LMFDB - Artin representation 2.551.13t2.a.f

Basic invariants

Dimension:	$2$
Group:	$D_{13}$
Conductor:	$551$$\medspace = 19 \cdot 29 $
Frobenius-Schur indicator:	$1$
Root number:	$1$
Artin stem field:	Galois closure of 13.1.27983987175790801.1
Galois orbit size:	$6$
Smallest permutation container:	$D_{13}$
Parity:	odd
Determinant:	1.551.2t1.a.a
Projective image:	$D_{13}$
Projective stem field:	Galois closure of 13.1.27983987175790801.1

Defining polynomial

$f(x)$

$=$

$ x^{13} - 4 x^{12} + 5 x^{11} - 2 x^{10} - 3 x^{9} - 3 x^{8} + 21 x^{7} + 3 x^{6} - 15 x^{5} - 15 x^{4} + \cdots + 1 $

The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 23 }$ to precision 5.

Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 23 }$: $ x^{13} + 9x + 18 $ x^13 + 9*x + 18

Roots:

$r_{ 1 }$	$=$	$ 22 a^{11} + a^{9} + 21 a^{8} + 20 a^{7} + 17 a^{6} + 19 a^{5} + 14 a^{4} + a^{3} + 7 a^{2} + 2 a + 18 + \left(4 a^{12} + 14 a^{11} + 18 a^{10} + 15 a^{9} + 7 a^{8} + 3 a^{7} + 3 a^{6} + 12 a^{5} + 16 a^{3} + 11 a^{2} + 14 a + 13\right)\cdot 23 + \left(21 a^{12} + 15 a^{11} + 20 a^{10} + 7 a^{8} + 8 a^{7} + 18 a^{6} + 17 a^{5} + 8 a^{4} + 9 a^{3} + 16 a^{2} + 17 a + 9\right)\cdot 23^{2} + \left(10 a^{12} + 3 a^{11} + 14 a^{9} + 2 a^{8} + 5 a^{7} + 22 a^{6} + 4 a^{5} + 14 a^{4} + 8 a^{3} + 2 a^{2} + 10 a + 16\right)\cdot 23^{3} + \left(22 a^{12} + 6 a^{11} + 2 a^{10} + 6 a^{9} + 18 a^{8} + 17 a^{7} + 11 a^{6} + 13 a^{5} + 10 a^{4} + 22 a^{3} + 11 a^{2} + 8 a + 2\right)\cdot 23^{4} +O(23^{5})$ 22a^11 + a^9 + 21a^8 + 20a^7 + 17a^6 + 19a^5 + 14a^4 + a^3 + 7a^2 + 2a + 18 + (4a^12 + 14a^11 + 18a^10 + 15a^9 + 7a^8 + 3a^7 + 3a^6 + 12a^5 + 16a^3 + 11a^2 + 14a + 13)23 + (21a^12 + 15a^11 + 20a^10 + 7a^8 + 8a^7 + 18a^6 + 17a^5 + 8a^4 + 9a^3 + 16a^2 + 17a + 9)23^2 + (10a^12 + 3a^11 + 14a^9 + 2a^8 + 5a^7 + 22a^6 + 4a^5 + 14a^4 + 8a^3 + 2a^2 + 10a + 16)23^3 + (22a^12 + 6a^11 + 2a^10 + 6a^9 + 18a^8 + 17a^7 + 11a^6 + 13a^5 + 10a^4 + 22a^3 + 11a^2 + 8a + 2)*23^4+O(23^5)
$r_{ 2 }$	$=$	$ a^{12} + 13 a^{11} + 16 a^{10} + 10 a^{9} + 8 a^{8} + 15 a^{7} + 21 a^{6} + 12 a^{4} + 13 a^{3} + 17 a^{2} + 2 a + 21 + \left(4 a^{12} + a^{11} + 2 a^{10} + 18 a^{9} + 3 a^{8} + 22 a^{6} + 7 a^{5} + 21 a^{4} + 21 a^{3} + 5 a^{2} + 9 a + 15\right)\cdot 23 + \left(7 a^{12} + 14 a^{11} + a^{10} + 9 a^{9} + 21 a^{8} + 16 a^{7} + 21 a^{6} + 5 a^{5} + a^{4} + 20 a^{3} + 6 a^{2} + 20 a + 20\right)\cdot 23^{2} + \left(20 a^{12} + 12 a^{11} + 11 a^{10} + 20 a^{9} + 6 a^{7} + 12 a^{6} + 17 a^{5} + 14 a^{4} + 20 a^{3} + 22 a^{2} + 12 a + 21\right)\cdot 23^{3} + \left(4 a^{12} + 21 a^{11} + 19 a^{10} + 6 a^{9} + 9 a^{8} + 2 a^{7} + a^{6} + 3 a^{5} + 13 a^{4} + 11 a^{3} + 10 a^{2} + 18 a + 6\right)\cdot 23^{4} +O(23^{5})$ a^12 + 13a^11 + 16a^10 + 10a^9 + 8a^8 + 15a^7 + 21a^6 + 12a^4 + 13a^3 + 17a^2 + 2a + 21 + (4a^12 + a^11 + 2a^10 + 18a^9 + 3a^8 + 22a^6 + 7a^5 + 21a^4 + 21a^3 + 5a^2 + 9a + 15)23 + (7a^12 + 14a^11 + a^10 + 9a^9 + 21a^8 + 16a^7 + 21a^6 + 5a^5 + a^4 + 20a^3 + 6a^2 + 20a + 20)23^2 + (20a^12 + 12a^11 + 11a^10 + 20a^9 + 6a^7 + 12a^6 + 17a^5 + 14a^4 + 20a^3 + 22a^2 + 12a + 21)23^3 + (4a^12 + 21a^11 + 19a^10 + 6a^9 + 9a^8 + 2a^7 + a^6 + 3a^5 + 13a^4 + 11a^3 + 10a^2 + 18a + 6)23^4+O(23^5)
$r_{ 3 }$	$=$	$ 2 a^{12} + 11 a^{11} + 6 a^{10} + 22 a^{9} + 18 a^{8} + 15 a^{7} + 6 a^{6} + a^{5} + 6 a^{4} + 14 a^{3} + a^{2} + 11 a + 1 + \left(15 a^{12} + 22 a^{11} + 16 a^{10} + 2 a^{9} + 21 a^{8} + 12 a^{7} + 2 a^{6} + 17 a^{5} + 3 a^{4} + 8 a^{3} + 21 a^{2} + 21 a + 5\right)\cdot 23 + \left(10 a^{12} + 8 a^{11} + 3 a^{10} + 8 a^{9} + 8 a^{8} + 20 a^{7} + 12 a^{6} + 14 a^{5} + 16 a^{4} + 10 a^{3} + 10 a^{2} + 7 a + 14\right)\cdot 23^{2} + \left(7 a^{12} + 16 a^{11} + 15 a^{10} + 5 a^{8} + 22 a^{7} + 21 a^{6} + 18 a^{5} + 9 a^{4} + 20 a^{3} + 6 a^{2} + 11 a + 3\right)\cdot 23^{3} + \left(21 a^{11} + 2 a^{10} + 14 a^{9} + 8 a^{8} + 10 a^{7} + 4 a^{6} + 2 a^{5} + 5 a^{4} + 2 a^{3} + 7 a^{2} + 15 a + 22\right)\cdot 23^{4} +O(23^{5})$ 2a^12 + 11a^11 + 6a^10 + 22a^9 + 18a^8 + 15a^7 + 6a^6 + a^5 + 6a^4 + 14a^3 + a^2 + 11a + 1 + (15a^12 + 22a^11 + 16a^10 + 2a^9 + 21a^8 + 12a^7 + 2a^6 + 17a^5 + 3a^4 + 8a^3 + 21a^2 + 21a + 5)23 + (10a^12 + 8a^11 + 3a^10 + 8a^9 + 8a^8 + 20a^7 + 12a^6 + 14a^5 + 16a^4 + 10a^3 + 10a^2 + 7a + 14)23^2 + (7a^12 + 16a^11 + 15a^10 + 5a^8 + 22a^7 + 21a^6 + 18a^5 + 9a^4 + 20a^3 + 6a^2 + 11a + 3)23^3 + (21a^11 + 2a^10 + 14a^9 + 8a^8 + 10a^7 + 4a^6 + 2a^5 + 5a^4 + 2a^3 + 7a^2 + 15a + 22)23^4+O(23^5)
