Basic invariants
| Dimension: | $2$ |
| Group: | $S_3 \times C_3$ |
| Conductor: | $285= 3 \cdot 5 \cdot 19 $ |
| Artin number field: | Splitting field of $f= x^{18} - 8 x^{17} + 29 x^{16} - 64 x^{15} + 165 x^{14} - 536 x^{13} + 1361 x^{12} - 2252 x^{11} + 2173 x^{10} - 1680 x^{9} + 3521 x^{8} - 6252 x^{7} + 4993 x^{6} - 2244 x^{5} - 284 x^{4} + 5080 x^{3} - 5440 x^{2} + 4096 $ over $\Q$ |
| Size of Galois orbit: | 2 |
| Smallest containing permutation representation: | $S_3\times C_3$ |
| Parity: | Odd |
| Determinant: | 1.3_5_19.6t1.2c2 |
Galois action
Roots of defining polynomial
The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 29 }$ to precision 8.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 29 }$: $ x^{6} + x^{4} + 25 x^{3} + 17 x^{2} + 13 x + 2 $
Roots:
| $r_{ 1 }$ | $=$ | $ 21 a^{5} + 27 a^{4} + 8 a^{3} + 4 a^{2} + 5 a + 13 + \left(2 a^{5} + 2 a^{4} + 22 a^{3} + 23 a^{2} + 15 a + 2\right)\cdot 29 + \left(14 a^{5} + 6 a^{4} + 18 a^{2} + 22 a + 8\right)\cdot 29^{2} + \left(17 a^{5} + 17 a^{4} + 14 a^{3} + 15 a^{2} + 18 a + 21\right)\cdot 29^{3} + \left(21 a^{5} + 27 a^{4} + 13 a^{3} + 23 a^{2} + 16 a + 25\right)\cdot 29^{4} + \left(15 a^{5} + 18 a^{4} + 26 a^{3} + 23 a^{2} + 2 a + 13\right)\cdot 29^{5} + \left(3 a^{5} + 22 a^{4} + 13 a^{3} + 7 a^{2} + 21 a + 24\right)\cdot 29^{6} + \left(14 a^{5} + 21 a^{4} + 9 a^{3} + 13 a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 29^{7} +O\left(29^{ 8 }\right)$ |
| $r_{ 2 }$ | $=$ | $ 23 a^{5} + 3 a^{4} + 25 a^{3} + 20 a^{2} + \left(9 a^{5} + 16 a^{4} + 23 a^{3} + 23 a^{2} + 5 a\right)\cdot 29 + \left(12 a^{5} + 22 a^{4} + 27 a^{3} + 4 a^{2} + 27 a + 23\right)\cdot 29^{2} + \left(22 a^{5} + 14 a^{4} + 9 a^{3} + a^{2} + 28 a + 24\right)\cdot 29^{3} + \left(21 a^{5} + 4 a^{4} + 23 a^{3} + 6 a^{2} + 25 a + 22\right)\cdot 29^{4} + \left(23 a^{5} + 14 a^{4} + 2 a^{3} + 6 a^{2} + 9 a + 4\right)\cdot 29^{5} + \left(26 a^{5} + 7 a^{4} + a^{3} + 19 a^{2} + 7 a\right)\cdot 29^{6} + \left(12 a^{5} + 20 a^{4} + 27 a^{3} + 7 a^{2} + 13 a + 4\right)\cdot 29^{7} +O\left(29^{ 8 }\right)$ |
