Basic invariants
| Dimension: | $2$ |
| Group: | 21T6 |
| Conductor: | $2523= 3 \cdot 29^{2} $ |
| Artin number field: | Splitting field of $f= x^{21} - x^{20} - 9 x^{19} + 10 x^{18} + 28 x^{17} - 211 x^{16} + 324 x^{15} + 384 x^{14} - 1692 x^{13} + 1991 x^{12} + 2315 x^{11} - 1214 x^{10} - 9164 x^{9} - 5328 x^{8} + 34796 x^{7} - 21283 x^{6} - 16215 x^{5} + 19798 x^{4} - 2184 x^{3} - 3057 x^{2} + 711 x - 41 $ over $\Q$ |
| Size of Galois orbit: | 6 |
| Smallest containing permutation representation: | 21T6 |
| Parity: | Odd |
| Determinant: | 1.3_29.14t1.1c5 |
Galois action
Roots of defining polynomial
The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 23 }$ to precision 8.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 23 }$: $ x^{14} + x^{8} + 5 x^{7} + 16 x^{6} + x^{5} + 18 x^{4} + 19 x^{3} + x^{2} + 22 x + 5 $
Roots:
| $r_{ 1 }$ | $=$ | $ 16 a^{12} + 4 a^{11} + 16 a^{10} + 19 a^{9} + 22 a^{8} + 6 a^{7} + 15 a^{6} + 2 a^{4} + 20 a^{3} + 3 a^{2} + 17 a + 16 + \left(14 a^{13} + 12 a^{12} + 7 a^{11} + 16 a^{10} + 17 a^{9} + 13 a^{8} + 18 a^{7} + 19 a^{6} + a^{5} + 12 a^{4} + 17 a^{3} + 21 a^{2} + 20 a + 8\right)\cdot 23 + \left(4 a^{13} + 19 a^{12} + 20 a^{11} + 7 a^{10} + 2 a^{9} + 17 a^{8} + 7 a^{7} + 18 a^{6} + a^{5} + 6 a^{4} + 20 a^{3} + 4 a^{2} + 17 a + 4\right)\cdot 23^{2} + \left(18 a^{13} + 17 a^{12} + 6 a^{11} + 12 a^{10} + 3 a^{9} + 17 a^{7} + 17 a^{6} + 14 a^{5} + 12 a^{4} + 18 a^{3} + 10 a^{2} + 16 a + 10\right)\cdot 23^{3} + \left(7 a^{13} + 20 a^{12} + 10 a^{11} + 10 a^{10} + 7 a^{9} + 12 a^{8} + 18 a^{7} + 12 a^{6} + 4 a^{5} + 12 a^{4} + 6 a^{3} + 14 a^{2} + 16 a + 1\right)\cdot 23^{4} + \left(18 a^{13} + 15 a^{11} + a^{10} + 5 a^{9} + 21 a^{8} + 18 a^{7} + 11 a^{6} + 12 a^{5} + 16 a^{4} + 16 a^{2} + 3 a + 12\right)\cdot 23^{5} + \left(9 a^{13} + 11 a^{12} + a^{11} + 15 a^{10} + 10 a^{9} + 14 a^{8} + 6 a^{7} + 18 a^{6} + 11 a^{5} + 15 a^{4} + 4 a^{3} + 3 a^{2} + 10 a + 3\right)\cdot 23^{6} + \left(a^{13} + 13 a^{12} + 2 a^{11} + 13 a^{10} + 13 a^{9} + 4 a^{8} + 10 a^{7} + 13 a^{6} + 12 a^{5} + 14 a^{4} + 4 a^{3} + 2 a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 23^{7} +O\left(23^{ 8 }\right)$ |
| $r_{ 2 }$ | $=$ | $ 4 a^{13} + 16 a^{12} + 17 a^{11} + 16 a^{10} + 4 a^{8} + 22 a^{7} + 19 a^{6} + 10 a^{5} + 12 a^{4} + 9 a^{3} + 17 a^{2} + 21 a + 10 + \left(19 a^{13} + 6 a^{12} + 20 a^{11} + 8 a^{10} + 12 a^{9} + 21 a^{8} + 17 a^{7} + 14 a^{6} + 11 a^{5} + 6 a^{4} + 14 a^{3} + 16 a\right)\cdot 23 + \left(19 a^{13} + 15 a^{12} + 4 a^{11} + 20 a^{10} + 4 a^{9} + 16 a^{8} + 8 a^{7} + 18 a^{6} + 22 a^{5} + 12 a^{4} + 18 a^{3} + 7 a^{2} + 18 a + 15\right)\cdot 23^{2} + \left(12 a^{13} + 2 a^{12} + 16 a^{11} + 18 a^{10} + 18 a^{9} + 20 a^{8} + 4 a^{7} + 10 a^{6} + 5 a^{5} + 14 a^{4} + 21 a^{3} + 8 a^{2} + 10\right)\cdot 23^{3} + \left(7 a^{13} + 12 a^{12} + 9 a^{11} + 6 a^{10} + 13 a^{8} + 13 a^{7} + 6 a^{6} + 11 a^{5} + 13 a^{4} + 22 a^{3} + 6 a^{2} + a + 4\right)\cdot 23^{4} + \left(17 a^{13} + 17 a^{12} + 7 a^{11} + 19 a^{10} + 17 a^{9} + 6 a^{8} + 16 a^{7} + 22 a^{6} + a^{5} + 3 a^{4} + a^{3} + 21 a^{2} + 21 a + 9\right)\cdot 23^{5} + \left(22 a^{13} + 13 a^{12} + 9 a^{11} + 3 a^{10} + 12 a^{9} + 12 a^{8} + 8 a^{7} + 13 a^{6} + 5 a^{5} + 6 a^{4} + a^{3} + 11 a^{2} + 12 a + 16\right)\cdot 23^{6} + \left(22 a^{13} + 8 a^{12} + 22 a^{11} + a^{10} + 13 a^{9} + 20 a^{8} + 14 a^{7} + 20 a^{6} + 18 a^{5} + 7 a^{4} + 12 a^{3} + 7 a^{2} + 14 a + 7\right)\cdot 23^{7} +O\left(23^{ 8 }\right)$ |
