a^{11} + 23 a^{10} + 21 a^{9} + 3 a^{8} + 3 a^{7} + 19 a^{5} + 16 a^{4} + 7 a^{3} + 23 a^{2} + 24 a + 25\right)\cdot 31 + \left(24 a^{14} + 24 a^{13} + 14 a^{12} + 18 a^{11} + 2 a^{10} + 15 a^{9} + 5 a^{8} + 22 a^{7} + 13 a^{6} + 29 a^{5} + 27 a^{4} + 26 a^{3} + 8 a^{2} + 22 a + 21\right)\cdot 31^{2} + \left(13 a^{14} + 10 a^{13} + 13 a^{12} + 9 a^{11} + 5 a^{10} + 2 a^{9} + 3 a^{8} + 8 a^{7} + 30 a^{6} + 3 a^{5} + 24 a^{4} + 2 a^{3} + a^{2} + a + 20\right)\cdot 31^{3} + \left(5 a^{14} + 15 a^{13} + 15 a^{11} + 25 a^{10} + 30 a^{9} + 17 a^{8} + 29 a^{7} + 15 a^{6} + 28 a^{5} + 29 a^{4} + 9 a^{3} + 14 a^{2} + 16 a + 10\right)\cdot 31^{4} + \left(22 a^{14} + 27 a^{13} + 30 a^{12} + 9 a^{11} + a^{10} + 8 a^{9} + 12 a^{8} + 23 a^{7} + 27 a^{6} + 7 a^{5} + 10 a^{4} + 29 a^{3} + 21 a^{2} + 18 a + 25\right)\cdot 31^{5} + \left(28 a^{14} + 21 a^{13} + 14 a^{12} + 2 a^{11} + 15 a^{10} + 24 a^{9} + 22 a^{8} + 20 a^{7} + 19 a^{6} + 18 a^{5} + 11 a^{4} + 21 a^{3} + 26 a^{2} + 16 a + 12\right)\cdot 31^{6} + \left(26 a^{14} + 9 a^{13} + 24 a^{12} + 16 a^{11} + 4 a^{10} + 29 a^{9} + 27 a^{8} + 3 a^{7} + 18 a^{6} + 20 a^{5} + 25 a^{4} + 4 a^{3} + 7 a^{2} + 22 a + 24\right)\cdot 31^{7} + \left(9 a^{14} + 3 a^{13} + 12 a^{12} + 23 a^{11} + 30 a^{10} + 8 a^{9} + 9 a^{8} + 29 a^{7} + 27 a^{6} + 16 a^{5} + 2 a^{4} + 19 a^{3} + 22 a^{2} + 16 a + 26\right)\cdot 31^{8} + \left(20 a^{14} + 5 a^{13} + 7 a^{12} + 23 a^{11} + 20 a^{10} + 2 a^{9} + 4 a^{8} + 30 a^{7} + 18 a^{6} + 3 a^{5} + 13 a^{4} + 6 a^{3} + 25 a^{2} + 11 a + 7\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\)
|
| $r_{ 21 }$ | $=$ |
\( 15 a^{13} + 18 a^{12} + 25 a^{11} + 7 a^{10} + 3 a^{8} + 19 a^{7} + 23 a^{6} + 27 a^{5} + 10 a^{4} + 5 a^{3} + 2 a^{2} + 6 a + 8 + \left(10 a^{14} + 11 a^{13} + 19 a^{12} + 26 a^{11} + 16 a^{10} + 27 a^{9} + 21 a^{8} + 27 a^{7} + 19 a^{6} + 14 a^{5} + 28 a^{4} + 11 a^{3} + 11 a^{2} + 7 a\right)\cdot 31 + \left(4 a^{14} + 15 a^{13} + 5 a^{12} + 29 a^{11} + 13 a^{10} + 24 a^{9} + 17 a^{8} + 21 a^{7} + 27 a^{6} + 26 a^{5} + 10 a^{4} + 18 a^{3} + 24 a^{2} + 18 a + 15\right)\cdot 31^{2} + \left(2 a^{14} + 18 a^{13} + 3 a^{12} + 4 a^{11} + 10 a^{10} + 23 a^{9} + 9 a^{8} + 2 a^{7} + 19 a^{5} + 8 a^{4} + 29 a^{3} + 5 a^{2} + 2 a + 3\right)\cdot 31^{3} + \left(14 a^{14} + 25 a^{13} + 6 a^{12} + 10 a^{11} + 24 a^{10} + 10 a^{9} + 25 a^{8} + 4 a^{7} + 2 a^{6} + 26 a^{4} + 11 a^{3} + 8 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 31^{4} + \left(28 a^{14} + 17 a^{13} + 17 a^{12} + 6 a^{11} + 10 a^{10} + 2 a^{9} + 15 a^{8} + 13 a^{7} + 4 a^{6} + 26 a^{5} + 25 a^{4} + 3 a^{3} + 4 a^{2} + 8 a + 23\right)\cdot 31^{5} + \left(23 a^{14} + 14 a^{13} + 4 a^{12} + 10 a^{11} + 14 a^{10} + 7 a^{9} + 14 a^{8} + 14 a^{7} + 8 a^{6} + 25 a^{5} + 25 a^{4} + 14 a^{3} + 2 a^{2} + 11 a + 12\right)\cdot 