# Properties

 Label 2.1089.30t15.a.c Dimension $2$ Group $C_{15}\times S_3$ Conductor $1089$ Root number not computed Indicator $0$

# Related objects

## Basic invariants

 Dimension: $2$ Group: 30T15 Conductor: $$1089$$$$\medspace = 3^{2} \cdot 11^{2}$$ Artin stem field: 30.0.45711723244122563996456104229882472771.1 Galois orbit size: $8$ Smallest permutation container: 30T15 Parity: odd Determinant: 1.99.30t1.a.g Projective image: $S_3$ Projective stem field: 3.1.891.1

## Defining polynomial

 $f(x)$ $=$ $$x^{30} + 6 x^{28} - x^{27} + 14 x^{26} - x^{25} + 8 x^{24} + 13 x^{23} - 39 x^{22} + 37 x^{21} - 93 x^{20} + 30 x^{19} + 10 x^{18} - 13 x^{17} + 349 x^{16} + 77 x^{15} + 721 x^{14} + 575 x^{13} + 1026 x^{12} + 1233 x^{11} + 1137 x^{10} + 993 x^{9} + 501 x^{8} - 41 x^{7} - 253 x^{6} - 186 x^{5} - 58 x^{4} + 6 x^{3} + 14 x^{2} + 6 x + 1$$  .

The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 37 }$ to precision 8.

Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 37 }$: $$x^{15} + x^{7} + 31 x^{6} + 28 x^{5} + 27 x^{4} + 13 x^{3} + 34 x^{2} + 33 x + 35$$

Roots:
 $r_{ 1 }$ $=$ $$36 a^{14} + 23 a^{13} + 31 a^{12} + 31 a^{11} + 3 a^{10} + 16 a^{9} + 23 a^{8} + 32 a^{7} + a^{6} + 2 a^{5} + 24 a^{4} + 34 a^{3} + 26 a^{2} + 4 a + 25 + \left(31 a^{14} + 12 a^{13} + 12 a^{12} + 34 a^{11} + 33 a^{10} + 22 a^{9} + 23 a^{8} + 24 a^{7} + 31 a^{6} + 35 a^{5} + 26 a^{4} + a^{3} + 33 a^{2} + 35 a + 20\right)\cdot 37 + \left(25 a^{14} + 7 a^{13} + 6 a^{12} + 33 a^{11} + 2 a^{10} + 28 a^{9} + 21 a^{8} + 4 a^{7} + 16 a^{6} + 7 a^{5} + 9 a^{4} + 5 a^{3} + 33 a^{2} + 33 a + 22\right)\cdot 37^{2} + \left(29 a^{14} + 6 a^{13} + 16 a^{12} + 33 a^{11} + 23 a^{10} + 14 a^{9} + 23 a^{8} + 15 a^{7} + 17 a^{6} + 26 a^{5} + 19 a^{4} + 36 a^{3} + 36 a^{2} + 35 a + 3\right)\cdot 37^{3} + \left(4 a^{14} + 6 a^{13} + 32 a^{12} + 2 a^{11} + 29 a^{10} + 15 a^{9} + 29 a^{8} + 22 a^{7} + 15 a^{6} + 10 a^{5} + 11 a^{4} + 4 a^{3} + 10 a^{2} + 30 a + 16\right)\cdot 37^{4} + \left(7 a^{14} + 8 a^{13} + 10 a^{12} + 16 a^{11} + 21 a^{10} + 26 a^{9} + 15 a^{8} + 8 a^{7} + 14 a^{6} + 33 a^{5} + 31 a^{3} + 31 a^{2} + 10 a + 22\right)\cdot 37^{5} + \left(30 a^{14} + 10 a^{13} + 18 a^{12} + a^{11} + 13 a^{10} + 14 a^{9} + 6 a^{8} + 13 a^{7} + 13 a^{6} + 18 a^{5} + 10 a^{4} + 21 a^{3} + 36 a^{2} + 22 a + 14\right)\cdot 37^{6} + \left(4 a^{14} + 30 a^{13} + 8 a^{12} + 3 a^{11} + 16 a^{10} + 30 a^{9} + 21 a^{8} + 22 a^{7} + 25 a^{6} + 3 a^{5} + 5 a^{4} + 13 a^{3} + 9 a^{2} + 10 a + 21\right)\cdot 37^{7} +O(37^{8})$$ $r_{ 2 }$ $=$ $$9 a^{14} + 17 a^{13} + 18 a^{12} + 18 a^{11} + 24 a^{10} + 33 a^{9} + 23 a^{8} + a^{7} + 25 a^{6} + 9 a^{5} + 8 a^{4} + 2 a^{3} + 14 a^{2} + 31 a + 13 + \left(32 a^{14} + 7 a^{13} + 30 a^{12} + 2 a^{11} + 24 a^{10} + 33 a^{9} + a^{8} + 13 a^{7} + 33 a^{6} + 19 a^{5} + 6 a^{4} + 32 a^{3} + 26 a^{2} + 21\right)\cdot 37 + \left(18 a^{14} + a^{13} + 12 a^{12} + 4 a^{11} + 17 a^{10} + 14 a^{9} + 25 a^{8} + 10 a^{7} + 33 a^{6} + 6 a^{5} + 35 a^{4} + 29 a^{3} + 24 a^{2} + 24 a + 10\right)\cdot 37^{2} + \left(5 a^{14} + 27 a^{13} + a^{11} + 3 a^{10} + 13 a^{9} + 16 a^{8} + a^{7} + 17 a^{6} + 25 a^{5} + 19 a^{4} + 4 a^{3} + 17 a^{2} + a + 32\right)\cdot 37^{3} + \left(21 a^{14} + 27 a^{13} + 26 a^{12} + 9 a^{11} + 6 a^{10} + 35 a^{9} + 20 a^{8} + 32 a^{7} + 7 a^{6} + 10 a^{5} + 21 a^{4} + 13 a^{3} + 4 a^{2} + 23 a + 23\right)\cdot 37^{4} + \left(27 a^{14} + a^{13} + 16 a^{12} + 20 a^{11} + 16 a^{10} + 2 a^{9} + 29 a^{8} + 6 a^{7} + a^{6} + 3 a^{5} + 30 a^{4} + 3 a^{3} + 35 a^{2} + 7\right)\cdot 37^{5} + \left(31 a^{14} + 16 a^{13} + 24 a^{12} + 32 a^{11} + 33 a^{10} + 17 a^{9} + 25 a^{8} + 13 a^{7} + 6 a^{6} + 34 a^{4} + 25 a^{3} + 18 a^{2} + 24 a + 29\right)\cdot 37^{6} + \left(5 a^{14} + 30 a^{13} + 34 a^{12} + 16 a^{11} + 18 a^{10} + 3 a^{9} + 9 a^{8} + 20 a^{7} + 9 a^{6} + 32 a^{5} + 22 a^{4} + 10 a^{3} + 36 a^{2} + 35 a + 13\right)\cdot 37^{7} +O(37^{8})$$ $r_{ 3 }$ $=$ $$13 a^{14} + 3 a^{13} + 34 a^{12} + 23 a^{11} + 33 a^{10} + 32 a^{9} + 18 a^{8} + 28 a^{7} + 25 a^{6} + 18 a^{5} + 7 a^{4} + 32 a^{3} + 14 a^{2} + 33 a + 10 + \left(7 a^{14} + 10 a^{13} + 7 a^{12} + 7 a^{11} + 21 a^{10} + 5 a^{9} + 18 a^{8} + 28 a^{7} + 22 a^{6} + 13 a^{4} + 28 a^{3} + 10 a^{2} + 8 a + 31\right)\cdot 37 + \left(14 a^{14} + 14 a^{13} + 30 a^{12} + 29 a^{11} + 28 a^{10} + 35 a^{9} + 30 a^{8} + 34 a^{7} + 33 a^{6} + 17 a^{5} + 11 a^{4} + 18 a^{3} + 36 a^{2} + 11 a + 28\right)\cdot 37^{2} + \left(2 a^{14} + 5 a^{13} + 28 a^{11} + 26 a^{10} + 3 a^{9} + 25 a^{8} + 25 a^{7} + 13 a^{6} + 28 a^{5} + 11 a^{4} + 24 a^{3} + a^{2} + 32 a + 18\right)\cdot 37^{3} + \left(12 a^{14} + 15 a^{13} + 27 a^{12} + 25 a^{11} + 28 a^{10} + 17 a^{9} + 5 a^{8} + 19 a^{7} + 20 a^{6} + 8 a^{5} + 18 a^{4} + 32 a^{3} + 19 a^{2} + 29 a + 2\right)\cdot 37^{4} + \left(22 a^{14} + 27 a^{13} + 7 a^{12} + 36 a^{11} + 2 a^{10} + 7 a^{9} + 11 a^{8} + 2 a^{7} + 28 a^{6} + 18 a^{5} + 24 a^{4} + 12 a^{3} + 3 a^{2} + 12 a + 5\right)\cdot 37^{5} + \left(2 a^{14} + 27 a^{12} + 25 a^{11} + 6 a^{10} + 31 a^{8} + 9 a^{7} + 9 a^{6} + 14 a^{5} + 36 a^{4} + 7 a^{3} + 27 a^{2} + 33 a + 22\right)\cdot 37^{6} + \left(29 a^{14} + 2 a^{13} + 8 a^{12} + 34 a^{11} + 3 a^{10} + 23 a^{9} + 17 a^{8} + 15 a^{7} + 13 a^{6} + 28 a^{5} + 27 a^{4} + 26 a^{3} + 23 a^{2} + 33 a + 26\right)\cdot 37^{7} +O(37^{8})$$ $r_{ 4 }$ $=$ $$7 a^{14} + 30 a^{13} + 18 a^{12} + 7 a^{11} + 25 a^{10} + 36 a^{9} + 19 a^{8} + 6 a^{7} + 26 a^{6} + 35 a^{5} + 31 a^{4} + 9 a^{3} + 28 a^{2} + 15 a + 4 + \left(17 a^{14} + 6 a^{13} + 8 a^{12} + 29 a^{11} + 23 a^{10} + 32 a^{9} + 21 a^{8} + 29 a^{7} + a^{6} + 13 a^{5} + 34 a^{4} + 17 a^{3} + 2 a^{2} + 18 a + 16\right)\cdot 37 + \left(14 a^{14} + 6 a^{13} + 15 a^{12} + 36 a^{11} + 24 a^{10} + 2 a^{9} + 11 a^{8} + 16 a^{7} + 15 a^{6} + 8 a^{5} + 8 a^{4} + 13 a^{3} + 22 a + 36\right)\cdot 37^{2} + \left(16 a^{14} + 5 a^{13} + 24 a^{12} + 32 a^{11} + 19 a^{10} + 27 a^{9} + 33 a^{8} + 27 a^{7} + 31 a^{6} + 31 a^{5} + 15 a^{4} + 4 a^{3} + 29 a^{2} + 11 a + 32\right)\cdot 37^{3} + \left(16 a^{14} + 14 a^{13} + 7 a^{12} + 24 a^{11} + 24 a^{10} + 30 a^{9} + 31 a^{8} + 18 a^{7} + 30 a^{6} + 27 a^{5} + 9 a^{4} + 