Basic invariants
Dimension: | $2$ |
Group: | $C_9\times S_3$ |
Conductor: | \(3645\)\(\medspace = 3^{6} \cdot 5 \) |
Artin stem field: | Galois closure of 18.0.5770142004982097067662109375.2 |
Galois orbit size: | $6$ |
Smallest permutation container: | $C_9\times S_3$ |
Parity: | odd |
Determinant: | 1.135.18t1.b.b |
Projective image: | $S_3$ |
Projective stem field: | Galois closure of 3.1.135.1 |
Defining polynomial
$f(x)$ | $=$ | \( x^{18} + 18 x^{16} + 135 x^{14} + 546 x^{12} + 1287 x^{10} - 4 x^{9} + 1782 x^{8} - 36 x^{7} + 1386 x^{6} + \cdots + 19 \) . |
The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 23 }$ to precision 10.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 23 }$: \( x^{9} + 3x^{3} + 8x^{2} + 9x + 18 \)
Roots:
$r_{ 1 }$ | $=$ | \( 12 a^{8} + 9 a^{7} + 10 a^{6} + 16 a^{5} + 6 a^{4} + 13 a^{3} + 7 a^{2} + 11 a + 11 + \left(20 a^{8} + 2 a^{7} + 19 a^{6} + 19 a^{5} + 22 a^{4} + 11 a^{2} + 21 a + 13\right)\cdot 23 + \left(2 a^{8} + 2 a^{7} + 13 a^{6} + 4 a^{5} + 14 a^{4} + 13 a^{3} + 6 a^{2} + 9 a + 2\right)\cdot 23^{2} + \left(11 a^{8} + 3 a^{7} + 2 a^{6} + 20 a^{5} + 19 a^{4} + 6 a^{3} + 7 a^{2} + 8 a + 6\right)\cdot 23^{3} + \left(4 a^{8} + 10 a^{7} + 6 a^{6} + 13 a^{5} + 15 a^{4} + 15 a^{3} + 19 a^{2} + 7 a + 1\right)\cdot 23^{4} + \left(11 a^{8} + 7 a^{7} + 8 a^{6} + 3 a^{5} + 15 a^{4} + 10 a^{3} + 19 a^{2} + 8 a + 22\right)\cdot 23^{5} + \left(19 a^{8} + 10 a^{7} + 7 a^{6} + 17 a^{5} + 11 a^{4} + 11 a^{3} + 5 a^{2} + 19 a + 9\right)\cdot 23^{6} + \left(21 a^{8} + 21 a^{7} + 9 a^{6} + 14 a^{5} + 16 a^{4} + 6 a^{3} + 18 a^{2} + 7 a + 7\right)\cdot 23^{7} + \left(3 a^{8} + 11 a^{7} + 7 a^{5} + 9 a^{4} + 21 a^{3} + 12 a^{2} + 4 a + 22\right)\cdot 23^{8} + \left(4 a^{8} + 3 a^{7} + a^{6} + 19 a^{5} + 20 a^{4} + 3 a^{3} + 16 a^{2} + 6 a + 18\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})\) |
$r_{ 2 }$ | $=$ | \( 6 a^{8} + 3 a^{6} + 13 a^{5} + 14 a^{4} + 10 a^{3} + a^{2} + 2 a + 8 + \left(7 a^{8} + 12 a^{7} + 13 a^{6} + 12 a^{5} + 13 a^{4} + 17 a^{3} + 11 a^{2} + 22 a + 13\right)\cdot 23 + \left(6 a^{8} + 12 a^{7} + 5 a^{6} + 5 a^{5} + 20 a^{4} + 3 a^{3} + 11 a^{2} + 22 a + 1\right)\cdot 23^{2} + \left(16 a^{8} + 11 a^{7} + 4 a^{6} + 22 a^{5} + 11 a^{4} + 21 a^{2} + 20 a + 6\right)\cdot 23^{3} + \left(18 a^{8} + 9 a^{7} + 22 a^{6} + a^{5} + a^{4} + 7 a^{3} + 17 a + 5\right)\cdot 23^{4} + \left(12 a^{8} + 16 a^{7} + 12 a^{5} + 17 a^{4} + 3 a^{3} + 9 a^{2} + 14 a + 7\right)\cdot 23^{5} + \left(a^{8} + a^{7} + 3 a^{6} + 2 a^{5} + 18 a^{4} + 22 a^{3} + 7 a^{2} + 2 a + 11\right)\cdot 23^{6} + \left(8 a^{8} + 10 a^{7} + 2 a^{6} + 17 a^{5} + 3 a^{4} + 22 a^{3} + 17 a^{2} + 10 a + 16\right)\cdot 23^{7} + \left(2 a^{8} + 11 a^{7} + 6 a^{6} + 14 a^{5} + 9 a^{4} + 2 a^{3} + 6 a^{2} + 11 a + 12\right)\cdot 23^{8} + \left(7 a^{8} + 14 a^{7} + 14 a^{6} + 4 a^{5} + 19 a^{4} + 15 a^{3} + 7 a^{2} + 2 a + 14\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})\) |
