# Properties

 Label 2.1575.24t65.a Dimension $2$ Group $C_{12}\times S_3$ Conductor $1575$ Indicator $0$

# Related objects

## Basic invariants

 Dimension: $2$ Group: 24T65 Conductor: $$1575$$$$\medspace = 3^{2} \cdot 5^{2} \cdot 7$$ Artin number field: Galois closure of 24.0.2272880662621757205963134765625.1 Galois orbit size: $4$ Smallest permutation container: 24T65 Parity: odd Projective image: $S_3$ Projective field: Galois closure of 3.1.2835.1

## Galois action

### Roots of defining polynomial

The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 43 }$ to precision 9.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 43 }$: $x^{12} + 34 x^{7} + 27 x^{6} + 16 x^{5} + 17 x^{4} + 6 x^{3} + 23 x^{2} + 38 x + 3$
Roots:
 $r_{ 1 }$ $=$ $35 a^{11} + 13 a^{9} + 18 a^{8} + 32 a^{7} + 13 a^{6} + 25 a^{5} + 14 a^{4} + 32 a^{3} + 18 a^{2} + 31 a + 25 + \left(16 a^{11} + 9 a^{10} + 12 a^{9} + 36 a^{8} + 32 a^{7} + 4 a^{6} + 10 a^{5} + 30 a^{4} + 40 a^{3} + 39 a^{2} + a + 30\right)\cdot 43 + \left(6 a^{11} + 17 a^{10} + 40 a^{9} + 12 a^{8} + 14 a^{7} + 14 a^{6} + 42 a^{5} + 29 a^{4} + 12 a^{3} + 26 a^{2} + 17 a + 23\right)\cdot 43^{2} + \left(27 a^{11} + 23 a^{9} + 20 a^{8} + 30 a^{7} + 26 a^{6} + 29 a^{5} + 35 a^{4} + 17 a^{3} + 25 a^{2} + 41 a + 29\right)\cdot 43^{3} + \left(5 a^{11} + 28 a^{10} + 30 a^{9} + 11 a^{8} + 22 a^{7} + 22 a^{6} + 26 a^{5} + 29 a^{4} + 13 a^{3} + 32 a^{2} + 7 a + 17\right)\cdot 43^{4} + \left(10 a^{11} + 35 a^{9} + 6 a^{8} + a^{7} + 40 a^{6} + 22 a^{5} + 17 a^{4} + 39 a^{3} + 20 a^{2} + 18 a + 23\right)\cdot 43^{5} + \left(42 a^{11} + 41 a^{10} + 21 a^{9} + 33 a^{8} + 35 a^{7} + 13 a^{6} + 29 a^{5} + 30 a^{4} + 5 a^{3} + 17 a^{2} + 14 a + 3\right)\cdot 43^{6} + \left(30 a^{11} + 15 a^{10} + 17 a^{9} + 4 a^{8} + 22 a^{7} + 17 a^{6} + 35 a^{5} + 27 a^{4} + 40 a^{3} + 19 a^{2} + 22 a + 24\right)\cdot 43^{7} + \left(9 a^{11} + 21 a^{10} + 32 a^{9} + 36 a^{8} + 40 a^{7} + 9 a^{6} + 26 a^{5} + 32 a^{4} + 17 a^{3} + 20 a^{2} + 9 a + 27\right)\cdot 43^{8} +O\left(43^{ 9 }\right)$ $r_{ 2 }$ $=$ $4 a^{11} + 15 a^{10} + 19 a^{9} + 25 a^{8} + 15 a^{7} + 2 a^{6} + 36 a^{5} + 29 a^{4} + 30 a^{3} + 38 a^{2} + 7 a + 3 + \left(23 a^{11} + 3 a^{10} + 4 a^{9} + 34 a^{8} + 16 a^{7} + 34 a^{6} + 41 a^{5} + 4 a^{4} + 22 a^{3} + 25 a^{2} + 18 a + 36\right)\cdot 43 + \left(39 a^{11} + 21 a^{10} + 28 a^{9} + 14 a^{8} + 11 a^{7} + 17 a^{6} + 7 a^{5} + 5 a^{4} + 13 a^{3} + 22 a^{2} + 36 a + 5\right)\cdot 43^{2} + \left(13 a^{11} + 7 a^{10} + 4 a^{9} + 25 a^{8} + 36 a^{7} + 35 a^{6} + 21 a^{5} + 18 a^{4} + 13 a^{3} + 24 a^{2} + 23 a + 21\right)\cdot 43^{3} + \left(15 a^{11} + 31 a^{10} + 31 a^{9} + 31 a^{8} + 41 a^{7} + 40 a^{6} + 12 a^{5} + 38 a^{4} + 4 a^{3} + 34 a^{2} + 40 a + 34\right)\cdot 43^{4} + \left(40 a^{11} + 18 a^{10} + 11 a^{9} + 25 a^{8} + 18 a^{7} + 34 a^{6} + 15 a^{5} + 12 a^{4} + 19 a^{3} + 6 a^{2} + 35 a + 8\right)\cdot 43^{5} + \left(15 a^{11} + 39 a^{10} + 31 a^{9} + 22 a^{8} + 13 a^{7} + 36 a^{6} + 35 a^{5} + 27 a^{4} + 21 a^{3} + 6 a^{2} + 19 a + 26\right)\cdot 43^{6} + \left(12 a^{11} + 12 a^{10} + 20 a^{9} + a^{8} + 21 a^{7} + 32 a^{6} + 35 a^{5} + 25 a^{4} + 19 a^{3} + 9 a^{2} + 35 a + 32\right)\cdot 43^{7} + \left(24 a^{11} + 41 a^{10} + 31 a^{9} + 20 a^{8} + 36 a^{7} + 37 a^{6} + 7 a^{5} + 8 a^{4} + 2 a^{3} + 18 a^{2} + 42 a + 34\right)\cdot 43^{8} +O\left(43^{ 9 }\right)$ $r_{ 3 }$ $=$ $a^{11} + 20 a^{10} + 21 a^{9} + 13 a^{8} + 14 a^{7} + 16 a^{6} + 31 a^{5} + 31 a^{3} + 28 a^{2} + 22 a + 14 + \left(10 a^{11} + 22 a^{10} + 16 a^{9} + 35 a^{8} + 39 a^{7} + 14 a^{6} + 26 a^{5} + 8 a^{4} + 37 a^{3} + 4 a^{2} + 23 a + 28\right)\cdot 43 + \left(21 a^{11} + 6 a^{10} + 3 a^{9} + 42 a^{8} + 9 a^{7} + 31 a^{6} + 36 a^{5} + 16 a^{4} + 30 a^{3} + 37 a^{2} + 25 a + 4\right)\cdot 43^{2} + \left(a^{11} + 5 a^{10} + 2 a^{9} + 32 a^{8} + 33 a^{7} + 39 a^{6} + 11 a^{5} + 20 a^{4} + 36 a^{3} + 20 a^{2} + 34 a + 19\right)\cdot 43^{3} + \left(40 a^{11} + 35 a^{10} + 31 a^{9} + 7 a^{8} + 39 a^{7} + 28 a^{6} + 9 a^{5} + 9 a^{4} + 2 a^{3} + 41 a^{2} + 22 a + 2\right)\cdot 43^{4} + \left(19 a^{11} + 10 a^{10} + 5 a^{9} + 40 a^{8} + 14 a^{7} + 16 a^{6} + 14 a^{5} + 18 a^{4} + 25 a^{3} + 20 a^{2} + 10 a + 42\right)\cdot 43^{5} + \left(3 a^{11} + 5 a^{10} + 23 a^{9} + 8 a^{8} + 22 a^{6} + 2 a^{5} + 12 a^{4} + 17 a^{3} + 33 a^{2} + 24 a + 7\right)\cdot 43^{6} + \left(42 a^{11} + 29 a^{10} + 24 a^{9} + 8 a^{8} + 25 a^{7} + 10 a^{6} + 14 a^{5} + 36 a^{4} + 28 a^{3} + 35 a^{2} + 16 a + 39\right)\cdot 43^{7} + \left(36 a^{11} + 37 a^{10} + 32 a^{9} + 16 a^{8} + 29 a^{7} + 4 a^{6} + 4 a^{5} + 17 a^{4} + 8 a^{3} + 32 a^{2} + 36 a + 3\right)\cdot 43^{8} +O\left(43^{ 