Basic invariants
Dimension: | $2$ |
Group: | $D_{30}$ |
Conductor: | \(3951\)\(\medspace = 3^{2} \cdot 439 \) |
Frobenius-Schur indicator: | $1$ |
Root number: | $1$ |
Artin stem field: | Galois closure of 30.0.141684422447224323645012862864040611366932987.1 |
Galois orbit size: | $4$ |
Smallest permutation container: | $D_{30}$ |
Parity: | odd |
Determinant: | 1.439.2t1.a.a |
Projective image: | $D_{15}$ |
Projective stem field: | Galois closure of 15.1.3142328914862177479.1 |
Defining polynomial
$f(x)$ | $=$ | \( x^{30} - 5 x^{29} + 14 x^{28} - 37 x^{27} + 83 x^{26} - 152 x^{25} + 241 x^{24} - 335 x^{23} + 465 x^{22} - 620 x^{21} + 812 x^{20} - 1084 x^{19} + 1348 x^{18} - 1578 x^{17} + 1736 x^{16} + \cdots + 1 \) . |
The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 61 }$ to precision 10.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 61 }$: \( x^{15} + 39x^{6} + 35x^{5} + 44x^{4} + 25x^{3} + 23x^{2} + 51x + 59 \)
Roots:
$r_{ 1 }$ | $=$ |
\( 28 a^{14} + 16 a^{13} + 40 a^{12} + 44 a^{11} + 12 a^{10} + 16 a^{8} + 57 a^{7} + 59 a^{6} + 43 a^{5} + 8 a^{4} + 13 a^{3} + 28 a^{2} + 29 a + 52 + \left(46 a^{14} + 21 a^{13} + 12 a^{12} + 54 a^{11} + 28 a^{10} + 36 a^{9} + 43 a^{8} + 46 a^{7} + 5 a^{6} + 42 a^{5} + 38 a^{4} + 29 a^{3} + 14 a^{2} + 36 a + 16\right)\cdot 61 + \left(2 a^{14} + 49 a^{13} + a^{12} + a^{11} + a^{10} + 46 a^{9} + 15 a^{8} + 42 a^{7} + 39 a^{6} + 33 a^{5} + 35 a^{4} + 10 a^{3} + 13 a^{2} + 40 a + 16\right)\cdot 61^{2} + \left(47 a^{14} + 52 a^{13} + 27 a^{12} + 15 a^{11} + 18 a^{10} + 40 a^{9} + 26 a^{8} + 58 a^{7} + 40 a^{6} + 33 a^{5} + 32 a^{4} + 60 a^{3} + 39 a^{2} + 24 a + 42\right)\cdot 61^{3} + \left(35 a^{14} + 24 a^{13} + 57 a^{11} + 44 a^{10} + 46 a^{9} + 35 a^{8} + 36 a^{7} + 57 a^{6} + 32 a^{5} + 29 a^{4} + 47 a^{3} + 16 a^{2} + 31 a + 19\right)\cdot 61^{4} + \left(14 a^{14} + 58 a^{13} + 41 a^{12} + 55 a^{11} + 32 a^{9} + 14 a^{8} + 35 a^{7} + 11 a^{6} + 41 a^{4} + 47 a^{3} + 6 a^{2} + 46 a + 53\right)\cdot 61^{5} + \left(55 a^{14} + 50 a^{13} + 52 a^{12} + 11 a^{11} + 52 a^{10} + 35 a^{9} + 54 a^{8} + 15 a^{7} + 38 a^{6} + 4 a^{5} + 56 a^{4} + 55 a^{3} + 48 a^{2} + 20 a + 39\right)\cdot 61^{6} + \left(11 a^{14} + 22 a^{13} + 18 a^{12} + 23 a^{11} + 39 a^{10} + 59 a^{9} + 50 a^{8} + 52 a^{7} + 53 a^{6} + 6 a^{5} + 56 a^{4} + 55 a^{3} + 20 a^{2} + 8 a + 24\right)\cdot 61^{7} + \left(55 a^{14} + 20 a^{13} + 38 a^{12} + a^{11} + 14 a^{10} + 48 a^{9} + 60 a^{8} + 30 a^{7} + 11 a^{6} + 58 a^{5} + 57 a^{4} + 6 a^{3} + 21 a^{2} + 54 a + 25\right)\cdot 61^{8} + \left(17 a^{14} + 45 a^{13} + 10 a^{12} + 17 a^{11} + 16 a^{10} + 27 a^{9} + 57 a^{8} + 24 a^{7} + 47 a^{6} + 38 a^{5} + 55 a^{4} + 13 a^{3} + 60 a^{2} + 35 a + 32\right)\cdot 61^{9} +O(61^{10})\)
$r_{ 2 }$ |
$=$ |
\( 27 a^{14} + 32 a^{13} + 59 a^{12} + 17 a^{11} + 9 a^{10} + 2 a^{9} + 48 a^{8} + a^{7} + 31 a^{6} + 36 a^{5} + 32 a^{4} + 47 a^{3} + 23 a^{2} + 44 a + 5 + \left(4 a^{14} + 5 a^{13} + 25 a^{12} + 44 a^{11} + 54 a^{10} + 57 a^{9} + 43 a^{8} + 5 a^{7} + 21 a^{6} + 2 a^{5} + 42 a^{4} + 10 a^{3} + 24 a^{2} + 36 a + 17\right)\cdot 61 + \left(30 a^{14} + 38 a^{13} + 29 a^{12} + 48 a^{11} + 56 a^{10} + 12 a^{9} + 54 a^{8} + 33 a^{7} + 4 a^{6} + 19 a^{5} + 57 a^{4} + 11 a^{3} + 35 a^{2} + 20 a + 6\right)\cdot 61^{2} + \left(39 a^{14} + 13 a^{13} + 15 a^{12} + 59 a^{11} + 2 a^{10} + 34 a^{9} + 9 a^{8} + 41 a^{7} + 59 a^{6} + 27 a^{5} + 28 a^{4} + 14 a^{3} + 19 a^{2} + 4 a + 47\right)\cdot 61^{3} + \left(42 a^{14} + 29 a^{13} + 55 a^{12} + 53 a^{11} + 26 a^{10} + 19 a^{9} + 30 a^{8} + 24 a^{7} + 43 a^{6} + 10 a^{5} + 20 a^{4} + 46 a^{3} + 56 a^{2} + 6 a + 33\right)\cdot 61^{4} + \left(13 a^{14} + 47 a^{13} + 42 a^{12} + 21 a^{11} + 54 a^{10} + 47 a^{9} + 44 a^{8} + 11 a^{7} + 48 a^{6} + 9 a^{5} + 15 a^{4} + 42 a^{3} + 38 a^{2} + 22 a + 50\right)\cdot 61^{5} + \left(16 a^{14} + 36 a^{12} + 20 a^{11} + 31 a^{10} + 37 a^{9} + 14 a^{8} + 51 a^{7} + 11 a^{6} + 2 a^{5} + 34 a^{4} + 32 a^{3} + 30 a^{2} + 44 a + 8\right)\cdot 61^{6} + \left(8 a^{14} + 18 a^{13} + 30 a^{12} + 23 a^{11} + 19 a^{10} + 51 a^{9} + 6 a^{8} + 26 a^{7} + 9 a^{6} + 12 a^{5} + 10 a^{4} + 4 a^{3} + 22 a^{2} + 35 a + 5\right)\cdot 61^{7} + \left(44 a^{14} + 21 a^{13} + 35 a^{12} + 9 a^{11} + 2 a^{10} + 46 a^{9} + 17 a^{8} + 36 a^{7} + 18 a^{6} + 43 a^{5} + 12 a^{4} + 17 a^{3} + 60 a^{2} + 53 a + 48\right)\cdot 61^{8} + \left(12 a^{14} + 43 a^{13} + 44 a^{12} + 57 a^{11} + 22 a^{10} + 12 a^{9} + a^{8} + 13 a^{7} + 56 a^{6} + 22 a^{5} + 15 a^{4} + 47 a^{3} + 44 a^{2} + 49 a + 17\right)\cdot 61^{9} +O(61^{10})\)
| $r_{ 3 }$ |
$=$ |
\( 50 a^{14} + 27 a^{13} + 9 a^{12} + 22 a^{11} + 48 a^{10} + 17 a^{9} + 5 a^{8} + 48 a^{7} + 12 a^{6} + 24 a^{5} + 7 a^{4} + 25 a^{3} + 26 a^{2} + 35 a + 43 + \left(16 a^{14} + 13 a^{13} + 5 a^{12} + 57 a^{11} + 17 a^{10} + 48 a^{9} + 12 a^{8} + 9 a^{7} + 24 a^{6} + 59 a^{5} + 20 a^{4} + 12 a^{3} + 12 a^{2} + 46 a + 23\right)\cdot 61 + \left(42 a^{14} + 16 a^{13} + 50 a^{12} + 43 a^{11} + 43 a^{10} + 49 a^{9} + 17 a^{8} + 37 a^{7} + 31 a^{6} + 5 a^{5} + 6 a^{4} + 10 a^{3} + 56 a^{2} + 19 a + 18\right)\cdot 61^{2} + \left(47 a^{14} + 45 a^{13} + 49 a^{12} + 18 a^{11} + 31 a^{10} + 52 a^{9} + 19 a^{8} + 45 a^{7} + 31 a^{6} + 17 a^{5} + 50 a^{4} + 56 a^{3} + 44 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 61^{3} + \left(a^{14} + 25 a^{13} + 36 a^{12} + 60 a^{11} + 20 a^{10} + 34 a^{8} + 30 a^{7} + 54 a^{6} + 18 a^{5} + 17 a^{4} + 41 a^{3} + 45 a + 10\right)\cdot 61^{4} + \left(37 a^{14} + 52 a^{13} + 14 a^{12} + 41 a^{11} + 20 a^{10} + 11 a^{9} + 18 a^{8} + 48 a^{7} + 44 a^{6} + 25 a^{5} + 24 a^{4} + 52 a^{3} + 43 a^{2} + 24 a + 1\right)\cdot 61^{5} + \left(28 a^{14} + 59 a^{13} + 60 a^{12} + 57 a^{11} + 4 a^{10} + 59 a^{9} + 29 a^{8} + 45 a^{7} + 37 a^{6} + 38 a^{5} + 39 a^{4} + 24 a^{3} + 43 a^{2} + 20 a + 43\right)\cdot 61^{6} + \left(34 a^{14} + 18 a^{13} + 2 a^{12} + 11 a^{11} + 16 a^{10} + 9 a^{9} + 6 a^{8} + 49 a^{7} + 60 a^{6} + 32 a^{5} + 44 a^{4} + 43 a^{3} + 17 a^{2} + 60 a + 40\right)\cdot 61^{7} + \left(39 a^{14} + 10 a^{13} + 55 a^{12} + 45 a^{11} + 57 a^{10} + 58 a^{9} + 36 a^{8} + 12 a^{7} + 17 a^{6} + 48 a^{5} + 37 a^{4} + 43 a^{3} + 46 a^{2} + 52 a + 29\right)\cdot 61^{8} + \left(43 a^{14} + 40 a^{13} + 33 a^{12} + 17 a^{11} + 37 a^{10} + 57 a^{9} + 49 a^{8} + 5 a^{7} + 51 a^{6} + 48 a^{5} + 20 a^{4} + 35 a^{3} + 8 a^{2} + 38 a + 57\right)\cdot 61^{9} +O(61^{10})\)
| $r_{ 4 }$ |
$=$ |
