LMFDB - Artin representation 2.3775.120.b.c

Basic invariants

Dimension:	$2$
Group:	24T576
Conductor:	$3775$$\medspace = 5^{2} \cdot 151 $
Artin stem field:	Galois closure of 24.4.940350029043078386535797119140625.2
Galois orbit size:	$4$
Smallest permutation container:	120
Parity:	odd
Determinant:	1.151.2t1.a.a
Projective image:	$A_5$
Projective stem field:	Galois closure of 5.1.570025.1

Defining polynomial

$f(x)$

$=$

$ x^{24} - 2 x^{23} + 6 x^{22} - 5 x^{21} + 11 x^{20} - 17 x^{19} + 2 x^{18} - 34 x^{17} - 139 x^{16} + \cdots + 173 $

The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 31 }$ to precision 10.

Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 31 }$: $ x^{10} + 30x^{5} + 26x^{4} + 13x^{3} + 13x^{2} + 13x + 3 $ x^10 + 30*x^5 + 26*x^4 + 13*x^3 + 13*x^2 + 13*x + 3

Roots:

$r_{ 1 }$	$=$	\( 16 a^{9} + 15 a^{8} + 2 a^{7} + 26 a^{6} + 9 a^{5} + 25 a^{4} + 30 a^{3} + 29 a^{2} + 9 a + 23 + \left(2 a^{9} + 8 a^{8} + 24 a^{7} + 6 a^{6} + 24 a^{5} + 28 a^{4} + 12 a^{3} + 15 a^{2} + a + 21\right)\cdot 31 + \left(7 a^{9} + 17 a^{8} + 21 a^{7} + 17 a^{6} + 18 a^{5} + 14 a^{4} + 18 a^{3} + 9 a^{2} + 15 a + 10\right)\cdot 31^{2} + \left(15 a^{9} + a^{7} + 27 a^{6} + 29 a^{5} + 3 a^{4} + 24 a^{3} + 12 a^{2} + 19 a + 5\right)\cdot 31^{3} + \left(16 a^{9} + 29 a^{8} + 24 a^{7} + a^{6} + 20 a^{5} + a^{4} + 7 a^{3} + 21 a^{2} + 27 a + 11\right)\cdot 31^{4} + \left(20 a^{9} + a^{8} + 12 a^{7} + 26 a^{6} + 28 a^{5} + 7 a^{4} + 27 a^{3} + 5 a^{2} + 20\right)\cdot 31^{5} + \left(15 a^{9} + 25 a^{8} + 14 a^{7} + 24 a^{6} + 29 a^{5} + 5 a^{4} + 5 a^{3} + 14 a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 31^{6} + \left(22 a^{9} + 23 a^{8} + 21 a^{7} + 8 a^{6} + 11 a^{5} + 6 a^{4} + 20 a^{2} + 12\right)\cdot 31^{7} + \left(27 a^{9} + 24 a^{8} + 5 a^{7} + 19 a^{5} + 12 a^{4} + 17 a^{3} + 25 a^{2} + 23 a + 22\right)\cdot 31^{8} + \left(6 a^{9} + 19 a^{8} + 28 a^{7} + 12 a^{5} + 28 a^{4} + 2 a^{3} + 16 a^{2} + 7 a + 8\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\) 16a^9 + 15a^8 + 2a^7 + 26a^6 + 9a^5 + 25a^4 + 30a^3 + 29a^2 + 9a + 23 + (2a^9 + 8a^8 + 24a^7 + 6a^6 + 24a^5 + 28a^4 + 12a^3 + 15a^2 + a + 21)31 + (7a^9 + 17a^8 + 21a^7 + 17a^6 + 18a^5 + 14a^4 + 18a^3 + 9a^2 + 15a + 10)31^2 + (15a^9 + a^7 + 27a^6 + 29a^5 + 3a^4 + 24a^3 + 12a^2 + 19a + 5)31^3 + (16a^9 + 29a^8 + 24a^7 + a^6 + 20a^5 + a^4 + 7a^3 + 21a^2 + 27a + 11)31^4 + (20a^9 + a^8 + 12a^7 + 26a^6 + 28a^5 + 7a^4 + 27a^3 + 5a^2 + 20)31^5 + (15a^9 + 25a^8 + 14a^7 + 24a^6 + 29a^5 + 5a^4 + 5a^3 + 14a^2 + 9a + 7)31^6 + (22a^9 + 23a^8 + 21a^7 + 8a^6 + 11a^5 + 6a^4 + 20a^2 + 12)31^7 + (27a^9 + 24a^8 + 5a^7 + 19a^5 + 12a^4 + 17a^3 + 25a^2 + 23a + 22)31^8 + (6a^9 + 19a^8 + 28a^7 + 12a^5 + 28a^4 + 2a^3 + 16a^2 + 7a + 8)31^9+O(31^10)
$r_{ 2 }$	$=$	\( 7 a^{9} + 24 a^{8} + 28 a^{7} + 23 a^{6} + 2 a^{5} + 9 a^{4} + 17 a^{3} + 3 a^{2} + 2 a + 19 + \left(18 a^{9} + 11 a^{8} + 20 a^{7} + 17 a^{6} + 3 a^{5} + 18 a^{4} + 29 a^{3} + 12 a^{2} + 22 a + 25\right)\cdot 31 + \left(9 a^{9} + 19 a^{8} + 28 a^{7} + 17 a^{6} + 16 a^{5} + 21 a^{4} + 10 a^{3} + 10 a^{2} + a + 26\right)\cdot 31^{2} + \left(22 a^{9} + 26 a^{8} + 21 a^{7} + 6 a^{6} + 4 a^{5} + 20 a^{4} + a^{3} + 30 a^{2} + 19 a + 28\right)\cdot 31^{3} + \left(17 a^{9} + a^{8} + 6 a^{7} + 5 a^{6} + 2 a^{5} + 13 a^{4} + 24 a^{3} + 15 a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 31^{4} + \left(7 a^{9} + 9 a^{8} + 14 a^{7} + 26 a^{6} + 4 a^{5} + 19 a^{4} + 29 a^{2} + 19 a + 30\right)\cdot 31^{5} + \left(12 a^{9} + 3 a^{8} + 25 a^{7} + 17 a^{6} + a^{5} + 28 a^{4} + 26 a^{3} + 12 a^{2} + 7 a + 27\right)\cdot 31^{6} + \left(28 a^{9} + 27 a^{8} + 9 a^{7} + 27 a^{6} + 7 a^{5} + 6 a^{4} + 7 a^{3} + 