LMFDB - Artin representation 2.3971.15t3.a.d

Basic invariants

Dimension:	$2$
Group:	$D_5\times C_3$
Conductor:	$3971$$\medspace = 11 \cdot 19^{2} $
Artin stem field:	Galois closure of 15.3.1415489083272211976282881.1
Galois orbit size:	$4$
Smallest permutation container:	$D_5\times C_3$
Parity:	odd
Determinant:	1.209.6t1.b.b
Projective image:	$D_5$
Projective stem field:	Galois closure of 5.1.15768841.1

Defining polynomial

$f(x)$

$=$

$ x^{15} - 3 x^{14} + 27 x^{13} - 69 x^{12} + 220 x^{11} - 435 x^{10} + 430 x^{9} - 192 x^{8} + \cdots - 1303 $

The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 31 }$ to precision 10.

Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 31 }$: $ x^{5} + 7x + 28 $ x^5 + 7*x + 28

Roots:

$r_{ 1 }$	$=$	$ a^{3} + 23 a^{2} + 6 a + 8 + \left(29 a^{4} + 7 a^{3} + 9 a^{2} + 10 a + 15\right)\cdot 31 + \left(30 a^{4} + 26 a^{3} + 20 a^{2} + 21 a + 24\right)\cdot 31^{2} + \left(15 a^{4} + 16 a^{3} + 4 a^{2} + 28 a + 14\right)\cdot 31^{3} + \left(7 a^{4} + 14 a^{3} + 30 a^{2} + 20 a + 7\right)\cdot 31^{4} + \left(3 a^{4} + 18 a^{3} + 29 a^{2} + 21 a + 20\right)\cdot 31^{5} + \left(26 a^{4} + 29 a^{3} + 26 a^{2} + 13 a + 25\right)\cdot 31^{6} + \left(28 a^{4} + 24 a^{3} + 14 a^{2} + 12 a + 5\right)\cdot 31^{7} + \left(8 a^{4} + 27 a^{3} + 10 a^{2} + 29 a + 10\right)\cdot 31^{8} + \left(a^{4} + 29 a^{3} + 16 a^{2} + 6 a + 24\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})$ a^3 + 23a^2 + 6a + 8 + (29a^4 + 7a^3 + 9a^2 + 10a + 15)31 + (30a^4 + 26a^3 + 20a^2 + 21a + 24)31^2 + (15a^4 + 16a^3 + 4a^2 + 28a + 14)31^3 + (7a^4 + 14a^3 + 30a^2 + 20a + 7)31^4 + (3a^4 + 18a^3 + 29a^2 + 21a + 20)31^5 + (26a^4 + 29a^3 + 26a^2 + 13a + 25)31^6 + (28a^4 + 24a^3 + 14a^2 + 12a + 5)31^7 + (8a^4 + 27a^3 + 10a^2 + 29a + 10)31^8 + (a^4 + 29a^3 + 16a^2 + 6a + 24)31^9+O(31^10)
$r_{ 2 }$	$=$	$ 5 a^{4} + 5 a^{3} + 19 a^{2} + 20 a + 5 + \left(10 a^{4} + 6 a^{3} + 7 a^{2} + 23 a + 15\right)\cdot 31 + \left(8 a^{4} + 3 a^{3} + 29 a^{2} + 27 a + 9\right)\cdot 31^{2} + \left(11 a^{4} + 2 a^{3} + 29 a^{2} + 2 a + 19\right)\cdot 31^{3} + \left(6 a^{3} + 6 a + 4\right)\cdot 31^{4} + \left(9 a^{4} + 15 a^{3} + 20 a^{2} + 9\right)\cdot 31^{5} + \left(27 a^{4} + 14 a^{3} + 29 a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 31^{6} + \left(13 a^{4} + a^{3} + 29 a^{2} + 21 a + 15\right)\cdot 31^{7} + \left(21 a^{4} + 2 a^{3} + 3 a^{2} + 10 a + 24\right)\cdot 31^{8} + \left(23 a^{4} + 19 a^{3} + 20 a^{2} + a + 25\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})$ 5a^4 + 5a^3 + 19a^2 + 20a + 5 + (10a^4 + 6a^3 + 7a^2 + 23a + 15)31 + (8a^4 + 3a^3 + 29a^2 + 27a + 9)31^2 + (11a^4 + 2a^3 + 29a^2 + 2a + 19)31^3 + (6a^3 + 6a + 4)31^4 + (9a^4 + 15a^3 + 20a^2 + 9)31^5 + (27a^4 + 14a^3 + 29a^2 + 4a + 1)31^6 + (13a^4 + a^3 + 29a^2 + 21a + 15)31^7 + (21a^4 + 2a^3 + 3a^2 + 10a + 24)31^8 + (23a^4 + 19a^3 + 20a^2 + a + 25)31^9+O(31^10)
$r_{ 3 }$	$=$	$ 5 a^{4} + 23 a^{3} + 19 a^{2} + 4 a + 5 + \left(8 a^{4} + 23 a^{3} + 20 a^{2} + 7 a + 10\right)\cdot 31 + \left(24 a^{4} + 7 a^{3} + 14 a^{2} + 14 a + 24\right)\cdot 31^{2} + \left(30 a^{4} + 24 a^{3} + 3 a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 31^{3} + \left(4 a^{3} + 26 a^{2} + 28 a + 14\right)\cdot 31^{4} + \left(15 a^{4} + 18 a^{3} + 25 a^{2} + 23 a + 30\right)\cdot 31^{5} + \left(19 a^{4} + 6 a^{3} + 10 a^{2} + 25 a\right)\cdot 31^{6} + \left(a^{4} + 18 a^{2} + 24 a + 27\right)\cdot 31^{7} + \left(8 a^{4} + 14 a^{3} + 19 a^{2} + 23\right)\cdot 31^{8} + \left(22 a^{4} + 18 a^{3} + 5 a^{2} + 10 a + 17\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})$ 5a^4 + 23a^3 + 19a^2 + 4a + 5 + (8a^4 + 23a^3 + 20a^2 + 7a + 10)31 + (24a^4 + 7a^3 + 14a^2 + 14a + 24)31^2 + (30a^4 + 24a^3 + 3a^2 + 6a + 10)31^3 + (4a^3 + 26a^2 + 28a + 14)31^4 + (15a^4 + 18a^3 + 25a^2 + 23a + 30)31^5 + (19a^4 + 6a^3 + 10a^2 + 25a)31^6 + (a^4 + 18a^2 + 24a + 27)31^7 + (8a^4 + 14a^3 + 19a^2 + 23)31^8 + (22a^4 + 18a^3 + 5a^2 + 10a + 17)*31^9+O(31^10)
