Basic invariants
Dimension: | $2$ |
Group: | $D_{13}$ |
Conductor: | \(551\)\(\medspace = 19 \cdot 29 \) |
Frobenius-Schur indicator: | $1$ |
Root number: | $1$ |
Artin stem field: | Galois closure of 13.1.27983987175790801.1 |
Galois orbit size: | $6$ |
Smallest permutation container: | $D_{13}$ |
Parity: | odd |
Determinant: | 1.551.2t1.a.a |
Projective image: | $D_{13}$ |
Projective stem field: | Galois closure of 13.1.27983987175790801.1 |
Defining polynomial
$f(x)$ | $=$ | \( x^{13} - 4 x^{12} + 5 x^{11} - 2 x^{10} - 3 x^{9} - 3 x^{8} + 21 x^{7} + 3 x^{6} - 15 x^{5} - 15 x^{4} + \cdots + 1 \) . |
The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 23 }$ to precision 5.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 23 }$: \( x^{13} + 9x + 18 \)
Roots:
$r_{ 1 }$ | $=$ | \( 22 a^{11} + a^{9} + 21 a^{8} + 20 a^{7} + 17 a^{6} + 19 a^{5} + 14 a^{4} + a^{3} + 7 a^{2} + 2 a + 18 + \left(4 a^{12} + 14 a^{11} + 18 a^{10} + 15 a^{9} + 7 a^{8} + 3 a^{7} + 3 a^{6} + 12 a^{5} + 16 a^{3} + 11 a^{2} + 14 a + 13\right)\cdot 23 + \left(21 a^{12} + 15 a^{11} + 20 a^{10} + 7 a^{8} + 8 a^{7} + 18 a^{6} + 17 a^{5} + 8 a^{4} + 9 a^{3} + 16 a^{2} + 17 a + 9\right)\cdot 23^{2} + \left(10 a^{12} + 3 a^{11} + 14 a^{9} + 2 a^{8} + 5 a^{7} + 22 a^{6} + 4 a^{5} + 14 a^{4} + 8 a^{3} + 2 a^{2} + 10 a + 16\right)\cdot 23^{3} + \left(22 a^{12} + 6 a^{11} + 2 a^{10} + 6 a^{9} + 18 a^{8} + 17 a^{7} + 11 a^{6} + 13 a^{5} + 10 a^{4} + 22 a^{3} + 11 a^{2} + 8 a + 2\right)\cdot 23^{4} +O(23^{5})\) |
$r_{ 2 }$ | $=$ | \( a^{12} + 13 a^{11} + 16 a^{10} + 10 a^{9} + 8 a^{8} + 15 a^{7} + 21 a^{6} + 12 a^{4} + 13 a^{3} + 17 a^{2} + 2 a + 21 + \left(4 a^{12} + a^{11} + 2 a^{10} + 18 a^{9} + 3 a^{8} + 22 a^{6} + 7 a^{5} + 21 a^{4} + 21 a^{3} + 5 a^{2} + 9 a + 15\right)\cdot 23 + \left(7 a^{12} + 14 a^{11} + a^{10} + 9 a^{9} + 21 a^{8} + 16 a^{7} + 21 a^{6} + 5 a^{5} + a^{4} + 20 a^{3} + 6 a^{2} + 20 a + 20\right)\cdot 23^{2} + \left(20 a^{12} + 12 a^{11} + 11 a^{10} + 20 a^{9} + 6 a^{7} + 12 a^{6} + 17 a^{5} + 14 a^{4} + 20 a^{3} + 22 a^{2} + 12 a + 21\right)\cdot 23^{3} + \left(4 a^{12} + 21 a^{11} + 19 a^{10} + 6 a^{9} + 9 a^{8} + 2 a^{7} + a^{6} + 3 a^{5} + 13 a^{4} + 11 a^{3} + 10 a^{2} + 18 a + 6\right)\cdot 23^{4} +O(23^{5})\) |