9 }\right)$ $r_{ 4 }$ $=$ $6 a^{11} + 20 a^{10} + 15 a^{9} + 10 a^{8} + 15 a^{7} + 4 a^{6} + 26 a^{5} + 3 a^{4} + 33 a^{3} + 32 a^{2} + 7 a + 32 + \left(36 a^{11} + 34 a^{10} + 33 a^{9} + 37 a^{8} + 38 a^{7} + 3 a^{6} + 25 a^{5} + 40 a^{4} + 21 a^{3} + 10 a^{2} + 22 a + 34\right)\cdot 43 + \left(31 a^{11} + 4 a^{10} + 37 a^{9} + 10 a^{8} + 27 a^{7} + 16 a^{6} + 24 a^{5} + 8 a^{4} + 36 a^{3} + 38 a^{2} + 33\right)\cdot 43^{2} + \left(6 a^{11} + 22 a^{10} + 18 a^{9} + 19 a^{8} + 27 a^{7} + 36 a^{6} + 24 a^{5} + 2 a^{4} + 36 a^{3} + a^{2} + 42 a + 42\right)\cdot 43^{3} + \left(7 a^{11} + 21 a^{10} + 34 a^{9} + 6 a^{8} + 24 a^{7} + 17 a^{6} + 25 a^{5} + 23 a^{4} + 29 a^{3} + 2 a^{2} + 11 a + 33\right)\cdot 43^{4} + \left(21 a^{11} + 29 a^{10} + 31 a^{9} + 8 a^{8} + 20 a^{7} + 5 a^{6} + 42 a^{5} + 30 a^{4} + 37 a^{3} + 38 a^{2} + 7 a + 21\right)\cdot 43^{5} + \left(20 a^{11} + 27 a^{10} + 6 a^{9} + 22 a^{8} + 31 a^{7} + 24 a^{6} + 35 a^{5} + 13 a^{4} + 31 a^{3} + 5 a^{2} + 30 a + 11\right)\cdot 43^{6} + \left(40 a^{11} + 40 a^{10} + 11 a^{9} + 2 a^{8} + 3 a^{7} + 7 a^{6} + 11 a^{5} + 2 a^{4} + 27 a^{3} + 17 a^{2} + 4 a + 24\right)\cdot 43^{7} + \left(16 a^{11} + 41 a^{10} + 25 a^{9} + 37 a^{8} + 25 a^{7} + 26 a^{6} + 17 a^{5} + 39 a^{4} + 19 a^{3} + 7 a^{2} + 39 a + 42\right)\cdot 43^{8} +O\left(43^{ 9 }\right)$ $r_{ 5 }$ $=$ $36 a^{11} + 2 a^{10} + 2 a^{9} + 7 a^{8} + 35 a^{7} + 23 a^{6} + 13 a^{5} + 35 a^{4} + 9 a^{3} + 27 a^{2} + 40 + \left(16 a^{11} + 21 a^{10} + 28 a^{9} + 17 a^{8} + 10 a^{7} + 21 a^{6} + 19 a^{5} + 32 a^{4} + 23 a^{3} + 42 a^{2} + 7 a + 12\right)\cdot 43 + \left(42 a^{11} + 27 a^{10} + 29 a^{9} + 37 a^{8} + 9 a^{7} + 15 a^{6} + 21 a^{5} + 12 a^{4} + 18 a^{3} + 38 a^{2} + 11 a + 30\right)\cdot 43^{2} + \left(33 a^{11} + 9 a^{10} + 8 a^{9} + a^{8} + 39 a^{7} + 34 a^{6} + 17 a^{5} + 25 a^{4} + 32 a^{3} + 27 a^{2} + 15 a + 25\right)\cdot 43^{3} + \left(2 a^{11} + 39 a^{10} + 31 a^{9} + a^{8} + 5 a^{7} + 7 a^{6} + 13 a^{5} + 10 a^{4} + 19 a^{3} + 31 a^{2} + 42 a + 2\right)\cdot 43^{4} + \left(2 a^{11} + 26 a^{10} + 20 a^{9} + 28 a^{8} + 36 a^{7} + 33 a^{6} + 41 a^{5} + 14 a^{4} + 27 a^{3} + 8 a^{2} + 6 a + 33\right)\cdot 43^{5} + \left(32 a^{11} + 3 a^{10} + 14 a^{9} + 6 a^{8} + 17 a^{7} + 5 a^{6} + 32 a^{5} + 42 a^{4} + 7 a^{3} + 25 a^{2} + 15 a + 25\right)\cdot 43^{6} + \left(30 a^{11} + 20 a^{10} + 6 a^{9} + 8 a^{8} + 32 a^{7} + 27 a^{6} + 8 a^{5} + 35 a^{4} + 18 a^{3} + 38 a^{2} + 18 a + 25\right)\cdot 43^{7} + \left(2 a^{11} + 21 a^{10} + 42 a^{9} + 12 a^{8} + 24 a^{7} + 27 a^{6} + 18 a^{5} + 8 a^{4} + 13 a^{3} + 17 a^{2} + 23 a + 8\right)\cdot 43^{8} +O\left(43^{ 9 }\right)$ $r_{ 6 }$ $=$ $2 a^{11} + 35 a^{10} + 13 a^{9} + 15 a^{8} + 16 a^{7} + 27 a^{6} + 13 a^{5} + 14 a^{4} + 27 a^{3} + 13 a^{2} + 37 a + 30 + \left(42 a^{11} + 14 a^{10} + 17 a^{9} + 8 a^{8} + 19 a^{7} + 7 a^{6} + 15 a^{5} + 3 a^{4} + 18 a^{3} + 9 a^{2} + 40 a + 7\right)\cdot 43 + \left(31 a^{11} + 27 a^{9} + 18 a^{8} + 28 a^{7} + 14 a^{6} + 15 a^{5} + 40 a^{4} + 16 a^{3} + 29 a^{2} + 21 a + 33\right)\cdot 43^{2} + \left(21 a^{11} + 10 a^{10} + 21 a^{9} + 25 a^{8} + 8 a^{7} + 11 a^{6} + 23 a^{5} + 39 a^{4} + 20 a^{3} + 3 a^{2} + 29 a + 39\right)\cdot 43^{3} + \left(41 a^{11} + 31 a^{10} + 28 a^{9} + 10 a^{8} + 19 a^{7} + 15 a^{6} + 39 a^{5} + 14 a^{4} + 32 a^{3} + 24 a^{2} + 18 a + 28\right)\cdot 43^{4} + \left(29 a^{11} + 31 a^{10} + 11 a^{9} + 9 a^{8} + 17 a^{7} + 16 a^{6} + 21 a^{5} + 5 a^{4} + 7 a^{3} + 2 a^{2} + 26 a + 12\right)\cdot 43^{5} + \left(4 a^{11} + 26 a^{10} + 28 a^{9} + 9 a^{8} + 36 a^{7} + 31 a^{6} + 42 a^{5} + 28 a^{4} + 38 a^{3} + 37 a^{2} + 13 a + 37\right)\cdot 43^{6} + \left(38 a^{11} + 24 a^{10} + 21 a^{9} + 34 a^{8} + 41 a^{7} + 2 a^{6} + 29 a^{5} + 10 a^{4} + 26 a^{3} + 14 a^{2} + 23 a + 41\right)\cdot 43^{7} + \left(30 a^{11} + 24 a^{10} + 24 a^{9} + 36 a^{8} + 35 a^{7} + 13 a^{6} + 12 a^{5} + 25 a^{4} + 19 a^{3} + 10 a^{2} + 8 a + 29\right)\cdot 43^{8} +O\left(43^{ 9 }\right)$ $r_{ 7 }$ $=$ $3 a^{11} + 27 a^{10} + 38 a^{9} + 24 a^{8} + 27 a^{7} + 2 a^{6} + 25 a^{5} + a^{4} + 29 a^{3} + 39 a^{2} + 29 a + 42 + \left(14 a^{11} + 23 a^{10} + 41 a^{9} + a^{8} + 40 a^{7} + 32 a^{6} + 34 a^{5} + 14 a^{4} + 30 a^{3} + 3 a^{2} + 16 a + 3\right)\cdot 43 + \left(10 a^{11} + 31 a^{10} + 36 a^{9} + 42 a^{8} + 9 a^{7} + 42 a^{6} + 29 a^{5} + 18 a^{4} + 27 a^{3} + 9 a^{2} + 11 a + 7\right)\cdot 43^{2} + \left(9 a^{11} + 17 a^{10} + 25 a^{9} + 12 a^{8} + 23 a^{7} + 19 a^{6} + 15 a^{5} + 19 a^{4} + 2 a^{3} + 38 a + 3\right)\cdot 43^{3} + \left(2 a^{11} + 19 a^{10} + 25 a^{9} + a^{8} + 3 a^{7} + a^{6} + 27 a^{5} + 37 a^{4} + 34 a^{3} + 32 a^{2} + 5 a + 1\right)\cdot 