# Properties

 Label 2.3775.120.b.c Dimension $2$ Group $C_4.A_5$ Conductor $3775$ Root number not computed Indicator $0$

# Related objects

## Basic invariants

 Dimension: $2$ Group: 24T576 Conductor: $$3775$$$$\medspace = 5^{2} \cdot 151$$ Artin stem field: 24.4.940350029043078386535797119140625.2 Galois orbit size: $4$ Smallest permutation container: 120 Parity: odd Determinant: 1.151.2t1.a.a Projective image: $A_5$ Projective stem field: 5.1.570025.1

## Defining polynomial

 $f(x)$ $=$ $$x^{24} - 2 x^{23} + 6 x^{22} - 5 x^{21} + 11 x^{20} - 17 x^{19} + 2 x^{18} - 34 x^{17} - 139 x^{16} - 108 x^{15} - 455 x^{14} - 497 x^{13} - 1230 x^{12} - 1691 x^{11} - 2719 x^{10} - 4214 x^{9} - 4936 x^{8} - 6130 x^{7} - 5653 x^{6} - 4317 x^{5} - 2323 x^{4} - 45 x^{3} - 323 x^{2} + 428 x + 173$$  .

The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 31 }$ to precision 10.

Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 31 }$: $$x^{10} + 30 x^{5} + 26 x^{4} + 13 x^{3} + 13 x^{2} + 13 x + 3$$

Roots:
 $r_{ 1 }$ $=$ $$16 a^{9} + 15 a^{8} + 2 a^{7} + 26 a^{6} + 9 a^{5} + 25 a^{4} + 30 a^{3} + 29 a^{2} + 9 a + 23 + \left(2 a^{9} + 8 a^{8} + 24 a^{7} + 6 a^{6} + 24 a^{5} + 28 a^{4} + 12 a^{3} + 15 a^{2} + a + 21\right)\cdot 31 + \left(7 a^{9} + 17 a^{8} + 21 a^{7} + 17 a^{6} + 18 a^{5} + 14 a^{4} + 18 a^{3} + 9 a^{2} + 15 a + 10\right)\cdot 31^{2} + \left(15 a^{9} + a^{7} + 27 a^{6} + 29 a^{5} + 3 a^{4} + 24 a^{3} + 12 a^{2} + 19 a + 5\right)\cdot 31^{3} + \left(16 a^{9} + 29 a^{8} + 24 a^{7} + a^{6} + 20 a^{5} + a^{4} + 7 a^{3} + 21 a^{2} + 27 a + 11\right)\cdot 31^{4} + \left(20 a^{9} + a^{8} + 12 a^{7} + 26 a^{6} + 28 a^{5} + 7 a^{4} + 27 a^{3} + 5 a^{2} + 20\right)\cdot 31^{5} + \left(15 a^{9} + 25 a^{8} + 14 a^{7} + 24 a^{6} + 29 a^{5} + 5 a^{4} + 5 a^{3} + 14 a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 31^{6} + \left(22 a^{9} + 23 a^{8} + 21 a^{7} + 8 a^{6} + 11 a^{5} + 6 a^{4} + 20 a^{2} + 12\right)\cdot 31^{7} + \left(27 a^{9} + 24 a^{8} + 5 a^{7} + 19 a^{5} + 12 a^{4} + 17 a^{3} + 25 a^{2} + 23 a + 22\right)\cdot 31^{8} + \left(6 a^{9} + 19 a^{8} + 28 a^{7} + 12 a^{5} + 28 a^{4} + 2 a^{3} + 16 a^{2} + 7 a + 8\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})$$ $r_{ 2 }$ $=$ $$7 a^{9} + 24 a^{8} + 28 a^{7} + 23 a^{6} + 2 a^{5} + 9 a^{4} + 17 a^{3} + 3 a^{2} + 2 a + 19 + \left(18 a^{9} + 11 a^{8} + 20 a^{7} + 17 a^{6} + 3 a^{5} + 18 a^{4} + 29 a^{3} + 12 a^{2} + 22 a + 25\right)\cdot 31 + \left(9 a^{9} + 19 a^{8} + 28 a^{7} + 17 a^{6} + 16 a^{5} + 21 a^{4} + 10 a^{3} + 10 a^{2} + a + 26\right)\cdot 31^{2} + \left(22 a^{9} + 26 a^{8} + 21 a^{7} + 6 a^{6} + 4 a^{5} + 20 a^{4} + a^{3} + 30 a^{2} + 19 a + 28\right)\cdot 31^{3} + \left(17 a^{9} + a^{8} + 6 a^{7} + 5 a^{6} + 2 a^{5} + 13 a^{4} + 24 a^{3} + 15 a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 31^{4} + \left(7 a^{9} + 9 a^{8} + 14 a^{7} + 26 a^{6} + 4 a^{5} + 19 a^{4} + 29 a^{2} + 19 a + 30\right)\cdot 31^{5} + \left(12 a^{9} + 3 a^{8} + 25 a^{7} + 17 a^{6} + a^{5} + 28 a^{4} + 26 a^{3} + 12 a^{2} + 7 a + 27\right)\cdot 31^{6} + \left(28 a^{9} + 27 a^{8} + 9 a^{7} + 27 a^{6} + 7 a^{5} + 6 a^{4} + 7 a^{3} + 10 a^{2} + 13 a + 20\right)\cdot 31^{7} + \left(17 a^{9} + 5 a^{8} + 13 a^{7} + 16 a^{6} + 10 a^{5} + 9 a^{4} + 23 a^{3} + 14 a^{2} + 11\right)\cdot 31^{8} + \left(30 a^{9} + 3 a^{8} + 10 a^{7} + 3 a^{6} + 7 a^{5} + 25 a^{4} + 4 a^{3} + 20 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})$$ $r_{ 3 }$ $=$ $$15 a^{9} + 16 a^{8} + 29 a^{7} + 5 a^{6} + 22 a^{5} + 6 a^{4} + a^{3} + 2 a^{2} + 22 a + 17 + \left(28 a^{9} + 22 a^{8} + 6 a^{7} + 24 a^{6} + 6 a^{5} + 2 a^{4} + 18 a^{3} + 15 a^{2} + 29 a + 24\right)\cdot 31 + \left(23 a^{9} + 13 a^{8} + 9 a^{7} + 13 a^{6} + 12 a^{5} + 16 a^{4} + 12 a^{3} + 21 a^{2} + 15 a + 9\right)\cdot 31^{2} + \left(15 a^{9} + 30 a^{8} + 29 a^{7} + 3 a^{6} + a^{5} + 27 a^{4} + 6 a^{3} + 18 a^{2} + 11 a + 22\right)\cdot 31^{3} + \left(14 a^{9} + a^{8} + 6 a^{7} + 29 a^{6} + 10 a^{5} + 29 a^{4} + 23 a^{3} + 9 a^{2} + 3 a + 16\right)\cdot 31^{4} + \left(10 a^{9} + 29 a^{8} + 18 