Basic invariants
| Dimension: | $2$ |
| Group: | $S_3 \times C_3$ |
| Conductor: | $1863= 3^{4} \cdot 23 $ |
| Artin number field: | Splitting field of $f= x^{18} + 3 x^{16} - 3 x^{15} + 45 x^{14} - 60 x^{13} + 254 x^{12} - 198 x^{11} + 450 x^{10} - 400 x^{9} + 468 x^{8} - 534 x^{7} + 956 x^{6} - 774 x^{5} + 405 x^{4} - 138 x^{3} + 45 x^{2} - 9 x + 1 $ over $\Q$ |
| Size of Galois orbit: | 2 |
| Smallest containing permutation representation: | $S_3\times C_3$ |
| Parity: | Odd |
Galois action
Roots of defining polynomial
The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 43 }$ to precision 7.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 43 }$: $ x^{6} + 19 x^{3} + 28 x^{2} + 21 x + 3 $
Roots:
| $r_{ 1 }$ | $=$ | $ 18 a^{5} + 8 a^{4} + 9 a^{3} + 15 a^{2} + 41 + \left(2 a^{5} + 34 a^{4} + 42 a^{3} + 21 a^{2} + 12 a + 27\right)\cdot 43 + \left(27 a^{5} + 33 a^{4} + 38 a^{3} + 35 a^{2} + 9 a + 12\right)\cdot 43^{2} + \left(16 a^{5} + 17 a^{4} + 16 a^{3} + 15 a^{2} + 24 a + 38\right)\cdot 43^{3} + \left(11 a^{5} + 14 a^{4} + a^{3} + 28 a^{2} + 26 a + 22\right)\cdot 43^{4} + \left(10 a^{5} + a^{4} + 20 a^{3} + 38 a^{2} + 28 a + 36\right)\cdot 43^{5} + \left(28 a^{5} + 27 a^{4} + 36 a^{3} + 23 a^{2} + 14 a + 40\right)\cdot 43^{6} +O\left(43^{ 7 }\right)$ |
| $r_{ 2 }$ | $=$ | $ 2 a^{5} + 35 a^{4} + 28 a^{3} + 27 a^{2} + 26 a + 37 + \left(13 a^{5} + 21 a^{4} + 24 a^{3} + 37 a^{2} + 9 a + 16\right)\cdot 43 + \left(a^{5} + 3 a^{4} + 37 a^{3} + 7 a^{2} + 25 a + 22\right)\cdot 43^{2} + \left(a^{5} + 8 a^{4} + 18 a^{3} + 37 a^{2} + 28 a + 18\right)\cdot 43^{3} + \left(12 a^{5} + 38 a^{4} + 28 a^{3} + 16 a^{2} + 26 a + 32\right)\cdot 43^{4} + \left(20 a^{5} + 13 a^{4} + 3 a^{3} + 34 a^{2} + 14 a + 39\right)\cdot 43^{5} + \left(11 a^{5} + 4 a^{4} + 23 a^{3} + 37 a^{2} + 21 a + 34\right)\cdot 43^{6} +O\left(43^{ 7 }\right)$ |
| $r_{ 3 }$ | $=$ | $ 35 a^{5} + 12 a^{4} + 8 a^{3} + 17 a^{2} + 6 a + 31 + \left(a^{5} + 10 a^{4} + 31 a^{3} + 24 a^{2} + 23 a + 39\right)\cdot 43 + \left(34 a^{5} + 40 a^{4} + 26 a^{3} + 11 a^{2} + 11 a + 16\right)\cdot 43^{2} + \left(12 a^{5} + 24 a^{4} + 24 a^{3} + 26 a^{2} + 6 a + 27\right)\cdot 43^{3} + \left(26 a^{5} + 8 a^{4} + 26 a^{3} + 8 a^{2} + 33 a + 5\right)\cdot 43^{4} + \left(10 a^{5} + a^{4} + a^{3} + 23 a^{2} + a + 37\right)\cdot 43^{5} + \left(20 a^{5} + 41 a^{4} + 32 a^{3} + 42 a^{2} + 39 a + 19\right)\cdot 43^{6} +O\left(43^{ 7 }\right)$ |
