# Properties

 Label 2.3645.18t16.b.b Dimension $2$ Group $C_9\times S_3$ Conductor $3645$ Root number not computed Indicator $0$

# Related objects

## Basic invariants

 Dimension: $2$ Group: $C_9\times S_3$ Conductor: $$3645$$$$\medspace = 3^{6} \cdot 5$$ Artin stem field: Galois closure of 18.0.5770142004982097067662109375.2 Galois orbit size: $6$ Smallest permutation container: $C_9\times S_3$ Parity: odd Determinant: 1.135.18t1.b.b Projective image: $S_3$ Projective stem field: Galois closure of 3.1.135.1

## Defining polynomial

 $f(x)$ $=$ $$x^{18} + 18 x^{16} + 135 x^{14} + 546 x^{12} + 1287 x^{10} - 4 x^{9} + 1782 x^{8} - 36 x^{7} + 1386 x^{6} - 108 x^{5} + 540 x^{4} - 120 x^{3} + 81 x^{2} - 36 x + 19$$ x^18 + 18*x^16 + 135*x^14 + 546*x^12 + 1287*x^10 - 4*x^9 + 1782*x^8 - 36*x^7 + 1386*x^6 - 108*x^5 + 540*x^4 - 120*x^3 + 81*x^2 - 36*x + 19 .

The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 23 }$ to precision 10.

Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 23 }$: $$x^{9} + 3x^{3} + 8x^{2} + 9x + 18$$

Roots:
 $r_{ 1 }$ $=$ $$12 a^{8} + 9 a^{7} + 10 a^{6} + 16 a^{5} + 6 a^{4} + 13 a^{3} + 7 a^{2} + 11 a + 11 + \left(20 a^{8} + 2 a^{7} + 19 a^{6} + 19 a^{5} + 22 a^{4} + 11 a^{2} + 21 a + 13\right)\cdot 23 + \left(2 a^{8} + 2 a^{7} + 13 a^{6} + 4 a^{5} + 14 a^{4} + 13 a^{3} + 6 a^{2} + 9 a + 2\right)\cdot 23^{2} + \left(11 a^{8} + 3 a^{7} + 2 a^{6} + 20 a^{5} + 19 a^{4} + 6 a^{3} + 7 a^{2} + 8 a + 6\right)\cdot 23^{3} + \left(4 a^{8} + 10 a^{7} + 6 a^{6} + 13 a^{5} + 15 a^{4} + 15 a^{3} + 19 a^{2} + 7 a + 1\right)\cdot 23^{4} + \left(11 a^{8} + 7 a^{7} + 8 a^{6} + 3 a^{5} + 15 a^{4} + 10 a^{3} + 19 a^{2} + 8 a + 22\right)\cdot 23^{5} + \left(19 a^{8} + 10 a^{7} + 7 a^{6} + 17 a^{5} + 11 a^{4} + 11 a^{3} + 5 a^{2} + 19 a + 9\right)\cdot 23^{6} + \left(21 a^{8} + 21 a^{7} + 9 a^{6} + 14 a^{5} + 16 a^{4} + 6 a^{3} + 18 a^{2} + 7 a + 7\right)\cdot 23^{7} + \left(3 a^{8} + 11 a^{7} + 7 a^{5} + 9 a^{4} + 21 a^{3} + 12 a^{2} + 4 a + 22\right)\cdot 23^{8} + \left(4 a^{8} + 3 a^{7} + a^{6} + 19 a^{5} + 20 a^{4} + 3 a^{3} + 16 a^{2} + 6 a + 18\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})$$ 12*a^8 + 9*a^7 + 10*a^6 + 16*a^5 + 6*a^4 + 13*a^3 + 7*a^2 + 11*a + 11 + (20*a^8 + 2*a^7 + 19*a^6 + 19*a^5 + 22*a^4 + 11*a^2 + 21*a + 13)*23 + (2*a^8 + 2*a^7 + 13*a^6 + 4*a^5 + 14*a^4 + 13*a^3 + 6*a^2 + 9*a + 2)*23^2 + (11*a^8 + 3*a^7 + 2*a^6 + 20*a^5 + 19*a^4 + 6*a^3 + 7*a^2 + 8*a + 6)*23^3 + (4*a^8 + 10*a^7 + 6*a^6 + 13*a^5 + 15*a^4 + 15*a^3 + 19*a^2 + 7*a + 1)*23^4 + (11*a^8 + 7*a^7 + 8*a^6 + 3*a^5 + 15*a^4 + 10*a^3 + 19*a^2 + 8*a + 22)*23^5 + (19*a^8 + 10*a^7 + 7*a^6 + 17*a^5 + 11*a^4 + 11*a^3 + 5*a^2 + 19*a + 9)*23^6 + (21*a^8 + 21*a^7 + 9*a^6 + 14*a^5 + 16*a^4 + 6*a^3 + 18*a^2 + 7*a + 7)*23^7 + (3*a^8 + 11*a^7 + 7*a^5 + 9*a^4 + 21*a^3 + 12*a^2 + 4*a + 22)*23^8 + (4*a^8 + 3*a^7 + a^6 + 19*a^5 + 20*a^4 + 3*a^3 + 16*a^2 + 6*a + 18)*23^9+O(23^10) $r_{ 2 }$ $=$ $$6 a^{8} + 3 a^{6} + 13 a^{5} + 14 a^{4} + 10 a^{3} + a^{2} + 2 a + 8 + \left(7 a^{8} + 12 a^{7} + 13 a^{6} + 12 a^{5} + 13 a^{4} + 17 a^{3} + 11 a^{2} + 22 a + 13\right)\cdot 23 + \left(6 a^{8} + 12 a^{7} + 5 a^{6} + 5 a^{5} + 20 a^{4} + 3 a^{3} + 11 a^{2} + 22 a + 1\right)\cdot 23^{2} + \left(16 a^{8} + 11 a^{7} + 4 a^{6} + 22 a^{5} + 11 a^{4} + 21 a^{2} + 20 a + 6\right)\cdot 23^{3} + \left(18 a^{8} + 9 a^{7} + 22 a^{6} + a^{5} + a^{4} + 7 a^{3} + 17 a + 5\right)\cdot 23^{4} + \left(12 a^{8} + 16 a^{7} + 12 a^{5} + 17 a^{4} + 3 a^{3} + 9 a^{2} + 14 a + 7\right)\cdot 23^{5} + \left(a^{8} + a^{7} + 3 a^{6} + 2 a^{5} + 18 a^{4} + 22 a^{3} + 7 a^{2} + 2 a + 11\right)\cdot 23^{6} + \left(8 a^{8} + 10 a^{7} + 2 a^{6} + 17 a^{5} + 3 a^{4} + 22 a^{3} + 17 a^{2} + 10 a + 16\right)\cdot 23^{7} + \left(2 a^{8} + 11 a^{7} + 6 a^{6} + 14 a^{5} + 9 a^{4} + 2 a^{3} + 6 a^{2} + 11 a + 12\right)\cdot 23^{8} + \left(7 a^{8} + 14 a^{7} + 14 a^{6} + 4 a^{5} + 19 a^{4} + 15 a^{3} + 7 a^{2} + 2 a + 14\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})$$ 6*a^8 + 3*a^6 + 13*a^5 + 14*a^4 + 10*a^3 + a^2 + 2*a + 8 + (7*a^8 + 12*a^7 + 13*a^6 + 12*a^5 + 13*a^4 + 17*a^3 + 11*a^2 + 22*a + 13)*23 + (6*a^8 + 12*a^7 + 5*a^6 + 5*a^5 + 20*a^4 + 3*a^3 + 11*a^2 + 22*a + 1)*23^2 + (16*a^8 + 11*a^7 + 4*a^6 + 22*a^5 + 11*a^4 + 21*a^2 + 20*a + 6)*23^3 + (18*a^8 + 9*a^7 + 22*a^6 + a^5 + a^4 + 7*a^3 + 17*a + 5)*23^4 + (12*a^8 + 16*a^7 + 12*a^5 + 17*a^4 + 3*a^3 + 9*a^2 + 14*a + 7)*23^5 + (a^8 + a^7 + 3*a^6 + 2*a^5 + 18*a^4 + 22*a^3 + 7*a^2 + 2*a + 11)*23^6 + (8*a^8 + 10*a^7 + 2*a^6 + 17*a^5 + 3*a^4 + 22*a^3 + 17*a^2 + 10*a + 16)*23^7 + (2*a^8 + 11*a^7 + 6*a^6 + 14*a^5 + 9*a^4 + 2*a^3 + 6*a^2 + 11*a + 12)*23^8 + (7*a^8 + 14*a^7 + 14*a^6 + 4*a^5 + 19*a^4 + 15*a^3 + 7*a^2 + 2*a + 14)*23^9+O(23^10) $r_{ 3 }$ $=$ $$21 a^{8} + 9 a^{7} + 19 a^{6} + 2 a^{5} + 14 a^{4} + 12 a^{3} + 9 a^{2} + 7 a + 9 + \left(9 a^{8} + 12 a^{7} + 5 a^{6} + 6 a^{5} + 8 a^{4} + 15 a^{3} + 15 a^{2} + 21 a + 22\right)\cdot 23 + \left(17 a^{8} + 17 a^{7} + 3 a^{6} + 14 a^{5} + 4 a^{4} + 22 a^{3} + 16 a^{2} + 10 a + 19\right)\cdot 23^{2} + \left(4 a^{8} + 4 a^{7} + 6 a^{5} + 20 a^{4} + 5 a^{3} + 2 a^{2} + 18 a + 16\right)\cdot 23^{3} + \left(8 a^{7} + 15 a^{6} + 13 a^{4} + 14 a^{3} + 8 a^{2} + 21 a + 13\right)\cdot 23^{4} + \left(3 a^{8} + 16 a^{7} + 7 a^{6} + 15 a^{5} + 11 a^{4} + 16 a^{3} + 5 a^{2} + 21 a\right)\cdot 23^{5} + \left(3 a^{8} + 6 a^{7} + a^{6} + 12 a^{5} + 3 a^{4} + 14 a^{2} + a + 3\right)\cdot 23^{6} + \left(7 a^{8} + a^{7} + 8 a^{6} + 11 a^{5} + 8 a^{4} + 9 a^{3} + 3 a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 23^{7} + \left(4 a^{8} + 10 a^{7} + a^{6} + 10 a^{5} + 6 a^{4} + 6 a^{3} + 18 a^{2} + 4 a + 10\right)\cdot 23^{8} + \left(13 a^{8} + 5 a^{7} + 16 a^{6} + 4 a^{5} + 17 a^{4} + 19 a^{3} + 13 a^{2} + 12 a + 10\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})$$ 21*a^8 + 9*a^7 + 19*a^6 + 2*a^5 + 14*a^4 + 12*a^3 + 9*a^2 + 7*a + 9 + (9*a^8 + 12*a^7 + 5*a^6 + 6*a^5 + 8*a^4 + 15*a^3 + 15*a^2 + 21*a + 22)*23 + (17*a^8 + 17*a^7 + 3*a^6 + 14*a^5 + 4*a^4 + 22*a^3 + 16*a^2 + 10*a + 19)*23^2 + (4*a^8 + 4*a^7 + 6*a^5 + 20*a^4 + 5*a^3 + 2*a^2 + 18*a + 16)*23^3 + (8*a^7 + 15*a^6 + 13*a^4 + 14*a^3 + 8*a^2 + 21*a + 13)*23^4 + (3*a^8 + 16*a^7 + 7*a^6 + 15*a^5 + 11*a^4 + 16*a^3 + 5*a^2 + 21*a)*23^5 + (3*a^8 + 6*a^7 + a^6 + 12*a^5 + 3*a^4 + 14*a^2 + a + 3)*23^6 + (7*a^8 + a^7 + 8*a^6 + 11*a^5 + 8*a^4 + 9*a^3 + 3*a^2 + 9*a + 7)*23^7 + (4*a^8 + 10*a^7 + a^6 + 10*a^5 + 6*a^4 + 6*a^3 + 18*a^2 + 4*a + 10)*23^8 + (13*a^8 + 5*a^7 + 16*a^6 + 4*a^5 + 17*a^4 + 19*a^3 + 13*a^2 + 12*a + 10)*23^9+O(23^10) $r_{ 4 }$ $=$ $$16 a^{8} + 18 a^{7} + 2 a^{6} + 6 a^{5} + 16 a^{4} + 12 a^{3} + 4 a^{2} + 8 a + 14 + \left(14 a^{8} + 13 a^{7} + 19 a^{6} + 10 a^{5} + 4 a^{4} + 19 a^{3} + 20 a^{2} + 9 a + 16\right)\cdot 23 + \left(17 a^{8} + 12 a^{7} + 10 a^{6} + 11 a^{5} + 5 a^{4} + 6 a^{3} + 11 a^{2} + 13\right)\cdot 23^{2} + \left(7 a^{8} + 6 a^{7} + 13 a^{6} + 5 a^{5} + 10 a^{4} + 4 a^{2} + 12 a + 4\right)\cdot 23^{3} + \left(18 a^{8} + 18 a^{7} + a^{6} + 3 a^{5} + 15 a^{4} + 4 a^{3} + 2 a^{2} + 19 a + 13\right)\cdot 23^{4} + \left(7 a^{8} + a^{7} + 2 a^{6} + 21 a^{5} + 8 a^{4} + 7 a^{3} + 9 a^{2} + 8 a + 3\right)\cdot 23^{5} + \left(10 a^{8} + 12 a^{7} + 13 a^{6} + 9 a^{5} + 9 a^{4} + 22 a^{3} + 9 a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 23^{6} + \left(18 a^{8} + 21 a^{7} + 11 a^{6} + 17 a^{5} + 13 a^{4} + 6 a^{3} + 22 a^{2} + 18 a + 8\right)\cdot 23^{7} + \left(16 a^{8} + 2 a^{7} + 18 a^{6} + 14 a^{5} + 22 a^{4} + 7 a^{3} + 5 a^{2} + 3 a + 13\right)\cdot 23^{8} + \left(7 a^{8} + 18 a^{7} + 2 a^{6} + 12 a^{5} + 16 a^{4} + 6 a^{2} + 5 a + 11\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})$$ 16*a^8 + 18*a^7 + 2*a^6 + 6*a^5 + 16*a^4 + 12*a^3 + 4*a^2 + 8*a + 14 + (14*a^8 + 13*a^7 + 19*a^6 + 10*a^5 + 4*a^4 + 19*a^3 + 20*a^2 + 9*a + 16)*23 + (17*a^8 + 12*a^7 + 10*a^6 + 11*a^5 + 5*a^4 + 6*a^3 + 11*a^2 + 13)*23^2 + (7*a^8 + 6*a^7 + 13*a^6 + 5*a^5 + 10*a^4 + 4*a^2 + 12*a + 4)*23^3 + (18*a^8 + 18*a^7 + a^6 + 3*a^5 + 15*a^4 + 4*a^3 + 2*a^2 + 19*a + 13)*23^4 + (7*a^8 + a^7 + 2*a^6 + 21*a^5 + 8*a^4 + 7*a^3 + 9*a^2 + 8*a + 3)*23^5 + (10*a^8 + 12*a^7 + 13*a^6 + 9*a^5 + 9*a^4 + 22*a^3 + 9*a^2 + 2*a + 5)*23^6 + (18*a^8 + 21*a^7 + 11*a^6 + 17*a^5 + 13*a^4 + 6*a^3 + 22*a^2 + 18*a + 8)*23^7 + (16*a^8 + 2*a^7 + 18*a^6 + 14*a^5 + 22*a^4 + 7*a^3 + 5*a^2 + 3*a + 13)*23^8 + (7*a^8 + 18*a^7 + 2*a^6 + 12*a^5 + 16*a^4 + 6*a^2 + 5*a + 11)*23^9+O(23^10) $r_{ 5 }$ $=$ $$3 a^{8} + 18 a^{7} + 21 a^{6} + 21 a^{5} + 9 a^{4} + 14 a^{3} + 22 a^{2} + 15 a + 17 + \left(11 a^{8} + 12 a^{7} + 19 a^{6} + 18 a^{5} + 12 a^{4} + 3 a^{3} + 3 a^{2} + 19 a + 16\right)\cdot 23 + \left(2 a^{8} + 7 a^{7} + a^{6} + 8 a^{5} + 5 a^{4} + 6 a^{3} + 14 a^{2} + 16 a + 6\right)\cdot 23^{2} + \left(10 a^{8} + 10 a^{7} + 7 a^{6} + 16 a^{5} + 8 a^{4} + 11 a^{3} + 8 a^{2} + 17 a + 21\right)\cdot 23^{3} + \left(15 a^{8} + 15 a^{7} + 17 a^{6} + 21 a^{5} + 9 a^{4} + 11 a^{3} + 18 a^{2} + 19 a + 8\right)\cdot 23^{4} + \left(12 a^{8} + 7 a^{7} + 12 a^{6} + 20 a^{5} + 20 a^{4} + 11 a^{3} + a^{2} + 6 a + 3\right)\cdot 23^{5} + \left(19 a^{8} + 5 a^{7} + 13 a^{6} + 4 a^{5} + 20 a^{4} + 22 a^{3} + 4 