$r_{ 4 }$	$=$	$ 3 a^{12} + 11 a^{11} + 5 a^{10} + 14 a^{9} + 6 a^{8} + 19 a^{7} + 11 a^{6} + 2 a^{5} + 15 a^{4} + 15 a^{3} + 8 a^{2} + 5 a + 4 + \left(10 a^{12} + 10 a^{11} + 11 a^{10} + 9 a^{9} + 11 a^{8} + 10 a^{7} + 16 a^{6} + 6 a^{5} + 3 a^{4} + 2 a^{3} + 12 a^{2} + 3 a + 15\right)\cdot 23 + \left(13 a^{12} + 19 a^{11} + 13 a^{10} + 15 a^{9} + 18 a^{8} + 14 a^{7} + 12 a^{6} + 13 a^{5} + 13 a^{4} + 14 a^{3} + a^{2} + 8 a + 19\right)\cdot 23^{2} + \left(12 a^{12} + 21 a^{11} + a^{10} + 6 a^{9} + 21 a^{8} + 7 a^{7} + a^{6} + 19 a^{5} + 10 a^{4} + 7 a^{3} + 12 a^{2} + 18 a + 17\right)\cdot 23^{3} + \left(10 a^{12} + 9 a^{11} + 2 a^{10} + 20 a^{9} + 10 a^{8} + 6 a^{7} + 2 a^{6} + 22 a^{5} + 4 a^{4} + 7 a^{3} + 16 a^{2} + 13 a + 9\right)\cdot 23^{4} +O(23^{5})$ 3a^12 + 11a^11 + 5a^10 + 14a^9 + 6a^8 + 19a^7 + 11a^6 + 2a^5 + 15a^4 + 15a^3 + 8a^2 + 5a + 4 + (10a^12 + 10a^11 + 11a^10 + 9a^9 + 11a^8 + 10a^7 + 16a^6 + 6a^5 + 3a^4 + 2a^3 + 12a^2 + 3a + 15)23 + (13a^12 + 19a^11 + 13a^10 + 15a^9 + 18a^8 + 14a^7 + 12a^6 + 13a^5 + 13a^4 + 14a^3 + a^2 + 8a + 19)23^2 + (12a^12 + 21a^11 + a^10 + 6a^9 + 21a^8 + 7a^7 + a^6 + 19a^5 + 10a^4 + 7a^3 + 12a^2 + 18a + 17)23^3 + (10a^12 + 9a^11 + 2a^10 + 20a^9 + 10a^8 + 6a^7 + 2a^6 + 22a^5 + 4a^4 + 7a^3 + 16a^2 + 13a + 9)*23^4+O(23^5)
$r_{ 5 }$	$=$	$ 6 a^{12} + 18 a^{11} + 21 a^{10} + 4 a^{9} + 12 a^{8} + 11 a^{7} + 18 a^{6} + 9 a^{5} + 6 a^{4} + 14 a^{3} + 18 a^{2} + 2 a + 13 + \left(14 a^{12} + 9 a^{11} + 8 a^{10} + 6 a^{9} + 6 a^{8} + 9 a^{7} + 15 a^{6} + 9 a^{5} + 10 a^{4} + 7 a^{3} + 8 a^{2} + 19 a + 10\right)\cdot 23 + \left(14 a^{12} + 16 a^{11} + 11 a^{10} + 3 a^{9} + 17 a^{8} + 3 a^{7} + 16 a^{6} + 16 a^{5} + 19 a^{4} + 11 a^{3} + 8 a^{2} + 11 a + 6\right)\cdot 23^{2} + \left(7 a^{12} + 6 a^{11} + 14 a^{10} + 21 a^{9} + 17 a^{8} + 13 a^{7} + 19 a^{6} + 5 a^{5} + 20 a^{4} + 6 a^{2} + a + 3\right)\cdot 23^{3} + \left(21 a^{12} + 12 a^{11} + 9 a^{10} + 12 a^{9} + 7 a^{8} + 3 a^{7} + 2 a^{6} + 8 a^{5} + 8 a^{4} + 6 a^{3} + 14 a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 23^{4} +O(23^{5})$ 6a^12 + 18a^11 + 21a^10 + 4a^9 + 12a^8 + 11a^7 + 18a^6 + 9a^5 + 6a^4 + 14a^3 + 18a^2 + 2a + 13 + (14a^12 + 9a^11 + 8a^10 + 6a^9 + 6a^8 + 9a^7 + 15a^6 + 9a^5 + 10a^4 + 7a^3 + 8a^2 + 19a + 10)23 + (14a^12 + 16a^11 + 11a^10 + 3a^9 + 17a^8 + 3a^7 + 16a^6 + 16a^5 + 19a^4 + 11a^3 + 8a^2 + 11a + 6)23^2 + (7a^12 + 6a^11 + 14a^10 + 21a^9 + 17a^8 + 13a^7 + 19a^6 + 5a^5 + 20a^4 + 6a^2 + a + 3)23^3 + (21a^12 + 12a^11 + 9a^10 + 12a^9 + 7a^8 + 3a^7 + 2a^6 + 8a^5 + 8a^4 + 6a^3 + 14a^2 + 6a + 9)23^4+O(23^5)
$r_{ 6 }$	$=$	$ 8 a^{12} + 10 a^{11} + 14 a^{10} + 17 a^{9} + 3 a^{8} + 10 a^{7} + 11 a^{6} + 5 a^{4} + 20 a^{3} + 3 a^{2} + 17 a + 19 + \left(a^{12} + 14 a^{11} + 10 a^{10} + 5 a^{9} + a^{8} + 10 a^{7} + 8 a^{6} + 10 a^{5} + 6 a^{4} + 18 a^{3} + 6 a^{2} + 11 a + 21\right)\cdot 23 + \left(11 a^{12} + 12 a^{11} + 21 a^{10} + 18 a^{9} + 17 a^{7} + a^{6} + 17 a^{5} + 12 a^{4} + 20 a^{3} + 3 a^{2} + 18 a + 6\right)\cdot 23^{2} + \left(16 a^{12} + 3 a^{11} + 5 a^{10} + 22 a^{9} + 15 a^{8} + 19 a^{7} + 20 a^{5} + 2 a^{4} + 2 a^{3} + 9 a^{2} + a + 11\right)\cdot 23^{3} + \left(19 a^{12} + 7 a^{11} + 9 a^{10} + 22 a^{9} + 6 a^{8} + 17 a^{7} + 3 a^{6} + 5 a^{5} + 3 a^{4} + 20 a^{3} + 11 a^{2} + 14 a + 20\right)\cdot 23^{4} +O(23^{5})$ 8a^12 + 10a^11 + 14a^10 + 17a^9 + 3a^8 + 10a^7 + 11a^6 + 5a^4 + 20a^3 + 3a^2 + 17a + 19 + (a^12 + 14a^11 + 10a^10 + 5a^9 + a^8 + 10a^7 + 8a^6 + 10a^5 + 6a^4 + 18a^3 + 6a^2 + 11a + 21)23 + (11a^12 + 12a^11 + 21a^10 + 18a^9 + 17a^7 + a^6 + 17a^5 + 12a^4 + 20a^3 + 3a^2 + 18a + 6)23^2 + (16a^12 + 3a^11 + 5a^10 + 22a^9 + 15a^8 + 19a^7 + 20a^5 + 2a^4 + 2a^3 + 9a^2 + a + 11)23^3 + (19a^12 + 7a^11 + 9a^10 + 22a^9 + 6a^8 + 17a^7 + 3a^6 + 5a^5 + 3a^4 + 20a^3 + 11a^2 + 14a + 20)*23^4+O(23^5)