| $r_{ 4 }$ | $=$ | $ 31 a^{5} + 20 a^{4} + 27 a^{3} + 34 a^{2} + 5 a + 40 + \left(9 a^{5} + 31 a^{4} + a^{3} + 32 a^{2} + 23 a + 41\right)\cdot 43 + \left(33 a^{5} + 3 a^{4} + 28 a^{3} + 8 a^{2} + 22 a + 35\right)\cdot 43^{2} + \left(21 a^{5} + 26 a^{4} + 27 a^{3} + 36 a^{2} + 34 a + 19\right)\cdot 43^{3} + \left(42 a^{5} + 17 a^{4} + 22 a^{3} + 33 a^{2} + 16 a + 33\right)\cdot 43^{4} + \left(42 a^{5} + 21 a^{4} + 19 a^{3} + 10 a^{2} + 34 a + 18\right)\cdot 43^{5} + \left(19 a^{5} + 4 a^{4} + 4 a^{3} + 22 a^{2} + 5 a + 10\right)\cdot 43^{6} +O\left(43^{ 7 }\right)$ |
| $r_{ 5 }$ | $=$ | $ 38 a^{5} + 19 a^{4} + 3 a^{3} + 32 a^{2} + 5 a + 9 + \left(15 a^{5} + 8 a^{4} + 12 a^{3} + 11 a^{2} + 8 a + 34\right)\cdot 43 + \left(19 a^{5} + 22 a^{4} + 30 a^{3} + 5 a^{2} + 28 a + 1\right)\cdot 43^{2} + \left(12 a^{5} + 6 a^{4} + 6 a^{3} + 5 a^{2} + 21 a + 9\right)\cdot 43^{3} + \left(37 a^{5} + 22 a^{4} + 11 a^{3} + 38 a + 18\right)\cdot 43^{4} + \left(25 a^{5} + 16 a^{4} + 25 a^{3} + 35 a^{2} + 15 a + 33\right)\cdot 43^{5} + \left(29 a^{5} + 25 a^{4} + 38 a^{3} + 21 a^{2} + 4 a + 39\right)\cdot 43^{6} +O\left(43^{ 7 }\right)$ |
| $r_{ 6 }$ | $=$ | $ 10 a^{5} + 31 a^{4} + 31 a^{3} + 25 a^{2} + 12 a + 9 + \left(20 a^{5} + 32 a^{4} + 16 a^{3} + 15 a^{2} + 10 a + 27\right)\cdot 43 + \left(8 a^{5} + 35 a^{4} + 20 a^{3} + 26 a^{2} + 38 a + 27\right)\cdot 43^{2} + \left(20 a^{5} + 8 a^{4} + 39 a^{3} + 12 a^{2} + 22 a + 4\right)\cdot 43^{3} + \left(31 a^{5} + 30 a^{4} + 34 a^{3} + 35 a^{2} + 42 a + 20\right)\cdot 43^{4} + \left(22 a^{5} + 7 a^{4} + 19 a^{3} + 40 a^{2} + 36 a + 27\right)\cdot 43^{5} + \left(11 a^{5} + 34 a^{4} + 15 a^{3} + 25 a^{2} + 15 a + 40\right)\cdot 43^{6} +O\left(43^{ 7 }\right)$ |
| $r_{ 7 }$ | $=$ | $ 33 a^{5} + 23 a^{4} + 26 a^{3} + 11 a^{2} + 37 a + 14 + \left(38 a^{5} + 41 a^{4} + 12 a^{3} + 40 a^{2} + 7 a + 18\right)\cdot 43 + \left(24 a^{5} + 11 a^{4} + 20 a^{3} + 38 a^{2} + 22 a + 13\right)\cdot 43^{2} + \left(13 a^{5} + a^{3} + 12 a + 20\right)\cdot 43^{3} + \left(5 a^{5} + 20 a^{4} + 15 a^{3} + 6 a^{2} + 26 a + 14\right)\cdot 43^{4} + \left(22 a^{5} + 40 a^{4} + 21 a^{3} + 24 a^{2} + 12 a + 12\right)\cdot 43^{5} + \left(37 a^{5} + 17 a^{4} + 17 a^{3} + 19 a^{2} + 32 a + 25\right)\cdot 43^{6} +O\left(43^{ 7 }\right)$ |