43^{4} + \left(25 a^{11} + 7 a^{10} + 7 a^{9} + 31 a^{8} + 33 a^{7} + 13 a^{6} + 18 a^{5} + 2 a^{4} + 23 a^{3} + 32 a^{2} + 40 a + 21\right)\cdot 43^{5} + \left(2 a^{11} + 2 a^{10} + 22 a^{9} + 7 a^{8} + 19 a^{7} + 22 a^{6} + 21 a^{5} + 23 a^{4} + 32 a^{3} + 5 a^{2} + 41 a + 16\right)\cdot 43^{6} + \left(37 a^{11} + 33 a^{10} + 41 a^{9} + 16 a^{8} + 5 a^{7} + 28 a^{6} + 42 a^{5} + 12 a^{4} + 24 a^{3} + 39 a^{2} + 12 a + 21\right)\cdot 43^{7} + \left(37 a^{11} + 29 a^{10} + a^{9} + 41 a^{8} + 18 a^{7} + 7 a^{6} + 23 a^{5} + 4 a^{4} + a^{3} + 14 a^{2} + 19 a + 39\right)\cdot 43^{8} +O\left(43^{ 9 }\right)$ $r_{ 8 }$ $=$ $33 a^{11} + 39 a^{10} + 25 a^{9} + a^{8} + 22 a^{7} + 27 a^{6} + 39 a^{5} + 38 a^{4} + 22 a^{3} + 10 a^{2} + 35 a + 3 + \left(11 a^{11} + 26 a^{10} + 40 a^{9} + 32 a^{8} + 7 a^{7} + 41 a^{6} + 7 a^{5} + 4 a^{4} + 14 a^{3} + 15 a^{2} + 19 a + 26\right)\cdot 43 + \left(34 a^{10} + 27 a^{9} + 4 a^{8} + 9 a^{7} + 23 a^{6} + 35 a^{5} + 25 a^{4} + 39 a^{3} + 37 a^{2} + 31 a + 33\right)\cdot 43^{2} + \left(39 a^{11} + 12 a^{10} + 35 a^{9} + 35 a^{8} + 41 a^{7} + 37 a^{6} + 20 a^{4} + 26 a^{3} + 3 a^{2} + 23 a + 23\right)\cdot 43^{3} + \left(38 a^{11} + 20 a^{10} + 13 a^{9} + 42 a^{8} + 21 a^{7} + 31 a^{6} + 28 a^{5} + 10 a^{4} + 13 a^{3} + 5 a^{2} + 6 a + 34\right)\cdot 43^{4} + \left(18 a^{11} + 6 a^{10} + 34 a^{9} + 11 a^{8} + 40 a^{7} + 5 a^{6} + 22 a^{5} + 14 a^{4} + 34 a^{3} + 36 a^{2} + 24 a + 39\right)\cdot 43^{5} + \left(6 a^{11} + 14 a^{9} + 14 a^{8} + 12 a^{7} + 15 a^{6} + 13 a^{5} + 14 a^{4} + 16 a^{3} + 2 a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 43^{6} + \left(6 a^{11} + a^{10} + 37 a^{9} + 2 a^{8} + 24 a^{7} + 4 a^{6} + 10 a^{5} + 29 a^{3} + 27 a^{2} + 33 a + 23\right)\cdot 43^{7} + \left(15 a^{11} + 16 a^{10} + 7 a^{9} + 7 a^{8} + 28 a^{7} + 30 a^{6} + 22 a^{5} + 31 a^{4} + 38 a^{3} + 5 a^{2} + 18 a + 18\right)\cdot 43^{8} +O\left(43^{ 9 }\right)$ $r_{ 9 }$ $=$ $32 a^{11} + 29 a^{10} + 24 a^{9} + a^{8} + 14 a^{6} + 14 a^{5} + 6 a^{3} + 12 a^{2} + 15 a + 22 + \left(2 a^{11} + 37 a^{10} + 25 a^{9} + 10 a^{8} + 9 a^{7} + 28 a^{6} + 24 a^{5} + 28 a^{4} + 2 a^{3} + 41 a^{2} + 11 a + 19\right)\cdot 43 + \left(39 a^{11} + 17 a^{10} + 40 a^{9} + 8 a^{8} + 35 a^{7} + 25 a^{6} + 16 a^{5} + 38 a^{4} + 18 a^{3} + 6 a^{2} + 23 a + 21\right)\cdot 43^{2} + \left(41 a^{11} + 22 a^{10} + 28 a^{9} + 14 a^{8} + 16 a^{7} + 40 a^{6} + 38 a^{5} + 40 a^{4} + 12 a^{3} + 25 a^{2} + 3 a + 31\right)\cdot 43^{3} + \left(38 a^{11} + 19 a^{10} + 19 a^{9} + 31 a^{8} + 20 a^{7} + 5 a^{6} + 30 a^{5} + 15 a^{4} + 11 a^{3} + 39 a^{2} + 41 a + 27\right)\cdot 43^{4} + \left(6 a^{11} + 39 a^{10} + 9 a^{9} + 28 a^{8} + 36 a^{7} + 19 a^{6} + 19 a^{5} + 28 a^{4} + 35 a^{3} + 15 a^{2} + 17 a + 11\right)\cdot 43^{5} + \left(13 a^{11} + 14 a^{10} + 17 a^{9} + 12 a^{8} + 38 a^{7} + 19 a^{6} + 2 a^{5} + 4 a^{4} + 34 a^{3} + 35 a^{2} + 19 a + 17\right)\cdot 43^{6} + \left(4 a^{11} + 6 a^{10} + 24 a^{9} + 37 a^{8} + 19 a^{7} + 37 a^{6} + 21 a^{5} + 14 a^{4} + 12 a^{3} + 24 a^{2} + 20 a + 34\right)\cdot 43^{7} + \left(15 a^{11} + 38 a^{10} + 18 a^{9} + 18 a^{8} + 19 a^{7} + 20 a^{6} + 17 a^{5} + 16 a^{4} + 39 a^{3} + 32 a^{2} + 16 a + 32\right)\cdot 43^{8} +O\left(43^{ 9 }\right)$ $r_{ 10 }$ $=$ $17 a^{11} + 38 a^{10} + 16 a^{9} + 32 a^{8} + 21 a^{7} + 7 a^{6} + 18 a^{5} + 15 a^{4} + 22 a^{3} + 35 a^{2} + 23 a + 5 + \left(13 a^{11} + 32 a^{10} + 15 a^{9} + 9 a^{8} + 8 a^{7} + 2 a^{6} + 2 a^{5} + 25 a^{4} + 12 a^{3} + 21 a^{2} + 40 a + 28\right)\cdot 43 + \left(26 a^{11} + 19 a^{10} + 2 a^{9} + 33 a^{8} + 18 a^{7} + 34 a^{6} + 37 a^{5} + 16 a^{4} + 6 a^{3} + 37 a^{2} + 26 a + 22\right)\cdot 43^{2} + \left(23 a^{11} + 34 a^{10} + 41 a^{8} + 19 a^{7} + 18 a^{6} + 42 a^{5} + 7 a^{4} + 29 a^{3} + 38 a^{2} + 5 a + 1\right)\cdot 43^{3} + \left(21 a^{11} + 22 a^{10} + 31 a^{9} + 37 a^{8} + 19 a^{7} + 38 a^{6} + 4 a^{5} + 10 a^{4} + 31 a^{3} + 20 a^{2} + 21 a + 7\right)\cdot 43^{4} + \left(23 a^{11} + 38 a^{10} + 31 a^{9} + 31 a^{8} + 13 a^{7} + 24 a^{6} + 10 a^{5} + 4 a^{4} + 6 a^{3} + 26 a^{2} + 27 a + 30\right)\cdot 43^{5} + \left(10 a^{11} + 36 a^{10} + 38 a^{9} + 19 a^{8} + 5 a^{7} + 9 a^{6} + 9 a^{5} + 9 a^{4} + 15 a^{3} + 26 a^{2} + 13 a\right)\cdot 43^{6} + \left(3 a^{11} + 41 a^{10} + 32 a^{9} + 19 a^{8} + 39 a^{7} + 20 a^{6} + 38 a^{5} + 20 a^{4} + 21 a^{2} + 13 a + 8\right)\cdot 43^{7} + \left(23 a^{11} + 30 a^{10} + 20 a^{9} + 14 a^{8} + 20 a^{6} + 30 a^{5} + 8 a^{4} + 40 a^{3} + 11 a^{2} + 15 a + 13\right)\cdot 43^{8} +O\left(43^{ 9 }\right)$ $r_{ 11 }$ $=$ $37 a^{11} + 42 a^{10} + 24 a^{9} + 9 a^{8} + 17 a^{7} + 17 a^{6} + 31 a^{5} + 11 a^{4} + 12 a^{3} + 24 a^{2} + 18 a + 17 + \left(27 a^{11} + 8 a^{10} + 30 a^{9} + 5 a^{8} + 4 a^{7} + 6 a^{6} + 36 a^{5} + 21 a^{4} + 32 a^{3} + 36 a^{2} + 22 a + 24\right)\cdot 43 + \left(17 a^{11} + 3 a^{10} + 2 a^{9} + 17 a^{8} + 23 a^{7} + 37 a^{6} + 39 a^{5} + 24 a^{4} + 2 a^{3} + 25 a^{2} + 30\right)\cdot 43^{2} + \left(a^{11} + 30 a^{10} + 19 a^{9} + 23 a^{8} + 18 a^{7} + 22 a^{6} + 6 a^{5} + 10 a^{4} + 25 a^{3} + 4 a^{2} + 2 a + 3\right)\cdot 43^{3} + \left(40 a^{11} + 35 a^{10} + 34 a^{9} + 40 a^{8} + 30 a^{7} + 6 a^{6} + 19 a^{5} + 40 a^{4} + 26 a^{2} + 19 a + 11\right)\cdot 43^{4} + \left(13 a^{11} + 5 a^{10} + 37 a^{9} + 15 a^{8} + 6 a^{6} + 6 a^{5} + 3 a^{4} + 31 a^{3} + 35 a^{2} + 18 a + 8\right)\cdot 43^{5} + \left(19 a^{11} + 16 a^{10} + 27 a^{9} + 25 a^{8} + 11 a^{7} + 37 a^{6} + 41 a^{5} + 28 a^{4} + 11 a^{3} + 37 a^{2} + 7 a + 10\right)\cdot 43^{6} + \left(20 a^{11} + 8 a^{10} + 32 a^{9} + 18 a^{8} + 18 a^{7} + 33 a^{6} + 10 a^{5} + 28 a^{4} + 36 a^{3} + 28 a^{2} + 29 a + 11\right)\cdot 43^{7} + \left(25 a^{11} + 28 a^{10} + 9 a^{9} + 26 a^{8} + 26 a^{7} + 15 a^{6} + 23 a^{5} + 27 a^{4} + 15 a^{3} + 20 a^{2} + 25 a + 31\right)\cdot 43^{8} +O\left(43^{ 9 }\right)$ $r_{ 12 }$ $=$ $41 a^{11} + 32 a^{10} + 31 a^{9} + 31 a^{8} + 34 a^{7} + 22 a^{6} + 10 a^{5} + 10 a^{4} + 8 a^{3} + 28 a^{2} + 3 a + 41 + \left(17 a^{11} + 40 a^{10} + 25 a^{9} + 17 a^{8} + 27 a^{7} + 18 a^{6} + 7 a^{5} + 24 a^{4} + 40 a^{3} + 27 a^{2} + 24 a + 36\right)\cdot 43 + \left(29 a^{11} + 9 a^{10} + 24 a^{9} + 35 a^{8} + 30 a^{7} + 29 a^{6} + 38 a^{5} + 5 a^{4} + 10 a^{3} + a^{2} + 2 a + 8\right)\cdot 43^{2} + \left(12 a^{11} + 14 a^{10} + 4 a^{9} + 8 a^{8} + 32 a^{7} + 11 a^{6} + 29 a^{5} + 31 a^{4} + 26 a^{3} + 28 a^{2} + a + 26\right)\cdot 43^{3} + \left(21 a^{11} + 6 a^{10} + 30 a^{9} + 38 a^{8} + 3 a^{7} + 12 a^{6} + 7 a^{5} + 28 a^{4} + 35 a^{3} + 12 a^{2} + 20 a + 6\right)\cdot 43^{4} + \left(4 a^{11} + 2 a^{10} + 24 a^{9} + 37 a^{8} + 26 a^{7} + 35 a^{6} + 11 a^{5} + 37 a^{4} + 7 a^{3} + 20 a^{2} + 38 a + 19\right)\cdot 43^{5} + \left(21 a^{11} + 14 a^{10} + 9 a^{9} + 37 a^{8} + 39 a^{7} + 39 a^{6} + 13 a^{5} + 41 a^{4} + 39 a^{3} + 4 a^{2} + 23 a + 7\right)\cdot 43^{6} + \left(28 a^{11} + 27 a^{10} + 9 a^{9} + 21 a^{8} + 7 a^{7} + 2 a^{6} + 2 a^{5} + 9 a^{4} + 13 a^{3} + 11 a^{2} + 8 a + 29\right)\cdot 43^{7} + \left(33 a^{11} + 20 a^{10} + 26 a^{9} + 41 a^{8} + 10 a^{7} + 16 a^{6} + 33 a^{5} + 17 a^{4} + 19 a^{3} + 20 a^{2} + 5 a + 18\right)\cdot 43^{8} +O\left(43^{ 9 }\right)$ $r_{ 13 }$ $=$ $17 a^{11} + 15 a^{10} + 30 a^{9} + 22 a^{8} + 21 a^{7} + 13 a^{6} + 32 a^{5} + 7 a^{4} + 35 a^{3} + 36 a^{2} + 13 a + 36 + \left(6 a^{11} + 10 a^{10} + 20 a^{9} + 7 a^{8} + 8 a^{7} + 18 a^{6} + 29 a^{5} + 15 a^{4} + 15 a^{3} + 19 a^{2} + 29 a + 36\right)\cdot 43 + \left(27 a^{11} + 34 a^{10} + 17 a^{9} + 7 a^{8} + 26 a^{7} + 7 a^{6} + 26 a^{4} + 25 a^{3} + 7 a^{2} + 30 a + 18\right)\cdot 43^{2} + \left(39 a^{11} + 35 a^{10} + 16 a^{9} + 34 a^{8} + 28 a^{7} + 27 a^{6} + 10 a^{5} + 18 a^{4} + 39 a^{3} + 19 a^{2} + 39 a + 13\right)\cdot 43^{3} + \left(27 a^{11} + 13 a^{10} + 22 a^{9} + 4 a^{8} + 42 a^{7} + 12 a^{6} + 4 a^{5} + 5 a^{4} + 4 a^{3} + 25 a^{2} + 17 a + 32\right)\cdot 43^{4} + \left(12 a^{11} + 18 a^{10} + 31 a^{9} + a^{8} + 16 a^{7} + 2 a^{5} + 19 a^{4} + 39 a^{3} + 34 a^{2} + 42 a + 24\right)\cdot 43^{5} + \left(14 a^{11} + 2 a^{10} + 22 a^{9} + 4 a^{8} + 18 a^{7} + 23 a^{6} + 29 a^{5} + 34 a^{4} + 5 a^{3} + 5 a^{2} + 21 a + 27\right)\cdot 43^{6} + \left(22 a^{11} + 42 a^{10} + 30 a^{9} + 2 a^{8} + 10 a^{7} + 33 a^{6} + 33 a^{5} + 35 a^{4} + 32 a^{2} + 16 a + 41\right)\cdot 43^{7} + \left(15 a^{11} + 37 a^{10} + 25 a^{9} + 11 a^{8} + 40 a^{7} + 34 a^{6} + 39 a^{5} + a^{4} + 13 a^{3} + 17 a^{2} + 41 a + 32\right)\cdot 43^{8} +O\left(43^{ 9 }\right)$ $r_{ 14 }$ $=$ $20 a^{11} + 41 a^{10} + 40 a^{9} + 16 a^{8} + 23 a^{7} + 7 a^{6} + 33 a^{5} + 6 a^{4} + 21 a^{3} + 13 a^{2} + 18 a + 18 + \left(40 a^{11} + 3 a^{9} + 3 a^{8} + 2 a^{7} + 26 a^{6} + 25 a^{4} + 2 a^{3} + 41 a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 43 + \left(7 a^{11} + 35 a^{10} + 40 a^{9} + 33 a^{8} + 21 a^{7} + 16 a^{6} + 4 a^{5} + 40 a^{4} + 5 a^{3} + 25 a^{2} + 18\right)\cdot 43^{2} + \left(39 a^{11} + 21 a^{10} + 13 a^{9} + 32 a^{8} + 12 a^{7} + 40 a^{6} + 30 a^{5} + 31 a^{4} + 27 a^{3} + 31 a^{2} + a + 16\right)\cdot 43^{3} + \left(3 a^{11} + 35 a^{10} + 34 a^{9} + 27 a^{8} + 20 a^{7} + 34 a^{6} + 35 a^{5} + 20 a^{4} + 15 a^{3} + 42 a^{2} + 7 a + 1\right)\cdot 43^{4} + \left(13 a^{11} + 2 a^{10} + 35 a^{9} + 22 a^{8} + 24 a^{7} + 5 a^{6} + 20 a^{5} + 5 a^{4} + 31 a^{3} + 23 a^{2} + 4 a + 12\right)\cdot 43^{5} + \left(3 a^{11} + 10 