| $r_{ 3 }$ | $=$ | $ a^{13} + 14 a^{12} + 13 a^{11} + 5 a^{10} + 6 a^{9} + 18 a^{8} + 21 a^{7} + 13 a^{6} + 14 a^{5} + 16 a^{4} + 10 a^{3} + 11 a^{2} + a + 12 + \left(8 a^{13} + 18 a^{12} + 15 a^{11} + 21 a^{10} + 7 a^{9} + 16 a^{8} + 17 a^{7} + 5 a^{6} + 13 a^{4} + 6 a^{3} + 11 a^{2} + 19 a + 20\right)\cdot 23 + \left(15 a^{13} + 13 a^{12} + 4 a^{11} + a^{10} + 16 a^{9} + a^{8} + 4 a^{7} + 11 a^{6} + 4 a^{5} + 9 a^{4} + 8 a^{3} + 10 a^{2} + 22 a + 14\right)\cdot 23^{2} + \left(16 a^{13} + 19 a^{12} + 21 a^{11} + 16 a^{8} + 12 a^{7} + 21 a^{6} + 5 a^{5} + 22 a^{4} + 11 a^{3} + 2 a^{2} + 9 a\right)\cdot 23^{3} + \left(12 a^{13} + 12 a^{12} + 12 a^{11} + 6 a^{10} + 2 a^{9} + 19 a^{8} + 6 a^{7} + 2 a^{6} + 8 a^{5} + 21 a^{4} + 16 a^{3} + 9 a^{2} + 2 a + 12\right)\cdot 23^{4} + \left(7 a^{13} + 18 a^{12} + 10 a^{11} + 18 a^{10} + 6 a^{9} + 2 a^{8} + 4 a^{6} + 16 a^{5} + 18 a^{4} + 14 a^{3} + 11 a^{2} + 7 a + 19\right)\cdot 23^{5} + \left(12 a^{13} + 22 a^{12} + 22 a^{11} + 15 a^{10} + 19 a^{9} + 3 a^{8} + 21 a^{7} + 16 a^{6} + 21 a^{5} + 12 a^{4} + 10 a^{3} + 17 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 23^{6} + \left(11 a^{13} + 7 a^{12} + 4 a^{11} + 14 a^{10} + 20 a^{9} + 5 a^{8} + 16 a^{7} + 14 a^{6} + 5 a^{5} + 19 a^{4} + 13 a^{3} + 4 a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 23^{7} +O\left(23^{ 8 }\right)$ |
| $r_{ 4 }$ | $=$ | $ 21 a^{13} + 19 a^{12} + 9 a^{11} + 16 a^{10} + 14 a^{9} + 6 a^{8} + 14 a^{7} + 11 a^{5} + 7 a^{4} + 2 a^{3} + 16 a^{2} + 12 a + \left(3 a^{13} + 20 a^{12} + 15 a^{11} + 21 a^{10} + 19 a^{9} + 5 a^{8} + 19 a^{7} + 2 a^{6} + 14 a^{5} + 18 a^{4} + 13 a^{3} + 15 a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 23 + \left(21 a^{13} + 14 a^{12} + 11 a^{11} + 8 a^{10} + 9 a^{9} + 11 a^{8} + 10 a^{7} + 13 a^{6} + 22 a^{5} + 7 a^{4} + 20 a^{3} + 3 a^{2} + 2 a + 8\right)\cdot 23^{2} + \left(7 a^{13} + 13 a^{12} + 12 a^{11} + 8 a^{10} + 9 a^{9} + 22 a^{8} + 15 a^{7} + 4 a^{6} + 9 a^{5} + 10 a^{4} + a^{3} + 7 a^{2} + 14 a + 22\right)\cdot 23^{3} + \left(14 a^{13} + 15 a^{12} + 18 a^{11} + 7 a^{10} + 7 a^{9} + 3 a^{8} + 11 a^{7} + 20 a^{6} + 21 a^{5} + 9 a^{4} + 14 a^{3} + 11 a^{2} + 9 a + 4\right)\cdot 23^{4} + \left(18 a^{13} + 14 a^{12} + 19 a^{11} + 2 a^{10} + 2 a^{9} + 5 a^{8} + 5 a^{7} + 15 a^{6} + 7 a^{5} + 18 a^{4} + 11 a^{3} + 4 a^{2} + 6 a + 1\right)\cdot 23^{5} + \left(6 a^{13} + 2 a^{12} + a^{11} + 6 a^{10} + 16 a^{9} + a^{8} + a^{7} + 11 a^{6} + 2 a^{5} + 4 a^{4} + 22 a^{2} + 13 a + 14\right)\cdot 23^{6} + \left(3 a^{13} + 4 a^{12} + 6 a^{11} + 2 a^{10} + 7 a^{9} + 4 a^{8} + 14 a^{6} + 15 a^{5} + 2 a^{4} + 13 a^{3} + 19 a^{2} + 2 a + 21\right)\cdot 23^{7} +O\left(23^{ 8 }\right)$ |
| $r_{ 5 }$ | $=$ | $ 7 a^{13} + 13 a^{12} + 18 a^{11} + 21 a^{10} + 11 a^{9} + 11 a^{8} + 18 a^{7} + 7 a^{6} + 18 a^{5} + 11 a^{4} + 18 a^{3} + 6 a^{2} + 8 a + 22 + \left(5 a^{13} + 6 a^{12} + 9 a^{11} + 14 a^{10} + 4 a^{8} + 14 a^{7} + 16 a^{6} + 5 a^{5} + 19 a^{4} + 7 a^{3} + 9 a^{2} + 19 a + 1\right)\cdot 23 + \left(3 a^{13} + 11 a^{12} + 5 a^{11} + 20 a^{10} + 18 a^{9} + 13 a^{8} + 8 a^{6} + 5 a^{5} + 22 a^{4} + 17 a^{3} + 18 a^{2} + 14 a + 18\right)\cdot 23^{2} + \left(21 a^{13} + 14 a^{12} + 17 a^{11} + 18 a^{10} + 17 a^{9} + 14 a^{8} + 17 a^{7} + 6 a^{6} + 17 a^{5} + 3 a^{4} + 12 a^{3} + 21 a^{2} + 4 a + 6\right)\cdot 23^{3} + \left(2 a^{13} + 13 a^{11} + 9 a^{10} + 17 a^{9} + 5 a^{8} + 13 a^{7} + 22 a^{6} + 17 a^{5} + 15 a^{4} + 8 a^{3} + 19 a^{2} + 17 a + 21\right)\cdot 23^{4} + \left(19 a^{13} + 3 a^{12} + 18 a^{11} + 5 a^{10} + 2 a^{9} + 2 a^{8} + 19 a^{7} + 6 a^{6} + 15 a^{4} + 11 a^{3} + 9 a^{2} + 20 a + 12\right)\cdot 23^{5} + \left(13 a^{13} + 14 a^{12} + 7 a^{11} + 17 a^{10} + 22 a^{9} + 7 a^{8} + 6 a^{7} + 15 a^{5} + 7 a^{4} + 21 a^{3} + 19 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 23^{6} + \left(17 a^{13} + 2 a^{12} + 21 a^{11} + 17 a^{10} + 22 a^{9} + 16 a^{8} + 22 a^{7} + a^{6} + 9 a^{5} + 9 a^{4} + 16 a^{3} + 11 a^{2} + 2 a + 12\right)\cdot 23^{7} +O\left(23^{ 8 }\right)$ |