| $r_{ 8 }$ | $=$ | $ 29 a^{5} + 32 a^{4} + 36 a^{3} + 17 a^{2} + 35 + \left(22 a^{5} + 8 a^{4} + 24 a^{3} + 17 a^{2} + 5 a + 14\right)\cdot 43 + \left(27 a^{5} + 28 a^{4} + 18 a^{3} + 23 a^{2} + 17 a + 9\right)\cdot 43^{2} + \left(32 a^{5} + 28 a^{4} + 6 a^{3} + 2 a^{2} + 6 a + 6\right)\cdot 43^{3} + \left(35 a^{5} + 34 a^{4} + 39 a^{3} + 19 a^{2} + 5 a + 25\right)\cdot 43^{4} + \left(19 a^{5} + 2 a^{4} + 27 a^{3} + 41 a^{2} + 33 a + 19\right)\cdot 43^{5} + \left(26 a^{5} + 31 a^{4} + 11 a^{3} + 18 a^{2} + 36 a + 28\right)\cdot 43^{6} +O\left(43^{ 7 }\right)$ |
| $r_{ 9 }$ | $=$ | $ 11 a^{5} + 5 a^{4} + 32 a^{3} + 25 a^{2} + 24 a + 38 + \left(6 a^{5} + 21 a^{4} + 39 a^{3} + 40 a^{2} + 39 a + 6\right)\cdot 43 + \left(11 a^{5} + 11 a^{4} + 4 a^{3} + 31 a^{2} + 5 a + 19\right)\cdot 43^{2} + \left(42 a^{5} + 12 a^{4} + 4 a^{3} + 12 a^{2} + 12 a + 11\right)\cdot 43^{3} + \left(31 a^{5} + 10 a^{4} + 28 a^{3} + 34 a^{2} + 35 a + 15\right)\cdot 43^{4} + \left(15 a^{5} + 8 a^{4} + 8 a^{3} + 6 a^{2} + 35 a + 31\right)\cdot 43^{5} + \left(23 a^{5} + 10 a^{4} + 33 a^{3} + 13 a^{2} + 7 a + 18\right)\cdot 43^{6} +O\left(43^{ 7 }\right)$ |
| $r_{ 10 }$ | $=$ | $ 18 a^{5} + 28 a^{4} + 2 a^{3} + a^{2} + 6 a + 11 + \left(2 a^{5} + 11 a^{4} + 35 a^{3} + 36 a^{2} + 7 a + 12\right)\cdot 43 + \left(15 a^{5} + 28 a^{4} + 23 a^{3} + a^{2} + 6 a + 21\right)\cdot 43^{2} + \left(42 a^{5} + 9 a^{4} + 35 a^{3} + 8 a^{2} + 9 a + 26\right)\cdot 43^{3} + \left(30 a^{5} + 28 a^{4} + 27 a^{3} + 4 a^{2} + 19 a + 7\right)\cdot 43^{4} + \left(5 a^{5} + 9 a^{4} + 29 a^{3} + 13 a^{2} + 17 a + 10\right)\cdot 43^{5} + \left(32 a^{5} + 28 a^{4} + 7 a^{3} + 14 a^{2} + a + 1\right)\cdot 43^{6} +O\left(43^{ 7 }\right)$ |
| $r_{ 11 }$ | $=$ | $ 34 a^{5} + a^{4} + 26 a^{3} + 32 a^{2} + 23 a + 15 + \left(34 a^{5} + 24 a^{4} + 9 a^{3} + 19 a^{2} + 9 a + 23\right)\cdot 43 + \left(40 a^{5} + 15 a^{4} + 25 a^{3} + 29 a^{2} + 33 a + 11\right)\cdot 43^{2} + \left(14 a^{5} + 19 a^{4} + 33 a^{3} + 29 a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 43^{3} + \left(30 a^{5} + 4 a^{4} + 15 a^{2} + 19 a + 41\right)\cdot 43^{4} + \left(38 a^{5} + 40 a^{4} + 3 a^{3} + 17 a^{2} + 31 a + 6\right)\cdot 43^{5} + \left(5 a^{5} + 7 a^{4} + 21 a^{3} + 37 a + 7\right)\cdot 43^{6} +O\left(43^{ 7 }\right)$ |
