LMFDB - Artin representation 2.3971.10t3.a.b

Basic invariants

Dimension:	$2$
Group:	$D_{10}$
Conductor:	$3971$$\medspace = 11 \cdot 19^{2} $
Frobenius-Schur indicator:	$1$
Root number:	$1$
Artin stem field:	Galois closure of 10.0.4724470583182339.1
Galois orbit size:	$2$
Smallest permutation container:	$D_{10}$
Parity:	odd
Determinant:	1.11.2t1.a.a
Projective image:	$D_5$
Projective stem field:	Galois closure of 5.1.15768841.1

Defining polynomial

$f(x)$

$=$

$ x^{10} + 19x^{8} + 152x^{6} + 475x^{4} + 1273x^{2} + 1216 $

The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 23 }$ to precision 10.

Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 23 }$: $ x^{5} + 3x + 18 $ x^5 + 3*x + 18

Roots:

$r_{ 1 }$	$=$	$ 3 a^{4} + 2 a^{3} + 18 a^{2} + 3 a + 16 + \left(2 a^{4} + 14 a^{3} + 13 a^{2} + a + 1\right)\cdot 23 + \left(11 a^{4} + 15 a^{2} + 10 a + 18\right)\cdot 23^{2} + \left(4 a^{4} + 17 a^{3} + 14 a^{2} + 15 a + 13\right)\cdot 23^{3} + \left(20 a^{4} + 17 a^{3} + 6 a^{2} + 17 a + 16\right)\cdot 23^{4} + \left(17 a^{4} + 8 a^{3} + 6 a^{2} + 6 a + 4\right)\cdot 23^{5} + \left(a^{4} + 18 a^{3} + 5 a^{2} + 11 a + 22\right)\cdot 23^{6} + \left(17 a^{4} + 13 a^{3} + 4 a^{2} + 15 a + 19\right)\cdot 23^{7} + \left(20 a^{4} + 12 a^{3} + 2 a^{2} + 18 a + 7\right)\cdot 23^{8} + \left(20 a^{4} + 10 a^{3} + 2 a^{2} + 2 a + 8\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})$ 3a^4 + 2a^3 + 18a^2 + 3a + 16 + (2a^4 + 14a^3 + 13a^2 + a + 1)23 + (11a^4 + 15a^2 + 10a + 18)23^2 + (4a^4 + 17a^3 + 14a^2 + 15a + 13)23^3 + (20a^4 + 17a^3 + 6a^2 + 17a + 16)23^4 + (17a^4 + 8a^3 + 6a^2 + 6a + 4)23^5 + (a^4 + 18a^3 + 5a^2 + 11a + 22)23^6 + (17a^4 + 13a^3 + 4a^2 + 15a + 19)23^7 + (20a^4 + 12a^3 + 2a^2 + 18a + 7)23^8 + (20a^4 + 10a^3 + 2a^2 + 2a + 8)23^9+O(23^10)
$r_{ 2 }$	$=$	$ 7 a^{4} + 10 a^{3} + 19 a^{2} + 17 a + 21 + \left(19 a^{3} + 10 a^{2} + 7 a + 1\right)\cdot 23 + \left(5 a^{4} + 2 a^{3} + 11 a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 23^{2} + \left(18 a^{4} + 11 a^{3} + 6 a^{2} + 5\right)\cdot 23^{3} + \left(8 a^{4} + 19 a^{3} + 17 a^{2} + 12 a + 12\right)\cdot 23^{4} + \left(17 a^{4} + 5 a^{3} + 3 a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 23^{5} + \left(11 a^{4} + a^{3} + 3 a^{2} + 20 a\right)\cdot 23^{6} + \left(18 a^{4} + 6 a^{3} + 12 a^{2} + a + 5\right)\cdot 23^{7} + \left(8 a^{4} + 5 a^{3} + 14 a^{2} + 20 a + 2\right)\cdot 23^{8} + \left(5 a^{4} + 8 a^{3} + 12 a^{2} + 17 a + 17\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})$ 7a^4 + 10a^3 + 19a^2 + 17a + 21 + (19a^3 + 10a^2 + 7a + 1)23 + (5a^4 + 2a^3 + 11a^2 + 8a + 8)23^2 + (18a^4 + 11a^3 + 6a^2 + 5)23^3 + (8a^4 + 19a^3 + 17a^2 + 12a + 12)23^4 + (17a^4 + 5a^3 + 3a^2 + 9a + 3)23^5 + (11a^4 + a^3 + 3a^2 + 20a)23^6 + (18a^4 + 6a^3 + 12a^2 + a + 5)23^7 + (8a^4 + 5a^3 + 14a^2 + 20a + 2)23^8 + (5a^4 + 8a^3 + 12a^2 + 17a + 17)*23^9+O(23^10)