$r_{ 3 }$ | $=$ | \( 21 a^{8} + 9 a^{7} + 19 a^{6} + 2 a^{5} + 14 a^{4} + 12 a^{3} + 9 a^{2} + 7 a + 9 + \left(9 a^{8} + 12 a^{7} + 5 a^{6} + 6 a^{5} + 8 a^{4} + 15 a^{3} + 15 a^{2} + 21 a + 22\right)\cdot 23 + \left(17 a^{8} + 17 a^{7} + 3 a^{6} + 14 a^{5} + 4 a^{4} + 22 a^{3} + 16 a^{2} + 10 a + 19\right)\cdot 23^{2} + \left(4 a^{8} + 4 a^{7} + 6 a^{5} + 20 a^{4} + 5 a^{3} + 2 a^{2} + 18 a + 16\right)\cdot 23^{3} + \left(8 a^{7} + 15 a^{6} + 13 a^{4} + 14 a^{3} + 8 a^{2} + 21 a + 13\right)\cdot 23^{4} + \left(3 a^{8} + 16 a^{7} + 7 a^{6} + 15 a^{5} + 11 a^{4} + 16 a^{3} + 5 a^{2} + 21 a\right)\cdot 23^{5} + \left(3 a^{8} + 6 a^{7} + a^{6} + 12 a^{5} + 3 a^{4} + 14 a^{2} + a + 3\right)\cdot 23^{6} + \left(7 a^{8} + a^{7} + 8 a^{6} + 11 a^{5} + 8 a^{4} + 9 a^{3} + 3 a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 23^{7} + \left(4 a^{8} + 10 a^{7} + a^{6} + 10 a^{5} + 6 a^{4} + 6 a^{3} + 18 a^{2} + 4 a + 10\right)\cdot 23^{8} + \left(13 a^{8} + 5 a^{7} + 16 a^{6} + 4 a^{5} + 17 a^{4} + 19 a^{3} + 13 a^{2} + 12 a + 10\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})\) |
$r_{ 4 }$ | $=$ | \( 16 a^{8} + 18 a^{7} + 2 a^{6} + 6 a^{5} + 16 a^{4} + 12 a^{3} + 4 a^{2} + 8 a + 14 + \left(14 a^{8} + 13 a^{7} + 19 a^{6} + 10 a^{5} + 4 a^{4} + 19 a^{3} + 20 a^{2} + 9 a + 16\right)\cdot 23 + \left(17 a^{8} + 12 a^{7} + 10 a^{6} + 11 a^{5} + 5 a^{4} + 6 a^{3} + 11 a^{2} + 13\right)\cdot 23^{2} + \left(7 a^{8} + 6 a^{7} + 13 a^{6} + 5 a^{5} + 10 a^{4} + 4 a^{2} + 12 a + 4\right)\cdot 23^{3} + \left(18 a^{8} + 18 a^{7} + a^{6} + 3 a^{5} + 15 a^{4} + 4 a^{3} + 2 a^{2} + 19 a + 13\right)\cdot 23^{4} + \left(7 a^{8} + a^{7} + 2 a^{6} + 21 a^{5} + 8 a^{4} + 7 a^{3} + 9 a^{2} + 8 a + 3\right)\cdot 23^{5} + \left(10 a^{8} + 12 a^{7} + 13 a^{6} + 9 a^{5} + 9 a^{4} + 22 a^{3} + 9 a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 23^{6} + \left(18 a^{8} + 21 a^{7} + 11 a^{6} + 17 a^{5} + 13 a^{4} + 6 a^{3} + 22 a^{2} + 18 a + 8\right)\cdot 23^{7} + \left(16 a^{8} + 2 a^{7} + 18 a^{6} + 14 a^{5} + 22 a^{4} + 7 a^{3} + 5 a^{2} + 3 a + 13\right)\cdot 23^{8} + \left(7 a^{8} + 18 a^{7} + 2 a^{6} + 12 a^{5} + 16 a^{4} + 6 a^{2} + 5 a + 11\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})\) |
$r_{ 5 }$ | $=$ | \( 3 a^{8} + 18 a^{7} + 21 a^{6} + 21 a^{5} + 9 a^{4} + 14 a^{3} + 22 a^{2} + 15 a + 17 + \left(11 a^{8} + 12 a^{7} + 19 a^{6} + 18 a^{5} + 12 a^{4} + 3 a^{3} + 3 a^{2} + 19 a + 16\right)\cdot 23 + \left(2 a^{8} + 7 a^{7} + a^{6} + 8 a^{5} + 5 a^{4} + 6 a^{3} + 14 a^{2} + 16 a + 6\right)\cdot 23^{2} + \left(10 a^{8} + 10 a^{7} + 7 a^{6} + 16 a^{5} + 8 a^{4} + 11 a^{3} + 8 a^{2} + 17 a + 21\right)\cdot 23^{3} + \left(15 a^{8} + 15 a^{7} + 17 a^{6} + 21 a^{5} + 9 a^{4} + 11 a^{3} + 18 a^{2} + 19 a + 8\right)\cdot 23^{4} + \left(12 a^{8} + 7 a^{7} + 12 a^{6} + 20 a^{5} + 20 a^{4} + 