| $r_{ 12 }$ | $=$ | $ 21 a^{5} + 5 a^{4} + 27 a^{3} + 3 a^{2} + 8 a + 15 + \left(41 a^{5} + 30 a^{4} + 16 a^{3} + 42 a^{2} + 37 a + 34\right)\cdot 43 + \left(29 a^{5} + 37 a^{4} + 31 a^{3} + 3 a^{2} + 42 a + 42\right)\cdot 43^{2} + \left(24 a^{5} + 23 a^{4} + 9 a^{3} + 36 a^{2} + 14 a + 9\right)\cdot 43^{3} + \left(31 a^{5} + 5 a^{4} + 4 a^{3} + 29 a^{2} + 25 a + 1\right)\cdot 43^{4} + \left(36 a^{5} + 5 a^{4} + 28 a^{3} + 36 a^{2} + 15 a + 38\right)\cdot 43^{5} + \left(25 a^{5} + 42 a^{4} + 35 a^{2} + 18 a + 40\right)\cdot 43^{6} +O\left(43^{ 7 }\right)$ |
| $r_{ 13 }$ | $=$ | $ 17 a^{5} + 13 a^{4} + 3 a^{3} + 20 a^{2} + 7 a + 24 + \left(6 a^{5} + 8 a^{4} + 30 a^{3} + 7 a^{2} + 37 a + 36\right)\cdot 43 + \left(29 a^{5} + a^{4} + 32 a^{3} + a^{2} + 10 a + 18\right)\cdot 43^{2} + \left(33 a^{5} + 25 a^{4} + 12 a^{3} + 3 a^{2} + 2\right)\cdot 43^{3} + \left(4 a^{5} + 14 a^{4} + 12 a^{2} + 9 a + 29\right)\cdot 43^{4} + \left(26 a^{5} + 25 a^{4} + 3 a^{3} + 24 a^{2} + 5 a + 19\right)\cdot 43^{5} + \left(25 a^{5} + 5 a^{4} + 16 a^{3} + 15 a^{2} + 28 a + 31\right)\cdot 43^{6} +O\left(43^{ 7 }\right)$ |
| $r_{ 14 }$ | $=$ | $ 3 a^{5} + 6 a^{4} + 18 a^{3} + a^{2} + 19 a + 13 + \left(14 a^{5} + 13 a^{4} + 21 a^{3} + 28 a^{2} + 41 a + 21\right)\cdot 43 + \left(4 a^{5} + 3 a^{4} + 19 a^{3} + 30 a^{2} + 19 a + 14\right)\cdot 43^{2} + \left(11 a^{5} + 2 a^{4} + 32 a^{3} + 27 a^{2} + 24 a + 25\right)\cdot 43^{3} + \left(18 a^{5} + 41 a^{4} + 18 a^{3} + 32 a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 43^{4} + \left(7 a^{5} + 31 a^{4} + 6 a^{3} + 37 a^{2} + 17 a + 35\right)\cdot 43^{5} + \left(36 a^{5} + a^{4} + 41 a^{3} + 10 a^{2} + 41 a + 38\right)\cdot 43^{6} +O\left(43^{ 7 }\right)$ |
| $r_{ 15 }$ | $=$ | $ 31 a^{5} + 37 a^{4} + 33 a^{3} + 8 a^{2} + 12 a + 13 + \left(9 a^{5} + 31 a^{4} + 16 a^{3} + 24 a^{2} + 39 a + 28\right)\cdot 43 + \left(15 a^{5} + 32 a^{4} + 29 a^{3} + 9 a^{2} + 9 a + 31\right)\cdot 43^{2} + \left(3 a^{5} + 42 a^{4} + 42 a^{3} + 20 a^{2} + 23 a + 29\right)\cdot 43^{3} + \left(24 a^{5} + 32 a^{4} + 37 a^{3} + 40 a^{2} + 41 a\right)\cdot 43^{4} + \left(10 a^{5} + 40 a^{4} + 11 a^{3} + 31 a^{2} + 38 a + 41\right)\cdot 43^{5} + \left(11 a^{5} + 35 a^{4} + 21 a^{3} + 6 a^{2} + 29 a + 37\right)\cdot 43^{6} +O\left(43^{ 7 }\right)$ |
| $r_{ 16 }$ | $=$ | $ 8 a^{5} + 2 a^{4} + 38 a^{3} + 22 a^{2} + 30 a + 8 + \left(34 a^{5} + 23 a^{4} + 20 a^{3} + 42 a^{2} + 41 a + 37\right)\cdot 43 + \left(41 a^{5} + 13 a^{4} + 29 a^{3} + 39 a^{2} + 25 a + 2\right)\cdot 43^{2} + \left(9 a^{5} + 8 a^{4} + 37 a^{3} + 31 a^{2} + 33 a + 14\right)\cdot 43^{3} + \left(7 a^{5} + 14 a^{3} + 26 a^{2} + 14 a + 6\right)\cdot 43^{4} + \left(11 a^{5} + 8 a^{4} + 10 a^{3} + 5 a^{2} + 20 a + 13\right)\cdot 43^{5} + \left(28 a^{5} + 9 a^{4} + 19 a^{3} + 13 a^{2} + 13 a + 10\right)\cdot 43^{6} +O\left(43^{ 7 }\right)$ |