$r_{ 7 }$	$=$	$ 12 a^{12} + 21 a^{11} + 5 a^{10} + 4 a^{9} + 2 a^{8} + 10 a^{7} + 22 a^{6} + 12 a^{5} + 3 a^{4} + 16 a^{3} + a^{2} + 7 a + 8 + \left(11 a^{12} + 16 a^{11} + 14 a^{10} + 3 a^{9} + 4 a^{8} + 19 a^{7} + 20 a^{6} + 20 a^{5} + 14 a^{4} + a^{3} + 21 a^{2} + 18 a + 14\right)\cdot 23 + \left(2 a^{12} + 16 a^{11} + 20 a^{10} + 10 a^{9} + 20 a^{8} + a^{7} + 3 a^{6} + 20 a^{5} + 6 a^{4} + 11 a^{3} + 7 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 23^{2} + \left(19 a^{12} + 12 a^{11} + 21 a^{10} + 10 a^{9} + 14 a^{8} + 17 a^{7} + 17 a^{6} + 17 a^{5} + 18 a^{4} + 10 a^{3} + 2 a^{2} + 14 a + 1\right)\cdot 23^{3} + \left(13 a^{12} + 18 a^{11} + 19 a^{10} + 5 a^{9} + 10 a^{8} + 19 a^{7} + 20 a^{6} + 18 a^{5} + 21 a^{4} + 16 a^{3} + 10 a + 14\right)\cdot 23^{4} +O(23^{5})$ 12a^12 + 21a^11 + 5a^10 + 4a^9 + 2a^8 + 10a^7 + 22a^6 + 12a^5 + 3a^4 + 16a^3 + a^2 + 7a + 8 + (11a^12 + 16a^11 + 14a^10 + 3a^9 + 4a^8 + 19a^7 + 20a^6 + 20a^5 + 14a^4 + a^3 + 21a^2 + 18a + 14)23 + (2a^12 + 16a^11 + 20a^10 + 10a^9 + 20a^8 + a^7 + 3a^6 + 20a^5 + 6a^4 + 11a^3 + 7a^2 + 2a + 6)23^2 + (19a^12 + 12a^11 + 21a^10 + 10a^9 + 14a^8 + 17a^7 + 17a^6 + 17a^5 + 18a^4 + 10a^3 + 2a^2 + 14a + 1)23^3 + (13a^12 + 18a^11 + 19a^10 + 5a^9 + 10a^8 + 19a^7 + 20a^6 + 18a^5 + 21a^4 + 16a^3 + 10a + 14)23^4+O(23^5)
$r_{ 8 }$	$=$	$ 14 a^{12} + 21 a^{11} + 6 a^{10} + 11 a^{9} + 15 a^{8} + 11 a^{7} + 7 a^{6} + 20 a^{5} + 14 a^{4} + 4 a^{3} + 16 a^{2} + 22 a + 14 + \left(18 a^{12} + 18 a^{11} + a^{10} + 17 a^{9} + 13 a^{7} + 21 a^{6} + 12 a^{5} + 14 a^{4} + 7 a^{3} + 17 a^{2} + 14 a + 16\right)\cdot 23 + \left(a^{12} + 6 a^{11} + 13 a^{10} + 15 a^{9} + 18 a^{8} + 11 a^{7} + 22 a^{6} + 13 a^{5} + 3 a^{4} + 16 a^{3} + 4 a^{2} + 15 a + 9\right)\cdot 23^{2} + \left(a^{12} + 9 a^{11} + 13 a^{10} + 7 a^{9} + 4 a^{8} + 16 a^{7} + 12 a^{6} + 10 a^{5} + 21 a^{4} + 3 a^{3} + 13 a^{2} + 6 a + 5\right)\cdot 23^{3} + \left(14 a^{12} + 20 a^{11} + 4 a^{10} + 22 a^{9} + 8 a^{8} + 17 a^{7} + 13 a^{6} + 10 a^{5} + 16 a^{4} + 20 a^{3} + 4 a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 23^{4} +O(23^{5})$ 14a^12 + 21a^11 + 6a^10 + 11a^9 + 15a^8 + 11a^7 + 7a^6 + 20a^5 + 14a^4 + 4a^3 + 16a^2 + 22a + 14 + (18a^12 + 18a^11 + a^10 + 17a^9 + 13a^7 + 21a^6 + 12a^5 + 14a^4 + 7a^3 + 17a^2 + 14a + 16)23 + (a^12 + 6a^11 + 13a^10 + 15a^9 + 18a^8 + 11a^7 + 22a^6 + 13a^5 + 3a^4 + 16a^3 + 4a^2 + 15a + 9)23^2 + (a^12 + 9a^11 + 13a^10 + 7a^9 + 4a^8 + 16a^7 + 12a^6 + 10a^5 + 21a^4 + 3a^3 + 13a^2 + 6a + 5)23^3 + (14a^12 + 20a^11 + 4a^10 + 22a^9 + 8a^8 + 17a^7 + 13a^6 + 10a^5 + 16a^4 + 20a^3 + 4a^2 + 4a + 5)23^4+O(23^5)
$r_{ 9 }$	$=$	$ 15 a^{12} + 16 a^{11} + 2 a^{10} + 21 a^{9} + 22 a^{7} + 10 a^{6} + 2 a^{5} + 18 a^{4} + 12 a^{3} + 16 a^{2} + 14 a + 17 + \left(11 a^{12} + 6 a^{11} + 17 a^{10} + 11 a^{9} + 22 a^{8} + 10 a^{7} + 18 a^{6} + 19 a^{5} + 9 a^{4} + 16 a^{3} + 8 a^{2} + 3 a + 20\right)\cdot 23 + \left(a^{12} + 9 a^{11} + 15 a^{10} + 20 a^{9} + a^{8} + 8 a^{7} + 6 a^{6} + 3 a^{5} + 12 a^{4} + 21 a^{3} + 18 a^{2} + 15 a + 1\right)\cdot 23^{2} + \left(16 a^{12} + 19 a^{11} + 17 a^{10} + 10 a^{9} + 20 a^{8} + 8 a^{7} + 14 a^{6} + 10 a^{5} + 18 a^{4} + 20 a^{3} + a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 23^{3} + \left(19 a^{12} + 17 a^{11} + 7 a^{10} + 20 a^{9} + 11 a^{7} + 20 a^{6} + 5 a^{5} + 6 a^{4} + 21 a^{3} + 12 a^{2} + 8 a + 13\right)\cdot 23^{4} +O(23^{5})$ 15a^12 + 16a^11 + 2a^10 + 21a^9 + 22a^7 + 10a^6 + 2a^5 + 18a^4 + 12a^3 + 16a^2 + 14a + 17 + (11a^12 + 6a^11 + 17a^10 + 11a^9 + 22a^8 + 10a^7 + 18a^6 + 19a^5 + 9a^4 + 16a^3 + 8a^2 + 3a + 20)23 + (a^12 + 9a^11 + 15a^10 + 20a^9 + a^8 + 8a^7 + 6a^6 + 3a^5 + 12a^4 + 21a^3 + 18a^2 + 15a + 1)23^2 + (16a^12 + 19a^11 + 17a^10 + 10a^9 + 20a^8 + 8a^7 + 14a^6 + 10a^5 + 18a^4 + 20a^3 + a^2 + 2a + 6)23^3 + (19a^12 + 17a^11 + 7a^10 + 20a^9 + 11a^7 + 20a^6 + 5a^5 + 6a^4 + 21a^3 + 12a^2 + 8a + 13)*23^4+O(23^5)
$r_{ 10 }$	$=$	$ 17 a^{12} + 16 a^{11} + 4 a^{10} + 9 a^{9} + 11 a^{8} + 8 a^{7} + 16 a^{6} + 14 a^{4} + 9 a^{3} + 17 a^{2} + \left(14 a^{12} + 14 a^{11} + 18 a^{10} + 17 a^{9} + 8 a^{8} + 12 a^{7} + 10 a^{6} + 13 a^{5} + 8 a^{4} + 9 a^{3} + 22 a^{2} + 13 a + 11\right)\cdot 23 + \left(17 a^{12} + 2 a^{11} + 8 a^{10} + 4 a^{9} + 18 a^{8} + 20 a^{7} + 7 a^{6} + 3 a^{5} + 15 a^{4} + 6 a^{3} + 4 a^{2} + 21 a + 1\right)\cdot 23^{2} + \left(9 a^{12} + 13 a^{11} + 19 a^{10} + 13 a^{9} + 7 a^{8} + 14 a^{7} + 8 a^{6} + 16 a^{5} + 14 a^{4} + 11 a^{3} + 10 a^{2} + 9 a + 5\right)\cdot 23^{3} + \left(14 a^{11} + 21 a^{10} + 2 a^{9} + 10 a^{8} + 12 a^{7} + 3 a^{6} + 20 a^{5} + 20 a^{4} + 9 a^{3} + 4 a^{2} + 18 a + 21\right)\cdot 23^{4} +O(23^{5})$ 17a^12 + 16a^11 + 4a^10 + 9a^9 + 11a^8 + 8a^7 + 16a^6 + 14a^4 + 9a^3 + 17a^2 + (14a^12 + 14a^11 + 18a^10 + 17a^9 + 8a^8 + 12a^7 + 10a^6 + 13a^5 + 8a^4 + 9a^3 + 22a^2 + 13a + 11)23 + (17a^12 + 2a^11 + 8a^10 + 4a^9 + 18a^8 + 20a^7 + 7a^6 + 3a^5 + 15a^4 + 6a^3 + 4a^2 + 21a + 1)23^2 + (9a^12 + 13a^11 + 19a^10 + 13a^9 + 7a^8 + 14a^7 + 8a^6 + 16a^5 + 14a^4 + 11a^3 + 10a^2 + 9a + 5)23^3 + (14a^11 + 21a^10 + 2a^9 + 10a^8 + 12a^7 + 3a^6 + 20a^5 + 20a^4 + 9a^3 + 4a^2 + 18a + 21)*23^4+O(23^5)