10 a^{2} + 13 a + 20\right)\cdot 31^{7} + \left(17 a^{9} + 5 a^{8} + 13 a^{7} + 16 a^{6} + 10 a^{5} + 9 a^{4} + 23 a^{3} + 14 a^{2} + 11\right)\cdot 31^{8} + \left(30 a^{9} + 3 a^{8} + 10 a^{7} + 3 a^{6} + 7 a^{5} + 25 a^{4} + 4 a^{3} + 20 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\) 7a^9 + 24a^8 + 28a^7 + 23a^6 + 2a^5 + 9a^4 + 17a^3 + 3a^2 + 2a + 19 + (18a^9 + 11a^8 + 20a^7 + 17a^6 + 3a^5 + 18a^4 + 29a^3 + 12a^2 + 22a + 25)31 + (9a^9 + 19a^8 + 28a^7 + 17a^6 + 16a^5 + 21a^4 + 10a^3 + 10a^2 + a + 26)31^2 + (22a^9 + 26a^8 + 21a^7 + 6a^6 + 4a^5 + 20a^4 + a^3 + 30a^2 + 19a + 28)31^3 + (17a^9 + a^8 + 6a^7 + 5a^6 + 2a^5 + 13a^4 + 24a^3 + 15a^2 + 8a + 8)31^4 + (7a^9 + 9a^8 + 14a^7 + 26a^6 + 4a^5 + 19a^4 + 29a^2 + 19a + 30)31^5 + (12a^9 + 3a^8 + 25a^7 + 17a^6 + a^5 + 28a^4 + 26a^3 + 12a^2 + 7a + 27)31^6 + (28a^9 + 27a^8 + 9a^7 + 27a^6 + 7a^5 + 6a^4 + 7a^3 + 10a^2 + 13a + 20)31^7 + (17a^9 + 5a^8 + 13a^7 + 16a^6 + 10a^5 + 9a^4 + 23a^3 + 14a^2 + 11)31^8 + (30a^9 + 3a^8 + 10a^7 + 3a^6 + 7a^5 + 25a^4 + 4a^3 + 20a^2 + 7a + 6)*31^9+O(31^10)
$r_{ 3 }$	$=$	\( 15 a^{9} + 16 a^{8} + 29 a^{7} + 5 a^{6} + 22 a^{5} + 6 a^{4} + a^{3} + 2 a^{2} + 22 a + 17 + \left(28 a^{9} + 22 a^{8} + 6 a^{7} + 24 a^{6} + 6 a^{5} + 2 a^{4} + 18 a^{3} + 15 a^{2} + 29 a + 24\right)\cdot 31 + \left(23 a^{9} + 13 a^{8} + 9 a^{7} + 13 a^{6} + 12 a^{5} + 16 a^{4} + 12 a^{3} + 21 a^{2} + 15 a + 9\right)\cdot 31^{2} + \left(15 a^{9} + 30 a^{8} + 29 a^{7} + 3 a^{6} + a^{5} + 27 a^{4} + 6 a^{3} + 18 a^{2} + 11 a + 22\right)\cdot 31^{3} + \left(14 a^{9} + a^{8} + 6 a^{7} + 29 a^{6} + 10 a^{5} + 29 a^{4} + 23 a^{3} + 9 a^{2} + 3 a + 16\right)\cdot 31^{4} + \left(10 a^{9} + 29 a^{8} + 18 a^{7} + 4 a^{6} + 2 a^{5} + 23 a^{4} + 3 a^{3} + 25 a^{2} + 30 a + 5\right)\cdot 31^{5} + \left(15 a^{9} + 5 a^{8} + 16 a^{7} + 6 a^{6} + a^{5} + 25 a^{4} + 25 a^{3} + 16 a^{2} + 21 a + 18\right)\cdot 31^{6} + \left(8 a^{9} + 7 a^{8} + 9 a^{7} + 22 a^{6} + 19 a^{5} + 24 a^{4} + 30 a^{3} + 10 a^{2} + 30 a + 24\right)\cdot 31^{7} + \left(3 a^{9} + 6 a^{8} + 25 a^{7} + 30 a^{6} + 11 a^{5} + 18 a^{4} + 13 a^{3} + 5 a^{2} + 7 a + 5\right)\cdot 31^{8} + \left(24 a^{9} + 11 a^{8} + 2 a^{7} + 30 a^{6} + 18 a^{5} + 2 a^{4} + 28 a^{3} + 14 a^{2} + 23 a + 19\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\) 15a^9 + 16a^8 + 29a^7 + 5a^6 + 22a^5 + 6a^4 + a^3 + 2a^2 + 22a + 17 + (28a^9 + 22a^8 + 6a^7 + 24a^6 + 6a^5 + 2a^4 + 18a^3 + 15a^2 + 29a + 24)31 + (23a^9 + 13a^8 + 9a^7 + 13a^6 + 12a^5 + 16a^4 + 12a^3 + 21a^2 + 15a + 9)31^2 + (15a^9 + 30a^8 + 29a^7 + 3a^6 + a^5 + 27a^4 + 6a^3 + 18a^2 + 11a + 22)31^3 + (14a^9 + a^8 + 6a^7 + 29a^6 + 10a^5 + 29a^4 + 23a^3 + 9a^2 + 3a + 16)31^4 + (10a^9 + 29a^8 + 18a^7 + 4a^6 + 2a^5 + 23a^4 + 3a^3 + 25a^2 + 30a + 5)31^5 + (15a^9 + 5a^8 + 16a^7 + 6a^6 + a^5 + 25a^4 + 25a^3 + 16a^2 + 21a + 18)31^6 + (8a^9 + 7a^8 + 9a^7 + 22a^6 + 19a^5 + 24a^4 + 30a^3 + 10a^2 + 30a + 24)31^7 + (3a^9 + 6a^8 + 25a^7 + 30a^6 + 11a^5 + 18a^4 + 13a^3 + 5a^2 + 7a + 5)31^8 + (24a^9 + 11a^8 + 2a^7 + 30a^6 + 18a^5 + 2a^4 + 28a^3 + 14a^2 + 23a + 19)*31^9+O(31^10)
$r_{ 4 }$	$=$	\( 24 a^{9} + 7 a^{8} + 3 a^{7} + 8 a^{6} + 29 a^{5} + 22 a^{4} + 14 a^{3} + 28 a^{2} + 29 a + 28 + \left(12 a^{9} + 19 a^{8} + 10 a^{7} + 13 a^{6} + 27 a^{5} + 12 a^{4} + a^{3} + 18 a^{2} + 8 a + 20\right)\cdot 31 + \left(21 a^{9} + 11 a^{8} + 2 a^{7} + 13 a^{6} + 14 a^{5} + 9 a^{4} + 20 a^{3} + 20 a^{2} + 29 a + 28\right)\cdot 31^{2} + \left(8 a^{9} + 4 a^{8} + 9 a^{7} + 24 a^{6} + 26 a^{5} + 10 a^{4} + 29 a^{3} + 11 a + 23\right)\cdot 31^{3} + \left(13 a^{9} + 29 a^{8} + 24 a^{7} + 25 a^{6} + 28 a^{5} + 17 a^{4} + 6 a^{3} + 15 a^{2} + 22 a + 18\right)\cdot 31^{4} + \left(23 a^{9} + 21 