$r_{ 3 }$	$=$	$ 9 a^{4} + 2 a^{3} + 18 a^{2} + 20 a + 22 + \left(17 a^{4} + 13 a^{3} + 17 a^{2} + 18 a + 12\right)\cdot 23 + \left(7 a^{4} + 3 a^{3} + 19 a^{2} + 13 a + 22\right)\cdot 23^{2} + \left(14 a^{4} + 8 a^{3} + 11 a^{2} + 12 a + 12\right)\cdot 23^{3} + \left(7 a^{4} + 5 a^{3} + 20 a^{2} + 20 a + 22\right)\cdot 23^{4} + \left(8 a^{4} + 12 a^{3} + 6 a^{2} + 10 a + 2\right)\cdot 23^{5} + \left(19 a^{4} + 19 a^{3} + 6 a^{2} + 20 a + 10\right)\cdot 23^{6} + \left(7 a^{4} + 17 a^{3} + 10 a^{2} + 4 a + 21\right)\cdot 23^{7} + \left(12 a^{4} + 17 a^{3} + 7 a^{2} + 8 a + 20\right)\cdot 23^{8} + \left(7 a^{4} + 22 a^{3} + 8 a^{2} + 18 a + 13\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})$ 9a^4 + 2a^3 + 18a^2 + 20a + 22 + (17a^4 + 13a^3 + 17a^2 + 18a + 12)23 + (7a^4 + 3a^3 + 19a^2 + 13a + 22)23^2 + (14a^4 + 8a^3 + 11a^2 + 12a + 12)23^3 + (7a^4 + 5a^3 + 20a^2 + 20a + 22)23^4 + (8a^4 + 12a^3 + 6a^2 + 10a + 2)23^5 + (19a^4 + 19a^3 + 6a^2 + 20a + 10)23^6 + (7a^4 + 17a^3 + 10a^2 + 4a + 21)23^7 + (12a^4 + 17a^3 + 7a^2 + 8a + 20)23^8 + (7a^4 + 22a^3 + 8a^2 + 18a + 13)*23^9+O(23^10)
$r_{ 4 }$	$=$	$ 10 a^{4} + 3 a^{3} + 21 a^{2} + 19 a + 19 + \left(11 a^{4} + 5 a^{3} + 9 a^{2} + 7 a + 14\right)\cdot 23 + \left(6 a^{4} + 16 a^{3} + 19 a^{2} + 4 a + 11\right)\cdot 23^{2} + \left(9 a^{4} + 11 a^{3} + 2 a^{2} + 11 a + 11\right)\cdot 23^{3} + \left(7 a^{4} + 15 a^{3} + 2 a^{2} + 8 a + 13\right)\cdot 23^{4} + \left(5 a^{4} + 7 a^{3} + 13 a^{2} + 18 a + 20\right)\cdot 23^{5} + \left(2 a^{4} + 7 a^{3} + 10 a^{2} + 18 a + 4\right)\cdot 23^{6} + \left(11 a^{4} + 22 a^{3} + 2 a^{2} + 9 a + 10\right)\cdot 23^{7} + \left(3 a^{4} + 19 a^{3} + 17 a^{2} + 9 a + 12\right)\cdot 23^{8} + \left(7 a^{4} + 19 a^{3} + 11 a^{2} + 21 a + 7\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})$ 10a^4 + 3a^3 + 21a^2 + 19a + 19 + (11a^4 + 5a^3 + 9a^2 + 7a + 14)23 + (6a^4 + 16a^3 + 19a^2 + 4a + 11)23^2 + (9a^4 + 11a^3 + 2a^2 + 11a + 11)23^3 + (7a^4 + 15a^3 + 2a^2 + 8a + 13)23^4 + (5a^4 + 7a^3 + 13a^2 + 18a + 20)23^5 + (2a^4 + 7a^3 + 10a^2 + 18a + 4)23^6 + (11a^4 + 22a^3 + 2a^2 + 9a + 10)23^7 + (3a^4 + 19a^3 + 17a^2 + 9a + 12)23^8 + (7a^4 + 19a^3 + 11a^2 + 21a + 7)*23^9+O(23^10)
$r_{ 5 }$	$=$	$ 11 a^{4} + 13 a^{3} + 17 a^{2} + 19 a + 13 + \left(19 a^{4} + 2 a^{3} + 16 a^{2} + 20 a + 22\right)\cdot 23 + \left(14 a^{4} + 16 a^{3} + 3 a^{2} + 8 a + 11\right)\cdot 23^{2} + \left(17 a^{4} + 8 a^{3} + 12 a^{2} + 14 a + 2\right)\cdot 23^{3} + \left(5 a^{4} + a^{3} + 5 a^{2} + 17 a + 18\right)\cdot 23^{4} + \left(9 a^{4} + 10 a^{3} + 16 a^{2} + 9\right)\cdot 23^{5} + \left(19 a^{4} + 7 a^{3} + 12 a^{2} + 7 a + 19\right)\cdot 23^{6} + \left(15 a^{4} + a^{3} + 8 a^{2} + 22 a + 3\right)\cdot 23^{7} + \left(20 a^{4} + 20 a^{3} + 3 a^{2} + 16 a + 4\right)\cdot 23^{8} + \left(2 a^{4} + 15 a^{3} + 18 a^{2} + 21\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})$ 11a^4 + 13a^3 + 17a^2 + 19a + 13 + (19a^4 + 2a^3 + 16a^2 + 20a + 22)23 + (14a^4 + 16a^3 + 3a^2 + 8a + 11)23^2 + (17a^4 + 8a^3 + 12a^2 + 14a + 2)23^3 + (5a^4 + a^3 + 5a^2 + 17a + 18)23^4 + (9a^4 + 10a^3 + 16a^2 + 9)23^5 + (19a^4 + 7a^3 + 12a^2 + 7a + 19)23^6 + (15a^4 + a^3 + 8a^2 + 22a + 3)23^7 + (20a^4 + 20a^3 + 3a^2 + 16a + 4)23^8 + (2a^4 + 15a^3 + 18a^2 + 21)*23^9+O(23^10)