$r_{ 11 }$	$=$	$ 19 a^{12} + 13 a^{11} + 21 a^{10} + 8 a^{9} + 2 a^{8} + 20 a^{7} + 12 a^{6} + 11 a^{5} + 19 a^{4} + 21 a^{2} + 6 + \left(15 a^{12} + 8 a^{10} + 22 a^{9} + 17 a^{8} + 18 a^{7} + 4 a^{6} + 19 a^{5} + 16 a^{4} + 9 a^{3} + 5 a^{2} + 15 a + 18\right)\cdot 23 + \left(7 a^{12} + 3 a^{11} + a^{10} + 14 a^{9} + 12 a^{8} + 12 a^{7} + 10 a^{6} + 2 a^{5} + 20 a^{4} + 8 a^{3} + 12 a^{2} + 12 a + 10\right)\cdot 23^{2} + \left(10 a^{12} + 13 a^{11} + 3 a^{10} + 21 a^{9} + 10 a^{8} + 8 a^{7} + 14 a^{6} + 13 a^{5} + 17 a^{4} + 5 a^{3} + 5 a^{2} + 13 a + 4\right)\cdot 23^{3} + \left(3 a^{12} + 19 a^{11} + 12 a^{10} + 21 a^{9} + 14 a^{8} + 15 a^{7} + 20 a^{6} + 4 a^{5} + 19 a^{4} + 18 a^{3} + 3 a^{2} + 17 a + 9\right)\cdot 23^{4} +O(23^{5})$ 19a^12 + 13a^11 + 21a^10 + 8a^9 + 2a^8 + 20a^7 + 12a^6 + 11a^5 + 19a^4 + 21a^2 + 6 + (15a^12 + 8a^10 + 22a^9 + 17a^8 + 18a^7 + 4a^6 + 19a^5 + 16a^4 + 9a^3 + 5a^2 + 15a + 18)23 + (7a^12 + 3a^11 + a^10 + 14a^9 + 12a^8 + 12a^7 + 10a^6 + 2a^5 + 20a^4 + 8a^3 + 12a^2 + 12a + 10)23^2 + (10a^12 + 13a^11 + 3a^10 + 21a^9 + 10a^8 + 8a^7 + 14a^6 + 13a^5 + 17a^4 + 5a^3 + 5a^2 + 13a + 4)23^3 + (3a^12 + 19a^11 + 12a^10 + 21a^9 + 14a^8 + 15a^7 + 20a^6 + 4a^5 + 19a^4 + 18a^3 + 3a^2 + 17a + 9)23^4+O(23^5)
$r_{ 12 }$	$=$	$ 20 a^{12} + 21 a^{11} + 20 a^{10} + a^{9} + 22 a^{8} + 4 a^{7} + 2 a^{6} + 10 a^{5} + 10 a^{4} + 7 a^{3} + 14 a^{2} + 5 a + 9 + \left(12 a^{12} + 15 a^{11} + 6 a^{10} + 4 a^{9} + 4 a^{8} + 18 a^{7} + 8 a^{6} + 22 a^{5} + 6 a^{4} + 18 a^{3} + 20 a^{2} + 19 a + 11\right)\cdot 23 + \left(21 a^{12} + 6 a^{11} + 19 a^{10} + 13 a^{9} + 5 a^{8} + 14 a^{7} + 20 a^{6} + 20 a^{5} + 6 a^{4} + 22 a^{2} + a + 7\right)\cdot 23^{2} + \left(3 a^{12} + 12 a^{10} + 8 a^{9} + 11 a^{8} + 3 a^{7} + 22 a^{6} + 11 a^{5} + 16 a^{4} + 11 a^{3} + 11 a^{2} + 9 a + 20\right)\cdot 23^{3} + \left(3 a^{12} + 5 a^{11} + 14 a^{10} + 11 a^{9} + 7 a^{8} + 5 a^{7} + 3 a^{6} + 7 a^{5} + 12 a^{4} + 15 a^{3} + 20 a^{2} + 9 a + 6\right)\cdot 23^{4} +O(23^{5})$ 20a^12 + 21a^11 + 20a^10 + a^9 + 22a^8 + 4a^7 + 2a^6 + 10a^5 + 10a^4 + 7a^3 + 14a^2 + 5a + 9 + (12a^12 + 15a^11 + 6a^10 + 4a^9 + 4a^8 + 18a^7 + 8a^6 + 22a^5 + 6a^4 + 18a^3 + 20a^2 + 19a + 11)23 + (21a^12 + 6a^11 + 19a^10 + 13a^9 + 5a^8 + 14a^7 + 20a^6 + 20a^5 + 6a^4 + 22a^2 + a + 7)23^2 + (3a^12 + 12a^10 + 8a^9 + 11a^8 + 3a^7 + 22a^6 + 11a^5 + 16a^4 + 11a^3 + 11a^2 + 9a + 20)23^3 + (3a^12 + 5a^11 + 14a^10 + 11a^9 + 7a^8 + 5a^7 + 3a^6 + 7a^5 + 12a^4 + 15a^3 + 20a^2 + 9a + 6)23^4+O(23^5)
$r_{ 13 }$	$=$	$ 21 a^{12} + 14 a^{11} + 18 a^{10} + 16 a^{9} + 18 a^{8} + 19 a^{7} + 8 a^{6} + 6 a^{5} + 2 a^{4} + 13 a^{3} + 22 a^{2} + 5 a + 12 + \left(3 a^{12} + 13 a^{11} + 3 a^{10} + 3 a^{9} + 5 a^{8} + 19 a^{7} + 7 a^{6} + 14 a^{5} + 22 a^{4} + 21 a^{2} + 21 a + 9\right)\cdot 23 + \left(7 a^{12} + 5 a^{11} + 10 a^{10} + 3 a^{9} + 11 a^{8} + 10 a^{7} + 6 a^{6} + 10 a^{5} + a^{4} + 9 a^{3} + 19 a^{2} + 6 a + 22\right)\cdot 23^{2} + \left(2 a^{12} + 5 a^{11} + 3 a^{9} + 5 a^{8} + 16 a^{7} + 15 a^{6} + 17 a^{5} + 5 a^{4} + 14 a^{3} + 10 a^{2} + 2 a + 20\right)\cdot 23^{3} + \left(4 a^{12} + 9 a^{11} + 12 a^{10} + 16 a^{9} + 2 a^{8} + 20 a^{7} + 5 a^{6} + 13 a^{5} + 16 a^{4} + 11 a^{3} + 21 a^{2} + 16 a + 19\right)\cdot 23^{4} +O(23^{5})$ 21a^12 + 14a^11 + 18a^10 + 16a^9 + 18a^8 + 19a^7 + 8a^6 + 6a^5 + 2a^4 + 13a^3 + 22a^2 + 5a + 12 + (3a^12 + 13a^11 + 3a^10 + 3a^9 + 5a^8 + 19a^7 + 7a^6 + 14a^5 + 22a^4 + 21a^2 + 21a + 9)23 + (7a^12 + 5a^11 + 10a^10 + 3a^9 + 11a^8 + 10a^7 + 6a^6 + 10a^5 + a^4 + 9a^3 + 19a^2 + 6a + 22)23^2 + (2a^12 + 5a^11 + 3a^9 + 5a^8 + 16a^7 + 15a^6 + 17a^5 + 5a^4 + 14a^3 + 10a^2 + 2a + 20)23^3 + (4a^12 + 9a^11 + 12a^10 + 16a^9 + 2a^8 + 20a^7 + 5a^6 + 13a^5 + 16a^4 + 11a^3 + 21a^2 + 16a + 19)*23^4+O(23^5)

Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 13 }$

Cycle notation
$(1,13)(2,12)(3,5)(4,8)(6,11)(7,10)$
$(1,7)(2,3)(4,12)(5,11)(6,9)(8,13)$

Character values on conjugacy classes

Size	Order	Action on $r_1, \ldots, r_{ 13 }$	Character value
$1$	$1$	$()$	$2$
$13$	$2$	$(1,7)(2,3)(4,12)(5,11)(6,9)(8,13)$	$0$
$2$	$13$	$(1,10,7,13,4,2,5,6,9,11,3,12,8)$	$\zeta_{13}^{11} + \zeta_{13}^{2}$
$2$	$13$	$(1,7,4,5,9,3,8,10,13,2,6,11,12)$	$\zeta_{13}^{9} + \zeta_{13}^{4}$
$2$	$13$	$(1,13,5,11,8,7,2,9,12,10,4,6,3)$	$\zeta_{13}^{7} + \zeta_{13}^{6}$
$2$	$13$	$(1,4,9,8,13,6,12,7,5,3,10,2,11)$	$\zeta_{13}^{8} + \zeta_{13}^{5}$
$2$	$13$	$(1,2,3,7,6,8,4,11,10,5,12,13,9)$	$\zeta_{13}^{10} + \zeta_{13}^{3}$
$2$	$13$	$(1,5,8,2,12,4,3,13,11,7,9,10,6)$	$-\zeta_{13}^{11} - \zeta_{13}^{10} - \zeta_{13}^{9} - \zeta_{13}^{8} - \zeta_{13}^{7} - \zeta_{13}^{6} - \zeta_{13}^{5} - \zeta_{13}^{4} - \zeta_{13}^{3} - \zeta_{13}^{2} - 1$

The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.