$r_{ 4 }$	$=$	$ 6 a^{4} + 15 a^{3} + 23 a^{2} + 18 a + 19 + \left(15 a^{4} + 4 a^{3} + 24 a^{2} + 15 a + 24\right)\cdot 31 + \left(3 a^{4} + 6 a^{3} + 16 a^{2} + 11 a + 20\right)\cdot 31^{2} + \left(22 a^{4} + 14 a^{3} + 18 a^{2} + 19 a + 30\right)\cdot 31^{3} + \left(17 a^{4} + 10 a^{2} + 14 a + 26\right)\cdot 31^{4} + \left(6 a^{4} + 13 a^{3} + 12 a^{2} + a + 29\right)\cdot 31^{5} + \left(4 a^{4} + 25 a^{3} + 20 a^{2} + 8 a + 29\right)\cdot 31^{6} + \left(19 a^{4} + 25 a^{3} + 14 a^{2} + 24 a + 10\right)\cdot 31^{7} + \left(30 a^{4} + 22 a^{3} + 20 a^{2} + 4 a + 16\right)\cdot 31^{8} + \left(30 a^{4} + 30 a^{3} + 6 a^{2} + 4 a + 7\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})$ 6a^4 + 15a^3 + 23a^2 + 18a + 19 + (15a^4 + 4a^3 + 24a^2 + 15a + 24)31 + (3a^4 + 6a^3 + 16a^2 + 11a + 20)31^2 + (22a^4 + 14a^3 + 18a^2 + 19a + 30)31^3 + (17a^4 + 10a^2 + 14a + 26)31^4 + (6a^4 + 13a^3 + 12a^2 + a + 29)31^5 + (4a^4 + 25a^3 + 20a^2 + 8a + 29)31^6 + (19a^4 + 25a^3 + 14a^2 + 24a + 10)31^7 + (30a^4 + 22a^3 + 20a^2 + 4a + 16)31^8 + (30a^4 + 30a^3 + 6a^2 + 4a + 7)*31^9+O(31^10)
$r_{ 5 }$	$=$	$ 6 a^{4} + 25 a^{3} + 30 a^{2} + 13 a + 23 + \left(19 a^{4} + 16 a^{3} + 16 a^{2} + 22 a + 3\right)\cdot 31 + \left(21 a^{4} + 8 a^{3} + 3 a^{2} + 25 a + 28\right)\cdot 31^{2} + \left(12 a^{4} + 11 a^{3} + 27 a^{2} + 23 a + 14\right)\cdot 31^{3} + \left(8 a^{4} + 14 a^{3} + 15 a^{2} + 19 a + 12\right)\cdot 31^{4} + \left(15 a^{4} + 27 a^{3} + 13 a^{2} + 8 a + 19\right)\cdot 31^{5} + \left(12 a^{4} + 30 a^{3} + 18 a^{2} + 26 a + 17\right)\cdot 31^{6} + \left(7 a^{4} + 17 a^{3} + 13 a^{2} + 2 a + 3\right)\cdot 31^{7} + \left(3 a^{4} + 21 a^{3} + 8 a^{2} + 20 a + 3\right)\cdot 31^{8} + \left(26 a^{4} + 26 a^{3} + 2 a^{2} + 10 a + 2\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})$ 6a^4 + 25a^3 + 30a^2 + 13a + 23 + (19a^4 + 16a^3 + 16a^2 + 22a + 3)31 + (21a^4 + 8a^3 + 3a^2 + 25a + 28)31^2 + (12a^4 + 11a^3 + 27a^2 + 23a + 14)31^3 + (8a^4 + 14a^3 + 15a^2 + 19a + 12)31^4 + (15a^4 + 27a^3 + 13a^2 + 8a + 19)31^5 + (12a^4 + 30a^3 + 18a^2 + 26a + 17)31^6 + (7a^4 + 17a^3 + 13a^2 + 2a + 3)31^7 + (3a^4 + 21a^3 + 8a^2 + 20a + 3)31^8 + (26a^4 + 26a^3 + 2a^2 + 10a + 2)*31^9+O(31^10)
$r_{ 6 }$	$=$	$ 6 a^{4} + 29 a^{3} + 15 a^{2} + 5 a + 19 + \left(24 a^{4} + 5 a^{3} + 13 a^{2} + 20 a\right)\cdot 31 + \left(18 a^{4} + 9 a^{3} + 29 a^{2} + 24 a + 1\right)\cdot 31^{2} + \left(7 a^{4} + 11 a^{3} + 15 a^{2} + 30\right)\cdot 31^{3} + \left(29 a^{4} + 12 a^{3} + 17 a + 10\right)\cdot 31^{4} + \left(18 a^{4} + 22 a^{2} + 17 a + 12\right)\cdot 31^{5} + \left(12 a^{4} + 14 a^{3} + 17 a^{2} + 19 a + 27\right)\cdot 31^{6} + \left(26 a^{4} + 20 a^{3} + 24 a^{2} + 13 a + 26\right)\cdot 31^{7} + \left(25 a^{4} + 28 a^{3} + 6 a^{2} + 19 a + 26\right)\cdot 31^{8} + \left(30 a^{4} + a^{3} + 25 a^{2} + 12 a + 12\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})$ 6a^4 + 29a^3 + 15a^2 + 5a + 19 + (24a^4 + 5a^3 + 13a^2 + 20a)31 + (18a^4 + 9a^3 + 29a^2 + 24a + 1)31^2 + (7a^4 + 11a^3 + 15a^2 + 30)31^3 + (29a^4 + 12a^3 + 17a + 10)31^4 + (18a^4 + 22a^2 + 17a + 12)31^5 + (12a^4 + 14a^3 + 17a^2 + 19a + 27)31^6 + (26a^4 + 20a^3 + 24a^2 + 13a + 26)31^7 + (25a^4 + 28a^3 + 6a^2 + 19a + 26)31^8 + (30a^4 + a^3 + 25a^2 + 12a + 12)*31^9+O(31^10)
$r_{ 7 }$	$=$	$ 10 a^{4} + 17 a^{3} + 12 a^{2} + 3 a + 26 + \left(18 a^{4} + 23 a^{3} + 17 a^{2} + 4 a + 18\right)\cdot 31 + \left(19 a^{4} + 30 a^{3} + 6 a^{2} + 20 a + 21\right)\cdot 31^{2} + \left(5 a^{4} + 4 a^{3} + 3 a^{2} + 27 a + 19\right)\cdot 31^{3} + \left(24 a^{4} + 20 a^{3} + 15 a^{2} + 4 a + 6\right)\cdot 31^{4} + \left(5 a^{4} + 28 a^{3} + 29 a^{2} + 25 a + 6\right)\cdot 31^{5} + \left(7 a^{4} + 15 a^{3} + 23 a^{2} + 9 a + 24\right)\cdot 31^{6} + \left(14 a^{3} + 20 a^{2} + 4 a + 23\right)\cdot 31^{7} + \left(18 a^{4} + 16 a^{3} + 19 a^{2} + 18 a + 16\right)\cdot 31^{8} + \left(3 a^{4} + 12 a^{3} + 22 a^{2} + 21 a + 1\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})$ 10a^4 + 17a^3 + 12a^2 + 3a + 26 + (18a^4 + 23a^3 + 17a^2 + 4a + 18)31 + (19a^4 + 30a^3 + 6a^2 + 20a + 21)31^2 + (5a^4 + 4a^3 + 3a^2 + 27a + 19)31^3 + (24a^4 + 20a^3 + 15a^2 + 4a + 6)31^4 + (5a^4 + 28a^3 + 29a^2 + 25a + 6)31^5 + (7a^4 + 15a^3 + 23a^2 + 9a + 24)31^6 + (14a^3 + 20a^2 + 4a + 23)31^7 + (18a^4 + 16a^3 + 19a^2 + 18a + 16)31^8 + (3a^4 + 12a^3 + 22a^2 + 21a + 1)31^9+O(31^10)
