Basic invariants
| Dimension: | $2$ |
| Group: | $C_9\times S_3$ |
| Conductor: | $729= 3^{6} $ |
| Artin number field: | Splitting field of $f= x^{18} - 9 x^{15} + 36 x^{12} - 53 x^{9} + 27 x^{6} + 1 $ over $\Q$ |
| Size of Galois orbit: | 6 |
| Smallest containing permutation representation: | $C_9\times S_3$ |
| Parity: | Odd |
| Determinant: | 1.3e3.18t1.1c2 |
Galois action
Roots of defining polynomial
The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 31 }$ to precision 15.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 31 }$: $ x^{9} + 4 x^{3} + 20 x^{2} + 29 x + 28 $
Roots:
| $r_{ 1 }$ | $=$ | $ 30 a^{8} + 3 a^{7} + 24 a^{6} + 19 a^{5} + 9 a^{4} + 8 a^{3} + 14 a^{2} + 2 a + 16 + \left(6 a^{7} + 15 a^{6} + 11 a^{5} + 25 a^{4} + 5 a^{3} + 22 a + 27\right)\cdot 31 + \left(30 a^{8} + 9 a^{7} + 22 a^{6} + 29 a^{5} + 19 a^{4} + 23 a^{3} + 20 a^{2} + 19 a + 5\right)\cdot 31^{2} + \left(30 a^{8} + 23 a^{7} + 18 a^{5} + 28 a^{3} + 15 a^{2} + 21 a + 12\right)\cdot 31^{3} + \left(4 a^{8} + 12 a^{7} + 29 a^{6} + 12 a^{5} + 29 a^{4} + 3 a^{3} + 10 a^{2} + 28 a + 15\right)\cdot 31^{4} + \left(22 a^{8} + 13 a^{7} + 13 a^{6} + 3 a^{5} + 19 a^{3} + 24 a^{2} + 14\right)\cdot 31^{5} + \left(16 a^{8} + 13 a^{7} + 4 a^{6} + 3 a^{5} + a^{4} + 13 a^{3} + 25 a^{2} + 4 a + 14\right)\cdot 31^{6} + \left(5 a^{8} + 25 a^{7} + 12 a^{6} + 29 a^{5} + 24 a^{4} + 27 a^{3} + 17 a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 31^{7} + \left(9 a^{8} + 15 a^{7} + 20 a^{6} + 18 a^{5} + 22 a^{4} + 3 a^{3} + 30 a^{2} + 2 a + 10\right)\cdot 31^{8} + \left(4 a^{8} + 15 a^{7} + 2 a^{6} + 5 a^{5} + 12 a^{4} + 24 a^{3} + 6 a^{2} + 25 a + 4\right)\cdot 31^{9} + \left(14 a^{8} + 24 a^{7} + 23 a^{6} + 16 a^{5} + 14 a^{4} + 7 a^{3} + 14 a^{2} + 19 a + 1\right)\cdot 31^{10} + \left(8 a^{8} + 4 a^{7} + 11 a^{6} + 4 a^{5} + 7 a^{4} + 21 a^{3} + 13 a^{2} + 19 a\right)\cdot 31^{11} + \left(6 a^{8} + 6 a^{7} + 8 a^{6} + 4 a^{5} + 14 a^{3} + a^{2} + 30 a + 18\right)\cdot 31^{12} + \left(8 a^{8} + 24 a^{7} + 4 a^{6} + 21 a^{5} + 28 a^{4} + 17 a^{3} + 16 a^{2} + 28 a + 20\right)\cdot 31^{13} + \left(19 a^{8} + 2 a^{7} + 24 a^{6} + 11 a^{5} + 28 a^{4} + 30 a^{3} + 18 a^{2} + 23 a + 18\right)\cdot 31^{14} +O\left(31^{ 15 }\right)$ |
| $r_{ 2 }$ | $=$ | $ 9 a^{8} + 29 a^{7} + 30 a^{6} + 28 a^{5} + 4 a^{4} + 29 a^{3} + 29 a^{2} + 17 a + 26 + \left(11 a^{8} + 15 a^{7} + 29 a^{6} + 28 a^{5} + 19 a^{4} + 19 a^{3} + 22 a + 29\right)\cdot 31 + \left(11 a^{8} + 29 a^{7} + 21 a^{6} + 14 a^{5} + 11 a^{4} + 30 a^{3} + 19 a^{2} + 25 a + 14\right)\cdot 31^{2} + \left(22 a^{7} + 26 a^{6} + 23 a^{5} + 18 a^{4} + 6 a^{3} + 29 a^{2} + 27 a + 17\right)\cdot 31^{3} + \left(11 a^{8} + 23 a^{7} + 12 a^{6} + 25 a^{5} + 16 a^{4} + 22 a^{3} + 29\right)\cdot 31^{4} + \left(8 a^{8} + 14 a^{7} + 13 a^{6} + 14 a^{5} + 12 a^{4} + 4 a^{3} + 16 a^{2} + 18 a + 8\right)\cdot 31^{5} + \left(29 a^{8} + 24 a^{7} + 23 a^{6} + 29 a^{5} + 21 a^{4} + 27 a^{3} + 22 a^{2} + 9 a + 16\right)\cdot 31^{6} + \left(15 a^{8} + 17 a^{7} + 19 a^{6} + 9 a^{5} + 28 a^{4} + 9 a^{3} + 2 a^{2} + 16 a + 20\right)\cdot 31^{7} + \left(15 a^{8} + 10 a^{7} + 7 a^{6} + 6 a^{5} + 9 a^{4} + 25 a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 31^{8} + \left(5 a^{8} + 11 a^{7} + 30 a^{6} + 16 a^{5} + 7 a^{4} + 3 a^{3} + 7 a^{2} + 28 a + 13\right)\cdot 31^{9} + \left(a^{8} + 26 a^{7} + 14 a^{6} + 17 a^{5} + 30 a^{4} + 17 a^{3} + a^{2} + 20 a + 15\right)\cdot 31^{10} + \left(26 a^{8} + 24 a^{7} + 25 a^{6} + 27 a^{5} + 5 a^{4} + 17 a^{3} + 3 a^{2} + 2 a + 23\right)\cdot 31^{11} + \left(26 a^{8} + 2 a^{7} + 19 a^{6} + 16 a^{5} + 17 a^{4} + 12 a^{3} + 28 a^{2} + 8 a + 16\right)\cdot 31^{12} + \left(6 a^{8} + 27 a^{7} + 13 a^{6} + 11 a^{5} + 17 a^{4} + 4 a^{2} + 27 a + 28\right)\cdot 31^{13} + \left(23 a^{8} + 9 a^{7} + 29 a^{6} + 2 a^{5} + 21 a^{4} + 5 a^{3} + 14 a^{2} + 4 a + 10\right)\cdot 31^{14} +O\left(31^{ 15 }\right)$ |