a^{8} + 16 a^{7} + 4 a^{6} + 26 a^{5} + 11 a^{4} + 30 a^{3} + a^{2} + 11 a + 23\right)\cdot 31^{5} + \left(18 a^{9} + 27 a^{8} + 5 a^{7} + 13 a^{6} + 29 a^{5} + 2 a^{4} + 4 a^{3} + 18 a^{2} + 23 a + 7\right)\cdot 31^{6} + \left(2 a^{9} + 3 a^{8} + 21 a^{7} + 3 a^{6} + 23 a^{5} + 24 a^{4} + 23 a^{3} + 20 a^{2} + 17 a + 16\right)\cdot 31^{7} + \left(13 a^{9} + 25 a^{8} + 17 a^{7} + 14 a^{6} + 20 a^{5} + 21 a^{4} + 7 a^{3} + 16 a^{2} + 30 a + 18\right)\cdot 31^{8} + \left(27 a^{8} + 20 a^{7} + 27 a^{6} + 23 a^{5} + 5 a^{4} + 26 a^{3} + 10 a^{2} + 23 a + 18\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\) 24a^9 + 7a^8 + 3a^7 + 8a^6 + 29a^5 + 22a^4 + 14a^3 + 28a^2 + 29a + 28 + (12a^9 + 19a^8 + 10a^7 + 13a^6 + 27a^5 + 12a^4 + a^3 + 18a^2 + 8a + 20)31 + (21a^9 + 11a^8 + 2a^7 + 13a^6 + 14a^5 + 9a^4 + 20a^3 + 20a^2 + 29a + 28)31^2 + (8a^9 + 4a^8 + 9a^7 + 24a^6 + 26a^5 + 10a^4 + 29a^3 + 11a + 23)31^3 + (13a^9 + 29a^8 + 24a^7 + 25a^6 + 28a^5 + 17a^4 + 6a^3 + 15a^2 + 22a + 18)31^4 + (23a^9 + 21a^8 + 16a^7 + 4a^6 + 26a^5 + 11a^4 + 30a^3 + a^2 + 11a + 23)31^5 + (18a^9 + 27a^8 + 5a^7 + 13a^6 + 29a^5 + 2a^4 + 4a^3 + 18a^2 + 23a + 7)31^6 + (2a^9 + 3a^8 + 21a^7 + 3a^6 + 23a^5 + 24a^4 + 23a^3 + 20a^2 + 17a + 16)31^7 + (13a^9 + 25a^8 + 17a^7 + 14a^6 + 20a^5 + 21a^4 + 7a^3 + 16a^2 + 30a + 18)31^8 + (27a^8 + 20a^7 + 27a^6 + 23a^5 + 5a^4 + 26a^3 + 10a^2 + 23a + 18)*31^9+O(31^10)
$r_{ 5 }$	$=$	\( 26 a^{9} + 10 a^{8} + 30 a^{7} + 12 a^{6} + 6 a^{5} + 26 a^{3} + 23 a^{2} + 19 a + 29 + \left(20 a^{9} + 16 a^{8} + 30 a^{7} + 2 a^{6} + 3 a^{5} + 14 a^{4} + 13 a^{3} + 15 a^{2} + 16 a + 3\right)\cdot 31 + \left(3 a^{9} + 16 a^{8} + 17 a^{7} + 11 a^{6} + 6 a^{5} + 26 a^{4} + 5 a^{3} + 26 a^{2} + 19 a + 13\right)\cdot 31^{2} + \left(a^{9} + 13 a^{8} + 11 a^{7} + 24 a^{6} + 26 a^{5} + 24 a^{4} + 9 a^{3} + 19 a^{2} + 6 a + 17\right)\cdot 31^{3} + \left(17 a^{9} + 27 a^{8} + 19 a^{7} + 4 a^{6} + 12 a^{5} + 29 a^{4} + 17 a^{3} + 18 a^{2} + 7 a\right)\cdot 31^{4} + \left(14 a^{9} + 14 a^{8} + 20 a^{7} + 8 a^{6} + 28 a^{5} + 8 a^{4} + 15 a^{3} + 9 a^{2} + 15 a + 4\right)\cdot 31^{5} + \left(21 a^{9} + 7 a^{8} + 29 a^{7} + 25 a^{6} + 5 a^{5} + 23 a^{4} + 29 a^{3} + 30 a^{2} + 2 a + 24\right)\cdot 31^{6} + \left(28 a^{9} + 27 a^{8} + 2 a^{7} + 4 a^{6} + 14 a^{5} + 5 a^{4} + 3 a^{3} + 27 a^{2} + 20 a + 22\right)\cdot 31^{7} + \left(16 a^{9} + 23 a^{8} + 29 a^{7} + 20 a^{6} + 9 a^{5} + 2 a^{4} + 6 a^{3} + 12 a^{2} + 17 a\right)\cdot 31^{8} + \left(15 a^{9} + 12 a^{8} + 2 a^{6} + 8 a^{5} + 17 a^{4} + a^{3} + a^{2} + 24 a + 25\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\) 26a^9 + 10a^8 + 30a^7 + 12a^6 + 6a^5 + 26a^3 + 23a^2 + 19a + 29 + (20a^9 + 16a^8 + 30a^7 + 2a^6 + 3a^5 + 14a^4 + 13a^3 + 15a^2 + 16a + 3)31 + (3a^9 + 16a^8 + 17a^7 + 11a^6 + 6a^5 + 26a^4 + 5a^3 + 26a^2 + 19a + 13)31^2 + (a^9 + 13a^8 + 11a^7 + 24a^6 + 26a^5 + 24a^4 + 9a^3 + 19a^2 + 6a + 17)31^3 + (17a^9 + 27a^8 + 19a^7 + 4a^6 + 12a^5 + 29a^4 + 17a^3 + 18a^2 + 7a)31^4 + (14a^9 + 14a^8 + 20a^7 + 8a^6 + 28a^5 + 8a^4 + 15a^3 + 9a^2 + 15a + 4)31^5 + (21a^9 + 7a^8 + 29a^7 + 25a^6 + 5a^5 + 23a^4 + 29a^3 + 30a^2 + 2a + 24)31^6 + (28a^9 + 27a^8 + 2a^7 + 4a^6 + 14a^5 + 5a^4 + 3a^3 + 27a^2 + 20a + 22)31^7 + (16a^9 + 23a^8 + 29a^7 + 20a^6 + 9a^5 + 2a^4 + 6a^3 + 12a^2 + 17a)31^8 + (15a^9 + 12a^8 + 2a^6 + 8a^5 + 17a^4 + a^3 + a^2 + 24a + 25)31^9+O(31^10)