$r_{ 8 }$	$=$	$ 13 a^{4} + 5 a^{3} + 21 a^{2} + 20 a + 21 + \left(20 a^{4} + 15 a^{3} + 28 a^{2} + 20 a + 16\right)\cdot 31 + \left(5 a^{4} + 6 a^{3} + 2 a^{2} + 13 a + 20\right)\cdot 31^{2} + \left(24 a^{4} + 20 a^{3} + 2 a^{2} + 15 a + 23\right)\cdot 31^{3} + \left(16 a^{4} + 30 a^{3} + 12 a^{2} + a + 21\right)\cdot 31^{4} + \left(17 a^{4} + 22 a^{3} + 29 a^{2} + 18 a + 10\right)\cdot 31^{5} + \left(14 a^{4} + 27 a^{3} + 15 a^{2} + 28 a + 7\right)\cdot 31^{6} + \left(25 a^{4} + 25 a^{3} + 12 a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 31^{7} + \left(21 a^{4} + 24 a^{3} + 11 a^{2} + 25 a + 4\right)\cdot 31^{8} + \left(a^{4} + 23 a^{3} + 2 a^{2} + 27 a + 17\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})$ 13a^4 + 5a^3 + 21a^2 + 20a + 21 + (20a^4 + 15a^3 + 28a^2 + 20a + 16)31 + (5a^4 + 6a^3 + 2a^2 + 13a + 20)31^2 + (24a^4 + 20a^3 + 2a^2 + 15a + 23)31^3 + (16a^4 + 30a^3 + 12a^2 + a + 21)31^4 + (17a^4 + 22a^3 + 29a^2 + 18a + 10)31^5 + (14a^4 + 27a^3 + 15a^2 + 28a + 7)31^6 + (25a^4 + 25a^3 + 12a^2 + 6a + 9)31^7 + (21a^4 + 24a^3 + 11a^2 + 25a + 4)31^8 + (a^4 + 23a^3 + 2a^2 + 27a + 17)*31^9+O(31^10)
$r_{ 9 }$	$=$	$ 15 a^{4} + 8 a^{3} + 2 a^{2} + 19 a + 30 + \left(26 a^{4} + 8 a^{3} + 7 a^{2} + 29 a + 25\right)\cdot 31 + \left(7 a^{4} + 16 a^{3} + 25 a^{2} + 3 a + 6\right)\cdot 31^{2} + \left(22 a^{4} + 7 a^{3} + 27 a^{2}\right)\cdot 31^{3} + \left(13 a^{4} + 22 a^{3} + 19 a^{2} + 18 a + 5\right)\cdot 31^{4} + \left(19 a^{4} + 13 a^{3} + 3 a^{2} + 7 a + 24\right)\cdot 31^{5} + \left(7 a^{4} + 11 a^{3} + 7 a^{2} + 23 a + 2\right)\cdot 31^{6} + \left(10 a^{4} + 17 a^{3} + 16 a^{2} + 7\right)\cdot 31^{7} + \left(20 a^{4} + 27 a^{3} + 19 a^{2} + a + 18\right)\cdot 31^{8} + \left(19 a^{4} + 29 a^{3} + 17 a^{2} + 2 a + 15\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})$ 15a^4 + 8a^3 + 2a^2 + 19a + 30 + (26a^4 + 8a^3 + 7a^2 + 29a + 25)31 + (7a^4 + 16a^3 + 25a^2 + 3a + 6)31^2 + (22a^4 + 7a^3 + 27a^2)31^3 + (13a^4 + 22a^3 + 19a^2 + 18a + 5)31^4 + (19a^4 + 13a^3 + 3a^2 + 7a + 24)31^5 + (7a^4 + 11a^3 + 7a^2 + 23a + 2)31^6 + (10a^4 + 17a^3 + 16a^2 + 7)31^7 + (20a^4 + 27a^3 + 19a^2 + a + 18)31^8 + (19a^4 + 29a^3 + 17a^2 + 2a + 15)31^9+O(31^10)
$r_{ 10 }$	$=$	$ 15 a^{4} + 13 a^{3} + 14 a^{2} + 3 a + 23 + \left(23 a^{4} + 7 a^{3} + 12 a^{2} + 30 a + 16\right)\cdot 31 + \left(2 a^{4} + 5 a^{3} + a^{2} + 9 a + 26\right)\cdot 31^{2} + \left(14 a^{4} + 22 a^{3} + 13 a^{2} + 11 a + 29\right)\cdot 31^{3} + \left(10 a^{4} + 27 a^{3} + 9 a^{2} + 28 a + 28\right)\cdot 31^{4} + \left(21 a^{4} + 16 a^{3} + a^{2} + 21 a + 18\right)\cdot 31^{5} + \left(16 a^{4} + 12 a^{3} + 3 a^{2} + 5 a + 21\right)\cdot 31^{6} + \left(a^{4} + 25 a^{3} + 19 a^{2} + a + 18\right)\cdot 31^{7} + \left(4 a^{4} + 17 a^{3} + 5 a^{2} + 24 a\right)\cdot 31^{8} + \left(a^{4} + 20 a^{3} + 9 a + 25\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})$ 15a^4 + 13a^3 + 14a^2 + 3a + 23 + (23a^4 + 7a^3 + 12a^2 + 30a + 16)31 + (2a^4 + 5a^3 + a^2 + 9a + 26)31^2 + (14a^4 + 22a^3 + 13a^2 + 11a + 29)31^3 + (10a^4 + 27a^3 + 9a^2 + 28a + 28)31^4 + (21a^4 + 16a^3 + a^2 + 21a + 18)31^5 + (16a^4 + 12a^3 + 3a^2 + 5a + 21)31^6 + (a^4 + 25a^3 + 19a^2 + a + 18)31^7 + (4a^4 + 17a^3 + 5a^2 + 24a)31^8 + (a^4 + 20a^3 + 9a + 25)*31^9+O(31^10)
$r_{ 11 }$	$=$	$ 16 a^{4} + 22 a^{3} + 9 a^{2} + 7 a + 13 + \left(27 a^{4} + 10 a^{3} + 25 a^{2} + 7 a + 25\right)\cdot 31 + \left(5 a^{4} + 24 a^{3} + 13 a^{2} + 9 a + 21\right)\cdot 31^{2} + \left(29 a^{4} + 7 a^{3} + 29 a^{2} + 6 a + 20\right)\cdot 31^{3} + \left(22 a^{4} + 15 a^{3} + 13 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 31^{4} + \left(3 a^{4} + 13 a^{3} + 8 a^{2} + 22 a + 20\right)\cdot 31^{5} + \left(17 a^{4} + 26 a^{3} + 4 a^{2} + 14 a + 21\right)\cdot 31^{6} + \left(25 a^{4} + 26 a^{3} + 10 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 31^{7} + \left(16 a^{4} + 6 a^{3} + 6 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 31^{8} + \left(6 a^{4} + 26 a^{3} + 11 a^{2} + 28 a + 13\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})$ 16a^4 + 22a^3 + 9a^2 + 7a + 13 + (27a^4 + 10a^3 + 25a^2 + 7a + 25)31 + (5a^4 + 24a^3 + 13a^2 + 9a + 21)31^2 + (29a^4 + 7a^3 + 29a^2 + 6a + 20)31^3 + (22a^4 + 15a^3 + 13a^2 + 2a + 6)31^4 + (3a^4 + 13a^3 + 8a^2 + 22a + 20)31^5 + (17a^4 + 26a^3 + 4a^2 + 14a + 21)31^6 + (25a^4 + 26a^3 + 10a^2 + 7a + 9)31^7 + (16a^4 + 6a^3 + 6a^2 + 8a + 7)31^8 + (6a^4 + 26a^3 + 11a^2 + 28a + 13)*31^9+O(31^10)