Overview	Random
Universe	Knowledge

Classical	Maass
Hilbert	Bianchi

Elliptic curves over $\Q$
Elliptic curves over $\Q(\alpha)$
Genus 2 curves over $\Q$
Higher genus families
Abelian varieties over $\F_{q}$

Introduction

L-functions

Modular forms

Varieties

Fields

Representations

Groups

Database

Properties

Related objects

Downloads

Learn more

Basic invariants

Defining polynomial

Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 13 }$

Character values on conjugacy classes

This project is supported by grants from the US National Science Foundation, the UK Engineering and Physical Sciences Research Council, and the Simons Foundation.

Label	2.551.13t2.a.f
Dimension	$2$
Group	$D_{13}$
Conductor	$551$
Root number	$1$
Indicator	$1$

$r_{ 1 }$	$=$	\( 22 a^{11} + a^{9} + 21 a^{8} + 20 a^{7} + 17 a^{6} + 19 a^{5} + 14 a^{4} + a^{3} + 7 a^{2} + 2 a + 18 + \left(4 a^{12} + 14 a^{11} + 18 a^{10} + 15 a^{9} + 7 a^{8} + 3 a^{7} + 3 a^{6} + 12 a^{5} + 16 a^{3} + 11 a^{2} + 14 a + 13\right)\cdot 23 + \left(21 a^{12} + 15 a^{11} + 20 a^{10} + 7 a^{8} + 8 a^{7} + 18 a^{6} + 17 a^{5} + 8 a^{4} + 9 a^{3} + 16 a^{2} + 17 a + 9\right)\cdot 23^{2} + \left(10 a^{12} + 3 a^{11} + 14 a^{9} + 2 a^{8} + 5 a^{7} + 22 a^{6} + 4 a^{5} + 14 a^{4} + 8 a^{3} + 2 a^{2} + 10 a + 16\right)\cdot 23^{3} + \left(22 a^{12} + 6 a^{11} + 2 a^{10} + 6 a^{9} + 18 a^{8} + 17 a^{7} + 11 a^{6} + 13 a^{5} + 10 a^{4} + 22 a^{3} + 11 a^{2} + 8 a + 2\right)\cdot 23^{4} +O(23^{5})\) 22a^11 + a^9 + 21a^8 + 20a^7 + 17a^6 + 19a^5 + 14a^4 + a^3 + 7a^2 + 2a + 18 + (4a^12 + 14a^11 + 18a^10 + 15a^9 + 7a^8 + 3a^7 + 3a^6 + 12a^5 + 16a^3 + 11a^2 + 14a + 13)23 + (21a^12 + 15a^11 + 20a^10 + 7a^8 + 8a^7 + 18a^6 + 17a^5 + 8a^4 + 9a^3 + 16a^2 + 17a + 9)23^2 + (10a^12 + 3a^11 + 14a^9 + 2a^8 + 5a^7 + 22a^6 + 4a^5 + 14a^4 + 8a^3 + 2a^2 + 10a + 16)23^3 + (22a^12 + 6a^11 + 2a^10 + 6a^9 + 18a^8 + 17a^7 + 11a^6 + 13a^5 + 10a^4 + 22a^3 + 11a^2 + 8a + 2)*23^4+O(23^5)
$r_{ 2 }$	$=$	\( a^{12} + 13 a^{11} + 16 a^{10} + 10 a^{9} + 8 a^{8} + 15 a^{7} + 21 a^{6} + 12 a^{4} + 13 a^{3} + 17 a^{2} + 2 a + 21 + \left(4 a^{12} + a^{11} + 2 a^{10} + 18 a^{9} + 3 a^{8} + 22 a^{6} + 7 a^{5} + 21 a^{4} + 21 a^{3} + 5 a^{2} + 9 a + 15\right)\cdot 23 + \left(7 a^{12} + 14 a^{11} + a^{10} + 9 a^{9} + 21 a^{8} + 16 a^{7} + 21 a^{6} + 5 a^{5} + a^{4} + 20 a^{3} + 6 a^{2} + 20 a + 20\right)\cdot 23^{2} + \left(20 a^{12} + 12 a^{11} + 11 a^{10} + 20 a^{9} + 6 a^{7} + 12 a^{6} + 17 a^{5} + 14 a^{4} + 20 a^{3} + 22 a^{2} + 12 a + 21\right)\cdot 23^{3} + \left(4 a^{12} + 21 a^{11} + 19 a^{10} + 6 a^{9} + 9 a^{8} + 2 a^{7} + a^{6} + 3 a^{5} + 13 a^{4} + 11 a^{3} + 10 a^{2} + 18 a + 6\right)\cdot 23^{4} +O(23^{5})\) a^12 + 13a^11 + 16a^10 + 10a^9 + 8a^8 + 15a^7 + 21a^6 + 12a^4 + 13a^3 + 17a^2 + 2a + 21 + (4a^12 + a^11 + 2a^10 + 18a^9 + 3a^8 + 22a^6 + 7a^5 + 21a^4 + 21a^3 + 5a^2 + 9a + 15)23 + (7a^12 + 14a^11 + a^10 + 9a^9 + 21a^8 + 16a^7 + 21a^6 + 5a^5 + a^4 + 20a^3 + 6a^2 + 20a + 20)23^2 + (20a^12 + 12a^11 + 11a^10 + 20a^9 + 6a^7 + 12a^6 + 17a^5 + 14a^4 + 20a^3 + 22a^2 + 12a + 21)23^3 + (4a^12 + 21a^11 + 19a^10 + 6a^9 + 9a^8 + 2a^7 + a^6 + 3a^5 + 13a^4 + 11a^3 + 10a^2 + 18a + 6)23^4+O(23^5)
$r_{ 3 }$	$=$	\( 2 a^{12} + 11 a^{11} + 6 a^{10} + 22 a^{9} + 18 a^{8} + 15 a^{7} + 6 a^{6} + a^{5} + 6 a^{4} + 14 a^{3} + a^{2} + 11 a + 1 + \left(15 a^{12} + 22 a^{11} + 16 a^{10} + 2 a^{9} + 21 a^{8} + 12 a^{7} + 2 a^{6} + 17 a^{5} + 3 a^{4} + 8 a^{3} + 21 a^{2} + 21 a + 5\right)\cdot 23 + \left(10 a^{12} + 8 a^{11} + 3 a^{10} + 8 a^{9} + 8 a^{8} + 20 a^{7} + 12 a^{6} + 14 a^{5} + 16 a^{4} + 10 a^{3} + 10 a^{2} + 7 a + 14\right)\cdot 23^{2} + \left(7 a^{12} + 16 a^{11} + 15 a^{10} + 5 a^{8} + 22 a^{7} + 21 a^{6} + 18 a^{5} + 9 a^{4} + 20 a^{3} + 6 a^{2} + 11 a + 3\right)\cdot 23^{3} + \left(21 a^{11} + 2 a^{10} + 14 a^{9} + 8 a^{8} + 10 a^{7} + 4 a^{6} + 2 a^{5} + 5 a^{4} + 2 a^{3} + 7 a^{2} + 15 a + 22\right)\cdot 23^{4} +O(23^{5})\) 2a^12 + 11a^11 + 6a^10 + 22a^9 + 18a^8 + 15a^7 + 6a^6 + a^5 + 6a^4 + 14a^3 + a^2 + 11a + 1 + (15a^12 + 22a^11 + 16a^10 + 2a^9 + 21a^8 + 12a^7 + 2a^6 + 17a^5 + 3a^4 + 8a^3 + 21a^2 + 21a + 5)23 + (10a^12 + 8a^11 + 3a^10 + 8a^9 + 8a^8 + 20a^7 + 12a^6 + 14a^5 + 16a^4 + 10a^3 + 10a^2 + 7a + 14)23^2 + (7a^12 + 16a^11 + 15a^10 + 5a^8 + 22a^7 + 21a^6 + 18a^5 + 9a^4 + 20a^3 + 6a^2 + 11a + 3)23^3 + (21a^11 + 2a^10 + 14a^9 + 8a^8 + 10a^7 + 4a^6 + 2a^5 + 5a^4 + 2a^3 + 7a^2 + 15a + 22)23^4+O(23^5)
$r_{ 4 }$	$=$	\( 3 a^{12} + 11 a^{11} + 5 a^{10} + 14 a^{9} + 6 a^{8} + 19 a^{7} + 11 a^{6} + 2 a^{5} + 15 a^{4} + 15 a^{3} + 8 a^{2} + 5 a + 4 + \left(10 a^{12} + 10 a^{11} + 11 a^{10} + 9 a^{9} + 11 a^{8} + 10 a^{7} + 16 a^{6} + 6 a^{5} + 3 a^{4} + 2 a^{3} + 12 a^{2} + 3 a + 15\right)\cdot 23 + \left(13 a^{12} + 19 a^{11} + 13 a^{10} + 15 a^{9} + 18 a^{8} + 14 a^{7} + 12 a^{6} + 13 a^{5} + 13 a^{4} + 14 a^{3} + a^{2} + 8 a + 19\right)\cdot 23^{2} + \left(12 a^{12} + 21 a^{11} + a^{10} + 6 a^{9} + 21 a^{8} + 7 a^{7} + a^{6} + 19 a^{5} + 10 a^{4} + 7 a^{3} + 12 a^{2} + 18 a + 17\right)\cdot 23^{3} + \left(10 a^{12} + 9 a^{11} + 2 a^{10} + 20 a^{9} + 10 a^{8} + 6 a^{7} + 2 a^{6} + 22 a^{5} + 4 a^{4} + 7 a^{3} + 16 a^{2} + 13 a + 9\right)\cdot 23^{4} +O(23^{5})\) 3a^12 + 11a^11 + 5a^10 + 14a^9 + 6a^8 + 19a^7 + 11a^6 + 2a^5 + 15a^4 + 15a^3 + 8a^2 + 5a + 4 + (10a^12 + 10a^11 + 11a^10 + 9a^9 + 11a^8 + 10a^7 + 16a^6 + 6a^5 + 3a^4 + 2a^3 + 12a^2 + 3a + 15)23 + (13a^12 + 19a^11 + 13a^10 + 15a^9 + 18a^8 + 14a^7 + 12a^6 + 13a^5 + 13a^4 + 14a^3 + a^2 + 8a + 19)23^2 + (12a^12 + 21a^11 + a^10 + 6a^9 + 21a^8 + 7a^7 + a^6 + 19a^5 + 10a^4 + 7a^3 + 12a^2 + 18a + 17)23^3 + (10a^12 + 9a^11 + 2a^10 + 20a^9 + 10a^8 + 6a^7 + 2a^6 + 22a^5 + 4a^4 + 7a^3 + 16a^2 + 13a + 9)*23^4+O(23^5)