| $r_{ 3 }$ | $=$ | $ 4 a^{8} + 30 a^{7} + 30 a^{6} + 24 a^{5} + 9 a^{4} + 11 a^{3} + 14 a^{2} + 29 a + 16 + \left(5 a^{8} + 18 a^{7} + 22 a^{6} + 14 a^{5} + 4 a^{4} + 30 a^{3} + 8 a^{2} + 30 a + 23\right)\cdot 31 + \left(30 a^{8} + 8 a^{7} + 20 a^{6} + 14 a^{5} + 23 a^{4} + 19 a^{3} + 9 a^{2} + 14 a + 12\right)\cdot 31^{2} + \left(29 a^{8} + 19 a^{7} + 28 a^{6} + 11 a^{5} + 21 a^{4} + 5 a^{3} + 22 a^{2} + 25 a + 5\right)\cdot 31^{3} + \left(3 a^{8} + 8 a^{7} + 7 a^{6} + 26 a^{5} + 16 a^{4} + 2 a^{3} + 20 a^{2} + 27 a + 30\right)\cdot 31^{4} + \left(4 a^{8} + 13 a^{7} + 23 a^{6} + 2 a^{5} + 9 a^{4} + 8 a^{3} + 24 a^{2} + 26 a + 2\right)\cdot 31^{5} + \left(12 a^{8} + 27 a^{7} + 3 a^{6} + 14 a^{5} + 26 a^{4} + 8 a^{3} + 14 a^{2} + 27 a + 26\right)\cdot 31^{6} + \left(17 a^{8} + 20 a^{7} + 15 a^{6} + 12 a^{5} + 16 a^{4} + 3 a^{3} + 4 a^{2} + 4 a + 17\right)\cdot 31^{7} + \left(19 a^{8} + 26 a^{7} + 7 a^{6} + 19 a^{5} + 21 a^{4} + 17 a^{3} + 10 a^{2} + 16 a + 12\right)\cdot 31^{8} + \left(21 a^{8} + 23 a^{7} + 14 a^{6} + 20 a^{5} + 17 a^{4} + 17 a^{3} + 9 a^{2} + 10 a + 26\right)\cdot 31^{9} + \left(21 a^{8} + 9 a^{6} + 23 a^{5} + 3 a^{4} + 12 a^{3} + 15 a^{2} + 19 a + 17\right)\cdot 31^{10} + \left(21 a^{8} + 3 a^{7} + 27 a^{6} + 7 a^{5} + 12 a^{4} + 25 a^{3} + 12 a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 31^{11} + \left(a^{8} + 2 a^{7} + 29 a^{6} + 3 a^{5} + 22 a^{4} + 26 a^{3} + 2 a^{2} + 27 a + 25\right)\cdot 31^{12} + \left(9 a^{8} + 28 a^{7} + 20 a^{6} + 18 a^{5} + 15 a^{4} + a^{3} + 21 a^{2} + 20 a + 19\right)\cdot 31^{13} + \left(2 a^{8} + 21 a^{7} + 29 a^{6} + 28 a^{5} + 28 a^{4} + 15 a^{3} + 19 a^{2} + 18 a + 3\right)\cdot 31^{14} +O\left(31^{ 15 }\right)$ |
| $r_{ 4 }$ | $=$ | $ 7 a^{8} + 14 a^{7} + 12 a^{6} + 22 a^{5} + 16 a^{4} + 29 a^{2} + 21 a + 10 + \left(28 a^{8} + 3 a^{7} + 4 a^{6} + 17 a^{5} + 5 a^{4} + 3 a^{3} + 10 a^{2} + 4 a + 28\right)\cdot 31 + \left(14 a^{8} + 28 a^{7} + 20 a^{6} + 17 a^{5} + 15 a^{4} + 14 a^{3} + 11 a^{2} + 16 a + 3\right)\cdot 31^{2} + \left(12 a^{8} + 23 a^{7} + 20 a^{6} + 23 a^{5} + 18 a^{4} + a^{3} + 17 a^{2} + 17 a + 8\right)\cdot 31^{3} + \left(30 a^{8} + 22 a^{7} + 29 a^{6} + 4 a^{4} + 21 a^{3} + 14 a^{2} + 6 a + 25\right)\cdot 31^{4} + \left(9 a^{8} + 10 a^{7} + 13 a^{6} + 14 a^{5} + 25 a^{4} + 24 a^{3} + 23 a^{2} + 13 a + 6\right)\cdot 31^{5} + \left(6 a^{8} + 2 a^{7} + 19 a^{6} + a^{5} + 3 a^{4} + 7 a^{3} + 5 a^{2} + 11 a + 10\right)\cdot 31^{6} + \left(4 a^{8} + 9 a^{7} + 28 a^{6} + 24 a^{5} + 23 a^{4} + 16 a^{3} + 9 a^{2} + 25 a + 19\right)\cdot 31^{7} + \left(17 a^{8} + 19 a^{7} + 4 a^{6} + 19 a^{5} + 12 a^{4} + 13 a^{3} + 20 a^{2} + 22 a\right)\cdot 31^{8} + \left(27 a^{8} + 5 a^{7} + 17 a^{6} + 3 a^{5} + 10 a^{4} + 7 a^{3} + 2 a^{2} + 10 a + 3\right)\cdot 31^{9} + \left(18 a^{8} + 25 a^{7} + 29 a^{6} + 12 a^{5} + 20 a^{4} + 6 a^{3} + 19 a^{2} + 20 a + 17\right)\cdot 31^{10} + \left(3 a^{8} + 10 a^{6} + 25 a^{5} + 16 a^{3} + 30 a^{2} + 26 a\right)\cdot 31^{11} + \left(6 a^{8} + 19 a^{7} + 20 a^{6} + 16 a^{5} + 13 a^{4} + 22 a^{3} + 6 a^{2} + 12 a + 5\right)\cdot 31^{12} + \left(21 a^{8} + 13 a^{6} + 10 a^{5} + 16 a^{4} + 7 a^{3} + 13 a^{2} + 6 a + 17\right)\cdot 31^{13} + \left(8 a^{8} + 7 a^{7} + 16 a^{6} + 24 a^{5} + 6 a^{4} + 24 a^{3} + 17 a^{2} + 20 a + 25\right)\cdot 31^{14} +O\left(31^{ 15 }\right)$ |
| $r_{ 5 }$ | $=$ | $ 24 a^{8} + 14 a^{7} + 17 a^{6} + 6 a^{5} + 12 a^{4} + 9 a^{3} + 17 a^{2} + 18 a + \left(a^{8} + 10 a^{7} + 27 a^{6} + 15 a^{5} + 11 a^{4} + 15 a^{3} + 20 a + 20\right)\cdot 31 + \left(20 a^{8} + 26 a^{7} + 28 a^{6} + 20 a^{5} + 8 a^{4} + 24 a^{3} + 21 a^{2} + 9 a + 18\right)\cdot 31^{2} + \left(29 a^{8} + 15 a^{7} + 15 a^{6} + 30 a^{5} + 4 a^{4} + 24 a^{3} + 8 a^{2} + 15 a + 9\right)\cdot 31^{3} + \left(23 a^{8} + 24 a^{7} + 9 a^{6} + 9 a^{5} + 24 a^{4} + 25 a^{3} + 28 a^{2} + 25\right)\cdot 31^{4} + \left(11 a^{8} + 16 a^{7} + 26 a^{6} + 5 a^{5} + 23 a^{4} + 11 a^{3} + 19 a^{2} + 30 a + 14\right)\cdot 31^{5} + \left(8 a^{8} + 22 a^{7} + 5 a^{6} + 10 a^{5} + 6 a^{4} + 3 a^{3} + 17 a^{2} + 24 a + 10\right)\cdot 31^{6} + \left(20 a^{8} + 4 a^{7} + 17 a^{6} + 7 a^{5} + 22 a^{4} + 3 a^{3} + 20 a^{2} + 12 a + 25\right)\cdot 31^{7} + \left(6 a^{8} + 27 a^{7} + 25 a^{5} + 12 a^{4} + 7 a^{3} + a^{2} + 12 