$r_{ 3 }$ | $=$ | \( 2 a^{12} + 11 a^{11} + 6 a^{10} + 22 a^{9} + 18 a^{8} + 15 a^{7} + 6 a^{6} + a^{5} + 6 a^{4} + 14 a^{3} + a^{2} + 11 a + 1 + \left(15 a^{12} + 22 a^{11} + 16 a^{10} + 2 a^{9} + 21 a^{8} + 12 a^{7} + 2 a^{6} + 17 a^{5} + 3 a^{4} + 8 a^{3} + 21 a^{2} + 21 a + 5\right)\cdot 23 + \left(10 a^{12} + 8 a^{11} + 3 a^{10} + 8 a^{9} + 8 a^{8} + 20 a^{7} + 12 a^{6} + 14 a^{5} + 16 a^{4} + 10 a^{3} + 10 a^{2} + 7 a + 14\right)\cdot 23^{2} + \left(7 a^{12} + 16 a^{11} + 15 a^{10} + 5 a^{8} + 22 a^{7} + 21 a^{6} + 18 a^{5} + 9 a^{4} + 20 a^{3} + 6 a^{2} + 11 a + 3\right)\cdot 23^{3} + \left(21 a^{11} + 2 a^{10} + 14 a^{9} + 8 a^{8} + 10 a^{7} + 4 a^{6} + 2 a^{5} + 5 a^{4} + 2 a^{3} + 7 a^{2} + 15 a + 22\right)\cdot 23^{4} +O(23^{5})\) |
$r_{ 4 }$ | $=$ | \( 3 a^{12} + 11 a^{11} + 5 a^{10} + 14 a^{9} + 6 a^{8} + 19 a^{7} + 11 a^{6} + 2 a^{5} + 15 a^{4} + 15 a^{3} + 8 a^{2} + 5 a + 4 + \left(10 a^{12} + 10 a^{11} + 11 a^{10} + 9 a^{9} + 11 a^{8} + 10 a^{7} + 16 a^{6} + 6 a^{5} + 3 a^{4} + 2 a^{3} + 12 a^{2} + 3 a + 15\right)\cdot 23 + \left(13 a^{12} + 19 a^{11} + 13 a^{10} + 15 a^{9} + 18 a^{8} + 14 a^{7} + 12 a^{6} + 13 a^{5} + 13 a^{4} + 14 a^{3} + a^{2} + 8 a + 19\right)\cdot 23^{2} + \left(12 a^{12} + 21 a^{11} + a^{10} + 6 a^{9} + 21 a^{8} + 7 a^{7} + a^{6} + 19 a^{5} + 10 a^{4} + 7 a^{3} + 12 a^{2} + 18 a + 17\right)\cdot 23^{3} + \left(10 a^{12} + 9 a^{11} + 2 a^{10} + 20 a^{9} + 10 a^{8} + 6 a^{7} + 2 a^{6} + 22 a^{5} + 4 a^{4} + 7 a^{3} + 16 a^{2} + 13 a + 9\right)\cdot 23^{4} +O(23^{5})\) |
$r_{ 5 }$ | $=$ | \( 6 a^{12} + 18 a^{11} + 21 a^{10} + 4 a^{9} + 12 a^{8} + 11 a^{7} + 18 a^{6} + 9 a^{5} + 6 a^{4} + 14 a^{3} + 18 a^{2} + 2 a + 13 + \left(14 a^{12} + 9 a^{11} + 8 a^{10} + 6 a^{9} + 6 a^{8} + 9 a^{7} + 15 a^{6} + 9 a^{5} + 10 a^{4} + 7 a^{3} + 8 a^{2} + 19 a + 10\right)\cdot 23 + \left(14 a^{12} + 16 a^{11} + 11 a^{10} + 3 a^{9} + 17 a^{8} + 3 a^{7} + 16 a^{6} + 16 a^{5} + 19 a^{4} + 11 a^{3} + 8 a^{2} + 11 a + 6\right)\cdot 23^{2} + \left(7 a^{12} + 6 a^{11} + 14 a^{10} + 21 a^{9} + 17 a^{8} + 13 a^{7} + 19 a^{6} + 5 a^{5} + 20 a^{4} + 6 a^{2} + a + 3\right)\cdot 23^{3} + \left(21 a^{12} + 12 a^{11} + 9 a^{10} + 12 a^{9} + 7 a^{8} + 3 a^{7} + 2 a^{6} + 8 a^{5} + 8 a^{4} + 6 a^{3} + 14 a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 23^{4} +O(23^{5})\) |