a^{7} + 4 a^{6} + 2 a^{5} + 23 a^{4} + 3 a^{3} + 25 a^{2} + 30 a + 5\right)\cdot 31^{5} + \left(15 a^{9} + 5 a^{8} + 16 a^{7} + 6 a^{6} + a^{5} + 25 a^{4} + 25 a^{3} + 16 a^{2} + 21 a + 18\right)\cdot 31^{6} + \left(8 a^{9} + 7 a^{8} + 9 a^{7} + 22 a^{6} + 19 a^{5} + 24 a^{4} + 30 a^{3} + 10 a^{2} + 30 a + 24\right)\cdot 31^{7} + \left(3 a^{9} + 6 a^{8} + 25 a^{7} + 30 a^{6} + 11 a^{5} + 18 a^{4} + 13 a^{3} + 5 a^{2} + 7 a + 5\right)\cdot 31^{8} + \left(24 a^{9} + 11 a^{8} + 2 a^{7} + 30 a^{6} + 18 a^{5} + 2 a^{4} + 28 a^{3} + 14 a^{2} + 23 a + 19\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})$$ $r_{ 4 }$ $=$ $$24 a^{9} + 7 a^{8} + 3 a^{7} + 8 a^{6} + 29 a^{5} + 22 a^{4} + 14 a^{3} + 28 a^{2} + 29 a + 28 + \left(12 a^{9} + 19 a^{8} + 10 a^{7} + 13 a^{6} + 27 a^{5} + 12 a^{4} + a^{3} + 18 a^{2} + 8 a + 20\right)\cdot 31 + \left(21 a^{9} + 11 a^{8} + 2 a^{7} + 13 a^{6} + 14 a^{5} + 9 a^{4} + 20 a^{3} + 20 a^{2} + 29 a + 28\right)\cdot 31^{2} + \left(8 a^{9} + 4 a^{8} + 9 a^{7} + 24 a^{6} + 26 a^{5} + 10 a^{4} + 29 a^{3} + 11 a + 23\right)\cdot 31^{3} + \left(13 a^{9} + 29 a^{8} + 24 a^{7} + 25 a^{6} + 28 a^{5} + 17 a^{4} + 6 a^{3} + 15 a^{2} + 22 a + 18\right)\cdot 31^{4} + \left(23 a^{9} + 21 a^{8} + 16 a^{7} + 4 a^{6} + 26 a^{5} + 11 a^{4} + 30 a^{3} + a^{2} + 11 a + 23\right)\cdot 31^{5} + \left(18 a^{9} + 27 a^{8} + 5 a^{7} + 13 a^{6} + 29 a^{5} + 2 a^{4} + 4 a^{3} + 18 a^{2} + 23 a + 7\right)\cdot 31^{6} + \left(2 a^{9} + 3 a^{8} + 21 a^{7} + 3 a^{6} + 23 a^{5} + 24 a^{4} + 23 a^{3} + 20 a^{2} + 17 a + 16\right)\cdot 31^{7} + \left(13 a^{9} + 25 a^{8} + 17 a^{7} + 14 a^{6} + 20 a^{5} + 21 a^{4} + 7 a^{3} + 16 a^{2} + 30 a + 18\right)\cdot 31^{8} + \left(27 a^{8} + 20 a^{7} + 27 a^{6} + 23 a^{5} + 5 a^{4} + 26 a^{3} + 10 a^{2} + 23 a + 18\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})$$ $r_{ 5 }$ $=$ $$26 a^{9} + 10 a^{8} + 30 a^{7} + 12 a^{6} + 6 a^{5} + 26 a^{3} + 23 a^{2} + 19 a + 29 + \left(20 a^{9} + 16 a^{8} + 30 a^{7} + 2 a^{6} + 3 a^{5} + 14 a^{4} + 13 a^{3} + 15 a^{2} + 16 a + 3\right)\cdot 31 + \left(3 a^{9} + 16 a^{8} + 17 a^{7} + 11 a^{6} + 6 a^{5} + 26 a^{4} + 5 a^{3} + 26 a^{2} + 19 a + 13\right)\cdot 31^{2} + \left(a^{9} + 13 a^{8} + 11 a^{7} + 24 a^{6} + 26 a^{5} + 24 a^{4} + 9 a^{3} + 19 a^{2} + 6 a + 17\right)\cdot 31^{3} + \left(17 a^{9} + 27 a^{8} + 19 a^{7} + 4 a^{6} + 12 a^{5} + 29 a^{4} + 17 a^{3} + 18 a^{2} + 7 a\right)\cdot 31^{4} + \left(14 a^{9} + 14 a^{8} + 20 a^{7} + 8 a^{6} + 28 a^{5} + 8 a^{4} + 15 a^{3} + 9 a^{2} + 15 a + 4\right)\cdot 31^{5} + \left(21 a^{9} + 7 a^{8} + 29 a^{7} + 25 a^{6} + 5 a^{5} + 23 a^{4} + 29 a^{3} + 30 a^{2} + 2 a + 24\right)\cdot 31^{6} + \left(28 a^{9} + 27 a^{8} + 2 a^{7} + 4 a^{6} + 14 a^{5} + 5 a^{4} + 3 a^{3} + 27 a^{2} + 20 a + 22\right)\cdot 31^{7} + \left(16 a^{9} + 23 a^{8} + 29 a^{7} + 20 a^{6} + 9 a^{5} + 2 a^{4} + 6 a^{3} + 12 a^{2} + 17 a\right)\cdot 31^{8} + \left(15 a^{9} + 12 a^{8} + 2 a^{6} + 8 a^{5} + 17 a^{4} + a^{3} + a^{2} + 24 a + 25\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})$$ $r_{ 6 }$ $=$ $$21 a^{9} + 20 a^{8} + 3 a^{7} + 24 a^{6} + 6 a^{5} + 16 a^{4} + 12 a^{3} + 11 a^{2} + 27 a + 28 + \left(19 a^{9} + 12 a^{8} + 8 a^{7} + 6 a^{6} + 3 a^{5} + 13 a^{4} + 28 a^{2} + 12 a + 10\right)\cdot 31 + \left(12 a^{9} + 3 a^{8} + 27 a^{7} + 29 a^{6} + 6 a^{5} + 14 a^{4} + 14 a^{3} + 17 a^{2} + 6 a + 1\right)\cdot 31^{2} + \left(11 a^{9} + 25 a^{8} + a^{7} + 22 a^{6} + 13 a^{5} + 15 a^{4} + 21 a^{3} + a^{2} + 2 a + 15\right)\cdot 31^{3} + \left(15 a^{9} + 3 a^{8} + 14 a^{7} + 21 a^{6} + 15 a^{5} + 18 a^{4} + 7 a^{3} + 15 a^{2} + 30 a + 23\right)\cdot 31^{4} + \left(3 a^{9} + 21 a^{8} + 6 a^{7} + 27 a^{6} + 17 a^{5} + 20 a^{4} + 16 a^{3} + 24 a^{2} + a + 12\right)\cdot 31^{5} + \left(13 a^{9} + 13 a^{8} + 2 a^{7} + 9 a^{6} + 18 a^{5} + 18 a^{4} + 7 a^{3} + 30 a^{2} + 9 a + 11\right)\cdot 31^{6} + \left(23 a^{9} + 3 a^{8} + 23 a^{7} + 2 a^{5} + 18 a^{4} + 3 a^{3} + 18 a^{2} + 20 a + 7\right)\cdot 31^{7} + \left(18 a^{9} + 17 a^{8} + 5 a^{7} + 20 a^{6} + 17 a^{5} + 17 a^{4} + 15 a^{3} + 8 a^{2} + 