$r_{ 6 }$	$=$	\( 21 a^{9} + 20 a^{8} + 3 a^{7} + 24 a^{6} + 6 a^{5} + 16 a^{4} + 12 a^{3} + 11 a^{2} + 27 a + 28 + \left(19 a^{9} + 12 a^{8} + 8 a^{7} + 6 a^{6} + 3 a^{5} + 13 a^{4} + 28 a^{2} + 12 a + 10\right)\cdot 31 + \left(12 a^{9} + 3 a^{8} + 27 a^{7} + 29 a^{6} + 6 a^{5} + 14 a^{4} + 14 a^{3} + 17 a^{2} + 6 a + 1\right)\cdot 31^{2} + \left(11 a^{9} + 25 a^{8} + a^{7} + 22 a^{6} + 13 a^{5} + 15 a^{4} + 21 a^{3} + a^{2} + 2 a + 15\right)\cdot 31^{3} + \left(15 a^{9} + 3 a^{8} + 14 a^{7} + 21 a^{6} + 15 a^{5} + 18 a^{4} + 7 a^{3} + 15 a^{2} + 30 a + 23\right)\cdot 31^{4} + \left(3 a^{9} + 21 a^{8} + 6 a^{7} + 27 a^{6} + 17 a^{5} + 20 a^{4} + 16 a^{3} + 24 a^{2} + a + 12\right)\cdot 31^{5} + \left(13 a^{9} + 13 a^{8} + 2 a^{7} + 9 a^{6} + 18 a^{5} + 18 a^{4} + 7 a^{3} + 30 a^{2} + 9 a + 11\right)\cdot 31^{6} + \left(23 a^{9} + 3 a^{8} + 23 a^{7} + 2 a^{5} + 18 a^{4} + 3 a^{3} + 18 a^{2} + 20 a + 7\right)\cdot 31^{7} + \left(18 a^{9} + 17 a^{8} + 5 a^{7} + 20 a^{6} + 17 a^{5} + 17 a^{4} + 15 a^{3} + 8 a^{2} + 27 a + 18\right)\cdot 31^{8} + \left(5 a^{9} + 23 a^{8} + 30 a^{7} + 14 a^{6} + 7 a^{5} + 10 a^{4} + 8 a^{3} + 22 a^{2} + 12 a + 15\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\) 21a^9 + 20a^8 + 3a^7 + 24a^6 + 6a^5 + 16a^4 + 12a^3 + 11a^2 + 27a + 28 + (19a^9 + 12a^8 + 8a^7 + 6a^6 + 3a^5 + 13a^4 + 28a^2 + 12a + 10)31 + (12a^9 + 3a^8 + 27a^7 + 29a^6 + 6a^5 + 14a^4 + 14a^3 + 17a^2 + 6a + 1)31^2 + (11a^9 + 25a^8 + a^7 + 22a^6 + 13a^5 + 15a^4 + 21a^3 + a^2 + 2a + 15)31^3 + (15a^9 + 3a^8 + 14a^7 + 21a^6 + 15a^5 + 18a^4 + 7a^3 + 15a^2 + 30a + 23)31^4 + (3a^9 + 21a^8 + 6a^7 + 27a^6 + 17a^5 + 20a^4 + 16a^3 + 24a^2 + a + 12)31^5 + (13a^9 + 13a^8 + 2a^7 + 9a^6 + 18a^5 + 18a^4 + 7a^3 + 30a^2 + 9a + 11)31^6 + (23a^9 + 3a^8 + 23a^7 + 2a^5 + 18a^4 + 3a^3 + 18a^2 + 20a + 7)31^7 + (18a^9 + 17a^8 + 5a^7 + 20a^6 + 17a^5 + 17a^4 + 15a^3 + 8a^2 + 27a + 18)31^8 + (5a^9 + 23a^8 + 30a^7 + 14a^6 + 7a^5 + 10a^4 + 8a^3 + 22a^2 + 12a + 15)31^9+O(31^10)
$r_{ 7 }$	$=$	\( 17 a^{9} + 4 a^{8} + 22 a^{7} + 4 a^{6} + 11 a^{5} + 13 a^{4} + 7 a^{3} + 24 a^{2} + 9 a + 27 + \left(4 a^{9} + 20 a^{8} + 20 a^{7} + 14 a^{6} + 6 a^{5} + 21 a^{4} + 14 a^{3} + 20 a^{2} + 11 a + 11\right)\cdot 31 + \left(12 a^{9} + 27 a^{8} + 3 a^{7} + 3 a^{6} + 7 a^{5} + 23 a^{4} + 9 a^{3} + 28 a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 31^{2} + \left(22 a^{9} + 30 a^{8} + 9 a^{7} + 2 a^{6} + 6 a^{5} + 9 a^{4} + 7 a^{3} + 15 a^{2} + 27 a + 29\right)\cdot 31^{3} + \left(2 a^{9} + 5 a^{8} + a^{7} + 16 a^{5} + 9 a^{4} + 26 a^{3} + a^{2} + 4 a + 29\right)\cdot 31^{4} + \left(20 a^{9} + 21 a^{8} + 9 a^{7} + 4 a^{6} + 19 a^{5} + 30 a^{4} + 28 a^{3} + 17 a^{2} + 29 a + 19\right)\cdot 31^{5} + \left(5 a^{8} + 9 a^{7} + 21 a^{6} + 12 a^{5} + 28 a^{4} + 3 a^{3} + 15 a^{2} + 16 a + 15\right)\cdot 31^{6} + \left(16 a^{9} + 22 a^{8} + 4 a^{7} + 19 a^{6} + 9 a^{5} + 10 a^{4} + 30 a^{3} + 3 a^{2} + 5 a\right)\cdot 31^{7} + \left(13 a^{9} + 14 a^{8} + 23 a^{7} + 4 a^{6} + 2 a^{5} + 7 a^{4} + 26 a^{3} + 28 a^{2} + 28 a + 23\right)\cdot 31^{8} + \left(7 a^{9} + 16 a^{8} + 7 a^{7} + 21 a^{6} + 14 a^{5} + 15 a^{4} + 15 a^{3} + 20 a^{2} + 16 a + 2\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\) 17a^9 + 4a^8 + 22a^7 + 4a^6 + 11a^5 + 13a^4 + 7a^3 + 24a^2 + 9a + 27 + (4a^9 + 20a^8 + 20a^7 + 14a^6 + 6a^5 + 21a^4 + 14a^3 + 20a^2 + 11a + 11)31 + (12a^9 + 27a^8 + 3a^7 + 3a^6 + 7a^5 + 23a^4 + 9a^3 + 28a^2 + 4a + 1)31^2 + (22a^9 + 30a^8 + 9a^7 + 2a^6 + 6a^5 + 9a^4 + 7a^3 + 15a^2 + 27a + 29)31^3 + (2a^9 + 5a^8 + a^7 + 16a^5 + 9a^4 + 26a^3 + a^2 + 4a + 29)31^4 + (20a^9 + 21a^8 + 9a^7 + 4a^6 + 19a^5 + 30a^4 + 28a^3 + 17a^2 + 29a + 19)31^5 + (5a^8 + 9a^7 + 21a^6 + 12a^5 + 28a^4 + 3a^3 + 15a^2 + 16a + 15)31^6 + (16a^9 + 22a^8 + 4a^7 + 19a^6 + 9a^5 + 10a^4 + 30a^3 + 3a^2 + 5a)31^7 + (13a^9 + 14a^8 + 23a^7 + 4a^6 + 2a^5 + 7a^4 + 26a^3 + 28a^2 + 28a + 23)31^8 + (7a^9 + 16a^8 + 7a^7 + 21a^6 + 14a^5 + 15a^4 + 15a^3 + 20a^2 + 16a + 2)*31^9+O(31^10)