11 a^{3} + a^{2} + 6 a + 3\right)\cdot 23^{5} + \left(19 a^{8} + 5 a^{7} + 13 a^{6} + 4 a^{5} + 20 a^{4} + 22 a^{3} + 4 a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 23^{6} + \left(7 a^{8} + a^{6} + 8 a^{5} + 11 a^{4} + 17 a^{3} + 11 a^{2} + 16\right)\cdot 23^{7} + \left(21 a^{8} + 5 a^{7} + 11 a^{6} + 6 a^{5} + 13 a^{4} + 17 a^{3} + 22 a^{2} + 22 a + 1\right)\cdot 23^{8} + \left(7 a^{8} + 18 a^{7} + 13 a^{6} + 11 a^{5} + 22 a^{4} + 22 a^{3} + 8 a^{2} + 19 a + 12\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})\) |
$r_{ 6 }$ | $=$ | \( 10 a^{8} + a^{7} + 14 a^{6} + 8 a^{5} + 20 a^{4} + 7 a^{3} + 4 a^{2} + 11 a + 12 + \left(10 a^{8} + 6 a^{7} + 10 a^{6} + 4 a^{5} + 16 a^{4} + a^{3} + 22 a^{2} + 6 a + 14\right)\cdot 23 + \left(6 a^{8} + 10 a^{7} + 10 a^{6} + 13 a^{5} + 5 a^{4} + 4 a^{3} + 8 a^{2} + 18 a + 8\right)\cdot 23^{2} + \left(17 a^{8} + 16 a^{7} + 13 a^{6} + 3 a^{4} + 15 a^{3} + 14 a^{2} + 12 a + 9\right)\cdot 23^{3} + \left(17 a^{8} + 8 a^{7} + 21 a^{6} + 13 a^{5} + a^{4} + a^{3} + 10 a^{2} + 15 a + 9\right)\cdot 23^{4} + \left(4 a^{8} + 15 a^{7} + 11 a^{6} + 16 a^{5} + 16 a^{4} + 8 a^{3} + 2 a^{2} + 15 a + 4\right)\cdot 23^{5} + \left(19 a^{8} + 19 a^{7} + 7 a^{6} + 10 a^{5} + 6 a^{4} + 2 a^{3} + 19 a^{2} + 18 a + 20\right)\cdot 23^{6} + \left(2 a^{8} + 10 a^{7} + 13 a^{6} + 3 a^{5} + 5 a^{4} + 7 a^{3} + 15 a^{2} + 18 a + 1\right)\cdot 23^{7} + \left(11 a^{8} + 22 a^{6} + 3 a^{5} + 18 a^{4} + 16 a^{3} + 10 a + 22\right)\cdot 23^{8} + \left(6 a^{8} + 22 a^{7} + 18 a^{6} + 6 a^{5} + 16 a^{4} + 14 a^{3} + 21 a^{2} + 22 a + 1\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})\) |
$r_{ 7 }$ | $=$ | \( 14 a^{8} + 5 a^{7} + 22 a^{6} + 12 a^{5} + 22 a^{3} + 6 a + 21 + \left(4 a^{8} + 21 a^{7} + 12 a^{6} + 14 a^{5} + 20 a^{4} + a^{3} + 8 a^{2} + 4 a + 15\right)\cdot 23 + \left(14 a^{8} + 2 a^{7} + 15 a^{6} + 8 a^{5} + 19 a^{4} + 13 a^{3} + 20 a^{2} + 6 a + 14\right)\cdot 23^{2} + \left(19 a^{8} + a^{7} + 11 a^{6} + 7 a^{5} + 2 a^{4} + 11 a^{3} + 15 a^{2} + 7 a + 18\right)\cdot 23^{3} + \left(11 a^{8} + 21 a^{7} + 6 a^{6} + 22 a^{5} + 12 a^{4} + 4 a^{3} + 3 a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 23^{4} + \left(20 a^{8} + 21 a^{7} + 9 a^{6} + 12 a^{5} + 8 a^{4} + 8 a^{3} + 12 a^{2} + a + 12\right)\cdot 23^{5} + \left(a^{8} + 15 a^{7} + 6 a^{6} + 15 a^{5} + 6 a^{4} + a^{3} + 11 a^{2} + 11 a + 4\right)\cdot 23^{6} + \left(7 a^{8} + 12 a^{7} + 19 a^{6} + 20 a^{5} + 7 a^{4} + 5 a^{3} + 17 a^{2} + 12 a + 13\right)\cdot 23^{7} + \left(22 a^{8} + 6 a^{7} + 5 a^{6} + a^{5} + 2 a^{3} + 16 a^{2} + 12 a + 8\right)\cdot 23^{8} + \left(7 a^{8} + 13 a^{7} + 18 a^{6} + 7 a^{5} + 4 a^{4} + 8 a^{3} + 6 a^{2} + 19\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})\) |