31^{6} + \left(29 a^{14} + 12 a^{13} + 3 a^{12} + 6 a^{11} + 28 a^{10} + 27 a^{9} + 9 a^{7} + 6 a^{5} + 21 a^{4} + 12 a^{3} + 30 a^{2} + 2 a + 26\right)\cdot 31^{7} + \left(20 a^{14} + 22 a^{13} + 7 a^{12} + 24 a^{10} + 10 a^{9} + 21 a^{8} + 3 a^{7} + 12 a^{6} + 24 a^{5} + 15 a^{4} + 7 a^{3} + 29 a^{2} + 13 a + 12\right)\cdot 31^{8} + \left(11 a^{14} + 20 a^{13} + 7 a^{12} + 10 a^{11} + 5 a^{10} + 12 a^{9} + 10 a^{8} + 18 a^{7} + 4 a^{6} + 17 a^{5} + 26 a^{4} + 23 a^{3} + 12 a^{2} + 5 a + 6\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\)
|
| $r_{ 22 }$ | $=$ |
\( 8 a^{14} + 11 a^{13} + 19 a^{12} + 22 a^{11} + 15 a^{9} + 4 a^{8} + 2 a^{7} + 5 a^{6} + 4 a^{5} + 13 a^{4} + 21 a^{3} + 28 a^{2} + 13 a + 29 + \left(28 a^{14} + 28 a^{13} + 25 a^{12} + 22 a^{11} + 4 a^{10} + 20 a^{9} + 30 a^{8} + 24 a^{7} + 16 a^{6} + 19 a^{4} + 8 a^{3} + 11 a^{2} + 27 a + 11\right)\cdot 31 + \left(24 a^{14} + 14 a^{13} + 30 a^{12} + 29 a^{10} + 10 a^{9} + 17 a^{8} + 24 a^{7} + 19 a^{6} + 4 a^{5} + 9 a^{4} + 28 a^{3} + 13 a^{2} + 29 a + 25\right)\cdot 31^{2} + \left(30 a^{14} + 7 a^{13} + 7 a^{12} + 20 a^{11} + 9 a^{10} + 15 a^{9} + 18 a^{8} + 4 a^{7} + 8 a^{6} + 26 a^{5} + 12 a^{4} + 11 a^{3} + 3 a^{2} + 25 a + 18\right)\cdot 31^{3} + \left(8 a^{14} + 19 a^{13} + 19 a^{12} + 9 a^{11} + 23 a^{10} + 28 a^{9} + 17 a^{8} + 9 a^{7} + 30 a^{6} + 6 a^{5} + 26 a^{4} + 16 a^{3} + 9 a^{2} + 12 a + 29\right)\cdot 31^{4} + \left(3 a^{14} + 21 a^{13} + 19 a^{12} + 12 a^{11} + 22 a^{10} + 23 a^{9} + 28 a^{8} + 23 a^{7} + 9 a^{6} + 25 a^{5} + a^{4} + 8 a^{3} + 17 a^{2} + 26 a + 18\right)\cdot 31^{5} + \left(12 a^{13} + 20 a^{12} + 16 a^{11} + 5 a^{10} + 20 a^{9} + 9 a^{8} + 22 a^{6} + 11 a^{5} + 24 a^{4} + 8 a^{3} + 15 a^{2} + 13 a + 6\right)\cdot 31^{6} + \left(2 a^{14} + 13 a^{13} + 3 a^{12} + 16 a^{11} + 30 a^{10} + 10 a^{9} + 10 a^{8} + 13 a^{7} + 7 a^{6} + 6 a^{5} + 22 a^{4} + 11 a^{3} + 19 a^{2} + a + 21\right)\cdot 31^{7} + \left(16 a^{14} + 14 a^{13} + 27 a^{12} + 12 a^{11} + 16 a^{10} + 13 a^{9} + 14 a^{8} + 10 a^{7} + 2 a^{6} + 17 a^{5} + 25 a^{4} + 13 a^{3} + 10 a^{2} + 4 a + 23\right)\cdot 31^{8} + \left(a^{14} + a^{13} + 27 a^{12} + 7 a^{11} + 12 a^{10} + 12 a^{9} + 26 a^{8} + 13 a^{7} + 25 a^{6} + 19 a^{5} + 5 a^{4} + 14 a^{3} + 20 a^{2} + 17 a + 6\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\)
|
| $r_{ 23 }$ | $=$ |
\( 3 a^{14} + 8 a^{13} + 5 a^{12} + 13 a^{11} + 14 a^{10} + 2 a^{9} + 13 a^{8} + 20 a^{7} + 18 a^{6} + a^{5} + 24 a^{4} + 28 a^{2} + 7 a + 24 + \left(30 a^{14} + 16 a^{13} + 17 a^{12} + 8 a^{11} + 23 a^{10} + 9 a^{9} + 27 a^{8} + 13 a^{7} + 10 a^{6} + 14 a^{5} + 4 a^{4} + 8 a^{3} + 20 a^{2} + 20 a + 24\right)\cdot 31 + \left(23 a^{14} + 12 a^{13} + 15 a^{12} + 14 a^{11} + 25 a^{10} + 18 a^{9} + 27 a^{8} + 24 a^{7} + 29 a^{6} + 7 a^{5} + 5 a^{4} + 8 a^{3} + a^{2} + 