| $r_{ 6 }$ | $=$ | $ 14 a^{13} + 12 a^{12} + 3 a^{11} + 10 a^{10} + 22 a^{9} + 2 a^{8} + 16 a^{7} + 6 a^{6} + 19 a^{5} + 18 a^{4} + 18 a^{3} + 7 a^{2} + 17 a + 13 + \left(10 a^{13} + a^{12} + 20 a^{11} + 7 a^{10} + 19 a^{9} + 15 a^{8} + 16 a^{7} + 2 a^{5} + 4 a^{4} + 14 a^{3} + 5 a^{2} + 13 a + 22\right)\cdot 23 + \left(20 a^{13} + 16 a^{12} + 22 a^{11} + 11 a^{10} + 9 a^{9} + 20 a^{8} + 17 a^{7} + 11 a^{6} + 5 a^{5} + 8 a^{4} + 11 a^{3} + 11 a^{2} + 8 a + 16\right)\cdot 23^{2} + \left(5 a^{13} + 4 a^{12} + 21 a^{11} + 12 a^{10} + 10 a^{9} + 19 a^{8} + 7 a^{7} + 14 a^{6} + 9 a^{5} + 17 a^{4} + 10 a^{3} + 22 a^{2} + 15 a + 9\right)\cdot 23^{3} + \left(13 a^{13} + 13 a^{12} + 2 a^{11} + 14 a^{10} + 17 a^{9} + 16 a^{8} + 16 a^{7} + 15 a^{6} + 17 a^{5} + 17 a^{4} + 18 a^{3} + 17 a^{2} + 6 a + 21\right)\cdot 23^{4} + \left(6 a^{13} + 4 a^{12} + 8 a^{11} + a^{10} + 14 a^{9} + a^{8} + 6 a^{7} + 8 a^{6} + 14 a^{5} + 13 a^{4} + 9 a^{3} + 6 a^{2} + 7 a + 18\right)\cdot 23^{5} + \left(13 a^{13} + 2 a^{12} + 17 a^{11} + 10 a^{10} + 6 a^{9} + 16 a^{8} + 14 a^{7} + 8 a^{6} + 5 a^{5} + 4 a^{4} + a^{3} + 10 a^{2} + 19 a + 18\right)\cdot 23^{6} + \left(11 a^{13} + 16 a^{12} + 22 a^{11} + 10 a^{10} + 7 a^{9} + 2 a^{8} + a^{7} + 3 a^{6} + 3 a^{5} + 16 a^{4} + 18 a^{3} + 6 a^{2} + 7 a + 1\right)\cdot 23^{7} +O\left(23^{ 8 }\right)$ |
| $r_{ 7 }$ | $=$ | $ 15 a^{13} + 10 a^{12} + 13 a^{11} + 16 a^{10} + 22 a^{9} + 3 a^{7} + 18 a^{6} + 19 a^{5} + 21 a^{4} + 22 a^{3} + 19 a^{2} + 9 a + 5 + \left(21 a^{13} + 2 a^{12} + 6 a^{11} + 12 a^{10} + 18 a^{9} + a^{8} + 10 a^{7} + 22 a^{6} + 10 a^{5} + 2 a^{4} + 16 a^{3} + 13 a^{2} + 22 a + 18\right)\cdot 23 + \left(15 a^{13} + 5 a^{12} + 22 a^{11} + 22 a^{10} + 8 a^{9} + 21 a^{8} + 20 a^{7} + 16 a^{6} + 9 a^{5} + 22 a^{4} + 17 a^{3} + a^{2} + 20 a + 14\right)\cdot 23^{2} + \left(15 a^{13} + 22 a^{12} + 5 a^{11} + 7 a^{10} + 12 a^{9} + a^{8} + 22 a^{7} + 5 a^{6} + a^{5} + 3 a^{4} + 6 a^{3} + 5 a^{2} + 16 a + 21\right)\cdot 23^{3} + \left(22 a^{12} + 18 a^{11} + 10 a^{10} + 12 a^{9} + 18 a^{8} + 17 a^{7} + 11 a^{6} + 11 a^{5} + 13 a^{4} + 6 a^{3} + 4 a^{2} + 6\right)\cdot 23^{4} + \left(9 a^{13} + 14 a^{12} + 21 a^{11} + 13 a^{10} + 22 a^{9} + 4 a^{8} + 19 a^{7} + 20 a^{6} + 7 a^{5} + 18 a^{4} + 13 a^{3} + 4 a^{2} + 18 a + 12\right)\cdot 23^{5} + \left(8 a^{13} + 12 a^{12} + 2 a^{11} + a^{10} + 6 a^{8} + 18 a^{7} + 5 a^{6} + 12 a^{5} + 13 a^{4} + 7 a^{3} + 10 a^{2} + 19 a + 11\right)\cdot 23^{6} + \left(15 a^{13} + 14 a^{12} + 21 a^{11} + 9 a^{10} + 19 a^{9} + 7 a^{8} + 5 a^{7} + 7 a^{6} + 17 a^{5} + 22 a^{4} + 18 a^{3} + 5 a^{2} + 6 a + 16\right)\cdot 23^{7} +O\left(23^{ 8 }\right)$ |
| $r_{ 8 }$ | $=$ | $ 11 a^{13} + 15 a^{12} + 19 a^{11} + 18 a^{10} + 5 a^{9} + 16 a^{8} + 9 a^{7} + 7 a^{6} + 18 a^{5} + 11 a^{4} + 3 a^{3} + 16 a^{2} + a + 16 + \left(9 a^{13} + 4 a^{12} + 17 a^{11} + 11 a^{10} + 9 a^{9} + 12 a^{8} + 2 a^{7} + 19 a^{6} + 10 a^{5} + 3 a^{4} + a^{3} + 22 a^{2} + 17 a + 5\right)\cdot 23 + \left(5 a^{13} + 21 a^{12} + 10 a^{11} + 9 a^{10} + 9 a^{9} + 8 a^{8} + a^{7} + 16 a^{6} + 14 a^{5} + 16 a^{4} + 17 a^{3} + 9 a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 23^{2} + \left(17 a^{13} + 7 a^{12} + 13 a^{10} + 4 a^{9} + 16 a^{8} + 11 a^{7} + 10 a^{6} + 5 a^{5} + a^{4} + 10 a^{3} + 21 a + 20\right)\cdot 23^{3} + \left(2 a^{13} + 4 a^{12} + 16 a^{11} + 10 a^{10} + 18 a^{9} + 5 a^{8} + 22 a^{7} + 3 a^{6} + 17 a^{5} + 21 a^{4} + 17 a^{3} + a^{2} + 14 a + 17\right)\cdot 23^{4} + \left(14 a^{13} + 5 a^{12} + 19 a^{11} + 22 a^{10} + 20 a^{8} + 15 a^{7} + 15 a^{6} + 16 a^{5} + 17 a^{4} + 12 a^{3} + 17 a^{2} + 6 a + 20\right)\cdot 23^{5} + \left(5 a^{13} + 18 a^{12} + 17 a^{11} + a^{10} + 12 a^{9} + 21 a^{8} + 2 a^{7} + 3 a^{6} + 16 a^{5} + 4 a^{4} + 11 a^{2} + 18 a + 15\right)\cdot 23^{6} + \left(4 a^{13} + a^{12} + 8 a^{11} + 6 a^{10} + 6 a^{9} + 17 a^{7} + 15 a^{6} + 20 a^{5} + 21 a^{4} + 5 a^{3} + 10 a^{2} + 10 a + 5\right)\cdot 23^{7} +O\left(23^{ 8 }\right)$ |