a + 9\right)\cdot 31^{8} + \left(6 a^{8} + a^{7} + 9 a^{6} + 14 a^{5} + 24 a^{4} + 22 a^{3} + 6 a^{2} + 3\right)\cdot 31^{9} + \left(5 a^{8} + 13 a^{7} + 26 a^{6} + 13 a^{5} + 30 a^{4} + 12 a^{3} + 25 a^{2} + 5 a + 18\right)\cdot 31^{10} + \left(27 a^{8} + 20 a^{7} + 8 a^{6} + 22 a^{5} + a^{4} + 21 a^{3} + 21 a^{2} + 8 a + 18\right)\cdot 31^{11} + \left(29 a^{8} + 23 a^{7} + 26 a^{6} + 2 a^{5} + 24 a^{4} + 14 a^{3} + 25 a^{2} + 20 a + 9\right)\cdot 31^{12} + \left(a^{8} + 2 a^{7} + 14 a^{6} + 25 a^{5} + 14 a^{4} + 9 a^{3} + 3 a^{2} + 16 a + 2\right)\cdot 31^{13} + \left(15 a^{8} + 30 a^{7} + 21 a^{6} + 17 a^{5} + 29 a^{4} + 13 a^{3} + 21 a^{2} + 11 a + 18\right)\cdot 31^{14} +O\left(31^{ 15 }\right)$ |
| $r_{ 6 }$ | $=$ | $ 28 a^{8} + 5 a^{7} + 26 a^{6} + 18 a^{5} + 5 a^{4} + 26 a^{3} + 7 a^{2} + 6 a + 25 + \left(10 a^{8} + 26 a^{7} + 13 a^{6} + 12 a^{5} + 5 a^{4} + 5 a^{3} + 22 a^{2} + 6 a + 18\right)\cdot 31 + \left(26 a^{8} + 15 a^{7} + 2 a^{6} + 24 a^{5} + a^{4} + 2 a^{3} + 13 a^{2} + 26 a + 12\right)\cdot 31^{2} + \left(5 a^{8} + 26 a^{7} + 18 a^{6} + 5 a^{5} + 28 a^{4} + 4 a^{3} + 27 a^{2} + 13 a + 22\right)\cdot 31^{3} + \left(a^{8} + 2 a^{7} + 15 a^{6} + 9 a^{5} + 23 a^{4} + 5 a^{3} + 18 a^{2} + 2 a + 16\right)\cdot 31^{4} + \left(22 a^{7} + a^{6} + 25 a^{5} + 22 a^{4} + 5 a^{3} + 9 a^{2} + 28 a + 14\right)\cdot 31^{5} + \left(24 a^{8} + 18 a^{7} + 16 a^{6} + 24 a^{5} + 8 a^{4} + 23 a^{3} + 19 a^{2} + 2 a + 29\right)\cdot 31^{6} + \left(7 a^{8} + 29 a^{7} + 14 a^{6} + 12 a^{5} + 15 a^{4} + 2 a^{3} + 14 a^{2} + 23 a + 27\right)\cdot 31^{7} + \left(23 a^{8} + 7 a^{7} + 2 a^{6} + 27 a^{5} + 19 a^{4} + 9 a^{3} + 25 a^{2} + 9 a + 2\right)\cdot 31^{8} + \left(2 a^{8} + 7 a^{7} + 4 a^{6} + 16 a^{5} + 14 a^{4} + 2 a^{3} + 30 a^{2} + 19 a + 12\right)\cdot 31^{9} + \left(a^{8} + 5 a^{7} + 14 a^{6} + 10 a^{5} + 24 a^{4} + 7 a^{3} + 21 a^{2} + 18 a + 9\right)\cdot 31^{10} + \left(22 a^{8} + 14 a^{7} + 27 a^{6} + 11 a^{5} + 20 a^{4} + 30 a^{3} + 11 a^{2} + 12 a + 14\right)\cdot 31^{11} + \left(a^{8} + 5 a^{7} + 10 a^{5} + 7 a^{4} + 26 a^{2} + 8 a\right)\cdot 31^{12} + \left(30 a^{8} + 7 a^{7} + 4 a^{6} + 8 a^{5} + 6 a^{4} + 16 a^{3} + 10 a^{2} + 17 a + 5\right)\cdot 31^{13} + \left(27 a^{8} + 25 a^{7} + 9 a^{6} + 21 a^{5} + 30 a^{4} + 18 a^{3} + 23 a^{2} + 3 a + 1\right)\cdot 31^{14} +O\left(31^{ 15 }\right)$ |
| $r_{ 7 }$ | $=$ | $ 6 a^{8} + 13 a^{7} + 11 a^{6} + 10 a^{5} + 8 a^{4} + 14 a^{3} + 9 a^{2} + 19 a + 28 + \left(8 a^{8} + 14 a^{7} + 3 a^{6} + 5 a^{5} + a^{4} + 11 a^{3} + 18 a^{2} + 25 a + 13\right)\cdot 31 + \left(16 a^{8} + 4 a^{7} + 29 a^{6} + 11 a^{5} + 24 a^{4} + 29 a^{3} + 2 a^{2} + 20 a + 1\right)\cdot 31^{2} + \left(29 a^{8} + 26 a^{7} + 8 a^{6} + 5 a^{5} + 25 a^{3} + 30 a^{2} + 9 a + 17\right)\cdot 31^{3} + \left(3 a^{8} + 17 a^{7} + 19 a^{6} + 7 a^{5} + 9 a^{3} + 4 a^{2} + 17 a + 17\right)\cdot 31^{4} + \left(3 a^{8} + 27 a^{7} + 6 a^{6} + 27 a^{5} + 23 a^{3} + 28 a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 31^{5} + \left(13 a^{8} + 24 a^{7} + 14 a^{6} + 22 a^{5} + 23 a^{4} + 28 a^{3} + 18 a^{2} + 5 a + 15\right)\cdot 31^{6} + \left(12 a^{8} + 22 a^{7} + 26 a^{6} + 3 a^{5} + 7 a^{4} + 20 a^{3} + 22 a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 31^{7} + \left(29 a^{8} + 4 a^{7} + 9 a^{6} + 8 a^{5} + 18 a^{4} + 20 a^{3} + 11 a^{2} + 5 a + 7\right)\cdot 31^{8} + \left(13 a^{8} + 22 a^{6} + 13 a^{5} + a^{4} + 27 a^{3} + 18 a^{2} + 24 a + 1\right)\cdot 31^{9} + \left(15 a^{8} + 19 a^{7} + 2 a^{6} + 25 a^{5} + 20 a^{4} + 27 a^{3} + 25 a^{2} + 17 a + 26\right)\cdot 31^{10} + \left(11 a^{8} + a^{7} + 10 a^{6} + 28 a^{5} + 21 a^{4} + 24 a^{3} + 2 a^{2} + 2 a + 10\right)\cdot 31^{11} + \left(5 a^{8} + 9 a^{7} + 19 a^{6} + 12 a^{5} + 3 a^{4} + 20 a^{3} + 13 a^{2} + 20 a + 17\right)\cdot 31^{12} + \left(3 a^{8} + 17 a^{7} + 5 a^{6} + 17 a^{5} + 4 a^{4} + 12 a^{3} + 5 a^{2} + 29 a + 7\right)\cdot 31^{13} + \left(4 a^{8} + 25 a^{7} + a^{6} + 30 a^{4} + 8 a^{3} + 19 a^{2} + 13 a + 24\right)\cdot 31^{14} +O\left(31^{ 15 }\right)$ |