\( 24 a^{14} + 17 a^{13} + 13 a^{12} + 33 a^{11} + 13 a^{10} + 13 a^{9} + 3 a^{8} + 20 a^{7} + 11 a^{6} + 2 a^{5} + 45 a^{4} + 55 a^{3} + 8 a^{2} + 38 a + 38 + \left(31 a^{14} + 21 a^{13} + 21 a^{12} + 43 a^{11} + 32 a^{10} + a^{9} + 6 a^{8} + 18 a^{7} + 47 a^{6} + 11 a^{5} + 53 a^{4} + 60 a^{3} + 16 a^{2} + 6 a + 4\right)\cdot 61 + \left(9 a^{14} + 4 a^{13} + 28 a^{12} + 46 a^{11} + 50 a^{10} + 26 a^{9} + 5 a^{8} + 20 a^{7} + 2 a^{6} + 41 a^{5} + 25 a^{4} + 55 a^{3} + 10 a^{2} + 47 a + 15\right)\cdot 61^{2} + \left(10 a^{14} + 50 a^{13} + 53 a^{12} + 24 a^{11} + 46 a^{10} + 35 a^{9} + 28 a^{8} + 57 a^{7} + 4 a^{6} + 58 a^{5} + 33 a^{4} + 39 a^{3} + 36 a^{2} + 4 a + 4\right)\cdot 61^{3} + \left(57 a^{14} + 44 a^{13} + 60 a^{12} + 47 a^{11} + 11 a^{10} + 21 a^{9} + 9 a^{8} + 42 a^{7} + 44 a^{6} + 17 a^{5} + 35 a^{4} + 18 a^{3} + 35 a^{2} + 33 a + 9\right)\cdot 61^{4} + \left(3 a^{14} + 18 a^{13} + 20 a^{12} + 2 a^{11} + 16 a^{10} + 13 a^{8} + 7 a^{7} + 12 a^{6} + 28 a^{5} + 16 a^{4} + 35 a^{3} + 26 a^{2} + 36 a\right)\cdot 61^{5} + \left(34 a^{14} + 10 a^{12} + 51 a^{11} + 15 a^{10} + 20 a^{9} + 6 a^{8} + 23 a^{7} + 8 a^{6} + 18 a^{5} + 54 a^{4} + 18 a^{3} + 18 a^{2} + 56\right)\cdot 61^{6} + \left(38 a^{14} + 27 a^{13} + 31 a^{12} + 33 a^{11} + 15 a^{10} + 41 a^{9} + 11 a^{8} + 14 a^{7} + 24 a^{6} + 16 a^{5} + 35 a^{4} + 3 a^{3} + 15 a^{2} + 43 a\right)\cdot 61^{7} + \left(7 a^{14} + 26 a^{13} + 15 a^{12} + 51 a^{11} + 53 a^{10} + 3 a^{9} + 40 a^{8} + 60 a^{7} + 21 a^{6} + 28 a^{5} + 4 a^{4} + 13 a^{3} + 37 a^{2} + 51 a + 49\right)\cdot 61^{8} + \left(34 a^{14} + 20 a^{13} + 31 a^{12} + 7 a^{11} + 57 a^{10} + 36 a^{9} + 16 a^{8} + 4 a^{7} + 2 a^{6} + 3 a^{5} + 2 a^{4} + 6 a^{3} + 42 a^{2} + 46 a + 39\right)\cdot 61^{9} +O(61^{10})\)
| $r_{ 5 }$ |
$=$ |
\( 6 a^{14} + 39 a^{13} + 9 a^{11} + 41 a^{10} + 34 a^{9} + a^{8} + 44 a^{7} + 4 a^{6} + 54 a^{5} + 13 a^{3} + 52 a^{2} + 11 a + 40 + \left(26 a^{14} + 24 a^{13} + 2 a^{12} + 4 a^{11} + 32 a^{10} + 41 a^{9} + 31 a^{8} + 19 a^{7} + 8 a^{6} + 58 a^{5} + 22 a^{4} + 13 a^{3} + 42 a^{2} + 34 a + 23\right)\cdot 61 + \left(37 a^{14} + 50 a^{13} + 15 a^{12} + 51 a^{11} + 55 a^{10} + 36 a^{9} + 16 a^{8} + 24 a^{7} + 31 a^{6} + 48 a^{5} + 27 a^{4} + 49 a^{3} + 4 a^{2} + 26 a + 43\right)\cdot 61^{2} + \left(60 a^{14} + 46 a^{13} + 8 a^{12} + 6 a^{11} + 56 a^{10} + 57 a^{9} + 29 a^{8} + 22 a^{7} + 22 a^{6} + 28 a^{5} + 12 a^{4} + 19 a^{3} + 25 a^{2} + 17 a + 36\right)\cdot 61^{3} + \left(42 a^{14} + 7 a^{13} + 16 a^{12} + 53 a^{11} + 33 a^{10} + 60 a^{9} + 8 a^{8} + a^{7} + 17 a^{6} + 57 a^{5} + 19 a^{4} + 2 a^{3} + 35 a^{2} + 58 a + 29\right)\cdot 61^{4} + \left(34 a^{14} + 18 a^{13} + 14 a^{12} + 44 a^{11} + 24 a^{10} + 4 a^{9} + 34 a^{8} + 59 a^{7} + 14 a^{6} + 29 a^{5} + 7 a^{4} + 51 a^{3} + 35 a^{2} + 49 a + 20\right)\cdot 61^{5} + \left(2 a^{14} + 59 a^{13} + 17 a^{12} + 41 a^{11} + 5 a^{10} + 43 a^{9} + 17 a^{8} + 17 a^{7} + 14 a^{6} + 9 a^{5} + 21 a^{4} + 21 a^{3} + 57 a^{2} + 46 a + 2\right)\cdot 61^{6} + \left(11 a^{13} + 38 a^{12} + 33 a^{10} + 42 a^{9} + 31 a^{8} + 24 a^{7} + 38 a^{6} + 44 a^{5} + 22 a^{4} + 22 a^{3} + 16 a^{2} + 25 a\right)\cdot 61^{7} + \left(4 a^{14} + 42 a^{13} + 54 a^{12} + 48 a^{11} + 44 a^{10} + 20 a^{9} + 34 a^{8} + 23 a^{7} + 37 a^{6} + 33 a^{5} + 34 a^{4} + a^{3} + 4 a^{2} + 30 a + 32\right)\cdot 61^{8} + \left(10 a^{14} + 19 a^{13} + 2 a^{12} + 17 a^{11} + 11 a^{10} + 13 a^{9} + 29 a^{8} + 46 a^{7} + 16 a^{6} + 41 a^{5} + 48 a^{4} + 57 a^{3} + 42 a^{2} + 25 a + 12\right)\cdot 61^{9} +O(61^{10})\)
| $r_{ 6 }$ |
$=$ |
\( 19 a^{14} + 37 a^{13} + 25 a^{12} + 8 a^{11} + 49 a^{10} + 37 a^{9} + 30 a^{8} + 45 a^{7} + 27 a^{6} + 14 a^{5} + 35 a^{4} + 15 a^{3} + 14 a^{2} + 51 a + 30 + \left(19 a^{14} + 25 a^{13} + 50 a^{12} + 35 a^{11} + 57 a^{10} + 45 a^{9} + 15 a^{8} + 13 a^{7} + 41 a^{6} + 39 a^{5} + 11 a^{4} + 12 a^{3} + 15 a^{2} + 22 a + 22\right)\cdot 61 + \left(13 a^{14} + 55 a^{13} + 28 a^{12} + 11 a^{11} + 37 a^{10} + 18 a^{9} + 6 a^{8} + 39 a^{7} + 52 a^{6} + 28 a^{5} + 29 a^{4} + 49 a^{3} + 58 a^{2} + 8 a + 42\right)\cdot 61^{2} + \left(48 a^{14} + 9 a^{13} + 3 a^{12} + 31 a^{11} + 26 a^{10} + 40 a^{9} + 37 a^{8} + 50 a^{7} + 48 a^{6} + 50 a^{5} + 37 a^{4} + 17 a^{3} + 53 a^{2} + 20 a + 58\right)\cdot 61^{3} + \left(6 a^{14} + 5 a^{13} + 14 a^{12} + 36 a^{11} + 33 a^{10} + 51 a^{9} + 57 a^{8} + 37 a^{7} + 47 a^{6} + 3 a^{5} + 22 a^{4} + 51 a^{3} + 19 a^{2} + 38 a + 46\right)\cdot 61^{4} + \left(2 a^{14} + 50 a^{13} + 29 a^{12} + 6 a^{11} + 50 a^{9} + 49 a^{8} + 52 a^{7} + 41 a^{6} + 57 a^{5} + 54 a^{4} + 36 a^{3} + 27 a^{2} + 4 a + 4\right)\cdot 61^{5} + \left(37 a^{14} + 59 a^{13} + 18 a^{12} + 37 a^{11} + 7 a^{10} + a^{9} + 18 a^{8} + 36 a^{7} + 45 a^{6} + 49 a^{5} + 35 a^{4} + 50 a^{3} + 55 a^{2} + 22 a + 44\right)\cdot 61^{6} + \left(26 a^{14} + 27 a^{13} + a^{12} + 11 a^{11} + 42 a^{10} + 16 a^{9} + 51 a^{8} + 48 a^{7} + 23 a^{6} + 32 a^{5} + 24 a^{4} + 3 a^{3} + 37 a^{2} + 59 a + 38\right)\cdot 61^{7} + \left(22 a^{14} + 58 a^{13} + 37 a^{12} + 9 a^{11} + 40 a^{10} + 59 a^{9} + 43 a^{7} + 33 a^{6} + 49 a^{5} + 55 a^{4} + 45 a^{3} + 50 a^{2} + 24 a + 26\right)\cdot 61^{8} + \left(20 a^{14} + 33 a^{13} + 37 a^{12} + 25 a^{11} + 11 a^{10} + 13 a^{9} + 48 a^{8} + 56 a^{7} + 16 a^{6} + 13 a^{5} + 31 a^{4} + 35 a^{3} + 17 a^{2} + 51 a + 24\right)\cdot 61^{9} +O(61^{10})\)
| $r_{ 7 }$ |
$=$ |
\( 38 a^{14} + 58 a^{13} + 34 a^{12} + 36 a^{11} + 28 a^{10} + 20 a^{9} + 5 a^{8} + 58 a^{7} + 26 a^{6} + 49 a^{5} + 9 a^{4} + 57 a^{3} + 60 a^{2} + 16 a + 35 + \left(57 a^{14} + 14 a^{13} + 53 a^{12} + 29 a^{11} + 4 a^{10} + 25 a^{9} + 27 a^{8} + 17 a^{7} + 39 a^{6} + 3 a^{5} + 21 a^{4} + 43 a^{3} + 47 a^{2} + 6 a + 28\right)\cdot 61 + \left(39 a^{14} + 44 a^{13} + 10 a^{12} + 39 a^{11} + 29 a^{10} + 40 a^{9} + 15 a^{8} + 41 a^{7} + 58 a^{6} + 24 a^{5} + 48 a^{4} + 46 a^{3} + 24 a^{2} + 40 a + 52\right)\cdot 61^{2} + \left(45 a^{14} + 6 a^{13} + 27 a^{12} + 43 a^{11} + 37 a^{10} + 28 a^{9} + 32 a^{8} + 51 a^{7} + 20 a^{6} + 50 a^{5} + 12 a^{4} + 7 a^{3} + 16 a^{2} + 50 a + 40\right)\cdot 61^{3} + \left(4 a^{14} + 34 a^{13} + 29 a^{12} + 32 a^{11} + 14 a^{10} + 55 a^{9} + 17 a^{8} + 16 a^{7} + 37 a^{6} + 44 a^{5} + 38 a^{4} + 37 a^{3} + 29 a^{2} + 39 a + 9\right)\cdot 61^{4} + \left(6 a^{14} + 17 a^{13} + 45 a^{12} + 39 a^{11} + 2 a^{10} + 32 a^{9} + 52 a^{8} + 38 a^{7} + 60 a^{6} + 59 a^{5} + 36 a^{4} + 48 a^{3} + 2 a^{2} + 11 a + 27\right)\cdot 61^{5} + \left(6 a^{14} + 33 a^{13} + 6 a^{12} + 22 a^{11} + 36 a^{10} + 60 a^{9} + 56 a^{8} + 56 a^{7} + 27 a^{6} + 14 a^{5} + 37 a^{4} + 7 a^{3} + 11 a^{2} + 39 a + 26\right)\cdot 61^{6} + \left(a^{14} + 33 a^{13} + 59 a^{12} + 15 a^{11} + 14 a^{10} + 15 a^{9} + 8 a^{8} + 51 a^{7} + 3 a^{6} + 4 a^{5} + 50 a^{4} + 47 a^{3} + 18 a^{2} + 16 a + 45\right)\cdot 61^{7} + \left(60 a^{14} + 13 a^{13} + 2 a^{12} + 43 a^{11} + 55 a^{10} + 6 a^{9} + 43 a^{8} + 24 a^{7} + 54 a^{6} + 39 a^{5} + 51 a^{4} + 56 a^{3} + 60 a^{2} + 12 a + 43\right)\cdot 61^{8} + \left(17 a^{14} + 43 a^{13} + 17 a^{12} + 31 a^{11} + 57 a^{10} + 49 a^{9} + 47 a^{8} + 46 a^{7} + 48 a^{6} + 20 a^{5} + 17 a^{4} + 3 a^{3} + 18 a^{2} + 8 a + 37\right)\cdot 61^{9} +O(61^{10})\)
| $r_{ 8 }$ |
$=$ |
\( 51 a^{14} + 47 a^{13} + 38 a^{12} + 58 a^{11} + 38 a^{10} + 47 a^{9} + 3 a^{8} + 4 a^{7} + 47 a^{6} + 40 a^{5} + 6 a^{4} + a^{3} + 47 a^{2} + 55 a + 44 + \left(29 a^{14} + 9 a^{13} + 5 a^{12} + 25 a^{11} + 57 a^{10} + 16 a^{9} + 37 a^{8} + 27 a^{7} + 5 a^{6} + 36 a^{5} + 19 a^{4} + 24 a^{3} + 51 a^{2} + a + 26\right)\cdot 61 + \left(43 a^{14} + 36 a^{13} + 8 a^{12} + 29 a^{11} + 51 a^{10} + 11 a^{9} + 55 a^{8} + 5 a^{7} + 26 a^{6} + 2 a^{5} + 39 a^{4} + 18 a^{3} + 40 a^{2} + 28 a + 15\right)\cdot 61^{2} + \left(44 a^{14} + 18 a^{13} + 4 a^{12} + 32 a^{11} + 51 a^{10} + 23 a^{8} + 13 a^{7} + 10 a^{6} + 22 a^{5} + 48 a^{4} + 42 a^{3} + 30 a^{2} + 51 a + 44\right)\cdot 61^{3} + \left(22 a^{14} + 21 a^{13} + 22 a^{12} + 4 a^{11} + 26 a^{10} + 38 a^{9} + 51 a^{8} + 44 a^{7} + 18 a^{6} + 56 a^{5} + 38 a^{4} + 34 a^{3} + 21 a^{2} + 34 a + 3\right)\cdot 61^{4} + \left(25 a^{14} + 26 a^{13} + 29 a^{12} + 33 a^{11} + a^{10} + 49 a^{9} + 8 a^{8} + 57 a^{7} + 52 a^{6} + 54 a^{5} + 43 a^{4} + 59 a^{3} + 19 a^{2} + 40 a + 31\right)\cdot 61^{5} + \left(4 a^{14} + 30 a^{13} + 23 a^{12} + 18 a^{11} + 39 a^{10} + 6 a^{9} + 55 a^{8} + 17 a^{7} + 51 a^{6} + 31 a^{5} + 38 a^{4} + 50 a^{3} + 50 a^{2} + 29 a + 26\right)\cdot 61^{6} + \left(34 a^{13} + 8 a^{12} + 60 a^{11} + 46 a^{10} + 52 a^{9} + 36 a^{8} + 28 a^{7} + 46 a^{6} + 18 a^{5} + 29 a^{4} + 8 a^{3} + 54 a^{2} + 49 a + 6\right)\cdot 61^{7} + \left(40 a^{14} + 5 a^{13} + 39 a^{12} + 52 a^{11} + 40 a^{10} + 59 a^{9} + 32 a^{8} + 12 a^{7} + 53 a^{6} + 20 a^{5} + 13 a^{4} + 34 a^{3} + a^{2} + 18 a + 60\right)\cdot 61^{8} + \left(28 a^{14} + 4 a^{13} + 37 a^{12} + 19 a^{11} + 47 a^{10} + 59 a^{9} + 36 a^{8} + 45 a^{7} + 11 a^{6} + 24 a^{5} + 55 a^{4} + 56 a^{3} + 42 a^{2} + 10 a + 42\right)\cdot 61^{9} +O(61^{10})\)