$r_{ 12 }$	$=$	$ 18 a^{4} + 18 a^{3} + 14 a^{2} + 21 a + 15 + \left(12 a^{4} + 5 a^{3} + 26 a^{2} + 6 a + 11\right)\cdot 31 + \left(5 a^{4} + 18 a^{3} + 28 a^{2} + 30 a + 10\right)\cdot 31^{2} + \left(4 a^{4} + 5 a^{3} + 4 a^{2} + 14 a + 5\right)\cdot 31^{3} + \left(4 a^{4} + a^{3} + 19 a^{2} + 21 a + 12\right)\cdot 31^{4} + \left(15 a^{4} + 18 a^{3} + 25 a^{2} + 29 a + 21\right)\cdot 31^{5} + \left(25 a^{3} + 29 a^{2} + a + 17\right)\cdot 31^{6} + \left(16 a^{4} + 30 a^{3} + 11 a^{2} + 21 a\right)\cdot 31^{7} + \left(23 a^{4} + 30 a^{2} + 23 a + 29\right)\cdot 31^{8} + \left(12 a^{4} + 13 a^{3} + 4 a^{2} + 26 a + 21\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})$ 18a^4 + 18a^3 + 14a^2 + 21a + 15 + (12a^4 + 5a^3 + 26a^2 + 6a + 11)31 + (5a^4 + 18a^3 + 28a^2 + 30a + 10)31^2 + (4a^4 + 5a^3 + 4a^2 + 14a + 5)31^3 + (4a^4 + a^3 + 19a^2 + 21a + 12)31^4 + (15a^4 + 18a^3 + 25a^2 + 29a + 21)31^5 + (25a^3 + 29a^2 + a + 17)31^6 + (16a^4 + 30a^3 + 11a^2 + 21a)31^7 + (23a^4 + 30a^2 + 23a + 29)31^8 + (12a^4 + 13a^3 + 4a^2 + 26a + 21)*31^9+O(31^10)
$r_{ 13 }$	$=$	$ 21 a^{4} + 22 a^{3} + 25 a^{2} + 12 a + 10 + \left(5 a^{4} + 25 a^{3} + 29 a + 2\right)\cdot 31 + \left(28 a^{4} + 15 a^{3} + 30 a^{2} + 2 a + 4\right)\cdot 31^{2} + \left(9 a^{4} + 8 a^{3} + 26 a^{2} + 20 a + 18\right)\cdot 31^{3} + \left(6 a^{4} + 3 a^{3} + 24 a^{2} + 26 a + 6\right)\cdot 31^{4} + \left(15 a^{4} + 12 a^{3} + 20 a^{2} + 2 a + 16\right)\cdot 31^{5} + \left(13 a^{4} + 30 a^{3} + 3 a^{2} + 22 a + 7\right)\cdot 31^{6} + \left(27 a^{4} + 24 a^{3} + 9 a + 20\right)\cdot 31^{7} + \left(28 a^{4} + 9 a^{3} + 17 a^{2} + 4 a + 6\right)\cdot 31^{8} + \left(22 a^{4} + 10 a^{3} + 16 a^{2} + 20 a + 18\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})$ 21a^4 + 22a^3 + 25a^2 + 12a + 10 + (5a^4 + 25a^3 + 29a + 2)31 + (28a^4 + 15a^3 + 30a^2 + 2a + 4)31^2 + (9a^4 + 8a^3 + 26a^2 + 20a + 18)31^3 + (6a^4 + 3a^3 + 24a^2 + 26a + 6)31^4 + (15a^4 + 12a^3 + 20a^2 + 2a + 16)31^5 + (13a^4 + 30a^3 + 3a^2 + 22a + 7)31^6 + (27a^4 + 24a^3 + 9a + 20)31^7 + (28a^4 + 9a^3 + 17a^2 + 4a + 6)31^8 + (22a^4 + 10a^3 + 16a^2 + 20a + 18)*31^9+O(31^10)
$r_{ 14 }$	$=$	$ 22 a^{4} + 30 a^{3} + 29 a^{2} + 12 a + 25 + \left(8 a^{4} + a^{3} + 22 a^{2} + 15 a + 20\right)\cdot 31 + \left(6 a^{4} + 28 a^{3} + 24 a^{2} + 28 a + 27\right)\cdot 31^{2} + \left(5 a^{4} + 10 a^{3} + 20 a^{2} + 2 a + 4\right)\cdot 31^{3} + \left(23 a^{4} + 17 a^{3} + 7 a^{2} + 23 a + 7\right)\cdot 31^{4} + \left(19 a^{4} + 20 a^{3} + 11 a^{2} + 24 a + 16\right)\cdot 31^{5} + \left(21 a^{4} + 12 a^{3} + 7 a^{2} + 22 a + 24\right)\cdot 31^{6} + \left(26 a^{4} + 7 a^{3} + 14 a^{2} + 29 a + 10\right)\cdot 31^{7} + \left(17 a^{4} + 23 a^{3} + 10 a^{2} + a + 28\right)\cdot 31^{8} + \left(27 a^{4} + 25 a^{3} + 20 a^{2} + 12 a + 11\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})$ 22a^4 + 30a^3 + 29a^2 + 12a + 25 + (8a^4 + a^3 + 22a^2 + 15a + 20)31 + (6a^4 + 28a^3 + 24a^2 + 28a + 27)31^2 + (5a^4 + 10a^3 + 20a^2 + 2a + 4)31^3 + (23a^4 + 17a^3 + 7a^2 + 23a + 7)31^4 + (19a^4 + 20a^3 + 11a^2 + 24a + 16)31^5 + (21a^4 + 12a^3 + 7a^2 + 22a + 24)31^6 + (26a^4 + 7a^3 + 14a^2 + 29a + 10)31^7 + (17a^4 + 23a^3 + 10a^2 + a + 28)31^8 + (27a^4 + 25a^3 + 20a^2 + 12a + 11)*31^9+O(31^10)
$r_{ 15 }$	$=$	$ 28 a^{4} + 15 a^{3} + 24 a^{2} + 23 a + 9 + \left(29 a^{4} + 23 a^{3} + 13 a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 31 + \left(27 a^{4} + 10 a^{3} + 4 a\right)\cdot 31^{2} + \left(a^{4} + 18 a^{3} + 20 a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 31^{3} + \left(26 a^{3} + 10 a^{2} + 15 a + 14\right)\cdot 31^{4} + \left(8 a^{3} + 25 a^{2} + 22 a + 23\right)\cdot 31^{5} + \left(16 a^{4} + 26 a^{3} + 28 a^{2} + 21 a + 17\right)\cdot 31^{6} + \left(17 a^{4} + 14 a^{3} + 26 a^{2} + 5 a + 27\right)\cdot 31^{7} + \left(29 a^{4} + 3 a^{3} + 26 a^{2} + 25 a\right)\cdot 31^{8} + \left(16 a^{4} + 21 a^{3} + 13 a^{2} + 22 a + 2\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})$ 28a^4 + 15a^3 + 24a^2 + 23a + 9 + (29a^4 + 23a^3 + 13a^2 + 5a + 9)31 + (27a^4 + 10a^3 + 4a)31^2 + (a^4 + 18a^3 + 20a^2 + 5a + 5)31^3 + (26a^3 + 10a^2 + 15a + 14)31^4 + (8a^3 + 25a^2 + 22a + 23)31^5 + (16a^4 + 26a^3 + 28a^2 + 21a + 17)31^6 + (17a^4 + 14a^3 + 26a^2 + 5a + 27)31^7 + (29a^4 + 3a^3 + 26a^2 + 25a)31^8 + (16a^4 + 21a^3 + 13a^2 + 22a + 2)*31^9+O(31^10)

Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 15 }$

Cycle notation
$(1,13,15)(2,11,14)(3,8,12)(4,10,5)(6,7,9)$
$(1,8,15,3,13,12)(2,11,14)(4,7,5,6,10,9)$
$(1,10,13,5,15,4)(2,12,11,3,14,8)(6,9,7)$

Character values on conjugacy classes

Size	Order	Action on $r_1, \ldots, r_{ 15 }$	Character value
$1$	$1$	$()$	$2$
$5$	$2$	$(1,3)(4,6)(5,9)(7,10)(8,13)(12,15)$	$0$
$1$	$3$	$(1,13,15)(2,11,14)(3,8,12)(4,10,5)(6,7,9)$	$2 \zeta_{15}^{5}$
$1$	$3$	$(1,15,13)(2,14,11)(3,12,8)(4,5,10)(6,9,7)$	$-2 \zeta_{15}^{5} - 2$
$2$	$5$	$(1,2,3,5,9)(4,6,13,11,8)(7,15,14,12,10)$	$\zeta_{15}^{7} - \zeta_{15}^{3} + \zeta_{15}^{2} - 1$
$2$	$5$	$(1,3,9,2,5)(4,13,8,6,11)(7,14,10,15,12)$	$-\zeta_{15}^{7} + \zeta_{15}^{3} - \zeta_{15}^{2}$
$5$	$6$	$(1,8,15,3,13,12)(2,11,14)(4,7,5,6,10,9)$	$0$
$5$	$6$	$(1,12,13,3,15,8)(2,14,11)(4,9,10,6,5,7)$	$0$
$2$	$15$	$(1,14,8,5,7,13,2,12,4,9,15,11,3,10,6)$	$\zeta_{15}^{4} + \zeta_{15}$
$2$	$15$	$(1,8,7,2,4,15,3,6,14,5,13,12,9,11,10)$	$\zeta_{15}^{7} - \zeta_{15}^{5} + \zeta_{15}^{4} - \zeta_{15}^{3} + \zeta_{15}^{2} + \zeta_{15} - 1$
$2$	$15$	$(1,12,6,2,10,13,3,7,11,5,15,8,9,14,4)$	$\zeta_{15}^{5} - \zeta_{15}^{4} - \zeta_{15} + 1$
$2$	$15$	$(1,11,12,5,6,15,2,8,10,9,13,14,3,4,7)$	$-\zeta_{15}^{7} - \zeta_{15}^{4} + \zeta_{15}^{3} - \zeta_{15}^{2} - \zeta_{15} + 1$

The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.

Overview	Random
Universe	Knowledge

Classical	Maass
Hilbert	Bianchi

Elliptic curves over $\Q$
Elliptic curves over $\Q(\alpha)$
Genus 2 curves over $\Q$
Higher genus families
Abelian varieties over $\F_{q}$

Introduction

L-functions

Modular forms

Varieties

Fields

Representations

Groups

Database

Properties

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Basic invariants

Defining polynomial

Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 15 }$

Character values on conjugacy classes

This project is supported by grants from the US National Science Foundation, the UK Engineering and Physical Sciences Research Council, and the Simons Foundation.

Label	2.3971.15t3.a.d
Dimension	$2$
Group	$D_5\times C_3$
Conductor	$3971$
Root number	not computed
Indicator	$0$