| $r_{ 9 }$ | $=$ | $ 19 a^{13} + 12 a^{12} + 3 a^{11} + 14 a^{10} + 2 a^{9} + 4 a^{8} + 14 a^{7} + 9 a^{6} + 20 a^{5} + 22 a^{4} + 22 a^{3} + 15 a^{2} + 16 a + 12 + \left(3 a^{13} + 12 a^{12} + 15 a^{11} + 19 a^{10} + 4 a^{9} + 10 a^{8} + 20 a^{7} + 16 a^{6} + a^{5} + 2 a^{4} + 20 a^{3} + 19 a^{2} + 8 a + 19\right)\cdot 23 + \left(8 a^{13} + 6 a^{12} + 2 a^{11} + 19 a^{10} + 16 a^{9} + 6 a^{8} + 20 a^{7} + 7 a^{6} + 11 a^{5} + 17 a^{4} + 2 a^{3} + 10 a^{2} + 7 a + 19\right)\cdot 23^{2} + \left(7 a^{13} + 2 a^{11} + 5 a^{10} + 3 a^{9} + 4 a^{8} + 13 a^{7} + 7 a^{6} + 13 a^{5} + 11 a^{4} + 11 a^{3} + a^{2} + 18 a + 16\right)\cdot 23^{3} + \left(19 a^{13} + 16 a^{12} + 20 a^{11} + 5 a^{10} + 16 a^{9} + 21 a^{8} + 13 a^{7} + 14 a^{6} + 14 a^{5} + 11 a^{4} + 20 a^{3} + 2 a^{2} + 13 a + 6\right)\cdot 23^{4} + \left(22 a^{13} + 9 a^{12} + 2 a^{11} + 4 a^{10} + a^{9} + 22 a^{8} + a^{7} + 16 a^{6} + 15 a^{5} + 7 a^{4} + a^{3} + 15 a^{2} + 16 a + 1\right)\cdot 23^{5} + \left(18 a^{13} + 19 a^{12} + 7 a^{11} + 9 a^{10} + 2 a^{9} + 10 a^{8} + 13 a^{7} + 21 a^{6} + 16 a^{5} + 19 a^{4} + 12 a^{3} + 18 a^{2} + 6 a + 4\right)\cdot 23^{6} + \left(4 a^{13} + 19 a^{12} + 17 a^{11} + 12 a^{9} + 9 a^{8} + 3 a^{7} + 3 a^{6} + 14 a^{5} + 11 a^{4} + 10 a^{3} + a^{2} + 20 a + 21\right)\cdot 23^{7} +O\left(23^{ 8 }\right)$ |
| $r_{ 10 }$ | $=$ | $ 16 a^{13} + a^{12} + 4 a^{11} + 15 a^{10} + 13 a^{9} + 5 a^{8} + 22 a^{7} + 2 a^{5} + 13 a^{4} + 5 a^{3} + 10 a^{2} + 19 a + 2 + \left(5 a^{13} + 2 a^{12} + 5 a^{11} + 11 a^{10} + 12 a^{8} + 22 a^{7} + 20 a^{6} + 15 a^{5} + 15 a^{4} + 9 a^{3} + 13 a^{2} + 2 a + 3\right)\cdot 23 + \left(9 a^{13} + 5 a^{12} + 4 a^{11} + 2 a^{10} + 2 a^{9} + 4 a^{8} + 11 a^{7} + 15 a^{6} + 13 a^{5} + 13 a^{4} + 17 a^{3} + 19 a^{2} + 8 a + 13\right)\cdot 23^{2} + \left(11 a^{13} + 3 a^{12} + 7 a^{11} + 15 a^{10} + 10 a^{9} + 20 a^{8} + 20 a^{7} + 22 a^{6} + 21 a^{5} + 20 a^{4} + 3 a^{2} + 11 a + 15\right)\cdot 23^{3} + \left(17 a^{13} + 14 a^{12} + 22 a^{11} + a^{10} + 11 a^{9} + 20 a^{8} + a^{7} + 14 a^{6} + 13 a^{5} + 19 a^{4} + 12 a^{3} + 21 a^{2} + 20 a + 9\right)\cdot 23^{4} + \left(11 a^{13} + 13 a^{12} + 7 a^{11} + 9 a^{9} + 4 a^{8} + 10 a^{7} + 14 a^{6} + 5 a^{5} + 15 a^{4} + 10 a^{3} + 15 a^{2} + 11 a + 10\right)\cdot 23^{5} + \left(15 a^{13} + 19 a^{12} + 20 a^{11} + 18 a^{10} + 10 a^{9} + 4 a^{8} + 20 a^{7} + 9 a^{6} + 19 a^{5} + 22 a^{4} + 10 a^{3} + 18 a^{2} + 5 a + 14\right)\cdot 23^{6} + \left(17 a^{13} + 22 a^{12} + 10 a^{11} + 9 a^{10} + 21 a^{9} + 14 a^{8} + 4 a^{7} + 18 a^{6} + 14 a^{5} + 7 a^{4} + 19 a^{3} + a^{2} + 13 a + 4\right)\cdot 23^{7} +O\left(23^{ 8 }\right)$ |
| $r_{ 11 }$ | $=$ | $ 18 a^{13} + 3 a^{12} + 10 a^{11} + 20 a^{10} + 18 a^{9} + 16 a^{8} + 18 a^{7} + 3 a^{6} + 12 a^{5} + 14 a^{4} + 3 a^{3} + 6 a^{2} + 2 a + 12 + \left(12 a^{13} + 6 a^{12} + 4 a^{11} + 10 a^{10} + 3 a^{9} + 7 a^{8} + 12 a^{7} + 6 a^{6} + 4 a^{5} + 2 a^{4} + 12 a^{3} + 15 a^{2} + 8 a + 16\right)\cdot 23 + \left(5 a^{13} + 11 a^{12} + 6 a^{11} + 13 a^{10} + 2 a^{9} + 16 a^{8} + 10 a^{7} + 17 a^{6} + 7 a^{5} + 22 a^{4} + 10 a^{3} + 8 a^{2} + 14 a + 15\right)\cdot 23^{2} + \left(11 a^{13} + 5 a^{12} + 13 a^{11} + 19 a^{10} + 16 a^{8} + 13 a^{7} + a^{6} + 21 a^{5} + 10 a^{4} + 19 a^{3} + 15 a^{2} + 9 a + 16\right)\cdot 23^{3} + \left(18 a^{13} + 14 a^{12} + 22 a^{11} + 4 a^{10} + 2 a^{9} + a^{8} + 2 a^{7} + 7 a^{6} + 7 a^{5} + 14 a^{4} + 19 a^{3} + 8 a^{2} + 12 a + 22\right)\cdot 23^{4} + \left(13 a^{13} + 12 a^{12} + a^{11} + 7 a^{10} + 7 a^{9} + 14 a^{8} + 22 a^{7} + 6 a^{6} + 11 a^{5} + a^{4} + 20 a^{3} + 5 a^{2} + 18 a + 18\right)\cdot 23^{5} + \left(4 a^{13} + 10 a^{12} + 11 a^{11} + 21 a^{10} + 11 a^{9} + 11 a^{7} + 6 a^{6} + 17 a^{5} + 2 a^{4} + 11 a^{3} + 20 a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 23^{6} + \left(14 a^{13} + 16 a^{12} + 20 a^{11} + 9 a^{10} + 16 a^{9} + 11 a^{8} + 21 a^{7} + 6 a^{6} + 14 a^{5} + 16 a^{4} + 2 a^{3} + 7 a^{2} + 19 a + 11\right)\cdot 23^{7} +O\left(23^{ 8 }\right)$ |