$r_{ 6 }$	$=$	$ 12 a^{4} + 10 a^{3} + 6 a^{2} + 4 a + 10 + \left(3 a^{4} + 20 a^{3} + 6 a^{2} + 2 a\right)\cdot 23 + \left(8 a^{4} + 6 a^{3} + 19 a^{2} + 14 a + 11\right)\cdot 23^{2} + \left(5 a^{4} + 14 a^{3} + 10 a^{2} + 8 a + 20\right)\cdot 23^{3} + \left(17 a^{4} + 21 a^{3} + 17 a^{2} + 5 a + 4\right)\cdot 23^{4} + \left(13 a^{4} + 12 a^{3} + 6 a^{2} + 22 a + 13\right)\cdot 23^{5} + \left(3 a^{4} + 15 a^{3} + 10 a^{2} + 15 a + 3\right)\cdot 23^{6} + \left(7 a^{4} + 21 a^{3} + 14 a^{2} + 19\right)\cdot 23^{7} + \left(2 a^{4} + 2 a^{3} + 19 a^{2} + 6 a + 18\right)\cdot 23^{8} + \left(20 a^{4} + 7 a^{3} + 4 a^{2} + 22 a + 1\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})$ 12a^4 + 10a^3 + 6a^2 + 4a + 10 + (3a^4 + 20a^3 + 6a^2 + 2a)23 + (8a^4 + 6a^3 + 19a^2 + 14a + 11)23^2 + (5a^4 + 14a^3 + 10a^2 + 8a + 20)23^3 + (17a^4 + 21a^3 + 17a^2 + 5a + 4)23^4 + (13a^4 + 12a^3 + 6a^2 + 22a + 13)23^5 + (3a^4 + 15a^3 + 10a^2 + 15a + 3)23^6 + (7a^4 + 21a^3 + 14a^2 + 19)23^7 + (2a^4 + 2a^3 + 19a^2 + 6a + 18)23^8 + (20a^4 + 7a^3 + 4a^2 + 22a + 1)23^9+O(23^10)
$r_{ 7 }$	$=$	$ 13 a^{4} + 20 a^{3} + 2 a^{2} + 4 a + 4 + \left(11 a^{4} + 17 a^{3} + 13 a^{2} + 15 a + 8\right)\cdot 23 + \left(16 a^{4} + 6 a^{3} + 3 a^{2} + 18 a + 11\right)\cdot 23^{2} + \left(13 a^{4} + 11 a^{3} + 20 a^{2} + 11 a + 11\right)\cdot 23^{3} + \left(15 a^{4} + 7 a^{3} + 20 a^{2} + 14 a + 9\right)\cdot 23^{4} + \left(17 a^{4} + 15 a^{3} + 9 a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 23^{5} + \left(20 a^{4} + 15 a^{3} + 12 a^{2} + 4 a + 18\right)\cdot 23^{6} + \left(11 a^{4} + 20 a^{2} + 13 a + 12\right)\cdot 23^{7} + \left(19 a^{4} + 3 a^{3} + 5 a^{2} + 13 a + 10\right)\cdot 23^{8} + \left(15 a^{4} + 3 a^{3} + 11 a^{2} + a + 15\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})$ 13a^4 + 20a^3 + 2a^2 + 4a + 4 + (11a^4 + 17a^3 + 13a^2 + 15a + 8)23 + (16a^4 + 6a^3 + 3a^2 + 18a + 11)23^2 + (13a^4 + 11a^3 + 20a^2 + 11a + 11)23^3 + (15a^4 + 7a^3 + 20a^2 + 14a + 9)23^4 + (17a^4 + 15a^3 + 9a^2 + 4a + 2)23^5 + (20a^4 + 15a^3 + 12a^2 + 4a + 18)23^6 + (11a^4 + 20a^2 + 13a + 12)23^7 + (19a^4 + 3a^3 + 5a^2 + 13a + 10)23^8 + (15a^4 + 3a^3 + 11a^2 + a + 15)*23^9+O(23^10)