$r_{ 1 }$	$=$	\( a^{3} + 23 a^{2} + 6 a + 8 + \left(29 a^{4} + 7 a^{3} + 9 a^{2} + 10 a + 15\right)\cdot 31 + \left(30 a^{4} + 26 a^{3} + 20 a^{2} + 21 a + 24\right)\cdot 31^{2} + \left(15 a^{4} + 16 a^{3} + 4 a^{2} + 28 a + 14\right)\cdot 31^{3} + \left(7 a^{4} + 14 a^{3} + 30 a^{2} + 20 a + 7\right)\cdot 31^{4} + \left(3 a^{4} + 18 a^{3} + 29 a^{2} + 21 a + 20\right)\cdot 31^{5} + \left(26 a^{4} + 29 a^{3} + 26 a^{2} + 13 a + 25\right)\cdot 31^{6} + \left(28 a^{4} + 24 a^{3} + 14 a^{2} + 12 a + 5\right)\cdot 31^{7} + \left(8 a^{4} + 27 a^{3} + 10 a^{2} + 29 a + 10\right)\cdot 31^{8} + \left(a^{4} + 29 a^{3} + 16 a^{2} + 6 a + 24\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\) a^3 + 23a^2 + 6a + 8 + (29a^4 + 7a^3 + 9a^2 + 10a + 15)31 + (30a^4 + 26a^3 + 20a^2 + 21a + 24)31^2 + (15a^4 + 16a^3 + 4a^2 + 28a + 14)31^3 + (7a^4 + 14a^3 + 30a^2 + 20a + 7)31^4 + (3a^4 + 18a^3 + 29a^2 + 21a + 20)31^5 + (26a^4 + 29a^3 + 26a^2 + 13a + 25)31^6 + (28a^4 + 24a^3 + 14a^2 + 12a + 5)31^7 + (8a^4 + 27a^3 + 10a^2 + 29a + 10)31^8 + (a^4 + 29a^3 + 16a^2 + 6a + 24)31^9+O(31^10)
$r_{ 2 }$	$=$	\( 5 a^{4} + 5 a^{3} + 19 a^{2} + 20 a + 5 + \left(10 a^{4} + 6 a^{3} + 7 a^{2} + 23 a + 15\right)\cdot 31 + \left(8 a^{4} + 3 a^{3} + 29 a^{2} + 27 a + 9\right)\cdot 31^{2} + \left(11 a^{4} + 2 a^{3} + 29 a^{2} + 2 a + 19\right)\cdot 31^{3} + \left(6 a^{3} + 6 a + 4\right)\cdot 31^{4} + \left(9 a^{4} + 15 a^{3} + 20 a^{2} + 9\right)\cdot 31^{5} + \left(27 a^{4} + 14 a^{3} + 29 a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 31^{6} + \left(13 a^{4} + a^{3} + 29 a^{2} + 21 a + 15\right)\cdot 31^{7} + \left(21 a^{4} + 2 a^{3} + 3 a^{2} + 10 a + 24\right)\cdot 31^{8} + \left(23 a^{4} + 19 a^{3} + 20 a^{2} + a + 25\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\) 5a^4 + 5a^3 + 19a^2 + 20a + 5 + (10a^4 + 6a^3 + 7a^2 + 23a + 15)31 + (8a^4 + 3a^3 + 29a^2 + 27a + 9)31^2 + (11a^4 + 2a^3 + 29a^2 + 2a + 19)31^3 + (6a^3 + 6a + 4)31^4 + (9a^4 + 15a^3 + 20a^2 + 9)31^5 + (27a^4 + 14a^3 + 29a^2 + 4a + 1)31^6 + (13a^4 + a^3 + 29a^2 + 21a + 15)31^7 + (21a^4 + 2a^3 + 3a^2 + 10a + 24)31^8 + (23a^4 + 19a^3 + 20a^2 + a + 25)31^9+O(31^10)
$r_{ 3 }$	$=$	\( 5 a^{4} + 23 a^{3} + 19 a^{2} + 4 a + 5 + \left(8 a^{4} + 23 a^{3} + 20 a^{2} + 7 a + 10\right)\cdot 31 + \left(24 a^{4} + 7 a^{3} + 14 a^{2} + 14 a + 24\right)\cdot 31^{2} + \left(30 a^{4} + 24 a^{3} + 3 a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 31^{3} + \left(4 a^{3} + 26 a^{2} + 28 a + 14\right)\cdot 31^{4} + \left(15 a^{4} + 18 a^{3} + 25 a^{2} + 23 a + 30\right)\cdot 31^{5} + \left(19 a^{4} + 6 a^{3} + 10 a^{2} + 25 a\right)\cdot 31^{6} + \left(a^{4} + 18 a^{2} + 24 a + 27\right)\cdot 31^{7} + \left(8 a^{4} + 14 a^{3} + 19 a^{2} + 23\right)\cdot 31^{8} + \left(22 a^{4} + 18 a^{3} + 5 a^{2} + 10 a + 17\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\) 5a^4 + 23a^3 + 19a^2 + 4a + 5 + (8a^4 + 23a^3 + 20a^2 + 7a + 10)31 + (24a^4 + 7a^3 + 14a^2 + 14a + 24)31^2 + (30a^4 + 24a^3 + 3a^2 + 6a + 10)31^3 + (4a^3 + 26a^2 + 28a + 14)31^4 + (15a^4 + 18a^3 + 25a^2 + 23a + 30)31^5 + (19a^4 + 6a^3 + 10a^2 + 25a)31^6 + (a^4 + 18a^2 + 24a + 27)31^7 + (8a^4 + 14a^3 + 19a^2 + 23)31^8 + (22a^4 + 18a^3 + 5a^2 + 10a + 17)*31^9+O(31^10)
$r_{ 4 }$	$=$	\( 6 a^{4} + 15 a^{3} + 23 a^{2} + 18 a + 19 + \left(15 a^{4} + 4 a^{3} + 24 a^{2} + 15 a + 24\right)\cdot 31 + \left(3 a^{4} + 6 a^{3} + 16 a^{2} + 11 a + 20\right)\cdot 31^{2} + \left(22 a^{4} + 14 a^{3} + 18 a^{2} + 19 a + 30\right)\cdot 31^{3} + \left(17 a^{4} + 10 a^{2} + 14 a + 26\right)\cdot 31^{4} + \left(6 a^{4} + 13 a^{3} + 12 a^{2} + a + 29\right)\cdot 31^{5} + \left(4 a^{4} + 25 a^{3} + 20 a^{2} + 8 a + 29\right)\cdot 31^{6} + \left(19 a^{4} + 25 a^{3} + 14 a^{2} + 24 a + 10\right)\cdot 31^{7} + \left(30 a^{4} + 22 a^{3} + 20 a^{2} + 4 a + 16\right)\cdot 31^{8} + \left(30 a^{4} + 30 a^{3} + 6 a^{2} + 4 a + 7\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\) 6a^4 + 15a^3 + 23a^2 + 18a + 19 + (15a^4 + 4a^3 + 24a^2 + 15a + 24)31 + (3a^4 + 6a^3 + 16a^2 + 11a + 20)31^2 + (22a^4 + 14a^3 + 18a^2 + 19a + 30)31^3 + (17a^4 + 10a^2 + 14a + 26)31^4 + (6a^4 + 13a^3 + 12a^2 + a + 29)31^5 + (4a^4 + 25a^3 + 20a^2 + 8a + 29)31^6 + (19a^4 + 25a^3 + 14a^2 + 24a + 10)31^7 + (30a^4 + 22a^3 + 20a^2 + 4a + 16)31^8 + (30a^4 + 30a^3 + 6a^2 + 4a + 7)*31^9+O(31^10)
$r_{ 5 }$	$=$	\( 6 a^{4} + 25 a^{3} + 30 a^{2} + 13 a + 23 + \left(19 a^{4} + 16 a^{3} + 16 a^{2} + 22 a + 3\right)\cdot 31 + \left(21 a^{4} + 8 a^{3} + 3 a^{2} + 25 a + 28\right)\cdot 31^{2} + \left(12 a^{4} + 11 a^{3} + 27 a^{2} + 23 a + 14\right)\cdot 31^{3} + \left(8 a^{4} + 14 a^{3} + 15 a^{2} + 19 a + 12\right)\cdot 31^{4} + \left(15 a^{4} + 27 a^{3} + 13 a^{2} + 8 a + 19\right)\cdot 31^{5} + \left(12 a^{4} + 30 a^{3} + 18 a^{2} + 26 a + 17\right)\cdot 31^{6} + \left(7 a^{4} + 17 a^{3} + 13 a^{2} + 2 a + 3\right)\cdot 31^{7} + \left(3 a^{4} + 21 a^{3} + 8 a^{2} + 20 a + 3\right)\cdot 31^{8} + \left(26 a^{4} + 26 a^{3} + 2 a^{2} + 10 a + 2\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\) 6a^4 + 25a^3 + 30a^2 + 13a + 23 + (19a^4 + 16a^3 + 16a^2 + 22a + 3)31 + (21a^4 + 8a^3 + 3a^2 + 25a + 28)31^2 + (12a^4 + 11a^3 + 27a^2 + 23a + 14)31^3 + (8a^4 + 14a^3 + 15a^2 + 19a + 12)31^4 + (15a^4 + 27a^3 + 13a^2 + 8a + 19)31^5 + (12a^4 + 30a^3 + 18a^2 + 26a + 17)31^6 + (7a^4 + 17a^3 + 13a^2 + 2a + 3)31^7 + (3a^4 + 21a^3 + 8a^2 + 20a + 3)31^8 + (26a^4 + 26a^3 + 2a^2 + 10a + 2)*31^9+O(31^10)