| $r_{ 8 }$ | $=$ | $ 8 a^{8} + 12 a^{7} + 6 a^{6} + 18 a^{5} + 7 a^{4} + 12 a^{3} + 12 a^{2} + 22 a + 30 + \left(23 a^{8} + 25 a^{7} + 20 a^{6} + 23 a^{5} + 15 a^{4} + a^{3} + 22 a^{2} + 29 a + 14\right)\cdot 31 + \left(22 a^{8} + 19 a^{7} + 30 a^{6} + 11 a^{5} + 19 a^{3} + 13 a^{2} + 20 a + 15\right)\cdot 31^{2} + \left(22 a^{8} + 12 a^{7} + 29 a^{6} + 3 a^{5} + 11 a^{4} + 27 a^{3} + 14 a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 31^{3} + \left(23 a^{8} + 7 a^{7} + 8 a^{6} + 4 a^{5} + 7 a^{4} + 25 a^{3} + 19 a^{2} + 20 a\right)\cdot 31^{4} + \left(6 a^{8} + 20 a^{7} + 24 a^{6} + 15 a^{5} + 29 a^{2} + 28 a + 27\right)\cdot 31^{5} + \left(29 a^{8} + 30 a^{7} + 19 a^{6} + 15 a^{5} + 15 a^{4} + 28 a^{3} + 25 a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 31^{6} + \left(6 a^{8} + 27 a^{7} + 3 a^{6} + a^{4} + 3 a^{3} + 18 a^{2} + 27 a + 28\right)\cdot 31^{7} + \left(11 a^{8} + 18 a^{7} + 3 a^{6} + 12 a^{5} + 25 a^{4} + 30 a^{3} + 22 a^{2} + 13 a + 19\right)\cdot 31^{8} + \left(25 a^{8} + 16 a^{6} + 22 a^{5} + 21 a^{4} + 7 a^{3} + 15 a^{2} + 18 a + 27\right)\cdot 31^{9} + \left(12 a^{8} + 29 a^{7} + 14 a^{6} + 26 a^{5} + 13 a^{4} + 21 a^{3} + 2 a^{2} + 15 a + 24\right)\cdot 31^{10} + \left(8 a^{8} + 28 a^{7} + 6 a^{6} + 5 a^{5} + 18 a^{4} + 18 a^{3} + 8 a^{2} + 27 a + 29\right)\cdot 31^{11} + \left(24 a^{8} + 7 a^{7} + 6 a^{6} + 11 a^{5} + 28 a^{4} + 12 a^{3} + 4 a^{2} + 6 a\right)\cdot 31^{12} + \left(12 a^{8} + 20 a^{7} + 20 a^{6} + 2 a^{5} + 9 a^{4} + 30 a^{3} + 17 a^{2} + 19 a + 13\right)\cdot 31^{13} + \left(19 a^{8} + 9 a^{7} + 25 a^{6} + 20 a^{5} + 30 a^{4} + 5 a^{3} + 27 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 31^{14} +O\left(31^{ 15 }\right)$ |
| $r_{ 9 }$ | $=$ | $ 7 a^{8} + 6 a^{7} + 6 a^{6} + 11 a^{5} + 8 a^{4} + 27 a^{3} + 9 a^{2} + 12 a + 28 + \left(6 a^{8} + 24 a^{7} + 9 a^{5} + 3 a^{4} + 4 a^{3} + a^{2} + 28 a + 6\right)\cdot 31 + \left(23 a^{8} + 16 a^{7} + 12 a^{6} + 29 a^{5} + 19 a^{4} + 28 a^{3} + 17 a^{2} + 20 a + 16\right)\cdot 31^{2} + \left(17 a^{8} + 29 a^{7} + 17 a^{6} + 18 a^{5} + 21 a^{4} + 16 a^{3} + 10 a^{2} + 26 a + 26\right)\cdot 31^{3} + \left(21 a^{8} + 19 a^{7} + 3 a^{6} + 23 a^{5} + 21 a^{4} + 10 a^{3} + 13 a^{2} + 20 a + 14\right)\cdot 31^{4} + \left(21 a^{8} + 9 a^{7} + 30 a^{6} + 27 a^{5} + 27 a^{4} + 6 a^{2} + 16 a + 21\right)\cdot 31^{5} + \left(5 a^{8} + 5 a^{7} + 17 a^{6} + 14 a^{5} + 23 a^{4} + a^{3} + 22 a^{2} + 13 a + 15\right)\cdot 31^{6} + \left(9 a^{8} + 21 a^{7} + 20 a^{6} + 26 a^{5} + 20 a^{4} + 5 a^{3} + 18 a^{2} + 14 a + 28\right)\cdot 31^{7} + \left(4 a^{8} + 4 a^{7} + 22 a^{6} + 19 a^{5} + 28 a^{4} + 26 a^{3} + 27 a^{2} + 21 a + 2\right)\cdot 31^{8} + \left(6 a^{8} + 4 a^{7} + a^{6} + 28 a^{5} + 19 a^{4} + a^{3} + 25 a^{2} + 29 a\right)\cdot 31^{9} + \left(24 a^{8} + 9 a^{7} + 11 a^{6} + 7 a^{5} + 20 a^{4} + 16 a^{3} + 28 a^{2} + 7 a + 10\right)\cdot 31^{10} + \left(17 a^{8} + 20 a^{7} + 22 a^{6} + 25 a^{5} + 27 a^{4} + 23 a^{3} + 24 a^{2} + 17 a + 17\right)\cdot 31^{11} + \left(14 a^{8} + 30 a^{7} + 12 a^{6} + 29 a^{5} + 8 a^{4} + 6 a^{3} + 4 a^{2} + 28 a + 11\right)\cdot 31^{12} + \left(2 a^{8} + 14 a^{7} + 24 a^{6} + 19 a^{5} + 2 a^{4} + a^{3} + 5 a^{2} + 22 a + 24\right)\cdot 31^{13} + \left(4 a^{8} + 29 a^{7} + 16 a^{6} + 19 a^{5} + 29 a^{4} + 20 a^{3} + 21 a^{2} + 5\right)\cdot 31^{14} +O\left(31^{ 15 }\right)$ |
| $r_{ 10 }$ | $=$ | $ 20 a^{8} + 9 a^{7} + 21 a^{6} + 23 a^{5} + 28 a^{4} + 12 a^{2} + 29 a + 2 + \left(11 a^{8} + 22 a^{6} + 19 a^{5} + 21 a^{4} + 13 a^{3} + 24 a^{2} + 18 a\right)\cdot 31 + \left(29 a^{8} + 5 a^{7} + 25 a^{6} + 17 a^{5} + 5 a^{4} + 28 a^{3} + 12 a^{2} + 15 a + 22\right)\cdot 31^{2} + \left(5 a^{8} + 12 a^{7} + 12 a^{6} + 3 a^{5} + 5 a^{4} + 17 a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 31^{3} + \left(18 a^{8} + 7 a^{6} + 8 a^{5} + 9 a^{4} + 18 a^{3} + 27 a^{2} + 28 a + 9\right)\cdot 31^{4} + \left(27 a^{8} + 24 a^{7} + 29 a^{6} + 9 a^{5} + 20 a^{4} + 6 a^{3} + 11 a + 5\right)\cdot 31^{5} + \left(10 a^{8} + 4 a^{7} + 11 a^{6} + 24 a^{5} + 20 a^{4} + 21 a^{3} + 14 a^{2} + 5 a + 25\right)\cdot 31^{6} + \left(8 a^{8} + 12 a^{7} + 28 a^{6} + 