| $r_{ 3 }$ | $=$ | $ 15 a^{5} + 2 a^{4} + 6 a^{3} + 9 a^{2} + 14 a + 26 + \left(20 a^{5} + 20 a^{4} + 17 a^{3} + 16 a^{2} + 5 a + 19\right)\cdot 29 + \left(27 a^{5} + 24 a^{4} + 24 a^{3} + 2 a^{2} + 20 a + 25\right)\cdot 29^{2} + \left(12 a^{5} + 26 a^{4} + 28 a^{3} + 19 a^{2} + 19 a + 15\right)\cdot 29^{3} + \left(27 a^{5} + a^{4} + 13 a^{3} + a^{2} + 10 a + 17\right)\cdot 29^{4} + \left(20 a^{5} + 19 a^{4} + 6 a^{3} + 4 a^{2} + 17 a + 1\right)\cdot 29^{5} + \left(11 a^{5} + 19 a^{4} + 25 a^{3} + 25 a^{2} + 28 a + 23\right)\cdot 29^{6} + \left(13 a^{5} + 23 a^{3} + 15 a^{2} + 5 a + 12\right)\cdot 29^{7} +O\left(29^{ 8 }\right)$ |
| $r_{ 4 }$ | $=$ | $ 8 a^{5} + 7 a^{4} + 9 a^{2} + 17 a + 18 + \left(7 a^{5} + 27 a^{4} + 11 a^{3} + 24 a^{2} + 16 a + 1\right)\cdot 29 + \left(10 a^{5} + 6 a^{4} + 17 a^{3} + 22 a^{2} + 8 a + 23\right)\cdot 29^{2} + \left(2 a^{5} + 20 a^{4} + 5 a^{3} + 16 a^{2} + 9 a + 18\right)\cdot 29^{3} + \left(9 a^{5} + 19 a^{4} + 20 a^{3} + 21 a + 14\right)\cdot 29^{4} + \left(3 a^{5} + 25 a^{4} + 12 a^{3} + 24 a^{2} + 10 a + 1\right)\cdot 29^{5} + \left(21 a^{5} + 25 a^{4} + 27 a^{3} + a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 29^{6} + \left(12 a^{5} + 28 a^{4} + 7 a^{3} + 27 a^{2} + 27 a + 4\right)\cdot 29^{7} +O\left(29^{ 8 }\right)$ |
| $r_{ 5 }$ | $=$ | $ 6 a^{5} + 18 a^{4} + 7 a^{3} + 17 a^{2} + 5 a + 8 + \left(27 a^{5} + 27 a^{4} + 11 a^{3} + 21 a^{2} + 19 a + 22\right)\cdot 29 + \left(15 a^{5} + 16 a^{4} + 16 a^{3} + 13 a^{2} + 7\right)\cdot 29^{2} + \left(25 a^{5} + 28 a^{4} + 18 a^{3} + 7 a^{2} + 14 a + 22\right)\cdot 29^{3} + \left(26 a^{5} + 23 a^{4} + 14 a^{3} + 7 a^{2} + 19 a + 18\right)\cdot 29^{4} + \left(15 a^{5} + 13 a^{4} + 19 a^{3} + 15 a^{2} + 27 a + 2\right)\cdot 29^{5} + \left(8 a^{5} + 14 a^{4} + 25 a^{3} + 5 a^{2} + 15 a + 26\right)\cdot 29^{6} + \left(10 a^{5} + 6 a^{4} + 12 a^{3} + 9 a^{2} + 12 a + 6\right)\cdot 29^{7} +O\left(29^{ 8 }\right)$ |
| $r_{ 6 }$ | $=$ | $ 6 a^{5} + 7 a^{4} + 5 a^{3} + 27 a^{2} + 20 a + 5 + \left(7 a^{5} + 8 a^{4} + 14 a^{2} + 3 a + 22\right)\cdot 29 + \left(8 a^{5} + 11 a^{4} + 9 a^{3} + 2 a^{2} + 19 a + 27\right)\cdot 29^{2} + \left(14 a^{4} + 23 a^{3} + 7 a^{2} + 14 a + 28\right)\cdot 29^{3} + \left(21 a^{5} + 17 a^{4} + 24 a^{3} + 9 a^{2} + 15 a + 8\right)\cdot 29^{4} + \left(22 a^{5} + 13 a^{4} + 27 a^{3} + 5 a + 25\right)\cdot 29^{5} + \left(3 a^{5} + 4 a^{4} + 24 a^{3} + 21 a^{2} + 25 a + 12\right)\cdot 29^{6} + \left(16 a^{5} + 24 a^{4} + 2 a^{3} + 3 a^{2} + 6 a + 25\right)\cdot 29^{7} +O\left(29^{ 8 }\right)$ |