a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 23^{6} + \left(7 a^{8} + a^{6} + 8 a^{5} + 11 a^{4} + 17 a^{3} + 11 a^{2} + 16\right)\cdot 23^{7} + \left(21 a^{8} + 5 a^{7} + 11 a^{6} + 6 a^{5} + 13 a^{4} + 17 a^{3} + 22 a^{2} + 22 a + 1\right)\cdot 23^{8} + \left(7 a^{8} + 18 a^{7} + 13 a^{6} + 11 a^{5} + 22 a^{4} + 22 a^{3} + 8 a^{2} + 19 a + 12\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})$$ 3*a^8 + 18*a^7 + 21*a^6 + 21*a^5 + 9*a^4 + 14*a^3 + 22*a^2 + 15*a + 17 + (11*a^8 + 12*a^7 + 19*a^6 + 18*a^5 + 12*a^4 + 3*a^3 + 3*a^2 + 19*a + 16)*23 + (2*a^8 + 7*a^7 + a^6 + 8*a^5 + 5*a^4 + 6*a^3 + 14*a^2 + 16*a + 6)*23^2 + (10*a^8 + 10*a^7 + 7*a^6 + 16*a^5 + 8*a^4 + 11*a^3 + 8*a^2 + 17*a + 21)*23^3 + (15*a^8 + 15*a^7 + 17*a^6 + 21*a^5 + 9*a^4 + 11*a^3 + 18*a^2 + 19*a + 8)*23^4 + (12*a^8 + 7*a^7 + 12*a^6 + 20*a^5 + 20*a^4 + 11*a^3 + a^2 + 6*a + 3)*23^5 + (19*a^8 + 5*a^7 + 13*a^6 + 4*a^5 + 20*a^4 + 22*a^3 + 4*a^2 + 9*a + 7)*23^6 + (7*a^8 + a^6 + 8*a^5 + 11*a^4 + 17*a^3 + 11*a^2 + 16)*23^7 + (21*a^8 + 5*a^7 + 11*a^6 + 6*a^5 + 13*a^4 + 17*a^3 + 22*a^2 + 22*a + 1)*23^8 + (7*a^8 + 18*a^7 + 13*a^6 + 11*a^5 + 22*a^4 + 22*a^3 + 8*a^2 + 19*a + 12)*23^9+O(23^10) $r_{ 6 }$ $=$ $$10 a^{8} + a^{7} + 14 a^{6} + 8 a^{5} + 20 a^{4} + 7 a^{3} + 4 a^{2} + 11 a + 12 + \left(10 a^{8} + 6 a^{7} + 10 a^{6} + 4 a^{5} + 16 a^{4} + a^{3} + 22 a^{2} + 6 a + 14\right)\cdot 23 + \left(6 a^{8} + 10 a^{7} + 10 a^{6} + 13 a^{5} + 5 a^{4} + 4 a^{3} + 8 a^{2} + 18 a + 8\right)\cdot 23^{2} + \left(17 a^{8} + 16 a^{7} + 13 a^{6} + 3 a^{4} + 15 a^{3} + 14 a^{2} + 12 a + 9\right)\cdot 23^{3} + \left(17 a^{8} + 8 a^{7} + 21 a^{6} + 13 a^{5} + a^{4} + a^{3} + 10 a^{2} + 15 a + 9\right)\cdot 23^{4} + \left(4 a^{8} + 15 a^{7} + 11 a^{6} + 16 a^{5} + 16 a^{4} + 8 a^{3} + 2 a^{2} + 15 a + 4\right)\cdot 23^{5} + \left(19 a^{8} + 19 a^{7} + 7 a^{6} + 10 a^{5} + 6 a^{4} + 2 a^{3} + 19 a^{2} + 18 a + 20\right)\cdot 23^{6} + \left(2 a^{8} + 10 a^{7} + 13 a^{6} + 3 a^{5} + 5 a^{4} + 7 a^{3} + 15 a^{2} + 18 a + 1\right)\cdot 23^{7} + \left(11 a^{8} + 22 a^{6} + 3 a^{5} + 18 a^{4} + 16 a^{3} + 10 a + 22\right)\cdot 23^{8} + \left(6 a^{8} + 22 a^{7} + 18 a^{6} + 6 a^{5} + 16 a^{4} + 14 a^{3} + 21 a^{2} + 22 a + 1\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})$$ 10*a^8 + a^7 + 14*a^6 + 8*a^5 + 20*a^4 + 7*a^3 + 4*a^2 + 11*a + 12 + (10*a^8 + 6*a^7 + 10*a^6 + 4*a^5 + 16*a^4 + a^3 + 22*a^2 + 6*a + 14)*23 + (6*a^8 + 10*a^7 + 10*a^6 + 13*a^5 + 5*a^4 + 4*a^3 + 8*a^2 + 18*a + 8)*23^2 + (17*a^8 + 16*a^7 + 13*a^6 + 3*a^4 + 15*a^3 + 14*a^2 + 12*a + 9)*23^3 + (17*a^8 + 8*a^7 + 21*a^6 + 13*a^5 + a^4 + a^3 + 10*a^2 + 15*a + 9)*23^4 + (4*a^8 + 15*a^7 + 11*a^6 + 16*a^5 + 16*a^4 + 8*a^3 + 2*a^2 + 15*a + 4)*23^5 + (19*a^8 + 19*a^7 + 7*a^6 + 10*a^5 + 6*a^4 + 2*a^3 + 19*a^2 + 18*a + 20)*23^6 + (2*a^8 + 10*a^7 + 13*a^6 + 3*a^5 + 5*a^4 + 7*a^3 + 15*a^2 + 18*a + 1)*23^7 + (11*a^8 + 22*a^6 + 3*a^5 + 18*a^4 + 16*a^3 + 10*a + 22)*23^8 + (6*a^8 + 22*a^7 + 18*a^6 + 6*a^5 + 16*a^4 + 14*a^3 + 21*a^2 + 22*a + 1)*23^9+O(23^10) $r_{ 7 }$ $=$ $$14 a^{8} + 5 a^{7} + 22 a^{6} + 12 a^{5} + 22 a^{3} + 6 a + 21 + \left(4 a^{8} + 21 a^{7} + 12 a^{6} + 14 a^{5} + 20 a^{4} + a^{3} + 8 a^{2} + 4 a + 15\right)\cdot 23 + \left(14 a^{8} + 2 a^{7} + 15 a^{6} + 8 a^{5} + 19 a^{4} + 13 a^{3} + 20 a^{2} + 6 a + 14\right)\cdot 23^{2} + \left(19 a^{8} + a^{7} + 11 a^{6} + 7 a^{5} + 2 a^{4} + 11 a^{3} + 15 a^{2} + 7 a + 18\right)\cdot 23^{3} + \left(11 a^{8} + 21 a^{7} + 6 a^{6} + 22 a^{5} + 12 a^{4} + 4 a^{3} + 3 a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 23^{4} + \left(20 a^{8} + 21 a^{7} + 9 a^{6} + 12 a^{5} + 8 a^{4} + 8 a^{3} + 12 a^{2} + a + 12\right)\cdot 23^{5} + \left(a^{8} + 15 a^{7} + 6 a^{6} + 15 a^{5} + 6 a^{4} + a^{3} + 11 a^{2} + 11 a + 4\right)\cdot 23^{6} + \left(7 a^{8} + 12 a^{7} + 19 a^{6} + 20 a^{5} + 7 a^{4} + 5 a^{3} + 17 a^{2} + 12 a + 13\right)\cdot 23^{7} + \left(22 a^{8} + 6 a^{7} + 5 a^{6} + a^{5} + 2 a^{3} + 16 a^{2} + 12 a + 8\right)\cdot 23^{8} + \left(7 a^{8} + 13 a^{7} + 18 a^{6} + 7 a^{5} + 4 a^{4} + 8 a^{3} + 6 a^{2} + 19\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})$$ 14*a^8 + 5*a^7 + 22*a^6 + 12*a^5 + 22*a^3 + 6*a + 21 + (4*a^8 + 21*a^7 + 12*a^6 + 14*a^5 + 20*a^4 + a^3 + 8*a^2 + 4*a + 15)*23 + (14*a^8 + 2*a^7 + 15*a^6 + 8*a^5 + 19*a^4 + 13*a^3 + 20*a^2 + 6*a + 14)*23^2 + (19*a^8 + a^7 + 11*a^6 + 7*a^5 + 2*a^4 + 11*a^3 + 15*a^2 + 7*a + 18)*23^3 + (11*a^8 + 21*a^7 + 6*a^6 + 22*a^5 + 12*a^4 + 4*a^3 + 3*a^2 + 8*a + 8)*23^4 + (20*a^8 + 21*a^7 + 9*a^6 + 12*a^5 + 8*a^4 + 8*a^3 + 12*a^2 + a + 12)*23^5 + (a^8 + 15*a^7 + 6*a^6 + 15*a^5 + 6*a^4 + a^3 + 11*a^2 + 11*a + 4)*23^6 + (7*a^8 + 12*a^7 + 19*a^6 + 20*a^5 + 7*a^4 + 5*a^3 + 17*a^2 + 12*a + 13)*23^7 + (22*a^8 + 6*a^7 + 5*a^6 + a^5 + 2*a^3 + 16*a^2 + 12*a + 8)*23^8 + (7*a^8 + 13*a^7 + 18*a^6 + 7*a^5 + 4*a^4 + 8*a^3 + 6*a^2 + 19)*23^9+O(23^10) $r_{ 8 }$ $=$ $$6 a^{8} + 2 a^{6} + 16 a^{5} + 18 a^{4} + 6 a^{3} + 12 a^{2} + 21 a + 6 + \left(9 a^{8} + 7 a^{7} + 4 a^{6} + 20 a^{5} + 16 a^{3} + a^{2} + 10 a + 8\right)\cdot 23 + \left(14 a^{8} + 22 a^{7} + 16 a^{6} + 4 a^{5} + 5 a^{4} + a^{3} + 20 a^{2} + 18 a + 10\right)\cdot 23^{2} + \left(6 a^{8} + 14 a^{7} + 3 a^{5} + 6 a^{4} + 13 a^{3} + 3 a^{2} + 3 a + 4\right)\cdot 23^{3} + \left(19 a^{8} + 2 a^{7} + 22 a^{6} + 19 a^{5} + 2 a^{4} + 16 a^{3} + 5 a^{2} + 10 a\right)\cdot 23^{4} + \left(a^{8} + 19 a^{7} + 22 a^{6} + 8 a^{5} + 8 a^{4} + 18 a^{3} + 5 a^{2} + 7 a + 16\right)\cdot 23^{5} + \left(11 a^{8} + 14 a^{7} + 3 a^{6} + 13 a^{5} + 13 a^{4} + 14 a^{3} + 5 a^{2} + 22 a + 17\right)\cdot 23^{6} + \left(4 a^{8} + 17 a^{7} + 8 a^{6} + 3 a^{5} + 7 a^{2} + 11 a + 13\right)\cdot 23^{7} + \left(6 a^{8} + 18 a^{7} + 10 a^{6} + 6 a^{5} + 16 a^{4} + 13 a^{3} + 11 a + 5\right)\cdot 23^{8} + \left(2 a^{8} + 10 a^{7} + 5 a^{6} + 9 a^{5} + 16 a^{4} + 3 a^{3} + 21 a^{2} + 17 a + 22\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})$$ 6*a^8 + 2*a^6 + 16*a^5 + 18*a^4 + 6*a^3 + 12*a^2 + 21*a + 6 + (9*a^8 + 7*a^7 + 4*a^6 + 20*a^5 + 16*a^3 + a^2 + 10*a + 8)*23 + (14*a^8 + 22*a^7 + 16*a^6 + 4*a^5 + 5*a^4 + a^3 + 20*a^2 + 18*a + 10)*23^2 + (6*a^8 + 14*a^7 + 3*a^5 + 6*a^4 + 13*a^3 + 3*a^2 + 3*a + 4)*23^3 + (19*a^8 + 2*a^7 + 22*a^6 + 19*a^5 + 2*a^4 + 16*a^3 + 5*a^2 + 10*a)*23^4 + (a^8 + 19*a^7 + 22*a^6 + 8*a^5 + 8*a^4 + 18*a^3 + 5*a^2 + 7*a + 16)*23^5 + (11*a^8 + 14*a^7 + 3*a^6 + 13*a^5 + 13*a^4 + 14*a^3 + 5*a^2 + 22*a + 17)*23^6 + (4*a^8 + 17*a^7 + 8*a^6 + 3*a^5 + 7*a^2 + 11*a + 13)*23^7 + (6*a^8 + 18*a^7 + 10*a^6 + 6*a^5 + 16*a^4 + 13*a^3 + 11*a + 5)*23^8 + (2*a^8 + 10*a^7 + 5*a^6 + 9*a^5 + 16*a^4 + 3*a^3 + 21*a^2 + 17*a + 22)*23^9+O(23^10) $r_{ 9 }$ $=$ $$9 a^{8} + 9 a^{7} + 13 a^{6} + 10 a^{5} + 12 a^{4} + 10 a^{3} + 22 a^{2} + 6 a + 16 + \left(10 a^{8} + 2 a^{7} + 15 a^{6} + a^{5} + 5 a^{4} + 11 a^{3} + 20 a^{2} + 15 a + 16\right)\cdot 23 + \left(9 a^{8} + 8 a^{7} + 22 a^{6} + 21 a^{5} + 7 a^{4} + 22 a^{3} + 10 a^{2} + 14 a + 2\right)\cdot 23^{2} + \left(5 a^{8} + 13 a^{7} + 19 a^{6} + 14 a^{5} + 3 a^{4} + 5 a^{2} + 16 a + 18\right)\cdot 23^{3} + \left(5 a^{8} + 6 a^{7} + 15 a^{6} + 16 a^{5} + 17 a^{4} + 3 a^{3} + 13 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 23^{4} + \left(7 a^{8} + 10 a^{7} + 2 a^{6} + 3 a^{5} + 17 a^{4} + 20 a^{3} + 6 a^{2} + 21 a + 22\right)\cdot 23^{5} + \left(10 a^{8} + 10 a^{7} + 7 a^{6} + 20 a^{5} + 22 a^{4} + 15 a^{3} + 17 a^{2} + 4 a + 10\right)\cdot 23^{6} + \left(9 a^{8} + 13 a^{7} + 15 a^{6} + 10 a^{5} + a^{4} + 13 a^{3} + 14 a^{2} + 17 a + 8\right)\cdot 23^{7} + \left(12 a^{8} + 5 a^{7} + 21 a^{5} + 19 a^{4} + 3 a^{3} + 5 a^{2} + 21 a + 20\right)\cdot 23^{8} + \left(14 a^{8} + 5 a^{7} + 9 a^{6} + 12 a^{5} + 3 a^{4} + 8 a^{3} + 21 a^{2} + 12 a\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})$$ 9*a^8 + 9*a^7 + 13*a^6 + 10*a^5 + 12*a^4 + 10*a^3 + 22*a^2 + 6*a + 16 + (10*a^8 + 2*a^7 + 15*a^6 + a^5 + 5*a^4 + 11*a^3 + 20*a^2 + 15*a + 16)*23 + (9*a^8 + 8*a^7 + 22*a^6 + 21*a^5 + 7*a^4 + 22*a^3 + 10*a^2 + 14*a + 2)*23^2 + (5*a^8 + 13*a^7 + 19*a^6 + 14*a^5 + 3*a^4 + 5*a^2 + 16*a + 18)*23^3 + (5*a^8 + 6*a^7 + 15*a^6 + 16*a^5 + 17*a^4 + 3*a^3 + 13*a^2 + 7*a + 9)*23^4 + (7*a^8 + 10*a^7 + 2*a^6 + 3*a^5 + 17*a^4 + 20*a^3 + 6*a^2 + 21*a + 22)*23^5 + (10*a^8 + 10*a^7 + 7*a^6 + 20*a^5 + 22*a^4 + 15*a^3 + 17*a^2 + 4*a + 10)*23^6 + (9*a^8 + 13*a^7 + 15*a^6 + 10*a^5 + a^4 + 13*a^3 + 14*a^2 + 17*a + 8)*23^7 + (12*a^8 + 5*a^7 + 21*a^5 + 19*a^4 + 3*a^3 + 5*a^2 + 21*a + 20)*23^8 + (14*a^8 + 5*a^7 + 9*a^6 + 12*a^5 + 3*a^4 + 8*a^3 + 21*a^2 + 12*a)*23^9+O(23^10) $r_{ 10 }$ $=$ $$18 a^{8} + 11 a^{7} + 19 a^{6} + 14 a^{5} + 10 a^{4} + a^{3} + 4 a^{2} + 12 a + \left(7 a^{8} + 2 a^{7} + 11 a^{6} + 12 a^{5} + 15 a^{4} + 7 a^{3} + 10 a^{2} + 14 a + 17\right)\cdot 23 + \left(7 a^{8} + 6 a^{7} + 16 a^{6} + 17 a^{5} + 15 a^{4} + 5 a^{3} + 10 a + 14\right)\cdot 23^{2} + \left(10 a^{8} + 4 a^{7} + 10 a^{6} + 17 a^{4} + 19 a^{3} + 8 a^{2} + 12 a + 20\right)\cdot 23^{3} + \left(11 a^{8} + 22 a^{7} + 20 a^{6} + 12 a^{5} + 3 a^{4} + 14 a^{3} + 2 a^{2} + 21 a + 9\right)\cdot 23^{4} + \left(12 a^{8} + 19 a^{7} + 2 a^{6} + 18 a^{5} + 21 a^{4} + 18 a^{3} + 16 a^{2} + 5 a + 20\right)\cdot 23^{5} + \left(a^{8} + 12 a^{7} + 13 a^{6} + 13 