25 a + 4\right)\cdot 31^{2} + \left(3 a^{13} + 23 a^{12} + 12 a^{11} + 9 a^{10} + 29 a^{9} + 19 a^{8} + 21 a^{7} + 24 a^{6} + 21 a^{5} + 2 a^{4} + a^{3} + 3 a^{2} + 14 a + 28\right)\cdot 31^{3} + \left(3 a^{14} + 19 a^{13} + 12 a^{12} + 4 a^{11} + 19 a^{10} + 20 a^{9} + 29 a^{8} + 28 a^{7} + 11 a^{6} + 17 a^{5} + 25 a^{4} + 25 a^{3} + 27 a^{2} + 18 a + 27\right)\cdot 31^{4} + \left(9 a^{14} + 21 a^{13} + 26 a^{12} + 15 a^{11} + 30 a^{10} + 6 a^{9} + 19 a^{8} + 24 a^{7} + 5 a^{6} + 8 a^{5} + 22 a^{4} + 2 a^{3} + 28 a^{2} + a + 4\right)\cdot 31^{5} + \left(28 a^{14} + 11 a^{13} + 4 a^{12} + 9 a^{11} + 3 a^{10} + 19 a^{9} + 30 a^{8} + 13 a^{7} + 25 a^{6} + 22 a^{5} + 4 a^{4} + 20 a^{3} + 13 a^{2} + 28 a\right)\cdot 31^{6} + \left(21 a^{14} + 23 a^{13} + 12 a^{12} + 29 a^{11} + 11 a^{10} + 29 a^{9} + 25 a^{8} + 23 a^{7} + 20 a^{6} + 25 a^{5} + 30 a^{4} + 20 a^{3} + a^{2} + 23 a + 25\right)\cdot 31^{7} + \left(27 a^{14} + 12 a^{13} + a^{12} + 26 a^{11} + a^{10} + 26 a^{9} + 23 a^{8} + 6 a^{7} + 21 a^{6} + 29 a^{5} + 17 a^{4} + 27 a^{3} + 28 a^{2} + 12 a + 18\right)\cdot 31^{8} + \left(28 a^{14} + 13 a^{13} + 21 a^{12} + 28 a^{11} + 6 a^{10} + 8 a^{9} + 4 a^{8} + 16 a^{7} + 26 a^{6} + 5 a^{5} + 9 a^{4} + 6 a^{3} + 17 a^{2} + 26 a + 3\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\)
|
| $r_{ 24 }$ | $=$ |
\( 22 a^{14} + 11 a^{13} + 18 a^{12} + 19 a^{11} + 29 a^{10} + 28 a^{9} + 23 a^{8} + 15 a^{7} + 26 a^{6} + a^{5} + 12 a^{4} + 18 a^{3} + 8 a^{2} + 19 a + 26 + \left(26 a^{14} + 2 a^{13} + 12 a^{12} + 16 a^{11} + 25 a^{10} + 24 a^{9} + 20 a^{8} + 19 a^{7} + 23 a^{6} + 5 a^{5} + 26 a^{4} + 27 a^{3} + 4 a^{2} + 6 a + 24\right)\cdot 31 + \left(22 a^{14} + 5 a^{13} + 5 a^{12} + 10 a^{11} + 9 a^{10} + 14 a^{9} + 5 a^{8} + 8 a^{7} + 24 a^{6} + 27 a^{5} + 20 a^{4} + 3 a^{3} + 9 a^{2} + 26 a + 23\right)\cdot 31^{2} + \left(30 a^{14} + 21 a^{13} + 29 a^{12} + 16 a^{11} + 20 a^{10} + 8 a^{8} + 9 a^{7} + 9 a^{6} + 6 a^{5} + 25 a^{4} + 29 a^{3} + 15 a^{2} + 11 a + 9\right)\cdot 31^{3} + \left(24 a^{14} + a^{13} + 23 a^{12} + 27 a^{11} + 25 a^{10} + 8 a^{9} + 13 a^{8} + 26 a^{7} + 21 a^{6} + 20 a^{5} + 10 a^{4} + 22 a^{3} + 24 a^{2} + 2 a + 8\right)\cdot 31^{4} + \left(26 a^{14} + 14 a^{13} + 21 a^{12} + 23 a^{11} + 27 a^{10} + 7 a^{9} + 8 a^{8} + 17 a^{7} + 7 a^{6} + 12 a^{5} + 27 a^{4} + 30 a^{3} + 5 a^{2} + 16\right)\cdot 31^{5} + \left(24 a^{14} + 19 a^{13} + 22 a^{12} + 18 a^{11} + 14 a^{10} + 11 a^{9} + 11 a^{8} + 21 a^{7} + 5 a^{5} + 20 a^{4} + 28 a^{3} + 19 a^{2} + 3 a + 21\right)\cdot 31^{6} + \left(23 a^{14} + 9 a^{13} + 14 a^{12} + 9 a^{11} + 17 a^{10} + 22 a^{9} + 14 a^{8} + 11 a^{7} + a^{6} + 5 a^{5} + 15 a^{4} + 22 a^{3} + a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 31^{7} + \left(9 a^{14} + 24 a^{13} + 30 a^{12} + a^{11} + 13 a^{9} + 6 a^{8} + 4 a^{7} + 7 a^{6} + 19 a^{5} + 5 a^{4} + 3 a^{3} + 14 a^{2} + 11 a + 9\right)\cdot 31^{8} + \left(2 a^{14} + 22 a^{13} + 19 a^{12} + 19 a^{11} + 10 a^{10} + 18 a^{9} + 12 a^{8} + 2 a^{6} + 12 a^{5} + 15 a^{4} + 25 a^{3} + 25 a^{2} + 23 a + 19\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\)