| $r_{ 12 }$ | $=$ | $ 22 a^{13} + 13 a^{12} + 6 a^{11} + 15 a^{10} + 6 a^{9} + 16 a^{8} + 10 a^{7} + 14 a^{6} + 7 a^{5} + 12 a^{4} + 11 a^{3} + 18 a^{2} + 20 a + 5 + \left(11 a^{13} + 4 a^{12} + 9 a^{11} + 10 a^{10} + 8 a^{9} + 2 a^{8} + 22 a^{7} + 4 a^{6} + 20 a^{5} + 10 a^{4} + 11 a^{3} + 19 a^{2} + 3 a + 10\right)\cdot 23 + \left(8 a^{13} + 22 a^{12} + 14 a^{11} + 15 a^{10} + a^{9} + 20 a^{8} + 13 a^{7} + 5 a^{6} + 16 a^{5} + 17 a^{4} + 18 a^{3} + 4 a^{2} + 3 a + 21\right)\cdot 23^{2} + \left(11 a^{13} + 22 a^{12} + 19 a^{11} + 12 a^{10} + 2 a^{9} + 13 a^{8} + 12 a^{7} + 5 a^{6} + a^{5} + 19 a^{4} + 15 a^{3} + 4 a^{2} + 20 a + 3\right)\cdot 23^{3} + \left(9 a^{13} + 14 a^{12} + 6 a^{11} + a^{10} + 14 a^{9} + a^{8} + 14 a^{7} + 6 a^{6} + 20 a^{5} + 19 a^{4} + 5 a^{3} + 15 a^{2} + 15 a + 19\right)\cdot 23^{4} + \left(10 a^{13} + 13 a^{12} + 11 a^{11} + 15 a^{10} + 10 a^{9} + 3 a^{7} + 22 a^{6} + 14 a^{5} + 14 a^{4} + 7 a^{3} + 3 a^{2} + 11 a + 20\right)\cdot 23^{5} + \left(4 a^{13} + a^{12} + 22 a^{11} + 11 a^{10} + 21 a^{9} + a^{8} + 6 a^{7} + 11 a^{6} + 11 a^{5} + a^{4} + 13 a^{3} + 6 a^{2} + 15 a + 4\right)\cdot 23^{6} + \left(15 a^{13} + 7 a^{11} + 22 a^{10} + 20 a^{9} + 6 a^{8} + 9 a^{7} + 6 a^{6} + 13 a^{5} + 20 a^{4} + 15 a^{3} + 7 a^{2} + 9 a + 15\right)\cdot 23^{7} +O\left(23^{ 8 }\right)$ |
| $r_{ 13 }$ | $=$ | $ 12 a^{13} + 20 a^{12} + 20 a^{11} + 11 a^{10} + 7 a^{9} + 20 a^{8} + 11 a^{7} + 14 a^{6} + 18 a^{4} + 12 a^{3} + 6 a^{2} + a + 11 + \left(21 a^{13} + a^{12} + 3 a^{11} + 7 a^{10} + 2 a^{9} + 6 a^{8} + 9 a^{7} + 16 a^{6} + 22 a^{5} + 20 a^{4} + 21 a^{3} + 7 a^{2} + 11 a + 9\right)\cdot 23 + \left(17 a^{13} + 14 a^{12} + 14 a^{11} + 13 a^{10} + 19 a^{9} + 15 a^{8} + 14 a^{7} + 15 a^{6} + 16 a^{5} + 10 a^{4} + a^{3} + 16 a^{2} + 4 a + 6\right)\cdot 23^{2} + \left(4 a^{13} + 9 a^{12} + 19 a^{11} + 10 a^{10} + 2 a^{9} + 11 a^{8} + 12 a^{7} + 22 a^{6} + 20 a^{5} + 13 a^{4} + 18 a^{3} + 13 a^{2} + 19 a + 17\right)\cdot 23^{3} + \left(2 a^{13} + 8 a^{12} + 22 a^{11} + 13 a^{10} + 11 a^{9} + 13 a^{8} + 15 a^{7} + 7 a^{6} + 2 a^{5} + 17 a^{4} + 19 a^{3} + 15 a^{2} + 18 a + 22\right)\cdot 23^{4} + \left(20 a^{13} + 8 a^{12} + 18 a^{11} + a^{10} + 8 a^{9} + 14 a^{8} + a^{7} + 19 a^{5} + 8 a^{4} + 17 a^{3} + 17 a^{2} + 15 a + 1\right)\cdot 23^{5} + \left(3 a^{13} + 10 a^{12} + 20 a^{11} + 3 a^{10} + 8 a^{9} + a^{8} + 8 a^{7} + 20 a^{6} + 22 a^{5} + 19 a^{4} + 21 a^{3} + 21 a^{2} + 15 a + 19\right)\cdot 23^{6} + \left(12 a^{13} + 9 a^{12} + 6 a^{11} + 19 a^{10} + 12 a^{9} + 5 a^{8} + 14 a^{7} + 6 a^{6} + 17 a^{5} + 13 a^{4} + 10 a^{3} + 2 a^{2} + 18 a + 10\right)\cdot 23^{7} +O\left(23^{ 8 }\right)$ |
| $r_{ 14 }$ | $=$ | $ 5 a^{13} + 9 a^{12} + 14 a^{11} + 22 a^{10} + 17 a^{9} + a^{8} + 16 a^{7} + 13 a^{6} + 22 a^{5} + 12 a^{4} + 15 a^{3} + 8 a^{2} + 2 a + 6 + \left(2 a^{13} + 9 a^{12} + 14 a^{11} + 14 a^{10} + 12 a^{9} + 2 a^{8} + 18 a^{7} + a^{5} + 22 a^{4} + 12 a^{3} + 12 a^{2} + 5 a + 7\right)\cdot 23 + \left(6 a^{13} + 11 a^{12} + 7 a^{11} + 19 a^{10} + 14 a^{9} + 3 a^{8} + 9 a^{7} + 11 a^{6} + 12 a^{5} + 2 a^{4} + 8 a^{3} + 14 a^{2} + 7 a + 4\right)\cdot 23^{2} + \left(15 a^{13} + 11 a^{12} + 14 a^{11} + 19 a^{10} + 3 a^{9} + 13 a^{8} + 14 a^{7} + 22 a^{5} + 3 a^{4} + 12 a^{3} + 11 a^{2} + 14 a + 6\right)\cdot 23^{3} + \left(9 a^{13} + 9 a^{12} + 13 a^{11} + 21 a^{8} + 8 a^{7} + 12 a^{6} + 13 a^{5} + 3 a^{4} + a^{3} + 6 a^{2} + 12 a + 7\right)\cdot 23^{4} + \left(22 a^{13} + 17 a^{12} + 20 a^{11} + 19 a^{10} + a^{8} + 10 a^{7} + 7 a^{6} + 5 a^{5} + 12 a^{4} + 11 a^{3} + 20 a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 23^{5} + \left(12 a^{13} + 21 a^{12} + 17 a^{11} + 12 a^{10} + 15 a^{9} + 20 a^{8} + 22 a^{7} + 14 a^{6} + 13 a^{5} + 2 a^{4} + 22 a^{3} + 10 a^{2} + 3 a + 22\right)\cdot 23^{6} + \left(4 a^{13} + 13 a^{12} + 4 a^{11} + 12 a^{10} + 5 a^{9} + 7 a^{8} + 13 a^{7} + 13 a^{6} + 3 a^{5} + 4 a^{4} + 12 a^{3} + 8 a^{2} + 16 a + 9\right)\cdot 23^{7} +O\left(23^{ 8 }\right)$ |