$r_{ 8 }$	$=$	$ 14 a^{4} + 21 a^{3} + 5 a^{2} + 3 a + 1 + \left(5 a^{4} + 9 a^{3} + 5 a^{2} + 4 a + 10\right)\cdot 23 + \left(15 a^{4} + 19 a^{3} + 3 a^{2} + 9 a\right)\cdot 23^{2} + \left(8 a^{4} + 14 a^{3} + 11 a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 23^{3} + \left(15 a^{4} + 17 a^{3} + 2 a^{2} + 2 a\right)\cdot 23^{4} + \left(14 a^{4} + 10 a^{3} + 16 a^{2} + 12 a + 20\right)\cdot 23^{5} + \left(3 a^{4} + 3 a^{3} + 16 a^{2} + 2 a + 12\right)\cdot 23^{6} + \left(15 a^{4} + 5 a^{3} + 12 a^{2} + 18 a + 1\right)\cdot 23^{7} + \left(10 a^{4} + 5 a^{3} + 15 a^{2} + 14 a + 2\right)\cdot 23^{8} + \left(15 a^{4} + 14 a^{2} + 4 a + 9\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})$ 14a^4 + 21a^3 + 5a^2 + 3a + 1 + (5a^4 + 9a^3 + 5a^2 + 4a + 10)23 + (15a^4 + 19a^3 + 3a^2 + 9a)23^2 + (8a^4 + 14a^3 + 11a^2 + 10a + 10)23^3 + (15a^4 + 17a^3 + 2a^2 + 2a)23^4 + (14a^4 + 10a^3 + 16a^2 + 12a + 20)23^5 + (3a^4 + 3a^3 + 16a^2 + 2a + 12)23^6 + (15a^4 + 5a^3 + 12a^2 + 18a + 1)23^7 + (10a^4 + 5a^3 + 15a^2 + 14a + 2)23^8 + (15a^4 + 14a^2 + 4a + 9)23^9+O(23^10)
$r_{ 9 }$	$=$	$ 16 a^{4} + 13 a^{3} + 4 a^{2} + 6 a + 2 + \left(22 a^{4} + 3 a^{3} + 12 a^{2} + 15 a + 21\right)\cdot 23 + \left(17 a^{4} + 20 a^{3} + 11 a^{2} + 14 a + 14\right)\cdot 23^{2} + \left(4 a^{4} + 11 a^{3} + 16 a^{2} + 22 a + 17\right)\cdot 23^{3} + \left(14 a^{4} + 3 a^{3} + 5 a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 23^{4} + \left(5 a^{4} + 17 a^{3} + 19 a^{2} + 13 a + 19\right)\cdot 23^{5} + \left(11 a^{4} + 21 a^{3} + 19 a^{2} + 2 a + 22\right)\cdot 23^{6} + \left(4 a^{4} + 16 a^{3} + 10 a^{2} + 21 a + 17\right)\cdot 23^{7} + \left(14 a^{4} + 17 a^{3} + 8 a^{2} + 2 a + 20\right)\cdot 23^{8} + \left(17 a^{4} + 14 a^{3} + 10 a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})$ 16a^4 + 13a^3 + 4a^2 + 6a + 2 + (22a^4 + 3a^3 + 12a^2 + 15a + 21)23 + (17a^4 + 20a^3 + 11a^2 + 14a + 14)23^2 + (4a^4 + 11a^3 + 16a^2 + 22a + 17)23^3 + (14a^4 + 3a^3 + 5a^2 + 10a + 10)23^4 + (5a^4 + 17a^3 + 19a^2 + 13a + 19)23^5 + (11a^4 + 21a^3 + 19a^2 + 2a + 22)23^6 + (4a^4 + 16a^3 + 10a^2 + 21a + 17)23^7 + (14a^4 + 17a^3 + 8a^2 + 2a + 20)23^8 + (17a^4 + 14a^3 + 10a^2 + 5a + 5)*23^9+O(23^10)
$r_{ 10 }$	$=$	$ 20 a^{4} + 21 a^{3} + 5 a^{2} + 20 a + 7 + \left(20 a^{4} + 8 a^{3} + 9 a^{2} + 21 a + 21\right)\cdot 23 + \left(11 a^{4} + 22 a^{3} + 7 a^{2} + 12 a + 4\right)\cdot 23^{2} + \left(18 a^{4} + 5 a^{3} + 8 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 23^{3} + \left(2 a^{4} + 5 a^{3} + 16 a^{2} + 5 a + 6\right)\cdot 23^{4} + \left(5 a^{4} + 14 a^{3} + 16 a^{2} + 16 a + 18\right)\cdot 23^{5} + \left(21 a^{4} + 4 a^{3} + 17 a^{2} + 11 a\right)\cdot 23^{6} + \left(5 a^{4} + 9 a^{3} + 18 a^{2} + 7 a + 3\right)\cdot 23^{7} + \left(2 a^{4} + 10 a^{3} + 20 a^{2} + 4 a + 15\right)\cdot 23^{8} + \left(2 a^{4} + 12 a^{3} + 20 a^{2} + 20 a + 14\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})$ 20a^4 + 21a^3 + 5a^2 + 20a + 7 + (20a^4 + 8a^3 + 9a^2 + 21a + 21)23 + (11a^4 + 22a^3 + 7a^2 + 12a + 4)23^2 + (18a^4 + 5a^3 + 8a^2 + 7a + 9)23^3 + (2a^4 + 5a^3 + 16a^2 + 5a + 6)23^4 + (5a^4 + 14a^3 + 16a^2 + 16a + 18)23^5 + (21a^4 + 4a^3 + 17a^2 + 11a)23^6 + (5a^4 + 9a^3 + 18a^2 + 7a + 3)23^7 + (2a^4 + 10a^3 + 20a^2 + 4a + 15)23^8 + (2a^4 + 12a^3 + 20a^2 + 20a + 14)*23^9+O(23^10)

Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 10 }$

Cycle notation
$(1,10)(2,9)(3,8)(4,7)(5,6)$
$(1,2)(3,5)(6,8)(9,10)$
$(1,4)(2,8)(3,9)(7,10)$

Character values on conjugacy classes

Size	Order	Action on $r_1, \ldots, r_{ 10 }$	Character value
$1$	$1$	$()$	$2$
$1$	$2$	$(1,10)(2,9)(3,8)(4,7)(5,6)$	$-2$
$5$	$2$	$(1,4)(2,8)(3,9)(7,10)$	$0$
$5$	$2$	$(1,7)(2,3)(4,10)(5,6)(8,9)$	$0$
$2$	$5$	$(1,4,2,6,8)(3,10,7,9,5)$	$-\zeta_{5}^{3} - \zeta_{5}^{2} - 1$
$2$	$5$	$(1,2,8,4,6)(3,7,5,10,9)$	$\zeta_{5}^{3} + \zeta_{5}^{2}$
$2$	$10$	$(1,7,2,5,8,10,4,9,6,3)$	$\zeta_{5}^{3} + \zeta_{5}^{2} + 1$
$2$	$10$	$(1,5,4,3,2,10,6,7,8,9)$	$-\zeta_{5}^{3} - \zeta_{5}^{2}$

The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.

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Hilbert	Bianchi

Elliptic curves over $\Q$
Elliptic curves over $\Q(\alpha)$
Genus 2 curves over $\Q$
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This project is supported by grants from the US National Science Foundation, the UK Engineering and Physical Sciences Research Council, and the Simons Foundation.

Label	2.3971.10t3.a.b
Dimension	$2$
Group	$D_{10}$
Conductor	$3971$
Root number	$1$
Indicator	$1$