$r_{ 8 }$ | $=$ | \( 6 a^{8} + 2 a^{6} + 16 a^{5} + 18 a^{4} + 6 a^{3} + 12 a^{2} + 21 a + 6 + \left(9 a^{8} + 7 a^{7} + 4 a^{6} + 20 a^{5} + 16 a^{3} + a^{2} + 10 a + 8\right)\cdot 23 + \left(14 a^{8} + 22 a^{7} + 16 a^{6} + 4 a^{5} + 5 a^{4} + a^{3} + 20 a^{2} + 18 a + 10\right)\cdot 23^{2} + \left(6 a^{8} + 14 a^{7} + 3 a^{5} + 6 a^{4} + 13 a^{3} + 3 a^{2} + 3 a + 4\right)\cdot 23^{3} + \left(19 a^{8} + 2 a^{7} + 22 a^{6} + 19 a^{5} + 2 a^{4} + 16 a^{3} + 5 a^{2} + 10 a\right)\cdot 23^{4} + \left(a^{8} + 19 a^{7} + 22 a^{6} + 8 a^{5} + 8 a^{4} + 18 a^{3} + 5 a^{2} + 7 a + 16\right)\cdot 23^{5} + \left(11 a^{8} + 14 a^{7} + 3 a^{6} + 13 a^{5} + 13 a^{4} + 14 a^{3} + 5 a^{2} + 22 a + 17\right)\cdot 23^{6} + \left(4 a^{8} + 17 a^{7} + 8 a^{6} + 3 a^{5} + 7 a^{2} + 11 a + 13\right)\cdot 23^{7} + \left(6 a^{8} + 18 a^{7} + 10 a^{6} + 6 a^{5} + 16 a^{4} + 13 a^{3} + 11 a + 5\right)\cdot 23^{8} + \left(2 a^{8} + 10 a^{7} + 5 a^{6} + 9 a^{5} + 16 a^{4} + 3 a^{3} + 21 a^{2} + 17 a + 22\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})\) |
$r_{ 9 }$ | $=$ | \( 9 a^{8} + 9 a^{7} + 13 a^{6} + 10 a^{5} + 12 a^{4} + 10 a^{3} + 22 a^{2} + 6 a + 16 + \left(10 a^{8} + 2 a^{7} + 15 a^{6} + a^{5} + 5 a^{4} + 11 a^{3} + 20 a^{2} + 15 a + 16\right)\cdot 23 + \left(9 a^{8} + 8 a^{7} + 22 a^{6} + 21 a^{5} + 7 a^{4} + 22 a^{3} + 10 a^{2} + 14 a + 2\right)\cdot 23^{2} + \left(5 a^{8} + 13 a^{7} + 19 a^{6} + 14 a^{5} + 3 a^{4} + 5 a^{2} + 16 a + 18\right)\cdot 23^{3} + \left(5 a^{8} + 6 a^{7} + 15 a^{6} + 16 a^{5} + 17 a^{4} + 3 a^{3} + 13 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 23^{4} + \left(7 a^{8} + 10 a^{7} + 2 a^{6} + 3 a^{5} + 17 a^{4} + 20 a^{3} + 6 a^{2} + 21 a + 22\right)\cdot 23^{5} + \left(10 a^{8} + 10 a^{7} + 7 a^{6} + 20 a^{5} + 22 a^{4} + 15 a^{3} + 17 a^{2} + 4 a + 10\right)\cdot 23^{6} + \left(9 a^{8} + 13 a^{7} + 15 a^{6} + 10 a^{5} + a^{4} + 13 a^{3} + 14 a^{2} + 17 a + 8\right)\cdot 23^{7} + \left(12 a^{8} + 5 a^{7} + 21 a^{5} + 19 a^{4} + 3 a^{3} + 5 a^{2} + 21 a + 20\right)\cdot 23^{8} + \left(14 a^{8} + 5 a^{7} + 9 a^{6} + 12 a^{5} + 3 a^{4} + 8 a^{3} + 21 a^{2} + 12 a\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})\) |
$r_{ 10 }$ | $=$ | \( 18 a^{8} + 11 a^{7} + 19 a^{6} + 14 a^{5} + 10 a^{4} + a^{3} + 4 a^{2} + 12 a + \left(7 a^{8} + 2 a^{7} + 11 a^{6} + 12 a^{5} + 15 a^{4} + 7 a^{3} + 10 a^{2} + 14 a + 17\right)\cdot 23 + \left(7 a^{8} + 6 a^{7} + 16 a^{6} + 17 a^{5} + 15 a^{4} + 5 a^{3} + 10 a + 14\right)\cdot 23^{2} + \left(10 a^{8} + 4 a^{7} + 10 a^{6} + 17 a^{4} + 19 a^{3} + 8 a^{2} + 12 a + 20\right)\cdot 23^{3} + \left(11 a^{8} + 22 a^{7} + 20 a^{6} + 12 a^{5} + 3 a^{4} + 14 a^{3} + 2 a^{2} + 21 a + 9\right)\cdot 23^{4} + \left(12 a^{8} + 19 a^{7} + 2 a^{6} + 18 a^{5} + 21 a^{4} + 18 a^{3} + 16 a^{2} + 5 a + 20\right)\cdot 23^{5} + \left(a^{8} + 12 a^{7} + 13 a^{6} + 13 a^{5} + 14 a^{4} + 6 a^{3} + 2 a^{2} + 2 a + 13\right)\cdot 23^{6} + \left(13 a^{8} + 18 a^{7} + 11 a^{6} + 12 a^{5} + a^{3} + 8 a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 23^{7} + \left(18 a^{8} + 20 a^{7} + 3 a^{6} + 14 a^{5} + 17 a^{4} + 15 a^{3} + 5 a^{2} + 6 a + 6\right)\cdot 23^{8} + \left(19 a^{8} + 21 a^{7} + 12 a^{6} + 3 a^{5} + 22 a^{4} + 12 a^{3} + 11 a^{2} + 14 a + 7\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})\) |