19 a^{3} + 13 a^{2} + 3 a + 8\right)\cdot 37^{4} + \left(17 a^{14} + 31 a^{13} + 26 a^{12} + 3 a^{11} + 31 a^{10} + 7 a^{9} + 19 a^{8} + 21 a^{7} + 33 a^{6} + 17 a^{5} + 24 a^{4} + 14 a^{3} + 29 a^{2} + 31 a + 26\right)\cdot 37^{5} + \left(35 a^{14} + 34 a^{13} + 10 a^{12} + 23 a^{11} + 4 a^{10} + 8 a^{9} + 12 a^{8} + 6 a^{7} + 13 a^{6} + 12 a^{5} + a^{4} + 27 a^{2} + 24 a + 12\right)\cdot 37^{6} + \left(22 a^{14} + 6 a^{13} + 34 a^{12} + 11 a^{11} + 15 a^{10} + 32 a^{9} + 10 a^{8} + 23 a^{7} + 12 a^{6} + 6 a^{5} + 32 a^{4} + 12 a^{3} + 30 a^{2} + 2 a + 10\right)\cdot 37^{7} +O(37^{8})$$ $r_{ 5 }$ $=$ $$21 a^{14} + 28 a^{12} + 4 a^{11} + 26 a^{9} + 30 a^{8} + a^{7} + 29 a^{6} + a^{5} + 30 a^{4} + 33 a^{3} + 35 a^{2} + 13 a + 22 + \left(23 a^{14} + 3 a^{13} + 3 a^{12} + 23 a^{11} + 13 a^{10} + 21 a^{9} + 9 a^{8} + 29 a^{7} + 33 a^{6} + 25 a^{5} + 9 a^{4} + 34 a^{3} + 24 a^{2} + 8 a + 28\right)\cdot 37 + \left(30 a^{14} + 28 a^{13} + 8 a^{12} + 18 a^{11} + 8 a^{10} + 26 a^{9} + a^{8} + 13 a^{7} + 7 a^{6} + 23 a^{5} + 25 a^{4} + 13 a^{3} + 29 a^{2} + 32 a + 18\right)\cdot 37^{2} + \left(24 a^{14} + 3 a^{13} + 4 a^{12} + 10 a^{11} + 15 a^{10} + 35 a^{9} + 15 a^{8} + 10 a^{7} + 10 a^{6} + 32 a^{5} + 8 a^{4} + 28 a^{3} + 7 a^{2} + 12 a + 4\right)\cdot 37^{3} + \left(15 a^{14} + 7 a^{13} + 28 a^{12} + 20 a^{11} + 26 a^{9} + 34 a^{8} + 30 a^{7} + 23 a^{6} + 9 a^{5} + 8 a^{4} + 22 a^{3} + 24 a^{2} + 17 a + 19\right)\cdot 37^{4} + \left(13 a^{14} + 20 a^{13} + 27 a^{12} + 21 a^{11} + 22 a^{10} + 35 a^{9} + 3 a^{8} + 10 a^{7} + 10 a^{6} + 35 a^{5} + 20 a^{4} + 34 a^{3} + 29 a^{2} + 11 a + 11\right)\cdot 37^{5} + \left(14 a^{14} + 11 a^{12} + 8 a^{11} + 17 a^{10} + 23 a^{9} + 10 a^{8} + 25 a^{7} + 14 a^{4} + 34 a^{3} + 23 a^{2} + 18 a + 3\right)\cdot 37^{6} + \left(8 a^{14} + 12 a^{13} + 28 a^{12} + 20 a^{11} + a^{9} + 33 a^{8} + 7 a^{7} + 29 a^{6} + 11 a^{5} + 22 a^{4} + 34 a^{3} + 19 a^{2} + 8\right)\cdot 37^{7} +O(37^{8})$$ $r_{ 6 }$ $=$ $$a^{14} + 16 a^{13} + 15 a^{12} + 6 a^{11} + 6 a^{10} + 4 a^{9} + 15 a^{7} + 34 a^{6} + 23 a^{5} + 10 a^{4} + 2 a^{3} + 12 a + 36 + \left(8 a^{14} + 6 a^{13} + 22 a^{12} + 28 a^{11} + 3 a^{10} + 36 a^{9} + 10 a^{8} + 25 a^{7} + 34 a^{6} + 14 a^{5} + 2 a^{4} + 28 a^{3} + 22 a^{2} + 3 a + 31\right)\cdot 37 + \left(22 a^{14} + 17 a^{13} + 10 a^{12} + 15 a^{11} + 20 a^{10} + 19 a^{9} + a^{8} + 20 a^{7} + 31 a^{6} + 14 a^{5} + 17 a^{4} + 25 a^{3} + 15 a^{2} + 3 a + 28\right)\cdot 37^{2} + \left(10 a^{14} + 28 a^{13} + 14 a^{12} + 18 a^{11} + 27 a^{10} + 28 a^{9} + 8 a^{8} + 22 a^{7} + 3 a^{6} + 15 a^{5} + 22 a^{4} + 15 a^{3} + 9 a^{2} + 8 a + 36\right)\cdot 37^{3} + \left(32 a^{14} + 6 a^{13} + 11 a^{12} + 28 a^{11} + 16 a^{10} + 22 a^{9} + 29 a^{8} + 34 a^{7} + 35 a^{6} + 29 a^{5} + 15 a^{4} + 10 a^{3} + 10 a^{2} + 25 a + 20\right)\cdot 37^{4} + \left(3 a^{13} + 23 a^{12} + 3 a^{11} + 32 a^{10} + 14 a^{9} + 30 a^{8} + 35 a^{7} + 18 a^{6} + 7 a^{5} + 4 a^{4} + 3 a^{3} + 3 a^{2} + 9 a + 14\right)\cdot 37^{5} + \left(36 a^{14} + 16 a^{13} + 20 a^{12} + 31 a^{11} + 25 a^{10} + 7 a^{8} + 28 a^{7} + 15 a^{6} + 6 a^{5} + 32 a^{4} + 35 a^{3} + 19 a^{2} + 24 a + 27\right)\cdot 37^{6} + \left(2 a^{14} + 35 a^{13} + 23 a^{12} + 18 a^{11} + 6 a^{10} + 32 a^{9} + 7 a^{8} + 31 a^{7} + 35 a^{6} + 9 a^{5} + 22 a^{4} + 6 a^{3} + 6 a^{2} + 17 a + 23\right)\cdot 37^{7} +O(37^{8})$$ $r_{ 7 }$ $=$ $$23 a^{14} + 18 a^{13} + 25 a^{12} + 8 a^{11} + 35 a^{10} + a^{9} + 19 a^{8} + 31 a^{7} + 15 a^{6} + 33 a^{5} + 20 a^{4} + 3 a^{3} + 23 a^{2} + 29 a + 28 + \left(21 a^{14} + 20 a^{13} + 6 a^{12} + a^{11} + 11 a^{10} + 32 a^{9} + 8 a^{8} + 19 a^{7} + 16 a^{6} + 21 a^{5} + 21 a^{4} + 17 a^{3} + 4 a^{2} + 24 a + 10\right)\cdot 37 + \left(5 a^{13} + 33 a^{12} + 29 a^{11} + 25 a^{10} + 18 a^{9} + 5 a^{8} + 18 a^{7} + 8 a^{6} + 5 a^{5} + 8 a^{4} + 29 a^{3} + 22 a^{2} + 22 a + 16\right)\cdot 37^{2} + \left(24 a^{14} + 3 a^{13} + 21 a^{12} + 26 a^{11} + 19 a^{10} + 4 a^{9} + 3 a^{8} + 25 a^{7} + 19 a^{6} + 30 a^{5} + 3 a^{4} + 33 a^{3} + 25 a^{2} + 33 a + 18\right)\cdot 37^{3} + \left(29 a^{14} + 15 a^{13} + 35 a^{12} + 19 a^{11} + 28 a^{10} + 34 a^{9} + 2 a^{8} + 19 a^{7} + 18 a^{6} + 35 a^{5} + 3 a^{4} + 30 a^{3} + 7 a^{2} + 18 a + 13\right)\cdot 37^{4} + \left(13 a^{14} + 6 a^{13} + 5 a^{12} + 33 a^{11} + a^{10} + 14 a^{9} + 32 a^{8} + 35 a^{7} + 26 a^{6} + 10 a^{5} + 8 a^{4} + 20 a^{3} + 30 a^{2} + 14 a + 17\right)\cdot 37^{5} + \left(35 a^{14} + 20 a^{13} + 26 a^{12} + 16 a^{11} + 5 a^{10} + 36 a^{9} + 34 a^{8} + 35 a^{7} + 11 a^{6} + 16 a^{5} + 5 a^{4} + 31 a^{3} + 27 a^{2} + 16 a + 24\right)\cdot 37^{6} + \left(4 a^{14} + 36 a^{13} + 4 a^{12} + 20 a^{11} + 27 a^{10} + 18 a^{9} + 11 a^{8} + 26 a^{7} + 25 a^{6} + 36 a^{5} + 23 a^{4} + 3 a^{3} + 6 a^{2} + 22 a + 23\right)\cdot 37^{7} +O(37^{8})$$ $r_{ 8 }$ $=$ $$16 a^{14} + 29 a^{13} + 18 a^{12} + 22 a^{11} + 12 a^{10} + 7 a^{9} + 25 a^{8} + 35 a^{7} + 12 a^{6} + 26 a^{5} + 11 a^{4} + 14 a^{3} + 31 a^{2} + 31 a + 19 + \left(18 a^{14} + 5 a^{13} + 4 a^{12} + 17 a^{11} + 27 a^{10} + 10 a^{9} + 22 a^{8} + a^{7} + 9 a^{6} + 21 a^{5} + 26 a^{4} + 31 a^{3} + 4 a^{2} + 12 a + 19\right)\cdot 37 + \left(15 a^{14} + 30 a^{13} + 3 a^{12} + 35 a^{11} + 29 a^{10} + 14 a^{9} + 5 a^{8} + 28 a^{7} + 22 a^{5} + 5 a^{3} + 36 a^{2} + 33 a + 33\right)\cdot 37^{2} + \left(13 a^{14} + 19 a^{13} + 19 a^{12} + 4 a^{11} + 34 a^{10} + 24 a^{9} + 22 a^{8} + 14 a^{7} + 26 a^{6} + 4 a^{5} + 8 a^{4} + 4 a^{3} + 19 a^{2} + 34 a + 3\right)\cdot 37^{3} + \left(23 a^{14} + 4 a^{13} + 28 a^{12} + 21 a^{11} + 13 a^{10} + 24 a^{9} + 21 a^{8} + 6 a^{7} + 7 a^{6} + 6 a^{5} + 34 a^{4} + 11 a^{2} + 7\right)\cdot 37^{4} + \left(29 a^{14} + 7 a^{13} + 12 a^{12} + 31 a^{11} + 36 a^{10} + 11 a^{9} + 16 a^{8} + 19 a^{7} + 3 a^{6} + 19 a^{5} + 36 a^{4} + 15 a^{3} + 17 a + 20\right)\cdot 37^{5} + \left(21 a^{14} + 25 a^{13} + 34 a^{12} + 13 a^{11} + 28 a^{10} + 27 a^{9} + 26 a^{8} + 25 a^{7} + 8 a^{6} + 3 a^{5} + 33 a^{4} + 10 a^{3} + 30 a^{2} + 24 a + 32\right)\cdot 37^{6} + \left(17 a^{14} + 28 a^{12} + 13 a^{11} + 29 a^{9} + 21 a^{8} + 12 a^{7} + 30 a^{6} + 2 a^{5} + 13 a^{4} + 28 a^{3} + 19 a^{2} + 19 a + 36\right)\cdot 