$r_{ 1 }$	$=$	\( 3 a^{4} + 2 a^{3} + 18 a^{2} + 3 a + 16 + \left(2 a^{4} + 14 a^{3} + 13 a^{2} + a + 1\right)\cdot 23 + \left(11 a^{4} + 15 a^{2} + 10 a + 18\right)\cdot 23^{2} + \left(4 a^{4} + 17 a^{3} + 14 a^{2} + 15 a + 13\right)\cdot 23^{3} + \left(20 a^{4} + 17 a^{3} + 6 a^{2} + 17 a + 16\right)\cdot 23^{4} + \left(17 a^{4} + 8 a^{3} + 6 a^{2} + 6 a + 4\right)\cdot 23^{5} + \left(a^{4} + 18 a^{3} + 5 a^{2} + 11 a + 22\right)\cdot 23^{6} + \left(17 a^{4} + 13 a^{3} + 4 a^{2} + 15 a + 19\right)\cdot 23^{7} + \left(20 a^{4} + 12 a^{3} + 2 a^{2} + 18 a + 7\right)\cdot 23^{8} + \left(20 a^{4} + 10 a^{3} + 2 a^{2} + 2 a + 8\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})\) 3a^4 + 2a^3 + 18a^2 + 3a + 16 + (2a^4 + 14a^3 + 13a^2 + a + 1)23 + (11a^4 + 15a^2 + 10a + 18)23^2 + (4a^4 + 17a^3 + 14a^2 + 15a + 13)23^3 + (20a^4 + 17a^3 + 6a^2 + 17a + 16)23^4 + (17a^4 + 8a^3 + 6a^2 + 6a + 4)23^5 + (a^4 + 18a^3 + 5a^2 + 11a + 22)23^6 + (17a^4 + 13a^3 + 4a^2 + 15a + 19)23^7 + (20a^4 + 12a^3 + 2a^2 + 18a + 7)23^8 + (20a^4 + 10a^3 + 2a^2 + 2a + 8)23^9+O(23^10)
$r_{ 2 }$	$=$	\( 7 a^{4} + 10 a^{3} + 19 a^{2} + 17 a + 21 + \left(19 a^{3} + 10 a^{2} + 7 a + 1\right)\cdot 23 + \left(5 a^{4} + 2 a^{3} + 11 a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 23^{2} + \left(18 a^{4} + 11 a^{3} + 6 a^{2} + 5\right)\cdot 23^{3} + \left(8 a^{4} + 19 a^{3} + 17 a^{2} + 12 a + 12\right)\cdot 23^{4} + \left(17 a^{4} + 5 a^{3} + 3 a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 23^{5} + \left(11 a^{4} + a^{3} + 3 a^{2} + 20 a\right)\cdot 23^{6} + \left(18 a^{4} + 6 a^{3} + 12 a^{2} + a + 5\right)\cdot 23^{7} + \left(8 a^{4} + 5 a^{3} + 14 a^{2} + 20 a + 2\right)\cdot 23^{8} + \left(5 a^{4} + 8 a^{3} + 12 a^{2} + 17 a + 17\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})\) 7a^4 + 10a^3 + 19a^2 + 17a + 21 + (19a^3 + 10a^2 + 7a + 1)23 + (5a^4 + 2a^3 + 11a^2 + 8a + 8)23^2 + (18a^4 + 11a^3 + 6a^2 + 5)23^3 + (8a^4 + 19a^3 + 17a^2 + 12a + 12)23^4 + (17a^4 + 5a^3 + 3a^2 + 9a + 3)23^5 + (11a^4 + a^3 + 3a^2 + 20a)23^6 + (18a^4 + 6a^3 + 12a^2 + a + 5)23^7 + (8a^4 + 5a^3 + 14a^2 + 20a + 2)23^8 + (5a^4 + 8a^3 + 12a^2 + 17a + 17)*23^9+O(23^10)
$r_{ 3 }$	$=$	\( 9 a^{4} + 2 a^{3} + 18 a^{2} + 20 a + 22 + \left(17 a^{4} + 13 a^{3} + 17 a^{2} + 18 a + 12\right)\cdot 23 + \left(7 a^{4} + 3 a^{3} + 19 a^{2} + 13 a + 22\right)\cdot 23^{2} + \left(14 a^{4} + 8 a^{3} + 11 a^{2} + 12 a + 12\right)\cdot 23^{3} + \left(7 a^{4} + 5 a^{3} + 20 a^{2} + 20 a + 22\right)\cdot 23^{4} + \left(8 a^{4} + 12 a^{3} + 6 a^{2} + 10 a + 2\right)\cdot 23^{5} + \left(19 a^{4} + 19 a^{3} + 6 a^{2} + 20 a + 10\right)\cdot 23^{6} + \left(7 a^{4} + 17 a^{3} + 10 a^{2} + 4 a + 21\right)\cdot 23^{7} + \left(12 a^{4} + 17 a^{3} + 7 a^{2} + 8 a + 20\right)\cdot 23^{8} + \left(7 a^{4} + 22 a^{3} + 8 a^{2} + 18 a + 13\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})\) 9a^4 + 2a^3 + 18a^2 + 20a + 22 + (17a^4 + 13a^3 + 17a^2 + 18a + 12)23 + (7a^4 + 3a^3 + 19a^2 + 13a + 22)23^2 + (14a^4 + 8a^3 + 11a^2 + 12a + 12)23^3 + (7a^4 + 5a^3 + 20a^2 + 20a + 22)23^4 + (8a^4 + 12a^3 + 6a^2 + 10a + 2)23^5 + (19a^4 + 19a^3 + 6a^2 + 20a + 10)23^6 + (7a^4 + 17a^3 + 10a^2 + 4a + 21)23^7 + (12a^4 + 17a^3 + 7a^2 + 8a + 20)23^8 + (7a^4 + 22a^3 + 8a^2 + 18a + 13)*23^9+O(23^10)