$r_{ 11 }$ | $=$ | \( 21 a^{8} + 18 a^{7} + 16 a^{6} + 18 a^{5} + 13 a^{4} + 9 a^{3} + 12 a^{2} + 18 a + 13 + \left(12 a^{8} + 21 a^{7} + 3 a^{6} + 8 a^{5} + a^{4} + 3 a^{3} + a^{2} + 6 a + 8\right)\cdot 23 + \left(5 a^{7} + 10 a^{6} + 3 a^{5} + 10 a^{4} + 2 a^{3} + 19 a^{2} + 18 a + 18\right)\cdot 23^{2} + \left(a^{8} + 6 a^{7} + 11 a^{6} + 19 a^{5} + 18 a^{4} + 19 a^{3} + 22 a^{2} + 21 a + 13\right)\cdot 23^{3} + \left(14 a^{8} + 3 a^{7} + 22 a^{6} + 3 a^{5} + 14 a^{4} + 10 a^{3} + 20 a^{2} + 17 a + 11\right)\cdot 23^{4} + \left(15 a^{8} + 4 a^{7} + 19 a^{6} + 15 a^{5} + 9 a^{4} + a^{3} + a^{2} + a + 1\right)\cdot 23^{5} + \left(16 a^{8} + 19 a^{6} + 21 a^{5} + 16 a^{4} + 18 a^{3} + 8 a^{2} + 13 a + 3\right)\cdot 23^{6} + \left(12 a^{8} + 5 a^{7} + 5 a^{6} + 22 a^{5} + 11 a^{4} + 6 a^{3} + a^{2} + 18 a + 4\right)\cdot 23^{7} + \left(7 a^{8} + 4 a^{7} + 16 a^{6} + 20 a^{5} + 6 a^{4} + 17 a^{3} + 8 a^{2} + 15 a + 4\right)\cdot 23^{8} + \left(6 a^{8} + 8 a^{7} + 14 a^{5} + 12 a^{3} + 22 a^{2} + 18 a + 21\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})\) |
$r_{ 12 }$ | $=$ | \( 16 a^{8} + 3 a^{7} + 17 a^{6} + 16 a^{5} + 7 a^{4} + 9 a^{3} + 12 a^{2} + 12 + \left(17 a^{8} + 18 a^{7} + 14 a^{6} + 13 a^{5} + 8 a^{4} + 15 a^{3} + a^{2} + 10 a + 15\right)\cdot 23 + \left(12 a^{8} + 14 a^{7} + 15 a^{6} + 15 a^{4} + 4 a^{3} + 16 a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 23^{2} + \left(a^{8} + 15 a^{7} + 9 a^{6} + 2 a^{5} + 8 a^{4} + 20 a^{3} + 7 a^{2} + 2 a + 19\right)\cdot 23^{3} + \left(7 a^{8} + 13 a^{7} + 19 a^{6} + 20 a^{5} + 3 a^{4} + 15 a^{3} + a^{2} + 17 a + 11\right)\cdot 23^{4} + \left(22 a^{8} + 18 a^{7} + 11 a^{6} + 9 a^{4} + 16 a^{3} + 10 a^{2} + 8 a + 3\right)\cdot 23^{5} + \left(a^{8} + 22 a^{7} + 2 a^{6} + 15 a^{5} + 19 a^{4} + 4 a^{3} + 14 a^{2} + a + 22\right)\cdot 23^{6} + \left(11 a^{8} + 5 a^{7} + 2 a^{6} + 18 a^{5} + 5 a^{4} + 15 a^{3} + 19 a^{2} + 9 a + 4\right)\cdot 23^{7} + \left(13 a^{7} + 19 a^{6} + 19 a^{4} + 9 a^{3} + 4 a^{2} + 12 a + 17\right)\cdot 23^{8} + \left(22 a^{8} + 20 a^{7} + 9 a^{6} + 2 a^{4} + 6 a^{3} + 18 a^{2} + 2 a + 19\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})\) |