37^{7} +O(37^{8})$$ $r_{ 9 }$ $=$ $$14 a^{13} + 12 a^{12} + 22 a^{10} + 20 a^{9} + 15 a^{8} + 15 a^{7} + 35 a^{6} + 21 a^{5} + 33 a^{4} + 28 a^{3} + 25 a^{2} + 27 a + 33 + \left(30 a^{14} + 2 a^{12} + 12 a^{11} + 18 a^{10} + 22 a^{9} + 25 a^{8} + 26 a^{6} + 6 a^{5} + 17 a^{4} + 27 a^{3} + 11 a^{2} + 23 a + 10\right)\cdot 37 + \left(9 a^{14} + 15 a^{13} + 17 a^{12} + 17 a^{11} + 6 a^{10} + 15 a^{9} + 20 a^{8} + 20 a^{7} + 20 a^{6} + 5 a^{5} + 36 a^{4} + 2 a^{3} + 18 a^{2} + 19 a + 15\right)\cdot 37^{2} + \left(31 a^{14} + 18 a^{13} + 13 a^{12} + 5 a^{11} + 22 a^{10} + 9 a^{9} + 10 a^{8} + 34 a^{7} + 8 a^{6} + 29 a^{5} + 4 a^{4} + 35 a^{3} + 29 a^{2} + a + 17\right)\cdot 37^{3} + \left(33 a^{14} + 7 a^{13} + 2 a^{12} + 3 a^{11} + 32 a^{10} + 9 a^{9} + 31 a^{8} + 9 a^{7} + 36 a^{6} + 18 a^{5} + 16 a^{4} + a^{3} + 9 a^{2} + 20 a + 11\right)\cdot 37^{4} + \left(11 a^{14} + 26 a^{13} + 30 a^{12} + 10 a^{11} + 29 a^{10} + 26 a^{9} + 12 a^{8} + 32 a^{7} + 20 a^{6} + 34 a^{5} + 24 a^{4} + 33 a^{3} + 21 a^{2} + 35 a + 3\right)\cdot 37^{5} + \left(11 a^{14} + 9 a^{13} + a^{12} + 25 a^{11} + 21 a^{10} + 11 a^{9} + 35 a^{8} + a^{7} + 11 a^{6} + 18 a^{5} + 9 a^{4} + 12 a^{3} + 36 a^{2} + 33 a + 34\right)\cdot 37^{6} + \left(5 a^{13} + 13 a^{12} + 36 a^{11} + 35 a^{10} + 18 a^{9} + 31 a^{8} + 22 a^{7} + 32 a^{6} + 35 a^{5} + 29 a^{4} + 10 a^{3} + 16 a^{2} + 9 a + 25\right)\cdot 37^{7} +O(37^{8})$$ $r_{ 10 }$ $=$ $$26 a^{14} + 36 a^{13} + 33 a^{12} + a^{11} + 10 a^{10} + 31 a^{9} + 15 a^{8} + 33 a^{7} + 21 a^{6} + 32 a^{5} + 33 a^{4} + 30 a^{3} + 5 a^{2} + 23 a + 26 + \left(24 a^{14} + 9 a^{13} + 12 a^{12} + 33 a^{10} + 21 a^{9} + 28 a^{8} + 12 a^{7} + 35 a^{6} + 20 a^{5} + 21 a^{4} + 23 a^{3} + 12 a^{2} + 12 a + 11\right)\cdot 37 + \left(33 a^{14} + 5 a^{13} + 9 a^{12} + 24 a^{11} + 29 a^{10} + 10 a^{9} + 18 a^{8} + 11 a^{7} + 33 a^{6} + 16 a^{5} + 17 a^{4} + 23 a^{3} + 33 a^{2} + a + 11\right)\cdot 37^{2} + \left(24 a^{14} + 9 a^{13} + 31 a^{12} + 28 a^{11} + 14 a^{9} + 27 a^{8} + 20 a^{7} + 15 a^{6} + 7 a^{5} + 16 a^{4} + 18 a^{3} + a^{2} + 3 a + 9\right)\cdot 37^{3} + \left(11 a^{14} + 2 a^{13} + a^{12} + 32 a^{10} + 26 a^{9} + 30 a^{8} + 16 a^{7} + 30 a^{6} + 28 a^{5} + 31 a^{4} + 16 a^{3} + a^{2} + 4 a + 6\right)\cdot 37^{4} + \left(19 a^{14} + 3 a^{13} + 18 a^{12} + 31 a^{11} + 24 a^{9} + a^{8} + 7 a^{7} + 22 a^{6} + 26 a^{5} + 29 a^{4} + 22 a^{3} + 5 a^{2} + 24 a + 15\right)\cdot 37^{5} + \left(27 a^{14} + 30 a^{13} + 25 a^{12} + 4 a^{11} + 34 a^{10} + 12 a^{9} + 24 a^{8} + 13 a^{7} + 13 a^{6} + 15 a^{5} + 19 a^{4} + 10 a^{3} + 19 a^{2} + 36 a + 28\right)\cdot 37^{6} + \left(3 a^{14} + 26 a^{13} + 7 a^{12} + 7 a^{11} + 29 a^{10} + a^{9} + 32 a^{8} + 14 a^{7} + 10 a^{5} + 13 a^{4} + 12 a^{3} + 25 a^{2} + 4 a\right)\cdot 37^{7} +O(37^{8})$$ $r_{ 11 }$ $=$ $$25 a^{14} + 26 a^{13} + 2 a^{12} + 13 a^{11} + 36 a^{10} + 34 a^{9} + 27 a^{8} + 36 a^{7} + 22 a^{6} + 14 a^{5} + 25 a^{4} + 5 a^{3} + 18 a^{2} + 11 a + 35 + \left(33 a^{14} + 30 a^{13} + 10 a^{12} + 12 a^{11} + 24 a^{10} + 33 a^{9} + 7 a^{8} + 34 a^{7} + 6 a^{6} + 30 a^{5} + 6 a^{4} + 26 a^{3} + a^{2} + 30 a + 7\right)\cdot 37 + \left(17 a^{14} + 14 a^{13} + 23 a^{12} + 26 a^{11} + 8 a^{10} + 32 a^{9} + 32 a^{8} + 19 a^{7} + 10 a^{6} + 24 a^{5} + 17 a^{4} + 35 a^{3} + 30 a^{2} + 35 a + 5\right)\cdot 37^{2} + \left(10 a^{14} + 32 a^{13} + 8 a^{12} + 10 a^{10} + a^{9} + 20 a^{8} + 23 a^{7} + 14 a^{6} + 6 a^{5} + 30 a^{4} + 30 a^{3} + 15 a^{2} + 3 a + 3\right)\cdot 37^{3} + \left(33 a^{14} + 7 a^{13} + 30 a^{12} + 30 a^{11} + 24 a^{10} + 29 a^{9} + 4 a^{8} + 23 a^{7} + 35 a^{6} + 12 a^{5} + 14 a^{4} + 28 a^{3} + 5 a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 37^{4} + \left(15 a^{14} + 32 a^{13} + 7 a^{12} + 35 a^{11} + 26 a^{10} + 20 a^{9} + 10 a^{8} + 8 a^{7} + 4 a^{6} + 27 a^{5} + 23 a^{4} + 2 a^{3} + 6 a^{2} + 25 a + 23\right)\cdot 37^{5} + \left(31 a^{14} + 16 a^{13} + a^{12} + 12 a^{10} + 27 a^{9} + 32 a^{8} + 9 a^{7} + 19 a^{6} + 29 a^{5} + 14 a^{4} + 8 a^{3} + 8 a^{2} + 25 a + 14\right)\cdot 37^{6} + \left(4 a^{14} + 3 a^{13} + 22 a^{12} + 30 a^{11} + 15 a^{10} + 14 a^{9} + 10 a^{8} + 25 a^{7} + 9 a^{6} + 31 a^{5} + 14 a^{4} + 12 a^{3} + 23 a^{2} + 36 a + 8\right)\cdot 37^{7} +O(37^{8})$$ $r_{ 12 }$ $=$ $$10 a^{14} + 21 a^{13} + 31 a^{12} + 11 a^{11} + 23 a^{10} + 26 a^{9} + 25 a^{8} + 21 a^{7} + 6 a^{6} + 17 a^{5} + 29 a^{4} + 12 a^{3} + 4 a^{2} + 36 a + 8 + \left(2 a^{14} + 5 a^{13} + 12 a^{12} + 7 a^{11} + 9 a^{10} + 29 a^{9} + 35 a^{8} + 11 a^{7} + a^{6} + 10 a^{4} + 32 a^{3} + 11 a^{2} + 35 a + 32\right)\cdot 37 + \left(14 a^{14} + 30 a^{13} + 35 a^{12} + 34 a^{10} + 14 a^{9} + 13 a^{8} + 15 a^{7} + 17 a^{6} + 16 a^{5} + 18 a^{4} + 36 a^{3} + 25 a^{2} + 6 a + 22\right)\cdot 37^{2} + \left(29 a^{14} + 23 a^{13} + 20 a^{12} + 28 a^{11} + 12 a^{10} + 5 a^{9} + a^{8} + 25 a^{7} + 14 a^{6} + 23 a^{5} + 18 a^{4} + 25 a^{3} + 33 a^{2} + 32 a + 15\right)\cdot 37^{3} + \left(27 a^{14} + 35 a^{13} + 33 a^{11} + 6 a^{10} + 5 a^{9} + 29 a^{7} + 12 a^{6} + 10 a^{5} + 4 a^{4} + 18 a^{3} + 13 a^{2} + 24 a + 17\right)\cdot 37^{4} + \left(12 a^{14} + 29 a^{13} + 6 a^{12} + 2 a^{11} + 3 a^{10} + 30 a^{9} + 31 a^{8} + 11 a^{7} + 15 a^{6} + 29 a^{5} + 20 a^{4} + 22 a^{3} + 22 a^{2} + 24 a + 14\right)\cdot 37^{5} + \left(2 a^{14} + 28 a^{13} + 13 a^{12} + 19 a^{11} + 7 a^{10} + 34 a^{9} + 16 a^{8} + 25 a^{7} + 34 a^{6} + 19 a^{5} + 21 a^{4} + 29 a^{3} + 22 a^{2} + 10 a + 19\right)\cdot 37^{6} + \left(29 a^{14} + 27 a^{13} + 13 a^{12} + 22 a^{11} + 2 a^{10} + 3 a^{9} + 20 a^{8} + 6 a^{7} + 27 a^{6} + a^{5} + 8 a^{4} + 6 a^{3} + 25 a^{2} + 5 a + 18\right)\cdot 37^{7} +O(37^{8})$$ $r_{ 13 }$ $=$ $$31 a^{14} + 3 a^{13} + 2 a^{12} + 10 a^{11} + 22 a^{10} + 30 a^{9} + 29 a^{8} + 32 a^{7} + 34 a^{6} + 25 a^{5} + 20 a^{4} + 15 a^{3} + 23 a^{2} + 27 a + 36 + \left(21 a^{14} + 28 a^{13} + 15 a^{12} + 25 a^{11} + 31 a^{10} + 27 a^{9} + 8 a^{8} + 7 a^{7} + 32 a^{6} + 2 a^{5} + 18 a^{4} + 25 a^{3} + 27 a^{2} + a + 29\right)\cdot 37 + \left(2 a^{14} + 22 a^{13} + 18 a^{12} + 29 a^{11} + 12 a^{10} + 34 a^{9} + 3 a^{8} + 13 a^{7} + 16 a^{6} + 10 a^{5} + 8 a^{4} + 15 a^{3} + 22 a^{2} + 4 a + 34\right)\cdot 