a^{5} + 14 a^{4} + 6 a^{3} + 2 a^{2} + 2 a + 13\right)\cdot 23^{6} + \left(13 a^{8} + 18 a^{7} + 11 a^{6} + 12 a^{5} + a^{3} + 8 a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 23^{7} + \left(18 a^{8} + 20 a^{7} + 3 a^{6} + 14 a^{5} + 17 a^{4} + 15 a^{3} + 5 a^{2} + 6 a + 6\right)\cdot 23^{8} + \left(19 a^{8} + 21 a^{7} + 12 a^{6} + 3 a^{5} + 22 a^{4} + 12 a^{3} + 11 a^{2} + 14 a + 7\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})$$ 18*a^8 + 11*a^7 + 19*a^6 + 14*a^5 + 10*a^4 + a^3 + 4*a^2 + 12*a + (7*a^8 + 2*a^7 + 11*a^6 + 12*a^5 + 15*a^4 + 7*a^3 + 10*a^2 + 14*a + 17)*23 + (7*a^8 + 6*a^7 + 16*a^6 + 17*a^5 + 15*a^4 + 5*a^3 + 10*a + 14)*23^2 + (10*a^8 + 4*a^7 + 10*a^6 + 17*a^4 + 19*a^3 + 8*a^2 + 12*a + 20)*23^3 + (11*a^8 + 22*a^7 + 20*a^6 + 12*a^5 + 3*a^4 + 14*a^3 + 2*a^2 + 21*a + 9)*23^4 + (12*a^8 + 19*a^7 + 2*a^6 + 18*a^5 + 21*a^4 + 18*a^3 + 16*a^2 + 5*a + 20)*23^5 + (a^8 + 12*a^7 + 13*a^6 + 13*a^5 + 14*a^4 + 6*a^3 + 2*a^2 + 2*a + 13)*23^6 + (13*a^8 + 18*a^7 + 11*a^6 + 12*a^5 + a^3 + 8*a^2 + 6*a + 10)*23^7 + (18*a^8 + 20*a^7 + 3*a^6 + 14*a^5 + 17*a^4 + 15*a^3 + 5*a^2 + 6*a + 6)*23^8 + (19*a^8 + 21*a^7 + 12*a^6 + 3*a^5 + 22*a^4 + 12*a^3 + 11*a^2 + 14*a + 7)*23^9+O(23^10) $r_{ 11 }$ $=$ $$21 a^{8} + 18 a^{7} + 16 a^{6} + 18 a^{5} + 13 a^{4} + 9 a^{3} + 12 a^{2} + 18 a + 13 + \left(12 a^{8} + 21 a^{7} + 3 a^{6} + 8 a^{5} + a^{4} + 3 a^{3} + a^{2} + 6 a + 8\right)\cdot 23 + \left(5 a^{7} + 10 a^{6} + 3 a^{5} + 10 a^{4} + 2 a^{3} + 19 a^{2} + 18 a + 18\right)\cdot 23^{2} + \left(a^{8} + 6 a^{7} + 11 a^{6} + 19 a^{5} + 18 a^{4} + 19 a^{3} + 22 a^{2} + 21 a + 13\right)\cdot 23^{3} + \left(14 a^{8} + 3 a^{7} + 22 a^{6} + 3 a^{5} + 14 a^{4} + 10 a^{3} + 20 a^{2} + 17 a + 11\right)\cdot 23^{4} + \left(15 a^{8} + 4 a^{7} + 19 a^{6} + 15 a^{5} + 9 a^{4} + a^{3} + a^{2} + a + 1\right)\cdot 23^{5} + \left(16 a^{8} + 19 a^{6} + 21 a^{5} + 16 a^{4} + 18 a^{3} + 8 a^{2} + 13 a + 3\right)\cdot 23^{6} + \left(12 a^{8} + 5 a^{7} + 5 a^{6} + 22 a^{5} + 11 a^{4} + 6 a^{3} + a^{2} + 18 a + 4\right)\cdot 23^{7} + \left(7 a^{8} + 4 a^{7} + 16 a^{6} + 20 a^{5} + 6 a^{4} + 17 a^{3} + 8 a^{2} + 15 a + 4\right)\cdot 23^{8} + \left(6 a^{8} + 8 a^{7} + 14 a^{5} + 12 a^{3} + 22 a^{2} + 18 a + 21\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})$$ 21*a^8 + 18*a^7 + 16*a^6 + 18*a^5 + 13*a^4 + 9*a^3 + 12*a^2 + 18*a + 13 + (12*a^8 + 21*a^7 + 3*a^6 + 8*a^5 + a^4 + 3*a^3 + a^2 + 6*a + 8)*23 + (5*a^7 + 10*a^6 + 3*a^5 + 10*a^4 + 2*a^3 + 19*a^2 + 18*a + 18)*23^2 + (a^8 + 6*a^7 + 11*a^6 + 19*a^5 + 18*a^4 + 19*a^3 + 22*a^2 + 21*a + 13)*23^3 + (14*a^8 + 3*a^7 + 22*a^6 + 3*a^5 + 14*a^4 + 10*a^3 + 20*a^2 + 17*a + 11)*23^4 + (15*a^8 + 4*a^7 + 19*a^6 + 15*a^5 + 9*a^4 + a^3 + a^2 + a + 1)*23^5 + (16*a^8 + 19*a^6 + 21*a^5 + 16*a^4 + 18*a^3 + 8*a^2 + 13*a + 3)*23^6 + (12*a^8 + 5*a^7 + 5*a^6 + 22*a^5 + 11*a^4 + 6*a^3 + a^2 + 18*a + 4)*23^7 + (7*a^8 + 4*a^7 + 16*a^6 + 20*a^5 + 6*a^4 + 17*a^3 + 8*a^2 + 15*a + 4)*23^8 + (6*a^8 + 8*a^7 + 14*a^5 + 12*a^3 + 22*a^2 + 18*a + 21)*23^9+O(23^10) $r_{ 12 }$ $=$ $$16 a^{8} + 3 a^{7} + 17 a^{6} + 16 a^{5} + 7 a^{4} + 9 a^{3} + 12 a^{2} + 12 + \left(17 a^{8} + 18 a^{7} + 14 a^{6} + 13 a^{5} + 8 a^{4} + 15 a^{3} + a^{2} + 10 a + 15\right)\cdot 23 + \left(12 a^{8} + 14 a^{7} + 15 a^{6} + 15 a^{4} + 4 a^{3} + 16 a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 23^{2} + \left(a^{8} + 15 a^{7} + 9 a^{6} + 2 a^{5} + 8 a^{4} + 20 a^{3} + 7 a^{2} + 2 a + 19\right)\cdot 23^{3} + \left(7 a^{8} + 13 a^{7} + 19 a^{6} + 20 a^{5} + 3 a^{4} + 15 a^{3} + a^{2} + 17 a + 11\right)\cdot 23^{4} + \left(22 a^{8} + 18 a^{7} + 11 a^{6} + 9 a^{4} + 16 a^{3} + 10 a^{2} + 8 a + 3\right)\cdot 23^{5} + \left(a^{8} + 22 a^{7} + 2 a^{6} + 15 a^{5} + 19 a^{4} + 4 a^{3} + 14 a^{2} + a + 22\right)\cdot 23^{6} + \left(11 a^{8} + 5 a^{7} + 2 a^{6} + 18 a^{5} + 5 a^{4} + 15 a^{3} + 19 a^{2} + 9 a + 4\right)\cdot 23^{7} + \left(13 a^{7} + 19 a^{6} + 19 a^{4} + 9 a^{3} + 4 a^{2} + 12 a + 17\right)\cdot 23^{8} + \left(22 a^{8} + 20 a^{7} + 9 a^{6} + 2 a^{4} + 6 a^{3} + 18 a^{2} + 2 a + 19\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})$$ 16*a^8 + 3*a^7 + 17*a^6 + 16*a^5 + 7*a^4 + 9*a^3 + 12*a^2 + 12 + (17*a^8 + 18*a^7 + 14*a^6 + 13*a^5 + 8*a^4 + 15*a^3 + a^2 + 10*a + 15)*23 + (12*a^8 + 14*a^7 + 15*a^6 + 15*a^4 + 4*a^3 + 16*a^2 + 2*a + 5)*23^2 + (a^8 + 15*a^7 + 9*a^6 + 2*a^5 + 8*a^4 + 20*a^3 + 7*a^2 + 2*a + 19)*23^3 + (7*a^8 + 13*a^7 + 19*a^6 + 20*a^5 + 3*a^4 + 15*a^3 + a^2 + 17*a + 11)*23^4 + (22*a^8 + 18*a^7 + 11*a^6 + 9*a^4 + 16*a^3 + 10*a^2 + 8*a + 3)*23^5 + (a^8 + 22*a^7 + 2*a^6 + 15*a^5 + 19*a^4 + 4*a^3 + 14*a^2 + a + 22)*23^6 + (11*a^8 + 5*a^7 + 2*a^6 + 18*a^5 + 5*a^4 + 15*a^3 + 19*a^2 + 9*a + 4)*23^7 + (13*a^7 + 19*a^6 + 19*a^4 + 9*a^3 + 4*a^2 + 12*a + 17)*23^8 + (22*a^8 + 20*a^7 + 9*a^6 + 2*a^4 + 6*a^3 + 18*a^2 + 2*a + 19)*23^9+O(23^10) $r_{ 13 }$ $=$ $$7 a^{8} + 22 a^{7} + 7 a^{6} + 22 a^{5} + 8 a^{4} + 10 a^{3} + 7 a^{2} + 14 a + 5 + \left(3 a^{8} + 9 a^{7} + 8 a^{6} + 20 a^{5} + 5 a^{4} + 5 a^{3} + 22 a^{2} + 5 a\right)\cdot 23 + \left(2 a^{8} + 13 a^{7} + 19 a^{6} + 4 a^{5} + 12 a^{4} + 17 a^{3} + 16 a^{2} + 9 a + 4\right)\cdot 23^{2} + \left(22 a^{8} + 14 a^{7} + 8 a^{6} + 19 a^{5} + 13 a^{4} + 17 a^{3} + 4 a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 23^{3} + \left(8 a^{8} + 11 a^{7} + 2 a^{6} + 13 a^{5} + 19 a^{4} + 4 a^{3} + 7 a^{2} + 20 a + 13\right)\cdot 23^{4} + \left(16 a^{8} + 11 a^{7} + 11 a^{6} + 20 a^{5} + 21 a^{4} + 19 a^{3} + 15 a^{2} + 22 a + 2\right)\cdot 23^{5} + \left(15 a^{8} + 11 a^{7} + 11 a^{6} + 21 a^{5} + 2 a^{4} + 5 a^{3} + 21 a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 23^{6} + \left(15 a^{8} + 17 a^{7} + a^{6} + 15 a^{5} + 17 a^{4} + 15 a^{3} + 22 a^{2} + 15 a + 7\right)\cdot 23^{7} + \left(5 a^{8} + 3 a^{7} + 13 a^{6} + 13 a^{5} + 11 a^{4} + 16 a^{3} + 21 a^{2} + 18\right)\cdot 23^{8} + \left(14 a^{8} + 13 a^{7} + 21 a^{6} + 7 a^{5} + 12 a^{4} + 4 a^{3} + 3 a^{2} + 6 a + 21\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})$$ 7*a^8 + 22*a^7 + 7*a^6 + 22*a^5 + 8*a^4 + 10*a^3 + 7*a^2 + 14*a + 5 + (3*a^8 + 9*a^7 + 8*a^6 + 20*a^5 + 5*a^4 + 5*a^3 + 22*a^2 + 5*a)*23 + (2*a^8 + 13*a^7 + 19*a^6 + 4*a^5 + 12*a^4 + 17*a^3 + 16*a^2 + 9*a + 4)*23^2 + (22*a^8 + 14*a^7 + 8*a^6 + 19*a^5 + 13*a^4 + 17*a^3 + 4*a^2 + 6*a + 9)*23^3 + (8*a^8 + 11*a^7 + 2*a^6 + 13*a^5 + 19*a^4 + 4*a^3 + 7*a^2 + 20*a + 13)*23^4 + (16*a^8 + 11*a^7 + 11*a^6 + 20*a^5 + 21*a^4 + 19*a^3 + 15*a^2 + 22*a + 2)*23^5 + (15*a^8 + 11*a^7 + 11*a^6 + 21*a^5 + 2*a^4 + 5*a^3 + 21*a^2 + 4*a + 8)*23^6 + (15*a^8 + 17*a^7 + a^6 + 15*a^5 + 17*a^4 + 15*a^3 + 22*a^2 + 15*a + 7)*23^7 + (5*a^8 + 3*a^7 + 13*a^6 + 13*a^5 + 11*a^4 + 16*a^3 + 21*a^2 + 18)*23^8 + (14*a^8 + 13*a^7 + 21*a^6 + 7*a^5 + 12*a^4 + 4*a^3 + 3*a^2 + 6*a + 21)*23^9+O(23^10) $r_{ 14 }$ $=$ $$14 a^{8} + 11 a^{7} + 7 a^{6} + 16 a^{5} + a^{4} + 4 a^{3} + 13 a^{2} + 15 a + 13 + \left(5 a^{8} + 6 a^{7} + 13 a^{6} + 7 a^{5} + 5 a^{3} + 17 a^{2} + 15 a + 9\right)\cdot 23 + \left(a^{8} + 3 a^{7} + 11 a^{6} + 20 a^{5} + 15 a^{4} + 13 a^{3} + 20 a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 23^{2} + \left(4 a^{8} + 21 a^{7} + 8 a^{6} + 5 a^{5} + 18 a^{4} + 5 a^{3} + 20 a^{2} + 22 a + 2\right)\cdot 23^{3} + \left(10 a^{8} + 20 a^{7} + 7 a^{6} + 11 a^{5} + 19 a^{4} + 11 a^{3} + 15 a^{2} + 20 a + 9\right)\cdot 23^{4} + \left(3 a^{8} + 19 a^{7} + 6 a^{6} + 22 a^{5} + 3 a^{4} + 11 a^{3} + 13 a^{2} + 15 a + 18\right)\cdot 23^{5} + \left(9 a^{8} + 18 a^{7} + 14 a^{6} + 21 a^{5} + 3 a^{4} + 15 a^{3} + 15 a + 19\right)\cdot 23^{6} + \left(8 a^{8} + 19 a^{7} + 13 a^{6} + 3 a^{5} + 6 a^{3} + 12 a^{2} + 22 a + 15\right)\cdot 23^{7} + \left(16 a^{8} + 4 a^{7} + 22 a^{6} + 5 a^{5} + 6 a^{4} + a^{3} + 21 a^{2} + 10 a + 14\right)\cdot 23^{8} + \left(12 a^{8} + 19 a^{7} + 12 a^{6} + 22 a^{5} + 19 a^{4} + 8 a^{3} + 13 a^{2} + 14 a + 14\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})$$ 14*a^8 + 11*a^7 + 7*a^6 + 16*a^5 + a^4 + 4*a^3 + 13*a^2 + 15*a + 13 + (5*a^8 + 6*a^7 + 13*a^6 + 7*a^5 + 5*a^3 + 17*a^2 + 15*a + 9)*23 + (a^8 + 3*a^7 + 11*a^6 + 20*a^5 + 15*a^4 + 13*a^3 + 20*a^2 + 6*a + 2)*23^2 + (4*a^8 + 21*a^7 + 8*a^6 + 5*a^5 + 18*a^4 + 5*a^3 + 20*a^2 + 22*a + 2)*23^3 + (10*a^8 + 20*a^7 + 7*a^6 + 11*a^5 + 19*a^4 + 11*a^3 + 15*a^2 + 20*a + 9)*23^4 + (3*a^8 + 19*a^7 + 6*a^6 + 22*a^5 + 3*a^4 + 11*a^3 + 13*a^2 + 15*a + 18)*23^5 + (9*a^8 + 18*a^7 + 14*a^6 + 21*a^5 + 3*a^4 + 15*a^3 + 15*a + 19)*23^6 + (8*a^8 + 19*a^7 + 13*a^6 + 3*a^5 + 6*a^3 + 12*a^2 + 22*a + 15)*23^7 + (16*a^8 + 4*a^7 + 22*a^6 + 5*a^5 + 6*a^4 + a^3 + 21*a^2 + 10*a + 14)*23^8 + (12*a^8 + 19*a^7 + 12*a^6 + 22*a^5 + 19*a^4 + 8*a^3 + 13*a^2 + 14*a + 14)*23^9+O(23^10) $r_{ 15 }$ $=$ $$9 a^{8} + 19 a^{7} + 14 a^{6} + 22 a^{5} + 21 a^{4} + 21 a^{3} + 13 a^{2} + a + 1 + \left(14 a^{8} + 14 a^{7} + 6 a^{6} + 11 a^{5} + 19 a^{4} + 16 a^{3} + 10 a^{2} + 15 a + 11\right)\cdot 23 + \left(6 a^{8} + 19 a^{7} + 12 a^{6} + 6 a^{5} + 4 a^{4} + 21 a^{3} + 10 a\right)\cdot 23^{2} + \left(15 a^{8} + a^{7} + 14 a^{6} + 9 a^{5} + 19 a^{4} + 19 a^{3} + 20 a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 23^{3} + \left(2 a^{8} + 6 a^{7} + 5 a^{6} + 21 a^{5} + 16 a^{4} + 7 a^{3} + 17 a^{2} + 