| $r_{ 9 }$ |
$=$ |
\( 30 a^{14} + 19 a^{13} + 12 a^{12} + 31 a^{11} + 14 a^{10} + 51 a^{9} + 60 a^{8} + 37 a^{7} + 14 a^{6} + 2 a^{5} + 45 a^{4} + 32 a^{3} + 33 a^{2} + 13 + \left(15 a^{14} + 14 a^{13} + 48 a^{12} + 24 a^{11} + 10 a^{10} + 21 a^{9} + 11 a^{8} + 21 a^{7} + 25 a^{6} + 39 a^{5} + 53 a^{4} + 32 a^{3} + 51 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 61 + \left(52 a^{14} + 41 a^{13} + 40 a^{12} + 59 a^{11} + 36 a^{10} + 44 a^{9} + 33 a^{8} + 52 a^{7} + 13 a^{6} + 46 a^{5} + 60 a^{4} + 45 a^{3} + 45 a^{2} + 36 a + 37\right)\cdot 61^{2} + \left(24 a^{14} + 3 a^{13} + 59 a^{12} + 44 a^{11} + 17 a^{10} + 3 a^{9} + 14 a^{8} + 16 a^{7} + 60 a^{6} + 53 a^{5} + 40 a^{4} + 25 a^{3} + 58 a^{2} + 27 a + 3\right)\cdot 61^{3} + \left(25 a^{14} + 12 a^{12} + 12 a^{11} + 44 a^{10} + 13 a^{9} + 58 a^{8} + 48 a^{7} + 18 a^{6} + 37 a^{5} + 41 a^{4} + 48 a^{3} + 19 a^{2} + 31 a + 23\right)\cdot 61^{4} + \left(39 a^{14} + 54 a^{13} + 59 a^{12} + 53 a^{11} + 27 a^{10} + 43 a^{9} + 19 a^{8} + 43 a^{7} + 12 a^{6} + 8 a^{5} + 25 a^{4} + 8 a^{3} + 58 a^{2} + a + 5\right)\cdot 61^{5} + \left(57 a^{14} + 52 a^{13} + 37 a^{12} + a^{11} + 3 a^{10} + 24 a^{9} + 33 a^{8} + 36 a^{7} + 56 a^{6} + 56 a^{5} + 36 a^{4} + 2 a^{3} + 30 a^{2} + a + 39\right)\cdot 61^{6} + \left(20 a^{14} + 12 a^{13} + 41 a^{12} + 28 a^{11} + 32 a^{10} + 10 a^{9} + 36 a^{8} + 18 a^{7} + 11 a^{6} + 13 a^{5} + a^{4} + 27 a^{3} + 47 a^{2} + 11 a + 55\right)\cdot 61^{7} + \left(34 a^{14} + 52 a^{13} + 7 a^{12} + 55 a^{11} + 59 a^{10} + 16 a^{9} + 36 a^{8} + 17 a^{7} + 48 a^{6} + 45 a^{5} + 53 a^{4} + 51 a^{3} + 18 a^{2} + 2 a + 57\right)\cdot 61^{8} + \left(55 a^{14} + 22 a^{13} + 18 a^{12} + 13 a^{11} + 26 a^{10} + 51 a^{9} + 20 a^{8} + 38 a^{7} + 23 a^{6} + 45 a^{5} + 17 a^{4} + 6 a^{3} + 53 a^{2} + 18 a + 3\right)\cdot 61^{9} +O(61^{10})\)
| $r_{ 10 }$ |
$=$ |
\( 16 a^{14} + 5 a^{13} + 56 a^{12} + 2 a^{11} + 46 a^{10} + 5 a^{9} + 8 a^{8} + 10 a^{7} + 39 a^{6} + 51 a^{5} + 20 a^{4} + 50 a^{3} + 39 a^{2} + 52 a + 11 + \left(38 a^{14} + 12 a^{13} + 26 a^{12} + 49 a^{11} + 46 a^{10} + 59 a^{9} + 32 a^{8} + 7 a^{7} + 33 a^{6} + 54 a^{5} + 36 a^{4} + 3 a^{3} + 34 a^{2} + 47 a + 10\right)\cdot 61 + \left(44 a^{14} + 25 a^{13} + 4 a^{12} + 22 a^{11} + 36 a^{10} + 59 a^{9} + 8 a^{8} + 60 a^{7} + 57 a^{6} + 29 a^{5} + 38 a^{4} + 51 a^{3} + 49 a^{2} + 60 a + 12\right)\cdot 61^{2} + \left(38 a^{14} + 27 a^{13} + 2 a^{12} + 44 a^{11} + 23 a^{10} + 35 a^{9} + 4 a^{8} + 13 a^{7} + 53 a^{6} + 10 a^{5} + 36 a^{4} + 34 a^{3} + 8 a^{2} + 53 a + 17\right)\cdot 61^{3} + \left(10 a^{14} + 9 a^{13} + 8 a^{12} + 22 a^{11} + 2 a^{10} + 46 a^{9} + 53 a^{8} + 22 a^{7} + 45 a^{6} + 25 a^{5} + 40 a^{4} + 55 a^{3} + 24 a^{2} + 35 a + 55\right)\cdot 61^{4} + \left(16 a^{14} + 30 a^{13} + 39 a^{12} + 29 a^{11} + 14 a^{10} + 6 a^{9} + 35 a^{8} + 52 a^{7} + 30 a^{6} + 57 a^{5} + 3 a^{4} + 23 a^{3} + 22 a^{2} + 44 a + 60\right)\cdot 61^{5} + \left(24 a^{14} + 45 a^{13} + 34 a^{12} + 22 a^{11} + 17 a^{10} + 32 a^{9} + 51 a^{8} + 15 a^{7} + 6 a^{6} + 15 a^{5} + 7 a^{4} + 32 a^{3} + 41 a^{2} + 57 a + 37\right)\cdot 61^{6} + \left(18 a^{14} + 43 a^{13} + 7 a^{12} + 5 a^{11} + 43 a^{10} + 45 a^{9} + 26 a^{8} + a^{7} + 8 a^{6} + 36 a^{5} + 38 a^{4} + 44 a^{3} + 43 a^{2} + 10 a + 13\right)\cdot 61^{7} + \left(51 a^{14} + 57 a^{13} + 25 a^{12} + 19 a^{11} + 15 a^{10} + 29 a^{9} + 54 a^{8} + 42 a^{7} + 12 a^{6} + 53 a^{5} + 3 a^{4} + 28 a^{3} + 52 a^{2} + 28 a + 7\right)\cdot 61^{8} + \left(11 a^{14} + 10 a^{13} + 10 a^{12} + 12 a^{11} + 42 a^{10} + 11 a^{9} + 43 a^{8} + 40 a^{7} + 43 a^{6} + 29 a^{5} + 32 a^{4} + 31 a^{3} + 46 a^{2} + 50 a + 30\right)\cdot 61^{9} +O(61^{10})\)
| $r_{ 11 }$ |
$=$ |
\( 57 a^{14} + 17 a^{13} + 44 a^{12} + 27 a^{11} + 32 a^{10} + 37 a^{9} + 41 a^{8} + 29 a^{7} + 41 a^{6} + 36 a^{5} + 54 a^{4} + 27 a^{3} + 46 a^{2} + 51 a + 43 + \left(39 a^{14} + 49 a^{13} + 35 a^{12} + 48 a^{11} + 23 a^{10} + 27 a^{9} + 35 a^{8} + 2 a^{7} + 32 a^{6} + 15 a^{5} + 2 a^{4} + 12 a^{3} + 10 a^{2} + 52 a + 14\right)\cdot 61 + \left(20 a^{14} + 6 a^{13} + 48 a^{12} + 51 a^{11} + 10 a^{10} + 57 a^{9} + 45 a^{8} + 20 a^{7} + 38 a^{6} + 42 a^{5} + 7 a^{4} + 5 a^{3} + 2 a^{2} + 46 a + 6\right)\cdot 61^{2} + \left(37 a^{14} + 42 a^{13} + 29 a^{12} + 36 a^{10} + 39 a^{9} + 51 a^{8} + 54 a^{7} + 30 a^{6} + 32 a^{5} + 24 a^{4} + 30 a^{3} + 48 a^{2} + 31 a + 40\right)\cdot 61^{3} + \left(12 a^{14} + 59 a^{13} + 34 a^{12} + 33 a^{11} + 43 a^{10} + 28 a^{9} + 54 a^{8} + 9 a^{7} + 49 a^{6} + 41 a^{5} + 55 a^{4} + 49 a^{3} + 47 a^{2} + 34 a + 52\right)\cdot 61^{4} + \left(34 a^{14} + 19 a^{13} + 41 a^{12} + 41 a^{11} + 49 a^{10} + 35 a^{9} + 13 a^{8} + 36 a^{7} + 21 a^{6} + 45 a^{5} + 17 a^{4} + 33 a^{3} + 11 a^{2} + 53 a + 38\right)\cdot 61^{5} + \left(43 a^{14} + 55 a^{13} + 43 a^{12} + 37 a^{11} + 55 a^{10} + 57 a^{9} + 13 a^{8} + 59 a^{7} + 51 a^{6} + 23 a^{5} + 20 a^{4} + 25 a^{3} + 50 a^{2} + 38 a + 1\right)\cdot 61^{6} + \left(4 a^{14} + 36 a^{13} + 52 a^{12} + 29 a^{11} + 2 a^{10} + 29 a^{9} + a^{8} + 56 a^{7} + 53 a^{6} + 52 a^{5} + 30 a^{4} + 15 a^{3} + 45 a^{2} + 53 a + 44\right)\cdot 61^{7} + \left(28 a^{14} + 2 a^{13} + 59 a^{12} + 2 a^{11} + 55 a^{10} + 33 a^{9} + 12 a^{8} + 11 a^{7} + 2 a^{6} + 17 a^{5} + 32 a^{4} + 32 a^{3} + 6 a^{2} + 38 a\right)\cdot 61^{8} + \left(12 a^{14} + 54 a^{13} + 24 a^{12} + 3 a^{11} + 25 a^{10} + 45 a^{9} + a^{8} + 57 a^{7} + 44 a^{6} + 56 a^{5} + 9 a^{3} + 4 a^{2} + 9 a + 29\right)\cdot 61^{9} +O(61^{10})\)
| $r_{ 12 }$ |
$=$ |
\( 49 a^{14} + 40 a^{13} + 28 a^{12} + 6 a^{11} + 57 a^{10} + 33 a^{9} + 60 a^{8} + 47 a^{7} + 54 a^{6} + 45 a^{5} + 40 a^{4} + 13 a^{3} + 44 a^{2} + 55 a + 52 + \left(a^{14} + 34 a^{13} + 56 a^{12} + 19 a^{11} + 35 a^{10} + a^{9} + 42 a^{8} + 24 a^{7} + 20 a^{6} + 28 a^{5} + 4 a^{4} + 44 a^{3} + 13 a^{2} + 5 a + 52\right)\cdot 61 + \left(17 a^{14} + 19 a^{13} + 24 a^{12} + 39 a^{11} + a^{10} + 8 a^{9} + 19 a^{8} + 52 a^{7} + 19 a^{6} + 41 a^{5} + 27 a^{4} + 15 a^{3} + 33 a^{2} + 36 a + 21\right)\cdot 61^{2} + \left(13 a^{14} + 2 a^{13} + 48 a^{12} + 40 a^{11} + 25 a^{10} + 51 a^{9} + 55 a^{8} + 44 a^{7} + 45 a^{6} + 31 a^{5} + 43 a^{4} + 28 a^{3} + 40 a^{2} + 22 a + 36\right)\cdot 61^{3} + \left(52 a^{14} + 30 a^{13} + 26 a^{12} + 5 a^{11} + 5 a^{10} + 46 a^{9} + 37 a^{8} + 19 a^{7} + 32 a^{6} + 3 a^{5} + 55 a^{4} + 29 a^{3} + 11 a^{2} + 9 a + 60\right)\cdot 61^{4} + \left(48 a^{14} + 14 a^{13} + 9 a^{12} + 58 a^{11} + 31 a^{10} + 43 a^{9} + 47 a^{8} + 23 a^{7} + 34 a^{6} + 52 a^{5} + 9 a^{4} + 21 a^{3} + 5 a^{2} + 31 a + 37\right)\cdot 61^{5} + \left(51 a^{14} + 46 a^{13} + 37 a^{12} + 37 a^{11} + 28 a^{10} + 52 a^{9} + 46 a^{8} + 48 a^{7} + 41 a^{6} + 31 a^{5} + 52 a^{4} + 28 a^{3} + 3 a^{2} + 51\right)\cdot 61^{6} + \left(53 a^{14} + 41 a^{13} + 15 a^{12} + 58 a^{11} + 9 a^{10} + 48 a^{9} + 28 a^{8} + 52 a^{7} + 28 a^{6} + 36 a^{5} + 58 a^{4} + 7 a^{3} + 22 a^{2} + 46 a + 31\right)\cdot 61^{7} + \left(16 a^{14} + 6 a^{13} + 18 a^{12} + 5 a^{11} + 39 a^{10} + 20 a^{9} + 56 a^{8} + 38 a^{7} + 48 a^{6} + 51 a^{5} + 59 a^{4} + 56 a^{3} + 60 a^{2} + 39 a + 60\right)\cdot 61^{8} + \left(16 a^{14} + 41 a^{13} + 10 a^{12} + 36 a^{11} + 59 a^{10} + 16 a^{9} + 47 a^{8} + 46 a^{7} + 42 a^{6} + 21 a^{5} + 23 a^{4} + 32 a^{3} + 32 a^{2} + 15 a + 56\right)\cdot 61^{9} +O(61^{10})\)