37^{2} + \left(24 a^{14} + 7 a^{13} + 31 a^{12} + 30 a^{11} + 2 a^{10} + 7 a^{9} + 30 a^{8} + 18 a^{7} + 10 a^{6} + 23 a^{5} + a^{4} + 33 a^{3} + 30 a^{2} + 9 a + 23\right)\cdot 37^{3} + \left(18 a^{14} + 32 a^{13} + 23 a^{12} + 12 a^{11} + 24 a^{10} + 18 a^{9} + 32 a^{8} + 13 a^{7} + 13 a^{6} + 14 a^{5} + 15 a^{4} + 32 a^{3} + 36 a + 11\right)\cdot 37^{4} + \left(7 a^{14} + 30 a^{13} + 2 a^{12} + 30 a^{11} + a^{10} + 5 a^{9} + 25 a^{8} + 21 a^{6} + 33 a^{5} + 31 a^{4} + 25 a^{3} + 10 a^{2} + 16 a + 36\right)\cdot 37^{5} + \left(11 a^{14} + 16 a^{13} + 18 a^{12} + 22 a^{11} + 10 a^{10} + 2 a^{9} + 7 a^{8} + 18 a^{7} + 17 a^{6} + 25 a^{5} + 28 a^{4} + 22 a^{3} + 31 a^{2} + 3 a + 7\right)\cdot 37^{6} + \left(26 a^{14} + 3 a^{13} + 16 a^{12} + 2 a^{11} + 32 a^{10} + 15 a^{9} + 25 a^{8} + 21 a^{7} + 36 a^{6} + 10 a^{5} + 25 a^{4} + 29 a^{3} + 4 a^{2} + 35 a + 28\right)\cdot 37^{7} +O(37^{8})$$ $r_{ 14 }$ $=$ $$13 a^{14} + 30 a^{13} + 24 a^{12} + 7 a^{11} + 2 a^{10} + 12 a^{9} + 4 a^{8} + 29 a^{7} + 35 a^{6} + 2 a^{5} + 34 a^{4} + 5 a^{3} + 22 a^{2} + 15 a + 31 + \left(2 a^{14} + 31 a^{13} + 11 a^{12} + 5 a^{11} + 32 a^{10} + 20 a^{9} + 25 a^{8} + 34 a^{7} + 31 a^{6} + 17 a^{5} + 16 a^{4} + 14 a^{3} + 7 a^{2} + 27 a + 10\right)\cdot 37 + \left(2 a^{14} + 30 a^{13} + 19 a^{12} + 25 a^{11} + 6 a^{10} + 30 a^{9} + 28 a^{8} + 19 a^{7} + 27 a^{6} + 18 a^{5} + 24 a^{4} + 34 a^{3} + 14 a^{2} + 2 a + 10\right)\cdot 37^{2} + \left(9 a^{14} + 9 a^{13} + 11 a^{12} + 36 a^{11} + 6 a^{9} + 5 a^{8} + 3 a^{7} + 23 a^{6} + 8 a^{5} + 9 a^{4} + 13 a^{3} + 5 a + 31\right)\cdot 37^{3} + \left(11 a^{14} + 36 a^{13} + 28 a^{12} + 9 a^{11} + 21 a^{10} + 33 a^{9} + 11 a^{8} + a^{7} + 31 a^{6} + 30 a^{5} + 3 a^{4} + 9 a^{3} + 4 a^{2} + 24 a + 11\right)\cdot 37^{4} + \left(6 a^{14} + 36 a^{13} + 16 a^{12} + 33 a^{11} + 20 a^{10} + 32 a^{9} + 36 a^{8} + 14 a^{7} + 29 a^{6} + 30 a^{5} + 25 a^{4} + 33 a^{2} + 35 a + 9\right)\cdot 37^{5} + \left(24 a^{14} + 17 a^{13} + 11 a^{12} + 32 a^{11} + 30 a^{10} + 5 a^{9} + 7 a^{8} + 20 a^{7} + 14 a^{6} + 21 a^{5} + 25 a^{4} + 26 a^{3} + 22 a^{2} + 9 a + 11\right)\cdot 37^{6} + \left(11 a^{14} + 21 a^{13} + 5 a^{12} + 32 a^{11} + 16 a^{10} + 25 a^{9} + a^{8} + 28 a^{7} + 34 a^{6} + 16 a^{5} + 33 a^{4} + 27 a^{3} + 6 a^{2} + 20 a + 29\right)\cdot 37^{7} +O(37^{8})$$ $r_{ 15 }$ $=$ $$8 a^{14} + 6 a^{13} + 29 a^{12} + 23 a^{11} + 20 a^{10} + 30 a^{9} + 5 a^{8} + 20 a^{6} + 7 a^{5} + 21 a^{4} + 28 a^{3} + 15 a^{2} + 36 a + 20 + \left(32 a^{14} + 19 a^{13} + 22 a^{12} + 4 a^{11} + 28 a^{10} + 31 a^{9} + 32 a^{8} + 16 a^{7} + 22 a^{6} + 15 a^{5} + 30 a^{4} + 32 a^{3} + 14 a^{2} + 35 a + 22\right)\cdot 37 + \left(12 a^{14} + 35 a^{13} + a^{12} + 15 a^{11} + 26 a^{10} + 29 a^{9} + 20 a^{8} + 33 a^{7} + 13 a^{6} + 23 a^{5} + 25 a^{4} + 34 a^{3} + 16 a^{2} + 11 a + 8\right)\cdot 37^{2} + \left(25 a^{14} + 30 a^{13} + 9 a^{12} + 36 a^{11} + 12 a^{10} + 18 a^{9} + 11 a^{8} + 24 a^{7} + 17 a^{6} + 33 a^{5} + 33 a^{4} + 4 a^{3} + 15 a^{2} + 10 a + 8\right)\cdot 37^{3} + \left(13 a^{14} + 21 a^{13} + 7 a^{12} + 20 a^{11} + 23 a^{10} + 14 a^{9} + 22 a^{8} + 11 a^{7} + 22 a^{6} + 25 a^{4} + 32 a^{3} + 6 a^{2} + 29 a + 21\right)\cdot 37^{4} + \left(6 a^{13} + 34 a^{12} + 24 a^{11} + 6 a^{10} + a^{9} + 24 a^{8} + 4 a^{7} + 29 a^{6} + 21 a^{5} + 4 a^{4} + 18 a^{3} + 15 a + 16\right)\cdot 37^{5} + \left(18 a^{14} + 25 a^{13} + 30 a^{12} + 36 a^{11} + 9 a^{10} + 2 a^{9} + 28 a^{8} + 5 a^{7} + 34 a^{6} + 33 a^{5} + 9 a^{4} + 32 a^{3} + 25 a^{2} + 23 a + 35\right)\cdot 37^{6} + \left(22 a^{14} + 29 a^{13} + 10 a^{12} + 22 a^{11} + 31 a^{10} + 12 a^{9} + 25 a^{8} + 11 a^{7} + 24 a^{6} + a^{5} + 31 a^{3} + 8 a^{2} + 31 a + 25\right)\cdot 37^{7} +O(37^{8})$$ $r_{ 16 }$ $=$ $$29 a^{14} + 34 a^{13} + 25 a^{12} + 25 a^{11} + 10 a^{10} + 25 a^{9} + 28 a^{8} + 4 a^{7} + 11 a^{6} + 26 a^{5} + 5 a^{4} + a^{3} + 34 a^{2} + 2 a + 36 + \left(9 a^{14} + 16 a^{13} + 30 a^{12} + 36 a^{11} + 16 a^{10} + 17 a^{9} + 11 a^{8} + 36 a^{7} + 9 a^{6} + 19 a^{5} + 4 a^{4} + 3 a^{3} + 13 a^{2} + a + 31\right)\cdot 37 + \left(29 a^{14} + 28 a^{13} + 17 a^{12} + 35 a^{11} + 16 a^{10} + 30 a^{9} + 27 a^{8} + 21 a^{7} + 23 a^{6} + 22 a^{5} + 29 a^{4} + 2 a^{3} + 15 a^{2} + 16 a + 3\right)\cdot 37^{2} + \left(a^{14} + 3 a^{13} + 20 a^{12} + a^{11} + 10 a^{10} + 8 a^{9} + 33 a^{8} + 20 a^{7} + a^{6} + 22 a^{5} + 34 a^{4} + 33 a^{3} + 19 a^{2} + 36 a + 1\right)\cdot 37^{3} + \left(11 a^{14} + 3 a^{13} + 15 a^{12} + 25 a^{11} + a^{10} + 23 a^{9} + 23 a^{8} + 19 a^{7} + 14 a^{6} + 15 a^{5} + 3 a^{4} + 18 a^{3} + 21 a^{2} + 19 a + 34\right)\cdot 37^{4} + \left(2 a^{14} + 27 a^{13} + 9 a^{12} + 36 a^{10} + 7 a^{9} + 28 a^{8} + 21 a^{7} + 21 a^{6} + 6 a^{4} + 2 a^{3} + 7 a^{2} + 25 a + 6\right)\cdot 37^{5} + \left(12 a^{14} + 10 a^{13} + 31 a^{12} + 3 a^{11} + 26 a^{10} + 5 a^{9} + 4 a^{8} + 10 a^{7} + 17 a^{6} + 18 a^{5} + 29 a^{4} + 27 a^{3} + 18 a^{2} + 27 a + 30\right)\cdot 37^{6} + \left(26 a^{14} + 13 a^{13} + 30 a^{12} + 17 a^{11} + a^{10} + 3 a^{9} + 6 a^{8} + 31 a^{7} + 2 a^{6} + a^{5} + 8 a^{4} + 12 a^{3} + 27 a^{2} + 27 a + 1\right)\cdot 37^{7} +O(37^{8})$$ $r_{ 17 }$ $=$ $$25 a^{14} + 23 a^{13} + 36 a^{12} + 21 a^{11} + 7 a^{10} + 18 a^{9} + 26 a^{8} + 27 a^{7} + 15 a^{6} + 26 a^{5} + 36 a^{4} + 13 a^{3} + 35 a^{2} + 11 a + 36 + \left(32 a^{14} + 9 a^{13} + 35 a^{12} + 36 a^{11} + 12 a^{10} + 23 a^{9} + 14 a^{8} + 17 a^{7} + 31 a^{6} + 25 a^{5} + 23 a^{4} + a^{3} + 34 a^{2} + 2 a + 13\right)\cdot 37 + \left(23 a^{14} + 15 a^{13} + 33 a^{12} + 4 a^{11} + 5 a^{10} + 13 a^{9} + 17 a^{8} + 6 a^{7} + 16 a^{6} + 20 a^{5} + 16 a^{4} + 32 a^{3} + 36 a^{2} + 14 a + 26\right)\cdot 37^{2} + \left(22 a^{14} + 4 a^{13} + 30 a^{12} + 30 a^{11} + 26 a^{10} + 28 a^{9} + 11 a^{8} + 19 a^{7} + 10 a^{6} + 36 a^{5} + 25 a^{3} + 24 a^{2} + 14\right)\cdot 37^{3} + \left(2 a^{14} + 29 a^{13} + 22 a^{12} + 20 a^{11} + 4 a^{10} + 23 a^{9} + 11 a^{8} + 7 a^{6} + 9 a^{5} + 28 a^{4} + 6 a^{3} + 9 a^{2} + 8 a + 27\right)\cdot 37^{4} + \left(10 a^{14} + 16 a^{13} + 21 a^{12} + 17 a^{11} + 20 a^{10} + 36 a^{9} + a^{8} + 16 a^{7} + 17 a^{6} + 3 a^{5} + 13 a^{4} + 19 a^{3} + 36 a^{2} + 21 a\right)\cdot 37^{5} + \left(15 