27 a + 18\right)\cdot 31^{8} + \left(5 a^{9} + 23 a^{8} + 30 a^{7} + 14 a^{6} + 7 a^{5} + 10 a^{4} + 8 a^{3} + 22 a^{2} + 12 a + 15\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})$$ $r_{ 7 }$ $=$ $$17 a^{9} + 4 a^{8} + 22 a^{7} + 4 a^{6} + 11 a^{5} + 13 a^{4} + 7 a^{3} + 24 a^{2} + 9 a + 27 + \left(4 a^{9} + 20 a^{8} + 20 a^{7} + 14 a^{6} + 6 a^{5} + 21 a^{4} + 14 a^{3} + 20 a^{2} + 11 a + 11\right)\cdot 31 + \left(12 a^{9} + 27 a^{8} + 3 a^{7} + 3 a^{6} + 7 a^{5} + 23 a^{4} + 9 a^{3} + 28 a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 31^{2} + \left(22 a^{9} + 30 a^{8} + 9 a^{7} + 2 a^{6} + 6 a^{5} + 9 a^{4} + 7 a^{3} + 15 a^{2} + 27 a + 29\right)\cdot 31^{3} + \left(2 a^{9} + 5 a^{8} + a^{7} + 16 a^{5} + 9 a^{4} + 26 a^{3} + a^{2} + 4 a + 29\right)\cdot 31^{4} + \left(20 a^{9} + 21 a^{8} + 9 a^{7} + 4 a^{6} + 19 a^{5} + 30 a^{4} + 28 a^{3} + 17 a^{2} + 29 a + 19\right)\cdot 31^{5} + \left(5 a^{8} + 9 a^{7} + 21 a^{6} + 12 a^{5} + 28 a^{4} + 3 a^{3} + 15 a^{2} + 16 a + 15\right)\cdot 31^{6} + \left(16 a^{9} + 22 a^{8} + 4 a^{7} + 19 a^{6} + 9 a^{5} + 10 a^{4} + 30 a^{3} + 3 a^{2} + 5 a\right)\cdot 31^{7} + \left(13 a^{9} + 14 a^{8} + 23 a^{7} + 4 a^{6} + 2 a^{5} + 7 a^{4} + 26 a^{3} + 28 a^{2} + 28 a + 23\right)\cdot 31^{8} + \left(7 a^{9} + 16 a^{8} + 7 a^{7} + 21 a^{6} + 14 a^{5} + 15 a^{4} + 15 a^{3} + 20 a^{2} + 16 a + 2\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})$$ $r_{ 8 }$ $=$ $$11 a^{9} + 25 a^{8} + 25 a^{7} + 15 a^{6} + 19 a^{5} + 18 a^{4} + 12 a^{3} + 8 a^{2} + 18 a + 26 + \left(15 a^{9} + 27 a^{8} + 9 a^{7} + 27 a^{6} + 19 a^{5} + 20 a^{4} + 28 a^{3} + 2 a^{2} + 20\right)\cdot 31 + \left(5 a^{9} + 28 a^{8} + a^{7} + 4 a^{6} + 28 a^{5} + 4 a^{4} + 22 a^{3} + 26 a^{2} + 17 a + 4\right)\cdot 31^{2} + \left(7 a^{9} + 18 a^{8} + 21 a^{6} + 20 a^{5} + 12 a^{3} + 5 a^{2} + 10 a + 25\right)\cdot 31^{3} + \left(9 a^{9} + 23 a^{8} + 14 a^{7} + 24 a^{6} + 12 a^{5} + 15 a^{4} + 11 a^{3} + 5 a^{2} + 15 a + 16\right)\cdot 31^{4} + \left(20 a^{9} + 12 a^{8} + 24 a^{7} + 17 a^{6} + 17 a^{5} + 29 a^{4} + 29 a^{3} + 18 a^{2} + 26 a + 13\right)\cdot 31^{5} + \left(26 a^{9} + 10 a^{8} + 28 a^{7} + 27 a^{6} + 26 a^{5} + 25 a^{4} + 16 a^{2} + 12 a\right)\cdot 31^{6} + \left(6 a^{9} + 24 a^{8} + 14 a^{7} + 22 a^{6} + 8 a^{5} + 21 a^{4} + 19 a^{3} + 22 a^{2} + 13 a + 17\right)\cdot 31^{7} + \left(29 a^{9} + 16 a^{8} + 26 a^{7} + a^{6} + 6 a^{5} + 19 a^{4} + 26 a^{3} + 24 a^{2} + 15 a + 3\right)\cdot 31^{8} + \left(22 a^{9} + 10 a^{8} + 7 a^{7} + 6 a^{6} + 13 a^{5} + 25 a^{4} + 8 a^{3} + 21 a^{2} + 11 a + 5\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})$$ $r_{ 9 }$ $=$ $$8 a^{9} + a^{8} + 18 a^{7} + 26 a^{6} + 14 a^{5} + 2 a^{4} + 14 a^{3} + 10 a^{2} + 28 + \left(24 a^{9} + 9 a^{8} + 16 a^{7} + 12 a^{6} + 12 a^{5} + 16 a^{4} + 4 a^{3} + 25 a^{2} + 5\right)\cdot 31 + \left(21 a^{9} + 25 a^{8} + 20 a^{7} + 12 a^{6} + 30 a^{5} + 10 a^{4} + 3 a^{3} + 21 a^{2} + 21 a + 8\right)\cdot 31^{2} + \left(23 a^{9} + 2 a^{8} + a^{6} + 2 a^{5} + 22 a^{4} + 22 a^{3} + 24 a^{2} + 30 a + 3\right)\cdot 31^{3} + \left(26 a^{9} + 29 a^{8} + 9 a^{7} + 5 a^{6} + 30 a^{5} + 19 a^{4} + 4 a^{3} + 24 a^{2} + 28 a + 11\right)\cdot 31^{4} + \left(20 a^{9} + 20 a^{8} + 11 a^{7} + 26 a^{6} + 22 a^{5} + 14 a^{4} + 18 a^{3} + 29 a^{2} + 24 a + 12\right)\cdot 31^{5} + \left(a^{9} + 23 a^{8} + 3 a^{7} + 14 a^{6} + 25 a^{5} + 7 a^{4} + 29 a^{3} + 17 a^{2} + 13 a + 6\right)\cdot 31^{6} + \left(6 a^{9} + 4 a^{8} + 12 a^{7} + 11 a^{6} + 3 a^{5} + 29 a^{4} + 7 a^{3} + 22 a^{2} + 19 a + 19\right)\cdot 31^{7} + \left(12 a^{9} + 25 a^{8} + 27 a^{7} + 5 a^{6} + 18 a^{5} + 27 a^{4} + 6 a^{3} + 27 a^{2} + 12 a + 18\right)\cdot 31^{8} + \left(14 a^{9} + 23 a^{8} + 10 a^{7} + 29 a^{6} + 20 a^{4} + 16 a^{3} + 24 a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})$$ $r_{ 10 }$ $=$ $$7 a^{9} + 28 a^{8} + 13 a^{7} + 22 a^{6} + 21 a^{5} + 24 a^{4} + 19 a^{3} + 23 a^{2} + 2 a + 28 + \left(14 a^{9} + 13 a^{8} + 25 a^{7} + 27 a^{6} + 30 a^{5} + 30 a^{4} + 20 a^{3} + 13 a + 28\right)\cdot 31 + \left(8 a^{9} + 8 a^{8} + 