$r_{ 5 }$	$=$	\( 6 a^{12} + 18 a^{11} + 21 a^{10} + 4 a^{9} + 12 a^{8} + 11 a^{7} + 18 a^{6} + 9 a^{5} + 6 a^{4} + 14 a^{3} + 18 a^{2} + 2 a + 13 + \left(14 a^{12} + 9 a^{11} + 8 a^{10} + 6 a^{9} + 6 a^{8} + 9 a^{7} + 15 a^{6} + 9 a^{5} + 10 a^{4} + 7 a^{3} + 8 a^{2} + 19 a + 10\right)\cdot 23 + \left(14 a^{12} + 16 a^{11} + 11 a^{10} + 3 a^{9} + 17 a^{8} + 3 a^{7} + 16 a^{6} + 16 a^{5} + 19 a^{4} + 11 a^{3} + 8 a^{2} + 11 a + 6\right)\cdot 23^{2} + \left(7 a^{12} + 6 a^{11} + 14 a^{10} + 21 a^{9} + 17 a^{8} + 13 a^{7} + 19 a^{6} + 5 a^{5} + 20 a^{4} + 6 a^{2} + a + 3\right)\cdot 23^{3} + \left(21 a^{12} + 12 a^{11} + 9 a^{10} + 12 a^{9} + 7 a^{8} + 3 a^{7} + 2 a^{6} + 8 a^{5} + 8 a^{4} + 6 a^{3} + 14 a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 23^{4} +O(23^{5})\) 6a^12 + 18a^11 + 21a^10 + 4a^9 + 12a^8 + 11a^7 + 18a^6 + 9a^5 + 6a^4 + 14a^3 + 18a^2 + 2a + 13 + (14a^12 + 9a^11 + 8a^10 + 6a^9 + 6a^8 + 9a^7 + 15a^6 + 9a^5 + 10a^4 + 7a^3 + 8a^2 + 19a + 10)23 + (14a^12 + 16a^11 + 11a^10 + 3a^9 + 17a^8 + 3a^7 + 16a^6 + 16a^5 + 19a^4 + 11a^3 + 8a^2 + 11a + 6)23^2 + (7a^12 + 6a^11 + 14a^10 + 21a^9 + 17a^8 + 13a^7 + 19a^6 + 5a^5 + 20a^4 + 6a^2 + a + 3)23^3 + (21a^12 + 12a^11 + 9a^10 + 12a^9 + 7a^8 + 3a^7 + 2a^6 + 8a^5 + 8a^4 + 6a^3 + 14a^2 + 6a + 9)23^4+O(23^5)
$r_{ 6 }$	$=$	\( 8 a^{12} + 10 a^{11} + 14 a^{10} + 17 a^{9} + 3 a^{8} + 10 a^{7} + 11 a^{6} + 5 a^{4} + 20 a^{3} + 3 a^{2} + 17 a + 19 + \left(a^{12} + 14 a^{11} + 10 a^{10} + 5 a^{9} + a^{8} + 10 a^{7} + 8 a^{6} + 10 a^{5} + 6 a^{4} + 18 a^{3} + 6 a^{2} + 11 a + 21\right)\cdot 23 + \left(11 a^{12} + 12 a^{11} + 21 a^{10} + 18 a^{9} + 17 a^{7} + a^{6} + 17 a^{5} + 12 a^{4} + 20 a^{3} + 3 a^{2} + 18 a + 6\right)\cdot 23^{2} + \left(16 a^{12} + 3 a^{11} + 5 a^{10} + 22 a^{9} + 15 a^{8} + 19 a^{7} + 20 a^{5} + 2 a^{4} + 2 a^{3} + 9 a^{2} + a + 11\right)\cdot 23^{3} + \left(19 a^{12} + 7 a^{11} + 9 a^{10} + 22 a^{9} + 6 a^{8} + 17 a^{7} + 3 a^{6} + 5 a^{5} + 3 a^{4} + 20 a^{3} + 11 a^{2} + 14 a + 20\right)\cdot 23^{4} +O(23^{5})\) 8a^12 + 10a^11 + 14a^10 + 17a^9 + 3a^8 + 10a^7 + 11a^6 + 5a^4 + 20a^3 + 3a^2 + 17a + 19 + (a^12 + 14a^11 + 10a^10 + 5a^9 + a^8 + 10a^7 + 8a^6 + 10a^5 + 6a^4 + 18a^3 + 6a^2 + 11a + 21)23 + (11a^12 + 12a^11 + 21a^10 + 18a^9 + 17a^7 + a^6 + 17a^5 + 12a^4 + 20a^3 + 3a^2 + 18a + 6)23^2 + (16a^12 + 3a^11 + 5a^10 + 22a^9 + 15a^8 + 19a^7 + 20a^5 + 2a^4 + 2a^3 + 9a^2 + a + 11)23^3 + (19a^12 + 7a^11 + 9a^10 + 22a^9 + 6a^8 + 17a^7 + 3a^6 + 5a^5 + 3a^4 + 20a^3 + 11a^2 + 14a + 20)*23^4+O(23^5)
$r_{ 7 }$	$=$	\( 12 a^{12} + 21 a^{11} + 5 a^{10} + 4 a^{9} + 2 a^{8} + 10 a^{7} + 22 a^{6} + 12 a^{5} + 3 a^{4} + 16 a^{3} + a^{2} + 7 a + 8 + \left(11 a^{12} + 16 a^{11} + 14 a^{10} + 3 a^{9} + 4 a^{8} + 19 a^{7} + 20 a^{6} + 20 a^{5} + 14 a^{4} + a^{3} + 21 a^{2} + 18 a + 14\right)\cdot 23 + \left(2 a^{12} + 16 a^{11} + 20 a^{10} + 10 a^{9} + 20 a^{8} + a^{7} + 3 a^{6} + 20 a^{5} + 6 a^{4} + 11 a^{3} + 7 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 23^{2} + \left(19 a^{12} + 12 a^{11} + 21 a^{10} + 10 a^{9} + 14 a^{8} + 17 a^{7} + 17 a^{6} + 17 a^{5} + 18 a^{4} + 10 a^{3} + 2 a^{2} + 14 a + 1\right)\cdot 23^{3} + \left(13 a^{12} + 18 a^{11} + 19 a^{10} + 5 a^{9} + 10 a^{8} + 19 a^{7} + 20 a^{6} + 18 a^{5} + 21 a^{4} + 16 a^{3} + 10 a + 14\right)\cdot 23^{4} +O(23^{5})\) 12a^12 + 21a^11 + 5a^10 + 4a^9 + 2a^8 + 10a^7 + 22a^6 + 12a^5 + 3a^4 + 16a^3 + a^2 + 7a + 8 + (11a^12 + 16a^11 + 14a^10 + 3a^9 + 4a^8 + 19a^7 + 20a^6 + 20a^5 + 14a^4 + a^3 + 21a^2 + 18a + 14)23 + (2a^12 + 16a^11 + 20a^10 + 10a^9 + 20a^8 + a^7 + 3a^6 + 20a^5 + 6a^4 + 11a^3 + 7a^2 + 2a + 6)23^2 + (19a^12 + 12a^11 + 21a^10 + 10a^9 + 14a^8 + 17a^7 + 17a^6 + 17a^5 + 18a^4 + 10a^3 + 2a^2 + 14a + 1)23^3 + (13a^12 + 18a^11 + 19a^10 + 5a^9 + 10a^8 + 19a^7 + 20a^6 + 18a^5 + 21a^4 + 16a^3 + 10a + 14)23^4+O(23^5)
$r_{ 8 }$	$=$	\( 14 a^{12} + 21 a^{11} + 6 a^{10} + 11 a^{9} + 15 a^{8} + 11 a^{7} + 7 a^{6} + 20 a^{5} + 14 a^{4} + 4 a^{3} + 16 a^{2} + 22 a + 14 + \left(18 a^{12} + 18 a^{11} + a^{10} + 17 a^{9} + 13 a^{7} + 21 a^{6} + 12 a^{5} + 14 a^{4} + 7 a^{3} + 17 a^{2} + 14 a + 16\right)\cdot 23 + \left(a^{12} + 6 a^{11} + 13 a^{10} + 15 a^{9} + 18 a^{8} + 11 a^{7} + 22 a^{6} + 13 a^{5} + 3 a^{4} + 16 a^{3} + 4 a^{2} + 15 a + 9\right)\cdot 23^{2} + \left(a^{12} + 9 a^{11} + 13 a^{10} + 7 a^{9} + 4 a^{8} + 16 a^{7} + 12 a^{6} + 10 a^{5} + 21 a^{4} + 3 a^{3} + 13 a^{2} + 6 a + 5\right)\cdot 23^{3} + \left(14 a^{12} + 20 a^{11} + 4 a^{10} + 22 a^{9} + 8 a^{8} + 17 a^{7} + 13 a^{6} + 10 a^{5} + 16 a^{4} + 20 a^{3} + 4 a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 23^{4} +O(23^{5})\) 14a^12 + 21a^11 + 6a^10 + 11a^9 + 15a^8 + 11a^7 + 7a^6 + 20a^5 + 14a^4 + 4a^3 + 16a^2 + 22a + 14 + (18a^12 + 18a^11 + a^10 + 17a^9 + 13a^7 + 21a^6 + 12a^5 + 14a^4 + 7a^3 + 17a^2 + 14a + 16)23 + (a^12 + 6a^11 + 13a^10 + 15a^9 + 18a^8 + 11a^7 + 22a^6 + 13a^5 + 3a^4 + 16a^3 + 4a^2 + 15a + 9)23^2 + (a^12 + 9a^11 + 13a^10 + 7a^9 + 4a^8 + 16a^7 + 12a^6 + 10a^5 + 21a^4 + 3a^3 + 13a^2 + 6a + 5)23^3 + (14a^12 + 20a^11 + 4a^10 + 22a^9 + 8a^8 + 17a^7 + 13a^6 + 10a^5 + 16a^4 + 20a^3 + 4a^2 + 4a + 5)23^4+O(23^5)