a^{14} + 19 a^{13} + 8 a^{12} + 8 a^{11} + 31 a^{10} + 28 a^{9} + 23 a^{8} + 28 a^{7} + 31 a^{6} + 25 a^{5} + 30 a^{4} + 22 a^{3} + 11 a^{2} + 36 a + 36\right)\cdot 37^{6} + \left(21 a^{14} + 15 a^{13} + 22 a^{12} + 15 a^{11} + 15 a^{10} + 7 a^{9} + 2 a^{8} + 33 a^{7} + 3 a^{6} + 25 a^{5} + 9 a^{4} + 20 a^{3} + 28 a^{2} + 14 a + 9\right)\cdot 37^{7} +O(37^{8})$$ $r_{ 18 }$ $=$ $$8 a^{14} + 29 a^{13} + 12 a^{12} + 2 a^{11} + 3 a^{10} + 29 a^{9} + 15 a^{8} + 12 a^{7} + 33 a^{6} + 16 a^{5} + a^{4} + 25 a^{3} + 28 a^{2} + 28 a + 36 + \left(18 a^{14} + 2 a^{13} + 4 a^{12} + 20 a^{11} + 3 a^{10} + 6 a^{9} + 23 a^{8} + 4 a^{7} + 12 a^{6} + 15 a^{5} + 14 a^{4} + 21 a^{3} + 21 a^{2} + 15 a + 10\right)\cdot 37 + \left(17 a^{14} + 7 a^{13} + 3 a^{12} + 30 a^{11} + 24 a^{10} + 23 a^{9} + 9 a^{8} + 22 a^{7} + 8 a^{5} + 13 a^{4} + 20 a^{3} + 18 a^{2} + 30 a + 13\right)\cdot 37^{2} + \left(32 a^{14} + 32 a^{13} + 2 a^{12} + 8 a^{11} + 12 a^{10} + 11 a^{9} + 19 a^{8} + 16 a^{7} + 13 a^{6} + 30 a^{5} + 33 a^{4} + 34 a^{3} + 22 a^{2} + 31 a + 15\right)\cdot 37^{3} + \left(11 a^{14} + 30 a^{13} + 33 a^{12} + 9 a^{11} + 19 a^{10} + 4 a^{9} + 33 a^{8} + 8 a^{7} + 11 a^{5} + 26 a^{4} + 28 a^{3} + 24 a^{2} + 28 a + 36\right)\cdot 37^{4} + \left(23 a^{14} + 36 a^{13} + 30 a^{12} + 25 a^{11} + 15 a^{10} + 25 a^{9} + 35 a^{8} + 4 a^{7} + 28 a^{6} + 2 a^{5} + 5 a^{4} + 7 a^{3} + 20 a^{2} + 4 a + 33\right)\cdot 37^{5} + \left(8 a^{14} + 18 a^{13} + 7 a^{12} + 19 a^{11} + 13 a^{10} + 8 a^{9} + 13 a^{8} + 23 a^{7} + 26 a^{6} + 32 a^{4} + 20 a^{3} + 35 a^{2} + 19 a + 28\right)\cdot 37^{6} + \left(18 a^{14} + 35 a^{13} + 32 a^{12} + 4 a^{11} + 28 a^{10} + 26 a^{9} + 5 a^{8} + 29 a^{7} + 11 a^{6} + 35 a^{5} + 21 a^{4} + 18 a^{3} + 29 a^{2} + 26 a + 1\right)\cdot 37^{7} +O(37^{8})$$ $r_{ 19 }$ $=$ $$19 a^{14} + 10 a^{13} + 14 a^{12} + 3 a^{11} + 31 a^{10} + 18 a^{9} + 7 a^{8} + 16 a^{7} + 11 a^{6} + 13 a^{5} + 24 a^{4} + 34 a^{3} + 18 a^{2} + 2 a + 9 + \left(2 a^{14} + 12 a^{13} + a^{12} + 25 a^{11} + 35 a^{10} + 12 a^{9} + 6 a^{8} + 9 a^{7} + 13 a^{6} + 21 a^{5} + 32 a^{4} + 8 a^{3} + 11 a^{2} + 2 a + 19\right)\cdot 37 + \left(10 a^{14} + 8 a^{13} + 21 a^{11} + 12 a^{10} + 29 a^{9} + 2 a^{8} + 25 a^{7} + 6 a^{6} + 34 a^{5} + 29 a^{4} + 2 a^{3} + 32 a^{2} + 18 a + 5\right)\cdot 37^{2} + \left(19 a^{14} + 19 a^{13} + 7 a^{12} + 9 a^{11} + 11 a^{10} + 12 a^{9} + 24 a^{8} + 23 a^{7} + 5 a^{6} + 16 a^{5} + 21 a^{4} + 6 a^{3} + 24 a^{2} + 31 a + 13\right)\cdot 37^{3} + \left(32 a^{14} + 16 a^{13} + 29 a^{12} + 19 a^{11} + 7 a^{10} + 17 a^{9} + 14 a^{8} + 32 a^{7} + 2 a^{6} + 25 a^{5} + 6 a^{4} + 23 a^{3} + 16 a^{2} + 19 a + 35\right)\cdot 37^{4} + \left(23 a^{14} + 33 a^{12} + 9 a^{11} + 27 a^{10} + 5 a^{9} + 18 a^{8} + 20 a^{7} + 29 a^{6} + 23 a^{5} + 12 a^{4} + 32 a^{3} + 14 a^{2} + 33 a + 5\right)\cdot 37^{5} + \left(16 a^{14} + 20 a^{13} + 29 a^{12} + 18 a^{11} + 20 a^{10} + 28 a^{8} + 6 a^{7} + 4 a^{6} + 20 a^{5} + 6 a^{4} + 11 a^{3} + 26 a^{2} + 2 a + 19\right)\cdot 37^{6} + \left(22 a^{14} + 16 a^{13} + 12 a^{12} + 28 a^{11} + 3 a^{10} + 21 a^{9} + 27 a^{8} + 19 a^{7} + 21 a^{6} + 33 a^{5} + 28 a^{4} + 35 a^{3} + 2 a^{2} + 29\right)\cdot 37^{7} +O(37^{8})$$ $r_{ 20 }$ $=$ $$31 a^{14} + 10 a^{13} + 18 a^{12} + 34 a^{10} + 29 a^{9} + 27 a^{8} + 4 a^{7} + 21 a^{6} + 20 a^{5} + 33 a^{4} + 23 a^{3} + 11 a + 8 + \left(27 a^{14} + 28 a^{13} + 7 a^{12} + a^{11} + 29 a^{10} + 27 a^{9} + 26 a^{8} + 9 a^{7} + 10 a^{6} + 16 a^{5} + 30 a^{4} + 31 a^{3} + 21 a^{2} + 9 a + 21\right)\cdot 37 + \left(9 a^{14} + 35 a^{13} + a^{12} + 22 a^{11} + 10 a^{10} + 10 a^{9} + 29 a^{8} + 16 a^{7} + 24 a^{6} + 16 a^{4} + 30 a^{3} + 29 a^{2} + 28 a + 27\right)\cdot 37^{2} + \left(a^{14} + 36 a^{13} + 15 a^{12} + 28 a^{11} + 26 a^{10} + 6 a^{9} + 22 a^{8} + 4 a^{7} + 18 a^{5} + 25 a^{4} + 15 a^{3} + 15 a^{2} + 35 a + 23\right)\cdot 37^{3} + \left(7 a^{14} + 6 a^{13} + 28 a^{12} + 18 a^{11} + 19 a^{10} + 16 a^{9} + 22 a^{8} + 31 a^{7} + 9 a^{6} + a^{5} + 22 a^{4} + a^{3} + 7 a^{2} + 4 a + 4\right)\cdot 37^{4} + \left(6 a^{14} + 9 a^{13} + 10 a^{12} + 15 a^{11} + 26 a^{10} + 17 a^{9} + 25 a^{8} + a^{7} + 25 a^{6} + 2 a^{5} + 36 a^{4} + 5 a^{3} + 30 a^{2} + 3 a + 19\right)\cdot 37^{5} + \left(2 a^{14} + 32 a^{13} + 20 a^{12} + 31 a^{11} + 20 a^{10} + 35 a^{9} + 17 a^{8} + 10 a^{7} + 4 a^{6} + 4 a^{5} + 33 a^{4} + 36 a^{3} + 26 a^{2} + 16 a + 22\right)\cdot 37^{6} + \left(17 a^{14} + 20 a^{13} + 17 a^{12} + 36 a^{11} + 27 a^{10} + 34 a^{9} + 35 a^{8} + a^{7} + 24 a^{6} + 6 a^{5} + 26 a^{4} + 6 a^{3} + 4 a^{2} + 31 a + 19\right)\cdot 37^{7} +O(37^{8})$$ $r_{ 21 }$ $=$ $$35 a^{14} + 5 a^{13} + 23 a^{12} + 25 a^{11} + 12 a^{10} + 15 a^{9} + 30 a^{8} + 30 a^{7} + 7 a^{6} + 33 a^{5} + 16 a^{4} + 34 a^{3} + 23 a^{2} + 19 a + 2 + \left(33 a^{14} + 6 a^{13} + 17 a^{12} + 28 a^{11} + 2 a^{10} + 2 a^{9} + 4 a^{8} + 24 a^{7} + 28 a^{6} + 18 a^{5} + 4 a^{4} + 26 a^{3} + 24 a^{2} + 19 a + 33\right)\cdot 37 + \left(16 a^{14} + 7 a^{13} + 15 a^{12} + 13 a^{11} + 16 a^{9} + 24 a^{8} + a^{7} + 19 a^{6} + 18 a^{5} + 15 a^{4} + 32 a^{2} + 2 a + 25\right)\cdot 37^{2} + \left(17 a^{14} + 34 a^{13} + 3 a^{12} + 34 a^{11} + 22 a^{10} + 17 a^{9} + 24 a^{8} + 2 a^{7} + 13 a^{6} + 20 a^{5} + 2 a^{4} + 6 a^{3} + 20 a^{2} + 33 a + 34\right)\cdot 37^{3} + \left(6 a^{14} + 10 a^{13} + 17 a^{12} + 14 a^{11} + 30 a^{10} + 14 a^{9} + 7 a^{8} + 15 a^{7} + 23 a^{6} + 10 a^{5} + 32 a^{4} + 12 a^{3} + 11 a^{2} + 8 a + 25\right)\cdot 37^{4} + \left(6 a^{14} + 6 a^{13} + 3 a^{12} + 18 a^{11} + 19 a^{10} + 6 a^{9} + 12 a^{8} + 32 a^{7} + 24 a^{6} + a^{5} + 36 a^{4} + 3 a^{3} + 6 a^{2} + 15 a + 3\right)\cdot 37^{5} + \left(17 a^{14} + a^{13} + 11 a^{12} + 31 a^{11} + 13 a^{10} + 26 a^{9} + 15 a^{8} + 32 a^{7} + 29 a^{6} + 11 a^{5} + 12 a^{4} + 31 a^{3} + 7 a^{2} + 14 a\right)\cdot 37^{6} + \left(29 a^{14} + 35 a^{13} + 25 a^{12} + 29 a^{11} + 13 a^{10} + 32 a^{9} + 6 a^{8} + 22 a^{7} + 25 a^{6} + 28 a^{5} + 26 a^{4} + 25 a^{3} + 2 a^{2} + 12 a + 7\right)\cdot 37^{7} +O(37^{8})$$ $r_{ 22 }$ $=$ $$7 a^{14} + 20 a^{13} + 34 a^{12} + 7 a^{11} + 25 a^{10} + 5 a^{9} + 32 a^{8} + 28 a^{7} + 14 a^{6} + 26 a^{5} + 21 a^{4} + 3 a^{2} + 15 