$r_{ 13 }$ | $=$ | \( 7 a^{8} + 22 a^{7} + 7 a^{6} + 22 a^{5} + 8 a^{4} + 10 a^{3} + 7 a^{2} + 14 a + 5 + \left(3 a^{8} + 9 a^{7} + 8 a^{6} + 20 a^{5} + 5 a^{4} + 5 a^{3} + 22 a^{2} + 5 a\right)\cdot 23 + \left(2 a^{8} + 13 a^{7} + 19 a^{6} + 4 a^{5} + 12 a^{4} + 17 a^{3} + 16 a^{2} + 9 a + 4\right)\cdot 23^{2} + \left(22 a^{8} + 14 a^{7} + 8 a^{6} + 19 a^{5} + 13 a^{4} + 17 a^{3} + 4 a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 23^{3} + \left(8 a^{8} + 11 a^{7} + 2 a^{6} + 13 a^{5} + 19 a^{4} + 4 a^{3} + 7 a^{2} + 20 a + 13\right)\cdot 23^{4} + \left(16 a^{8} + 11 a^{7} + 11 a^{6} + 20 a^{5} + 21 a^{4} + 19 a^{3} + 15 a^{2} + 22 a + 2\right)\cdot 23^{5} + \left(15 a^{8} + 11 a^{7} + 11 a^{6} + 21 a^{5} + 2 a^{4} + 5 a^{3} + 21 a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 23^{6} + \left(15 a^{8} + 17 a^{7} + a^{6} + 15 a^{5} + 17 a^{4} + 15 a^{3} + 22 a^{2} + 15 a + 7\right)\cdot 23^{7} + \left(5 a^{8} + 3 a^{7} + 13 a^{6} + 13 a^{5} + 11 a^{4} + 16 a^{3} + 21 a^{2} + 18\right)\cdot 23^{8} + \left(14 a^{8} + 13 a^{7} + 21 a^{6} + 7 a^{5} + 12 a^{4} + 4 a^{3} + 3 a^{2} + 6 a + 21\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})\) |
$r_{ 14 }$ | $=$ | \( 14 a^{8} + 11 a^{7} + 7 a^{6} + 16 a^{5} + a^{4} + 4 a^{3} + 13 a^{2} + 15 a + 13 + \left(5 a^{8} + 6 a^{7} + 13 a^{6} + 7 a^{5} + 5 a^{3} + 17 a^{2} + 15 a + 9\right)\cdot 23 + \left(a^{8} + 3 a^{7} + 11 a^{6} + 20 a^{5} + 15 a^{4} + 13 a^{3} + 20 a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 23^{2} + \left(4 a^{8} + 21 a^{7} + 8 a^{6} + 5 a^{5} + 18 a^{4} + 5 a^{3} + 20 a^{2} + 22 a + 2\right)\cdot 23^{3} + \left(10 a^{8} + 20 a^{7} + 7 a^{6} + 11 a^{5} + 19 a^{4} + 11 a^{3} + 15 a^{2} + 20 a + 9\right)\cdot 23^{4} + \left(3 a^{8} + 19 a^{7} + 6 a^{6} + 22 a^{5} + 3 a^{4} + 11 a^{3} + 13 a^{2} + 15 a + 18\right)\cdot 23^{5} + \left(9 a^{8} + 18 a^{7} + 14 a^{6} + 21 a^{5} + 3 a^{4} + 15 a^{3} + 15 a + 19\right)\cdot 23^{6} + \left(8 a^{8} + 19 a^{7} + 13 a^{6} + 3 a^{5} + 6 a^{3} + 12 a^{2} + 22 a + 15\right)\cdot 23^{7} + \left(16 a^{8} + 4 a^{7} + 22 a^{6} + 5 a^{5} + 6 a^{4} + a^{3} + 21 a^{2} + 10 a + 14\right)\cdot 23^{8} + \left(12 a^{8} + 19 a^{7} + 12 a^{6} + 22 a^{5} + 19 a^{4} + 8 a^{3} + 13 a^{2} + 14 a + 14\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})\) |
$r_{ 15 }$ | $=$ | \( 9 a^{8} + 19 a^{7} + 14 a^{6} + 22 a^{5} + 21 a^{4} + 21 a^{3} + 13 a^{2} + a + 1 + \left(14 a^{8} + 14 a^{7} + 6 a^{6} + 11 a^{5} + 19 a^{4} + 16 a^{3} + 10 a^{2} + 15 a + 11\right)\cdot 23 + \left(6 a^{8} + 19 a^{7} + 12 a^{6} + 6 a^{5} + 4 a^{4} + 21 a^{3} + 10 a\right)\cdot 23^{2} + \left(15 a^{8} + a^{7} + 14 a^{6} + 9 a^{5} + 19 a^{4} + 19 a^{3} + 20 a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 23^{3} + \left(2 a^{8} + 6 a^{7} + 5 a^{6} + 21 a^{5} + 16 a^{4} + 7 a^{3} + 17 a^{2} + 11 a + 19\right)\cdot 23^{4} + \left(22 a^{8} + 9 a^{7} + 14 a^{6} + 5 a^{5} + 17 a^{4} + 22 a^{3} + 2 a^{2} + 11 a + 22\right)\cdot 23^{5} + \left(3 a^{8} + 6 a^{7} + 22 a^{6} + 10 a^{5} + 4 a^{4} + 16 a^{2} + 19 a + 11\right)\cdot 23^{6} + \left(19 a^{8} + 6 a^{7} + 7 a^{6} + 20 a^{5} + 21 a^{4} + 22 a^{3} + 17 a^{2} + 6\right)\cdot 23^{7} + \left(20 a^{8} + 18 a^{7} + 12 a^{6} + 8 a^{5} + 7 a^{4} + 12 a^{3} + 16 a^{2} + 5 a + 16\right)\cdot 23^{8} + \left(2 a^{8} + 11 a^{7} + 16 a^{6} + 14 a^{5} + 15 a^{4} + 22 a^{3} + 12 a^{2} + 21 a + 14\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})\) |