$r_{ 8 }$	$=$	\( 11 a^{9} + 25 a^{8} + 25 a^{7} + 15 a^{6} + 19 a^{5} + 18 a^{4} + 12 a^{3} + 8 a^{2} + 18 a + 26 + \left(15 a^{9} + 27 a^{8} + 9 a^{7} + 27 a^{6} + 19 a^{5} + 20 a^{4} + 28 a^{3} + 2 a^{2} + 20\right)\cdot 31 + \left(5 a^{9} + 28 a^{8} + a^{7} + 4 a^{6} + 28 a^{5} + 4 a^{4} + 22 a^{3} + 26 a^{2} + 17 a + 4\right)\cdot 31^{2} + \left(7 a^{9} + 18 a^{8} + 21 a^{6} + 20 a^{5} + 12 a^{3} + 5 a^{2} + 10 a + 25\right)\cdot 31^{3} + \left(9 a^{9} + 23 a^{8} + 14 a^{7} + 24 a^{6} + 12 a^{5} + 15 a^{4} + 11 a^{3} + 5 a^{2} + 15 a + 16\right)\cdot 31^{4} + \left(20 a^{9} + 12 a^{8} + 24 a^{7} + 17 a^{6} + 17 a^{5} + 29 a^{4} + 29 a^{3} + 18 a^{2} + 26 a + 13\right)\cdot 31^{5} + \left(26 a^{9} + 10 a^{8} + 28 a^{7} + 27 a^{6} + 26 a^{5} + 25 a^{4} + 16 a^{2} + 12 a\right)\cdot 31^{6} + \left(6 a^{9} + 24 a^{8} + 14 a^{7} + 22 a^{6} + 8 a^{5} + 21 a^{4} + 19 a^{3} + 22 a^{2} + 13 a + 17\right)\cdot 31^{7} + \left(29 a^{9} + 16 a^{8} + 26 a^{7} + a^{6} + 6 a^{5} + 19 a^{4} + 26 a^{3} + 24 a^{2} + 15 a + 3\right)\cdot 31^{8} + \left(22 a^{9} + 10 a^{8} + 7 a^{7} + 6 a^{6} + 13 a^{5} + 25 a^{4} + 8 a^{3} + 21 a^{2} + 11 a + 5\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\) 11a^9 + 25a^8 + 25a^7 + 15a^6 + 19a^5 + 18a^4 + 12a^3 + 8a^2 + 18a + 26 + (15a^9 + 27a^8 + 9a^7 + 27a^6 + 19a^5 + 20a^4 + 28a^3 + 2a^2 + 20)31 + (5a^9 + 28a^8 + a^7 + 4a^6 + 28a^5 + 4a^4 + 22a^3 + 26a^2 + 17a + 4)31^2 + (7a^9 + 18a^8 + 21a^6 + 20a^5 + 12a^3 + 5a^2 + 10a + 25)31^3 + (9a^9 + 23a^8 + 14a^7 + 24a^6 + 12a^5 + 15a^4 + 11a^3 + 5a^2 + 15a + 16)31^4 + (20a^9 + 12a^8 + 24a^7 + 17a^6 + 17a^5 + 29a^4 + 29a^3 + 18a^2 + 26a + 13)31^5 + (26a^9 + 10a^8 + 28a^7 + 27a^6 + 26a^5 + 25a^4 + 16a^2 + 12a)31^6 + (6a^9 + 24a^8 + 14a^7 + 22a^6 + 8a^5 + 21a^4 + 19a^3 + 22a^2 + 13a + 17)31^7 + (29a^9 + 16a^8 + 26a^7 + a^6 + 6a^5 + 19a^4 + 26a^3 + 24a^2 + 15a + 3)31^8 + (22a^9 + 10a^8 + 7a^7 + 6a^6 + 13a^5 + 25a^4 + 8a^3 + 21a^2 + 11a + 5)*31^9+O(31^10)
$r_{ 9 }$	$=$	\( 8 a^{9} + a^{8} + 18 a^{7} + 26 a^{6} + 14 a^{5} + 2 a^{4} + 14 a^{3} + 10 a^{2} + 28 + \left(24 a^{9} + 9 a^{8} + 16 a^{7} + 12 a^{6} + 12 a^{5} + 16 a^{4} + 4 a^{3} + 25 a^{2} + 5\right)\cdot 31 + \left(21 a^{9} + 25 a^{8} + 20 a^{7} + 12 a^{6} + 30 a^{5} + 10 a^{4} + 3 a^{3} + 21 a^{2} + 21 a + 8\right)\cdot 31^{2} + \left(23 a^{9} + 2 a^{8} + a^{6} + 2 a^{5} + 22 a^{4} + 22 a^{3} + 24 a^{2} + 30 a + 3\right)\cdot 31^{3} + \left(26 a^{9} + 29 a^{8} + 9 a^{7} + 5 a^{6} + 30 a^{5} + 19 a^{4} + 4 a^{3} + 24 a^{2} + 28 a + 11\right)\cdot 31^{4} + \left(20 a^{9} + 20 a^{8} + 11 a^{7} + 26 a^{6} + 22 a^{5} + 14 a^{4} + 18 a^{3} + 29 a^{2} + 24 a + 12\right)\cdot 31^{5} + \left(a^{9} + 23 a^{8} + 3 a^{7} + 14 a^{6} + 25 a^{5} + 7 a^{4} + 29 a^{3} + 17 a^{2} + 13 a + 6\right)\cdot 31^{6} + \left(6 a^{9} + 4 a^{8} + 12 a^{7} + 11 a^{6} + 3 a^{5} + 29 a^{4} + 7 a^{3} + 22 a^{2} + 19 a + 19\right)\cdot 31^{7} + \left(12 a^{9} + 25 a^{8} + 27 a^{7} + 5 a^{6} + 18 a^{5} + 27 a^{4} + 6 a^{3} + 27 a^{2} + 12 a + 18\right)\cdot 31^{8} + \left(14 a^{9} + 23 a^{8} + 10 a^{7} + 29 a^{6} + 20 a^{4} + 16 a^{3} + 24 a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\) 8a^9 + a^8 + 18a^7 + 26a^6 + 14a^5 + 2a^4 + 14a^3 + 10a^2 + 28 + (24a^9 + 9a^8 + 16a^7 + 12a^6 + 12a^5 + 16a^4 + 4a^3 + 25a^2 + 5)31 + (21a^9 + 25a^8 + 20a^7 + 12a^6 + 30a^5 + 10a^4 + 3a^3 + 21a^2 + 21a + 8)31^2 + (23a^9 + 2a^8 + a^6 + 2a^5 + 22a^4 + 22a^3 + 24a^2 + 30a + 3)31^3 + (26a^9 + 29a^8 + 9a^7 + 5a^6 + 30a^5 + 19a^4 + 4a^3 + 24a^2 + 28a + 11)31^4 + (20a^9 + 20a^8 + 11a^7 + 26a^6 + 22a^5 + 14a^4 + 18a^3 + 29a^2 + 24a + 12)31^5 + (a^9 + 23a^8 + 3a^7 + 14a^6 + 25a^5 + 7a^4 + 29a^3 + 17a^2 + 13a + 6)31^6 + (6a^9 + 4a^8 + 12a^7 + 11a^6 + 3a^5 + 29a^4 + 7a^3 + 22a^2 + 19a + 19)31^7 + (12a^9 + 25a^8 + 27a^7 + 5a^6 + 18a^5 + 27a^4 + 6a^3 + 27a^2 + 12a + 18)31^8 + (14a^9 + 23a^8 + 10a^7 + 29a^6 + 20a^4 + 16a^3 + 24a^2 + 2a + 5)31^9+O(31^10)