$r_{ 9 }$	$=$	\( 15 a^{12} + 16 a^{11} + 2 a^{10} + 21 a^{9} + 22 a^{7} + 10 a^{6} + 2 a^{5} + 18 a^{4} + 12 a^{3} + 16 a^{2} + 14 a + 17 + \left(11 a^{12} + 6 a^{11} + 17 a^{10} + 11 a^{9} + 22 a^{8} + 10 a^{7} + 18 a^{6} + 19 a^{5} + 9 a^{4} + 16 a^{3} + 8 a^{2} + 3 a + 20\right)\cdot 23 + \left(a^{12} + 9 a^{11} + 15 a^{10} + 20 a^{9} + a^{8} + 8 a^{7} + 6 a^{6} + 3 a^{5} + 12 a^{4} + 21 a^{3} + 18 a^{2} + 15 a + 1\right)\cdot 23^{2} + \left(16 a^{12} + 19 a^{11} + 17 a^{10} + 10 a^{9} + 20 a^{8} + 8 a^{7} + 14 a^{6} + 10 a^{5} + 18 a^{4} + 20 a^{3} + a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 23^{3} + \left(19 a^{12} + 17 a^{11} + 7 a^{10} + 20 a^{9} + 11 a^{7} + 20 a^{6} + 5 a^{5} + 6 a^{4} + 21 a^{3} + 12 a^{2} + 8 a + 13\right)\cdot 23^{4} +O(23^{5})\) 15a^12 + 16a^11 + 2a^10 + 21a^9 + 22a^7 + 10a^6 + 2a^5 + 18a^4 + 12a^3 + 16a^2 + 14a + 17 + (11a^12 + 6a^11 + 17a^10 + 11a^9 + 22a^8 + 10a^7 + 18a^6 + 19a^5 + 9a^4 + 16a^3 + 8a^2 + 3a + 20)23 + (a^12 + 9a^11 + 15a^10 + 20a^9 + a^8 + 8a^7 + 6a^6 + 3a^5 + 12a^4 + 21a^3 + 18a^2 + 15a + 1)23^2 + (16a^12 + 19a^11 + 17a^10 + 10a^9 + 20a^8 + 8a^7 + 14a^6 + 10a^5 + 18a^4 + 20a^3 + a^2 + 2a + 6)23^3 + (19a^12 + 17a^11 + 7a^10 + 20a^9 + 11a^7 + 20a^6 + 5a^5 + 6a^4 + 21a^3 + 12a^2 + 8a + 13)*23^4+O(23^5)
$r_{ 10 }$	$=$	\( 17 a^{12} + 16 a^{11} + 4 a^{10} + 9 a^{9} + 11 a^{8} + 8 a^{7} + 16 a^{6} + 14 a^{4} + 9 a^{3} + 17 a^{2} + \left(14 a^{12} + 14 a^{11} + 18 a^{10} + 17 a^{9} + 8 a^{8} + 12 a^{7} + 10 a^{6} + 13 a^{5} + 8 a^{4} + 9 a^{3} + 22 a^{2} + 13 a + 11\right)\cdot 23 + \left(17 a^{12} + 2 a^{11} + 8 a^{10} + 4 a^{9} + 18 a^{8} + 20 a^{7} + 7 a^{6} + 3 a^{5} + 15 a^{4} + 6 a^{3} + 4 a^{2} + 21 a + 1\right)\cdot 23^{2} + \left(9 a^{12} + 13 a^{11} + 19 a^{10} + 13 a^{9} + 7 a^{8} + 14 a^{7} + 8 a^{6} + 16 a^{5} + 14 a^{4} + 11 a^{3} + 10 a^{2} + 9 a + 5\right)\cdot 23^{3} + \left(14 a^{11} + 21 a^{10} + 2 a^{9} + 10 a^{8} + 12 a^{7} + 3 a^{6} + 20 a^{5} + 20 a^{4} + 9 a^{3} + 4 a^{2} + 18 a + 21\right)\cdot 23^{4} +O(23^{5})\) 17a^12 + 16a^11 + 4a^10 + 9a^9 + 11a^8 + 8a^7 + 16a^6 + 14a^4 + 9a^3 + 17a^2 + (14a^12 + 14a^11 + 18a^10 + 17a^9 + 8a^8 + 12a^7 + 10a^6 + 13a^5 + 8a^4 + 9a^3 + 22a^2 + 13a + 11)23 + (17a^12 + 2a^11 + 8a^10 + 4a^9 + 18a^8 + 20a^7 + 7a^6 + 3a^5 + 15a^4 + 6a^3 + 4a^2 + 21a + 1)23^2 + (9a^12 + 13a^11 + 19a^10 + 13a^9 + 7a^8 + 14a^7 + 8a^6 + 16a^5 + 14a^4 + 11a^3 + 10a^2 + 9a + 5)23^3 + (14a^11 + 21a^10 + 2a^9 + 10a^8 + 12a^7 + 3a^6 + 20a^5 + 20a^4 + 9a^3 + 4a^2 + 18a + 21)*23^4+O(23^5)
$r_{ 11 }$	$=$	\( 19 a^{12} + 13 a^{11} + 21 a^{10} + 8 a^{9} + 2 a^{8} + 20 a^{7} + 12 a^{6} + 11 a^{5} + 19 a^{4} + 21 a^{2} + 6 + \left(15 a^{12} + 8 a^{10} + 22 a^{9} + 17 a^{8} + 18 a^{7} + 4 a^{6} + 19 a^{5} + 16 a^{4} + 9 a^{3} + 5 a^{2} + 15 a + 18\right)\cdot 23 + \left(7 a^{12} + 3 a^{11} + a^{10} + 14 a^{9} + 12 a^{8} + 12 a^{7} + 10 a^{6} + 2 a^{5} + 20 a^{4} + 8 a^{3} + 12 a^{2} + 12 a + 10\right)\cdot 23^{2} + \left(10 a^{12} + 13 a^{11} + 3 a^{10} + 21 a^{9} + 10 a^{8} + 8 a^{7} + 14 a^{6} + 13 a^{5} + 17 a^{4} + 5 a^{3} + 5 a^{2} + 13 a + 4\right)\cdot 23^{3} + \left(3 a^{12} + 19 a^{11} + 12 a^{10} + 21 a^{9} + 14 a^{8} + 15 a^{7} + 20 a^{6} + 4 a^{5} + 19 a^{4} + 18 a^{3} + 3 a^{2} + 17 a + 9\right)\cdot 23^{4} +O(23^{5})\) 19a^12 + 13a^11 + 21a^10 + 8a^9 + 2a^8 + 20a^7 + 12a^6 + 11a^5 + 19a^4 + 21a^2 + 6 + (15a^12 + 8a^10 + 22a^9 + 17a^8 + 18a^7 + 4a^6 + 19a^5 + 16a^4 + 9a^3 + 5a^2 + 15a + 18)23 + (7a^12 + 3a^11 + a^10 + 14a^9 + 12a^8 + 12a^7 + 10a^6 + 2a^5 + 20a^4 + 8a^3 + 12a^2 + 12a + 10)23^2 + (10a^12 + 13a^11 + 3a^10 + 21a^9 + 10a^8 + 8a^7 + 14a^6 + 13a^5 + 17a^4 + 5a^3 + 5a^2 + 13a + 4)23^3 + (3a^12 + 19a^11 + 12a^10 + 21a^9 + 14a^8 + 15a^7 + 20a^6 + 4a^5 + 19a^4 + 18a^3 + 3a^2 + 17a + 9)23^4+O(23^5)
$r_{ 12 }$	$=$	\( 20 a^{12} + 21 a^{11} + 20 a^{10} + a^{9} + 22 a^{8} + 4 a^{7} + 2 a^{6} + 10 a^{5} + 10 a^{4} + 7 a^{3} + 14 a^{2} + 5 a + 9 + \left(12 a^{12} + 15 a^{11} + 6 a^{10} + 4 a^{9} + 4 a^{8} + 18 a^{7} + 8 a^{6} + 22 a^{5} + 6 a^{4} + 18 a^{3} + 20 a^{2} + 19 a + 11\right)\cdot 23 + \left(21 a^{12} + 6 a^{11} + 19 a^{10} + 13 a^{9} + 5 a^{8} + 14 a^{7} + 20 a^{6} + 20 a^{5} + 6 a^{4} + 22 a^{2} + a + 7\right)\cdot 23^{2} + \left(3 a^{12} + 12 a^{10} + 8 a^{9} + 11 a^{8} + 3 a^{7} + 22 a^{6} + 11 a^{5} + 16 a^{4} + 11 a^{3} + 11 a^{2} + 9 a + 20\right)\cdot 23^{3} + \left(3 a^{12} + 5 a^{11} + 14 a^{10} + 11 a^{9} + 7 a^{8} + 5 a^{7} + 3 a^{6} + 7 a^{5} + 12 a^{4} + 15 a^{3} + 20 a^{2} + 9 a + 6\right)\cdot 23^{4} +O(23^{5})\) 20a^12 + 21a^11 + 20a^10 + a^9 + 22a^8 + 4a^7 + 2a^6 + 10a^5 + 10a^4 + 7a^3 + 14a^2 + 5a + 9 + (12a^12 + 15a^11 + 6a^10 + 4a^9 + 4a^8 + 18a^7 + 8a^6 + 22a^5 + 6a^4 + 18a^3 + 20a^2 + 19a + 11)23 + (21a^12 + 6a^11 + 19a^10 + 13a^9 + 5a^8 + 14a^7 + 20a^6 + 20a^5 + 6a^4 + 22a^2 + a + 7)23^2 + (3a^12 + 12a^10 + 8a^9 + 11a^8 + 3a^7 + 22a^6 + 11a^5 + 16a^4 + 11a^3 + 11a^2 + 9a + 20)23^3 + (3a^12 + 5a^11 + 14a^10 + 11a^9 + 7a^8 + 5a^7 + 3a^6 + 7a^5 + 12a^4 + 15a^3 + 20a^2 + 9a + 6)23^4+O(23^5)
$r_{ 13 }$	$=$	\( 21 a^{12} + 14 a^{11} + 18 a^{10} + 16 a^{9} + 18 a^{8} + 19 a^{7} + 8 a^{6} + 6 a^{5} + 2 a^{4} + 13 a^{3} + 22 a^{2} + 5 a + 12 + \left(3 a^{12} + 13 a^{11} + 3 a^{10} + 3 a^{9} + 5 a^{8} + 19 a^{7} + 7 a^{6} + 14 a^{5} + 22 a^{4} + 21 a^{2} + 21 a + 9\right)\cdot 23 + \left(7 a^{12} + 5 a^{11} + 10 a^{10} + 3 a^{9} + 11 a^{8} + 10 a^{7} + 6 a^{6} + 10 a^{5} + a^{4} + 9 a^{3} + 19 a^{2} + 6 a + 22\right)\cdot 23^{2} + \left(2 a^{12} + 5 a^{11} + 3 a^{9} + 5 a^{8} + 16 a^{7} + 15 a^{6} + 17 a^{5} + 5 a^{4} + 14 a^{3} + 10 a^{2} + 2 a + 20\right)\cdot 23^{3} + \left(4 a^{12} + 9 a^{11} + 12 a^{10} + 16 a^{9} + 2 a^{8} + 20 a^{7} + 5 a^{6} + 13 a^{5} + 16 a^{4} + 11 a^{3} + 21 a^{2} + 16 a + 19\right)\cdot 23^{4} +O(23^{5})\) 21a^12 + 14a^11 + 18a^10 + 16a^9 + 18a^8 + 19a^7 + 8a^6 + 6a^5 + 2a^4 + 13a^3 + 22a^2 + 5a + 12 + (3a^12 + 13a^11 + 3a^10 + 3a^9 + 5a^8 + 19a^7 + 7a^6 + 14a^5 + 22a^4 + 21a^2 + 21a + 9)23 + (7a^12 + 5a^11 + 10a^10 + 3a^9 + 11a^8 + 10a^7 + 6a^6 + 10a^5 + a^4 + 9a^3 + 19a^2 + 6a + 22)23^2 + (2a^12 + 5a^11 + 3a^9 + 5a^8 + 16a^7 + 15a^6 + 17a^5 + 5a^4 + 14a^3 + 10a^2 + 2a + 20)23^3 + (4a^12 + 9a^11 + 12a^10 + 16a^9 + 2a^8 + 20a^7 + 5a^6 + 13a^5 + 16a^4 + 11a^3 + 21a^2 + 16a + 19)*23^4+O(23^5)