a + 14 + \left(31 a^{14} + 2 a^{13} + 33 a^{12} + 7 a^{11} + 21 a^{10} + 26 a^{9} + 34 a^{8} + 22 a^{7} + 13 a^{6} + 25 a^{5} + 35 a^{4} + 28 a^{3} + 17 a^{2} + 24 a\right)\cdot 37 + \left(35 a^{14} + 25 a^{13} + 2 a^{12} + 24 a^{11} + 29 a^{10} + 23 a^{9} + 26 a^{8} + 35 a^{7} + 8 a^{6} + 28 a^{5} + 16 a^{4} + 5 a^{3} + 19 a^{2} + 13 a\right)\cdot 37^{2} + \left(6 a^{14} + 9 a^{13} + 30 a^{12} + 20 a^{11} + a^{10} + 20 a^{9} + 4 a^{8} + 11 a^{7} + 11 a^{6} + 14 a^{5} + 14 a^{4} + 5 a^{3} + 29 a^{2} + 24 a + 21\right)\cdot 37^{3} + \left(30 a^{14} + 13 a^{13} + 11 a^{12} + 6 a^{11} + 24 a^{10} + 21 a^{9} + 20 a^{8} + 12 a^{7} + 13 a^{6} + 4 a^{5} + 5 a^{4} + 30 a^{3} + 36 a^{2} + 11 a + 16\right)\cdot 37^{4} + \left(36 a^{14} + 24 a^{13} + a^{11} + a^{10} + 25 a^{9} + 30 a^{8} + 9 a^{7} + 36 a^{6} + 36 a^{5} + 9 a^{4} + 36 a^{3} + 6 a^{2} + 9 a + 18\right)\cdot 37^{5} + \left(3 a^{14} + 14 a^{13} + 33 a^{12} + 36 a^{11} + 7 a^{10} + 16 a^{9} + 33 a^{8} + 3 a^{7} + 7 a^{6} + 15 a^{5} + 21 a^{4} + 36 a^{3} + 3 a^{2} + 8 a + 14\right)\cdot 37^{6} + \left(11 a^{14} + 5 a^{13} + 25 a^{12} + 32 a^{11} + 14 a^{10} + 17 a^{9} + 11 a^{8} + 2 a^{7} + 32 a^{6} + 3 a^{5} + 2 a^{4} + 10 a^{3} + 29 a + 1\right)\cdot 37^{7} +O(37^{8})$$ $r_{ 23 }$ $=$ $$9 a^{14} + 7 a^{13} + 28 a^{12} + 26 a^{11} + 12 a^{10} + 12 a^{9} + 25 a^{8} + 30 a^{7} + 19 a^{6} + a^{5} + 13 a^{4} + 32 a^{3} + 11 a^{2} + 9 a + 11 + \left(33 a^{14} + 27 a^{13} + 24 a^{12} + 21 a^{11} + 19 a^{9} + 5 a^{8} + 15 a^{7} + a^{6} + 35 a^{5} + 29 a^{4} + 21 a^{3} + 9 a^{2} + 10 a + 29\right)\cdot 37 + \left(28 a^{14} + 2 a^{13} + 13 a^{12} + 18 a^{11} + 4 a^{10} + 7 a^{9} + 24 a^{8} + 6 a^{7} + 14 a^{6} + 4 a^{5} + 2 a^{4} + 9 a^{3} + 7 a^{2} + 19 a + 18\right)\cdot 37^{2} + \left(32 a^{14} + 28 a^{13} + 8 a^{12} + 30 a^{11} + 2 a^{10} + 11 a^{9} + 25 a^{8} + 36 a^{7} + 32 a^{6} + 10 a^{5} + 13 a^{4} + 4 a^{3} + 12 a + 36\right)\cdot 37^{3} + \left(4 a^{14} + 15 a^{13} + a^{12} + 28 a^{11} + 12 a^{10} + 16 a^{9} + 7 a^{8} + 24 a^{7} + 19 a^{6} + 36 a^{5} + 19 a^{4} + 32 a^{3} + 36 a^{2} + 16 a + 8\right)\cdot 37^{4} + \left(6 a^{14} + 22 a^{13} + 20 a^{12} + 11 a^{11} + 20 a^{10} + 30 a^{9} + 13 a^{8} + 4 a^{7} + 29 a^{6} + 20 a^{5} + 29 a^{4} + 24 a^{3} + 14 a^{2} + 31 a + 36\right)\cdot 37^{5} + \left(24 a^{14} + a^{13} + 14 a^{12} + 5 a^{11} + 14 a^{10} + 4 a^{9} + 14 a^{8} + 5 a^{7} + 22 a^{6} + 23 a^{5} + 20 a^{4} + a^{3} + 22 a^{2} + 30 a + 20\right)\cdot 37^{6} + \left(5 a^{14} + 18 a^{13} + 11 a^{12} + 5 a^{11} + 21 a^{10} + 3 a^{9} + 30 a^{8} + 6 a^{7} + 32 a^{6} + 19 a^{5} + 19 a^{4} + 27 a^{3} + 23 a^{2} + 33 a + 18\right)\cdot 37^{7} +O(37^{8})$$ $r_{ 24 }$ $=$ $$13 a^{14} + 34 a^{13} + 21 a^{12} + 7 a^{11} + 4 a^{10} + 30 a^{9} + 10 a^{8} + 24 a^{7} + 33 a^{6} + 5 a^{5} + 2 a^{4} + 25 a^{3} + 29 a^{2} + 19 a + 12 + \left(2 a^{14} + a^{13} + 14 a^{12} + 28 a^{11} + 25 a^{10} + 8 a^{9} + 4 a^{8} + 15 a^{7} + 3 a^{6} + 26 a^{5} + 33 a^{4} + 32 a^{3} + 3 a^{2} + 15 a + 3\right)\cdot 37 + \left(33 a^{14} + 2 a^{13} + 36 a^{12} + 23 a^{11} + 36 a^{10} + 22 a^{9} + 35 a^{8} + 9 a^{7} + 12 a^{6} + 18 a^{5} + 2 a^{4} + 10 a^{2} + 25 a + 28\right)\cdot 37^{2} + \left(a^{14} + 2 a^{13} + 5 a^{12} + 8 a^{11} + 33 a^{10} + 18 a^{9} + 32 a^{8} + 16 a^{7} + 31 a^{6} + 23 a^{5} + 4 a^{4} + 5 a^{3} + 36 a^{2} + 7 a + 20\right)\cdot 37^{3} + \left(12 a^{14} + 20 a^{13} + 9 a^{12} + 21 a^{11} + 8 a^{10} + 21 a^{9} + 20 a^{8} + 30 a^{7} + 18 a^{6} + 9 a^{5} + 26 a^{4} + 11 a^{3} + 5 a^{2} + 15 a + 10\right)\cdot 37^{4} + \left(35 a^{14} + 30 a^{13} + 24 a^{12} + 32 a^{11} + 27 a^{10} + 27 a^{9} + 24 a^{7} + 27 a^{6} + 12 a^{4} + 32 a^{3} + 3 a + 34\right)\cdot 37^{5} + \left(13 a^{14} + 3 a^{13} + 10 a^{12} + 24 a^{11} + 9 a^{10} + 20 a^{9} + 11 a^{8} + 8 a^{7} + 16 a^{6} + 10 a^{5} + 16 a^{4} + 19 a^{3} + 33 a^{2} + 31 a + 19\right)\cdot 37^{6} + \left(21 a^{14} + 36 a^{13} + 9 a^{12} + 14 a^{11} + 20 a^{10} + a^{9} + 27 a^{8} + 27 a^{7} + 14 a^{6} + 24 a^{5} + 32 a^{4} + 12 a^{3} + 34 a^{2} + 27 a + 27\right)\cdot 37^{7} +O(37^{8})$$ $r_{ 25 }$ $=$ $$5 a^{14} + 31 a^{13} + 4 a^{12} + 9 a^{11} + 5 a^{10} + 14 a^{9} + 16 a^{8} + 19 a^{7} + 8 a^{6} + 22 a^{5} + 17 a^{4} + 24 a^{3} + 36 a^{2} + 11 a + 24 + \left(10 a^{14} + 24 a^{13} + 4 a^{12} + 30 a^{11} + 3 a^{10} + 24 a^{9} + 24 a^{8} + 33 a^{7} + 29 a^{6} + 22 a^{5} + 14 a^{4} + 7 a^{3} + 21 a^{2} + 10 a + 22\right)\cdot 37 + \left(14 a^{14} + 33 a^{13} + 7 a^{11} + 2 a^{10} + 36 a^{9} + 29 a^{8} + 31 a^{7} + 11 a^{6} + 24 a^{5} + 3 a^{4} + 36 a^{3} + 17 a^{2} + 9 a + 10\right)\cdot 37^{2} + \left(7 a^{14} + 22 a^{13} + 13 a^{12} + 23 a^{11} + 9 a^{10} + 24 a^{9} + 20 a^{8} + 5 a^{7} + 15 a^{6} + 22 a^{5} + 22 a^{4} + 5 a^{3} + 19 a^{2} + 12 a + 1\right)\cdot 37^{3} + \left(4 a^{14} + 31 a^{13} + 2 a^{12} + 9 a^{11} + 8 a^{10} + 28 a^{9} + 5 a^{8} + 24 a^{7} + 16 a^{6} + 22 a^{5} + 3 a^{4} + 27 a^{2} + 17 a + 30\right)\cdot 37^{4} + \left(27 a^{14} + 32 a^{13} + 15 a^{12} + 18 a^{11} + 15 a^{10} + 11 a^{9} + 5 a^{8} + 11 a^{7} + 20 a^{6} + 34 a^{5} + 14 a^{4} + 18 a^{3} + 30 a^{2} + 6 a + 17\right)\cdot 37^{5} + \left(17 a^{14} + 2 a^{13} + 32 a^{12} + 29 a^{11} + 35 a^{10} + 28 a^{9} + 17 a^{8} + 5 a^{7} + 34 a^{6} + 32 a^{5} + 22 a^{4} + 14 a^{3} + 21 a^{2} + 29 a + 23\right)\cdot 37^{6} + \left(4 a^{14} + 16 a^{13} + 25 a^{12} + 25 a^{11} + 6 a^{10} + 11 a^{9} + 22 a^{8} + a^{7} + 7 a^{5} + 24 a^{4} + 5 a^{3} + 8 a^{2} + 29 a + 25\right)\cdot 37^{7} +O(37^{8})$$ $r_{ 26 }$ $=$ $$30 a^{14} + 30 a^{13} + 35 a^{12} + 30 a^{11} + 36 a^{10} + 15 a^{9} + 9 a^{7} + 20 a^{6} + 12 a^{5} + 2 a^{4} + 26 a^{3} + 8 a^{2} + 7 a + 17 + \left(6 a^{14} + 6 a^{13} + 14 a^{12} + 7 a^{11} + 18 a^{10} + 6 a^{8} + 12 a^{7} + 22 a^{6} + 31 a^{5} + 10 a^{4} + 9 a^{3} + 12 a^{2} + 12 a + 12\right)\cdot 37 + \left(31 a^{14} + 36 a^{13} + 36 a^{12} + 28 a^{11} + 26 a^{10} + 4 a^{9} + 9 a^{8} + 11 a^{7} + 17 a^{5} + 17 a^{4} + 5 a^{3} + 34 a^{2} + 20 a + 18\right)\cdot 37^{2} + \left(33 a^{14} + 34 a^{13} + 15 a^{12} + 36 a^{11} + 13 a^{10} + 12 a^{9} + 18 a^{8} + 16 a^{7} + 5 a^{6} + 32 a^{5} + 7 a^{4} + 16 a^{3} + 21 a^{2} + 30 a + 29\right)\cdot 37^{3} + \left(17 