$r_{ 10 }$	$=$	\( 7 a^{9} + 28 a^{8} + 13 a^{7} + 22 a^{6} + 21 a^{5} + 24 a^{4} + 19 a^{3} + 23 a^{2} + 2 a + 28 + \left(14 a^{9} + 13 a^{8} + 25 a^{7} + 27 a^{6} + 30 a^{5} + 30 a^{4} + 20 a^{3} + 13 a + 28\right)\cdot 31 + \left(8 a^{9} + 8 a^{8} + 15 a^{7} + 24 a^{6} + 12 a^{5} + 12 a^{4} + 28 a^{3} + 24 a^{2} + 28 a + 29\right)\cdot 31^{2} + \left(15 a^{9} + 18 a^{8} + 6 a^{7} + 29 a^{6} + 30 a^{5} + 2 a^{4} + 17 a^{3} + 24 a^{2} + 30 a + 8\right)\cdot 31^{3} + \left(17 a^{9} + 13 a^{8} + 18 a^{7} + 18 a^{6} + 5 a^{5} + 21 a^{4} + 23 a^{3} + 16 a^{2} + 7 a + 25\right)\cdot 31^{4} + \left(29 a^{9} + 7 a^{8} + 5 a^{7} + 29 a^{6} + 8 a^{5} + 26 a^{4} + 27 a^{3} + 16 a^{2} + 19 a + 27\right)\cdot 31^{5} + \left(5 a^{9} + 22 a^{8} + 16 a^{7} + a^{6} + 24 a^{5} + 4 a^{4} + 10 a^{3} + 17 a^{2} + 27 a + 29\right)\cdot 31^{6} + \left(28 a^{9} + 5 a^{8} + 7 a^{7} + 4 a^{6} + 24 a^{5} + 12 a^{4} + 22 a^{3} + 17 a^{2} + 7 a + 18\right)\cdot 31^{7} + \left(21 a^{9} + 8 a^{8} + 12 a^{7} + 17 a^{6} + 12 a^{4} + 18 a^{3} + 13 a^{2} + 27 a + 5\right)\cdot 31^{8} + \left(17 a^{9} + 22 a^{8} + 9 a^{7} + 3 a^{6} + 20 a^{5} + 23 a^{4} + 21 a^{3} + 3 a^{2} + 12 a + 22\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\) 7a^9 + 28a^8 + 13a^7 + 22a^6 + 21a^5 + 24a^4 + 19a^3 + 23a^2 + 2a + 28 + (14a^9 + 13a^8 + 25a^7 + 27a^6 + 30a^5 + 30a^4 + 20a^3 + 13a + 28)31 + (8a^9 + 8a^8 + 15a^7 + 24a^6 + 12a^5 + 12a^4 + 28a^3 + 24a^2 + 28a + 29)31^2 + (15a^9 + 18a^8 + 6a^7 + 29a^6 + 30a^5 + 2a^4 + 17a^3 + 24a^2 + 30a + 8)31^3 + (17a^9 + 13a^8 + 18a^7 + 18a^6 + 5a^5 + 21a^4 + 23a^3 + 16a^2 + 7a + 25)31^4 + (29a^9 + 7a^8 + 5a^7 + 29a^6 + 8a^5 + 26a^4 + 27a^3 + 16a^2 + 19a + 27)31^5 + (5a^9 + 22a^8 + 16a^7 + a^6 + 24a^5 + 4a^4 + 10a^3 + 17a^2 + 27a + 29)31^6 + (28a^9 + 5a^8 + 7a^7 + 4a^6 + 24a^5 + 12a^4 + 22a^3 + 17a^2 + 7a + 18)31^7 + (21a^9 + 8a^8 + 12a^7 + 17a^6 + 12a^4 + 18a^3 + 13a^2 + 27a + 5)31^8 + (17a^9 + 22a^8 + 9a^7 + 3a^6 + 20a^5 + 23a^4 + 21a^3 + 3a^2 + 12a + 22)31^9+O(31^10)
$r_{ 11 }$	$=$	\( 30 a^{9} + 6 a^{8} + 14 a^{7} + 15 a^{6} + a^{5} + 27 a^{4} + 8 a^{3} + 29 a^{2} + 29 a + 3 + \left(13 a^{9} + 14 a^{8} + 11 a^{7} + 14 a^{6} + 18 a^{5} + 2 a^{4} + 11 a^{3} + 24 a^{2} + 13 a + 11\right)\cdot 31 + \left(12 a^{9} + 10 a^{8} + 15 a^{7} + 10 a^{6} + 26 a^{5} + a^{4} + 24 a^{3} + 5 a^{2} + 12 a + 13\right)\cdot 31^{2} + \left(15 a^{9} + 13 a^{8} + 14 a^{7} + 13 a^{6} + 3 a^{5} + 29 a^{4} + 10 a^{3} + 15 a^{2} + 29 a + 24\right)\cdot 31^{3} + \left(7 a^{9} + 3 a^{8} + 29 a^{7} + 10 a^{6} + 26 a^{5} + 9 a^{4} + 5 a^{3} + 23 a^{2} + 8 a + 30\right)\cdot 31^{4} + \left(15 a^{8} + 26 a^{7} + 18 a^{6} + 21 a^{5} + 27 a^{3} + 18 a^{2} + 15 a + 24\right)\cdot 31^{5} + \left(17 a^{9} + 26 a^{7} + 21 a^{6} + 4 a^{5} + 9 a^{4} + 11 a^{3} + 7 a^{2} + 16 a + 30\right)\cdot 31^{6} + \left(20 a^{9} + 16 a^{8} + 8 a^{7} + 24 a^{6} + 24 a^{5} + 16 a^{4} + 12 a^{3} + 6 a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 31^{7} + \left(12 a^{9} + 5 a^{8} + 16 a^{7} + 24 a^{6} + 10 a^{5} + 20 a^{4} + 24 a^{3} + 15 a^{2} + 24 a + 8\right)\cdot 31^{8} + \left(11 a^{9} + 9 a^{8} + 13 a^{7} + 21 a^{6} + 17 a^{4} + 28 a^{3} + 8 a^{2} + 3 a + 19\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\) 30a^9 + 6a^8 + 14a^7 + 15a^6 + a^5 + 27a^4 + 8a^3 + 29a^2 + 29a + 3 + (13a^9 + 14a^8 + 11a^7 + 14a^6 + 18a^5 + 2a^4 + 11a^3 + 24a^2 + 13a + 11)31 + (12a^9 + 10a^8 + 15a^7 + 10a^6 + 26a^5 + a^4 + 24a^3 + 5a^2 + 12a + 13)31^2 + (15a^9 + 13a^8 + 14a^7 + 13a^6 + 3a^5 + 29a^4 + 10a^3 + 15a^2 + 29a + 24)31^3 + (7a^9 + 3a^8 + 29a^7 + 10a^6 + 26a^5 + 9a^4 + 5a^3 + 23a^2 + 8a + 30)31^4 + (15a^8 + 26a^7 + 18a^6 + 21a^5 + 27a^3 + 18a^2 + 15a + 24)31^5 + (17a^9 + 26a^7 + 21a^6 + 4a^5 + 9a^4 + 11a^3 + 7a^2 + 16a + 30)31^6 + (20a^9 + 16a^8 + 8a^7 + 24a^6 + 24a^5 + 16a^4 + 12a^3 + 6a^2 + 10a + 10)31^7 + (12a^9 + 5a^8 + 16a^7 + 24a^6 + 10a^5 + 20a^4 + 24a^3 + 15a^2 + 24a + 8)31^8 + (11a^9 + 9a^8 + 13a^7 + 21a^6 + 17a^4 + 28a^3 + 8a^2 + 3a + 19)*31^9+O(31^10)