15 a^{7} + 24 a^{6} + 12 a^{5} + 12 a^{4} + 28 a^{3} + 24 a^{2} + 28 a + 29\right)\cdot 31^{2} + \left(15 a^{9} + 18 a^{8} + 6 a^{7} + 29 a^{6} + 30 a^{5} + 2 a^{4} + 17 a^{3} + 24 a^{2} + 30 a + 8\right)\cdot 31^{3} + \left(17 a^{9} + 13 a^{8} + 18 a^{7} + 18 a^{6} + 5 a^{5} + 21 a^{4} + 23 a^{3} + 16 a^{2} + 7 a + 25\right)\cdot 31^{4} + \left(29 a^{9} + 7 a^{8} + 5 a^{7} + 29 a^{6} + 8 a^{5} + 26 a^{4} + 27 a^{3} + 16 a^{2} + 19 a + 27\right)\cdot 31^{5} + \left(5 a^{9} + 22 a^{8} + 16 a^{7} + a^{6} + 24 a^{5} + 4 a^{4} + 10 a^{3} + 17 a^{2} + 27 a + 29\right)\cdot 31^{6} + \left(28 a^{9} + 5 a^{8} + 7 a^{7} + 4 a^{6} + 24 a^{5} + 12 a^{4} + 22 a^{3} + 17 a^{2} + 7 a + 18\right)\cdot 31^{7} + \left(21 a^{9} + 8 a^{8} + 12 a^{7} + 17 a^{6} + 12 a^{4} + 18 a^{3} + 13 a^{2} + 27 a + 5\right)\cdot 31^{8} + \left(17 a^{9} + 22 a^{8} + 9 a^{7} + 3 a^{6} + 20 a^{5} + 23 a^{4} + 21 a^{3} + 3 a^{2} + 12 a + 22\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})$$ $r_{ 11 }$ $=$ $$30 a^{9} + 6 a^{8} + 14 a^{7} + 15 a^{6} + a^{5} + 27 a^{4} + 8 a^{3} + 29 a^{2} + 29 a + 3 + \left(13 a^{9} + 14 a^{8} + 11 a^{7} + 14 a^{6} + 18 a^{5} + 2 a^{4} + 11 a^{3} + 24 a^{2} + 13 a + 11\right)\cdot 31 + \left(12 a^{9} + 10 a^{8} + 15 a^{7} + 10 a^{6} + 26 a^{5} + a^{4} + 24 a^{3} + 5 a^{2} + 12 a + 13\right)\cdot 31^{2} + \left(15 a^{9} + 13 a^{8} + 14 a^{7} + 13 a^{6} + 3 a^{5} + 29 a^{4} + 10 a^{3} + 15 a^{2} + 29 a + 24\right)\cdot 31^{3} + \left(7 a^{9} + 3 a^{8} + 29 a^{7} + 10 a^{6} + 26 a^{5} + 9 a^{4} + 5 a^{3} + 23 a^{2} + 8 a + 30\right)\cdot 31^{4} + \left(15 a^{8} + 26 a^{7} + 18 a^{6} + 21 a^{5} + 27 a^{3} + 18 a^{2} + 15 a + 24\right)\cdot 31^{5} + \left(17 a^{9} + 26 a^{7} + 21 a^{6} + 4 a^{5} + 9 a^{4} + 11 a^{3} + 7 a^{2} + 16 a + 30\right)\cdot 31^{6} + \left(20 a^{9} + 16 a^{8} + 8 a^{7} + 24 a^{6} + 24 a^{5} + 16 a^{4} + 12 a^{3} + 6 a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 31^{7} + \left(12 a^{9} + 5 a^{8} + 16 a^{7} + 24 a^{6} + 10 a^{5} + 20 a^{4} + 24 a^{3} + 15 a^{2} + 24 a + 8\right)\cdot 31^{8} + \left(11 a^{9} + 9 a^{8} + 13 a^{7} + 21 a^{6} + 17 a^{4} + 28 a^{3} + 8 a^{2} + 3 a + 19\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})$$ $r_{ 12 }$ $=$ $$21 a^{9} + 5 a^{8} + 5 a^{7} + 29 a^{6} + 21 a^{5} + 6 a^{4} + 14 a^{3} + 3 a^{2} + 27 a + 1 + \left(21 a^{9} + 12 a^{8} + 9 a^{7} + 29 a^{6} + 16 a^{5} + 23 a^{4} + 18 a^{3} + 24 a^{2} + 12 a + 29\right)\cdot 31 + \left(13 a^{9} + 15 a^{8} + 23 a^{7} + 9 a^{6} + 9 a^{5} + 30 a^{4} + 4 a^{3} + 29 a^{2} + 17 a + 20\right)\cdot 31^{2} + \left(26 a^{9} + 19 a^{8} + 28 a^{7} + 19 a^{6} + 16 a^{5} + 10 a^{4} + 28 a^{3} + 17 a^{2} + 27 a + 7\right)\cdot 31^{3} + \left(23 a^{9} + 8 a^{8} + 13 a^{7} + 16 a^{6} + 28 a^{5} + 12 a^{4} + 12 a^{3} + 10 a + 6\right)\cdot 31^{4} + \left(27 a^{9} + 26 a^{8} + 20 a^{7} + 18 a^{6} + 21 a^{5} + 25 a^{4} + 2 a^{3} + 28 a^{2} + 16 a + 1\right)\cdot 31^{5} + \left(13 a^{9} + 5 a^{8} + 9 a^{7} + 22 a^{6} + 14 a^{5} + 30 a^{4} + 12 a^{3} + 21 a^{2} + 19 a + 17\right)\cdot 31^{6} + \left(25 a^{9} + 30 a^{8} + 23 a^{7} + 21 a^{6} + 18 a^{5} + 18 a^{4} + 7 a^{3} + 30 a^{2} + 15\right)\cdot 31^{7} + \left(28 a^{9} + 9 a^{8} + 21 a^{7} + 27 a^{6} + 24 a^{5} + 22 a^{4} + 16 a^{3} + 28 a^{2} + 17 a + 18\right)\cdot 31^{8} + \left(19 a^{9} + 27 a^{8} + 4 a^{7} + 21 a^{6} + 7 a^{5} + 27 a^{4} + 22 a^{3} + 25 a^{2} + 12 a + 26\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})$$ $r_{ 13 }$ $=$ $$29 a^{9} + a^{8} + 15 a^{7} + 19 a^{6} + 5 a^{5} + 3 a^{4} + 9 a^{3} + a^{2} + 4 a + 27 + \left(7 a^{8} + 20 a^{7} + 30 a^{6} + 15 a^{5} + 29 a^{4} + 5 a^{3} + 23 a^{2} + 16 a + 9\right)\cdot 31 + \left(14 a^{9} + 25 a^{8} + 8 a^{7} + 7 a^{6} + 26 a^{4} + 21 a^{3} + 25 a^{2} + 8 a + 13\right)\cdot 31^{2} + \left(28 a^{9} + 11 a^{8} + 17 a^{6} + 2 a^{5} + 30 a^{4} + 29 a^{3} + 15 a^{2} + 28 a + 28\right)\cdot 31^{3} + \left(9 a^{9} + 18 a^{8} + 12 a^{7} + 12 a^{6} + 4 a^{5} + 4 a^{4} + 18 a^{3} + 19 a^{2} + 24 a + 26\right)\cdot 31^{4} + \left(20 a^{9} + 26 a^{8} + a^{7} + 2 a^{6} + 4 a^{5} + 4 a^{3} + 