a^{10} + 30 a^{9} + 6 a^{8} + 39 a^{7} + 7 a^{6} + 37 a^{5} + 25 a^{4} + 33 a^{3} + 5 a^{2} + 35 a + 37\right)\cdot 43^{6} + \left(28 a^{11} + 36 a^{10} + 22 a^{9} + 26 a^{8} + 35 a^{7} + 30 a^{5} + 20 a^{4} + 18 a^{3} + 14 a^{2} + 36 a + 20\right)\cdot 43^{7} + \left(17 a^{11} + 31 a^{10} + 15 a^{9} + 40 a^{8} + 17 a^{7} + 20 a^{5} + 24 a^{4} + 42 a^{3} + 12 a^{2} + 9 a + 38\right)\cdot 43^{8} +O\left(43^{ 9 }\right)$ $r_{ 15 }$ $=$ $8 a^{11} + 23 a^{10} + 6 a^{9} + 35 a^{8} + 40 a^{7} + 41 a^{6} + 17 a^{5} + 25 a^{4} + 39 a^{3} + 11 a^{2} + 39 a + 15 + \left(31 a^{11} + 10 a^{10} + 5 a^{9} + 8 a^{8} + 15 a^{7} + 28 a^{6} + 35 a^{5} + 5 a^{4} + 24 a^{3} + 40 a^{2} + 6 a + 28\right)\cdot 43 + \left(8 a^{11} + 35 a^{10} + 19 a^{9} + 5 a^{8} + 28 a^{7} + 19 a^{6} + 37 a^{5} + 7 a^{4} + 23 a^{3} + 4 a^{2} + 29 a + 19\right)\cdot 43^{2} + \left(6 a^{11} + 26 a^{10} + 34 a^{9} + 19 a^{8} + 5 a^{7} + 36 a^{6} + 29 a^{5} + 6 a^{4} + 28 a^{3} + 17 a^{2} + 5 a + 37\right)\cdot 43^{3} + \left(24 a^{11} + 10 a^{10} + 20 a^{9} + 38 a^{8} + 27 a^{7} + 26 a^{6} + 6 a^{5} + 7 a^{3} + 29 a^{2} + 38 a + 2\right)\cdot 43^{4} + \left(39 a^{11} + 22 a^{10} + 28 a^{9} + 24 a^{8} + 6 a^{7} + 30 a^{6} + 19 a^{5} + 38 a^{4} + 42 a^{3} + 35 a^{2} + 35 a\right)\cdot 43^{5} + \left(42 a^{11} + 7 a^{10} + 16 a^{9} + 17 a^{8} + 8 a^{7} + 37 a^{6} + 27 a^{5} + 40 a^{4} + 5 a^{3} + 37 a^{2} + 35 a + 36\right)\cdot 43^{6} + \left(3 a^{11} + 13 a^{10} + 20 a^{9} + 9 a^{7} + 9 a^{6} + 38 a^{5} + 26 a^{4} + 3 a^{3} + 24 a^{2} + 22 a + 6\right)\cdot 43^{7} + \left(5 a^{11} + 6 a^{10} + 36 a^{9} + 7 a^{8} + 22 a^{7} + 14 a^{6} + 23 a^{5} + 15 a^{4} + 12 a^{3} + 36 a^{2} + 6 a + 42\right)\cdot 43^{8} +O\left(43^{ 9 }\right)$ $r_{ 16 }$ $=$ $21 a^{11} + a^{10} + 17 a^{9} + 14 a^{8} + 5 a^{7} + 24 a^{6} + 39 a^{5} + 36 a^{4} + 4 a^{2} + 4 a + 8 + \left(30 a^{11} + 20 a^{10} + 17 a^{9} + 30 a^{8} + 30 a^{7} + 36 a^{6} + 13 a^{5} + 20 a^{4} + 3 a^{3} + a^{2} + 39 a + 17\right)\cdot 43 + \left(37 a^{10} + 31 a^{9} + 40 a^{8} + 4 a^{7} + 21 a^{6} + 7 a^{5} + a^{3} + 28 a^{2} + 17 a + 2\right)\cdot 43^{2} + \left(17 a^{10} + 33 a^{9} + 4 a^{8} + 21 a^{7} + 33 a^{6} + 19 a^{4} + 9 a^{3} + 36 a^{2} + 27 a + 36\right)\cdot 43^{3} + \left(5 a^{11} + 38 a^{10} + 33 a^{9} + 32 a^{8} + 23 a^{7} + 17 a^{6} + 7 a^{5} + 29 a^{3} + 2 a^{2} + 37 a + 5\right)\cdot 43^{4} + \left(32 a^{11} + 24 a^{10} + 35 a^{9} + 37 a^{8} + 3 a^{7} + 22 a^{6} + 11 a^{5} + 18 a^{4} + 22 a^{3} + 41 a^{2} + 23 a + 42\right)\cdot 43^{5} + \left(10 a^{11} + 7 a^{10} + 37 a^{9} + 28 a^{8} + 38 a^{7} + 34 a^{6} + 17 a^{5} + 39 a^{4} + 21 a^{3} + 20 a^{2} + 36 a + 20\right)\cdot 43^{6} + \left(24 a^{11} + 4 a^{10} + 31 a^{9} + 41 a^{8} + a^{6} + 2 a^{5} + a^{4} + 2 a^{3} + 24 a^{2} + 41 a + 20\right)\cdot 43^{7} + \left(40 a^{11} + 25 a^{10} + 3 a^{9} + 14 a^{8} + 41 a^{7} + 42 a^{5} + 15 a^{4} + 13 a^{3} + 18 a^{2} + 39 a + 25\right)\cdot 43^{8} +O\left(43^{ 9 }\right)$ $r_{ 17 }$ $=$ $8 a^{11} + 19 a^{10} + 10 a^{9} + 13 a^{8} + 28 a^{7} + 5 a^{6} + 17 a^{5} + 3 a^{4} + 24 a^{3} + 16 a^{2} + 32 a + 18 + \left(23 a^{11} + 35 a^{10} + 23 a^{9} + 5 a^{7} + 26 a^{6} + 9 a^{5} + 2 a^{4} + 21 a^{3} + 32 a^{2} + 6 a + 27\right)\cdot 43 + \left(27 a^{11} + 9 a^{10} + 5 a^{9} + 11 a^{8} + 28 a^{7} + 38 a^{6} + 27 a^{5} + 2 a^{4} + 32 a^{3} + 35 a^{2} + 32 a + 4\right)\cdot 43^{2} + \left(25 a^{11} + 40 a^{10} + 32 a^{9} + 30 a^{8} + 39 a^{7} + 7 a^{6} + 5 a^{5} + 27 a^{4} + 23 a^{3} + 32 a^{2} + 2 a + 41\right)\cdot 43^{3} + \left(39 a^{11} + a^{10} + 22 a^{9} + 18 a^{8} + 31 a^{7} + 14 a^{6} + 37 a^{5} + 32 a^{4} + 11 a^{3} + 30 a^{2} + 21 a + 9\right)\cdot 43^{4} + \left(12 a^{11} + 2 a^{10} + 21 a^{9} + 25 a^{8} + 21 a^{7} + 16 a^{6} + 42 a^{5} + 3 a^{4} + 8 a^{3} + 22 a^{2} + 35 a + 39\right)\cdot 43^{5} + \left(22 a^{11} + 26 a^{10} + 16 a^{9} + 33 a^{8} + 11 a^{7} + 3 a^{6} + 38 a^{5} + 6 a^{4} + 29 a^{3} + 3 a^{2} + 34 a + 5\right)\cdot 43^{6} + \left(3 a^{11} + 18 a^{10} + 27 a^{9} + 32 a^{8} + 7 a^{7} + 25 a^{6} + 9 a^{5} + 20 a^{4} + 34 a^{3} + 18 a^{2} + 31 a + 24\right)\cdot 43^{7} + \left(15 a^{11} + 17 a^{10} + 42 a^{9} + 31 a^{8} + 11 a^{7} + 38 a^{6} + 15 a^{5} + 41 a^{4} + 5 a^{3} + 34 a^{2} + 27 a + 13\right)\cdot 43^{8} +O\left(43^{ 9 }\right)$ $r_{ 18 }$ $=$ $20 a^{11} + 11 a^{10} + 39 a^{9} + 31 a^{8} + 16 a^{7} + 36 a^{6} + 10 a^{5} + 27 a^{4} + 16 a^{3} + 31 a^{2} + 7 a + 26 + \left(34 a^{11} + 28 a^{10} + 2 a^{9} + 6 a^{8} + 7 a^{7} + 6 a^{6} + 36 a^{4} + 2 a^{3} + 36 a^{2} + 19 a + 24\right)\cdot 43 + \left(28 a^{11} + 15 a^{10} + 29 a^{9} + 7 a^{8} + 5 a^{7} + 20 a^{6} + 12 a^{5} + 17 a^{4} + 14 a^{3} + 26 a^{2} + 39 a + 20\right)\cdot 