17 a^{5} + 6 a^{4} + 4 a^{3} + 7 a^{2} + 16 a + 28\right)\cdot 31^{7} + \left(a^{8} + 3 a^{7} + 5 a^{6} + 16 a^{5} + 21 a^{4} + 19 a^{3} + 5 a^{2} + 21 a + 28\right)\cdot 31^{8} + \left(25 a^{8} + 29 a^{6} + 3 a^{5} + 19 a^{4} + 7 a^{3} + 21 a^{2} + 26 a + 18\right)\cdot 31^{9} + \left(19 a^{8} + 2 a^{7} + 17 a^{6} + 14 a^{5} + 12 a^{4} + 25 a^{3} + 11 a^{2} + 4 a\right)\cdot 31^{10} + \left(4 a^{8} + 21 a^{7} + 10 a^{6} + 26 a^{5} + 6 a^{4} + 21 a^{3} + 26 a^{2} + 4 a + 7\right)\cdot 31^{11} + \left(20 a^{8} + 13 a^{7} + 17 a^{6} + 11 a^{5} + 6 a^{4} + 7 a^{3} + 22 a^{2} + 20 a + 17\right)\cdot 31^{12} + \left(4 a^{8} + 7 a^{7} + 25 a^{5} + 25 a^{4} + 7 a^{3} + 16 a^{2} + 20 a + 23\right)\cdot 31^{13} + \left(19 a^{8} + 22 a^{7} + 7 a^{6} + 22 a^{5} + 18 a^{4} + 21 a^{3} + 18 a^{2} + 8 a + 24\right)\cdot 31^{14} +O\left(31^{ 15 }\right)$ |
| $r_{ 11 }$ | $=$ | $ 11 a^{8} + 9 a^{7} + 22 a^{6} + 26 a^{5} + 21 a^{4} + 8 a^{3} + 22 a^{2} + 16 a + \left(25 a^{8} + 20 a^{7} + 30 a^{6} + 10 a^{5} + 11 a^{4} + 30 a^{3} + 6 a^{2} + 27 a + 4\right)\cdot 31 + \left(22 a^{8} + 10 a^{7} + 24 a^{6} + 16 a^{5} + 29 a^{4} + 11 a^{3} + 16 a^{2} + 27 a + 11\right)\cdot 31^{2} + \left(19 a^{8} + 10 a^{7} + 4 a^{6} + 15 a^{5} + 14 a^{4} + 30 a^{3} + 2 a + 7\right)\cdot 31^{3} + \left(a^{8} + 27 a^{7} + 19 a^{6} + 29 a^{5} + 20 a^{3} + 10 a^{2} + 23 a + 5\right)\cdot 31^{4} + \left(9 a^{8} + 13 a^{7} + 28 a^{6} + 30 a^{5} + 6 a^{4} + 7 a^{3} + 25 a + 26\right)\cdot 31^{5} + \left(20 a^{8} + 22 a^{7} + 4 a^{6} + 19 a^{5} + 6 a^{4} + 8 a^{3} + 29 a^{2} + 22 a + 20\right)\cdot 31^{6} + \left(5 a^{8} + 6 a^{7} + 11 a^{6} + 23 a^{5} + 4 a^{4} + 29 a^{3} + 17 a^{2} + a + 28\right)\cdot 31^{7} + \left(8 a^{8} + 22 a^{7} + 19 a^{6} + 18 a^{5} + 29 a^{4} + 15 a^{3} + 18 a^{2} + 16 a + 1\right)\cdot 31^{8} + \left(23 a^{8} + 26 a^{7} + 8 a^{6} + 7 a^{5} + 15 a^{4} + 19 a^{3} + a^{2} + 27 a + 29\right)\cdot 31^{9} + \left(14 a^{8} + 21 a^{7} + 22 a^{6} + 4 a^{5} + 8 a^{4} + 8 a^{3} + 19 a^{2} + 8 a + 21\right)\cdot 31^{10} + \left(12 a^{8} + 16 a^{7} + 23 a^{6} + 7 a^{5} + 19 a^{4} + 15 a^{3} + 4 a^{2} + a + 24\right)\cdot 31^{11} + \left(5 a^{8} + 12 a^{7} + 2 a^{6} + 28 a^{5} + 27 a^{4} + 26 a^{3} + 26 a^{2} + 3 a + 24\right)\cdot 31^{12} + \left(25 a^{8} + 9 a^{7} + 5 a^{6} + 16 a^{5} + 20 a^{4} + 30 a^{3} + 17 a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 31^{13} + \left(26 a^{8} + 27 a^{7} + 13 a^{6} + 23 a^{5} + 25 a^{4} + 26 a^{3} + 6 a^{2} + 4 a + 28\right)\cdot 31^{14} +O\left(31^{ 15 }\right)$ |
| $r_{ 12 }$ | $=$ | $ 18 a^{8} + a^{7} + 30 a^{6} + 16 a^{5} + a^{4} + 30 a^{3} + 20 a^{2} + 26 a + 5 + \left(7 a^{8} + 21 a^{7} + 17 a^{6} + 13 a^{5} + 23 a^{4} + 3 a^{3} + 16 a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 31 + \left(9 a^{8} + 7 a^{7} + 4 a^{6} + 20 a^{5} + 17 a^{4} + 25 a^{3} + 27 a^{2} + 15 a + 22\right)\cdot 31^{2} + \left(9 a^{8} + 5 a^{7} + 30 a^{6} + 14 a^{5} + 23 a^{4} + 30 a^{3} + 14 a^{2} + 4 a + 29\right)\cdot 31^{3} + \left(20 a^{8} + 17 a^{7} + 7 a^{6} + 17 a^{4} + 26 a^{3} + 16 a^{2} + 28 a + 15\right)\cdot 31^{4} + \left(18 a^{8} + 29 a^{7} + 21 a^{6} + a^{5} + 3 a^{4} + 7 a^{3} + 11 a^{2} + 23 a + 22\right)\cdot 31^{5} + \left(9 a^{7} + 14 a^{6} + 17 a^{5} + 13 a^{4} + 24 a^{3} + 11 a^{2} + a + 9\right)\cdot 31^{6} + \left(29 a^{8} + a^{7} + 26 a^{6} + 7 a^{5} + 15 a^{4} + 3 a^{3} + 9 a^{2} + 18 a + 26\right)\cdot 31^{7} + \left(28 a^{8} + 2 a^{7} + 4 a^{6} + 2 a^{5} + 3 a^{4} + 7 a^{3} + 25 a^{2} + 26 a + 1\right)\cdot 31^{8} + \left(15 a^{8} + 21 a^{7} + 25 a^{6} + 15 a^{5} + 2 a^{4} + 22 a^{3} + 4 a^{2} + 28 a + 27\right)\cdot 31^{9} + \left(19 a^{8} + 30 a^{7} + 22 a^{6} + 3 a^{5} + 21 a^{4} + 14 a^{3} + 16 a^{2} + 13 a\right)\cdot 31^{10} + \left(2 a^{8} + 20 a^{7} + 6 a^{6} + 14 a^{5} + 20 a^{4} + 28 a^{3} + 4 a^{2} + 5 a + 23\right)\cdot 31^{11} + \left(25 a^{8} + 25 a^{7} + 12 a^{5} + 26 a^{4} + 17 a^{3} + 17 a^{2} + 5 a + 16\right)\cdot 31^{12} + \left(22 a^{8} + 18 a^{7} + 28 a^{6} + 18 a^{5} + 25 a^{4} + 26 a^{3} + 18 a^{2} + 29 a + 25\right)\cdot 31^{13} + \left(2 a^{8} + 5 a^{7} + 13 a^{6} + 6 a^{4} + 26 a^{3} + 8\right)\cdot 31^{14} +O\left(31^{ 15 }\right)$ |