20 a^{2} + 13 a + 15\right)\cdot 31^{5} + \left(11 a^{9} + 27 a^{8} + 14 a^{7} + 20 a^{6} + 15 a^{5} + 6 a^{4} + 21 a^{3} + 26 a^{2} + 14 a + 3\right)\cdot 31^{6} + \left(4 a^{9} + 4 a^{8} + 17 a^{7} + 26 a^{6} + 24 a^{5} + 2 a^{4} + 18 a^{3} + 12 a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 31^{7} + \left(11 a^{9} + 2 a^{8} + 20 a^{7} + 20 a^{6} + 15 a^{5} + 30 a^{4} + 25 a^{3} + 19 a^{2} + 13 a + 23\right)\cdot 31^{8} + \left(4 a^{9} + 19 a^{8} + 3 a^{7} + 3 a^{6} + 29 a^{5} + 30 a^{4} + 13 a^{3} + 13 a^{2} + 18 a + 10\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})$$ $r_{ 14 }$ $=$ $$25 a^{9} + 2 a^{8} + 30 a^{7} + 18 a^{6} + 21 a^{5} + 18 a^{4} + 25 a^{3} + 6 a^{2} + 30 a + 14 + \left(3 a^{9} + 17 a^{8} + 22 a^{7} + 8 a^{6} + 14 a^{5} + 27 a^{4} + 5 a^{3} + 29 a^{2} + 22 a + 8\right)\cdot 31 + \left(24 a^{9} + 22 a^{8} + 9 a^{7} + 2 a^{6} + 27 a^{5} + 9 a^{3} + 17 a^{2} + 7 a + 23\right)\cdot 31^{2} + \left(29 a^{9} + 7 a^{8} + 11 a^{7} + 12 a^{6} + 18 a^{5} + 19 a^{4} + 15 a^{3} + 2 a^{2} + 21 a + 22\right)\cdot 31^{3} + \left(26 a^{9} + 29 a^{8} + 18 a^{7} + a^{6} + 11 a^{5} + 7 a^{4} + 28 a^{3} + 8 a^{2} + 8 a + 20\right)\cdot 31^{4} + \left(7 a^{9} + 25 a^{8} + 7 a^{7} + 7 a^{6} + 8 a^{5} + 6 a^{4} + 3 a^{3} + 4 a^{2} + 25 a + 16\right)\cdot 31^{5} + \left(10 a^{9} + 9 a^{8} + 8 a^{7} + 6 a^{6} + 16 a^{5} + 12 a^{4} + 9 a^{3} + 2 a^{2} + 19 a + 5\right)\cdot 31^{6} + \left(8 a^{9} + 24 a^{8} + 10 a^{7} + a^{6} + 13 a^{5} + 12 a^{4} + 27 a^{3} + 24 a^{2} + 9 a + 30\right)\cdot 31^{7} + \left(11 a^{9} + 13 a^{8} + 26 a^{7} + 7 a^{6} + 21 a^{5} + 14 a^{4} + 8 a^{3} + 17 a^{2} + 20 a + 11\right)\cdot 31^{8} + \left(14 a^{9} + 29 a^{8} + 10 a^{7} + 25 a^{6} + a^{5} + 19 a^{3} + 28 a^{2} + 18 a + 19\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})$$ $r_{ 15 }$ $=$ $$23 a^{9} + 24 a^{8} + 23 a^{7} + 12 a^{6} + 29 a^{5} + 11 a^{4} + 22 a^{3} + 13 a^{2} + 10 a + 5 + \left(28 a^{9} + 8 a^{8} + 28 a^{7} + 15 a^{6} + 3 a^{4} + 19 a^{3} + 30 a^{2} + 14 a + 27\right)\cdot 31 + \left(24 a^{9} + 4 a^{8} + 30 a^{7} + 28 a^{6} + 26 a^{5} + 24 a^{4} + 14 a^{3} + 2 a^{2} + 26 a + 28\right)\cdot 31^{2} + \left(12 a^{9} + 11 a^{8} + 26 a^{7} + 25 a^{6} + 21 a^{5} + 3 a^{4} + 21 a^{3} + 30 a^{2} + 3 a + 17\right)\cdot 31^{3} + \left(29 a^{9} + 11 a^{8} + 29 a^{7} + 25 a^{6} + 3 a^{5} + 2 a^{4} + 4 a^{3} + 14 a^{2} + 11 a + 28\right)\cdot 31^{4} + \left(10 a^{9} + 17 a^{8} + 30 a^{7} + 12 a^{6} + 28 a^{5} + 12 a^{4} + 18 a^{3} + 14 a^{2} + 26 a + 12\right)\cdot 31^{5} + \left(18 a^{9} + 25 a^{7} + 26 a^{6} + 17 a^{5} + 4 a^{4} + 4 a^{3} + 8 a^{2} + 10 a + 22\right)\cdot 31^{6} + \left(25 a^{9} + 18 a^{8} + 3 a^{7} + 24 a^{6} + 17 a^{5} + 14 a^{4} + 4 a^{3} + 24 a^{2} + 3 a + 27\right)\cdot 31^{7} + \left(22 a^{9} + 19 a^{8} + 27 a^{7} + 29 a^{6} + 15 a^{5} + 22 a^{4} + 2 a^{3} + 24 a^{2} + 23 a + 6\right)\cdot 31^{8} + \left(17 a^{9} + 29 a^{8} + 22 a^{7} + 2 a^{6} + 30 a^{5} + 29 a^{4} + 30 a^{3} + 4 a^{2} + 12 a + 6\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})$$ $r_{ 16 }$ $=$ $$22 a^{9} + 22 a^{8} + 5 a^{7} + 15 a^{5} + 29 a^{4} + 26 a^{3} + 4 a^{2} + 16 + \left(9 a^{9} + 22 a^{8} + 5 a^{7} + 27 a^{6} + 28 a^{5} + 20 a^{4} + 14 a^{3} + 22 a^{2} + 10 a + 28\right)\cdot 31 + \left(24 a^{9} + 24 a^{8} + 9 a^{7} + 12 a^{6} + 30 a^{5} + 14 a^{4} + 6 a^{3} + 12 a^{2} + 25 a + 20\right)\cdot 31^{2} + \left(26 a^{9} + 24 a^{8} + 10 a^{7} + 26 a^{6} + a^{5} + 18 a^{4} + a^{3} + 8 a^{2} + 16 a + 5\right)\cdot 31^{3} + \left(25 a^{9} + 22 a^{8} + 3 a^{7} + 27 a^{6} + 24 a^{5} + 7 a^{4} + 9 a^{3} + 26 a^{2} + 24 a + 9\right)\cdot 31^{4} + \left(28 a^{9} + 22 a^{8} + 19 a^{6} + 6 a^{5} + 9 a^{4} + 8 a^{3} + 28 a^{2} + 18 a + 4\right)\cdot 31^{5} + \left(21 a^{9} + 12 a^{8} + 30 a^{7} + 23 a^{6} + a^{5} + 7 a^{4} + 19 a^{3} + 3 a^{2} + 10 a + 8\right)\cdot 31^{6} + \left(21 a^{9} + 5 a^{8} + 12 a^{7} + 7 a^{6} + 16 a^{5} + 17 a^{4} + 11 a^{3} + 29 a^{2} + 26 a + 7\right)\cdot 31^{7} + \left(5 a^{9} + 16 a^{8} + 26 a^{7} + 20 a^{6} + 13 a^{5} + 8 a^{4} + 6 a^{3} + 14 a^{2} + 8 a + 