| $r_{ 7 }$ | $=$ | $ 26 a^{5} + 7 a^{4} + 11 a^{3} + 11 a^{2} + 28 a + 10 + \left(15 a^{5} + 2 a^{4} + 21 a^{3} + 22 a^{2} + 24 a + 6\right)\cdot 29 + \left(21 a^{5} + 6 a^{4} + 3 a^{3} + 7 a^{2} + 2 a + 10\right)\cdot 29^{2} + \left(13 a^{5} + 10 a^{4} + 4 a^{3} + 19 a^{2} + 23 a + 28\right)\cdot 29^{3} + \left(2 a^{5} + 21 a^{3} + 25 a^{2} + 16 a + 8\right)\cdot 29^{4} + \left(26 a^{5} + 25 a^{4} + 28 a^{3} + 8 a^{2} + 20 a + 5\right)\cdot 29^{5} + \left(18 a^{5} + 25 a^{4} + 10 a^{3} + 15 a^{2} + 19 a + 17\right)\cdot 29^{6} + \left(16 a^{5} + 24 a^{4} + 27 a^{3} + 20 a^{2} + 20 a + 16\right)\cdot 29^{7} +O\left(29^{ 8 }\right)$ |
| $r_{ 8 }$ | $=$ | $ 9 a^{5} + a^{4} + 11 a^{3} + 22 a^{2} + 19 a + 7 + \left(27 a^{5} + 25 a^{4} + 24 a^{3} + 12 a^{2} + 4\right)\cdot 29 + \left(9 a^{5} + 20 a^{4} + 10 a^{3} + 17 a^{2} + 11 a + 28\right)\cdot 29^{2} + \left(14 a^{5} + 2 a^{4} + 11 a^{3} + 20 a^{2} + 16 a + 5\right)\cdot 29^{3} + \left(19 a^{5} + 10 a^{4} + 2 a^{3} + 15 a^{2} + 22 a + 2\right)\cdot 29^{4} + \left(5 a^{5} + 16 a^{4} + 20 a^{3} + 26 a^{2} + 24 a + 23\right)\cdot 29^{5} + \left(10 a^{5} + 5 a^{4} + 14 a^{3} + 5 a^{2} + 28 a + 25\right)\cdot 29^{6} + \left(23 a^{5} + 3 a^{4} + 25 a^{3} + 13 a^{2} + 26 a + 3\right)\cdot 29^{7} +O\left(29^{ 8 }\right)$ |
| $r_{ 9 }$ | $=$ | $ 13 a^{5} + 10 a^{4} + 19 a^{3} + 12 a^{2} + 18 a + 8 + \left(21 a^{5} + 13 a^{4} + 5 a^{3} + 9 a^{2} + 15 a + 13\right)\cdot 29 + \left(9 a^{5} + 3 a^{4} + 27 a^{3} + 10 a^{2} + 21\right)\cdot 29^{2} + \left(14 a^{5} + 15 a^{4} + 10 a^{3} + 28 a^{2} + 28 a + 18\right)\cdot 29^{3} + \left(23 a^{5} + 14 a^{4} + 8 a^{3} + 22 a^{2} + 13 a + 15\right)\cdot 29^{4} + \left(25 a^{4} + 6 a^{3} + 14 a^{2} + 21 a + 10\right)\cdot 29^{5} + \left(15 a^{5} + 11 a^{4} + 7 a^{3} + 22 a^{2} + 3 a + 7\right)\cdot 29^{6} + \left(21 a^{4} + 12 a^{3} + 19 a^{2} + 17 a + 3\right)\cdot 29^{7} +O\left(29^{ 8 }\right)$ |