$r_{ 6 }$ | $=$ | \( 8 a^{12} + 10 a^{11} + 14 a^{10} + 17 a^{9} + 3 a^{8} + 10 a^{7} + 11 a^{6} + 5 a^{4} + 20 a^{3} + 3 a^{2} + 17 a + 19 + \left(a^{12} + 14 a^{11} + 10 a^{10} + 5 a^{9} + a^{8} + 10 a^{7} + 8 a^{6} + 10 a^{5} + 6 a^{4} + 18 a^{3} + 6 a^{2} + 11 a + 21\right)\cdot 23 + \left(11 a^{12} + 12 a^{11} + 21 a^{10} + 18 a^{9} + 17 a^{7} + a^{6} + 17 a^{5} + 12 a^{4} + 20 a^{3} + 3 a^{2} + 18 a + 6\right)\cdot 23^{2} + \left(16 a^{12} + 3 a^{11} + 5 a^{10} + 22 a^{9} + 15 a^{8} + 19 a^{7} + 20 a^{5} + 2 a^{4} + 2 a^{3} + 9 a^{2} + a + 11\right)\cdot 23^{3} + \left(19 a^{12} + 7 a^{11} + 9 a^{10} + 22 a^{9} + 6 a^{8} + 17 a^{7} + 3 a^{6} + 5 a^{5} + 3 a^{4} + 20 a^{3} + 11 a^{2} + 14 a + 20\right)\cdot 23^{4} +O(23^{5})\) |
$r_{ 7 }$ | $=$ | \( 12 a^{12} + 21 a^{11} + 5 a^{10} + 4 a^{9} + 2 a^{8} + 10 a^{7} + 22 a^{6} + 12 a^{5} + 3 a^{4} + 16 a^{3} + a^{2} + 7 a + 8 + \left(11 a^{12} + 16 a^{11} + 14 a^{10} + 3 a^{9} + 4 a^{8} + 19 a^{7} + 20 a^{6} + 20 a^{5} + 14 a^{4} + a^{3} + 21 a^{2} + 18 a + 14\right)\cdot 23 + \left(2 a^{12} + 16 a^{11} + 20 a^{10} + 10 a^{9} + 20 a^{8} + a^{7} + 3 a^{6} + 20 a^{5} + 6 a^{4} + 11 a^{3} + 7 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 23^{2} + \left(19 a^{12} + 12 a^{11} + 21 a^{10} + 10 a^{9} + 14 a^{8} + 17 a^{7} + 17 a^{6} + 17 a^{5} + 18 a^{4} + 10 a^{3} + 2 a^{2} + 14 a + 1\right)\cdot 23^{3} + \left(13 a^{12} + 18 a^{11} + 19 a^{10} + 5 a^{9} + 10 a^{8} + 19 a^{7} + 20 a^{6} + 18 a^{5} + 21 a^{4} + 16 a^{3} + 10 a + 14\right)\cdot 23^{4} +O(23^{5})\) |
$r_{ 8 }$ | $=$ | \( 14 a^{12} + 21 a^{11} + 6 a^{10} + 11 a^{9} + 15 a^{8} + 11 a^{7} + 7 a^{6} + 20 a^{5} + 14 a^{4} + 4 a^{3} + 16 a^{2} + 22 a + 14 + \left(18 a^{12} + 18 a^{11} + a^{10} + 17 a^{9} + 13 a^{7} + 21 a^{6} + 12 a^{5} + 14 a^{4} + 7 a^{3} + 17 a^{2} + 14 a + 16\right)\cdot 23 + \left(a^{12} + 6 a^{11} + 13 a^{10} + 15 a^{9} + 18 a^{8} + 11 a^{7} + 22 a^{6} + 13 a^{5} + 3 a^{4} + 16 a^{3} + 4 a^{2} + 15 a + 9\right)\cdot 23^{2} + \left(a^{12} + 9 a^{11} + 13 a^{10} + 7 a^{9} + 4 a^{8} + 16 a^{7} + 12 a^{6} + 10 a^{5} + 21 a^{4} + 3 a^{3} + 13 a^{2} + 6 a + 5\right)\cdot 23^{3} + \left(14 a^{12} + 20 a^{11} + 4 a^{10} + 22 a^{9} + 8 a^{8} + 17 a^{7} + 13 a^{6} + 10 a^{5} + 16 a^{4} + 20 a^{3} + 4 a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 23^{4} +O(23^{5})\) |