| $r_{ 15 }$ | $=$ | $ 2 a^{13} + 10 a^{12} + 12 a^{11} + 7 a^{10} + 2 a^{9} + 22 a^{8} + 15 a^{7} + 2 a^{6} + 15 a^{5} + 6 a^{4} + 10 a^{3} + 14 a^{2} + 18 a + 12 + \left(2 a^{13} + 7 a^{12} + 12 a^{11} + 21 a^{10} + 5 a^{9} + 18 a^{8} + 19 a^{7} + 11 a^{6} + 18 a^{5} + a^{4} + 5 a^{3} + 15 a^{2} + a + 14\right)\cdot 23 + \left(10 a^{13} + 15 a^{12} + 3 a^{11} + 10 a^{10} + 9 a^{9} + 11 a^{8} + 13 a^{7} + a^{6} + 15 a^{5} + 16 a^{4} + 14 a^{3} + 11 a^{2} + 6 a + 19\right)\cdot 23^{2} + \left(18 a^{13} + 13 a^{12} + 19 a^{11} + a^{10} + 16 a^{9} + 10 a^{8} + 21 a^{7} + 12 a^{5} + 20 a^{4} + 19 a^{3} + 6 a^{2} + 16 a + 11\right)\cdot 23^{3} + \left(15 a^{13} + 4 a^{12} + 18 a^{11} + 15 a^{10} + 10 a^{9} + 18 a^{8} + 18 a^{7} + 16 a^{6} + 13 a^{5} + 18 a^{4} + 15 a^{3} + 6 a^{2} + 16 a + 19\right)\cdot 23^{4} + \left(13 a^{13} + 3 a^{12} + 20 a^{11} + 21 a^{10} + 9 a^{9} + 3 a^{8} + 12 a^{7} + 20 a^{6} + 7 a^{5} + 18 a^{4} + 20 a^{3} + 3 a^{2} + 17 a + 8\right)\cdot 23^{5} + \left(5 a^{13} + 21 a^{12} + 21 a^{11} + 17 a^{10} + 4 a^{9} + 5 a^{8} + 17 a^{7} + 21 a^{6} + 13 a^{5} + 21 a^{4} + 22 a^{3} + 14 a^{2} + 7 a + 15\right)\cdot 23^{6} + \left(a^{13} + 11 a^{10} + 18 a^{9} + 2 a^{8} + 4 a^{7} + 14 a^{6} + 14 a^{5} + 14 a^{4} + 6 a^{3} + 19 a^{2} + 11 a + 7\right)\cdot 23^{7} +O\left(23^{ 8 }\right)$ |
| $r_{ 16 }$ | $=$ | $ 4 a^{13} + 3 a^{12} + 11 a^{11} + 12 a^{10} + 19 a^{9} + 19 a^{7} + 8 a^{6} + 5 a^{5} + 13 a^{4} + 19 a^{3} + 2 a^{2} + 13 a + 4 + \left(13 a^{13} + 15 a^{12} + 20 a^{11} + 3 a^{10} + 10 a^{9} + 12 a^{8} + 10 a^{7} + 8 a^{6} + 8 a^{5} + 9 a^{3} + 10 a^{2} + 8 a + 6\right)\cdot 23 + \left(15 a^{13} + 13 a^{12} + 4 a^{11} + 20 a^{10} + 15 a^{9} + 12 a^{8} + 22 a^{7} + 13 a^{6} + 17 a^{5} + 3 a^{4} + 11 a^{3} + 11 a^{2} + 6 a + 3\right)\cdot 23^{2} + \left(10 a^{13} + 7 a^{12} + 3 a^{11} + 18 a^{9} + 8 a^{8} + 18 a^{7} + 3 a^{6} + 12 a^{5} + 15 a^{4} + 15 a^{3} + 10 a^{2} + 22 a + 10\right)\cdot 23^{3} + \left(16 a^{13} + 13 a^{12} + 22 a^{10} + 17 a^{9} + 18 a^{8} + 21 a^{7} + 12 a^{6} + 3 a^{4} + 6 a^{3} + 8 a^{2} + 13 a + 13\right)\cdot 23^{4} + \left(12 a^{13} + 5 a^{12} + 19 a^{11} + 21 a^{10} + 20 a^{9} + 2 a^{8} + 18 a^{7} + 22 a^{6} + 3 a^{5} + 10 a^{4} + 22 a^{3} + 17 a^{2} + 16 a + 5\right)\cdot 23^{5} + \left(13 a^{13} + 2 a^{12} + 6 a^{11} + 16 a^{10} + 5 a^{9} + 8 a^{8} + 11 a^{7} + a^{6} + 8 a^{5} + 5 a^{4} + 20 a^{3} + 13 a^{2} + 10 a + 18\right)\cdot 23^{6} + \left(5 a^{13} + 4 a^{12} + 11 a^{11} + 18 a^{10} + 6 a^{9} + 4 a^{8} + 4 a^{7} + a^{6} + 9 a^{4} + 9 a^{3} + 21 a^{2} + 11 a + 4\right)\cdot 23^{7} +O\left(23^{ 8 }\right)$ |
| $r_{ 17 }$ | $=$ | $ 13 a^{13} + 22 a^{12} + 9 a^{11} + 4 a^{10} + 11 a^{9} + 4 a^{8} + 21 a^{7} + 17 a^{6} + 22 a^{5} + 16 a^{4} + 2 a^{3} + 11 a^{2} + 7 a + 1 + \left(19 a^{13} + 4 a^{12} + 3 a^{11} + 7 a^{10} + 22 a^{9} + 10 a^{8} + 8 a^{7} + 10 a^{6} + 9 a^{5} + 11 a^{4} + 10 a^{3} + 22 a^{2} + 9 a + 13\right)\cdot 23 + \left(9 a^{13} + 14 a^{12} + 10 a^{11} + 6 a^{10} + 6 a^{9} + 10 a^{8} + 21 a^{7} + 13 a^{6} + 8 a^{5} + 21 a^{4} + 10 a^{3} + 16 a^{2} + 12 a + 16\right)\cdot 23^{2} + \left(14 a^{13} + 22 a^{12} + 3 a^{11} + 7 a^{10} + 7 a^{8} + 7 a^{7} + 8 a^{6} + 5 a^{5} + 5 a^{4} + 6 a^{3} + 16 a^{2} + a + 10\right)\cdot 23^{3} + \left(16 a^{13} + 13 a^{12} + 18 a^{11} + 15 a^{10} + 20 a^{9} + 8 a^{8} + 16 a^{7} + 12 a^{6} + 16 a^{5} + 16 a^{4} + 18 a^{3} + 10 a^{2} + 2 a + 17\right)\cdot 23^{4} + \left(3 a^{13} + 13 a^{12} + 10 a^{11} + 21 a^{10} + 16 a^{9} + 11 a^{8} + 19 a^{7} + 20 a^{6} + 11 a^{5} + 7 a^{4} + 21 a^{3} + 2 a^{2} + 5 a + 4\right)\cdot 23^{5} + \left(a^{13} + 6 a^{12} + 17 a^{11} + 3 a^{10} + 5 a^{9} + 20 a^{8} + 13 a^{7} + 10 a^{6} + 6 a^{4} + 22 a^{2} + 4 a + 15\right)\cdot 23^{6} + \left(2 a^{13} + 15 a^{12} + 3 a^{11} + 22 a^{10} + 18 a^{9} + 11 a^{8} + 2 a^{7} + 9 a^{6} + 10 a^{5} + 2 a^{4} + 11 a^{3} + 15 a^{2} + a + 16\right)\cdot 23^{7} +O\left(23^{ 8 }\right)$ |