| $r_{ 13 }$ |
$=$ |
\( 38 a^{14} + 3 a^{13} + 57 a^{11} + 36 a^{10} + 12 a^{9} + 47 a^{8} + 55 a^{7} + 5 a^{6} + 37 a^{5} + a^{3} + 4 a^{2} + 29 a + 50 + \left(21 a^{14} + 5 a^{13} + 33 a^{12} + 3 a^{11} + 21 a^{10} + 25 a^{9} + 26 a^{8} + 60 a^{7} + 23 a^{6} + 35 a^{5} + 58 a^{4} + 13 a^{3} + 9 a^{2} + 17 a + 52\right)\cdot 61 + \left(54 a^{14} + 45 a^{13} + 40 a^{12} + 30 a^{11} + 21 a^{10} + 2 a^{9} + 9 a^{8} + 15 a^{7} + 59 a^{6} + 60 a^{5} + 59 a^{4} + 36 a^{3} + 55 a^{2} + 10 a + 27\right)\cdot 61^{2} + \left(18 a^{14} + 36 a^{13} + 48 a^{12} + 29 a^{11} + 30 a^{10} + 53 a^{9} + 22 a^{8} + 9 a^{7} + 38 a^{6} + 30 a^{5} + 49 a^{4} + 35 a^{3} + 5 a^{2} + 10 a + 55\right)\cdot 61^{3} + \left(8 a^{14} + 19 a^{13} + 50 a^{12} + 11 a^{11} + 30 a^{10} + 8 a^{9} + 24 a^{8} + 33 a^{7} + 2 a^{6} + 51 a^{5} + 22 a^{4} + 28 a^{3} + 17 a^{2} + 57 a + 58\right)\cdot 61^{4} + \left(56 a^{14} + 22 a^{13} + 6 a^{12} + 54 a^{11} + 13 a^{10} + 2 a^{9} + 12 a^{8} + a^{7} + 19 a^{6} + 52 a^{5} + 22 a^{4} + 24 a^{3} + 7 a^{2} + a + 6\right)\cdot 61^{5} + \left(22 a^{14} + 37 a^{13} + 23 a^{12} + 54 a^{11} + 17 a^{10} + 22 a^{9} + 29 a^{7} + 38 a^{6} + 35 a^{5} + 30 a^{4} + 54 a^{3} + 42 a^{2} + 27 a + 29\right)\cdot 61^{6} + \left(57 a^{14} + 26 a^{13} + 6 a^{12} + 41 a^{11} + 58 a^{10} + 7 a^{9} + 55 a^{8} + 53 a^{7} + 35 a^{6} + 44 a^{5} + 13 a^{4} + 27 a^{3} + 47 a^{2} + 6 a + 12\right)\cdot 61^{7} + \left(24 a^{14} + 32 a^{13} + 28 a^{12} + 49 a^{11} + 50 a^{10} + 24 a^{9} + 39 a^{8} + 4 a^{7} + 17 a^{6} + 4 a^{5} + 6 a^{4} + 19 a^{3} + 6 a^{2} + 12 a + 47\right)\cdot 61^{8} + \left(44 a^{14} + 52 a^{13} + 17 a^{12} + 36 a^{11} + 31 a^{10} + 33 a^{9} + 55 a^{8} + 42 a^{7} + 45 a^{6} + 15 a^{5} + 52 a^{4} + 31 a^{3} + 55 a^{2} + 45 a + 39\right)\cdot 61^{9} +O(61^{10})\)
| $r_{ 14 }$ |
$=$ |
\( 39 a^{14} + 31 a^{13} + 16 a^{12} + 10 a^{11} + 46 a^{10} + 31 a^{9} + 7 a^{8} + 41 a^{7} + 49 a^{6} + 48 a^{5} + 59 a^{4} + 34 a^{3} + 48 a^{2} + 18 a + 7 + \left(9 a^{14} + 45 a^{13} + 22 a^{12} + 24 a^{11} + 2 a^{10} + 9 a^{9} + 10 a^{8} + 56 a^{7} + 32 a^{6} + 48 a^{5} + 51 a^{4} + 33 a^{3} + 18 a^{2} + 11 a + 34\right)\cdot 61 + \left(10 a^{14} + 49 a^{13} + 53 a^{12} + 10 a^{11} + 39 a^{10} + 23 a^{9} + 53 a^{8} + 9 a^{7} + 43 a^{6} + 28 a^{5} + 42 a^{4} + 22 a^{3} + 18 a^{2} + 15 a + 29\right)\cdot 61^{2} + \left(18 a^{14} + 25 a^{13} + 51 a^{12} + 40 a^{11} + 27 a^{10} + 7 a^{9} + 21 a^{8} + 36 a^{7} + 56 a^{6} + 41 a^{5} + 11 a^{4} + 29 a^{3} + 39 a^{2} + 37 a + 7\right)\cdot 61^{3} + \left(36 a^{14} + 18 a^{13} + 32 a^{12} + 12 a^{10} + 21 a^{9} + 44 a^{8} + 53 a^{7} + 44 a^{6} + 13 a^{5} + a^{4} + 26 a^{3} + 55 a^{2} + 41\right)\cdot 61^{4} + \left(44 a^{14} + 34 a^{13} + 40 a^{12} + 16 a^{11} + 32 a^{10} + 56 a^{9} + 59 a^{8} + 49 a^{7} + 22 a^{6} + 54 a^{5} + 17 a^{4} + 9 a^{3} + 44 a^{2} + 6 a + 5\right)\cdot 61^{5} + \left(28 a^{14} + 33 a^{13} + 32 a^{12} + 29 a^{11} + 13 a^{10} + 56 a^{9} + 13 a^{8} + 54 a^{7} + 37 a^{6} + 20 a^{5} + 54 a^{4} + 37 a^{3} + 19 a^{2} + 28 a + 7\right)\cdot 61^{6} + \left(40 a^{14} + 6 a^{13} + 6 a^{12} + 24 a^{11} + 56 a^{10} + 8 a^{9} + 51 a^{8} + 27 a^{7} + 2 a^{6} + 40 a^{5} + 58 a^{4} + 40 a^{3} + 6 a^{2} + 25 a + 35\right)\cdot 61^{7} + \left(55 a^{14} + 4 a^{13} + 31 a^{12} + 13 a^{11} + 59 a^{10} + 26 a^{9} + 27 a^{8} + 9 a^{6} + 37 a^{5} + 59 a^{4} + 25 a^{3} + 59 a^{2} + 42 a + 17\right)\cdot 61^{8} + \left(24 a^{14} + 6 a^{13} + 22 a^{12} + 59 a^{11} + 28 a^{10} + 56 a^{9} + 25 a^{8} + 29 a^{7} + 34 a^{6} + 45 a^{5} + 12 a^{4} + 60 a^{3} + 55 a^{2} + 48 a + 55\right)\cdot 61^{9} +O(61^{10})\)
| $r_{ 15 }$ |
$=$ |
\( 13 a^{14} + 10 a^{13} + 21 a^{12} + 37 a^{11} + 27 a^{10} + 30 a^{9} + 12 a^{8} + 44 a^{7} + 46 a^{6} + 40 a^{5} + 20 a^{4} + 9 a^{3} + 58 a^{2} + 19 a + 7 + \left(36 a^{14} + a^{13} + 33 a^{12} + 12 a^{11} + 56 a^{10} + 6 a^{9} + 2 a^{8} + 16 a^{7} + 51 a^{6} + 41 a^{5} + 20 a^{4} + 28 a^{3} + 45 a^{2} + 13 a\right)\cdot 61 + \left(44 a^{14} + 25 a^{13} + 58 a^{12} + 35 a^{11} + 37 a^{10} + 32 a^{9} + 26 a^{8} + 4 a^{7} + 34 a^{6} + 10 a^{5} + 44 a^{4} + 16 a^{3} + 56 a^{2} + 44 a + 24\right)\cdot 61^{2} + \left(14 a^{14} + 44 a^{13} + 51 a^{12} + 2 a^{11} + 55 a^{10} + 29 a^{9} + 11 a^{8} + 5 a^{7} + 6 a^{6} + 11 a^{5} + 10 a^{4} + 19 a^{3} + 56 a^{2} + 27 a + 54\right)\cdot 61^{3} + \left(20 a^{14} + 18 a^{13} + 21 a^{12} + 35 a^{11} + 32 a^{10} + 20 a^{9} + 52 a^{8} + 39 a^{7} + 48 a^{6} + 52 a^{5} + 9 a^{4} + 5 a^{3} + 43 a + 51\right)\cdot 61^{4} + \left(38 a^{14} + 12 a^{13} + 10 a^{12} + 50 a^{11} + 59 a^{10} + 45 a^{9} + 51 a^{8} + 25 a^{7} + a^{6} + 14 a^{5} + 34 a^{4} + 10 a^{3} + 39 a^{2} + 16 a + 31\right)\cdot 61^{5} + \left(44 a^{14} + 6 a^{13} + 59 a^{12} + 33 a^{11} + 23 a^{10} + a^{9} + 59 a^{8} + 58 a^{7} + 47 a^{5} + 39 a^{4} + 50 a^{2} + 41 a + 11\right)\cdot 61^{6} + \left(49 a^{14} + 7 a^{13} + 55 a^{12} + 11 a^{11} + 59 a^{10} + 25 a^{9} + 47 a^{8} + 14 a^{7} + 14 a^{6} + 47 a^{5} + 7 a^{4} + 52 a^{3} + 26 a^{2} + 37 a + 25\right)\cdot 61^{7} + \left(20 a^{14} + 18 a^{13} + 53 a^{12} + 46 a^{11} + 15 a^{10} + 10 a^{9} + 12 a^{8} + 58 a^{7} + 50 a^{6} + 35 a^{5} + 56 a^{4} + 8 a^{3} + 36 a^{2} + 59 a + 6\right)\cdot 61^{8} + \left(49 a^{14} + 18 a^{13} + 14 a^{12} + 57 a^{11} + 33 a^{10} + 14 a^{9} + 47 a^{8} + 48 a^{7} + 48 a^{6} + a^{5} + 18 a^{4} + 15 a^{3} + 36 a^{2} + 28 a + 34\right)\cdot 61^{9} +O(61^{10})\)
| $r_{ 16 }$ |
$=$ |
\( 45 a^{14} + 41 a^{13} + 5 a^{12} + 15 a^{11} + 48 a^{10} + 5 a^{9} + 17 a^{8} + 48 a^{7} + 20 a^{6} + 20 a^{5} + 31 a^{4} + 49 a^{3} + 48 a^{2} + 45 a + 31 + \left(13 a^{13} + 10 a^{12} + 35 a^{11} + 40 a^{10} + 14 a^{9} + 53 a^{8} + 18 a^{7} + 56 a^{6} + 44 a^{5} + 25 a^{4} + 20 a^{3} + 59 a^{2} + 35 a + 49\right)\cdot 61 + \left(24 a^{14} + 13 a^{13} + 15 a^{12} + a^{9} + 18 a^{8} + 33 a^{7} + 30 a^{6} + 53 a^{5} + 49 a^{4} + 57 a^{3} + 34 a^{2} + 12 a + 14\right)\cdot 61^{2} + \left(32 a^{14} + 41 a^{13} + 46 a^{12} + 11 a^{11} + 44 a^{10} + 46 a^{9} + 41 a^{8} + 33 a^{7} + 38 a^{6} + 14 a^{5} + 15 a^{4} + 57 a^{3} + 30 a^{2} + 26 a + 59\right)\cdot 61^{3} + \left(39 a^{14} + 36 a^{13} + 3 a^{12} + 25 a^{11} + 10 a^{10} + 20 a^{9} + 18 a^{8} + 47 a^{7} + 29 a^{6} + 52 a^{5} + 19 a^{4} + 27 a^{3} + 33 a^{2} + 57 a + 54\right)\cdot 61^{4} + \left(44 a^{14} + 21 a^{13} + 25 a^{12} + 33 a^{11} + 43 a^{10} + 2 a^{9} + 15 a^{8} + 15 a^{7} + 36 a^{6} + 58 a^{5} + 20 a^{4} + 59 a^{3} + 25 a^{2} + 10 a + 12\right)\cdot 61^{5} + \left(7 a^{14} + 41 a^{13} + 56 a^{12} + 13 a^{11} + 25 a^{10} + 12 a^{9} + 26 a^{8} + 47 a^{7} + 8 a^{6} + 25 a^{5} + 26 a^{4} + 46 a^{3} + 21 a^{2} + 11 a + 24\right)\cdot 61^{6} + \left(30 a^{14} + 26 a^{13} + 8 a^{12} + 45 a^{11} + 24 a^{10} + 21 a^{9} + 16 a^{8} + 39 a^{7} + 59 a^{6} + 3 a^{5} + 47 a^{4} + 24 a^{3} + 42 a^{2} + 28 a + 27\right)\cdot 61^{7} + \left(50 a^{14} + 59 a^{13} + 42 a^{12} + 40 a^{11} + 30 a^{10} + 60 a^{9} + 13 a^{8} + 55 a^{7} + 59 a^{6} + 60 a^{5} + 47 a^{4} + 55 a^{3} + 42 a^{2} + a + 26\right)\cdot 61^{8} + \left(5 a^{14} + 52 a^{13} + 41 a^{12} + 8 a^{11} + 58 a^{10} + 7 a^{9} + 42 a^{8} + 43 a^{7} + 2 a^{6} + 25 a^{5} + 52 a^{4} + 12 a^{3} + 9 a^{2} + 23 a + 59\right)\cdot 61^{9} +O(61^{10})\)