$r_{ 6 }$	$=$	\( 6 a^{4} + 29 a^{3} + 15 a^{2} + 5 a + 19 + \left(24 a^{4} + 5 a^{3} + 13 a^{2} + 20 a\right)\cdot 31 + \left(18 a^{4} + 9 a^{3} + 29 a^{2} + 24 a + 1\right)\cdot 31^{2} + \left(7 a^{4} + 11 a^{3} + 15 a^{2} + 30\right)\cdot 31^{3} + \left(29 a^{4} + 12 a^{3} + 17 a + 10\right)\cdot 31^{4} + \left(18 a^{4} + 22 a^{2} + 17 a + 12\right)\cdot 31^{5} + \left(12 a^{4} + 14 a^{3} + 17 a^{2} + 19 a + 27\right)\cdot 31^{6} + \left(26 a^{4} + 20 a^{3} + 24 a^{2} + 13 a + 26\right)\cdot 31^{7} + \left(25 a^{4} + 28 a^{3} + 6 a^{2} + 19 a + 26\right)\cdot 31^{8} + \left(30 a^{4} + a^{3} + 25 a^{2} + 12 a + 12\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\) 6a^4 + 29a^3 + 15a^2 + 5a + 19 + (24a^4 + 5a^3 + 13a^2 + 20a)31 + (18a^4 + 9a^3 + 29a^2 + 24a + 1)31^2 + (7a^4 + 11a^3 + 15a^2 + 30)31^3 + (29a^4 + 12a^3 + 17a + 10)31^4 + (18a^4 + 22a^2 + 17a + 12)31^5 + (12a^4 + 14a^3 + 17a^2 + 19a + 27)31^6 + (26a^4 + 20a^3 + 24a^2 + 13a + 26)31^7 + (25a^4 + 28a^3 + 6a^2 + 19a + 26)31^8 + (30a^4 + a^3 + 25a^2 + 12a + 12)*31^9+O(31^10)
$r_{ 7 }$	$=$	\( 10 a^{4} + 17 a^{3} + 12 a^{2} + 3 a + 26 + \left(18 a^{4} + 23 a^{3} + 17 a^{2} + 4 a + 18\right)\cdot 31 + \left(19 a^{4} + 30 a^{3} + 6 a^{2} + 20 a + 21\right)\cdot 31^{2} + \left(5 a^{4} + 4 a^{3} + 3 a^{2} + 27 a + 19\right)\cdot 31^{3} + \left(24 a^{4} + 20 a^{3} + 15 a^{2} + 4 a + 6\right)\cdot 31^{4} + \left(5 a^{4} + 28 a^{3} + 29 a^{2} + 25 a + 6\right)\cdot 31^{5} + \left(7 a^{4} + 15 a^{3} + 23 a^{2} + 9 a + 24\right)\cdot 31^{6} + \left(14 a^{3} + 20 a^{2} + 4 a + 23\right)\cdot 31^{7} + \left(18 a^{4} + 16 a^{3} + 19 a^{2} + 18 a + 16\right)\cdot 31^{8} + \left(3 a^{4} + 12 a^{3} + 22 a^{2} + 21 a + 1\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\) 10a^4 + 17a^3 + 12a^2 + 3a + 26 + (18a^4 + 23a^3 + 17a^2 + 4a + 18)31 + (19a^4 + 30a^3 + 6a^2 + 20a + 21)31^2 + (5a^4 + 4a^3 + 3a^2 + 27a + 19)31^3 + (24a^4 + 20a^3 + 15a^2 + 4a + 6)31^4 + (5a^4 + 28a^3 + 29a^2 + 25a + 6)31^5 + (7a^4 + 15a^3 + 23a^2 + 9a + 24)31^6 + (14a^3 + 20a^2 + 4a + 23)31^7 + (18a^4 + 16a^3 + 19a^2 + 18a + 16)31^8 + (3a^4 + 12a^3 + 22a^2 + 21a + 1)31^9+O(31^10)
$r_{ 8 }$	$=$	\( 13 a^{4} + 5 a^{3} + 21 a^{2} + 20 a + 21 + \left(20 a^{4} + 15 a^{3} + 28 a^{2} + 20 a + 16\right)\cdot 31 + \left(5 a^{4} + 6 a^{3} + 2 a^{2} + 13 a + 20\right)\cdot 31^{2} + \left(24 a^{4} + 20 a^{3} + 2 a^{2} + 15 a + 23\right)\cdot 31^{3} + \left(16 a^{4} + 30 a^{3} + 12 a^{2} + a + 21\right)\cdot 31^{4} + \left(17 a^{4} + 22 a^{3} + 29 a^{2} + 18 a + 10\right)\cdot 31^{5} + \left(14 a^{4} + 27 a^{3} + 15 a^{2} + 28 a + 7\right)\cdot 31^{6} + \left(25 a^{4} + 25 a^{3} + 12 a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 31^{7} + \left(21 a^{4} + 24 a^{3} + 11 a^{2} + 25 a + 4\right)\cdot 31^{8} + \left(a^{4} + 23 a^{3} + 2 a^{2} + 27 a + 17\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\) 13a^4 + 5a^3 + 21a^2 + 20a + 21 + (20a^4 + 15a^3 + 28a^2 + 20a + 16)31 + (5a^4 + 6a^3 + 2a^2 + 13a + 20)31^2 + (24a^4 + 20a^3 + 2a^2 + 15a + 23)31^3 + (16a^4 + 30a^3 + 12a^2 + a + 21)31^4 + (17a^4 + 22a^3 + 29a^2 + 18a + 10)31^5 + (14a^4 + 27a^3 + 15a^2 + 28a + 7)31^6 + (25a^4 + 25a^3 + 12a^2 + 6a + 9)31^7 + (21a^4 + 24a^3 + 11a^2 + 25a + 4)31^8 + (a^4 + 23a^3 + 2a^2 + 27a + 17)*31^9+O(31^10)
$r_{ 9 }$	$=$	\( 15 a^{4} + 8 a^{3} + 2 a^{2} + 19 a + 30 + \left(26 a^{4} + 8 a^{3} + 7 a^{2} + 29 a + 25\right)\cdot 31 + \left(7 a^{4} + 16 a^{3} + 25 a^{2} + 3 a + 6\right)\cdot 31^{2} + \left(22 a^{4} + 7 a^{3} + 27 a^{2}\right)\cdot 31^{3} + \left(13 a^{4} + 22 a^{3} + 19 a^{2} + 18 a + 5\right)\cdot 31^{4} + \left(19 a^{4} + 13 a^{3} + 3 a^{2} + 7 a + 24\right)\cdot 31^{5} + \left(7 a^{4} + 11 a^{3} + 7 a^{2} + 23 a + 2\right)\cdot 31^{6} + \left(10 a^{4} + 17 a^{3} + 16 a^{2} + 7\right)\cdot 31^{7} + \left(20 a^{4} + 27 a^{3} + 19 a^{2} + a + 18\right)\cdot 31^{8} + \left(19 a^{4} + 29 a^{3} + 17 a^{2} + 2 a + 15\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\) 15a^4 + 8a^3 + 2a^2 + 19a + 30 + (26a^4 + 8a^3 + 7a^2 + 29a + 25)31 + (7a^4 + 16a^3 + 25a^2 + 3a + 6)31^2 + (22a^4 + 7a^3 + 27a^2)31^3 + (13a^4 + 22a^3 + 19a^2 + 18a + 5)31^4 + (19a^4 + 13a^3 + 3a^2 + 7a + 24)31^5 + (7a^4 + 11a^3 + 7a^2 + 23a + 2)31^6 + (10a^4 + 17a^3 + 16a^2 + 7)31^7 + (20a^4 + 27a^3 + 19a^2 + a + 18)31^8 + (19a^4 + 29a^3 + 17a^2 + 2a + 15)31^9+O(31^10)
$r_{ 10 }$	$=$	\( 15 a^{4} + 13 a^{3} + 14 a^{2} + 3 a + 23 + \left(23 a^{4} + 7 a^{3} + 12 a^{2} + 30 a + 16\right)\cdot 31 + \left(2 a^{4} + 5 a^{3} + a^{2} + 9 a + 26\right)\cdot 31^{2} + \left(14 a^{4} + 22 a^{3} + 13 a^{2} + 11 a + 29\right)\cdot 31^{3} + \left(10 a^{4} + 27 a^{3} + 9 a^{2} + 28 a + 28\right)\cdot 31^{4} + \left(21 a^{4} + 16 a^{3} + a^{2} + 21 a + 18\right)\cdot 31^{5} + \left(16 a^{4} + 12 a^{3} + 3 a^{2} + 5 a + 21\right)\cdot 31^{6} + \left(a^{4} + 25 a^{3} + 19 a^{2} + a + 18\right)\cdot 31^{7} + \left(4 a^{4} + 17 a^{3} + 5 a^{2} + 24 a\right)\cdot 31^{8} + \left(a^{4} + 20 a^{3} + 9 a + 25\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\) 15a^4 + 13a^3 + 14a^2 + 3a + 23 + (23a^4 + 7a^3 + 12a^2 + 30a + 16)31 + (2a^4 + 5a^3 + a^2 + 9a + 26)31^2 + (14a^4 + 22a^3 + 13a^2 + 11a + 29)31^3 + (10a^4 + 27a^3 + 9a^2 + 28a + 28)31^4 + (21a^4 + 16a^3 + a^2 + 21a + 18)31^5 + (16a^4 + 12a^3 + 3a^2 + 5a + 21)31^6 + (a^4 + 25a^3 + 19a^2 + a + 18)31^7 + (4a^4 + 17a^3 + 5a^2 + 24a)31^8 + (a^4 + 20a^3 + 9a + 25)*31^9+O(31^10)