a^{14} + 9 a^{13} + 36 a^{12} + 33 a^{11} + 8 a^{10} + 36 a^{9} + 30 a^{8} + 12 a^{7} + 9 a^{6} + 25 a^{5} + 25 a^{4} + 24 a^{3} + 23 a^{2} + 16 a + 21\right)\cdot 37^{4} + \left(32 a^{14} + 34 a^{13} + a^{12} + 25 a^{11} + 20 a^{10} + 28 a^{9} + 10 a^{8} + 10 a^{7} + 21 a^{6} + 34 a^{5} + 24 a^{4} + 36 a^{3} + 6 a^{2} + 30 a + 20\right)\cdot 37^{5} + \left(20 a^{14} + 6 a^{12} + 17 a^{11} + 6 a^{10} + 17 a^{9} + 8 a^{8} + 18 a^{7} + 15 a^{6} + 22 a^{5} + 23 a^{4} + 17 a^{3} + 14 a^{2} + 26 a + 31\right)\cdot 37^{6} + \left(35 a^{14} + 17 a^{13} + 10 a^{12} + 22 a^{11} + 26 a^{10} + 11 a^{8} + 8 a^{7} + 35 a^{6} + 6 a^{5} + 14 a^{4} + 17 a^{3} + 34 a^{2} + 14 a + 26\right)\cdot 37^{7} +O(37^{8})$$ $r_{ 27 }$ $=$ $$32 a^{14} + 9 a^{13} + 23 a^{12} + 14 a^{11} + 15 a^{10} + 36 a^{9} + 34 a^{8} + 6 a^{7} + 4 a^{6} + 16 a^{5} + 30 a^{4} + 30 a^{3} + a^{2} + 20 a + 29 + \left(30 a^{14} + 21 a^{13} + 19 a^{12} + 19 a^{11} + 13 a^{10} + 4 a^{9} + 22 a^{8} + 22 a^{7} + 29 a^{6} + 31 a^{5} + 25 a^{4} + 18 a^{3} + 20 a^{2} + 11 a + 5\right)\cdot 37 + \left(24 a^{14} + a^{13} + 24 a^{12} + 14 a^{11} + 14 a^{10} + 12 a^{9} + 12 a^{8} + 34 a^{7} + 2 a^{6} + 34 a^{5} + 18 a^{4} + 7 a^{3} + 4 a^{2} + 2 a + 29\right)\cdot 37^{2} + \left(35 a^{14} + 8 a^{13} + 23 a^{12} + 3 a^{11} + a^{10} + 35 a^{9} + 24 a^{8} + a^{7} + 32 a^{6} + 24 a^{5} + 12 a^{4} + 14 a^{3} + 15 a^{2} + 36 a + 23\right)\cdot 37^{3} + \left(a^{14} + 30 a^{13} + 6 a^{12} + 15 a^{11} + 28 a^{10} + 22 a^{9} + 21 a^{8} + 14 a^{7} + 35 a^{6} + 2 a^{5} + 8 a^{4} + 20 a^{3} + 24 a^{2} + 31 a + 23\right)\cdot 37^{4} + \left(25 a^{14} + 26 a^{13} + 6 a^{12} + 11 a^{11} + 36 a^{10} + 18 a^{8} + 10 a^{7} + 10 a^{6} + 28 a^{5} + 7 a^{4} + 36 a^{3} + 31 a^{2} + 32 a + 1\right)\cdot 37^{5} + \left(24 a^{14} + 18 a^{13} + 14 a^{12} + 18 a^{11} + 10 a^{10} + 34 a^{9} + 23 a^{8} + 35 a^{7} + 15 a^{6} + 17 a^{5} + 20 a^{4} + 15 a^{3} + 24 a^{2} + 12 a + 13\right)\cdot 37^{6} + \left(15 a^{14} + 9 a^{13} + 16 a^{11} + 6 a^{10} + 5 a^{9} + 19 a^{8} + 9 a^{7} + 6 a^{6} + 24 a^{5} + 9 a^{4} + 33 a^{3} + 28 a^{2} + 12 a + 36\right)\cdot 37^{7} +O(37^{8})$$ $r_{ 28 }$ $=$ $$12 a^{14} + 34 a^{13} + 23 a^{12} + 24 a^{11} + 16 a^{10} + 20 a^{9} + 32 a^{8} + 23 a^{7} + 17 a^{6} + 2 a^{5} + 16 a^{4} + 4 a^{3} + 31 a^{2} + 36 a + 6 + \left(10 a^{14} + 5 a^{13} + 24 a^{12} + 12 a^{11} + 30 a^{10} + 17 a^{9} + 3 a^{8} + a^{7} + 3 a^{6} + 12 a^{4} + 20 a^{3} + 23 a^{2} + 19 a + 18\right)\cdot 37 + \left(9 a^{14} + 7 a^{13} + 33 a^{12} + 30 a^{11} + 21 a^{10} + 25 a^{9} + 21 a^{8} + 34 a^{7} + 6 a^{6} + 7 a^{5} + 20 a^{4} + 35 a^{3} + 25 a^{2} + 18 a + 16\right)\cdot 37^{2} + \left(32 a^{14} + 23 a^{13} + 14 a^{12} + 30 a^{11} + 4 a^{10} + 25 a^{9} + 5 a^{8} + 15 a^{7} + 14 a^{6} + a^{5} + a^{4} + 7 a^{3} + 28 a^{2} + 31 a + 16\right)\cdot 37^{3} + \left(6 a^{14} + 21 a^{13} + 4 a^{12} + 3 a^{11} + 17 a^{10} + 35 a^{9} + a^{8} + 3 a^{7} + 2 a^{6} + 6 a^{5} + 6 a^{4} + 6 a^{3} + 21 a^{2} + 7 a + 18\right)\cdot 37^{4} + \left(9 a^{14} + 15 a^{13} + 36 a^{12} + 28 a^{11} + 17 a^{10} + 26 a^{9} + 14 a^{8} + 33 a^{7} + 11 a^{6} + 12 a^{5} + 26 a^{4} + a^{3} + 9 a^{2} + 13 a + 10\right)\cdot 37^{5} + \left(31 a^{14} + 10 a^{13} + 33 a^{12} + 10 a^{11} + 2 a^{10} + 34 a^{9} + 6 a^{8} + 25 a^{7} + 6 a^{6} + 25 a^{5} + 12 a^{4} + 16 a^{3} + 29 a^{2} + 14 a + 25\right)\cdot 37^{6} + \left(31 a^{14} + 28 a^{13} + a^{12} + 7 a^{11} + 23 a^{10} + 3 a^{9} + 31 a^{8} + 26 a^{7} + 32 a^{6} + 6 a^{5} + 30 a^{4} + 14 a^{3} + 33 a^{2} + 27 a + 2\right)\cdot 37^{7} +O(37^{8})$$ $r_{ 29 }$ $=$ $$8 a^{14} + a^{13} + 28 a^{12} + 24 a^{11} + 33 a^{10} + 12 a^{9} + 36 a^{8} + 34 a^{7} + 15 a^{6} + 24 a^{5} + 6 a^{4} + 15 a^{3} + a^{2} + 23 a + 26 + \left(16 a^{14} + 27 a^{13} + 10 a^{12} + 26 a^{11} + 10 a^{10} + 28 a^{9} + 36 a^{8} + 6 a^{7} + 21 a^{6} + 36 a^{5} + 10 a^{4} + 19 a^{3} + 5 a^{2} + 24 a + 23\right)\cdot 37 + \left(7 a^{14} + 30 a^{13} + 3 a^{12} + 22 a^{11} + 34 a^{10} + 2 a^{9} + 3 a^{8} + 36 a^{7} + 9 a^{6} + 20 a^{5} + 36 a^{4} + 22 a^{3} + 12 a^{2} + 24 a + 3\right)\cdot 37^{2} + \left(34 a^{14} + 21 a^{13} + 26 a^{12} + 8 a^{11} + 14 a^{10} + 17 a^{9} + 5 a^{8} + 15 a^{7} + 34 a^{6} + 22 a^{5} + 23 a^{4} + 27 a^{3} + 14 a^{2} + 16 a + 29\right)\cdot 37^{3} + \left(32 a^{14} + 7 a^{13} + 10 a^{12} + 19 a^{11} + 13 a^{10} + 2 a^{9} + 4 a^{8} + 35 a^{7} + 29 a^{6} + 29 a^{5} + 19 a^{4} + 23 a^{3} + 15 a^{2} + 29 a + 12\right)\cdot 37^{4} + \left(2 a^{14} + 23 a^{13} + 16 a^{12} + 36 a^{11} + 24 a^{10} + 4 a^{9} + 32 a^{8} + 8 a^{7} + 20 a^{6} + 25 a^{5} + 25 a^{4} + 23 a^{3} + 29 a^{2} + 16 a + 27\right)\cdot 37^{5} + \left(14 a^{14} + 6 a^{13} + 10 a^{12} + 20 a^{11} + 24 a^{10} + 21 a^{9} + 11 a^{8} + 9 a^{7} + 36 a^{6} + 33 a^{5} + 8 a^{4} + 15 a^{3} + 29 a^{2} + 21 a + 16\right)\cdot 37^{6} + \left(a^{14} + 4 a^{13} + 36 a^{12} + 25 a^{11} + 8 a^{10} + 4 a^{8} + 15 a^{7} + 33 a^{6} + 33 a^{5} + 11 a^{4} + 30 a^{3} + 7 a^{2} + 18 a\right)\cdot 37^{7} +O(37^{8})$$ $r_{ 30 }$ $=$ $$16 a^{14} + 6 a^{13} + 22 a^{12} + 6 a^{11} + 2 a^{10} + 13 a^{9} + 34 a^{8} + 11 a^{7} + 24 a^{6} + 11 a^{5} + 34 a^{4} + 17 a^{3} + 14 a^{2} + 36 a + 17 + \left(18 a^{14} + 15 a^{13} + 14 a^{12} + 5 a^{11} + 31 a^{10} + 25 a^{9} + 11 a^{8} + 32 a^{7} + 20 a^{6} + 20 a^{5} + 9 a^{4} + 3 a^{3} + 24 a^{2} + 21 a + 2\right)\cdot 37 + \left(27 a^{14} + 12 a^{13} + 14 a^{12} + 26 a^{11} + 32 a^{10} + 3 a^{9} + 4 a^{8} + 17 a^{7} + 36 a^{6} + 34 a^{5} + 13 a^{4} + 17 a^{3} + 10 a^{2} + 9 a + 23\right)\cdot 37^{2} + \left(30 a^{14} + 5 a^{13} + 36 a^{12} + 28 a^{11} + 21 a^{10} + 13 a^{9} + 26 a^{8} + 17 a^{7} + 15 a^{6} + 5 a^{5} + 3 a^{4} + 32 a^{3} + 22 a^{2} + 15 a + 13\right)\cdot 37^{3} + \left(29 a^{14} + 30 a^{13} + 34 a^{12} + 7 a^{11} + 2 a^{10} + a^{9} + 21 a^{8} + 12 a^{6} + 14 a^{5} + 14 a^{4} + 3 a^{3} + 17 a^{2} + 20 a + 12\right)\cdot 37^{4} + \left(27 a^{14} + 13 a^{13} + 3 a^{12} + 4 a^{11} + 29 a^{10} + 5 a^{8} + 14 a^{7} + 23 a^{6} + 17 a^{5} + 23 a^{4} + 13 a^{3} + 11 a^{2} + 21 a\right)\cdot 37^{5} + \left(35 a^{14} + 12 a^{13} + 15 a^{12} + 20 a^{11} + 18 a^{10} + 10 a^{9} + 17 a^{8} + 7 a^{7} + 22 a^{6} + 18 a^{5} + 2 a^{4} + 32 a^{3} + 21 a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 37^{6} + \left(23 a^{14} + 11 a^{13} + 32 a^{12} + 15 a^{11} + 11 a^{10} + 11 a^{9} + 31 a^{8} + 30 a^{7} + 5 a^{6} + 23 a^{5} + 29 a^{4} + 15 a^{3} + 22 a^{2} + 35 a + 7\right)\cdot 37^{7} +O(37^{8})$$

## Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 30 }$

 Cycle notation $(1,9,29,4,8)(2,11,30,5,10)(3,17,13,20,12)(6,22,18,24,15)(7,25,21,26,19)(14,23,27,16,28)$ $(3,7,6)(12,19,15)(13,21,18)(17,25,22)(20,26,24)$ $(1,18,29,15,8,22,9,24,4,6)(2,13,30,12,10,17,11,20,5,3)(7,16,21,14,19,27,25,28,26,23)$ $(1,2,16)(4,5,23)(8,10,27)(9,11,28)(14,29,30)$

## Character values on conjugacy classes

 Size Order Action on $r_1, \ldots, r_{ 30 }$ Character value $1$ $1$ $()$ $2$ $3$ $2$ $(1,22)(2,17)(3,10)(4,15)(5,12)(6,8)(7,27)(9,18)(11,13)(14,26)(16,25)(19,23)(20,30)(21,28)(24,29)$ $0$ $1$ $3$ $(1,16,2)(3,6,7)(4,23,5)(8,27,10)(9,28,11)(12,15,19)(13,18,21)(14,30,29)(17,22,25)(20,24,26)$ $2 \zeta_{15}^{5}$ $1$ $3$ $(1,2,16)(3,7,6)(4,5,23)(8,10,27)(9,11,28)(12,19,15)(13,21,18)(14,29,30)(17,25,22)(20,26,24)$ $-2 \zeta_{15}^{5} - 2$ $2$ $3$ $(1,2,16)(4,5,23)(8,10,27)(9,11,28)(14,29,30)$ $-\zeta_{15}^{5}$ $2$ $3$ $(1,16,2)(4,23,5)(8,27,10)(9,28,11)(14,30,29)$ $\zeta_{15}^{5} + 1$ $2$ $3$ $(1,16,2)(3,7,6)(4,23,5)(8,27,10)(9,28,11)(12,19,15)(13,21,18)(14,30,29)(17,25,22)(20,26,24)$ $-1$ $1$ $5$ $(1,9,29,4,8)(2,11,30,5,10)(3,17,13,20,12)(6,22,18,24,15)(7,25,21,26,19)(14,23,27,16,28)$ $2 \zeta_{15}^{7} - 2 \zeta_{15}^{6} - 2 \zeta_{15}^{3} + 2 \zeta_{15}^{2} - 2$ $1$ $5$ $(1,29,8,9,4)(2,30,10,11,5)(3,13,12,17,20)(6,18,15,22,24)(7,21,19,25,26)(14,27,28,23,16)$ $2 \zeta_{15}^{3}$ $1$ $5$ $(1,4,9,8,29)(2,5,11,10,30)(3,20,17,12,13)(6,24,22,15,18)(7,26,25,19,21)(14,16,23,28,27)$ $-2 \zeta_{15}^{7} - 2 \zeta_{15}^{2}$ $1$ $5$ $(1,8,4,29,9)(2,10,5,30,11)(3,12,20,13,17)(6,15,24,18,22)(7,19,26,21,25)(14,28,16,27,23)$ $2 \zeta_{15}^{6}$ $3$ $6$ $(1,22,16,25,2,17)(3,8,6,27,7,10)(4,15,23,19,5,12)(9,18,28,21,11,13)(14,26,30,20,29,24)$ $0$ $3$ $6$ $(1,17,2,25,16,22)(3,10,7,27,6,8)(4,12,5,19,23,15)(9,13,11,21,28,18)(14,24,29,20,30,26)$ $0$ $3$ $10$ $(1,18,29,15,8,22,9,24,4,6)(2,13,30,12,10,17,11,20,5,3)(7,16,21,14,19,27,25,28,26,23)$ $0$ $3$ $10$ $(1,15,9,6,29,22,4,18,8,24)(2,12,11,3,30,17,5,13,10,20)(7,14,25,23,21,27,26,16,19,28)$ $0$ $3$ $10$ $(1,24,8,18,4,22,29,6,9,15)(2,20,10,13,5,17,30,3,11,12)(7,28,19,16,26,27,21,23,25,14)$ $0$ $3$ $10$ $(1,6,4,24,9,22,8,15,29,18)(2,3,5,20,11,17,10,12,30,13)(7,23,26,28,25,27,19,14,21,16)$ $0$ $1$ $15$ $(1,30,27,9,5,16,29,10,28,4,2,14,8,11,23)(3,21,15,17,26,6,13,19,22,20,7,18,12,25,24)$ $-2 \zeta_{15}^{7} + 2 \zeta_{15}^{5} - 2 \zeta_{15}^{4} - 2 \zeta_{15} + 2$ $1$ $15$ $(1,27,5,29,28,2,8,23,30,9,16,10,4,14,11)(3,15,26,13,22,7,12,24,21,17,6,19,20,18,25)$ $-2 \zeta_{15}^{6} - 2 \zeta_{15}$ $1$ $15$ $(1,5,28,8,30,16,4,11,27,29,2,23,9,10,14)(3,26,22,12,21,6,20,25,15,13,7,24,17,19,18)$ $2 \zeta_{15}^{7}$ $1$ $15$ $(1,10,23,29,11,16,8,5,14,9,2,27,4,30,28)(3,19,24,13,25,6,12,26,18,17,7,15,20,21,22)$ $2 \zeta_{15}$ $1$ $15$ $(1,28,30,4,27,2,9,14,5,8,16,11,29,23,10)(3,22,21,20,15,7,17,18,26,12,6,25,13,24,19)$ $-2 \zeta_{15}^{7} + 2 \zeta_{15}^{6} - 2 \zeta_{15}^{4} + 2 \zeta_{15}^{3} - 2 \zeta_{15}^{2} + 2$ $1$ $15$ $(1,14,10,9,23,2,29,27,11,4,16,30,8,28,5)(3,18,19,17,24,7,13,15,25,20,6,21,12,22,26)$ $2 \zeta_{15}^{7} - 2 \zeta_{15}^{5} + 2 \zeta_{15}^{4} - 2 \zeta_{15}^{3} + 2 \zeta_{15} - 2$ $1$ $15$ $(1,11,14,4,10,16,9,30,23,8,2,28,29,5,27)(3,25,18,20,19,6,17,21,24,12,7,22,13,26,15)$ $2 \zeta_{15}^{4}$ $1$ $15$ $(1,23,11,8,14,2,4,28,10,29,16,5,9,27,30)(3,24,25,12,18,7,20,22,19,13,6,26,17,15,21)$ $2 \zeta_{15}^{2}$ $2$ $15$ $(1,11,14,4,10,16,9,30,23,8,2,28,29,5,27)(3,17,13,20,12)(6,22,18,24,15)(7,25,21,26,19)$ $\zeta_{15}^{7} - \zeta_{15}^{6} + \zeta_{15}^{4} - \zeta_{15}^{3} + \zeta_{15}^{2} - 1$ $2$ $15$ $(1,14,10,9,23,2,29,27,11,4,16,30,8,28,5)(3,13,12,17,20)(6,18,15,22,24)(7,21,19,25,26)$ $\zeta_{15}^{7} - \zeta_{15}^{5} + \zeta_{15}^{4} + \zeta_{15} - 1$ $2$ $15$ $(1,10,23,29,11,16,8,5,14,9,2,27,4,30,28)(3,12,20,13,17)(6,15,24,18,22)(7,19,26,21,25)$ $\zeta_{15}^{6} + \zeta_{15}$ $2$ $15$ $(1,30,27,9,5,16,29,10,28,4,2,14,8,11,23)(3,13,12,17,20)(6,18,15,22,24)(7,21,19,25,26)$ $-\zeta_{15}^{7} + \zeta_{15}^{5} - \zeta_{15}^{4} + \zeta_{15}^{3} - \zeta_{15} + 1$ $2$ $15$ $(1,23,11,8,14,2,4,28,10,29,16,5,9,27,30)(3,20,17,12,13)(6,24,22,15,18)(7,26,25,19,21)$ $-\zeta_{15}^{7}$ $2$ $15$ $(1,28,30,4,27,2,9,14,5,8,16,11,29,23,10)(3,17,13,20,12)(6,22,18,24,15)(7,25,21,26,19)$ $-\zeta_{15}^{4}$ $2$ $15$ $(1,5,28,8,30,16,4,11,27,29,2,23,9,10,14)(3,20,17,12,13)(6,24,22,15,18)(7,26,25,19,21)$ $-\zeta_{15}^{2}$ $2$ $15$ $(1,27,5,29,28,2,8,23,30,9,16,10,4,14,11)(3,12,20,13,17)(6,15,24,18,22)(7,19,26,21,25)$ $-\zeta_{15}$ $2$ $15$ $(1,28,30,4,27,2,9,14,5,8,16,11,29,23,10)(3,25,18,20,19,6,17,21,24,12,7,22,13,26,15)$ $-\zeta_{15}^{7} + \zeta_{15}^{6} + \zeta_{15}^{3} - \zeta_{15}^{2} + 1$ $2$ $15$ $(1,30,27,9,5,16,29,10,28,4,2,14,8,11,23)(3,18,19,17,24,7,13,15,25,20,6,21,12,22,26)$ $-\zeta_{15}^{3}$ $2$ $15$ $(1,27,5,29,28,2,8,23,30,9,16,10,4,14,11)(3,19,24,13,25,6,12,26,18,17,7,15,20,21,22)$ $-\zeta_{15}^{6}$ $2$ $15$ $(1,23,11,8,14,2,4,28,10,29,16,5,9,27,30)(3,26,22,12,21,6,20,25,15,13,7,24,17,19,18)$ $\zeta_{15}^{7} + \zeta_{15}^{2}$ $3$ $30$ $(1,13,30,19,27,22,9,20,5,7,16,18,29,12,10,25,28,24,4,3,2,21,14,15,8,17,11,26,23,6)$ $0$ $3$ $30$ $(1,20,10,21,23,22,29,3,11,19,16,24,8,13,5,25,14,6,9,12,2,26,27,18,4,17,30,7,28,15)$ $0$ $3$ $30$ $(1,18,14,19,10,17,9,24,23,7,2,13,29,15,27,25,11,20,4,6,16,21,30,12,8,22,28,26,5,3)$ $0$ $3$ $30$ $(1,12,11,7,14,22,4,13,10,26,16,15,9,3,30,25,23,18,8,20,2,19,28,6,29,17,5,21,27,24)$ $0$ $3$ $30$ $(1,24,27,21,5,17,29,6,28,19,2,20,8,18,23,25,30,3,9,15,16,26,10,13,4,22,14,7,11,12)$ $0$ $3$ $30$ $(1,3,5,26,28,22,8,12,30,21,16,6,4,20,11,25,27,15,29,13,2,7,23,24,9,17,10,19,14,18)$ $0$ $3$ $30$ $(1,15,28,7,30,17,4,18,27,26,2,12,9,6,14,25,5,13,8,24,16,19,11,3,29,22,23,21,10,20)$ $0$ $3$ $30$ $(1,6,23,26,11,17,8,15,14,21,2,3,4,24,28,25,10,12,29,18,16,7,5,20,9,22,27,19,30,13)$ $0$

The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.