| $r_{ 13 }$ | $=$ | $ 26 a^{8} + 15 a^{7} + 27 a^{6} + 2 a^{5} + 14 a^{4} + 9 a^{3} + 8 a^{2} + 10 a + 18 + \left(21 a^{8} + 10 a^{7} + 11 a^{6} + 14 a^{5} + 4 a^{4} + 14 a^{3} + 12 a^{2} + 14 a + 20\right)\cdot 31 + \left(15 a^{8} + 17 a^{7} + 10 a^{6} + 21 a^{5} + 18 a^{4} + 9 a^{3} + 8 a^{2} + 21 a + 23\right)\cdot 31^{2} + \left(a^{8} + 12 a^{7} + 21 a^{6} + 6 a^{5} + 29 a^{4} + 7 a^{3} + 16 a^{2} + 30 a + 1\right)\cdot 31^{3} + \left(22 a^{8} + 13 a^{6} + 11 a^{5} + a^{4} + 17 a^{3} + 15 a^{2} + 15 a + 29\right)\cdot 31^{4} + \left(5 a^{8} + 21 a^{7} + 10 a^{6} + 30 a^{4} + 19 a^{3} + 9 a^{2} + 19 a + 5\right)\cdot 31^{5} + \left(a^{8} + 23 a^{7} + 12 a^{6} + 5 a^{5} + 6 a^{4} + 19 a^{3} + 17 a^{2} + 21 a + 1\right)\cdot 31^{6} + \left(13 a^{8} + 13 a^{7} + 23 a^{6} + 29 a^{5} + 30 a^{4} + 13 a^{3} + 21 a^{2} + 18 a + 27\right)\cdot 31^{7} + \left(23 a^{8} + 10 a^{7} + 3 a^{5} + 20 a^{4} + 6 a^{3} + 19 a^{2} + 23 a + 13\right)\cdot 31^{8} + \left(12 a^{8} + 15 a^{7} + 6 a^{6} + 12 a^{5} + 16 a^{4} + 10 a^{3} + 5 a^{2} + 12 a + 25\right)\cdot 31^{9} + \left(a^{8} + 18 a^{7} + 5 a^{6} + 20 a^{5} + 27 a^{4} + 26 a^{3} + 22 a^{2} + 24 a + 3\right)\cdot 31^{10} + \left(11 a^{8} + 24 a^{7} + 9 a^{6} + 28 a^{5} + a^{4} + 15 a^{3} + 14 a^{2} + 8 a + 20\right)\cdot 31^{11} + \left(19 a^{8} + 15 a^{7} + 3 a^{6} + 13 a^{5} + 27 a^{4} + 26 a^{3} + 16 a^{2} + 11 a + 26\right)\cdot 31^{12} + \left(19 a^{8} + 20 a^{7} + 21 a^{6} + 23 a^{5} + 29 a^{4} + 9 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 31^{13} + \left(7 a^{8} + 2 a^{7} + 5 a^{6} + 18 a^{5} + 2 a^{4} + 23 a^{3} + 24 a^{2} + 24 a + 19\right)\cdot 31^{14} +O\left(31^{ 15 }\right)$ |
| $r_{ 14 }$ | $=$ | $ 14 a^{8} + 21 a^{7} + 26 a^{6} + 16 a^{5} + 20 a^{4} + 21 a^{3} + 21 a^{2} + 23 a + 6 + \left(27 a^{8} + 20 a^{7} + 11 a^{6} + 9 a^{5} + 27 a^{4} + 9 a^{3} + 7 a^{2} + 9 a + 17\right)\cdot 31 + \left(27 a^{8} + 12 a^{7} + 9 a^{6} + 4 a^{5} + 18 a^{4} + 12 a^{3} + 29 a^{2} + 15 a\right)\cdot 31^{2} + \left(7 a^{8} + 26 a^{7} + 5 a^{6} + 4 a^{5} + a^{4} + 27 a^{3} + 17 a^{2} + 29 a + 12\right)\cdot 31^{3} + \left(27 a^{8} + 30 a^{7} + 9 a^{6} + a^{5} + 7 a^{4} + 13 a^{3} + 10 a^{2} + 9 a + 1\right)\cdot 31^{4} + \left(15 a^{8} + 26 a^{7} + 24 a^{6} + a^{5} + 18 a^{4} + 25 a^{3} + 16 a^{2} + 15 a + 26\right)\cdot 31^{5} + \left(3 a^{8} + 6 a^{7} + 18 a^{6} + 17 a^{5} + 25 a^{4} + 6 a^{3} + 13 a^{2} + 12 a + 9\right)\cdot 31^{6} + \left(8 a^{8} + 16 a^{7} + 7 a^{6} + 20 a^{5} + 17 a^{3} + 9 a^{2} + 18 a + 13\right)\cdot 31^{7} + \left(4 a^{8} + a^{7} + 20 a^{6} + 12 a^{5} + 27 a^{4} + 14 a^{2} + 14 a + 8\right)\cdot 31^{8} + \left(19 a^{7} + 15 a^{6} + 23 a^{5} + a^{4} + 20 a^{3} + 7 a^{2} + 15 a + 21\right)\cdot 31^{9} + \left(17 a^{8} + 6 a^{7} + a^{6} + 17 a^{5} + 18 a^{4} + 23 a^{3} + 27 a^{2} + 25 a + 21\right)\cdot 31^{10} + \left(27 a^{8} + 8 a^{7} + 30 a^{6} + 28 a^{5} + 6 a^{4} + 25 a^{3} + 19 a^{2} + 8\right)\cdot 31^{11} + \left(10 a^{8} + 20 a^{7} + 4 a^{6} + 2 a^{5} + 16 a^{4} + 5 a^{3} + 29 a^{2} + 16 a + 13\right)\cdot 31^{12} + \left(11 a^{8} + 14 a^{7} + 28 a^{6} + 17 a^{5} + 3 a^{4} + 8 a^{2} + 15 a + 20\right)\cdot 31^{13} + \left(19 a^{8} + 11 a^{7} + 6 a^{6} + 8 a^{5} + 10 a^{4} + 20 a^{3} + 20 a^{2} + 18 a + 10\right)\cdot 31^{14} +O\left(31^{ 15 }\right)$ |
| $r_{ 15 }$ | $=$ | $ 20 a^{8} + 26 a^{7} + 26 a^{6} + 27 a^{5} + 14 a^{4} + 24 a^{3} + 8 a^{2} + 21 a + 18 + \left(19 a^{8} + 18 a^{7} + 7 a^{6} + 6 a^{5} + 23 a^{4} + 26 a^{3} + 21 a^{2} + 2 a\right)\cdot 31 + \left(8 a^{8} + 5 a^{7} + 29 a^{6} + 18 a^{5} + 19 a^{4} + 13 a^{3} + 4 a^{2} + 26 a + 2\right)\cdot 31^{2} + \left(14 a^{8} + 13 a^{7} + 15 a^{6} + 18 a^{4} + 8 a^{3} + 29 a^{2} + 9 a + 30\right)\cdot 31^{3} + \left(5 a^{8} + 2 a^{7} + 19 a^{6} + 12 a^{5} + 23 a^{4} + 18 a^{3} + 27 a^{2} + 13 a + 16\right)\cdot 31^{4} + \left(5 a^{8} + 8 a^{7} + 8 a^{6} + 24 a^{4} + 22 a^{3} + 30 a^{2} + 18 a + 6\right)\cdot 31^{5} + \left(13 a^{8} + 29 a^{7} + 9 a^{6} + 2 a^{5} + 11 a^{4} + 21 