|
| $r_{ 25 }$ | $=$ |
\( 11 a^{14} + 14 a^{13} + 20 a^{12} + 27 a^{11} + 8 a^{10} + 3 a^{9} + 11 a^{8} + 6 a^{7} + 3 a^{6} + 6 a^{5} + 4 a^{4} + 2 a^{3} + 4 a^{2} + 3 a + 15 + \left(28 a^{14} + 25 a^{13} + a^{12} + 26 a^{11} + 25 a^{10} + 21 a^{9} + 27 a^{8} + 13 a^{7} + 30 a^{6} + 11 a^{5} + 25 a^{4} + 12 a^{3} + 19 a^{2} + 14 a + 13\right)\cdot 31 + \left(12 a^{14} + 25 a^{13} + 28 a^{12} + 24 a^{11} + 13 a^{10} + 16 a^{9} + 28 a^{8} + 26 a^{7} + 30 a^{6} + a^{5} + 23 a^{4} + 4 a^{3} + 21 a^{2} + 20 a + 22\right)\cdot 31^{2} + \left(9 a^{14} + 13 a^{12} + 9 a^{11} + 28 a^{10} + 26 a^{9} + 22 a^{8} + 26 a^{7} + 8 a^{6} + 15 a^{5} + 26 a^{4} + 19 a^{3} + 20 a^{2} + 22 a + 6\right)\cdot 31^{3} + \left(25 a^{14} + 4 a^{13} + 30 a^{12} + 18 a^{11} + 13 a^{10} + 11 a^{9} + 29 a^{8} + 27 a^{7} + 28 a^{6} + 30 a^{5} + 30 a^{4} + 8 a^{3} + 24 a + 17\right)\cdot 31^{4} + \left(4 a^{14} + 24 a^{13} + 15 a^{12} + 17 a^{10} + 16 a^{9} + 15 a^{8} + 18 a^{7} + 28 a^{6} + 27 a^{5} + 8 a^{4} + 30 a^{3} + a^{2} + 6 a + 28\right)\cdot 31^{5} + \left(23 a^{14} + 29 a^{13} + 6 a^{12} + 10 a^{11} + 27 a^{10} + 16 a^{9} + 18 a^{8} + 3 a^{7} + 23 a^{6} + 29 a^{5} + 10 a^{4} + 23 a^{3} + 26 a^{2} + a + 23\right)\cdot 31^{6} + \left(20 a^{14} + 29 a^{13} + a^{12} + 6 a^{11} + 18 a^{10} + 6 a^{9} + 23 a^{8} + 17 a^{7} + 5 a^{6} + 23 a^{5} + 24 a^{4} + 25 a^{3} + 11 a^{2} + 17 a + 13\right)\cdot 31^{7} + \left(12 a^{14} + 10 a^{13} + 8 a^{12} + 17 a^{11} + 29 a^{10} + 3 a^{8} + 26 a^{7} + 28 a^{6} + 10 a^{5} + 13 a^{4} + 16 a^{3} + 16 a^{2} + 18 a + 25\right)\cdot 31^{8} + \left(11 a^{14} + 17 a^{13} + 25 a^{12} + 12 a^{11} + 9 a^{10} + 5 a^{9} + 25 a^{8} + 17 a^{7} + 11 a^{6} + 11 a^{5} + 24 a^{4} + 29 a^{3} + 19 a^{2} + 24 a + 28\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\)
|
| $r_{ 26 }$ | $=$ |
\( 29 a^{14} + 2 a^{13} + 2 a^{12} + 27 a^{11} + 11 a^{10} + 20 a^{9} + 10 a^{8} + 2 a^{7} + 9 a^{6} + 26 a^{5} + 17 a^{4} + 17 a^{3} + 28 a^{2} + 13 a + 30 + \left(14 a^{13} + 3 a^{12} + 6 a^{11} + 8 a^{10} + 20 a^{9} + 14 a^{8} + 21 a^{7} + 4 a^{6} + 27 a^{5} + 7 a^{4} + 3 a^{3} + a^{2} + 25 a + 17\right)\cdot 31 + \left(8 a^{14} + 22 a^{13} + 25 a^{12} + 12 a^{11} + 9 a^{10} + 28 a^{9} + 5 a^{8} + 19 a^{7} + 3 a^{6} + 21 a^{5} + 26 a^{4} + 14 a^{3} + 28 a^{2} + 13 a + 15\right)\cdot 31^{2} + \left(12 a^{14} + 24 a^{12} + 17 a^{11} + 8 a^{10} + 6 a^{9} + 15 a^{8} + 27 a^{7} + 14 a^{6} + 29 a^{5} + 18 a^{4} + 23 a^{3} + 16 a^{2} + 9 a + 27\right)\cdot 31^{3} + \left(4 a^{14} + 2 a^{13} + 2 