$r_{ 4 }$	$=$	\( 10 a^{4} + 3 a^{3} + 21 a^{2} + 19 a + 19 + \left(11 a^{4} + 5 a^{3} + 9 a^{2} + 7 a + 14\right)\cdot 23 + \left(6 a^{4} + 16 a^{3} + 19 a^{2} + 4 a + 11\right)\cdot 23^{2} + \left(9 a^{4} + 11 a^{3} + 2 a^{2} + 11 a + 11\right)\cdot 23^{3} + \left(7 a^{4} + 15 a^{3} + 2 a^{2} + 8 a + 13\right)\cdot 23^{4} + \left(5 a^{4} + 7 a^{3} + 13 a^{2} + 18 a + 20\right)\cdot 23^{5} + \left(2 a^{4} + 7 a^{3} + 10 a^{2} + 18 a + 4\right)\cdot 23^{6} + \left(11 a^{4} + 22 a^{3} + 2 a^{2} + 9 a + 10\right)\cdot 23^{7} + \left(3 a^{4} + 19 a^{3} + 17 a^{2} + 9 a + 12\right)\cdot 23^{8} + \left(7 a^{4} + 19 a^{3} + 11 a^{2} + 21 a + 7\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})\) 10a^4 + 3a^3 + 21a^2 + 19a + 19 + (11a^4 + 5a^3 + 9a^2 + 7a + 14)23 + (6a^4 + 16a^3 + 19a^2 + 4a + 11)23^2 + (9a^4 + 11a^3 + 2a^2 + 11a + 11)23^3 + (7a^4 + 15a^3 + 2a^2 + 8a + 13)23^4 + (5a^4 + 7a^3 + 13a^2 + 18a + 20)23^5 + (2a^4 + 7a^3 + 10a^2 + 18a + 4)23^6 + (11a^4 + 22a^3 + 2a^2 + 9a + 10)23^7 + (3a^4 + 19a^3 + 17a^2 + 9a + 12)23^8 + (7a^4 + 19a^3 + 11a^2 + 21a + 7)*23^9+O(23^10)
$r_{ 5 }$	$=$	\( 11 a^{4} + 13 a^{3} + 17 a^{2} + 19 a + 13 + \left(19 a^{4} + 2 a^{3} + 16 a^{2} + 20 a + 22\right)\cdot 23 + \left(14 a^{4} + 16 a^{3} + 3 a^{2} + 8 a + 11\right)\cdot 23^{2} + \left(17 a^{4} + 8 a^{3} + 12 a^{2} + 14 a + 2\right)\cdot 23^{3} + \left(5 a^{4} + a^{3} + 5 a^{2} + 17 a + 18\right)\cdot 23^{4} + \left(9 a^{4} + 10 a^{3} + 16 a^{2} + 9\right)\cdot 23^{5} + \left(19 a^{4} + 7 a^{3} + 12 a^{2} + 7 a + 19\right)\cdot 23^{6} + \left(15 a^{4} + a^{3} + 8 a^{2} + 22 a + 3\right)\cdot 23^{7} + \left(20 a^{4} + 20 a^{3} + 3 a^{2} + 16 a + 4\right)\cdot 23^{8} + \left(2 a^{4} + 15 a^{3} + 18 a^{2} + 21\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})\) 11a^4 + 13a^3 + 17a^2 + 19a + 13 + (19a^4 + 2a^3 + 16a^2 + 20a + 22)23 + (14a^4 + 16a^3 + 3a^2 + 8a + 11)23^2 + (17a^4 + 8a^3 + 12a^2 + 14a + 2)23^3 + (5a^4 + a^3 + 5a^2 + 17a + 18)23^4 + (9a^4 + 10a^3 + 16a^2 + 9)23^5 + (19a^4 + 7a^3 + 12a^2 + 7a + 19)23^6 + (15a^4 + a^3 + 8a^2 + 22a + 3)23^7 + (20a^4 + 20a^3 + 3a^2 + 16a + 4)23^8 + (2a^4 + 15a^3 + 18a^2 + 21)*23^9+O(23^10)
$r_{ 6 }$	$=$	\( 12 a^{4} + 10 a^{3} + 6 a^{2} + 4 a + 10 + \left(3 a^{4} + 20 a^{3} + 6 a^{2} + 2 a\right)\cdot 23 + \left(8 a^{4} + 6 a^{3} + 19 a^{2} + 14 a + 11\right)\cdot 23^{2} + \left(5 a^{4} + 14 a^{3} + 10 a^{2} + 8 a + 20\right)\cdot 23^{3} + \left(17 a^{4} + 21 a^{3} + 17 a^{2} + 5 a + 4\right)\cdot 23^{4} + \left(13 a^{4} + 12 a^{3} + 6 a^{2} + 22 a + 13\right)\cdot 23^{5} + \left(3 a^{4} + 15 a^{3} + 10 a^{2} + 15 a + 3\right)\cdot 23^{6} + \left(7 a^{4} + 21 a^{3} + 14 a^{2} + 19\right)\cdot 23^{7} + \left(2 a^{4} + 2 a^{3} + 19 a^{2} + 6 a + 18\right)\cdot 23^{8} + \left(20 a^{4} + 7 a^{3} + 4 a^{2} + 22 a + 1\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})\) 12a^4 + 10a^3 + 6a^2 + 4a + 10 + (3a^4 + 20a^3 + 6a^2 + 2a)23 + (8a^4 + 6a^3 + 19a^2 + 14a + 11)23^2 + (5a^4 + 14a^3 + 10a^2 + 8a + 20)23^3 + (17a^4 + 21a^3 + 17a^2 + 5a + 4)23^4 + (13a^4 + 12a^3 + 6a^2 + 22a + 13)23^5 + (3a^4 + 15a^3 + 10a^2 + 15a + 3)23^6 + (7a^4 + 21a^3 + 14a^2 + 19)23^7 + (2a^4 + 2a^3 + 19a^2 + 6a + 18)23^8 + (20a^4 + 7a^3 + 4a^2 + 22a + 1)23^9+O(23^10)
$r_{ 7 }$	$=$	\( 13 a^{4} + 20 a^{3} + 2 a^{2} + 4 a + 4 + \left(11 a^{4} + 17 a^{3} + 13 a^{2} + 15 a + 8\right)\cdot 23 + \left(16 a^{4} + 6 a^{3} + 3 a^{2} + 18 a + 11\right)\cdot 23^{2} + \left(13 a^{4} + 11 a^{3} + 20 a^{2} + 11 a + 11\right)\cdot 23^{3} + \left(15 a^{4} + 7 a^{3} + 20 a^{2} + 14 a + 9\right)\cdot 23^{4} + \left(17 a^{4} + 15 a^{3} + 9 a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 23^{5} + \left(20 a^{4} + 15 a^{3} + 12 a^{2} + 4 a + 18\right)\cdot 23^{6} + \left(11 a^{4} + 20 a^{2} + 13 a + 12\right)\cdot 23^{7} + \left(19 a^{4} + 3 a^{3} + 5 a^{2} + 13 a + 10\right)\cdot 23^{8} + \left(15 a^{4} + 3 a^{3} + 11 a^{2} + a + 15\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})\) 13a^4 + 20a^3 + 2a^2 + 4a + 4 + (11a^4 + 17a^3 + 13a^2 + 15a + 8)23 + (16a^4 + 6a^3 + 3a^2 + 18a + 11)23^2 + (13a^4 + 11a^3 + 20a^2 + 11a + 11)23^3 + (15a^4 + 7a^3 + 20a^2 + 14a + 9)23^4 + (17a^4 + 15a^3 + 9a^2 + 4a + 2)23^5 + (20a^4 + 15a^3 + 12a^2 + 4a + 18)23^6 + (11a^4 + 20a^2 + 13a + 12)23^7 + (19a^4 + 3a^3 + 5a^2 + 13a + 10)23^8 + (15a^4 + 3a^3 + 11a^2 + a + 15)*23^9+O(23^10)