$r_{ 9 }$ | $=$ | \( 15 a^{12} + 16 a^{11} + 2 a^{10} + 21 a^{9} + 22 a^{7} + 10 a^{6} + 2 a^{5} + 18 a^{4} + 12 a^{3} + 16 a^{2} + 14 a + 17 + \left(11 a^{12} + 6 a^{11} + 17 a^{10} + 11 a^{9} + 22 a^{8} + 10 a^{7} + 18 a^{6} + 19 a^{5} + 9 a^{4} + 16 a^{3} + 8 a^{2} + 3 a + 20\right)\cdot 23 + \left(a^{12} + 9 a^{11} + 15 a^{10} + 20 a^{9} + a^{8} + 8 a^{7} + 6 a^{6} + 3 a^{5} + 12 a^{4} + 21 a^{3} + 18 a^{2} + 15 a + 1\right)\cdot 23^{2} + \left(16 a^{12} + 19 a^{11} + 17 a^{10} + 10 a^{9} + 20 a^{8} + 8 a^{7} + 14 a^{6} + 10 a^{5} + 18 a^{4} + 20 a^{3} + a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 23^{3} + \left(19 a^{12} + 17 a^{11} + 7 a^{10} + 20 a^{9} + 11 a^{7} + 20 a^{6} + 5 a^{5} + 6 a^{4} + 21 a^{3} + 12 a^{2} + 8 a + 13\right)\cdot 23^{4} +O(23^{5})\) |
$r_{ 10 }$ | $=$ | \( 17 a^{12} + 16 a^{11} + 4 a^{10} + 9 a^{9} + 11 a^{8} + 8 a^{7} + 16 a^{6} + 14 a^{4} + 9 a^{3} + 17 a^{2} + \left(14 a^{12} + 14 a^{11} + 18 a^{10} + 17 a^{9} + 8 a^{8} + 12 a^{7} + 10 a^{6} + 13 a^{5} + 8 a^{4} + 9 a^{3} + 22 a^{2} + 13 a + 11\right)\cdot 23 + \left(17 a^{12} + 2 a^{11} + 8 a^{10} + 4 a^{9} + 18 a^{8} + 20 a^{7} + 7 a^{6} + 3 a^{5} + 15 a^{4} + 6 a^{3} + 4 a^{2} + 21 a + 1\right)\cdot 23^{2} + \left(9 a^{12} + 13 a^{11} + 19 a^{10} + 13 a^{9} + 7 a^{8} + 14 a^{7} + 8 a^{6} + 16 a^{5} + 14 a^{4} + 11 a^{3} + 10 a^{2} + 9 a + 5\right)\cdot 23^{3} + \left(14 a^{11} + 21 a^{10} + 2 a^{9} + 10 a^{8} + 12 a^{7} + 3 a^{6} + 20 a^{5} + 20 a^{4} + 9 a^{3} + 4 a^{2} + 18 a + 21\right)\cdot 23^{4} +O(23^{5})\) |
$r_{ 11 }$ | $=$ | \( 19 a^{12} + 13 a^{11} + 21 a^{10} + 8 a^{9} + 2 a^{8} + 20 a^{7} + 12 a^{6} + 11 a^{5} + 19 a^{4} + 21 a^{2} + 6 + \left(15 a^{12} + 8 a^{10} + 22 a^{9} + 17 a^{8} + 18 a^{7} + 4 a^{6} + 19 a^{5} + 16 a^{4} + 9 a^{3} + 5 a^{2} + 15 a + 18\right)\cdot 23 + \left(7 a^{12} + 3 a^{11} + a^{10} + 14 a^{9} + 12 a^{8} + 12 a^{7} + 10 a^{6} + 2 a^{5} + 20 a^{4} + 8 a^{3} + 12 a^{2} + 12 a + 10\right)\cdot 23^{2} + \left(10 a^{12} + 13 a^{11} + 3 a^{10} + 21 a^{9} + 10 a^{8} + 8 a^{7} + 14 a^{6} + 13 a^{5} + 17 a^{4} + 5 a^{3} + 5 a^{2} + 13 a + 4\right)\cdot 23^{3} + \left(3 a^{12} + 19 a^{11} + 12 a^{10} + 21 a^{9} + 14 a^{8} + 15 a^{7} + 20 a^{6} + 4 a^{5} + 19 a^{4} + 18 a^{3} + 3 a^{2} + 17 a + 9\right)\cdot 23^{4} +O(23^{5})\) |