a^{12} + 29 a^{11} + 21 a^{10} + 23 a^{9} + 4 a^{8} + 18 a^{7} + 14 a^{6} + 27 a^{5} + 21 a^{4} + 4 a^{3} + 27 a^{2} + 9 a + 14\right)\cdot 31^{4} + \left(18 a^{14} + 10 a^{13} + 16 a^{12} + 7 a^{11} + 16 a^{10} + 13 a^{9} + 17 a^{8} + 11 a^{7} + 30 a^{6} + 10 a^{5} + 19 a^{4} + 10 a^{3} + 14 a^{2} + 15 a + 30\right)\cdot 31^{5} + \left(25 a^{14} + 5 a^{13} + 10 a^{12} + 22 a^{11} + 25 a^{10} + 21 a^{9} + 27 a^{8} + 16 a^{7} + 12 a^{6} + 16 a^{5} + 26 a^{4} + 25 a^{3} + 4 a^{2} + 27 a + 3\right)\cdot 31^{6} + \left(30 a^{14} + 3 a^{13} + 20 a^{12} + 4 a^{11} + 13 a^{10} + 2 a^{9} + 28 a^{8} + 9 a^{7} + 8 a^{6} + 10 a^{5} + 6 a^{4} + 24 a^{3} + 8 a^{2} + a + 4\right)\cdot 31^{7} + \left(3 a^{14} + 7 a^{13} + 25 a^{12} + 20 a^{11} + 18 a^{10} + 9 a^{9} + 11 a^{7} + 26 a^{6} + 12 a^{5} + 15 a^{4} + 23 a^{3} + 17 a^{2} + 21 a + 19\right)\cdot 31^{8} + \left(25 a^{14} + 20 a^{13} + 22 a^{12} + 4 a^{11} + 16 a^{10} + 19 a^{9} + 17 a^{8} + 15 a^{7} + 5 a^{6} + 8 a^{5} + 23 a^{4} + 22 a^{3} + 6 a^{2} + 16 a + 29\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\)
|
| $r_{ 27 }$ | $=$ |
\( 16 a^{14} + 10 a^{13} + 14 a^{12} + 28 a^{11} + 9 a^{10} + 18 a^{9} + 15 a^{8} + 10 a^{7} + 15 a^{6} + 29 a^{5} + 22 a^{4} + 18 a^{3} + 18 a^{2} + 20 a + 19 + \left(23 a^{14} + 18 a^{13} + 5 a^{12} + 8 a^{11} + 8 a^{10} + 7 a^{9} + 8 a^{8} + 6 a^{7} + 13 a^{6} + 29 a^{5} + 13 a^{4} + 25 a^{3} + 2 a^{2} + 16 a + 29\right)\cdot 31 + \left(17 a^{14} + 30 a^{13} + 3 a^{12} + 30 a^{11} + 30 a^{10} + 13 a^{9} + a^{8} + 25 a^{7} + 25 a^{6} + 30 a^{5} + 5 a^{4} + 17 a^{3} + 14 a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 31^{2} + \left(25 a^{14} + 25 a^{13} + 9 a^{12} + 14 a^{11} + 16 a^{10} + 22 a^{9} + 25 a^{8} + 22 a^{7} + 21 a^{6} + 23 a^{5} + 18 a^{4} + 20 a^{3} + 30 a^{2} + 14 a\right)\cdot 31^{3} + \left(9 a^{14} + 14 a^{13} + 14 a^{12} + 28 a^{11} + 10 a^{10} + 11 a^{9} + 27 a^{8} + 19 a^{7} + 8 a^{6} + 23 a^{5} + 24 a^{4} + 9 a^{3} + 22 a^{2} + 15 a + 21\right)\cdot 31^{4} + \left(29 a^{14} + a^{13} + 11 a^{12} + 18 a^{11} + 2 a^{10} + 28 a^{9} + 28 a^{8} + 11 a^{7} + 7 a^{6} + 23 a^{5} + 27 a^{4} + 10 a^{3} + 20 a^{2} + a + 27\right)\cdot 31^{5} + \left(6 a^{14} + 20 a^{13} + 8 a^{12} + 2 a^{11} + 20 a^{10} + 5 a^{9} + a^{8} + 25 a^{7} + 10 a^{6} + 6 a^{5} + 8 a^{4} + 12 a^{3} + 13 a^{2} + 13 a + 26\right)\cdot 31^{6} + \left(20 a^{14} + 25 a^{13} + 3 a^{12} + 10 a^{11} + 13 a^{10} + 18 a^{9} + 23 a^{8} + 7 a^{7} + a^{6} + 27 a^{5} + 13 a^{4} + 5 a^{3} + 27 a^{2} + 14 a + 24\right)\cdot 31^{7} + \left(23 a^{14} + 25 a^{13} + 8 a^{12} + 4 a^{11} + 5 a^{10} + 27 a^{9} + 25 a^{8} + 20 a^{7} + 28 a^{6} + 19 a^{5} + 20 a^{3} + 7 a^{2} + 7 a + 25\right)\cdot 31^{8} + \left(18 a^{14} + 8 a^{13} + 28 a^{12} + 4 a^{11} + 16 a^{10} + 15 a^{9} + 27 a^{8} + 10 a^{7} + 24 a^{6} + 4 a^{5} + 30 a^{4} + 24 a^{3} + 26 a^{2} + a + 22\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\)