43^{2} + \left(24 a^{11} + 36 a^{10} + 16 a^{9} + 9 a^{8} + 23 a^{7} + 37 a^{6} + 42 a^{5} + 10 a^{4} + 27 a^{3} + 19 a^{2} + 9 a + 35\right)\cdot 43^{3} + \left(4 a^{11} + 15 a^{10} + 33 a^{9} + 9 a^{8} + 36 a^{7} + 4 a^{6} + 20 a^{5} + 29 a^{4} + 10 a^{3} + 18 a^{2} + 22 a + 8\right)\cdot 43^{4} + \left(29 a^{11} + 19 a^{10} + a^{9} + 24 a^{8} + 17 a^{7} + 9 a^{6} + 41 a^{5} + 12 a^{4} + 27 a^{3} + 23 a^{2} + 7 a + 14\right)\cdot 43^{5} + \left(39 a^{11} + 16 a^{10} + 16 a^{9} + 35 a^{7} + 3 a^{6} + 6 a^{5} + 25 a^{4} + 30 a^{3} + 30 a^{2} + 23 a + 20\right)\cdot 43^{6} + \left(38 a^{11} + 31 a^{10} + 29 a^{9} + 5 a^{8} + 4 a^{7} + 28 a^{6} + 32 a^{5} + 42 a^{4} + 18 a^{3} + a^{2} + 12 a + 10\right)\cdot 43^{7} + \left(34 a^{11} + 18 a^{10} + 16 a^{9} + 38 a^{8} + 5 a^{7} + 39 a^{6} + 9 a^{5} + 16 a^{4} + 3 a^{3} + 8 a^{2} + 22 a + 15\right)\cdot 43^{8} +O\left(43^{ 9 }\right)$ $r_{ 19 }$ $=$ $6 a^{11} + 17 a^{10} + 10 a^{9} + 34 a^{8} + 16 a^{7} + 18 a^{6} + 31 a^{5} + 39 a^{4} + 9 a^{3} + 36 a^{2} + 25 a + 17 + \left(18 a^{11} + 32 a^{9} + 40 a^{8} + 24 a^{7} + 36 a^{6} + 14 a^{5} + 23 a^{4} + 38 a^{3} + 36 a^{2} + 15 a + 41\right)\cdot 43 + \left(20 a^{11} + 39 a^{10} + 37 a^{9} + 42 a^{8} + 30 a^{7} + 7 a^{6} + 38 a^{5} + 35 a^{4} + 4 a^{3} + 9 a^{2} + 4 a + 28\right)\cdot 43^{2} + \left(a^{11} + 38 a^{10} + 7 a^{9} + 42 a^{8} + 37 a^{7} + 14 a^{5} + 24 a^{4} + 12 a^{3} + 37 a^{2} + a + 8\right)\cdot 43^{3} + \left(15 a^{11} + 29 a^{10} + 42 a^{9} + a^{8} + a^{7} + 40 a^{6} + 7 a^{5} + 32 a^{4} + 6 a^{3} + 27 a^{2} + 30 a + 12\right)\cdot 43^{4} + \left(14 a^{11} + 33 a^{10} + 23 a^{9} + 36 a^{8} + a^{7} + 33 a^{6} + 38 a^{5} + 6 a^{4} + 19 a^{3} + 27 a^{2} + 38 a + 38\right)\cdot 43^{5} + \left(8 a^{11} + 34 a^{9} + 3 a^{8} + 40 a^{7} + 27 a^{6} + 18 a^{5} + 11 a^{4} + 39 a^{3} + 6 a^{2} + 33 a + 17\right)\cdot 43^{6} + \left(19 a^{11} + 36 a^{10} + 9 a^{9} + 40 a^{8} + 34 a^{7} + 37 a^{6} + 42 a^{5} + 8 a^{4} + 41 a^{3} + 31 a^{2} + 16 a + 26\right)\cdot 43^{7} + \left(11 a^{11} + 20 a^{10} + 39 a^{9} + 24 a^{8} + 42 a^{7} + 7 a^{6} + 5 a^{5} + 19 a^{4} + 41 a^{3} + 37 a^{2} + 4 a + 33\right)\cdot 43^{8} +O\left(43^{ 9 }\right)$ $r_{ 20 }$ $=$ $27 a^{11} + 24 a^{10} + 7 a^{9} + 30 a^{8} + 5 a^{7} + 27 a^{6} + 32 a^{5} + 18 a^{4} + 38 a^{3} + 24 a^{2} + 40 a + 38 + \left(14 a^{11} + 5 a^{10} + a^{9} + 31 a^{8} + a^{7} + 5 a^{6} + 33 a^{4} + 41 a^{3} + 6 a^{2} + 33 a + 21\right)\cdot 43 + \left(13 a^{11} + 24 a^{10} + 20 a^{9} + 16 a^{8} + 27 a^{7} + a^{6} + 4 a^{5} + 9 a^{4} + 27 a^{3} + 34 a^{2} + 30 a + 19\right)\cdot 43^{2} + \left(23 a^{11} + 7 a^{10} + 32 a^{9} + 6 a^{8} + 11 a^{7} + 7 a^{6} + 18 a^{5} + 18 a^{4} + 31 a^{3} + 13 a^{2} + 32 a + 8\right)\cdot 43^{3} + \left(18 a^{11} + 33 a^{10} + 14 a^{9} + 37 a^{8} + 25 a^{7} + 3 a^{6} + 28 a^{5} + 2 a^{4} + 18 a^{3} + 3 a^{2} + 37 a + 6\right)\cdot 43^{4} + \left(29 a^{11} + 13 a^{10} + 33 a^{9} + 19 a^{8} + 26 a^{7} + 26 a^{6} + 19 a^{5} + 22 a^{4} + 3 a^{3} + 21 a^{2} + 3 a + 41\right)\cdot 43^{5} + \left(15 a^{11} + 18 a^{10} + 24 a^{9} + 18 a^{8} + 33 a^{7} + 25 a^{6} + 12 a^{5} + 41 a^{4} + 37 a^{3} + 31 a^{2} + 30 a + 22\right)\cdot 43^{6} + \left(3 a^{11} + 19 a^{10} + 36 a^{9} + 29 a^{8} + 21 a^{7} + 14 a^{6} + 21 a^{5} + 29 a^{4} + 21 a^{3} + 31 a^{2} + 41 a + 12\right)\cdot 43^{7} + \left(41 a^{11} + 4 a^{10} + 31 a^{9} + 28 a^{8} + 37 a^{7} + 32 a^{6} + 11 a^{5} + 22 a^{4} + 21 a^{3} + 8 a^{2} + 21 a + 37\right)\cdot 43^{8} +O\left(43^{ 9 }\right)$ $r_{ 21 }$ $=$ $6 a^{11} + 28 a^{10} + 30 a^{9} + 29 a^{8} + 2 a^{7} + 3 a^{6} + 23 a^{5} + 20 a^{4} + 18 a^{3} + 7 a^{2} + 21 a + 6 + \left(13 a^{11} + 19 a^{10} + 37 a^{9} + 23 a^{8} + 7 a^{7} + 34 a^{6} + 9 a^{5} + 7 a^{4} + 12 a^{3} + 35 a^{2} + 33 a\right)\cdot 43 + \left(42 a^{11} + 3 a^{10} + 25 a^{8} + 33 a^{7} + 5 a^{6} + 3 a^{5} + 34 a^{4} + 6 a^{3} + 27 a^{2} + 35 a + 26\right)\cdot 43^{2} + \left(9 a^{11} + 26 a^{10} + 37 a^{9} + 9 a^{8} + 42 a^{7} + 15 a^{6} + 5 a^{5} + 13 a^{4} + 41 a^{3} + a^{2} + 16 a + 7\right)\cdot 43^{3} + \left(40 a^{11} + 14 a^{10} + 24 a^{9} + 27 a^{8} + 14 a^{7} + 33 a^{6} + a^{5} + 8 a^{4} + 39 a^{3} + 34 a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 43^{4} + \left(8 a^{11} + 31 a^{10} + 31 a^{9} + 29 a^{8} + 26 a^{7} + 5 a^{6} + 10 a^{5} + 2 a^{4} + 10 a^{3} + 19 a^{2} + 22 a + 19\right)\cdot 43^{5} + \left(27 a^{11} + 11 a^{10} + 30 a^{9} + 42 a^{8} + 11 a^{7} + 40 a^{6} + 39 a^{5} + 39 a^{4} + 6 a^{3} + 15 a^{2} + 11 a + 37\right)\cdot 43^{6} + \left(25 a^{11} + 18 a^{10} + 32 a^{9} + 18 a^{7} + 7 a^{6} + 30 a^{5} + 12 a^{4} + 28 a^{3} + 35 a^{2} + 21 a + 8\right)\cdot 43^{7} + \left(8 a^{11} + 