$r_{ 12 }$ | $=$ | \( 20 a^{12} + 21 a^{11} + 20 a^{10} + a^{9} + 22 a^{8} + 4 a^{7} + 2 a^{6} + 10 a^{5} + 10 a^{4} + 7 a^{3} + 14 a^{2} + 5 a + 9 + \left(12 a^{12} + 15 a^{11} + 6 a^{10} + 4 a^{9} + 4 a^{8} + 18 a^{7} + 8 a^{6} + 22 a^{5} + 6 a^{4} + 18 a^{3} + 20 a^{2} + 19 a + 11\right)\cdot 23 + \left(21 a^{12} + 6 a^{11} + 19 a^{10} + 13 a^{9} + 5 a^{8} + 14 a^{7} + 20 a^{6} + 20 a^{5} + 6 a^{4} + 22 a^{2} + a + 7\right)\cdot 23^{2} + \left(3 a^{12} + 12 a^{10} + 8 a^{9} + 11 a^{8} + 3 a^{7} + 22 a^{6} + 11 a^{5} + 16 a^{4} + 11 a^{3} + 11 a^{2} + 9 a + 20\right)\cdot 23^{3} + \left(3 a^{12} + 5 a^{11} + 14 a^{10} + 11 a^{9} + 7 a^{8} + 5 a^{7} + 3 a^{6} + 7 a^{5} + 12 a^{4} + 15 a^{3} + 20 a^{2} + 9 a + 6\right)\cdot 23^{4} +O(23^{5})\) |
$r_{ 13 }$ | $=$ | \( 21 a^{12} + 14 a^{11} + 18 a^{10} + 16 a^{9} + 18 a^{8} + 19 a^{7} + 8 a^{6} + 6 a^{5} + 2 a^{4} + 13 a^{3} + 22 a^{2} + 5 a + 12 + \left(3 a^{12} + 13 a^{11} + 3 a^{10} + 3 a^{9} + 5 a^{8} + 19 a^{7} + 7 a^{6} + 14 a^{5} + 22 a^{4} + 21 a^{2} + 21 a + 9\right)\cdot 23 + \left(7 a^{12} + 5 a^{11} + 10 a^{10} + 3 a^{9} + 11 a^{8} + 10 a^{7} + 6 a^{6} + 10 a^{5} + a^{4} + 9 a^{3} + 19 a^{2} + 6 a + 22\right)\cdot 23^{2} + \left(2 a^{12} + 5 a^{11} + 3 a^{9} + 5 a^{8} + 16 a^{7} + 15 a^{6} + 17 a^{5} + 5 a^{4} + 14 a^{3} + 10 a^{2} + 2 a + 20\right)\cdot 23^{3} + \left(4 a^{12} + 9 a^{11} + 12 a^{10} + 16 a^{9} + 2 a^{8} + 20 a^{7} + 5 a^{6} + 13 a^{5} + 16 a^{4} + 11 a^{3} + 21 a^{2} + 16 a + 19\right)\cdot 23^{4} +O(23^{5})\) |
Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 13 }$
Cycle notation |
Character values on conjugacy classes
Size | Order | Action on $r_1, \ldots, r_{ 13 }$ | Character value |
$1$ | $1$ | $()$ | $2$ |
$13$ | $2$ | $(1,7)(2,3)(4,12)(5,11)(6,9)(8,13)$ | $0$ |
$2$ | $13$ | $(1,10,7,13,4,2,5,6,9,11,3,12,8)$ | $\zeta_{13}^{8} + \zeta_{13}^{5}$ |
$2$ | $13$ | $(1,7,4,5,9,3,8,10,13,2,6,11,12)$ | $\zeta_{13}^{10} + \zeta_{13}^{3}$ |
$2$ | $13$ | $(1,13,5,11,8,7,2,9,12,10,4,6,3)$ | $\zeta_{13}^{11} + \zeta_{13}^{2}$ |
$2$ | $13$ | $(1,4,9,8,13,6,12,7,5,3,10,2,11)$ | $\zeta_{13}^{7} + \zeta_{13}^{6}$ |
$2$ | $13$ | $(1,2,3,7,6,8,4,11,10,5,12,13,9)$ | $-\zeta_{13}^{11} - \zeta_{13}^{10} - \zeta_{13}^{9} - \zeta_{13}^{8} - \zeta_{13}^{7} - \zeta_{13}^{6} - \zeta_{13}^{5} - \zeta_{13}^{4} - \zeta_{13}^{3} - \zeta_{13}^{2} - 1$ |
$2$ | $13$ | $(1,5,8,2,12,4,3,13,11,7,9,10,6)$ | $\zeta_{13}^{9} + \zeta_{13}^{4}$ |
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.