| $r_{ 17 }$ |
$=$ |
\( 7 a^{14} + 23 a^{13} + 46 a^{12} + 29 a^{11} + 16 a^{10} + 37 a^{9} + 44 a^{8} + 33 a^{7} + 10 a^{6} + 25 a^{5} + 31 a^{4} + 15 a^{3} + 37 a^{2} + 34 a + 36 + \left(50 a^{14} + 30 a^{13} + 35 a^{12} + 2 a^{11} + 5 a^{10} + 11 a^{9} + 39 a^{8} + 39 a^{7} + 52 a^{6} + 51 a^{5} + 33 a^{4} + 18 a^{3} + 27 a^{2} + 45 a + 53\right)\cdot 61 + \left(27 a^{14} + 39 a^{13} + 44 a^{12} + 14 a^{11} + 10 a^{10} + a^{9} + 27 a^{8} + 6 a^{7} + 3 a^{6} + 16 a^{5} + 8 a^{4} + 13 a^{3} + 22 a^{2} + 43 a + 33\right)\cdot 61^{2} + \left(9 a^{14} + 31 a^{13} + 31 a^{12} + 56 a^{11} + 16 a^{10} + 17 a^{9} + 50 a^{8} + 36 a^{7} + 41 a^{6} + 8 a^{5} + 16 a^{4} + 4 a^{3} + 56 a^{2} + 10 a + 48\right)\cdot 61^{3} + \left(3 a^{14} + 53 a^{13} + 22 a^{12} + 4 a^{11} + 13 a^{10} + 42 a^{9} + 8 a^{8} + 6 a^{7} + 18 a^{6} + 16 a^{5} + 20 a^{4} + 8 a^{3} + 19 a^{2} + 18 a + 41\right)\cdot 61^{4} + \left(34 a^{14} + 46 a^{13} + 2 a^{12} + 39 a^{11} + 36 a^{10} + 52 a^{9} + 57 a^{8} + 16 a^{7} + 23 a^{6} + 57 a^{5} + 2 a^{4} + 53 a^{3} + 2 a^{2} + 11 a + 49\right)\cdot 61^{5} + \left(58 a^{14} + 26 a^{13} + 21 a^{12} + 10 a^{11} + 15 a^{10} + 52 a^{9} + 49 a^{8} + 41 a^{7} + 5 a^{6} + 14 a^{5} + 8 a^{4} + 14 a^{3} + 58 a^{2} + 24 a + 53\right)\cdot 61^{6} + \left(29 a^{14} + 11 a^{13} + 58 a^{12} + 45 a^{11} + 33 a^{10} + 16 a^{9} + 5 a^{8} + 49 a^{7} + 2 a^{6} + 25 a^{5} + 47 a^{4} + 13 a^{3} + 35 a^{2} + 34 a + 46\right)\cdot 61^{7} + \left(28 a^{14} + 31 a^{13} + 24 a^{12} + a^{11} + 25 a^{10} + 49 a^{9} + 13 a^{8} + 6 a^{7} + 19 a^{6} + 3 a^{5} + 9 a^{4} + 56 a^{3} + 49 a^{2} + 35 a + 60\right)\cdot 61^{8} + \left(9 a^{13} + 12 a^{12} + a^{11} + 29 a^{10} + 37 a^{9} + 25 a^{8} + 4 a^{7} + 31 a^{6} + 34 a^{5} + 21 a^{4} + 35 a^{3} + 59 a^{2} + 24 a + 15\right)\cdot 61^{9} +O(61^{10})\)
| $r_{ 18 }$ |
$=$ |
\( 20 a^{14} + 52 a^{13} + 23 a^{12} + 18 a^{11} + 25 a^{10} + 10 a^{9} + 16 a^{8} + 43 a^{7} + 26 a^{6} + 40 a^{5} + 4 a^{4} + 28 a^{3} + 32 a^{2} + 51 a + 49 + \left(10 a^{14} + 3 a^{13} + 47 a^{12} + 22 a^{11} + 52 a^{10} + 34 a^{9} + 43 a^{8} + 6 a^{7} + 32 a^{6} + 16 a^{5} + 50 a^{4} + 3 a^{3} + 5 a^{2} + 23 a\right)\cdot 61 + \left(8 a^{14} + 39 a^{13} + 58 a^{12} + 41 a^{11} + 10 a^{10} + 2 a^{9} + 5 a^{8} + 56 a^{7} + 24 a^{6} + 33 a^{5} + 60 a^{4} + 25 a^{3} + 12 a^{2} + 7 a + 41\right)\cdot 61^{2} + \left(14 a^{14} + a^{13} + 47 a^{12} + 14 a^{11} + 3 a^{10} + 38 a^{9} + 48 a^{8} + 43 a^{7} + 6 a^{6} + 27 a^{5} + 48 a^{4} + 47 a^{3} + 56 a^{2} + 18 a + 53\right)\cdot 61^{3} + \left(56 a^{14} + 12 a^{13} + 40 a^{12} + 2 a^{11} + 43 a^{10} + 11 a^{9} + 11 a^{8} + 54 a^{7} + 56 a^{6} + 36 a^{5} + 45 a^{4} + 19 a^{3} + 47 a^{2} + 34 a + 57\right)\cdot 61^{4} + \left(35 a^{14} + 15 a^{13} + 25 a^{12} + 34 a^{11} + 41 a^{10} + 18 a^{9} + 31 a^{8} + 2 a^{7} + 26 a^{6} + 16 a^{5} + 33 a^{4} + 39 a^{3} + 37 a^{2} + 7 a + 33\right)\cdot 61^{5} + \left(8 a^{14} + 58 a^{13} + 5 a^{12} + 10 a^{11} + 32 a^{10} + 3 a^{9} + 33 a^{8} + 20 a^{7} + 34 a^{6} + 28 a^{5} + 20 a^{4} + 7 a^{3} + 40 a^{2} + 15 a + 24\right)\cdot 61^{6} + \left(26 a^{14} + 47 a^{13} + 37 a^{12} + 43 a^{11} + 13 a^{10} + 36 a^{9} + 9 a^{8} + 29 a^{7} + 13 a^{6} + 23 a^{5} + 21 a^{4} + 38 a^{3} + 18 a^{2} + 22 a + 47\right)\cdot 61^{7} + \left(8 a^{14} + 7 a^{13} + 60 a^{12} + 19 a^{11} + 42 a^{10} + 51 a^{9} + a^{8} + 50 a^{7} + 60 a^{6} + 35 a^{5} + 45 a^{4} + 22 a^{3} + 17 a^{2} + 57 a + 33\right)\cdot 61^{8} + \left(34 a^{14} + 33 a^{13} + 30 a^{12} + 18 a^{11} + 48 a^{10} + 30 a^{9} + 10 a^{8} + 20 a^{7} + 20 a^{6} + 52 a^{5} + 5 a^{4} + 52 a^{3} + 52 a^{2} + 41 a + 44\right)\cdot 61^{9} +O(61^{10})\)
| $r_{ 19 }$ |
$=$ |
\( 7 a^{14} + 39 a^{13} + 15 a^{12} + 54 a^{11} + 48 a^{10} + 18 a^{9} + 14 a^{8} + 31 a^{7} + 48 a^{6} + 33 a^{5} + 41 a^{4} + 40 a^{3} + 26 a^{2} + 1 + \left(10 a^{14} + 18 a^{13} + 38 a^{12} + 39 a^{11} + 27 a^{10} + 25 a^{9} + 42 a^{8} + 40 a^{7} + 9 a^{5} + 45 a^{4} + 22 a^{3} + 34 a^{2} + 19 a + 45\right)\cdot 61 + \left(19 a^{14} + 59 a^{13} + 22 a^{12} + 21 a^{11} + 35 a^{10} + 26 a^{9} + 24 a^{8} + 17 a^{7} + 10 a^{6} + 22 a^{5} + 29 a^{4} + 40 a^{3} + 51 a^{2} + 24 a + 15\right)\cdot 61^{2} + \left(49 a^{14} + 48 a^{13} + 8 a^{12} + 38 a^{11} + 24 a^{10} + 47 a^{9} + 29 a^{8} + 30 a^{7} + 47 a^{6} + 20 a^{5} + 6 a^{4} + 6 a^{3} + 43 a^{2} + 44 a + 18\right)\cdot 61^{3} + \left(27 a^{14} + 55 a^{13} + 13 a^{12} + 34 a^{11} + 52 a^{10} + 43 a^{9} + 34 a^{8} + 6 a^{7} + 37 a^{6} + 50 a^{5} + 28 a^{4} + 20 a^{3} + 10 a^{2} + 25 a + 45\right)\cdot 61^{4} + \left(18 a^{14} + 50 a^{13} + 60 a^{12} + 57 a^{11} + 19 a^{10} + 26 a^{9} + 31 a^{8} + 14 a^{7} + 48 a^{6} + 11 a^{5} + 35 a^{4} + 18 a^{3} + 58 a^{2} + 3 a + 32\right)\cdot 61^{5} + \left(19 a^{14} + 18 a^{13} + 58 a^{12} + 43 a^{11} + 34 a^{10} + 17 a^{9} + 42 a^{8} + 12 a^{7} + 8 a^{6} + 38 a^{5} + 12 a^{4} + 19 a^{3} + 36 a^{2} + 26 a + 29\right)\cdot 61^{6} + \left(24 a^{14} + 11 a^{13} + 59 a^{12} + 37 a^{11} + 12 a^{10} + 60 a^{9} + 53 a^{8} + 17 a^{7} + 12 a^{6} + 50 a^{5} + 12 a^{4} + 15 a^{3} + 3 a^{2} + 24 a + 43\right)\cdot 61^{7} + \left(26 a^{14} + 33 a^{13} + 31 a^{12} + 32 a^{11} + 57 a^{10} + 57 a^{9} + 19 a^{8} + 45 a^{7} + 11 a^{6} + 23 a^{5} + 51 a^{4} + 35 a^{3} + 56 a^{2} + 9 a + 47\right)\cdot 61^{8} + \left(34 a^{14} + 16 a^{13} + 49 a^{12} + 59 a^{11} + 51 a^{10} + 34 a^{9} + 11 a^{8} + 25 a^{7} + 21 a^{6} + 23 a^{5} + 28 a^{4} + 55 a^{3} + 35 a^{2} + 21 a + 19\right)\cdot 61^{9} +O(61^{10})\)
| $r_{ 20 }$ |
$=$ |
\( 59 a^{14} + 25 a^{13} + 32 a^{12} + 23 a^{11} + 34 a^{10} + 25 a^{8} + 9 a^{7} + 35 a^{6} + 10 a^{5} + 43 a^{4} + 47 a^{3} + 59 a^{2} + 11 a + 5 + \left(17 a^{14} + 37 a^{13} + 24 a^{12} + 8 a^{11} + 19 a^{10} + 41 a^{9} + 18 a^{8} + 14 a^{7} + 23 a^{6} + 8 a^{5} + 40 a^{4} + 59 a^{3} + 28 a^{2} + 37 a + 37\right)\cdot 61 + \left(20 a^{14} + 10 a^{13} + 59 a^{12} + 3 a^{11} + 44 a^{10} + 52 a^{9} + 45 a^{8} + 35 a^{7} + 19 a^{6} + 11 a^{5} + 5 a^{4} + 25 a^{3} + 24 a^{2} + 18 a + 59\right)\cdot 61^{2} + \left(53 a^{14} + 9 a^{13} + 8 a^{12} + 28 a^{11} + 2 a^{10} + 6 a^{9} + 49 a^{8} + 3 a^{7} + 2 a^{6} + 6 a^{5} + 46 a^{4} + 48 a^{3} + 21 a^{2} + a + 45\right)\cdot 61^{3} + \left(31 a^{14} + 11 a^{13} + 21 a^{12} + 13 a^{11} + 4 a^{10} + 12 a^{9} + 23 a^{8} + 26 a^{7} + 38 a^{6} + 43 a^{5} + 44 a^{4} + 28 a^{3} + 15 a^{2} + 14 a + 41\right)\cdot 61^{4} + \left(57 a^{14} + 44 a^{13} + 2 a^{12} + 15 a^{11} + 14 a^{10} + 42 a^{9} + 44 a^{8} + 13 a^{7} + 60 a^{6} + 57 a^{5} + 45 a^{4} + 17 a^{3} + 57 a^{2} + 41 a + 23\right)\cdot 61^{5} + \left(33 a^{14} + 39 a^{13} + 46 a^{12} + 43 a^{11} + 6 a^{10} + 59 a^{9} + 16 a^{8} + 9 a^{7} + 23 a^{6} + 43 a^{5} + 18 a^{4} + 3 a^{3} + 56 a^{2} + 20 a + 56\right)\cdot 61^{6} + \left(9 a^{14} + 58 a^{13} + 18 a^{12} + 24 a^{11} + 49 a^{10} + 3 a^{9} + 22 a^{8} + 7 a^{7} + 43 a^{6} + 10 a^{5} + 29 a^{4} + 56 a^{3} + 23 a^{2} + 38 a + 43\right)\cdot 61^{7} + \left(55 a^{14} + 27 a^{13} + 21 a^{12} + 24 a^{11} + 23 a^{10} + 12 a^{9} + 41 a^{8} + 55 a^{7} + 45 a^{6} + 46 a^{5} + 38 a^{4} + 2 a^{3} + 15 a^{2} + 24 a + 36\right)\cdot 61^{8} + \left(15 a^{14} + 60 a^{13} + 28 a^{12} + 26 a^{11} + 11 a^{10} + 21 a^{9} + 44 a^{8} + 57 a^{7} + 49 a^{6} + 46 a^{5} + 10 a^{4} + 34 a^{3} + 43 a^{2} + 13 a + 28\right)\cdot 61^{9} +O(61^{10})\)