15 a^{10} + 3 a^{9} + 30 a^{8} + 17 a^{7} + 5 a^{6} + 41 a^{5} + 9 a^{4} + 11 a^{3} + 19 a + 22\right)\cdot 43^{8} +O\left(43^{ 9 }\right)$ $r_{ 22 }$ $=$ $14 a^{11} + 42 a^{10} + 26 a^{9} + 7 a^{8} + 4 a^{7} + 2 a^{6} + 39 a^{5} + 32 a^{4} + 9 a^{3} + 22 a^{2} + 20 a + \left(6 a^{11} + 15 a^{10} + 31 a^{9} + 36 a^{8} + 22 a^{7} + 15 a^{6} + 5 a^{5} + 20 a^{4} + 18 a^{3} + 27 a^{2} + 12 a + 3\right)\cdot 43 + \left(11 a^{11} + 22 a^{10} + 41 a^{9} + 8 a^{8} + 26 a^{7} + 13 a^{6} + 2 a^{4} + 33 a^{3} + 27 a^{2} + 2 a + 29\right)\cdot 43^{2} + \left(20 a^{11} + 39 a^{10} + 10 a^{9} + 29 a^{8} + 40 a^{7} + 32 a^{6} + 3 a^{5} + 6 a^{4} + 8 a^{3} + 27 a^{2} + 10 a + 1\right)\cdot 43^{3} + \left(18 a^{11} + 9 a^{10} + 10 a^{9} + 29 a^{8} + 12 a^{7} + 22 a^{6} + 36 a^{5} + 6 a^{4} + 14 a^{3} + 19 a^{2} + 29 a + 13\right)\cdot 43^{4} + \left(11 a^{11} + 17 a^{9} + 23 a^{8} + 3 a^{7} + 17 a^{6} + 10 a^{5} + 39 a^{4} + 33 a^{3} + 13 a^{2} + 9 a + 42\right)\cdot 43^{5} + \left(10 a^{11} + 3 a^{10} + 4 a^{9} + 40 a^{8} + 5 a^{7} + 16 a^{6} + 14 a^{5} + 6 a^{4} + 20 a^{3} + 3 a^{2} + 36 a + 7\right)\cdot 43^{6} + \left(38 a^{11} + 12 a^{10} + 2 a^{9} + 29 a^{8} + a^{7} + 29 a^{6} + 8 a^{5} + 19 a^{4} + 38 a^{3} + 17 a^{2} + a + 41\right)\cdot 43^{7} + \left(40 a^{11} + 34 a^{10} + 2 a^{9} + 37 a^{8} + 29 a^{6} + 7 a^{5} + 4 a^{4} + 23 a^{3} + 39 a^{2} + 23 a + 17\right)\cdot 43^{8} +O\left(43^{ 9 }\right)$ $r_{ 23 }$ $=$ $2 a^{11} + 29 a^{10} + 28 a^{9} + 7 a^{8} + 25 a^{7} + 18 a^{6} + a^{5} + 39 a^{4} + 29 a^{3} + 6 a^{2} + 15 a + 23 + \left(20 a^{11} + 2 a^{10} + 4 a^{9} + 39 a^{8} + 16 a^{7} + 41 a^{6} + 5 a^{5} + 28 a^{4} + 31 a^{3} + 22 a^{2} + 2 a + 30\right)\cdot 43 + \left(11 a^{11} + 23 a^{10} + 13 a^{9} + 40 a^{8} + 10 a^{7} + 42 a^{6} + 38 a^{5} + 29 a^{4} + 6 a^{3} + 7 a^{2} + 18 a + 6\right)\cdot 43^{2} + \left(40 a^{11} + 12 a^{10} + 8 a^{9} + 2 a^{8} + 32 a^{7} + 23 a^{6} + 14 a^{5} + 23 a^{4} + 10 a^{3} + 24 a^{2} + 18 a + 17\right)\cdot 43^{3} + \left(38 a^{11} + 22 a^{10} + 20 a^{9} + 3 a^{8} + 20 a^{7} + 39 a^{6} + 35 a^{5} + 36 a^{4} + 37 a^{3} + 13 a^{2} + 6 a + 4\right)\cdot 43^{4} + \left(24 a^{11} + 41 a^{10} + 4 a^{9} + 4 a^{8} + 26 a^{7} + 23 a^{6} + 9 a^{5} + 17 a^{4} + 23 a^{3} + 17 a^{2} + 40 a + 34\right)\cdot 43^{5} + \left(28 a^{11} + 11 a^{10} + 4 a^{9} + 36 a^{8} + 40 a^{7} + 38 a^{6} + 19 a^{5} + 5 a^{4} + 5 a^{3} + 5 a^{2} + 24 a + 40\right)\cdot 43^{6} + \left(39 a^{11} + 27 a^{10} + 19 a^{9} + 7 a^{8} + 28 a^{7} + 37 a^{6} + 33 a^{5} + 10 a^{4} + 35 a^{3} + 23 a^{2} + 36 a + 37\right)\cdot 43^{7} + \left(11 a^{11} + 32 a^{10} + 31 a^{9} + 6 a^{8} + 27 a^{7} + 5 a^{6} + 21 a^{5} + 28 a^{4} + 29 a^{3} + 27 a^{2} + 35 a + 35\right)\cdot 43^{8} +O\left(43^{ 9 }\right)$ $r_{ 24 }$ $=$ $34 a^{11} + 10 a^{10} + 32 a^{9} + 6 a^{8} + 40 a^{7} + 19 a^{6} + 4 a^{5} + 8 a^{4} + 17 a^{3} + 6 a^{2} + 12 a + 42 + \left(a^{11} + 4 a^{10} + 42 a^{8} + 33 a^{7} + 26 a^{6} + 9 a^{5} + 16 a^{4} + 6 a^{3} + 23 a^{2} + 23 a + 35\right)\cdot 43 + \left(20 a^{11} + 42 a^{10} + a^{9} + 41 a^{8} + 3 a^{7} + 18 a^{6} + 41 a^{5} + 25 a^{4} + 15 a^{3} + 11 a^{2} + 23 a + 22\right)\cdot 43^{2} + \left(9 a^{11} + 25 a^{10} + 35 a^{9} + 32 a^{8} + 22 a^{7} + 5 a^{6} + 35 a^{5} + a^{4} + 20 a^{3} + 6 a^{2} + 3 a + 24\right)\cdot 43^{3} + \left(4 a^{11} + 22 a^{10} + 23 a^{9} + 24 a^{8} + 4 a^{7} + 36 a^{6} + 7 a^{5} + 29 a^{4} + 4 a^{3} + 8 a^{2} + 4 a + 31\right)\cdot 43^{4} + \left(28 a^{11} + a^{10} + 30 a^{9} + 34 a^{8} + 38 a^{7} + 29 a^{6} + 11 a^{4} + 2 a^{3} + 13 a^{2} + 23 a + 22\right)\cdot 43^{5} + \left(14 a^{11} + 20 a^{9} + 19 a^{8} + 14 a^{7} + 23 a^{6} + 18 a^{5} + 8 a^{4} + 7 a^{3} + 25 a^{2} + 8 a + 30\right)\cdot 43^{6} + \left(17 a^{11} + 39 a^{10} + 16 a^{9} + 38 a^{8} + 37 a^{7} + 21 a^{6} + 13 a^{5} + 20 a^{4} + 37 a^{3} + 17 a^{2} + 40 a + 35\right)\cdot 43^{7} + \left(a^{11} + 4 a^{10} + 36 a^{9} + 22 a^{8} + 42 a^{7} + 35 a^{6} + 38 a^{5} + 36 a^{4} + 17 a^{3} + 18 a^{2} + 2 a + 28\right)\cdot 43^{8} +O\left(43^{ 9 }\right)$

### Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 24 }$

 Cycle notation $(2,12,23)(5,17,22)(8,15,13)(11,16,20)$ $(1,20,3,16,14,11)(2,7,23,24,12,4)(5,19,22,9,17,18)(6,15,21,8,10,13)$ $(1,7)(2,11)(3,24)(4,14)(5,8)(6,9)(10,19)(12,16)(13,22)(15,17)(18,21)(20,23)$ $(1,21,4,9,3,10,7,18,14,6,24,19)(2,5,20,13,12,17,11,8,23,22,16,15)$ $(1,6,7,9)(2,22,11,13)(3,21,24,18)(4,19,14,10)(5,16,8,12)(15,23,17,20)$