a^{3} + 24 a^{2} + 20 a + 20\right)\cdot 31^{6} + \left(4 a^{8} + 19 a^{7} + 26 a^{6} + 23 a^{5} + 24 a^{4} + 22 a^{3} + 7 a^{2} + 11 a + 15\right)\cdot 31^{7} + \left(7 a^{8} + 30 a^{7} + 22 a^{5} + 11 a^{4} + 18 a^{3} + 24 a^{2} + 24 a + 15\right)\cdot 31^{8} + \left(3 a^{8} + 2 a^{7} + 15 a^{6} + 12 a^{5} + 24 a^{4} + 11 a^{3} + 26 a^{2} + 21 a + 4\right)\cdot 31^{9} + \left(16 a^{8} + 21 a^{7} + 10 a^{6} + 30 a^{5} + 6 a^{4} + 2 a^{3} + 17 a^{2} + 3 a + 3\right)\cdot 31^{10} + \left(22 a^{8} + 7 a^{7} + 12 a^{6} + 28 a^{5} + 22 a^{4} + 13 a^{3} + 24 a^{2} + 4 a + 6\right)\cdot 31^{11} + \left(14 a^{8} + 29 a^{7} + 19 a^{6} + 28 a^{5} + 30 a^{4} + 28 a^{3} + 23 a^{2} + 6 a + 25\right)\cdot 31^{12} + \left(19 a^{8} + 18 a^{7} + 16 a^{6} + 23 a^{5} + 12 a^{4} + 27 a^{3} + 4 a^{2} + 18 a + 17\right)\cdot 31^{13} + \left(24 a^{8} + 10 a^{7} + 15 a^{6} + 13 a^{5} + 4 a^{4} + 26 a^{3} + 21 a^{2} + 11 a + 21\right)\cdot 31^{14} +O\left(31^{ 15 }\right)$ |
| $r_{ 16 }$ | $=$ | $ 4 a^{8} + 8 a^{7} + 29 a^{6} + 17 a^{5} + 18 a^{4} + 21 a^{2} + 12 a + 19 + \left(22 a^{8} + 27 a^{7} + 3 a^{6} + 24 a^{5} + 3 a^{4} + 15 a^{3} + 26 a^{2} + 7 a + 2\right)\cdot 31 + \left(17 a^{8} + 28 a^{7} + 16 a^{6} + 26 a^{5} + 10 a^{4} + 19 a^{3} + 6 a^{2} + 30 a + 5\right)\cdot 31^{2} + \left(12 a^{8} + 25 a^{7} + 28 a^{6} + 3 a^{5} + 7 a^{4} + 28 a^{3} + 27 a^{2} + 4 a + 18\right)\cdot 31^{3} + \left(13 a^{8} + 7 a^{7} + 24 a^{6} + 22 a^{5} + 17 a^{4} + 22 a^{3} + 19 a^{2} + 27 a + 27\right)\cdot 31^{4} + \left(24 a^{8} + 27 a^{7} + 18 a^{6} + 7 a^{5} + 16 a^{4} + 30 a^{3} + 6 a^{2} + 5 a + 18\right)\cdot 31^{5} + \left(13 a^{8} + 23 a^{7} + 30 a^{6} + 5 a^{5} + 6 a^{4} + a^{3} + 11 a^{2} + 14 a + 26\right)\cdot 31^{6} + \left(18 a^{8} + 9 a^{7} + 4 a^{6} + 20 a^{5} + a^{4} + 10 a^{3} + 14 a^{2} + 20 a + 13\right)\cdot 31^{7} + \left(12 a^{8} + 8 a^{7} + 20 a^{6} + 25 a^{5} + 28 a^{4} + 29 a^{3} + 5 a^{2} + 17 a + 1\right)\cdot 31^{8} + \left(9 a^{8} + 25 a^{7} + 15 a^{6} + 23 a^{5} + 15 a^{3} + 7 a^{2} + 24 a + 9\right)\cdot 31^{9} + \left(23 a^{8} + 3 a^{7} + 14 a^{6} + 4 a^{5} + 29 a^{4} + 30 a^{3} + 5 a + 13\right)\cdot 31^{10} + \left(22 a^{8} + 9 a^{7} + 9 a^{6} + 10 a^{5} + 23 a^{4} + 23 a^{3} + 5 a^{2} + 23\right)\cdot 31^{11} + \left(4 a^{8} + 29 a^{7} + 24 a^{6} + 2 a^{5} + 11 a^{4} + a^{2} + 29 a + 8\right)\cdot 31^{12} + \left(5 a^{8} + 22 a^{7} + 16 a^{6} + 26 a^{5} + 20 a^{4} + 16 a^{3} + a^{2} + 3 a + 21\right)\cdot 31^{13} + \left(3 a^{8} + a^{7} + 7 a^{6} + 14 a^{5} + 5 a^{4} + 16 a^{3} + 26 a^{2} + 2 a + 11\right)\cdot 31^{14} +O\left(31^{ 15 }\right)$ |
| $r_{ 17 }$ | $=$ | $ 27 a^{8} + 8 a^{7} + 23 a^{6} + 30 a^{5} + 29 a^{4} + 14 a^{3} + 23 a^{2} + 28 a + \left(3 a^{8} + 3 a^{6} + 4 a^{5} + 7 a^{4} + 16 a^{3} + 23 a^{2} + 13 a + 7\right)\cdot 31 + \left(19 a^{8} + 25 a^{7} + 8 a^{6} + 25 a^{5} + 24 a^{4} + 25 a^{3} + 24 a^{2} + 24 a + 1\right)\cdot 31^{2} + \left(12 a^{8} + 4 a^{7} + 10 a^{6} + 15 a^{5} + 11 a^{4} + 6 a^{3} + 21 a^{2} + 12 a + 14\right)\cdot 31^{3} + \left(5 a^{8} + 10 a^{7} + 2 a^{6} + 22 a^{5} + 6 a^{4} + 15 a^{3} + 23 a^{2} + 7 a\right)\cdot 31^{4} + \left(10 a^{8} + 7 a^{6} + 25 a^{5} + a^{4} + 11 a^{3} + 10 a^{2} + 6 a + 21\right)\cdot 31^{5} + \left(2 a^{8} + 17 a^{7} + 20 a^{6} + 18 a^{4} + 19 a^{3} + 15 a^{2} + 14 a + 30\right)\cdot 31^{6} + \left(5 a^{8} + 19 a^{7} + 2 a^{6} + 4 a^{4} + 29 a^{3} + 23 a^{2} + 16 a + 7\right)\cdot 31^{7} + \left(16 a^{8} + 12 a^{7} + 11 a^{6} + 18 a^{5} + 20 a^{4} + 7 a^{3} + 10 a^{2} + 2 a + 19\right)\cdot 31^{8} + \left(a^{8} + 2 a^{7} + 13 a^{6} + 8 a^{5} + 21 a^{4} + 20 a^{3} + 23 a^{2} + 3 a + 29\right)\cdot 31^{9} + \left(11 a^{8} + 27 a^{7} + 13 a^{6} + 13 a^{5} + 22 a^{4} + 9 a^{3} + 17 a^{2} + 17 a + 21\right)\cdot 31^{10} + \left(22 a^{8} + 24 a^{7} + 29 a^{6} + a^{5} + 9 a^{4} + 25 a^{3} + 4 a^{2} + 21 a + 18\right)\cdot 31^{11} + \left(26 a^{8} + 25 a^{7} + a^{6} + 10 a^{4} + 20 a^{3} + 10 a^{2} + 7 a + 27\right)\cdot 31^{12} + \left(3 a^{8} + 18 a^{7} + 11 a^{6} + 20 a^{5} + 26 a^{4} + 21 a^{3} + 9 a^{2} + 12 a + 25\right)\cdot 31^{13} + \left(20 a^{8} + 4 a^{7} + 27 a^{6} + 20 a^{5} + 6 a^{4} + 21 a^{3} + 3 a^{2} + 15 a + 15\right)\cdot 31^{14} +O\left(31^{ 15 }\right)$ |