| $r_{ 21 }$ |
$=$ |
\( 40 a^{14} + 46 a^{13} + 56 a^{12} + 42 a^{11} + 14 a^{10} + 38 a^{9} + 4 a^{8} + 14 a^{7} + 34 a^{6} + 7 a^{5} + 30 a^{4} + 20 a^{3} + 33 a^{2} + 28 a + 10 + \left(43 a^{14} + 49 a^{13} + 4 a^{12} + 58 a^{11} + 2 a^{10} + 49 a^{9} + 48 a^{8} + 20 a^{7} + 28 a^{6} + 17 a^{5} + 23 a^{4} + 43 a^{3} + 9 a^{2} + 25 a + 5\right)\cdot 61 + \left(51 a^{14} + 15 a^{13} + 55 a^{12} + 58 a^{11} + 51 a^{10} + 33 a^{9} + 39 a^{8} + 60 a^{7} + 20 a^{6} + 26 a^{5} + 33 a^{4} + 52 a^{3} + 18 a + 31\right)\cdot 61^{2} + \left(31 a^{14} + 11 a^{13} + 27 a^{12} + 59 a^{11} + 60 a^{10} + 39 a^{9} + 54 a^{8} + 37 a^{7} + 52 a^{6} + 23 a^{5} + 10 a^{4} + 37 a^{3} + 2 a^{2} + 4 a + 56\right)\cdot 61^{3} + \left(40 a^{14} + 51 a^{13} + 37 a^{12} + 11 a^{11} + 13 a^{10} + 44 a^{9} + 37 a^{8} + 15 a^{6} + 5 a^{5} + 52 a^{4} + 34 a^{3} + 28 a^{2} + 28 a + 46\right)\cdot 61^{4} + \left(13 a^{14} + 31 a^{13} + 56 a^{12} + 34 a^{11} + 41 a^{10} + 16 a^{9} + 54 a^{8} + 36 a^{7} + 37 a^{6} + 14 a^{5} + 37 a^{4} + 2 a^{3} + 27 a^{2} + 56 a + 51\right)\cdot 61^{5} + \left(31 a^{14} + 46 a^{13} + 6 a^{12} + 23 a^{11} + 47 a^{10} + 40 a^{9} + 4 a^{8} + 2 a^{7} + 33 a^{6} + 5 a^{5} + 54 a^{4} + 22 a^{3} + 40 a^{2} + 27 a + 23\right)\cdot 61^{6} + \left(11 a^{14} + 28 a^{13} + 12 a^{12} + 2 a^{11} + 2 a^{10} + 41 a^{9} + 7 a^{8} + 43 a^{7} + 17 a^{6} + 58 a^{5} + 23 a^{4} + 11 a^{3} + 2 a^{2} + a + 34\right)\cdot 61^{7} + \left(15 a^{14} + 5 a^{13} + 43 a^{12} + a^{11} + 28 a^{10} + 28 a^{9} + 38 a^{8} + 9 a^{7} + 45 a^{6} + 32 a^{5} + 21 a^{4} + 56 a^{3} + 30 a^{2} + 59 a + 49\right)\cdot 61^{8} + \left(32 a^{14} + 21 a^{13} + 58 a^{12} + 12 a^{11} + 23 a^{10} + 17 a^{9} + 31 a^{8} + 51 a^{6} + 19 a^{5} + 5 a^{4} + 15 a^{3} + 26 a^{2} + 30 a + 21\right)\cdot 61^{9} +O(61^{10})\)
| $r_{ 22 }$ |
$=$ |
\( 7 a^{14} + 38 a^{13} + 47 a^{12} + 2 a^{11} + 47 a^{10} + 47 a^{9} + 39 a^{8} + 16 a^{7} + 21 a^{6} + 26 a^{5} + 36 a^{4} + 44 a^{3} + 43 a^{2} + 6 a + 6 + \left(19 a^{14} + 3 a^{13} + 16 a^{12} + 54 a^{11} + 37 a^{10} + 37 a^{8} + 46 a^{7} + 56 a^{6} + 14 a^{5} + 22 a^{4} + 19 a^{3} + 59 a^{2} + 14 a + 49\right)\cdot 61 + \left(48 a^{14} + 56 a^{13} + 42 a^{12} + 2 a^{11} + 17 a^{10} + 21 a^{9} + 45 a^{8} + 60 a^{7} + 4 a^{6} + 19 a^{5} + 3 a^{4} + 56 a^{3} + 57 a^{2} + 26 a + 43\right)\cdot 61^{2} + \left(17 a^{14} + 5 a^{13} + 39 a^{12} + 51 a^{11} + 40 a^{10} + 13 a^{9} + 33 a^{8} + 3 a^{7} + 26 a^{6} + 14 a^{5} + 7 a^{4} + 36 a^{3} + 4 a^{2} + 52 a + 55\right)\cdot 61^{3} + \left(4 a^{14} + 2 a^{13} + 34 a^{12} + 2 a^{11} + 18 a^{10} + 36 a^{9} + 28 a^{8} + 27 a^{7} + 6 a^{6} + 18 a^{5} + 44 a^{4} + 37 a^{3} + 34 a^{2} + 43 a + 59\right)\cdot 61^{4} + \left(35 a^{14} + 19 a^{13} + 32 a^{12} + 11 a^{11} + 33 a^{10} + 39 a^{9} + 53 a^{8} + 59 a^{7} + 15 a^{6} + 38 a^{5} + 22 a^{4} + 30 a^{3} + 57 a^{2} + 9 a + 18\right)\cdot 61^{5} + \left(54 a^{14} + 58 a^{13} + 36 a^{12} + 54 a^{11} + a^{10} + a^{9} + 51 a^{8} + 36 a^{7} + 27 a^{6} + 16 a^{5} + 6 a^{4} + 7 a^{3} + 38 a^{2} + 12 a + 55\right)\cdot 61^{6} + \left(12 a^{14} + 54 a^{13} + 44 a^{12} + 52 a^{11} + 23 a^{10} + 44 a^{9} + 32 a^{8} + 40 a^{7} + 35 a^{5} + 30 a^{4} + 29 a^{3} + 2 a^{2} + 28 a + 49\right)\cdot 61^{7} + \left(20 a^{14} + 51 a^{13} + 21 a^{12} + 35 a^{11} + 22 a^{10} + 10 a^{9} + 56 a^{8} + 19 a^{7} + 21 a^{6} + 9 a^{5} + 5 a^{4} + 15 a^{3} + 53 a^{2} + 30 a + 1\right)\cdot 61^{8} + \left(37 a^{14} + 54 a^{13} + 29 a^{12} + 57 a^{11} + 5 a^{10} + 50 a^{9} + 7 a^{8} + 35 a^{7} + 23 a^{6} + 37 a^{5} + 45 a^{4} + 53 a^{3} + 2 a^{2} + 33 a + 16\right)\cdot 61^{9} +O(61^{10})\)
| $r_{ 23 }$ |
$=$ |
\( a^{14} + 43 a^{13} + 11 a^{12} + 31 a^{11} + 49 a^{10} + 7 a^{9} + 15 a^{8} + 55 a^{7} + 27 a^{6} + 50 a^{5} + 25 a^{4} + 57 a^{3} + 42 a^{2} + 39 a + 24 + \left(57 a^{14} + 18 a^{13} + 3 a^{12} + 44 a^{11} + 5 a^{10} + 14 a^{9} + 11 a^{8} + 41 a^{7} + 46 a^{6} + 44 a^{5} + 29 a^{4} + 33 a^{3} + 47 a^{2} + 32 a + 53\right)\cdot 61 + \left(28 a^{14} + 28 a^{13} + 56 a^{12} + 12 a^{11} + 28 a^{10} + 56 a^{9} + 7 a^{8} + 11 a^{7} + 60 a^{5} + 16 a^{4} + 49 a^{3} + 37 a^{2} + 44 a + 8\right)\cdot 61^{2} + \left(15 a^{14} + 56 a^{13} + 56 a^{12} + 19 a^{11} + 60 a^{10} + 36 a^{9} + 50 a^{8} + 60 a^{7} + 45 a^{6} + 20 a^{5} + 24 a^{4} + 4 a^{3} + 4 a^{2} + 17 a + 46\right)\cdot 61^{3} + \left(57 a^{14} + 45 a^{13} + 19 a^{12} + 4 a^{11} + 21 a^{10} + 6 a^{9} + 46 a^{8} + 27 a^{7} + 4 a^{6} + 51 a^{5} + 28 a^{4} + 23 a^{3} + 19 a^{2} + 47 a + 11\right)\cdot 61^{4} + \left(16 a^{14} + 26 a^{13} + 4 a^{12} + 50 a^{11} + 51 a^{10} + 32 a^{9} + 18 a^{8} + 13 a^{7} + 7 a^{6} + 13 a^{5} + 18 a^{4} + 54 a^{3} + 17 a^{2} + 32 a + 5\right)\cdot 61^{5} + \left(52 a^{14} + 16 a^{13} + 54 a^{12} + 13 a^{11} + 36 a^{10} + 27 a^{9} + 41 a^{8} + 30 a^{7} + 24 a^{6} + 30 a^{5} + 49 a^{4} + 54 a^{3} + 27 a^{2} + 58 a + 56\right)\cdot 61^{6} + \left(48 a^{14} + 39 a^{13} + 22 a^{12} + 45 a^{11} + 34 a^{10} + 52 a^{9} + 53 a^{8} + 35 a^{7} + 59 a^{6} + 37 a^{5} + 24 a^{4} + 40 a^{3} + 26 a^{2} + 36 a + 38\right)\cdot 61^{7} + \left(8 a^{14} + 2 a^{13} + 36 a^{12} + 56 a^{11} + 20 a^{10} + 52 a^{9} + 4 a^{8} + 55 a^{7} + 9 a^{6} + 33 a^{5} + 27 a^{4} + 5 a^{3} + 3 a^{2} + 16 a + 21\right)\cdot 61^{8} + \left(56 a^{14} + 24 a^{13} + 14 a^{12} + 26 a^{11} + 41 a^{10} + a^{9} + 5 a^{8} + 18 a^{7} + 56 a^{6} + 49 a^{5} + 36 a^{4} + 55 a^{3} + 45 a^{2} + 54 a\right)\cdot 61^{9} +O(61^{10})\)
| $r_{ 24 }$ |
$=$ |
\( 41 a^{14} + 36 a^{13} + 52 a^{12} + 34 a^{11} + 60 a^{10} + 52 a^{9} + 6 a^{8} + 60 a^{7} + 25 a^{6} + 25 a^{5} + 54 a^{4} + 46 a^{3} + 60 a^{2} + 41 a + 54 + \left(55 a^{14} + 43 a^{13} + 28 a^{12} + 16 a^{11} + 23 a^{10} + 33 a^{9} + 15 a^{8} + 26 a^{7} + 13 a^{6} + 59 a^{5} + 25 a^{4} + 32 a^{3} + a^{2} + 53 a + 55\right)\cdot 61 + \left(24 a^{14} + 28 a^{13} + 25 a^{12} + 21 a^{11} + 3 a^{10} + 51 a^{9} + 31 a^{8} + 18 a^{7} + 25 a^{6} + 29 a^{5} + 12 a^{4} + 34 a^{3} + 47 a^{2} + 32 a + 31\right)\cdot 61^{2} + \left(47 a^{14} + 3 a^{13} + 9 a^{12} + a^{11} + 60 a^{10} + 3 a^{9} + 10 a^{8} + 9 a^{7} + 9 a^{6} + 25 a^{5} + 25 a^{4} + 49 a^{3} + 39 a^{2} + 47 a + 54\right)\cdot 61^{3} + \left(18 a^{14} + 6 a^{13} + 27 a^{12} + 12 a^{11} + a^{10} + 27 a^{9} + 11 a^{8} + 15 a^{7} + 57 a^{6} + 2 a^{5} + 49 a^{4} + 37 a^{3} + 5 a^{2} + 11 a + 6\right)\cdot 61^{4} + \left(52 a^{14} + 9 a^{13} + 26 a^{11} + 6 a^{10} + 43 a^{9} + 21 a^{8} + 20 a^{7} + 28 a^{6} + 41 a^{5} + a^{4} + 12 a^{3} + 42 a^{2} + 15 a + 38\right)\cdot 61^{5} + \left(19 a^{14} + 17 a^{13} + 36 a^{12} + 56 a^{11} + 17 a^{10} + 3 a^{9} + 26 a^{8} + 11 a^{7} + 46 a^{6} + 24 a^{5} + 60 a^{4} + 43 a^{3} + 6 a^{2} + 7 a + 43\right)\cdot 61^{6} + \left(12 a^{14} + 30 a^{13} + 26 a^{12} + 24 a^{11} + 35 a^{10} + 55 a^{9} + 50 a^{8} + 31 a^{7} + 27 a^{6} + 56 a^{5} + 14 a^{4} + 43 a^{3} + 12 a^{2} + 33 a + 56\right)\cdot 61^{7} + \left(2 a^{14} + 59 a^{13} + 47 a^{12} + 37 a^{11} + 57 a^{10} + 24 a^{9} + 20 a^{8} + 31 a^{7} + 4 a^{6} + 22 a^{5} + 17 a^{4} + 3 a^{3} + 44 a^{2} + 11 a + 57\right)\cdot 61^{8} + \left(47 a^{14} + 28 a^{13} + 12 a^{12} + 11 a^{11} + 3 a^{10} + 28 a^{9} + 46 a^{8} + 8 a^{7} + 43 a^{6} + 30 a^{5} + 41 a^{4} + 7 a^{3} + 13 a^{2} + 33\right)\cdot 61^{9} +O(61^{10})\)