$r_{ 16 }$ | $=$ | \( 16 a^{8} + 19 a^{7} + 17 a^{6} + 18 a^{5} + 21 a^{4} + 4 a^{3} + 12 a^{2} + 22 a + 17 + \left(22 a^{8} + 21 a^{7} + 3 a^{6} + 12 a^{5} + 15 a^{4} + 8 a^{3} + 20\right)\cdot 23 + \left(12 a^{8} + 8 a^{7} + 13 a^{6} + 21 a^{5} + 5 a^{4} + 21 a^{3} + 16 a^{2} + 13 a + 1\right)\cdot 23^{2} + \left(16 a^{8} + 3 a^{7} + 14 a^{6} + 11 a^{5} + a^{4} + 2 a^{3} + 17 a^{2} + 7 a + 14\right)\cdot 23^{3} + \left(3 a^{8} + 13 a^{7} + 7 a^{6} + 2 a^{5} + 14 a^{4} + 9 a^{3} + 11 a^{2} + 20 a + 1\right)\cdot 23^{4} + \left(8 a^{7} + 4 a^{5} + 18 a^{4} + a^{3} + 14 a^{2} + 22 a + 22\right)\cdot 23^{5} + \left(19 a^{8} + 12 a^{7} + 19 a^{6} + 4 a^{5} + 6 a^{4} + 12 a^{3} + 20 a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 23^{6} + \left(4 a^{7} + a^{6} + 12 a^{5} + 9 a^{4} + 2 a^{3} + 6 a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 23^{7} + \left(3 a^{8} + 13 a^{7} + 6 a^{6} + 3 a^{5} + 20 a^{4} + 2 a^{3} + 9 a^{2} + 8 a + 21\right)\cdot 23^{8} + \left(2 a^{8} + 9 a^{7} + 13 a^{6} + 18 a^{5} + 18 a^{4} + 2 a^{3} + 2 a^{2} + 14 a\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})\) |
$r_{ 17 }$ | $=$ | \( 9 a^{8} + 19 a^{7} + 2 a^{6} + 15 a^{5} + 16 a^{4} + 22 a^{3} + 10 a^{2} + 8 a + \left(21 a^{8} + 19 a^{7} + 21 a^{6} + 6 a^{5} + 9 a^{4} + 10 a^{3} + 10 a^{2} + 15 a + 7\right)\cdot 23 + \left(10 a^{8} + 15 a^{7} + 8 a^{6} + 20 a^{5} + 13 a^{4} + 16 a^{3} + 17 a^{2} + 11 a + 12\right)\cdot 23^{2} + \left(10 a^{8} + 11 a^{7} + 9 a^{6} + 10 a^{5} + 15 a^{4} + 16 a^{3} + 15 a^{2} + 15 a + 1\right)\cdot 23^{3} + \left(4 a^{8} + 19 a^{7} + 6 a^{6} + 19 a^{5} + 16 a^{4} + 4 a^{3} + 12 a^{2} + 4 a + 19\right)\cdot 23^{4} + \left(12 a^{8} + 4 a^{7} + 13 a^{6} + 9 a^{5} + 2 a^{4} + 22 a^{3} + 8 a^{2} + 15 a + 18\right)\cdot 23^{5} + \left(9 a^{8} + 4 a^{7} + 8 a^{6} + 10 a^{4} + 22 a^{3} + 22 a^{2} + 18 a + 14\right)\cdot 23^{6} + \left(20 a^{8} + 3 a^{6} + 17 a^{5} + a^{4} + 6 a^{3} + 19 a^{2} + 18 a + 7\right)\cdot 23^{7} + \left(a^{8} + 10 a^{7} + 3 a^{6} + 20 a^{5} + 17 a^{4} + 9 a^{3} + 21 a^{2} + 14 a + 22\right)\cdot 23^{8} + \left(2 a^{8} + 22 a^{7} + 4 a^{6} + 5 a^{5} + 11 a^{4} + 3 a^{3} + 2 a^{2} + 5 a\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})\) |
$r_{ 18 }$ | $=$ | \( 16 a^{7} + 2 a^{6} + 8 a^{5} + a^{4} + 21 a^{3} + 20 a^{2} + 7 a + 9 + \left(3 a^{8} + a^{7} + 3 a^{6} + 3 a^{5} + 3 a^{4} + 17 a^{2} + 15 a + 2\right)\cdot 23 + \left(15 a^{8} + 22 a^{6} + 19 a^{5} + 3 a^{4} + 11 a^{3} + a^{2} + 5 a + 20\right)\cdot 23^{2} + \left(3 a^{8} + 22 a^{6} + 7 a^{5} + 8 a^{4} + 20 a^{3} + 5 a^{2} + 14 a + 13\right)\cdot 23^{3} + \left(10 a^{8} + 19 a^{7} + 9 a^{6} + 13 a^{5} + 9 a^{4} + 3 a^{3} + 12 a^{2} + 13 a + 17\right)\cdot 23^{4} + \left(20 a^{8} + 16 a^{7} + 2 a^{6} + 