28\right)\cdot 31^{8} + \left(12 a^{9} + 13 a^{8} + 23 a^{7} + 5 a^{5} + 27 a^{4} + 15 a^{3} + 28 a^{2} + 19 a + 30\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})$$ $r_{ 17 }$ $=$ $$19 a^{8} + 25 a^{7} + 13 a^{6} + 27 a^{5} + 28 a^{4} + 26 a^{3} + 4 a^{2} + 2 a + 7 + \left(26 a^{9} + 16 a^{8} + 21 a^{7} + 13 a^{6} + 4 a^{5} + 22 a^{4} + 27 a^{3} + 21 a^{2} + 16 a + 23\right)\cdot 31 + \left(8 a^{9} + 22 a^{8} + 19 a^{7} + 28 a^{6} + 2 a^{5} + 18 a^{4} + 6 a^{2} + 12 a + 18\right)\cdot 31^{2} + \left(5 a^{9} + 19 a^{8} + 15 a^{7} + 22 a^{6} + 19 a^{5} + 18 a^{4} + 30 a^{3} + 10 a^{2} + 18 a + 16\right)\cdot 31^{3} + \left(4 a^{9} + 29 a^{8} + 3 a^{7} + 8 a^{6} + 12 a^{5} + 3 a^{4} + 12 a^{3} + 21 a^{2} + 14 a + 21\right)\cdot 31^{4} + \left(15 a^{9} + 20 a^{8} + 10 a^{7} + 30 a^{6} + 13 a^{5} + 6 a^{4} + 12 a^{3} + 23 a^{2} + 4 a + 13\right)\cdot 31^{5} + \left(13 a^{9} + 19 a^{7} + 13 a^{6} + 30 a^{5} + 24 a^{4} + 25 a^{3} + 2 a^{2} + 30 a + 11\right)\cdot 31^{6} + \left(24 a^{9} + 21 a^{8} + 12 a^{7} + 13 a^{6} + 11 a^{5} + 21 a^{4} + 30 a^{3} + 26 a^{2} + 24 a + 12\right)\cdot 31^{7} + \left(7 a^{9} + 3 a^{8} + 18 a^{7} + 3 a^{6} + 19 a^{5} + 21 a^{4} + 20 a^{3} + 22 a^{2} + 24 a + 13\right)\cdot 31^{8} + \left(29 a^{9} + 11 a^{8} + 9 a^{7} + 3 a^{6} + 24 a^{5} + 17 a^{4} + 3 a^{3} + 27 a^{2} + 17 a + 11\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})$$ $r_{ 18 }$ $=$ $$17 a^{9} + 22 a^{7} + 10 a^{6} + 4 a^{5} + a^{4} + 17 a^{3} + 3 a^{2} + 23 a + 17 + \left(28 a^{9} + 24 a^{8} + 27 a^{7} + 22 a^{6} + 5 a^{5} + 2 a^{4} + 26 a^{3} + 27 a^{2} + 21 a + 22\right)\cdot 31 + \left(11 a^{9} + 13 a^{8} + 17 a^{7} + 4 a^{6} + 22 a^{5} + 27 a^{4} + 13 a^{3} + 7 a^{2} + 25 a + 10\right)\cdot 31^{2} + \left(26 a^{9} + 8 a^{8} + 25 a^{7} + a^{6} + 26 a^{5} + 24 a^{4} + 14 a^{3} + 18 a^{2} + 24 a + 30\right)\cdot 31^{3} + \left(8 a^{9} + 11 a^{8} + 24 a^{7} + a^{6} + 2 a^{5} + 23 a^{4} + 25 a^{3} + a^{2} + 14 a + 1\right)\cdot 31^{4} + \left(a^{9} + a^{8} + 11 a^{7} + 10 a^{6} + 6 a^{5} + 27 a^{3} + 24 a^{2} + 30 a + 25\right)\cdot 31^{5} + \left(29 a^{8} + 17 a^{7} + 27 a^{6} + 15 a^{5} + 15 a^{4} + 15 a^{3} + 5 a^{2} + 21 a + 8\right)\cdot 31^{6} + \left(12 a^{9} + 9 a^{8} + a^{7} + 20 a^{6} + 27 a^{5} + 11 a^{4} + 13 a^{3} + 16 a^{2} + 22 a + 24\right)\cdot 31^{7} + \left(7 a^{9} + 30 a^{8} + 3 a^{7} + 24 a^{6} + 25 a^{5} + 13 a^{4} + 19 a^{3} + 16 a^{2} + 8 a + 13\right)\cdot 31^{8} + \left(17 a^{9} + a^{8} + 23 a^{7} + 22 a^{6} + 26 a^{5} + 19 a^{4} + 6 a^{3} + 20 a^{2} + 19 a + 6\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})$$ $r_{ 19 }$ $=$ $$5 a^{9} + 22 a^{8} + 6 a^{7} + a^{6} + 10 a^{5} + 17 a^{3} + 14 a^{2} + 23 a + 9 + \left(12 a^{9} + 22 a^{8} + 15 a^{7} + 22 a^{6} + 26 a^{5} + 16 a^{4} + 8 a^{3} + 23 a^{2} + 29 a + 1\right)\cdot 31 + \left(8 a^{9} + a^{8} + 15 a^{7} + 13 a^{6} + 21 a^{5} + a^{4} + 9 a^{3} + 14 a^{2} + 19 a + 17\right)\cdot 31^{2} + \left(20 a^{9} + 23 a^{8} + 6 a^{7} + 22 a^{6} + 25 a^{5} + 28 a^{4} + 10 a^{3} + 17 a^{2} + a + 24\right)\cdot 31^{3} + \left(15 a^{9} + 17 a^{8} + 30 a^{6} + 13 a^{5} + 10 a^{4} + 20 a^{3} + 4 a^{2} + 20 a + 10\right)\cdot 31^{4} + \left(6 a^{9} + 12 a^{8} + 20 a^{7} + 28 a^{6} + 14 a^{5} + 28 a^{4} + 20 a^{3} + 30 a^{2} + 4 a + 14\right)\cdot 31^{5} + \left(21 a^{9} + 26 a^{8} + 14 a^{7} + 5 a^{5} + 2 a^{4} + 23 a^{3} + 12 a^{2} + 4 a + 20\right)\cdot 31^{6} + \left(11 a^{9} + 9 a^{8} + 20 a^{7} + 22 a^{6} + 26 a^{4} + 24 a^{3} + 11 a^{2} + 2 a + 15\right)\cdot 31^{7} + \left(6 a^{9} + 20 a^{8} + 5 a^{7} + 10 a^{6} + 11 a^{5} + 13 a^{4} + 21 a^{3} + 10 a^{2} + 27 a + 17\right)\cdot 31^{8} + \left(6 a^{9} + 26 a^{8} + 15 a^{7} + 14 a^{6} + 21 a^{5} + 4 a^{4} + 2 a^{3} + 2 a^{2} + 11 a + 28\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})$$ $r_{ 20 }$ $=$ $$4 a^{9} + 3 a^{8} + 11 a^{7} + 29 a^{6} + 9 a^{5} + 5 a^{4} + a^{3} + 21 a^{2} + 2 a + 19 + \left(18 a^{9} + 25 a^{8} + 5 a^{7} + 10 a^{6} + 5 a^{5} + 9 a^{4} + 20 a^{3} + 5 a^{2} + 17 a + 7\right)\cdot 31 + \left(7 a^{9} + 20 a^{8} + a^{7} + 19 a^{6} + 12 