### Character values on conjugacy classes

 Size Order Action on $r_1, \ldots, r_{ 24 }$ Character values $c1$ $c2$ $c3$ $c4$ $1$ $1$ $()$ $2$ $2$ $2$ $2$ $1$ $2$ $(1,7)(2,11)(3,24)(4,14)(5,8)(6,9)(10,19)(12,16)(13,22)(15,17)(18,21)(20,23)$ $-2$ $-2$ $-2$ $-2$ $3$ $2$ $(1,16)(2,24)(3,11)(4,23)(5,9)(6,8)(7,12)(10,15)(13,21)(14,20)(17,19)(18,22)$ $0$ $0$ $0$ $0$ $3$ $2$ $(1,12)(2,3)(4,20)(5,6)(7,16)(8,9)(10,17)(11,24)(13,18)(14,23)(15,19)(21,22)$ $0$ $0$ $0$ $0$ $1$ $3$ $(1,3,14)(2,23,12)(4,7,24)(5,22,17)(6,21,10)(8,13,15)(9,18,19)(11,20,16)$ $-2 \zeta_{12}^{2}$ $2 \zeta_{12}^{2} - 2$ $2 \zeta_{12}^{2} - 2$ $-2 \zeta_{12}^{2}$ $1$ $3$ $(1,14,3)(2,12,23)(4,24,7)(5,17,22)(6,10,21)(8,15,13)(9,19,18)(11,16,20)$ $2 \zeta_{12}^{2} - 2$ $-2 \zeta_{12}^{2}$ $-2 \zeta_{12}^{2}$ $2 \zeta_{12}^{2} - 2$ $2$ $3$ $(1,3,14)(2,12,23)(4,7,24)(5,17,22)(6,21,10)(8,15,13)(9,18,19)(11,16,20)$ $-1$ $-1$ $-1$ $-1$ $2$ $3$ $(2,12,23)(5,17,22)(8,15,13)(11,16,20)$ $\zeta_{12}^{2}$ $-\zeta_{12}^{2} + 1$ $-\zeta_{12}^{2} + 1$ $\zeta_{12}^{2}$ $2$ $3$ $(2,23,12)(5,22,17)(8,13,15)(11,20,16)$ $-\zeta_{12}^{2} + 1$ $\zeta_{12}^{2}$ $\zeta_{12}^{2}$ $-\zeta_{12}^{2} + 1$ $1$ $4$ $(1,9,7,6)(2,13,11,22)(3,18,24,21)(4,10,14,19)(5,12,8,16)(15,20,17,23)$ $2 \zeta_{12}^{3}$ $2 \zeta_{12}^{3}$ $-2 \zeta_{12}^{3}$ $-2 \zeta_{12}^{3}$ $1$ $4$ $(1,6,7,9)(2,22,11,13)(3,21,24,18)(4,19,14,10)(5,16,8,12)(15,23,17,20)$ $-2 \zeta_{12}^{3}$ $-2 \zeta_{12}^{3}$ $2 \zeta_{12}^{3}$ $2 \zeta_{12}^{3}$ $3$ $4$ $(1,17,7,15)(2,10,11,19)(3,5,24,8)(4,13,14,22)(6,20,9,23)(12,21,16,18)$ $0$ $0$ $0$ $0$ $3$ $4$ $(1,15,7,17)(2,19,11,10)(3,8,24,5)(4,22,14,13)(6,23,9,20)(12,18,16,21)$ $0$ $0$ $0$ $0$ $1$ $6$ $(1,24,14,7,3,4)(2,20,12,11,23,16)(5,13,17,8,22,15)(6,18,10,9,21,19)$ $2 \zeta_{12}^{2}$ $-2 \zeta_{12}^{2} + 2$ $-2 \zeta_{12}^{2} + 2$ $2 \zeta_{12}^{2}$ $1$ $6$ $(1,4,3,7,14,24)(2,16,23,11,12,20)(5,15,22,8,17,13)(6,19,21,9,10,18)$ $-2 \zeta_{12}^{2} + 2$ $2 \zeta_{12}^{2}$ $2 \zeta_{12}^{2}$ $-2 \zeta_{12}^{2} + 2$ $2$ $6$ $(1,4,3,7,14,24)(2,20,12,11,23,16)(5,13,17,8,22,15)(6,19,21,9,10,18)$ $1$ $1$ $1$ $1$ $2$ $6$ $(1,7)(2,16,23,11,12,20)(3,24)(4,14)(5,15,22,8,17,13)(6,9)(10,19)(18,21)$ $-\zeta_{12}^{2}$ $\zeta_{12}^{2} - 1$ $\zeta_{12}^{2} - 1$ $-\zeta_{12}^{2}$ $2$ $6$ $(1,7)(2,20,12,11,23,16)(3,24)(4,14)(5,13,17,8,22,15)(6,9)(10,19)(18,21)$ $\zeta_{12}^{2} - 1$ $-\zeta_{12}^{2}$ $-\zeta_{12}^{2}$ $\zeta_{12}^{2} - 1$ $3$ $6$ $(1,20,3,16,14,11)(2,7,23,24,12,4)(5,19,22,9,17,18)(6,15,21,8,10,13)$ $0$ $0$ $0$ $0$ $3$ $6$ $(1,11,14,16,3,20)(2,4,12,24,23,7)(5,18,17,9,22,19)(6,13,10,8,21,15)$ $0$ $0$ $0$ $0$ $3$ $6$ $(1,23,3,12,14,2)(4,11,7,20,24,16)(5,10,22,6,17,21)(8,19,13,9,15,18)$ $0$ $0$ $0$ $0$ $3$ $6$ $(1,2,14,12,3,23)(4,16,24,20,7,11)(5,21,17,6,22,10)(8,18,15,9,13,19)$ $0$ $0$ $0$ $0$ $1$ $12$ $(1,21,4,9,3,10,7,18,14,6,24,19)(2,17,16,13,23,5,11,15,12,22,20,8)$ $2 \zeta_{12}^{3} - 2 \zeta_{12}$ $2 \zeta_{12}$ $-2 \zeta_{12}$ $-2 \zeta_{12}^{3} + 2 \zeta_{12}$ $1$ $12$ $(1,10,24,9,14,21,7,19,3,6,4,18)(2,5,20,13,12,17,11,8,23,22,16,15)$ $2 \zeta_{12}$ $2 \zeta_{12}^{3} - 2 \zeta_{12}$ $-2 \zeta_{12}^{3} + 2 \zeta_{12}$ $-2 \zeta_{12}$ $1$ $12$ $(1,18,4,6,3,19,7,21,14,9,24,10)(2,15,16,22,23,8,11,17,12,13,20,5)$ $-2 \zeta_{12}^{3} + 2 \zeta_{12}$ $-2 \zeta_{12}$ $2 \zeta_{12}$ $2 \zeta_{12}^{3} - 2 \zeta_{12}$ $1$ $12$ $(1,19,24,6,14,18,7,10,3,9,4,21)(2,8,20,22,12,15,11,5,23,13,16,17)$ $-2 \zeta_{12}$ $-2 \zeta_{12}^{3} + 2 \zeta_{12}$ $2 \zeta_{12}^{3} - 2 \zeta_{12}$ $2 \zeta_{12}$ $2$ $12$ $(1,21,4,9,3,10,7,18,14,6,24,19)(2,5,20,13,12,17,11,8,23,22,16,15)$ $\zeta_{12}^{3}$ $\zeta_{12}^{3}$ $-\zeta_{12}^{3}$ $-\zeta_{12}^{3}$ $2$ $12$ $(1,18,4,6,3,19,7,21,14,9,24,10)(2,8,20,22,12,15,11,5,23,13,16,17)$ $-\zeta_{12}^{3}$ $-\zeta_{12}^{3}$ $\zeta_{12}^{3}$ $\zeta_{12}^{3}$ $2$ $12$ $(1,6,7,9)(2,5,20,13,12,17,11,8,23,22,16,15)(3,21,24,18)(4,19,14,10)$ $-\zeta_{12}^{3} + \zeta_{12}$ $-\zeta_{12}$ $\zeta_{12}$ $\zeta_{12}^{3} - \zeta_{12}$ $2$ $12$ $(1,6,7,9)(2,17,16,13,23,5,11,15,12,22,20,8)(3,21,24,18)(4,19,14,10)$ $-\zeta_{12}$ $-\zeta_{12}^{3} + \zeta_{12}$ $\zeta_{12}^{3} - \zeta_{12}$ $\zeta_{12}$ $2$ $12$ $(1,9,7,6)(2,8,20,22,12,15,11,5,23,13,16,17)(3,18,24,21)(4,10,14,19)$ $\zeta_{12}^{3} - \zeta_{12}$ $\zeta_{12}$ $-\zeta_{12}$ $-\zeta_{12}^{3} + \zeta_{12}$ $2$ $12$ $(1,9,7,6)(2,15,16,22,23,8,11,17,12,13,20,5)(3,18,24,21)(4,10,14,19)$ $\zeta_{12}$ $\zeta_{12}^{3} - \zeta_{12}$ $-\zeta_{12}^{3} + \zeta_{12}$ $-\zeta_{12}$ $3$ $12$ $(1,13,24,17,14,8,7,22,3,15,4,5)(2,18,20,10,12,9,11,21,23,19,16,6)$ $0$ $0$ $0$ $0$ $3$ $12$ $(1,8,4,17,3,13,7,5,14,15,24,22)(2,9,16,10,23,18,11,6,12,19,20,21)$ $0$ $0$ $0$ $0$ $3$ $12$ $(1,22,24,15,14,5,7,13,3,17,4,8)(2,21,20,19,12,6,11,18,23,10,16,9)$ $0$ $0$ $0$ $0$ $3$ $12$ $(1,5,4,15,3,22,7,8,14,17,24,13)(2,6,16,19,23,21,11,9,12,10,20,18)$ $0$ $0$ $0$ $0$
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.