11 a + 19\right)\cdot 23^{4} + \left(22 a^{8} + 9 a^{7} + 14 a^{6} + 5 a^{5} + 17 a^{4} + 22 a^{3} + 2 a^{2} + 11 a + 22\right)\cdot 23^{5} + \left(3 a^{8} + 6 a^{7} + 22 a^{6} + 10 a^{5} + 4 a^{4} + 16 a^{2} + 19 a + 11\right)\cdot 23^{6} + \left(19 a^{8} + 6 a^{7} + 7 a^{6} + 20 a^{5} + 21 a^{4} + 22 a^{3} + 17 a^{2} + 6\right)\cdot 23^{7} + \left(20 a^{8} + 18 a^{7} + 12 a^{6} + 8 a^{5} + 7 a^{4} + 12 a^{3} + 16 a^{2} + 5 a + 16\right)\cdot 23^{8} + \left(2 a^{8} + 11 a^{7} + 16 a^{6} + 14 a^{5} + 15 a^{4} + 22 a^{3} + 12 a^{2} + 21 a + 14\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})$$ 9*a^8 + 19*a^7 + 14*a^6 + 22*a^5 + 21*a^4 + 21*a^3 + 13*a^2 + a + 1 + (14*a^8 + 14*a^7 + 6*a^6 + 11*a^5 + 19*a^4 + 16*a^3 + 10*a^2 + 15*a + 11)*23 + (6*a^8 + 19*a^7 + 12*a^6 + 6*a^5 + 4*a^4 + 21*a^3 + 10*a)*23^2 + (15*a^8 + a^7 + 14*a^6 + 9*a^5 + 19*a^4 + 19*a^3 + 20*a^2 + 9*a + 7)*23^3 + (2*a^8 + 6*a^7 + 5*a^6 + 21*a^5 + 16*a^4 + 7*a^3 + 17*a^2 + 11*a + 19)*23^4 + (22*a^8 + 9*a^7 + 14*a^6 + 5*a^5 + 17*a^4 + 22*a^3 + 2*a^2 + 11*a + 22)*23^5 + (3*a^8 + 6*a^7 + 22*a^6 + 10*a^5 + 4*a^4 + 16*a^2 + 19*a + 11)*23^6 + (19*a^8 + 6*a^7 + 7*a^6 + 20*a^5 + 21*a^4 + 22*a^3 + 17*a^2 + 6)*23^7 + (20*a^8 + 18*a^7 + 12*a^6 + 8*a^5 + 7*a^4 + 12*a^3 + 16*a^2 + 5*a + 16)*23^8 + (2*a^8 + 11*a^7 + 16*a^6 + 14*a^5 + 15*a^4 + 22*a^3 + 12*a^2 + 21*a + 14)*23^9+O(23^10) $r_{ 16 }$ $=$ $$16 a^{8} + 19 a^{7} + 17 a^{6} + 18 a^{5} + 21 a^{4} + 4 a^{3} + 12 a^{2} + 22 a + 17 + \left(22 a^{8} + 21 a^{7} + 3 a^{6} + 12 a^{5} + 15 a^{4} + 8 a^{3} + 20\right)\cdot 23 + \left(12 a^{8} + 8 a^{7} + 13 a^{6} + 21 a^{5} + 5 a^{4} + 21 a^{3} + 16 a^{2} + 13 a + 1\right)\cdot 23^{2} + \left(16 a^{8} + 3 a^{7} + 14 a^{6} + 11 a^{5} + a^{4} + 2 a^{3} + 17 a^{2} + 7 a + 14\right)\cdot 23^{3} + \left(3 a^{8} + 13 a^{7} + 7 a^{6} + 2 a^{5} + 14 a^{4} + 9 a^{3} + 11 a^{2} + 20 a + 1\right)\cdot 23^{4} + \left(8 a^{7} + 4 a^{5} + 18 a^{4} + a^{3} + 14 a^{2} + 22 a + 22\right)\cdot 23^{5} + \left(19 a^{8} + 12 a^{7} + 19 a^{6} + 4 a^{5} + 6 a^{4} + 12 a^{3} + 20 a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 23^{6} + \left(4 a^{7} + a^{6} + 12 a^{5} + 9 a^{4} + 2 a^{3} + 6 a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 23^{7} + \left(3 a^{8} + 13 a^{7} + 6 a^{6} + 3 a^{5} + 20 a^{4} + 2 a^{3} + 9 a^{2} + 8 a + 21\right)\cdot 23^{8} + \left(2 a^{8} + 9 a^{7} + 13 a^{6} + 18 a^{5} + 18 a^{4} + 2 a^{3} + 2 a^{2} + 14 a\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})$$ 16*a^8 + 19*a^7 + 17*a^6 + 18*a^5 + 21*a^4 + 4*a^3 + 12*a^2 + 22*a + 17 + (22*a^8 + 21*a^7 + 3*a^6 + 12*a^5 + 15*a^4 + 8*a^3 + 20)*23 + (12*a^8 + 8*a^7 + 13*a^6 + 21*a^5 + 5*a^4 + 21*a^3 + 16*a^2 + 13*a + 1)*23^2 + (16*a^8 + 3*a^7 + 14*a^6 + 11*a^5 + a^4 + 2*a^3 + 17*a^2 + 7*a + 14)*23^3 + (3*a^8 + 13*a^7 + 7*a^6 + 2*a^5 + 14*a^4 + 9*a^3 + 11*a^2 + 20*a + 1)*23^4 + (8*a^7 + 4*a^5 + 18*a^4 + a^3 + 14*a^2 + 22*a + 22)*23^5 + (19*a^8 + 12*a^7 + 19*a^6 + 4*a^5 + 6*a^4 + 12*a^3 + 20*a^2 + 4*a + 8)*23^6 + (4*a^7 + a^6 + 12*a^5 + 9*a^4 + 2*a^3 + 6*a^2 + 10*a + 10)*23^7 + (3*a^8 + 13*a^7 + 6*a^6 + 3*a^5 + 20*a^4 + 2*a^3 + 9*a^2 + 8*a + 21)*23^8 + (2*a^8 + 9*a^7 + 13*a^6 + 18*a^5 + 18*a^4 + 2*a^3 + 2*a^2 + 14*a)*23^9+O(23^10) $r_{ 17 }$ $=$ $$9 a^{8} + 19 a^{7} + 2 a^{6} + 15 a^{5} + 16 a^{4} + 22 a^{3} + 10 a^{2} + 8 a + \left(21 a^{8} + 19 a^{7} + 21 a^{6} + 6 a^{5} + 9 a^{4} + 10 a^{3} + 10 a^{2} + 15 a + 7\right)\cdot 23 + \left(10 a^{8} + 15 a^{7} + 8 a^{6} + 20 a^{5} + 13 a^{4} + 16 a^{3} + 17 a^{2} + 11 a + 12\right)\cdot 23^{2} + \left(10 a^{8} + 11 a^{7} + 9 a^{6} + 10 a^{5} + 15 a^{4} + 16 a^{3} + 15 a^{2} + 15 a + 1\right)\cdot 23^{3} + \left(4 a^{8} + 19 a^{7} + 6 a^{6} + 19 a^{5} + 16 a^{4} + 4 a^{3} + 12 a^{2} + 4 a + 19\right)\cdot 23^{4} + \left(12 a^{8} + 4 a^{7} + 13 a^{6} + 9 a^{5} + 2 a^{4} + 22 a^{3} + 8 a^{2} + 15 a + 18\right)\cdot 23^{5} + \left(9 a^{8} + 4 a^{7} + 8 a^{6} + 10 a^{4} + 22 a^{3} + 22 a^{2} + 18 a + 14\right)\cdot 23^{6} + \left(20 a^{8} + 3 a^{6} + 17 a^{5} + a^{4} + 6 a^{3} + 19 a^{2} + 18 a + 7\right)\cdot 23^{7} + \left(a^{8} + 10 a^{7} + 3 a^{6} + 20 a^{5} + 17 a^{4} + 9 a^{3} + 21 a^{2} + 14 a + 22\right)\cdot 23^{8} + \left(2 a^{8} + 22 a^{7} + 4 a^{6} + 5 a^{5} + 11 a^{4} + 3 a^{3} + 2 a^{2} + 5 a\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})$$ 9*a^8 + 19*a^7 + 2*a^6 + 15*a^5 + 16*a^4 + 22*a^3 + 10*a^2 + 8*a + (21*a^8 + 19*a^7 + 21*a^6 + 6*a^5 + 9*a^4 + 10*a^3 + 10*a^2 + 15*a + 7)*23 + (10*a^8 + 15*a^7 + 8*a^6 + 20*a^5 + 13*a^4 + 16*a^3 + 17*a^2 + 11*a + 12)*23^2 + (10*a^8 + 11*a^7 + 9*a^6 + 10*a^5 + 15*a^4 + 16*a^3 + 15*a^2 + 15*a + 1)*23^3 + (4*a^8 + 19*a^7 + 6*a^6 + 19*a^5 + 16*a^4 + 4*a^3 + 12*a^2 + 4*a + 19)*23^4 + (12*a^8 + 4*a^7 + 13*a^6 + 9*a^5 + 2*a^4 + 22*a^3 + 8*a^2 + 15*a + 18)*23^5 + (9*a^8 + 4*a^7 + 8*a^6 + 10*a^4 + 22*a^3 + 22*a^2 + 18*a + 14)*23^6 + (20*a^8 + 3*a^6 + 17*a^5 + a^4 + 6*a^3 + 19*a^2 + 18*a + 7)*23^7 + (a^8 + 10*a^7 + 3*a^6 + 20*a^5 + 17*a^4 + 9*a^3 + 21*a^2 + 14*a + 22)*23^8 + (2*a^8 + 22*a^7 + 4*a^6 + 5*a^5 + 11*a^4 + 3*a^3 + 2*a^2 + 5*a)*23^9+O(23^10) $r_{ 18 }$ $=$ $$16 a^{7} + 2 a^{6} + 8 a^{5} + a^{4} + 21 a^{3} + 20 a^{2} + 7 a + 9 + \left(3 a^{8} + a^{7} + 3 a^{6} + 3 a^{5} + 3 a^{4} + 17 a^{2} + 15 a + 2\right)\cdot 23 + \left(15 a^{8} + 22 a^{6} + 19 a^{5} + 3 a^{4} + 11 a^{3} + a^{2} + 5 a + 20\right)\cdot 23^{2} + \left(3 a^{8} + 22 a^{6} + 7 a^{5} + 8 a^{4} + 20 a^{3} + 5 a^{2} + 14 a + 13\right)\cdot 23^{3} + \left(10 a^{8} + 19 a^{7} + 9 a^{6} + 13 a^{5} + 9 a^{4} + 3 a^{3} + 12 a^{2} + 13 a + 17\right)\cdot 23^{4} + \left(20 a^{8} + 16 a^{7} + 2 a^{6} + 17 a^{5} + a^{4} + 12 a^{3} + 6 a^{2} + 18 a + 4\right)\cdot 23^{5} + \left(9 a^{8} + 20 a^{7} + 9 a^{6} + 13 a^{5} + 15 a^{4} + 6 a^{3} + 6 a^{2} + 10 a + 14\right)\cdot 23^{6} + \left(18 a^{8} + 19 a^{7} + a^{6} + 21 a^{5} + a^{4} + 17 a^{3} + 16 a^{2} + 22 a\right)\cdot 23^{7} + \left(8 a^{8} + 22 a^{7} + 11 a^{6} + 8 a^{5} + 9 a^{4} + 8 a^{3} + 7 a^{2} + 6 a + 15\right)\cdot 23^{8} + \left(7 a^{8} + 14 a^{7} + 16 a^{6} + 9 a^{5} + 11 a^{4} + 15 a^{3} + 19 a^{2} + 10 a + 16\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})$$ 16*a^7 + 2*a^6 + 8*a^5 + a^4 + 21*a^3 + 20*a^2 + 7*a + 9 + (3*a^8 + a^7 + 3*a^6 + 3*a^5 + 3*a^4 + 17*a^2 + 15*a + 2)*23 + (15*a^8 + 22*a^6 + 19*a^5 + 3*a^4 + 11*a^3 + a^2 + 5*a + 20)*23^2 + (3*a^8 + 22*a^6 + 7*a^5 + 8*a^4 + 20*a^3 + 5*a^2 + 14*a + 13)*23^3 + (10*a^8 + 19*a^7 + 9*a^6 + 13*a^5 + 9*a^4 + 3*a^3 + 12*a^2 + 13*a + 17)*23^4 + (20*a^8 + 16*a^7 + 2*a^6 + 17*a^5 + a^4 + 12*a^3 + 6*a^2 + 18*a + 4)*23^5 + (9*a^8 + 20*a^7 + 9*a^6 + 13*a^5 + 15*a^4 + 6*a^3 + 6*a^2 + 10*a + 14)*23^6 + (18*a^8 + 19*a^7 + a^6 + 21*a^5 + a^4 + 17*a^3 + 16*a^2 + 22*a)*23^7 + (8*a^8 + 22*a^7 + 11*a^6 + 8*a^5 + 9*a^4 + 8*a^3 + 7*a^2 + 6*a + 15)*23^8 + (7*a^8 + 14*a^7 + 16*a^6 + 9*a^5 + 11*a^4 + 15*a^3 + 19*a^2 + 10*a + 16)*23^9+O(23^10)

## Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 18 }$

 Cycle notation $(1,13,11,10,8,9,12,6,16)(2,15,17,5,18,3,7,14,4)$ $(1,10,12)(6,13,8)(9,16,11)$ $(1,18)(2,9)(3,13)(4,8)(5,16)(6,17)(7,11)(10,14)(12,15)$ $(2,5,7)(3,4,17)(14,15,18)$

## Character values on conjugacy classes

 Size Order Action on $r_1, \ldots, r_{ 18 }$ Character value $1$ $1$ $()$ $2$ $3$ $2$ $(1,18)(2,9)(3,13)(4,8)(5,16)(6,17)(7,11)(10,14)(12,15)$ $0$ $1$ $3$ $(1,10,12)(2,5,7)(3,4,17)(6,13,8)(9,16,11)(14,15,18)$ $2 \zeta_{9}^{3}$ $1$ $3$ $(1,12,10)(2,7,5)(3,17,4)(6,8,13)(9,11,16)(14,18,15)$ $-2 \zeta_{9}^{3} - 2$ $2$ $3$ $(1,10,12)(6,13,8)(9,16,11)$ $\zeta_{9}^{3} + 1$ $2$ $3$ $(1,12,10)(6,8,13)(9,11,16)$ $-\zeta_{9}^{3}$ $2$ $3$ $(1,12,10)(2,5,7)(3,4,17)(6,8,13)(9,11,16)(14,15,18)$ $-1$ $3$ $6$ $(1,14,12,18,10,15)(2,16,7,9,5,11)(3,8,17,13,4,6)$ $0$ $3$ $6$ $(1,15,10,18,12,14)(2,11,5,9,7,16)(3,6,4,13,17,8)$ $0$ $1$ $9$ $(1,13,11,10,8,9,12,6,16)(2,15,17,5,18,3,7,14,4)$ $-2 \zeta_{9}^{4} - 2 \zeta_{9}$ $1$ $9$ $(1,11,8,12,16,13,10,9,6)(2,17,18,7,4,15,5,3,14)$ $2 \zeta_{9}^{5}$ $1$ $9$ $(1,8,16,10,6,11,12,13,9)(2,18,4,5,14,17,7,15,3)$ $2 \zeta_{9}$ $1$ $9$ $(1,9,13,12,11,6,10,16,8)(2,3,15,7,17,14,5,4,18)$ $-2 \zeta_{9}^{5} - 2 \zeta_{9}^{2}$ $1$ $9$ $(1,6,9,10,13,16,12,8,11)(2,14,3,5,15,4,7,18,17)$ $2 \zeta_{9}^{4}$ $1$ $9$ $(1,16,6,12,9,8,10,11,13)(2,4,14,7,3,18,5,17,15)$ $2 \zeta_{9}^{2}$ $2$ $9$ $(1,8,16,10,6,11,12,13,9)(2,15,17,5,18,3,7,14,4)$ $-\zeta_{9}^{4}$ $2$ $9$ $(1,16,6,12,9,8,10,11,13)(2,17,18,7,4,15,5,3,14)$ $\zeta_{9}^{5} + \zeta_{9}^{2}$ $2$ $9$ $(1,6,9,10,13,16,12,8,11)(2,18,4,5,14,17,7,15,3)$ $\zeta_{9}^{4} + \zeta_{9}$ $2$ $9$ $(1,11,8,12,16,13,10,9,6)(2,3,15,7,17,14,5,4,18)$ $-\zeta_{9}^{2}$ $2$ $9$ $(1,13,11,10,8,9,12,6,16)(2,14,3,5,15,4,7,18,17)$ $-\zeta_{9}$ $2$ $9$ $(1,9,13,12,11,6,10,16,8)(2,4,14,7,3,18,5,17,15)$ $-\zeta_{9}^{5}$ $3$ $18$ $(1,3,11,14,8,2,12,17,16,18,13,7,10,4,9,15,6,5)$ $0$ $3$ $18$ $(1,2,13,15,11,17,10,5,8,18,9,3,12,7,6,14,16,4)$ $0$ $3$ $18$ $(1,17,9,14,13,5,12,4,11,18,6,2,10,3,16,15,8,7)$ $0$ $3$ $18$ $(1,7,8,15,16,3,10,2,6,18,11,4,12,5,13,14,9,17)$ $0$ $3$ $18$ $(1,4,16,14,6,7,12,3,9,18,8,5,10,17,11,15,13,2)$ $0$ $3$ $18$ $(1,5,6,15,9,4,10,7,13,18,16,17,12,2,8,14,11,3)$ $0$

The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.