| $r_{ 17 }$ | $=$ | $ 7 a^{5} + 4 a^{4} + 18 a^{3} + 42 a^{2} + 6 a + 17 + \left(25 a^{5} + 37 a^{4} + 9 a^{3} + 39 a^{2} + 14 a + 25\right)\cdot 43 + \left(14 a^{5} + 33 a^{4} + a^{3} + 13 a^{2} + 41 a + 24\right)\cdot 43^{2} + \left(26 a^{5} + 41 a^{4} + 3 a^{3} + 21 a^{2} + 26 a + 15\right)\cdot 43^{3} + \left(6 a^{5} + 7 a^{4} + 33 a^{3} + 13 a^{2} + 40 a + 5\right)\cdot 43^{4} + \left(39 a^{5} + 8 a^{4} + 21 a^{3} + 10 a^{2} + 12 a + 27\right)\cdot 43^{5} + \left(33 a^{5} + 24 a^{4} + 32 a^{3} + 19 a^{2} + 22 a + 13\right)\cdot 43^{6} +O\left(43^{ 7 }\right)$ |
| $r_{ 18 }$ | $=$ | $ 41 a^{5} + 20 a^{4} + 22 a^{3} + 12 a^{2} + 32 a + 17 + \left(a^{5} + 40 a^{4} + 21 a^{3} + 34 a^{2} + 20 a + 26\right)\cdot 43 + \left(9 a^{5} + 29 a^{4} + 11 a^{3} + 23 a^{2} + 16 a + 16\right)\cdot 43^{2} + \left(4 a^{5} + 37 a^{4} + 33 a^{3} + 16 a^{2} + 37 a + 18\right)\cdot 43^{3} + \left(42 a^{5} + 12 a^{4} + 41 a^{3} + 29 a^{2} + 6 a + 19\right)\cdot 43^{4} + \left(20 a^{5} + 18 a^{4} + 38 a^{3} + 40 a^{2} + 14 a + 25\right)\cdot 43^{5} + \left(22 a^{5} + 36 a^{4} + 14 a^{3} + a^{2} + 16 a + 32\right)\cdot 43^{6} +O\left(43^{ 7 }\right)$ |
Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 18 }$
| Cycle notation |
Character values on conjugacy classes
| Size | Order | Action on $r_1, \ldots, r_{ 18 }$ | Character values | |
| $c1$ | $c2$ | |||
| $1$ | $1$ | $()$ | $2$ | $2$ |
| $3$ | $2$ | $(1,17)(2,11)(3,18)(4,12)(5,7)(6,15)(8,10)(9,13)(14,16)$ | $0$ | $0$ |
| $1$ | $3$ | $(1,3,7)(2,4,6)(5,17,18)(8,9,14)(10,13,16)(11,12,15)$ | $2 \zeta_{3}$ | $-2 \zeta_{3} - 2$ |
| $1$ | $3$ | $(1,7,3)(2,6,4)(5,18,17)(8,14,9)(10,16,13)(11,15,12)$ | $-2 \zeta_{3} - 2$ | $2 \zeta_{3}$ |
| $2$ | $3$ | $(1,2,8)(3,4,9)(5,16,15)(6,14,7)(10,11,17)(12,18,13)$ | $-1$ | $-1$ |
| $2$ | $3$ | $(1,4,14)(2,9,7)(3,6,8)(5,10,12)(11,18,16)(13,15,17)$ | $-\zeta_{3}$ | $\zeta_{3} + 1$ |
| $2$ | $3$ | $(1,14,4)(2,7,9)(3,8,6)(5,12,10)(11,16,18)(13,17,15)$ | $\zeta_{3} + 1$ | $-\zeta_{3}$ |
| $3$ | $6$ | $(1,5,3,17,7,18)(2,15,4,11,6,12)(8,16,9,10,14,13)$ | $0$ | $0$ |
| $3$ | $6$ | $(1,18,7,17,3,5)(2,12,6,11,4,15)(8,13,14,10,9,16)$ | $0$ | $0$ |