| $r_{ 25 }$ |
$=$ |
\( 6 a^{14} + 22 a^{13} + 15 a^{12} + 41 a^{11} + 59 a^{10} + 16 a^{9} + 4 a^{8} + 22 a^{7} + 33 a^{6} + 27 a^{5} + 56 a^{4} + 9 a^{3} + 48 a^{2} + 25 a + 28 + \left(6 a^{14} + 52 a^{13} + 28 a^{12} + 14 a^{11} + 20 a^{10} + 15 a^{9} + 60 a^{8} + 30 a^{7} + 55 a^{6} + 30 a^{5} + 29 a^{4} + 36 a^{3} + 47 a^{2} + 25 a + 35\right)\cdot 61 + \left(29 a^{14} + 3 a^{13} + 10 a^{12} + 19 a^{11} + 21 a^{10} + 23 a^{9} + 55 a^{8} + 46 a^{7} + 28 a^{6} + 53 a^{5} + 37 a^{4} + 5 a^{3} + 11 a^{2} + 34 a + 18\right)\cdot 61^{2} + \left(7 a^{14} + 36 a^{13} + 13 a^{12} + 25 a^{11} + 43 a^{10} + 9 a^{9} + 48 a^{8} + 51 a^{7} + 52 a^{6} + 19 a^{5} + 2 a^{4} + 59 a^{3} + 46 a^{2} + 41 a + 48\right)\cdot 61^{3} + \left(42 a^{13} + 32 a^{12} + 24 a^{11} + 49 a^{10} + 7 a^{9} + 51 a^{8} + 16 a^{7} + 24 a^{6} + 45 a^{5} + 2 a^{4} + 53 a^{3} + 18 a^{2} + 45 a + 30\right)\cdot 61^{4} + \left(48 a^{14} + 55 a^{13} + 52 a^{12} + 47 a^{11} + 2 a^{10} + 18 a^{9} + 29 a^{8} + 48 a^{7} + 41 a^{6} + 40 a^{5} + 15 a^{4} + 26 a^{3} + 34 a^{2} + 13 a + 11\right)\cdot 61^{5} + \left(32 a^{14} + 42 a^{13} + 7 a^{12} + 37 a^{11} + 49 a^{10} + 29 a^{9} + 23 a^{8} + 29 a^{7} + 18 a^{6} + 11 a^{5} + 24 a^{4} + 55 a^{3} + 30 a^{2} + 59\right)\cdot 61^{6} + \left(38 a^{13} + 28 a^{12} + 18 a^{11} + 42 a^{10} + 36 a^{9} + 49 a^{8} + 16 a^{7} + 47 a^{6} + 11 a^{5} + 3 a^{4} + 21 a^{3} + 51 a^{2} + 14 a + 28\right)\cdot 61^{7} + \left(59 a^{14} + 51 a^{13} + 57 a^{12} + 30 a^{11} + 18 a^{10} + a^{9} + 50 a^{8} + 50 a^{7} + 50 a^{6} + 25 a^{5} + 19 a^{4} + 32 a^{3} + 51 a^{2} + 26 a + 25\right)\cdot 61^{8} + \left(55 a^{14} + 18 a^{13} + a^{12} + 36 a^{11} + 24 a^{10} + 13 a^{9} + 2 a^{8} + 41 a^{7} + 23 a^{6} + 26 a^{5} + 36 a^{4} + 32 a^{3} + 26 a^{2} + 40 a + 5\right)\cdot 61^{9} +O(61^{10})\)
| $r_{ 26 }$ |
$=$ |
\( 24 a^{14} + 44 a^{13} + 27 a^{12} + 21 a^{11} + 20 a^{10} + 31 a^{9} + 55 a^{8} + 26 a^{7} + 43 a^{6} + 16 a^{5} + 54 a^{4} + 34 a^{3} + 31 a^{2} + 12 a + 45 + \left(24 a^{14} + 51 a^{13} + 26 a^{12} + 36 a^{11} + 43 a^{10} + 58 a^{9} + 24 a^{8} + 19 a^{7} + 36 a^{6} + 8 a^{5} + 35 a^{4} + 10 a^{3} + 17 a^{2} + 30 a + 46\right)\cdot 61 + \left(8 a^{14} + 57 a^{13} + 52 a^{12} + 10 a^{11} + 6 a^{10} + 27 a^{9} + 39 a^{8} + 9 a^{7} + 45 a^{6} + 11 a^{5} + 2 a^{4} + 58 a^{3} + 30 a^{2} + 39 a + 42\right)\cdot 61^{2} + \left(60 a^{14} + 6 a^{13} + 54 a^{12} + 14 a^{11} + a^{10} + 23 a^{9} + 41 a^{8} + 12 a^{7} + 20 a^{6} + 44 a^{5} + 49 a^{4} + 31 a^{3} + 42 a^{2} + 11 a + 21\right)\cdot 61^{3} + \left(53 a^{14} + 30 a^{13} + 42 a^{12} + 7 a^{11} + 15 a^{10} + 37 a^{9} + 28 a^{8} + 26 a^{7} + 37 a^{6} + 25 a^{5} + 17 a^{4} + 29 a^{3} + 16 a^{2} + 38 a + 1\right)\cdot 61^{4} + \left(19 a^{14} + 23 a^{13} + 40 a^{12} + 21 a^{11} + 52 a^{10} + 20 a^{8} + a^{7} + 59 a^{6} + 29 a^{5} + 14 a^{4} + 33 a^{3} + 14 a^{2} + 32 a + 44\right)\cdot 61^{5} + \left(4 a^{14} + 37 a^{13} + 24 a^{12} + 37 a^{10} + 8 a^{9} + 56 a^{8} + 23 a^{7} + 2 a^{6} + 48 a^{5} + 19 a^{4} + 42 a^{3} + 2 a^{2} + 41 a + 57\right)\cdot 61^{6} + \left(4 a^{14} + 60 a^{13} + 12 a^{11} + 58 a^{10} + 7 a^{9} + 23 a^{8} + 57 a^{7} + 54 a^{6} + 10 a^{5} + 4 a^{4} + 49 a^{3} + a^{2} + 38 a + 35\right)\cdot 61^{7} + \left(2 a^{14} + 36 a^{13} + 29 a^{12} + 50 a^{11} + 24 a^{10} + 16 a^{9} + 58 a^{8} + 43 a^{7} + 13 a^{6} + 9 a^{5} + 4 a^{4} + 49 a^{3} + a^{2} + 10 a + 38\right)\cdot 61^{8} + \left(36 a^{14} + 17 a^{13} + 58 a^{12} + 34 a^{11} + 10 a^{10} + 43 a^{9} + a^{8} + 31 a^{7} + 2 a^{6} + 11 a^{5} + 31 a^{4} + 41 a^{3} + 48 a^{2} + 26 a + 21\right)\cdot 61^{9} +O(61^{10})\)
| $r_{ 27 }$ |
$=$ |
\( 53 a^{14} + a^{13} + 6 a^{12} + 22 a^{11} + 6 a^{10} + a^{9} + 39 a^{8} + 52 a^{7} + a^{6} + 32 a^{5} + 17 a^{4} + 13 a^{3} + a^{2} + 44 a + 23 + \left(56 a^{14} + 54 a^{13} + a^{12} + 12 a^{11} + 6 a^{10} + 23 a^{9} + 13 a^{8} + 32 a^{7} + 2 a^{6} + 31 a^{5} + 44 a^{4} + 34 a^{3} + 51 a^{2} + 45 a + 10\right)\cdot 61 + \left(11 a^{14} + 26 a^{13} + 41 a^{12} + 47 a^{11} + 2 a^{10} + 14 a^{9} + 14 a^{8} + 27 a^{7} + 32 a^{6} + 54 a^{5} + 48 a^{4} + 53 a^{3} + a^{2} + 51 a + 33\right)\cdot 61^{2} + \left(8 a^{14} + 59 a^{13} + 7 a^{12} + 7 a^{11} + 46 a^{10} + 20 a^{9} + 11 a^{8} + 51 a^{7} + 28 a^{6} + 34 a^{5} + 41 a^{4} + 28 a^{3} + 24 a^{2} + 20 a + 30\right)\cdot 61^{3} + \left(32 a^{14} + 8 a^{13} + 52 a^{12} + 49 a^{11} + 23 a^{10} + 30 a^{9} + 51 a^{8} + 12 a^{7} + 48 a^{6} + 8 a^{5} + 29 a^{4} + 20 a^{3} + 40 a^{2} + 54 a + 48\right)\cdot 61^{4} + \left(51 a^{14} + 22 a^{13} + 43 a^{12} + 8 a^{11} + 56 a^{10} + 34 a^{9} + 47 a^{8} + 44 a^{7} + 8 a^{6} + 7 a^{5} + 34 a^{4} + 28 a^{3} + 24 a^{2} + 18 a + 13\right)\cdot 61^{5} + \left(2 a^{14} + 57 a^{13} + 14 a^{12} + 3 a^{11} + 10 a^{10} + 47 a^{9} + 56 a^{8} + 47 a^{7} + 41 a^{6} + 48 a^{5} + 30 a^{4} + 23 a^{3} + 48 a^{2} + 41 a + 17\right)\cdot 61^{6} + \left(12 a^{14} + 13 a^{13} + 35 a^{12} + 26 a^{11} + 12 a^{10} + 45 a^{9} + 2 a^{8} + 33 a^{7} + 6 a^{6} + 26 a^{5} + 56 a^{4} + 58 a^{3} + 10 a^{2} + 55 a + 29\right)\cdot 61^{7} + \left(40 a^{14} + 7 a^{13} + 47 a^{12} + 55 a^{11} + 6 a^{10} + 9 a^{9} + 50 a^{8} + 11 a^{7} + 46 a^{6} + 22 a^{4} + 15 a^{3} + 52 a^{2} + 26 a + 13\right)\cdot 61^{8} + \left(20 a^{14} + 13 a^{13} + 24 a^{12} + 52 a^{11} + 22 a^{10} + 8 a^{9} + 7 a^{8} + 36 a^{7} + 39 a^{6} + 30 a^{5} + 57 a^{4} + 53 a^{3} + 47 a^{2} + 36 a + 48\right)\cdot 61^{9} +O(61^{10})\)
| $r_{ 28 }$ |
$=$ |
\( 25 a^{14} + 4 a^{13} + 44 a^{12} + 53 a^{11} + 16 a^{10} + 43 a^{9} + 20 a^{8} + 8 a^{7} + 2 a^{6} + 50 a^{5} + 5 a^{4} + 35 a^{3} + 40 a^{2} + 18 a + 46 + \left(47 a^{14} + 6 a^{13} + 57 a^{12} + 55 a^{11} + 55 a^{10} + 44 a^{9} + 60 a^{8} + 26 a^{7} + 3 a^{6} + 28 a^{5} + 45 a^{4} + 49 a^{3} + 34 a^{2} + 58 a + 7\right)\cdot 61 + \left(60 a^{14} + 17 a^{13} + 60 a^{12} + 44 a^{11} + 6 a^{10} + 17 a^{8} + 3 a^{7} + 30 a^{6} + 53 a^{5} + 34 a^{4} + 32 a^{3} + 17 a^{2} + a + 10\right)\cdot 61^{2} + \left(54 a^{14} + 3 a^{13} + 15 a^{12} + 2 a^{11} + 13 a^{10} + 31 a^{9} + 10 a^{8} + 52 a^{7} + 32 a^{6} + 47 a^{5} + 39 a^{4} + 30 a^{3} + 47 a^{2} + 11 a + 35\right)\cdot 61^{3} + \left(26 a^{14} + a^{13} + 21 a^{12} + 32 a^{11} + a^{10} + 58 a^{9} + 4 a^{8} + 40 a^{7} + 24 a^{6} + 52 a^{5} + 28 a^{4} + 7 a^{3} + 53 a^{2} + 43 a + 51\right)\cdot 61^{4} + \left(32 a^{14} + 22 a^{13} + 32 a^{12} + 21 a^{11} + 55 a^{10} + 52 a^{9} + 58 a^{8} + 26 a^{7} + 32 a^{6} + 21 a^{5} + a^{4} + 12 a^{3} + 44 a^{2} + 45 a + 35\right)\cdot 61^{5} + \left(31 a^{14} + 5 a^{13} + 50 a^{12} + 29 a^{11} + 21 a^{10} + 27 a^{9} + 54 a^{8} + 44 a^{7} + 5 a^{6} + 49 a^{5} + 17 a^{4} + 53 a^{3} + 25 a^{2} + 30 a + 39\right)\cdot 61^{6} + \left(15 a^{14} + 54 a^{13} + 46 a^{12} + 2 a^{11} + 44 a^{10} + 54 a^{9} + 28 a^{8} + 18 a^{7} + 17 a^{6} + 44 a^{5} + 14 a^{4} + 43 a^{3} + 30 a^{2} + 34 a + 24\right)\cdot 61^{7} + \left(8 a^{14} + 53 a^{13} + 29 a^{12} + 26 a^{11} + 7 a^{10} + 24 a^{9} + 41 a^{8} + 11 a^{7} + 16 a^{6} + 38 a^{5} + 60 a^{4} + 15 a^{3} + 30 a^{2} + 27 a + 46\right)\cdot 61^{8} + \left(a^{14} + 21 a^{13} + 14 a^{12} + 52 a^{11} + 35 a^{10} + 46 a^{9} + 40 a^{8} + 55 a^{6} + 7 a^{5} + 15 a^{4} + 47 a^{3} + 38 a^{2} + 15 a + 32\right)\cdot 61^{9} +O(61^{10})\)