17 a^{5} + a^{4} + 12 a^{3} + 6 a^{2} + 18 a + 4\right)\cdot 23^{5} + \left(9 a^{8} + 20 a^{7} + 9 a^{6} + 13 a^{5} + 15 a^{4} + 6 a^{3} + 6 a^{2} + 10 a + 14\right)\cdot 23^{6} + \left(18 a^{8} + 19 a^{7} + a^{6} + 21 a^{5} + a^{4} + 17 a^{3} + 16 a^{2} + 22 a\right)\cdot 23^{7} + \left(8 a^{8} + 22 a^{7} + 11 a^{6} + 8 a^{5} + 9 a^{4} + 8 a^{3} + 7 a^{2} + 6 a + 15\right)\cdot 23^{8} + \left(7 a^{8} + 14 a^{7} + 16 a^{6} + 9 a^{5} + 11 a^{4} + 15 a^{3} + 19 a^{2} + 10 a + 16\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})\) |
Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 18 }$
Cycle notation |
Character values on conjugacy classes
Size | Order | Action on $r_1, \ldots, r_{ 18 }$ | Character value |
$1$ | $1$ | $()$ | $2$ |
$3$ | $2$ | $(1,18)(2,9)(3,13)(4,8)(5,16)(6,17)(7,11)(10,14)(12,15)$ | $0$ |
$1$ | $3$ | $(1,10,12)(2,5,7)(3,4,17)(6,13,8)(9,16,11)(14,15,18)$ | $2 \zeta_{9}^{3}$ |
$1$ | $3$ | $(1,12,10)(2,7,5)(3,17,4)(6,8,13)(9,11,16)(14,18,15)$ | $-2 \zeta_{9}^{3} - 2$ |
$2$ | $3$ | $(1,10,12)(6,13,8)(9,16,11)$ | $\zeta_{9}^{3} + 1$ |
$2$ | $3$ | $(1,12,10)(6,8,13)(9,11,16)$ | $-\zeta_{9}^{3}$ |
$2$ | $3$ | $(1,12,10)(2,5,7)(3,4,17)(6,8,13)(9,11,16)(14,15,18)$ | $-1$ |
$3$ | $6$ | $(1,14,12,18,10,15)(2,16,7,9,5,11)(3,8,17,13,4,6)$ | $0$ |
$3$ | $6$ | $(1,15,10,18,12,14)(2,11,5,9,7,16)(3,6,4,13,17,8)$ | $0$ |
$1$ | $9$ | $(1,13,11,10,8,9,12,6,16)(2,15,17,5,18,3,7,14,4)$ | $-2 \zeta_{9}^{4} - 2 \zeta_{9}$ |
$1$ | $9$ | $(1,11,8,12,16,13,10,9,6)(2,17,18,7,4,15,5,3,14)$ | $2 \zeta_{9}^{5}$ |
$1$ | $9$ | $(1,8,16,10,6,11,12,13,9)(2,18,4,5,14,17,7,15,3)$ | $2 \zeta_{9}$ |
$1$ | $9$ | $(1,9,13,12,11,6,10,16,8)(2,3,15,7,17,14,5,4,18)$ | $-2 \zeta_{9}^{5} - 2 \zeta_{9}^{2}$ |
$1$ | $9$ | $(1,6,9,10,13,16,12,8,11)(2,14,3,5,15,4,7,18,17)$ | $2 \zeta_{9}^{4}$ |
$1$ | $9$ | $(1,16,6,12,9,8,10,11,13)(2,4,14,7,3,18,5,17,15)$ | $2 \zeta_{9}^{2}$ |
$2$ | $9$ | $(1,8,16,10,6,11,12,13,9)(2,15,17,5,18,3,7,14,4)$ | $-\zeta_{9}^{4}$ |
$2$ | $9$ | $(1,16,6,12,9,8,10,11,13)(2,17,18,7,4,15,5,3,14)$ | $\zeta_{9}^{5} + \zeta_{9}^{2}$ |
$2$ | $9$ | $(1,6,9,10,13,16,12,8,11)(2,18,4,5,14,17,7,15,3)$ | $\zeta_{9}^{4} + \zeta_{9}$ |
$2$ | $9$ | $(1,11,8,12,16,13,10,9,6)(2,3,15,7,17,14,5,4,18)$ | $-\zeta_{9}^{2}$ |
$2$ | $9$ | $(1,13,11,10,8,9,12,6,16)(2,14,3,5,15,4,7,18,17)$ | $-\zeta_{9}$ |
$2$ | $9$ | $(1,9,13,12,11,6,10,16,8)(2,4,14,7,3,18,5,17,15)$ | $-\zeta_{9}^{5}$ |
$3$ | $18$ | $(1,3,11,14,8,2,12,17,16,18,13,7,10,4,9,15,6,5)$ | $0$ |
$3$ | $18$ | $(1,2,13,15,11,17,10,5,8,18,9,3,12,7,6,14,16,4)$ | $0$ |
$3$ | $18$ | $(1,17,9,14,13,5,12,4,11,18,6,2,10,3,16,15,8,7)$ | $0$ |
$3$ | $18$ | $(1,7,8,15,16,3,10,2,6,18,11,4,12,5,13,14,9,17)$ | $0$ |
$3$ | $18$ | $(1,4,16,14,6,7,12,3,9,18,8,5,10,17,11,15,13,2)$ | $0$ |
$3$ | $18$ | $(1,5,6,15,9,4,10,7,13,18,16,17,12,2,8,14,11,3)$ | $0$ |
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.