a^{4} + 14 a^{3} + 15 a^{2} + 15 a + 15\right)\cdot 31^{2} + \left(27 a^{9} + 14 a^{8} + 16 a^{7} + 21 a^{6} + 19 a^{5} + 27 a^{4} + 7 a^{3} + 22 a^{2} + 17 a + 23\right)\cdot 31^{3} + \left(8 a^{9} + 24 a^{8} + 27 a^{7} + 5 a^{6} + 4 a^{5} + 11 a^{4} + 22 a^{3} + 21 a^{2} + 19 a + 12\right)\cdot 31^{4} + \left(2 a^{9} + 13 a^{8} + 8 a^{7} + 10 a^{6} + 21 a^{5} + 21 a^{4} + 11 a^{3} + 2 a^{2} + 24 a + 18\right)\cdot 31^{5} + \left(30 a^{9} + 14 a^{8} + 9 a^{7} + 13 a^{6} + 6 a^{5} + 30 a^{3} + 10 a^{2} + 10 a + 7\right)\cdot 31^{6} + \left(18 a^{9} + 6 a^{8} + 3 a^{7} + 22 a^{6} + 10 a^{5} + 27 a^{4} + 19 a^{3} + 10 a^{2} + 13 a + 4\right)\cdot 31^{7} + \left(6 a^{9} + 29 a^{8} + 10 a^{7} + 7 a^{6} + 18 a^{5} + 11 a^{4} + 19 a^{3} + 28 a^{2} + 29 a + 21\right)\cdot 31^{8} + \left(21 a^{9} + 9 a^{8} + 12 a^{7} + 4 a^{5} + 27 a^{4} + 9 a^{3} + 2 a^{2} + 30 a + 19\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})$$ $r_{ 21 }$ $=$ $$25 a^{9} + 9 a^{8} + 25 a^{7} + 15 a^{6} + a^{5} + 6 a^{4} + 26 a^{3} + 27 a^{2} + 16 a + 20 + \left(29 a^{9} + 30 a^{8} + 12 a^{7} + 27 a^{6} + 23 a^{4} + 6 a^{3} + 14 a^{2} + 26 a + 20\right)\cdot 31 + \left(5 a^{9} + 21 a^{8} + 13 a^{7} + 29 a^{6} + 8 a^{5} + 29 a^{4} + 25 a^{3} + 4 a^{2} + 14 a + 1\right)\cdot 31^{2} + \left(24 a^{9} + 30 a^{8} + 29 a^{7} + 11 a^{6} + 13 a^{5} + 22 a^{4} + 2 a^{3} + 24 a^{2} + 10 a + 24\right)\cdot 31^{3} + \left(16 a^{9} + 4 a^{8} + 18 a^{7} + 26 a^{6} + 15 a^{5} + 25 a^{4} + 14 a^{3} + 21 a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 31^{4} + \left(23 a^{9} + 24 a^{8} + 25 a^{7} + 29 a^{6} + 19 a^{5} + 6 a^{4} + 25 a^{3} + 5 a^{2} + 19 a + 3\right)\cdot 31^{5} + \left(10 a^{9} + 22 a^{8} + 7 a^{7} + 29 a^{6} + 5 a^{5} + 24 a^{4} + 26 a^{3} + 26 a^{2} + 6 a + 18\right)\cdot 31^{6} + \left(25 a^{9} + 24 a^{8} + 24 a^{7} + 8 a^{6} + 27 a^{5} + 6 a^{4} + 30 a^{3} + 29 a^{2} + 6 a + 26\right)\cdot 31^{7} + \left(8 a^{9} + 24 a^{8} + 8 a^{7} + 8 a^{6} + 2 a^{5} + 25 a^{4} + 2 a^{3} + 16 a^{2} + 11 a + 7\right)\cdot 31^{8} + \left(7 a^{9} + 19 a^{8} + 14 a^{7} + 26 a^{6} + 5 a^{5} + 6 a^{4} + 15 a^{3} + 22 a^{2} + 8 a + 12\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})$$ $r_{ 22 }$ $=$ $$16 a^{9} + 25 a^{8} + 26 a^{7} + 8 a^{6} + 20 a^{5} + 4 a^{4} + 13 a^{3} + 26 a^{2} + 13 a + 30 + \left(8 a^{8} + 8 a^{7} + 25 a^{6} + 6 a^{5} + a^{4} + 15 a^{3} + 26 a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 31 + \left(2 a^{9} + 10 a^{8} + 30 a^{7} + 20 a^{6} + 16 a^{5} + 4 a^{4} + 27 a^{3} + 17 a^{2} + 28 a + 15\right)\cdot 31^{2} + \left(10 a^{9} + 23 a^{7} + 22 a^{6} + 25 a^{5} + 16 a^{4} + 27 a^{3} + 27 a^{2} + 10 a + 2\right)\cdot 31^{3} + \left(15 a^{9} + 26 a^{8} + 25 a^{7} + 28 a^{6} + 22 a^{5} + 16 a^{4} + 30 a^{3} + 11 a^{2} + 21 a + 10\right)\cdot 31^{4} + \left(16 a^{9} + 18 a^{8} + 20 a^{7} + 4 a^{6} + 17 a^{5} + 9 a^{4} + 8 a^{3} + 23 a^{2} + 14 a + 16\right)\cdot 31^{5} + \left(25 a^{9} + 18 a^{8} + 24 a^{7} + 20 a^{6} + 21 a^{5} + 4 a^{4} + 3 a^{3} + 22 a^{2} + 12 a + 25\right)\cdot 31^{6} + \left(7 a^{9} + 12 a^{8} + 28 a^{7} + 10 a^{6} + 23 a^{5} + 7 a^{4} + 11 a^{3} + 15 a^{2} + 14 a + 15\right)\cdot 31^{7} + \left(12 a^{9} + a^{8} + 14 a^{7} + 23 a^{6} + 28 a^{5} + 11 a^{4} + 8 a^{3} + 23 a^{2} + 4 a + 24\right)\cdot 31^{8} + \left(20 a^{9} + 18 a^{8} + 7 a^{7} + 20 a^{6} + 27 a^{5} + 8 a^{4} + a^{3} + 19 a^{2} + 2 a + 18\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})$$ $r_{ 23 }$ $=$ $$29 a^{9} + 7 a^{8} + 13 a^{7} + 14 a^{6} + 14 a^{5} + 24 a^{4} + 2 a^{3} + 18 a^{2} + 18 a + 29 + \left(25 a^{9} + 2 a^{8} + 8 a^{7} + 2 a^{6} + 30 a^{5} + 22 a^{4} + 22 a^{3} + 19 a^{2} + 13 a + 3\right)\cdot 31 + \left(20 a^{9} + 10 a^{8} + 29 a^{7} + 10 a^{5} + 14 a^{4} + 17 a^{3} + 11 a^{2} + 14 a + 8\right)\cdot 31^{2} + \left(14 a^{9} + 20 a^{7} + 26 a^{6} + 25 a^{5} + 24 a^{4} + 20 a^{3} + 22 a + 19\right)\cdot 31^{3} + \left(26 a^{9} + 25 a^{8} + 18 a^{7} + 6 a^{6} + 10 a^{5} + 14 a^{4} + 27 a^{3} + 19 a^{2} + 4 a + 30\right)\cdot 31^{4} + \left(9 a^{9} + 9 a^{8} + 10 a^{7} + 2 a^{6} + 16 a^{5} + 25 