|
| $r_{ 28 }$ | $=$ |
\( 8 a^{14} + 15 a^{13} + 8 a^{12} + 21 a^{11} + 13 a^{10} + 23 a^{9} + 22 a^{8} + 24 a^{7} + 15 a^{6} + 15 a^{5} + 18 a^{4} + 7 a^{3} + 13 a^{2} + 7 a + 27 + \left(11 a^{14} + 28 a^{13} + 17 a^{12} + 20 a^{11} + 25 a^{10} + 26 a^{9} + 16 a^{8} + 3 a^{7} + 13 a^{6} + 29 a^{5} + 20 a^{4} + 5 a^{3} + 12 a^{2} + 29 a + 19\right)\cdot 31 + \left(29 a^{14} + 20 a^{13} + 5 a^{11} + 11 a^{10} + 8 a^{9} + 14 a^{8} + 6 a^{7} + 5 a^{6} + 17 a^{5} + 2 a^{4} + 11 a^{2} + 13 a + 25\right)\cdot 31^{2} + \left(13 a^{14} + 15 a^{13} + 2 a^{12} + 20 a^{11} + 22 a^{10} + 13 a^{9} + 18 a^{8} + 8 a^{7} + 17 a^{6} + 12 a^{5} + 29 a^{4} + 30 a^{3} + 30 a^{2} + 10 a + 7\right)\cdot 31^{3} + \left(12 a^{13} + 13 a^{12} + 24 a^{11} + 25 a^{10} + 16 a^{9} + 9 a^{8} + 25 a^{7} + 23 a^{6} + 12 a^{5} + 4 a^{4} + 26 a^{3} + 17 a^{2} + 3 a + 23\right)\cdot 31^{4} + \left(16 a^{14} + 4 a^{13} + 7 a^{12} + 14 a^{11} + 3 a^{10} + 8 a^{9} + 15 a^{8} + 18 a^{6} + 4 a^{5} + 10 a^{4} + 23 a^{3} + 28 a^{2} + 28 a + 17\right)\cdot 31^{5} + \left(19 a^{14} + 6 a^{13} + 30 a^{12} + 10 a^{11} + 8 a^{10} + 16 a^{9} + 23 a^{8} + 8 a^{7} + 8 a^{6} + 17 a^{5} + 17 a^{4} + 14 a^{3} + 15 a^{2} + 4 a + 30\right)\cdot 31^{6} + \left(5 a^{14} + 21 a^{13} + 20 a^{12} + 20 a^{11} + 21 a^{10} + 14 a^{9} + 11 a^{8} + 22 a^{7} + 28 a^{6} + 22 a^{5} + 23 a^{4} + 8 a^{3} + 29 a^{2} + 15 a + 4\right)\cdot 31^{7} + \left(21 a^{14} + 12 a^{13} + 16 a^{12} + 30 a^{11} + 11 a^{10} + 16 a^{9} + 2 a^{8} + 6 a^{7} + 26 a^{6} + 24 a^{5} + 28 a^{4} + 11 a^{3} + 21 a^{2} + 17 a + 26\right)\cdot 31^{8} + \left(a^{14} + 6 a^{13} + 2 a^{12} + 30 a^{11} + 27 a^{10} + a^{9} + 28 a^{8} + 9 a^{7} + 24 a^{6} + 19 a^{5} + 18 a^{4} + 7 a^{3} + 25 a^{2} + 5 a + 29\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\)
|
| $r_{ 29 }$ | $=$ |
\( 13 a^{14} + 12 a^{13} + 25 a^{12} + a^{11} + 18 a^{10} + 25 a^{9} + 27 a^{8} + 29 a^{7} + 4 a^{6} + 29 a^{5} + 15 a^{4} + 30 a^{3} + 19 a^{2} + 19 a + 21 + \left(25 a^{14} + a^{13} + a^{12} + 6 a^{11} + 24 a^{10} + 9 a^{9} + 27 a^{8} + 24 a^{7} + 21 a^{6} + 23 a^{5} + 2 a^{4} + 6 a^{3} + 21 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 31 + \left(21 a^{14} + 2 a^{13} + 8 a^{12} + 30 a^{11} + 8 a^{10} + 28 a^{9} + 5 a^{8} + 17 a^{7} + 26 a^{6} + 29 a^{5} + 22 a^{4} + 16 a^{3} + 8 a^{2} + 21 a + 9\right)\cdot 31^{2} + \left(12 a^{14} + 12 a^{13} + 4 a^{12} + 27 a^{11} + 3 a^{10} + 7 a^{9} + a^{8} + 25 a^{7} + 25 a^{6} + 27 a^{5} + a^{4} + 18 a^{3} + 9 a^{2} + 28 a + 12\right)\cdot 31^{3} + \left(8 a^{14} + 25 a^{13} + 15 a^{12} + 14 a^{11} + 9 a^{10} + 21 a^{9} + 19 a^{8} + 24 a^{7} + 16 a^{6} + 26 a^{5} + 23 a^{4} + 16 a^{3} + 6 a^{2} + 18 a + 18\right)\cdot 31^{4} + \left(30 