$r_{ 8 }$	$=$	\( 14 a^{4} + 21 a^{3} + 5 a^{2} + 3 a + 1 + \left(5 a^{4} + 9 a^{3} + 5 a^{2} + 4 a + 10\right)\cdot 23 + \left(15 a^{4} + 19 a^{3} + 3 a^{2} + 9 a\right)\cdot 23^{2} + \left(8 a^{4} + 14 a^{3} + 11 a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 23^{3} + \left(15 a^{4} + 17 a^{3} + 2 a^{2} + 2 a\right)\cdot 23^{4} + \left(14 a^{4} + 10 a^{3} + 16 a^{2} + 12 a + 20\right)\cdot 23^{5} + \left(3 a^{4} + 3 a^{3} + 16 a^{2} + 2 a + 12\right)\cdot 23^{6} + \left(15 a^{4} + 5 a^{3} + 12 a^{2} + 18 a + 1\right)\cdot 23^{7} + \left(10 a^{4} + 5 a^{3} + 15 a^{2} + 14 a + 2\right)\cdot 23^{8} + \left(15 a^{4} + 14 a^{2} + 4 a + 9\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})\) 14a^4 + 21a^3 + 5a^2 + 3a + 1 + (5a^4 + 9a^3 + 5a^2 + 4a + 10)23 + (15a^4 + 19a^3 + 3a^2 + 9a)23^2 + (8a^4 + 14a^3 + 11a^2 + 10a + 10)23^3 + (15a^4 + 17a^3 + 2a^2 + 2a)23^4 + (14a^4 + 10a^3 + 16a^2 + 12a + 20)23^5 + (3a^4 + 3a^3 + 16a^2 + 2a + 12)23^6 + (15a^4 + 5a^3 + 12a^2 + 18a + 1)23^7 + (10a^4 + 5a^3 + 15a^2 + 14a + 2)23^8 + (15a^4 + 14a^2 + 4a + 9)23^9+O(23^10)
$r_{ 9 }$	$=$	\( 16 a^{4} + 13 a^{3} + 4 a^{2} + 6 a + 2 + \left(22 a^{4} + 3 a^{3} + 12 a^{2} + 15 a + 21\right)\cdot 23 + \left(17 a^{4} + 20 a^{3} + 11 a^{2} + 14 a + 14\right)\cdot 23^{2} + \left(4 a^{4} + 11 a^{3} + 16 a^{2} + 22 a + 17\right)\cdot 23^{3} + \left(14 a^{4} + 3 a^{3} + 5 a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 23^{4} + \left(5 a^{4} + 17 a^{3} + 19 a^{2} + 13 a + 19\right)\cdot 23^{5} + \left(11 a^{4} + 21 a^{3} + 19 a^{2} + 2 a + 22\right)\cdot 23^{6} + \left(4 a^{4} + 16 a^{3} + 10 a^{2} + 21 a + 17\right)\cdot 23^{7} + \left(14 a^{4} + 17 a^{3} + 8 a^{2} + 2 a + 20\right)\cdot 23^{8} + \left(17 a^{4} + 14 a^{3} + 10 a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})\) 16a^4 + 13a^3 + 4a^2 + 6a + 2 + (22a^4 + 3a^3 + 12a^2 + 15a + 21)23 + (17a^4 + 20a^3 + 11a^2 + 14a + 14)23^2 + (4a^4 + 11a^3 + 16a^2 + 22a + 17)23^3 + (14a^4 + 3a^3 + 5a^2 + 10a + 10)23^4 + (5a^4 + 17a^3 + 19a^2 + 13a + 19)23^5 + (11a^4 + 21a^3 + 19a^2 + 2a + 22)23^6 + (4a^4 + 16a^3 + 10a^2 + 21a + 17)23^7 + (14a^4 + 17a^3 + 8a^2 + 2a + 20)23^8 + (17a^4 + 14a^3 + 10a^2 + 5a + 5)*23^9+O(23^10)
$r_{ 10 }$	$=$	\( 20 a^{4} + 21 a^{3} + 5 a^{2} + 20 a + 7 + \left(20 a^{4} + 8 a^{3} + 9 a^{2} + 21 a + 21\right)\cdot 23 + \left(11 a^{4} + 22 a^{3} + 7 a^{2} + 12 a + 4\right)\cdot 23^{2} + \left(18 a^{4} + 5 a^{3} + 8 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 23^{3} + \left(2 a^{4} + 5 a^{3} + 16 a^{2} + 5 a + 6\right)\cdot 23^{4} + \left(5 a^{4} + 14 a^{3} + 16 a^{2} + 16 a + 18\right)\cdot 23^{5} + \left(21 a^{4} + 4 a^{3} + 17 a^{2} + 11 a\right)\cdot 23^{6} + \left(5 a^{4} + 9 a^{3} + 18 a^{2} + 7 a + 3\right)\cdot 23^{7} + \left(2 a^{4} + 10 a^{3} + 20 a^{2} + 4 a + 15\right)\cdot 23^{8} + \left(2 a^{4} + 12 a^{3} + 20 a^{2} + 20 a + 14\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})\) 20a^4 + 21a^3 + 5a^2 + 20a + 7 + (20a^4 + 8a^3 + 9a^2 + 21a + 21)23 + (11a^4 + 22a^3 + 7a^2 + 12a + 4)23^2 + (18a^4 + 5a^3 + 8a^2 + 7a + 9)23^3 + (2a^4 + 5a^3 + 16a^2 + 5a + 6)23^4 + (5a^4 + 14a^3 + 16a^2 + 16a + 18)23^5 + (21a^4 + 4a^3 + 17a^2 + 11a)23^6 + (5a^4 + 9a^3 + 18a^2 + 7a + 3)23^7 + (2a^4 + 10a^3 + 20a^2 + 4a + 15)23^8 + (2a^4 + 12a^3 + 20a^2 + 20a + 14)*23^9+O(23^10)