| $r_{ 10 }$ | $=$ | $ 3 a^{5} + 21 a^{4} + 7 a^{3} + 17 a^{2} + 22 a + 27 + \left(17 a^{5} + 3 a^{4} + 4 a^{3} + 19 a^{2} + 12\right)\cdot 29 + \left(19 a^{5} + 5 a^{4} + 18 a^{3} + 15 a^{2} + 26 a + 18\right)\cdot 29^{2} + \left(18 a^{5} + 20 a^{4} + 28 a^{3} + 12 a^{2} + 15 a + 15\right)\cdot 29^{3} + \left(6 a^{5} + 10 a^{4} + 7 a^{3} + 15 a^{2} + 17 a + 19\right)\cdot 29^{4} + \left(20 a^{3} + 8 a^{2} + 24 a + 12\right)\cdot 29^{5} + \left(18 a^{5} + 17 a^{4} + 19 a^{3} + 14 a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 29^{6} + \left(21 a^{5} + 12 a^{4} + 2 a^{3} + 21 a^{2} + 18 a + 16\right)\cdot 29^{7} +O\left(29^{ 8 }\right)$ |
| $r_{ 11 }$ | $=$ | $ a^{5} + 16 a^{4} + 19 a^{3} + a^{2} + 27 a + 11 + \left(10 a^{5} + 19 a^{4} + 2 a^{3} + 19 a^{2} + 10 a + 15\right)\cdot 29 + \left(21 a^{5} + 17 a^{4} + 20 a^{3} + 21 a + 3\right)\cdot 29^{2} + \left(13 a^{5} + 22 a^{4} + 3 a^{3} + 27 a^{2} + 5 a + 12\right)\cdot 29^{3} + \left(6 a^{5} + 4 a^{4} + 27 a^{3} + 3 a^{2} + 8 a + 22\right)\cdot 29^{4} + \left(21 a^{5} + 5 a^{4} + 14 a^{3} + 26 a^{2} + 17 a + 21\right)\cdot 29^{5} + \left(23 a^{5} + 3 a^{4} + 3 a^{3} + 2 a^{2} + 23 a + 27\right)\cdot 29^{6} + \left(22 a^{5} + 14 a^{4} + 14 a^{3} + 27 a^{2} + 10 a + 15\right)\cdot 29^{7} +O\left(29^{ 8 }\right)$ |
| $r_{ 12 }$ | $=$ | $ 26 a^{5} + 15 a^{4} + 25 a^{2} + 14 a + 28 + \left(9 a^{5} + 13 a^{4} + 8 a^{3} + 14 a^{2} + 15 a + 10\right)\cdot 29 + \left(6 a^{5} + 26 a^{4} + 22 a^{3} + 8 a^{2} + 8 a + 14\right)\cdot 29^{2} + \left(11 a^{5} + 17 a^{4} + 2 a^{3} + 14 a^{2} + 2 a + 8\right)\cdot 29^{3} + \left(14 a^{5} + 19 a^{4} + 11 a^{3} + 14 a^{2} + 6\right)\cdot 29^{4} + \left(13 a^{5} + 16 a^{4} + 3 a^{3} + 17 a^{2} + 7 a + 25\right)\cdot 29^{5} + \left(28 a^{5} + 27 a^{4} + 19 a^{3} + 19 a^{2} + 20 a + 28\right)\cdot 29^{6} + \left(25 a^{5} + 16 a^{4} + 10 a^{3} + 11 a^{2} + 27 a\right)\cdot 29^{7} +O\left(29^{ 8 }\right)$ |