| $r_{ 18 }$ | $=$ | $ 19 a^{13} + 16 a^{12} + 2 a^{11} + 5 a^{10} + 10 a^{9} + 8 a^{8} + 19 a^{7} + 14 a^{6} + 9 a^{4} + 10 a^{3} + 2 a^{2} + 4 a + 15 + \left(21 a^{13} + 2 a^{12} + 19 a^{11} + 12 a^{10} + 20 a^{8} + 7 a^{7} + 9 a^{6} + 19 a^{5} + 16 a^{4} + 12 a^{3} + 15 a + 18\right)\cdot 23 + \left(16 a^{13} + 4 a^{12} + 6 a^{11} + 16 a^{10} + 5 a^{9} + 14 a^{8} + 22 a^{7} + 9 a^{6} + a^{5} + 2 a^{4} + 21 a^{3} + 15 a^{2} + 5 a + 14\right)\cdot 23^{2} + \left(20 a^{13} + 16 a^{12} + 15 a^{11} + 17 a^{10} + 4 a^{9} + 6 a^{8} + 6 a^{7} + 5 a^{6} + 21 a^{4} + 6 a^{3} + a^{2} + 3 a + 9\right)\cdot 23^{3} + \left(6 a^{13} + 8 a^{12} + 5 a^{11} + 13 a^{10} + 2 a^{9} + 12 a^{8} + a^{7} + a^{6} + 13 a^{5} + 17 a^{4} + 17 a^{3} + 11 a^{2} + 22 a + 5\right)\cdot 23^{4} + \left(18 a^{13} + 11 a^{12} + 6 a^{11} + 19 a^{10} + 5 a^{9} + 4 a^{8} + 17 a^{7} + 12 a^{6} + 5 a^{5} + 18 a^{4} + 4 a^{3} + 13 a^{2} + 4 a + 16\right)\cdot 23^{5} + \left(10 a^{13} + 6 a^{12} + 13 a^{11} + 11 a^{10} + 22 a^{9} + 2 a^{8} + 9 a^{7} + 8 a^{6} + a^{5} + 16 a^{4} + 3 a^{3} + a^{2} + 6 a + 5\right)\cdot 23^{6} + \left(13 a^{13} + 12 a^{12} + 19 a^{11} + 20 a^{10} + 6 a^{8} + 11 a^{7} + 5 a^{6} + 18 a^{5} + 14 a^{4} + 19 a^{3} + 3 a^{2} + 9 a\right)\cdot 23^{7} +O\left(23^{ 8 }\right)$ |
| $r_{ 19 }$ | $=$ | $ 12 a^{13} + 10 a^{12} + 17 a^{11} + 15 a^{10} + 4 a^{9} + 17 a^{8} + 21 a^{7} + 18 a^{6} + 20 a^{5} + 20 a^{4} + 8 a^{3} + 16 a^{2} + 18 a + 11 + \left(5 a^{13} + 15 a^{12} + 13 a^{11} + 17 a^{10} + 9 a^{9} + 2 a^{8} + 14 a^{7} + 7 a^{6} + a^{5} + 14 a^{4} + a^{3} + 19 a^{2} + 22 a + 22\right)\cdot 23 + \left(11 a^{13} + 18 a^{12} + 11 a^{11} + a^{9} + a^{8} + 13 a^{7} + 18 a^{6} + 4 a^{5} + 16 a^{4} + 9 a^{3} + 21 a^{2} + 11 a + 22\right)\cdot 23^{2} + \left(13 a^{13} + 18 a^{12} + 12 a^{10} + 16 a^{9} + 16 a^{8} + 9 a^{7} + 3 a^{6} + 10 a^{5} + 10 a^{4} + 7 a^{3} + 11 a^{2} + 21 a + 13\right)\cdot 23^{3} + \left(3 a^{13} + 6 a^{12} + 5 a^{11} + 11 a^{10} + 6 a^{9} + a^{8} + 15 a^{7} + 9 a^{6} + 21 a^{5} + 15 a^{4} + 8 a^{3} + 18 a^{2} + 10 a + 14\right)\cdot 23^{4} + \left(17 a^{13} + 7 a^{12} + 18 a^{11} + 13 a^{10} + 15 a^{9} + 15 a^{8} + 2 a^{7} + 16 a^{6} + 20 a^{5} + 21 a^{4} + 14 a^{3} + 19 a^{2} + 22 a + 22\right)\cdot 23^{5} + \left(11 a^{13} + 16 a^{12} + 16 a^{11} + 2 a^{10} + 18 a^{9} + 10 a^{8} + 7 a^{7} + 10 a^{6} + 22 a^{5} + 8 a^{4} + 2 a^{3} + 14 a^{2} + 10 a + 12\right)\cdot 23^{6} + \left(17 a^{13} + 3 a^{12} + 21 a^{11} + 12 a^{10} + 9 a^{9} + 15 a^{8} + 7 a^{7} + 19 a^{6} + 3 a^{5} + 7 a^{4} + 21 a^{3} + 2 a^{2} + 2\right)\cdot 23^{7} +O\left(23^{ 8 }\right)$ |
| $r_{ 20 }$ | $=$ | $ 16 a^{13} + 21 a^{12} + 15 a^{11} + 18 a^{10} + 14 a^{9} + 10 a^{8} + 9 a^{7} + a^{6} + 17 a^{5} + 3 a^{4} + 8 a^{3} + 2 a^{2} + 20 a + 22 + \left(14 a^{13} + 12 a^{12} + 6 a^{11} + 3 a^{10} + 9 a^{9} + 13 a^{8} + 13 a^{7} + 21 a^{6} + 21 a^{5} + 20 a^{4} + 19 a^{3} + 13 a^{2} + 7 a + 17\right)\cdot 23 + \left(21 a^{13} + 13 a^{12} + 21 a^{11} + 17 a^{10} + 17 a^{9} + 9 a^{8} + 8 a^{7} + 9 a^{6} + 2 a^{5} + 21 a^{4} + 17 a^{3} + 13 a^{2} + a + 21\right)\cdot 23^{2} + \left(18 a^{13} + 15 a^{12} + 16 a^{11} + 10 a^{10} + 19 a^{9} + 18 a^{8} + 12 a^{7} + 10 a^{6} + 4 a^{5} + 20 a^{4} + 8 a^{3} + 21 a^{2} + 15 a + 5\right)\cdot 23^{3} + \left(15 a^{13} + 19 a^{12} + a^{11} + 6 a^{10} + 15 a^{9} + 8 a^{8} + 20 a^{7} + 14 a^{6} + 19 a^{5} + 14 a^{4} + 9 a^{3} + 9 a^{2} + 6 a + 21\right)\cdot 23^{4} + \left(11 a^{13} + 15 a^{12} + 10 a^{11} + 2 a^{10} + 9 a^{9} + 21 a^{8} + 18 a^{7} + 7 a^{6} + a^{5} + 9 a^{4} + 6 a^{3} + 17 a^{2} + 22 a + 1\right)\cdot 23^{5} + \left(20 a^{13} + 17 a^{12} + 18 a^{11} + 18 a^{10} + 3 a^{9} + 14 a^{8} + 2 a^{7} + 22 a^{6} + 8 a^{5} + 20 a^{4} + 3 a^{3} + 8 a^{2} + 13\right)\cdot 23^{6} + \left(18 a^{13} + a^{12} + 16 a^{11} + 17 a^{10} + 12 a^{9} + 18 a^{7} + 16 a^{6} + 16 a^{5} + 3 a^{4} + 8 a^{3} + 7 a^{2} + 13\right)\cdot 23^{7} +O\left(23^{ 8 }\right)$ |