$r_{ 12 }$	$=$	\( 21 a^{9} + 5 a^{8} + 5 a^{7} + 29 a^{6} + 21 a^{5} + 6 a^{4} + 14 a^{3} + 3 a^{2} + 27 a + 1 + \left(21 a^{9} + 12 a^{8} + 9 a^{7} + 29 a^{6} + 16 a^{5} + 23 a^{4} + 18 a^{3} + 24 a^{2} + 12 a + 29\right)\cdot 31 + \left(13 a^{9} + 15 a^{8} + 23 a^{7} + 9 a^{6} + 9 a^{5} + 30 a^{4} + 4 a^{3} + 29 a^{2} + 17 a + 20\right)\cdot 31^{2} + \left(26 a^{9} + 19 a^{8} + 28 a^{7} + 19 a^{6} + 16 a^{5} + 10 a^{4} + 28 a^{3} + 17 a^{2} + 27 a + 7\right)\cdot 31^{3} + \left(23 a^{9} + 8 a^{8} + 13 a^{7} + 16 a^{6} + 28 a^{5} + 12 a^{4} + 12 a^{3} + 10 a + 6\right)\cdot 31^{4} + \left(27 a^{9} + 26 a^{8} + 20 a^{7} + 18 a^{6} + 21 a^{5} + 25 a^{4} + 2 a^{3} + 28 a^{2} + 16 a + 1\right)\cdot 31^{5} + \left(13 a^{9} + 5 a^{8} + 9 a^{7} + 22 a^{6} + 14 a^{5} + 30 a^{4} + 12 a^{3} + 21 a^{2} + 19 a + 17\right)\cdot 31^{6} + \left(25 a^{9} + 30 a^{8} + 23 a^{7} + 21 a^{6} + 18 a^{5} + 18 a^{4} + 7 a^{3} + 30 a^{2} + 15\right)\cdot 31^{7} + \left(28 a^{9} + 9 a^{8} + 21 a^{7} + 27 a^{6} + 24 a^{5} + 22 a^{4} + 16 a^{3} + 28 a^{2} + 17 a + 18\right)\cdot 31^{8} + \left(19 a^{9} + 27 a^{8} + 4 a^{7} + 21 a^{6} + 7 a^{5} + 27 a^{4} + 22 a^{3} + 25 a^{2} + 12 a + 26\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\) 21a^9 + 5a^8 + 5a^7 + 29a^6 + 21a^5 + 6a^4 + 14a^3 + 3a^2 + 27a + 1 + (21a^9 + 12a^8 + 9a^7 + 29a^6 + 16a^5 + 23a^4 + 18a^3 + 24a^2 + 12a + 29)31 + (13a^9 + 15a^8 + 23a^7 + 9a^6 + 9a^5 + 30a^4 + 4a^3 + 29a^2 + 17a + 20)31^2 + (26a^9 + 19a^8 + 28a^7 + 19a^6 + 16a^5 + 10a^4 + 28a^3 + 17a^2 + 27a + 7)31^3 + (23a^9 + 8a^8 + 13a^7 + 16a^6 + 28a^5 + 12a^4 + 12a^3 + 10a + 6)31^4 + (27a^9 + 26a^8 + 20a^7 + 18a^6 + 21a^5 + 25a^4 + 2a^3 + 28a^2 + 16a + 1)31^5 + (13a^9 + 5a^8 + 9a^7 + 22a^6 + 14a^5 + 30a^4 + 12a^3 + 21a^2 + 19a + 17)31^6 + (25a^9 + 30a^8 + 23a^7 + 21a^6 + 18a^5 + 18a^4 + 7a^3 + 30a^2 + 15)31^7 + (28a^9 + 9a^8 + 21a^7 + 27a^6 + 24a^5 + 22a^4 + 16a^3 + 28a^2 + 17a + 18)31^8 + (19a^9 + 27a^8 + 4a^7 + 21a^6 + 7a^5 + 27a^4 + 22a^3 + 25a^2 + 12a + 26)*31^9+O(31^10)
$r_{ 13 }$	$=$	\( 29 a^{9} + a^{8} + 15 a^{7} + 19 a^{6} + 5 a^{5} + 3 a^{4} + 9 a^{3} + a^{2} + 4 a + 27 + \left(7 a^{8} + 20 a^{7} + 30 a^{6} + 15 a^{5} + 29 a^{4} + 5 a^{3} + 23 a^{2} + 16 a + 9\right)\cdot 31 + \left(14 a^{9} + 25 a^{8} + 8 a^{7} + 7 a^{6} + 26 a^{4} + 21 a^{3} + 25 a^{2} + 8 a + 13\right)\cdot 31^{2} + \left(28 a^{9} + 11 a^{8} + 17 a^{6} + 2 a^{5} + 30 a^{4} + 29 a^{3} + 15 a^{2} + 28 a + 28\right)\cdot 31^{3} + \left(9 a^{9} + 18 a^{8} + 12 a^{7} + 12 a^{6} + 4 a^{5} + 4 a^{4} + 18 a^{3} + 19 a^{2} + 24 a + 26\right)\cdot 31^{4} + \left(20 a^{9} + 26 a^{8} + a^{7} + 2 a^{6} + 4 a^{5} + 4 a^{3} + 20 a^{2} + 13 a + 15\right)\cdot 31^{5} + \left(11 a^{9} + 27 a^{8} + 14 a^{7} + 20 a^{6} + 15 a^{5} + 6 a^{4} + 21 a^{3} + 26 a^{2} + 14 a + 3\right)\cdot 31^{6} + \left(4 a^{9} + 4 a^{8} + 17 a^{7} + 26 a^{6} + 24 a^{5} + 2 a^{4} + 18 a^{3} + 12 a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 31^{7} + \left(11 a^{9} + 2 a^{8} + 20 a^{7} + 20 a^{6} + 15 a^{5} + 30 a^{4} + 25 a^{3} + 19 a^{2} + 13 a + 23\right)\cdot 31^{8} + \left(4 a^{9} + 19 a^{8} + 3 a^{7} + 3 a^{6} + 29 a^{5} + 30 a^{4} + 13 a^{3} + 13 a^{2} + 18 a + 