| $r_{ 13 }$ | $=$ | $ 4 a^{5} + 10 a^{4} + 6 a^{3} + 25 a^{2} + 11 a + 7 + \left(23 a^{5} + 6 a^{4} + 14 a^{3} + 6 a^{2} + 4 a\right)\cdot 29 + \left(23 a^{5} + 15 a^{4} + 17 a^{2} + 20 a + 17\right)\cdot 29^{2} + \left(21 a^{5} + 24 a^{4} + 26 a^{3} + 16 a^{2} + 12 a + 5\right)\cdot 29^{3} + \left(3 a^{5} + a^{4} + 4 a^{3} + 15 a^{2} + 18 a + 9\right)\cdot 29^{4} + \left(2 a^{5} + 10 a^{4} + 26 a^{3} + 26 a^{2} + 13 a + 25\right)\cdot 29^{5} + \left(19 a^{5} + 21 a^{4} + 16 a^{3} + 13 a^{2} + 10 a + 19\right)\cdot 29^{6} + \left(26 a^{5} + 17 a^{4} + 26 a^{3} + 6 a + 9\right)\cdot 29^{7} +O\left(29^{ 8 }\right)$ |
| $r_{ 14 }$ | $=$ | $ 5 a^{5} + 15 a^{4} + 10 a^{3} + 8 a^{2} + 11 a + 5 + \left(19 a^{5} + 22 a^{4} + 5 a^{3} + 22 a^{2} + 7 a + 26\right)\cdot 29 + \left(12 a^{5} + 6 a^{4} + 15 a^{3} + 26 a^{2} + 16 a + 4\right)\cdot 29^{2} + \left(5 a^{5} + 14 a^{4} + 22 a^{3} + 17 a^{2} + 22 a + 12\right)\cdot 29^{3} + \left(5 a^{5} + 10 a^{4} + 22 a^{3} + 13 a^{2} + 20 a + 7\right)\cdot 29^{4} + \left(9 a^{5} + 22 a^{4} + 10 a^{3} + 12 a^{2} + 22 a + 20\right)\cdot 29^{5} + \left(2 a^{5} + 22 a^{4} + 17 a^{3} + 13 a^{2} + 9 a + 15\right)\cdot 29^{6} + \left(27 a^{5} + 13 a^{4} + 27 a^{3} + 23 a^{2} + 19 a + 1\right)\cdot 29^{7} +O\left(29^{ 8 }\right)$ |
| $r_{ 15 }$ | $=$ | $ 25 a^{5} + 15 a^{4} + 26 a^{3} + 21 a^{2} + 4 a + 4 + \left(20 a^{5} + 15 a^{4} + 13 a^{3} + 19 a^{2} + 25 a + 13\right)\cdot 29 + \left(26 a^{5} + 18 a^{4} + 17 a^{3} + 4 a^{2} + 6 a\right)\cdot 29^{2} + \left(12 a^{5} + 23 a^{4} + 8 a^{3} + 6 a^{2} + 7 a + 28\right)\cdot 29^{3} + \left(14 a^{5} + 26 a^{4} + 19 a^{3} + 6 a^{2} + 25 a\right)\cdot 29^{4} + \left(10 a^{5} + 6 a^{4} + a^{3} + 24 a^{2} + 14 a + 6\right)\cdot 29^{5} + \left(6 a^{5} + 3 a^{4} + 27 a^{3} + 4 a^{2} + 16 a + 28\right)\cdot 29^{6} + \left(24 a^{5} + 10 a^{4} + 12 a^{3} + 4 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 29^{7} +O\left(29^{ 8 }\right)$ |
| $r_{ 16 }$ | $=$ | $ 16 a^{5} + 15 a^{4} + 3 a^{3} + 5 a^{2} + 12 a + 9 + \left(9 a^{4} + 6 a^{3} + 27 a^{2} + 17 a + 26\right)\cdot 29 + \left(11 a^{5} + 13 a^{4} + 12 a^{3} + 9 a^{2} + 19 a + 11\right)\cdot 29^{2} + \left(26 a^{5} + 19 a^{4} + 18 a^{3} + 18 a^{2} + 15 a + 27\right)\cdot 29^{3} + \left(24 a^{5} + 9 a^{4} + 15 a^{3} + 22 a^{2} + 26 a\right)\cdot 29^{4} + \left(13 a^{5} + 18 a^{4} + 2 a^{3} + 3 a^{2} + 15\right)\cdot 29^{5} + \left(21 a^{5} + 24 a^{4} + 13 a^{3} + 28 a^{2} + 11 a + 3\right)\cdot 29^{6} + \left(24 a^{5} + 10 a^{4} + 8 a^{3} + 20 a^{2} + 22 a + 28\right)\cdot 29^{7} +O\left(29^{ 8 }\right)$ |