| $r_{ 18 }$ | $=$ | $ 16 a^{8} + 25 a^{7} + 6 a^{6} + 28 a^{5} + 25 a^{4} + 6 a^{3} + 4 a^{2} + 30 a + 1 + \left(12 a^{8} + 14 a^{7} + 30 a^{6} + 4 a^{5} + 2 a^{4} + 21 a^{3} + 23 a^{2} + 21 a + 10\right)\cdot 31 + \left(26 a^{8} + 7 a^{7} + 23 a^{6} + 17 a^{5} + 12 a^{4} + 3 a^{3} + 20 a^{2} + 20 a + 27\right)\cdot 31^{2} + \left(15 a^{8} + 30 a^{7} + 13 a^{6} + 10 a^{5} + 10 a^{4} + 27 a^{3} + 19 a^{2} + 12 a + 9\right)\cdot 31^{3} + \left(9 a^{8} + 10 a^{7} + 7 a^{6} + 21 a^{5} + 20 a^{4} + 29 a^{3} + 26 a^{2} + 29\right)\cdot 31^{4} + \left(12 a^{8} + 10 a^{7} + 8 a^{6} + 4 a^{5} + 4 a^{4} + 17 a^{3} + 9 a^{2} + 10 a + 24\right)\cdot 31^{5} + \left(6 a^{8} + 2 a^{7} + 20 a^{5} + 9 a^{4} + 14 a^{3} + 26 a + 22\right)\cdot 31^{6} + \left(25 a^{8} + 21 a^{6} + 10 a^{5} + 24 a^{3} + 7 a^{2} + 20 a + 7\right)\cdot 31^{7} + \left(9 a^{8} + 21 a^{7} + 23 a^{6} + a^{5} + 8 a^{4} + 14 a^{3} + 11 a^{2} + 25 a + 26\right)\cdot 31^{8} + \left(12 a^{8} + 2 a^{7} + a^{6} + 30 a^{5} + 14 a^{4} + 6 a^{3} + 26 a^{2} + 13 a + 22\right)\cdot 31^{9} + \left(10 a^{8} + 26 a^{7} + 25 a^{6} + 16 a^{5} + 16 a^{4} + 9 a^{3} + 23 a^{2} + 29 a + 20\right)\cdot 31^{10} + \left(6 a^{8} + 26 a^{7} + 27 a^{6} + 5 a^{5} + 20 a^{4} + 3 a^{3} + 14 a^{2} + 12 a + 24\right)\cdot 31^{11} + \left(4 a^{8} + 30 a^{7} + 29 a^{6} + 8 a^{5} + 27 a^{4} + 12 a^{3} + 18 a^{2} + 17 a + 13\right)\cdot 31^{12} + \left(9 a^{8} + 4 a^{7} + 29 a^{6} + 4 a^{5} + 29 a^{4} + 19 a^{3} + a^{2} + 15 a\right)\cdot 31^{13} + \left(7 a^{6} + 9 a^{5} + 24 a^{4} + 16 a^{3} + 7 a^{2} + 26 a + 21\right)\cdot 31^{14} +O\left(31^{ 15 }\right)$ |
Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 18 }$
| Cycle notation |
Character values on conjugacy classes
| Size | Order | Action on $r_1, \ldots, r_{ 18 }$ | Character value |
| $1$ | $1$ | $()$ | $2$ |
| $3$ | $2$ | $(1,8)(2,7)(3,4)(5,6)(9,16)(10,15)(11,18)(12,17)(13,14)$ | $0$ |
| $1$ | $3$ | $(1,7,13)(2,14,8)(3,9,15)(4,16,10)(5,17,11)(6,12,18)$ | $2 \zeta_{9}^{3}$ |
| $1$ | $3$ | $(1,13,7)(2,8,14)(3,15,9)(4,10,16)(5,11,17)(6,18,12)$ | $-2 \zeta_{9}^{3} - 2$ |
| $2$ | $3$ | $(1,7,13)(2,8,14)(3,9,15)(4,10,16)(5,11,17)(6,12,18)$ | $-1$ |
| $2$ | $3$ | $(1,7,13)(3,9,15)(6,12,18)$ | $\zeta_{9}^{3} + 1$ |
| $2$ | $3$ | $(1,13,7)(3,15,9)(6,18,12)$ | $-\zeta_{9}^{3}$ |
| $3$ | $6$ | $(1,2,13,8,7,14)(3,16,15,4,9,10)(5,12,11,6,17,18)$ | $0$ |
| $3$ | $6$ | $(1,14,7,8,13,2)(3,10,9,4,15,16)(5,18,17,6,11,12)$ | $0$ |
| $1$ | $9$ | $(1,15,6,7,3,12,13,9,18)(2,4,17,14,16,11,8,10,5)$ | $2 \zeta_{9}^{4}$ |
| $1$ | $9$ | $(1,6,3,13,18,15,7,12,9)(2,17,16,8,5,4,14,11,10)$ | $-2 \zeta_{9}^{5} - 2 \zeta_{9}^{2}$ |
| $1$ | $9$ | $(1,3,18,7,9,6,13,15,12)(2,16,5,14,10,17,8,4,11)$ | $-2 \zeta_{9}^{4} - 2 \zeta_{9}$ |
| $1$ | $9$ | $(1,12,15,13,6,9,7,18,3)(2,11,4,8,17,10,14,5,16)$ | $2 \zeta_{9}^{2}$ |
| $1$ | $9$ | $(1,9,12,7,15,18,13,3,6)(2,10,11,14,4,5,8,16,17)$ | $2 \zeta_{9}$ |
| $1$ | $9$ | $(1,18,9,13,12,3,7,6,15)(2,5,10,8,11,16,14,17,4)$ | $2 \zeta_{9}^{5}$ |
| $2$ | $9$ | $(1,3,18,7,9,6,13,15,12)(2,10,11,14,4,5,8,16,17)$ | $-\zeta_{9}^{4}$ |
| $2$ | $9$ | $(1,18,9,13,12,3,7,6,15)(2,11,4,8,17,10,14,5,16)$ | $\zeta_{9}^{5} + \zeta_{9}^{2}$ |
| $2$ | $9$ | $(1,9,12,7,15,18,13,3,6)(2,4,17,14,16,11,8,10,5)$ | $\zeta_{9}^{4} + \zeta_{9}$ |
| $2$ | $9$ | $(1,6,3,13,18,15,7,12,9)(2,5,10,8,11,16,14,17,4)$ | $-\zeta_{9}^{2}$ |
| $2$ | $9$ | $(1,15,6,7,3,12,13,9,18)(2,16,5,14,10,17,8,4,11)$ | $-\zeta_{9}$ |
| $2$ | $9$ | $(1,12,15,13,6,9,7,18,3)(2,17,16,8,5,4,14,11,10)$ | $-\zeta_{9}^{5}$ |
| $3$ | $18$ | $(1,10,6,2,3,17,13,16,18,8,15,5,7,4,12,14,9,11)$ | $0$ |
| $3$ | $18$ | $(1,17,15,14,6,16,7,11,3,8,12,10,13,5,9,2,18,4)$ | $0$ |
| $3$ | $18$ | $(1,16,12,2,15,11,13,4,6,8,9,17,7,10,18,14,3,5)$ | $0$ |
| $3$ | $18$ | $(1,5,3,14,18,10,7,17,9,8,6,4,13,11,15,2,12,16)$ | $0$ |
| $3$ | $18$ | $(1,4,18,2,9,5,13,10,12,8,3,11,7,16,6,14,15,17)$ | $0$ |
| $3$ | $18$ | $(1,11,9,14,12,4,7,5,15,8,18,16,13,17,3,2,6,10)$ | $0$ |