| $r_{ 29 }$ |
$=$ |
\( 25 a^{14} + 4 a^{13} + 57 a^{12} + 26 a^{11} + 49 a^{10} + 4 a^{9} + 43 a^{8} + 8 a^{7} + 19 a^{6} + 53 a^{5} + 16 a^{4} + 40 a^{3} + 19 a^{2} + 5 a + 21 + \left(14 a^{14} + 48 a^{13} + 31 a^{12} + 20 a^{11} + 19 a^{10} + 49 a^{9} + 23 a^{8} + 58 a^{7} + 26 a^{6} + 15 a^{5} + 36 a^{4} + 57 a^{3} + 39 a^{2} + 13 a + 2\right)\cdot 61 + \left(42 a^{14} + 21 a^{13} + 13 a^{12} + 13 a^{11} + 37 a^{10} + 34 a^{9} + 40 a^{8} + 15 a^{7} + 57 a^{6} + 22 a^{5} + 52 a^{4} + 58 a^{3} + 41 a^{2} + 11 a + 43\right)\cdot 61^{2} + \left(38 a^{14} + 10 a^{13} + a^{12} + 31 a^{11} + 60 a^{10} + 48 a^{9} + 44 a^{8} + 22 a^{7} + 15 a^{6} + a^{5} + 39 a^{4} + 24 a^{3} + 26 a^{2} + 7 a + 15\right)\cdot 61^{3} + \left(54 a^{14} + 33 a^{13} + 13 a^{12} + 47 a^{11} + 20 a^{10} + 27 a^{9} + 37 a^{8} + 23 a^{7} + 9 a^{6} + 31 a^{5} + 45 a^{4} + 34 a^{3} + 22 a^{2} + 39 a + 1\right)\cdot 61^{4} + \left(11 a^{14} + 34 a^{13} + 28 a^{12} + 19 a^{11} + 53 a^{10} + 25 a^{9} + 18 a^{8} + 21 a^{7} + 25 a^{6} + 27 a^{5} + 25 a^{4} + 40 a^{3} + 14 a^{2} + 31 a + 20\right)\cdot 61^{5} + \left(a^{14} + 34 a^{13} + 7 a^{12} + 13 a^{11} + 13 a^{10} + 29 a^{9} + 40 a^{8} + 46 a^{7} + 32 a^{6} + 10 a^{5} + 58 a^{4} + 8 a^{3} + 44 a^{2} + 41 a + 15\right)\cdot 61^{6} + \left(6 a^{14} + 41 a^{13} + 5 a^{12} + 48 a^{11} + 55 a^{10} + 31 a^{9} + 38 a^{8} + a^{7} + 58 a^{6} + 33 a^{5} + 23 a^{4} + 10 a^{3} + 44 a^{2} + 59 a + 2\right)\cdot 61^{7} + \left(53 a^{14} + 43 a^{13} + 8 a^{12} + 18 a^{11} + 45 a^{10} + 16 a^{9} + 33 a^{8} + 19 a^{7} + 20 a^{6} + 18 a^{5} + 48 a^{4} + 29 a^{3} + 14 a^{2} + 31 a + 44\right)\cdot 61^{8} + \left(34 a^{14} + 50 a^{13} + 27 a^{12} + 9 a^{11} + 45 a^{10} + 53 a^{9} + 29 a^{8} + 12 a^{7} + 51 a^{6} + 28 a^{5} + 33 a^{4} + 19 a^{3} + 45 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 61^{9} +O(61^{10})\)
| $r_{ 30 }$ |
$=$ |
\( 9 a^{14} + 38 a^{13} + 23 a^{12} + 46 a^{11} + 50 a^{10} + 54 a^{9} + 45 a^{8} + 11 a^{7} + 45 a^{6} + 41 a^{5} + 31 a^{4} + 46 a^{3} + 49 a^{2} + 53 a + 10 + \left(45 a^{14} + a^{13} + 5 a^{12} + 16 a^{11} + 10 a^{10} + 15 a^{9} + 45 a^{8} + 22 a^{7} + 6 a^{6} + 15 a^{5} + 31 a^{4} + 36 a^{3} + 39 a^{2} + 50 a + 10\right)\cdot 61 + \left(46 a^{14} + 51 a^{13} + 36 a^{12} + 20 a^{11} + 7 a^{10} + 36 a^{9} + 57 a^{8} + 53 a^{7} + 7 a^{6} + 43 a^{5} + 29 a^{4} + 28 a^{3} + 18 a^{2} + 5 a + 57\right)\cdot 61^{2} + \left(25 a^{14} + 40 a^{13} + 2 a^{12} + 57 a^{11} + 11 a^{10} + 22 a^{9} + 2 a^{8} + 5 a^{7} + 27 a^{6} + 43 a^{5} + 6 a^{4} + 45 a^{3} + 5 a^{2} + 25 a + 9\right)\cdot 61^{3} + \left(26 a^{14} + 53 a^{13} + 49 a^{12} + 53 a^{11} + 58 a^{10} + 28 a^{9} + 11 a^{8} + 60 a^{7} + 3 a^{6} + 8 a^{5} + 10 a^{4} + 7 a^{3} + 34 a^{2} + 36 a + 30\right)\cdot 61^{4} + \left(27 a^{14} + 14 a^{13} + a^{12} + 6 a^{11} + 59 a^{10} + 46 a^{9} + 57 a^{8} + 37 a^{7} + 33 a^{6} + 50 a^{5} + 52 a^{4} + 40 a^{3} + 7 a^{2} + 8 a + 24\right)\cdot 61^{5} + \left(37 a^{14} + 25 a^{13} + 55 a^{12} + 21 a^{11} + 29 a^{10} + 41 a^{9} + 39 a^{8} + 5 a^{7} + 12 a^{6} + 56 a^{5} + 11 a^{4} + 7 a^{3} + 5 a^{2} + 16 a + 55\right)\cdot 61^{6} + \left(60 a^{14} + 26 a^{13} + 10 a^{12} + 45 a^{11} + 45 a^{10} + 3 a^{9} + 7 a^{8} + 32 a^{7} + 20 a^{6} + 48 a^{5} + 16 a^{4} + 54 a^{3} + 42 a^{2} + 36 a + 24\right)\cdot 61^{7} + \left(31 a^{14} + 9 a^{13} + 33 a^{12} + 30 a^{11} + 20 a^{10} + 33 a^{9} + 27 a^{8} + 30 a^{7} + 53 a^{6} + 48 a^{5} + 18 a^{4} + 16 a^{3} + 51 a^{2} + 23 a + 20\right)\cdot 61^{8} + \left(41 a^{14} + 35 a^{13} + 53 a^{12} + 32 a^{11} + 52 a^{10} + 20 a^{9} + 17 a^{8} + 31 a^{7} + 30 a^{6} + 26 a^{4} + 16 a^{3} + 39 a^{2} + 59 a + 42\right)\cdot 61^{9} +O(61^{10})\)
| |
Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 30 }$
Cycle notation |
Character values on conjugacy classes
Size | Order | Action on $r_1, \ldots, r_{ 30 }$ | Character value |
$1$ | $1$ | $()$ | $2$ |
$1$ | $2$ | $(1,20)(2,12)(3,21)(4,22)(5,13)(6,14)(7,25)(8,27)(9,19)(10,29)(11,30)(15,23)(16,24)(17,26)(18,28)$ | $-2$ |
$15$ | $2$ | $(1,23)(2,25)(3,19)(4,24)(6,30)(7,12)(8,10)(9,21)(11,14)(15,20)(16,22)(17,18)(26,28)(27,29)$ | $0$ |
$15$ | $2$ | $(1,15)(2,7)(3,9)(4,16)(5,13)(6,11)(8,29)(10,27)(12,25)(14,30)(17,28)(18,26)(19,21)(20,23)(22,24)$ | $0$ |
$2$ | $3$ | $(1,12,10)(2,29,20)(3,28,4)(5,6,30)(7,23,8)(9,16,17)(11,13,14)(15,27,25)(18,22,21)(19,24,26)$ | $-1$ |
$2$ | $5$ | $(1,26,13,28,23)(2,9,6,22,27)(3,7,10,24,11)(4,8,12,19,14)(5,18,15,20,17)(16,30,21,25,29)$ | $-\zeta_{15}^{7} + \zeta_{15}^{3} - \zeta_{15}^{2}$ |
$2$ | $5$ | $(1,13,23,26,28)(2,6,27,9,22)(3,10,11,7,24)(4,12,14,8,19)(5,15,17,18,20)(16,21,29,30,25)$ | $\zeta_{15}^{7} - \zeta_{15}^{3} + \zeta_{15}^{2} - 1$ |
$2$ | $6$ | $(1,2,10,20,12,29)(3,18,4,21,28,22)(5,14,30,13,6,11)(7,15,8,25,23,27)(9,24,17,19,16,26)$ | $1$ |
$2$ | $10$ | $(1,17,13,18,23,20,26,5,28,15)(2,19,6,4,27,12,9,14,22,8)(3,25,10,16,11,21,7,29,24,30)$ | $\zeta_{15}^{7} - \zeta_{15}^{3} + \zeta_{15}^{2}$ |
$2$ | $10$ | $(1,18,26,15,13,20,28,17,23,5)(2,4,9,8,6,12,22,19,27,14)(3,16,7,30,10,21,24,25,11,29)$ | $-\zeta_{15}^{7} + \zeta_{15}^{3} - \zeta_{15}^{2} + 1$ |
$2$ | $15$ | $(1,19,11,28,8,10,26,14,3,23,12,24,13,4,7)(2,16,5,22,25,20,9,30,18,27,29,17,6,21,15)$ | $-\zeta_{15}^{7} + \zeta_{15}^{5} - \zeta_{15}^{4} + \zeta_{15}^{2} - \zeta_{15} + 1$ |
$2$ | $15$ | $(1,11,8,26,3,12,13,7,19,28,10,14,23,24,4)(2,5,25,9,18,29,6,15,16,22,20,30,27,17,21)$ | $-\zeta_{15}^{6} + \zeta_{15}^{4} - \zeta_{15}$ |
$2$ | $15$ | $(1,8,3,13,19,10,23,4,11,26,12,7,28,14,24)(2,25,18,6,16,20,27,21,5,9,29,15,22,30,17)$ | $2 \zeta_{15}^{7} - \zeta_{15}^{5} + \zeta_{15}^{4} - \zeta_{15}^{3} + \zeta_{15} - 1$ |
$2$ | $15$ | $(1,14,7,26,4,10,13,8,24,28,12,11,23,19,3)(2,30,15,9,21,20,6,25,17,22,29,5,27,16,18)$ | $-\zeta_{15}^{7} + \zeta_{15}^{6} - \zeta_{15}^{4} + \zeta_{15}^{3} - \zeta_{15}^{2} + \zeta_{15} + 1$ |
$2$ | $30$ | $(1,9,11,18,8,29,26,6,3,15,12,16,13,22,7,20,19,30,28,27,10,17,14,21,23,2,24,5,4,25)$ | $\zeta_{15}^{7} - \zeta_{15}^{5} + \zeta_{15}^{4} - \zeta_{15}^{2} + \zeta_{15} - 1$ |
$2$ | $30$ | $(1,6,7,17,4,29,13,27,24,18,12,30,23,9,3,20,14,25,26,22,10,5,8,16,28,2,11,15,19,21)$ | $\zeta_{15}^{7} - \zeta_{15}^{6} + \zeta_{15}^{4} - \zeta_{15}^{3} + \zeta_{15}^{2} - \zeta_{15} - 1$ |
$2$ | $30$ | $(1,16,14,18,7,2,26,30,4,15,10,9,13,21,8,20,24,6,28,25,12,17,11,22,23,29,19,5,3,27)$ | $-2 \zeta_{15}^{7} + \zeta_{15}^{5} - \zeta_{15}^{4} + \zeta_{15}^{3} - \zeta_{15} + 1$ |
$2$ | $30$ | $(1,22,24,15,14,29,28,9,7,5,12,21,26,27,11,20,4,16,23,6,10,18,19,25,13,2,3,17,8,30)$ | $\zeta_{15}^{6} - \zeta_{15}^{4} + \zeta_{15}$ |
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.