a^{4} + 6 a^{3} + 30 a^{2} + 3 a + 10\right)\cdot 31^{5} + \left(4 a^{9} + 22 a^{8} + 8 a^{7} + 7 a^{6} + 25 a^{5} + 5 a^{4} + 16 a^{3} + 13 a^{2} + 12 a + 15\right)\cdot 31^{6} + \left(4 a^{9} + 13 a^{8} + 19 a^{7} + 17 a^{6} + 8 a^{5} + 14 a^{4} + 15 a^{3} + 20 a^{2} + 13 a + 3\right)\cdot 31^{7} + \left(28 a^{9} + 29 a^{8} + 20 a^{7} + 10 a^{6} + 7 a^{5} + 10 a^{4} + 3 a^{3} + 29 a^{2} + 14 a + 4\right)\cdot 31^{8} + \left(13 a^{9} + 17 a^{8} + 18 a^{7} + 4 a^{6} + 25 a^{5} + 24 a^{4} + 6 a^{3} + 28 a^{2} + 6 a + 23\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})$$ $r_{ 24 }$ $=$ $$5 a^{9} + 15 a^{8} + 10 a^{7} + 24 a^{6} + 25 a^{5} + 13 a^{4} + 14 a^{3} + 11 a^{2} + 7 a + 17 + \left(22 a^{9} + 29 a^{8} + 30 a^{6} + 30 a^{5} + 20 a^{4} + 25 a^{3} + 17 a^{2} + 3 a + 24\right)\cdot 31 + \left(4 a^{9} + 26 a^{8} + 30 a^{7} + 3 a^{6} + 15 a^{5} + 10 a^{4} + 5 a^{3} + 22 a^{2} + 15 a + 29\right)\cdot 31^{2} + \left(23 a^{9} + 14 a^{8} + 18 a^{7} + 27 a^{6} + 21 a^{5} + 22 a^{4} + 30 a^{3} + 6 a^{2} + 30 a + 6\right)\cdot 31^{3} + \left(a^{9} + 4 a^{8} + 7 a^{7} + 4 a^{5} + 13 a^{4} + 16 a^{3} + 2 a^{2} + 28 a + 24\right)\cdot 31^{4} + \left(30 a^{9} + 7 a^{8} + 6 a^{7} + a^{6} + 27 a^{5} + 27 a^{4} + 26 a^{3} + a^{2} + 6 a + 23\right)\cdot 31^{5} + \left(10 a^{9} + 4 a^{8} + 4 a^{7} + 7 a^{6} + 15 a^{5} + 22 a^{4} + 7 a^{3} + 16 a^{2} + 6 a + 27\right)\cdot 31^{6} + \left(21 a^{9} + 25 a^{8} + 27 a^{7} + 24 a^{6} + 22 a^{5} + 15 a^{4} + 26 a^{3} + a^{2} + 4 a + 10\right)\cdot 31^{7} + \left(27 a^{9} + 28 a^{8} + 27 a^{7} + 21 a^{6} + 9 a^{5} + 27 a^{4} + 29 a^{3} + 18 a^{2} + 16 a + 13\right)\cdot 31^{8} + \left(30 a^{9} + 28 a^{8} + 2 a^{6} + 4 a^{5} + 16 a^{4} + 11 a^{2} + 15 a + 9\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})$$

## Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 24 }$

 Cycle notation $(1,3)(2,4)(5,19)(6,23)(7,14)(8,21)(9,16)(10,24)(11,20)(12,15)(13,22)(17,18)$ $(5,20)(6,16)(7,8)(9,23)(10,24)(11,19)(12,18)(13,22)(14,21)(15,17)$ $(1,5,24,3,19,10)(2,18,22,4,17,13)(6,8,15,23,21,12)(7,9,20,14,16,11)$ $(1,2,3,4)(5,18,19,17)(6,7,23,14)(8,9,21,16)(10,13,24,22)(11,15,20,12)$

## Character values on conjugacy classes

 Size Order Action on $r_1, \ldots, r_{ 24 }$ Character value $1$ $1$ $()$ $2$ $1$ $2$ $(1,3)(2,4)(5,19)(6,23)(7,14)(8,21)(9,16)(10,24)(11,20)(12,15)(13,22)(17,18)$ $-2$ $30$ $2$ $(1,9)(2,21)(3,16)(4,8)(5,19)(6,11)(7,15)(12,14)(17,18)(20,23)$ $0$ $20$ $3$ $(1,24,19)(2,22,17)(3,10,5)(4,13,18)(6,15,21)(7,20,16)(8,23,12)(9,14,11)$ $-1$ $1$ $4$ $(1,2,3,4)(5,18,19,17)(6,7,23,14)(8,9,21,16)(10,13,24,22)(11,15,20,12)$ $2 \zeta_{20}^{5}$ $1$ $4$ $(1,4,3,2)(5,17,19,18)(6,14,23,7)(8,16,21,9)(10,22,24,13)(11,12,20,15)$ $-2 \zeta_{20}^{5}$ $30$ $4$ $(1,2,3,4)(5,12,19,15)(6,8,23,21)(7,9,14,16)(10,22,24,13)(11,17,20,18)$ $0$ $12$ $5$ $(1,13,19,8,15)(2,24,17,9,20)(3,22,5,21,12)(4,10,18,16,11)$ $-\zeta_{20}^{6} + \zeta_{20}^{4}$ $12$ $5$ $(1,8,13,15,19)(2,9,24,20,17)(3,21,22,12,5)(4,16,10,11,18)$ $\zeta_{20}^{6} - \zeta_{20}^{4} - 1$ $20$ $6$ $(1,5,24,3,19,10)(2,18,22,4,17,13)(6,8,15,23,21,12)(7,9,20,14,16,11)$ $1$ $12$ $10$ $(1,21,13,12,19,3,8,22,15,5)(2,16,24,11,17,4,9,10,20,18)(6,23)(7,14)$ $-\zeta_{20}^{6} + \zeta_{20}^{4} + 1$ $12$ $10$ $(1,12,8,5,13,3,15,21,19,22)(2,11,9,18,24,4,20,16,17,10)(6,23)(7,14)$ $\zeta_{20}^{6} - \zeta_{20}^{4}$ $20$ $12$ $(1,18,10,2,19,13,3,17,24,4,5,22)(6,9,12,7,21,11,23,16,15,14,8,20)$ $\zeta_{20}^{5}$ $20$ $12$ $(1,17,10,4,19,22,3,18,24,2,5,13)(6,16,12,14,21,20,23,9,15,7,8,11)$ $-\zeta_{20}^{5}$ $12$ $20$ $(1,20,21,18,13,2,12,16,19,24,3,11,8,17,22,4,15,9,5,10)(6,7,23,14)$ $\zeta_{20}^{7} - \zeta_{20}^{5} + \zeta_{20}^{3}$ $12$ $20$ $(1,18,12,24,8,4,5,20,13,16,3,17,15,10,21,2,19,11,22,9)(6,14,23,7)$ $\zeta_{20}^{7} + \zeta_{20}^{3}$ $12$ $20$ $(1,11,21,17,13,4,12,9,19,10,3,20,8,18,22,2,15,16,5,24)(6,14,23,7)$ $-\zeta_{20}^{7} + \zeta_{20}^{5} - \zeta_{20}^{3}$ $12$ $20$ $(1,16,17,7,24,2,8,5,23,22,3,9,18,14,10,4,21,19,6,13)(11,15,20,12)$ $-\zeta_{20}^{7} - \zeta_{20}^{3}$

The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.