| $r_{ 21 }$ | $=$ | $ 22 a^{13} + 21 a^{12} + 11 a^{11} + 8 a^{9} + 5 a^{8} + 18 a^{7} + 9 a^{6} + 2 a^{5} + 20 a^{4} + 3 a^{3} + 2 a^{2} + 4 a + 1 + \left(2 a^{13} + 14 a^{12} + 11 a^{11} + 20 a^{10} + 12 a^{9} + 20 a^{8} + 21 a^{7} + 19 a^{6} + 4 a^{5} + 8 a^{4} + 14 a^{3} + 7 a^{2} + 14 a + 11\right)\cdot 23 + \left(6 a^{13} + 8 a^{12} + 19 a^{11} + 16 a^{10} + 16 a^{9} + 15 a^{8} + 19 a^{7} + 21 a^{6} + 17 a^{5} + 4 a^{4} + 22 a^{3} + 20 a^{2} + 5 a + 17\right)\cdot 23^{2} + \left(2 a^{13} + 2 a^{12} + 15 a^{11} + 3 a^{10} + 9 a^{9} + 15 a^{8} + 2 a^{7} + 22 a^{6} + 14 a^{5} + 15 a^{4} + 15 a^{3} + 9 a^{2} + 3 a + 11\right)\cdot 23^{3} + \left(16 a^{13} + 6 a^{12} + 15 a^{11} + 19 a^{10} + 18 a^{9} + 8 a^{8} + 4 a^{7} + 6 a^{6} + 9 a^{5} + 9 a^{3} + 11 a^{2} + 17 a + 5\right)\cdot 23^{4} + \left(9 a^{13} + 18 a^{12} + 5 a^{11} + 20 a^{10} + 20 a^{9} + a^{8} + 10 a^{7} + 3 a^{6} + 6 a^{5} + 5 a^{4} + 17 a^{3} + 9 a^{2} + 14 a + 7\right)\cdot 23^{5} + \left(13 a^{13} + a^{12} + 10 a^{10} + a^{8} + 4 a^{7} + 14 a^{6} + 7 a^{5} + 12 a^{4} + 13 a^{3} + 20 a^{2} + 3 a + 7\right)\cdot 23^{6} + \left(14 a^{13} + 17 a^{12} + a^{11} + 10 a^{9} + 5 a^{8} + 2 a^{7} + 16 a^{6} + 7 a^{5} + 13 a^{4} + 3 a^{3} + 14 a^{2} + a + 18\right)\cdot 23^{7} +O\left(23^{ 8 }\right)$ |
Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 21 }$
| Cycle notation |
Character values on conjugacy classes
| Size | Order | Action on $r_1, \ldots, r_{ 21 }$ | Character value |
| $1$ | $1$ | $()$ | $2$ |
| $3$ | $2$ | $(3,19)(5,20)(8,17)(9,16)(10,13)(11,18)(12,14)$ | $0$ |
| $2$ | $3$ | $(1,19,3)(2,8,17)(4,9,16)(5,20,7)(6,10,13)(11,21,18)(12,14,15)$ | $-1$ |
| $1$ | $7$ | $(1,6,7,4,15,21,2)(3,13,20,16,14,11,17)(5,9,12,18,8,19,10)$ | $2 \zeta_{7}^{5}$ |
| $1$ | $7$ | $(1,7,15,2,6,4,21)(3,20,14,17,13,16,11)(5,12,8,10,9,18,19)$ | $2 \zeta_{7}^{3}$ |
| $1$ | $7$ | $(1,4,2,7,21,6,15)(3,16,17,20,11,13,14)(5,18,10,12,19,9,8)$ | $2 \zeta_{7}$ |
| $1$ | $7$ | $(1,15,6,21,7,2,4)(3,14,13,11,20,17,16)(5,8,9,19,12,10,18)$ | $-2 \zeta_{7}^{5} - 2 \zeta_{7}^{4} - 2 \zeta_{7}^{3} - 2 \zeta_{7}^{2} - 2 \zeta_{7} - 2$ |
| $1$ | $7$ | $(1,21,4,6,2,15,7)(3,11,16,13,17,14,20)(5,19,18,9,10,8,12)$ | $2 \zeta_{7}^{4}$ |
| $1$ | $7$ | $(1,2,21,15,4,7,6)(3,17,11,14,16,20,13)(5,10,19,8,18,12,9)$ | $2 \zeta_{7}^{2}$ |
| $3$ | $14$ | $(1,15,6,21,7,2,4)(3,12,13,18,20,8,16,19,14,10,11,5,17,9)$ | $0$ |
| $3$ | $14$ | $(1,21,4,6,2,15,7)(3,18,16,10,17,12,20,19,11,9,13,8,14,5)$ | $0$ |
| $3$ | $14$ | $(1,2,21,15,4,7,6)(3,8,11,12,16,5,13,19,17,18,14,9,20,10)$ | $0$ |
| $3$ | $14$ | $(1,6,7,4,15,21,2)(3,10,20,9,14,18,17,19,13,5,16,12,11,8)$ | $0$ |
| $3$ | $14$ | $(1,7,15,2,6,4,21)(3,5,14,8,13,9,11,19,20,12,17,10,16,18)$ | $0$ |
| $3$ | $14$ | $(1,4,2,7,21,6,15)(3,9,17,5,11,10,14,19,16,8,20,18,13,12)$ | $0$ |
| $2$ | $21$ | $(1,12,13,21,5,17,4,19,14,6,18,20,2,9,3,15,10,11,7,8,16)$ | $\zeta_{7}^{5} + \zeta_{7}^{4} + \zeta_{7}^{3} + \zeta_{7}^{2} + \zeta_{7} + 1$ |
| $2$ | $21$ | $(1,13,5,4,14,18,2,3,10,7,16,12,21,17,19,6,20,9,15,11,8)$ | $-\zeta_{7}^{5}$ |
| $2$ | $21$ | $(1,5,14,2,10,16,21,19,20,15,8,13,4,18,3,7,12,17,6,9,11)$ | $-\zeta_{7}^{3}$ |
| $2$ | $21$ | $(1,17,18,15,16,5,6,3,8,21,14,9,7,13,19,2,11,12,4,20,10)$ | $-\zeta_{7}^{2}$ |
| $2$ | $21$ | $(1,18,16,6,8,14,7,19,11,4,10,17,15,5,3,21,9,13,2,12,20)$ | $-\zeta_{7}^{4}$ |
| $2$ | $21$ | $(1,9,17,7,18,13,15,19,16,2,5,11,6,12,3,4,8,20,21,10,14)$ | $-\zeta_{7}$ |