$r_{ 11 }$	$=$	\( 16 a^{4} + 22 a^{3} + 9 a^{2} + 7 a + 13 + \left(27 a^{4} + 10 a^{3} + 25 a^{2} + 7 a + 25\right)\cdot 31 + \left(5 a^{4} + 24 a^{3} + 13 a^{2} + 9 a + 21\right)\cdot 31^{2} + \left(29 a^{4} + 7 a^{3} + 29 a^{2} + 6 a + 20\right)\cdot 31^{3} + \left(22 a^{4} + 15 a^{3} + 13 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 31^{4} + \left(3 a^{4} + 13 a^{3} + 8 a^{2} + 22 a + 20\right)\cdot 31^{5} + \left(17 a^{4} + 26 a^{3} + 4 a^{2} + 14 a + 21\right)\cdot 31^{6} + \left(25 a^{4} + 26 a^{3} + 10 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 31^{7} + \left(16 a^{4} + 6 a^{3} + 6 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 31^{8} + \left(6 a^{4} + 26 a^{3} + 11 a^{2} + 28 a + 13\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\) 16a^4 + 22a^3 + 9a^2 + 7a + 13 + (27a^4 + 10a^3 + 25a^2 + 7a + 25)31 + (5a^4 + 24a^3 + 13a^2 + 9a + 21)31^2 + (29a^4 + 7a^3 + 29a^2 + 6a + 20)31^3 + (22a^4 + 15a^3 + 13a^2 + 2a + 6)31^4 + (3a^4 + 13a^3 + 8a^2 + 22a + 20)31^5 + (17a^4 + 26a^3 + 4a^2 + 14a + 21)31^6 + (25a^4 + 26a^3 + 10a^2 + 7a + 9)31^7 + (16a^4 + 6a^3 + 6a^2 + 8a + 7)31^8 + (6a^4 + 26a^3 + 11a^2 + 28a + 13)*31^9+O(31^10)
$r_{ 12 }$	$=$	\( 18 a^{4} + 18 a^{3} + 14 a^{2} + 21 a + 15 + \left(12 a^{4} + 5 a^{3} + 26 a^{2} + 6 a + 11\right)\cdot 31 + \left(5 a^{4} + 18 a^{3} + 28 a^{2} + 30 a + 10\right)\cdot 31^{2} + \left(4 a^{4} + 5 a^{3} + 4 a^{2} + 14 a + 5\right)\cdot 31^{3} + \left(4 a^{4} + a^{3} + 19 a^{2} + 21 a + 12\right)\cdot 31^{4} + \left(15 a^{4} + 18 a^{3} + 25 a^{2} + 29 a + 21\right)\cdot 31^{5} + \left(25 a^{3} + 29 a^{2} + a + 17\right)\cdot 31^{6} + \left(16 a^{4} + 30 a^{3} + 11 a^{2} + 21 a\right)\cdot 31^{7} + \left(23 a^{4} + 30 a^{2} + 23 a + 29\right)\cdot 31^{8} + \left(12 a^{4} + 13 a^{3} + 4 a^{2} + 26 a + 21\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\) 18a^4 + 18a^3 + 14a^2 + 21a + 15 + (12a^4 + 5a^3 + 26a^2 + 6a + 11)31 + (5a^4 + 18a^3 + 28a^2 + 30a + 10)31^2 + (4a^4 + 5a^3 + 4a^2 + 14a + 5)31^3 + (4a^4 + a^3 + 19a^2 + 21a + 12)31^4 + (15a^4 + 18a^3 + 25a^2 + 29a + 21)31^5 + (25a^3 + 29a^2 + a + 17)31^6 + (16a^4 + 30a^3 + 11a^2 + 21a)31^7 + (23a^4 + 30a^2 + 23a + 29)31^8 + (12a^4 + 13a^3 + 4a^2 + 26a + 21)*31^9+O(31^10)
$r_{ 13 }$	$=$	\( 21 a^{4} + 22 a^{3} + 25 a^{2} + 12 a + 10 + \left(5 a^{4} + 25 a^{3} + 29 a + 2\right)\cdot 31 + \left(28 a^{4} + 15 a^{3} + 30 a^{2} + 2 a + 4\right)\cdot 31^{2} + \left(9 a^{4} + 8 a^{3} + 26 a^{2} + 20 a + 18\right)\cdot 31^{3} + \left(6 a^{4} + 3 a^{3} + 24 a^{2} + 26 a + 6\right)\cdot 31^{4} + \left(15 a^{4} + 12 a^{3} + 20 a^{2} + 2 a + 16\right)\cdot 31^{5} + \left(13 a^{4} + 30 a^{3} + 3 a^{2} + 22 a + 7\right)\cdot 31^{6} + \left(27 a^{4} + 24 a^{3} + 9 a + 20\right)\cdot 31^{7} + \left(28 a^{4} + 9 a^{3} + 17 a^{2} + 4 a + 6\right)\cdot 31^{8} + \left(22 a^{4} + 10 a^{3} + 16 a^{2} + 20 a + 18\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\) 21a^4 + 22a^3 + 25a^2 + 12a + 10 + (5a^4 + 25a^3 + 29a + 2)31 + (28a^4 + 15a^3 + 30a^2 + 2a + 4)31^2 + (9a^4 + 8a^3 + 26a^2 + 20a + 18)31^3 + (6a^4 + 3a^3 + 24a^2 + 26a + 6)31^4 + (15a^4 + 12a^3 + 20a^2 + 2a + 16)31^5 + (13a^4 + 30a^3 + 3a^2 + 22a + 7)31^6 + (27a^4 + 24a^3 + 9a + 20)31^7 + (28a^4 + 9a^3 + 17a^2 + 4a + 6)31^8 + (22a^4 + 10a^3 + 16a^2 + 20a + 18)*31^9+O(31^10)
$r_{ 14 }$	$=$	\( 22 a^{4} + 30 a^{3} + 29 a^{2} + 12 a + 25 + \left(8 a^{4} + a^{3} + 22 a^{2} + 15 a + 20\right)\cdot 31 + \left(6 a^{4} + 28 a^{3} + 24 a^{2} + 28 a + 27\right)\cdot 31^{2} + \left(5 a^{4} + 10 a^{3} + 20 a^{2} + 2 a + 4\right)\cdot 31^{3} + \left(23 a^{4} + 17 a^{3} + 7 a^{2} + 23 a + 7\right)\cdot 31^{4} + \left(19 a^{4} + 20 a^{3} + 11 a^{2} + 24 a + 16\right)\cdot 31^{5} + \left(21 a^{4} + 12 a^{3} + 7 a^{2} + 22 a + 24\right)\cdot 31^{6} + \left(26 a^{4} + 7 a^{3} + 14 a^{2} + 29 a + 10\right)\cdot 31^{7} + \left(17 a^{4} + 23 a^{3} + 10 a^{2} + a + 28\right)\cdot 31^{8} + \left(27 a^{4} + 25 a^{3} + 20 a^{2} + 12 a + 11\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\) 22a^4 + 30a^3 + 29a^2 + 12a + 25 + (8a^4 + a^3 + 22a^2 + 15a + 20)31 + (6a^4 + 28a^3 + 24a^2 + 28a + 27)31^2 + (5a^4 + 10a^3 + 20a^2 + 2a + 4)31^3 + (23a^4 + 17a^3 + 7a^2 + 23a + 7)31^4 + (19a^4 + 20a^3 + 11a^2 + 24a + 16)31^5 + (21a^4 + 12a^3 + 7a^2 + 22a + 24)31^6 + (26a^4 + 7a^3 + 14a^2 + 29a + 10)31^7 + (17a^4 + 23a^3 + 10a^2 + a + 28)31^8 + (27a^4 + 25a^3 + 20a^2 + 12a + 11)*31^9+O(31^10)
$r_{ 15 }$	$=$	\( 28 a^{4} + 15 a^{3} + 24 a^{2} + 23 a + 9 + \left(29 a^{4} + 23 a^{3} + 13 a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 31 + \left(27 a^{4} + 10 a^{3} + 4 a\right)\cdot 31^{2} + \left(a^{4} + 18 a^{3} + 20 a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 31^{3} + \left(26 a^{3} + 10 a^{2} + 15 a + 14\right)\cdot 31^{4} + \left(8 a^{3} + 25 a^{2} + 22 a + 23\right)\cdot 31^{5} + \left(16 a^{4} + 26 a^{3} + 28 a^{2} + 21 a + 17\right)\cdot 31^{6} + \left(17 a^{4} + 14 a^{3} + 26 a^{2} + 5 a + 27\right)\cdot 31^{7} + \left(29 a^{4} + 3 a^{3} + 26 a^{2} + 25 a\right)\cdot 31^{8} + \left(16 a^{4} + 21 a^{3} + 13 a^{2} + 22 a + 2\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\) 28a^4 + 15a^3 + 24a^2 + 23a + 9 + (29a^4 + 23a^3 + 13a^2 + 5a + 9)31 + (27a^4 + 10a^3 + 4a)31^2 + (a^4 + 18a^3 + 20a^2 + 5a + 5)31^3 + (26a^3 + 10a^2 + 15a + 14)31^4 + (8a^3 + 25a^2 + 22a + 23)31^5 + (16a^4 + 26a^3 + 28a^2 + 21a + 17)31^6 + (17a^4 + 14a^3 + 26a^2 + 5a + 27)31^7 + (29a^4 + 3a^3 + 26a^2 + 25a)31^8 + (16a^4 + 21a^3 + 13a^2 + 22a + 2)*31^9+O(31^10)