a^{14} + 7 a^{13} + 28 a^{11} + 25 a^{10} + 2 a^{9} + a^{8} + 17 a^{7} + 30 a^{6} + 14 a^{5} + 21 a^{4} + 20 a^{3} + 30 a^{2} + 14 a + 1\right)\cdot 31^{5} + \left(23 a^{14} + 20 a^{13} + 7 a^{12} + a^{11} + 9 a^{10} + 13 a^{8} + 24 a^{6} + 30 a^{5} + 15 a^{4} + 13 a^{3} + 2 a^{2} + 21 a + 16\right)\cdot 31^{6} + \left(7 a^{14} + 12 a^{13} + 25 a^{12} + 24 a^{11} + 18 a^{10} + 22 a^{9} + 3 a^{7} + 14 a^{6} + 12 a^{5} + 6 a^{4} + 22 a^{3} + 4 a^{2} + 5 a + 14\right)\cdot 31^{7} + \left(26 a^{14} + 19 a^{12} + 14 a^{11} + a^{10} + 7 a^{9} + 2 a^{8} + a^{7} + 24 a^{6} + 23 a^{5} + 10 a^{4} + 18 a^{3} + 2 a^{2} + 16 a + 18\right)\cdot 31^{8} + \left(5 a^{14} + 20 a^{13} + 11 a^{12} + 28 a^{11} + 3 a^{10} + 29 a^{9} + 14 a^{8} + 3 a^{7} + 9 a^{6} + 25 a^{5} + 12 a^{4} + 19 a^{3} + 8 a^{2} + 17 a + 11\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\)
|
| $r_{ 30 }$ | $=$ |
\( 11 a^{14} + 2 a^{13} + 6 a^{12} + 23 a^{11} + 27 a^{10} + 18 a^{9} + 14 a^{8} + 23 a^{7} + 20 a^{6} + 25 a^{5} + 29 a^{4} + 8 a^{3} + 4 a^{2} + 20 a + 5 + \left(28 a^{14} + 4 a^{13} + a^{12} + 24 a^{11} + 18 a^{10} + 14 a^{9} + 18 a^{8} + 19 a^{7} + 28 a^{6} + 28 a^{5} + 13 a^{4} + 15 a^{3} + 24 a^{2} + 15 a + 11\right)\cdot 31 + \left(10 a^{14} + 26 a^{13} + 12 a^{12} + 21 a^{11} + 2 a^{10} + 15 a^{9} + 24 a^{8} + 27 a^{7} + 25 a^{6} + 8 a^{5} + 2 a^{4} + 4 a^{3} + 13 a^{2} + 9 a + 27\right)\cdot 31^{2} + \left(30 a^{14} + 3 a^{13} + 29 a^{12} + 7 a^{11} + 12 a^{10} + 27 a^{9} + 23 a^{8} + 6 a^{7} + 2 a^{6} + 20 a^{5} + 11 a^{4} + 12 a^{3} + 8 a^{2} + 13 a + 30\right)\cdot 31^{3} + \left(20 a^{14} + 30 a^{13} + 19 a^{12} + 18 a^{10} + 28 a^{9} + 28 a^{8} + 26 a^{7} + 8 a^{6} + 15 a^{5} + 30 a^{4} + 10 a^{3} + 27 a^{2} + 17 a + 23\right)\cdot 31^{4} + \left(18 a^{14} + 8 a^{13} + 11 a^{12} + 21 a^{11} + 15 a^{9} + 3 a^{8} + 21 a^{6} + 5 a^{5} + 24 a^{4} + 11 a^{3} + 16 a^{2} + 8 a + 17\right)\cdot 31^{5} + \left(27 a^{14} + 6 a^{13} + 8 a^{12} + 19 a^{11} + 29 a^{10} + 29 a^{9} + 10 a^{8} + 27 a^{7} + 23 a^{5} + 9 a^{4} + 11 a^{3} + 23 a^{2} + a + 21\right)\cdot 31^{6} + \left(23 a^{14} + 2 a^{13} + 5 a^{12} + 5 a^{11} + 26 a^{10} + 13 a^{9} + 20 a^{8} + 8 a^{7} + 7 a^{6} + 8 a^{5} + 23 a^{4} + 10 a^{3} + 30 a^{2} + a + 1\right)\cdot 31^{7} + \left(10 a^{14} + 30 a^{12} + 11 a^{11} + 2 a^{10} + 14 a^{9} + 29 a^{8} + 26 a^{7} + 11 a^{6} + 29 a^{5} + 12 a^{4} + 28 a^{3} + 11 a^{2} + 13 a + 9\right)\cdot 31^{8} + \left(25 a^{14} + 28 a^{13} + 10 a^{12} + 13 a^{11} + 28 a^{10} + 17 a^{9} + 23 a^{8} + 14 a^{7} + 19 a^{6} + 10 a^{5} + 2 a^{4} + 3 a^{3} + 20 a^{2} + 9 a + 24\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\)
|
Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 30 }$
| Cycle notation |
Character values on conjugacy classes
| Size | Order | Action on $r_1, \ldots, r_{ 30 }$ | Character value |