| $r_{ 17 }$ | $=$ | $ 10 a^{5} + a^{4} + 3 a^{3} + 6 a + 25 + \left(9 a^{5} + 17 a^{4} + 12 a^{3} + 27 a^{2} + 23 a + 14\right)\cdot 29 + \left(3 a^{5} + 8 a^{4} + 14 a^{3} + 4 a^{2} + 27 a + 9\right)\cdot 29^{2} + \left(18 a^{5} + 14 a^{4} + 28 a^{3} + 22 a^{2} + 15 a + 15\right)\cdot 29^{3} + \left(7 a^{5} + 19 a^{4} + 5 a^{3} + 27 a^{2} + 24 a + 2\right)\cdot 29^{4} + \left(12 a^{5} + 18 a^{4} + 3 a^{3} + 27 a^{2} + 8 a + 9\right)\cdot 29^{5} + \left(5 a^{5} + 2 a^{4} + 25 a^{3} + 9 a + 15\right)\cdot 29^{6} + \left(18 a^{5} + a^{4} + 3 a^{3} + 28 a + 18\right)\cdot 29^{7} +O\left(29^{ 8 }\right)$ |
| $r_{ 18 }$ | $=$ | $ 15 a^{5} + 13 a^{4} + 8 a^{3} + 28 a^{2} + 28 a + \left(11 a^{5} + 10 a^{4} + 28 a^{3} + 22 a^{2} + 20 a + 20\right)\cdot 29 + \left(6 a^{5} + a^{4} + 2 a^{3} + 13 a^{2} + a + 5\right)\cdot 29^{2} + \left(9 a^{5} + 12 a^{4} + 24 a^{3} + 19 a^{2} + 19 a + 9\right)\cdot 29^{3} + \left(4 a^{5} + 8 a^{4} + 3 a^{3} + 28 a^{2} + 14 a + 27\right)\cdot 29^{4} + \left(14 a^{5} + 19 a^{4} + 27 a^{3} + 18 a^{2} + 10 a + 7\right)\cdot 29^{5} + \left(16 a^{5} + 25 a^{3} + 9 a^{2} + 19 a + 7\right)\cdot 29^{6} + \left(7 a^{5} + 12 a^{4} + 4 a^{3} + 21 a^{2} + 11 a + 23\right)\cdot 29^{7} +O\left(29^{ 8 }\right)$ |
Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 18 }$
| Cycle notation |
Character values on conjugacy classes
| Size | Order | Action on $r_1, \ldots, r_{ 18 }$ | Character value |
| $1$ | $1$ | $()$ | $2$ |
| $3$ | $2$ | $(1,13)(2,15)(3,18)(4,17)(5,6)(7,8)(9,11)(10,14)(12,16)$ | $0$ |
| $1$ | $3$ | $(1,12,15)(2,13,16)(3,7,10)(4,6,11)(5,9,17)(8,14,18)$ | $2 \zeta_{3}$ |
| $1$ | $3$ | $(1,15,12)(2,16,13)(3,10,7)(4,11,6)(5,17,9)(8,18,14)$ | $-2 \zeta_{3} - 2$ |
| $2$ | $3$ | $(1,3,9)(2,6,14)(4,8,16)(5,15,10)(7,17,12)(11,18,13)$ | $-1$ |
| $2$ | $3$ | $(1,7,5)(2,11,8)(3,17,15)(4,14,13)(6,18,16)(9,12,10)$ | $-\zeta_{3}$ |
| $2$ | $3$ | $(1,5,7)(2,8,11)(3,15,17)(4,13,14)(6,16,18)(9,10,12)$ | $\zeta_{3} + 1$ |
| $3$ | $6$ | $(1,2,12,13,15,16)(3,14,7,18,10,8)(4,9,6,17,11,5)$ | $0$ |
| $3$ | $6$ | $(1,16,15,13,12,2)(3,8,10,18,7,14)(4,5,11,17,6,9)$ | $0$ |