| $1$ | $1$ | $()$ | $2$ |
| $1$ | $2$ | $(1,24)(2,9)(3,12)(4,25)(5,27)(6,28)(7,29)(8,30)(10,17)(11,18)(13,20)(14,21)(15,22)(16,23)(19,26)$ | $-2$ |
| $15$ | $2$ | $(1,5)(2,3)(4,26)(6,20)(7,17)(8,21)(9,12)(10,29)(11,15)(13,28)(14,30)(18,22)(19,25)(24,27)$ | $0$ |
| $15$ | $2$ | $(1,27)(2,12)(3,9)(4,19)(5,24)(6,13)(7,10)(8,14)(11,22)(15,18)(16,23)(17,29)(20,28)(21,30)(25,26)$ | $0$ |
| $2$ | $3$ | $(1,17,22)(2,19,14)(3,30,25)(4,12,8)(5,18,7)(6,23,20)(9,26,21)(10,15,24)(11,29,27)(13,28,16)$ | $-1$ |
| $2$ | $5$ | $(1,8,6,9,18)(2,11,24,30,28)(3,13,14,27,15)(4,23,26,7,17)(5,22,12,20,21)(10,25,16,19,29)$ | $\zeta_{15}^{7} - \zeta_{15}^{3} + \zeta_{15}^{2} - 1$ |
| $2$ | $5$ | $(1,6,18,8,9)(2,24,28,11,30)(3,14,15,13,27)(4,26,17,23,7)(5,12,21,22,20)(10,16,29,25,19)$ | $-\zeta_{15}^{7} + \zeta_{15}^{3} - \zeta_{15}^{2}$ |
| $2$ | $6$ | $(1,10,22,24,17,15)(2,26,14,9,19,21)(3,8,25,12,30,4)(5,11,7,27,18,29)(6,16,20,28,23,13)$ | $1$ |
| $2$ | $10$ | $(1,30,6,2,18,24,8,28,9,11)(3,20,14,5,15,12,13,21,27,22)(4,16,26,29,17,25,23,19,7,10)$ | $-\zeta_{15}^{7} + \zeta_{15}^{3} - \zeta_{15}^{2} + 1$ |
| $2$ | $10$ | $(1,2,8,11,6,24,9,30,18,28)(3,5,13,22,14,12,27,20,15,21)(4,29,23,10,26,25,7,16,17,19)$ | $\zeta_{15}^{7} - \zeta_{15}^{3} + \zeta_{15}^{2}$ |
| $2$ | $15$ | $(1,4,20,9,7,22,8,23,21,18,17,12,6,26,5)(2,29,15,30,16,14,11,10,3,28,19,27,24,25,13)$ | $-\zeta_{15}^{7} + \zeta_{15}^{6} - \zeta_{15}^{4} + \zeta_{15}^{3} - \zeta_{15}^{2} + \zeta_{15} + 1$ |
| $2$ | $15$ | $(1,20,7,8,21,17,6,5,4,9,22,23,18,12,26)(2,15,16,11,3,19,24,13,29,30,14,10,28,27,25)$ | $-\zeta_{15}^{7} + \zeta_{15}^{5} - \zeta_{15}^{4} + \zeta_{15}^{2} - \zeta_{15} + 1$ |
| $2$ | $15$ | $(1,7,21,6,4,22,18,26,20,8,17,5,9,23,12)(2,16,3,24,29,14,28,25,15,11,19,13,30,10,27)$ | $-\zeta_{15}^{6} + \zeta_{15}^{4} - \zeta_{15}$ |
| $2$ | $15$ | $(1,23,5,8,26,22,6,7,12,9,17,20,18,4,21)(2,10,13,11,25,14,24,16,27,30,19,15,28,29,3)$ | $2 \zeta_{15}^{7} - \zeta_{15}^{5} + \zeta_{15}^{4} - \zeta_{15}^{3} + \zeta_{15} - 1$ |
| $2$ | $30$ | $(1,25,20,2,7,15,8,16,21,11,17,3,6,19,5,24,4,13,9,29,22,30,23,14,18,10,12,28,26,27)$ | $\zeta_{15}^{7} - \zeta_{15}^{6} + \zeta_{15}^{4} - \zeta_{15}^{3} + \zeta_{15}^{2} - \zeta_{15} - 1$ |
| $2$ | $30$ | $(1,16,5,30,26,15,6,29,12,2,17,13,18,25,21,24,23,27,8,19,22,28,7,3,9,10,20,11,4,14)$ | $-2 \zeta_{15}^{7} + \zeta_{15}^{5} - \zeta_{15}^{4} + \zeta_{15}^{3} - \zeta_{15} + 1$ |
| $2$ | $30$ | $(1,3,23,2,5,10,8,13,26,11,22,25,6,14,7,24,12,16,9,27,17,30,20,19,18,15,4,28,21,29)$ | $\zeta_{15}^{6} - \zeta_{15}^{4} + \zeta_{15}$ |
| $2$ | $30$ | $(1,19,12,11,23,15,9,25,5,28,17,14,8,29,20,24,26,3,18,16,22,2,4,27,6,10,21,30,7,13)$ | $\zeta_{15}^{7} - \zeta_{15}^{5} + \zeta_{15}^{4} - \zeta_{15}^{2} + \zeta_{15} - 1$ |
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.