10\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\) 29a^9 + a^8 + 15a^7 + 19a^6 + 5a^5 + 3a^4 + 9a^3 + a^2 + 4a + 27 + (7a^8 + 20a^7 + 30a^6 + 15a^5 + 29a^4 + 5a^3 + 23a^2 + 16a + 9)31 + (14a^9 + 25a^8 + 8a^7 + 7a^6 + 26a^4 + 21a^3 + 25a^2 + 8a + 13)31^2 + (28a^9 + 11a^8 + 17a^6 + 2a^5 + 30a^4 + 29a^3 + 15a^2 + 28a + 28)31^3 + (9a^9 + 18a^8 + 12a^7 + 12a^6 + 4a^5 + 4a^4 + 18a^3 + 19a^2 + 24a + 26)31^4 + (20a^9 + 26a^8 + a^7 + 2a^6 + 4a^5 + 4a^3 + 20a^2 + 13a + 15)31^5 + (11a^9 + 27a^8 + 14a^7 + 20a^6 + 15a^5 + 6a^4 + 21a^3 + 26a^2 + 14a + 3)31^6 + (4a^9 + 4a^8 + 17a^7 + 26a^6 + 24a^5 + 2a^4 + 18a^3 + 12a^2 + 9a + 7)31^7 + (11a^9 + 2a^8 + 20a^7 + 20a^6 + 15a^5 + 30a^4 + 25a^3 + 19a^2 + 13a + 23)31^8 + (4a^9 + 19a^8 + 3a^7 + 3a^6 + 29a^5 + 30a^4 + 13a^3 + 13a^2 + 18a + 10)31^9+O(31^10)
$r_{ 14 }$	$=$	\( 25 a^{9} + 2 a^{8} + 30 a^{7} + 18 a^{6} + 21 a^{5} + 18 a^{4} + 25 a^{3} + 6 a^{2} + 30 a + 14 + \left(3 a^{9} + 17 a^{8} + 22 a^{7} + 8 a^{6} + 14 a^{5} + 27 a^{4} + 5 a^{3} + 29 a^{2} + 22 a + 8\right)\cdot 31 + \left(24 a^{9} + 22 a^{8} + 9 a^{7} + 2 a^{6} + 27 a^{5} + 9 a^{3} + 17 a^{2} + 7 a + 23\right)\cdot 31^{2} + \left(29 a^{9} + 7 a^{8} + 11 a^{7} + 12 a^{6} + 18 a^{5} + 19 a^{4} + 15 a^{3} + 2 a^{2} + 21 a + 22\right)\cdot 31^{3} + \left(26 a^{9} + 29 a^{8} + 18 a^{7} + a^{6} + 11 a^{5} + 7 a^{4} + 28 a^{3} + 8 a^{2} + 8 a + 20\right)\cdot 31^{4} + \left(7 a^{9} + 25 a^{8} + 7 a^{7} + 7 a^{6} + 8 a^{5} + 6 a^{4} + 3 a^{3} + 4 a^{2} + 25 a + 16\right)\cdot 31^{5} + \left(10 a^{9} + 9 a^{8} + 8 a^{7} + 6 a^{6} + 16 a^{5} + 12 a^{4} + 9 a^{3} + 2 a^{2} + 19 a + 5\right)\cdot 31^{6} + \left(8 a^{9} + 24 a^{8} + 10 a^{7} + a^{6} + 13 a^{5} + 12 a^{4} + 27 a^{3} + 24 a^{2} + 9 a + 30\right)\cdot 31^{7} + \left(11 a^{9} + 13 a^{8} + 26 a^{7} + 7 a^{6} + 21 a^{5} + 14 a^{4} + 8 a^{3} + 17 a^{2} + 20 a + 11\right)\cdot 31^{8} + \left(14 a^{9} + 29 a^{8} + 10 a^{7} + 25 a^{6} + a^{5} + 19 a^{3} + 28 a^{2} + 18 a + 19\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\) 25a^9 + 2a^8 + 30a^7 + 18a^6 + 21a^5 + 18a^4 + 25a^3 + 6a^2 + 30a + 14 + (3a^9 + 17a^8 + 22a^7 + 8a^6 + 14a^5 + 27a^4 + 5a^3 + 29a^2 + 22a + 8)31 + (24a^9 + 22a^8 + 9a^7 + 2a^6 + 27a^5 + 9a^3 + 17a^2 + 7a + 23)31^2 + (29a^9 + 7a^8 + 11a^7 + 12a^6 + 18a^5 + 19a^4 + 15a^3 + 2a^2 + 21a + 22)31^3 + (26a^9 + 29a^8 + 18a^7 + a^6 + 11a^5 + 7a^4 + 28a^3 + 8a^2 + 8a + 20)31^4 + (7a^9 + 25a^8 + 7a^7 + 7a^6 + 8a^5 + 6a^4 + 3a^3 + 4a^2 + 25a + 16)31^5 + (10a^9 + 9a^8 + 8a^7 + 6a^6 + 16a^5 + 12a^4 + 9a^3 + 2a^2 + 19a + 5)31^6 + (8a^9 + 24a^8 + 10a^7 + a^6 + 13a^5 + 12a^4 + 27a^3 + 24a^2 + 9a + 30)31^7 + (11a^9 + 13a^8 + 26a^7 + 7a^6 + 21a^5 + 14a^4 + 8a^3 + 17a^2 + 20a + 11)31^8 + (14a^9 + 29a^8 + 10a^7 + 25a^6 + a^5 + 19a^3 + 28a^2 + 18a + 19)31^9+O(31^10)
$r_{ 15 }$	$=$	\( 23 a^{9} + 24 a^{8} + 23 a^{7} + 12 a^{6} + 29 a^{5} + 11 a^{4} + 22 a^{3} + 13 a^{2} + 10 a + 5 + \left(28 a^{9} + 8 a^{8} + 28 a^{7} + 15 a^{6} + 3 a^{4} + 19 a^{3} + 30 a^{2} + 14 a + 27\right)\cdot 31 + \left(24 a^{9} + 4 a^{8} + 30 a^{7} + 28 a^{6} + 26 a^{5} + 24 a^{4} + 14 a^{3} + 2 a^{2} + 26 a + 28\right)\cdot 31^{2} + \left(12 a^{9} + 11 a^{8} + 26 a^{7} + 25 a^{6} + 21 a^{5} + 3 a^{4} + 21 a^{3} + 30 a^{2} + 3 a + 17\right)\cdot 31^{3} + \left(29 a^{9} + 11 a^{8} + 29 a^{7} + 25 a^{6} + 3 a^{5} + 2 a^{4} + 4 a^{3} + 14 a^{2} + 11 a + 28\right)\cdot 31^{4} + \left(10 a^{9} + 17 a^{8} + 30 a^{7} + 12 a^{6} + 28 a^{5} + 12 a^{4} + 18 a^{3} + 14 a^{2} + 26 a + 12\right)\cdot 31^{5} + \left(18 a^{9} + 25 a^{7} + 26 a^{6} + 17 a^{5} + 4 a^{4} + 4 a^{3} + 8 a^{2} + 10 a + 22\right)\cdot 31^{6} + \left(25 a^{9} + 18 a^{8} + 3 a^{7} + 24 a^{6} + 17 a^{5} + 14 a^{4} + 4 a^{3} + 24 a^{2} + 3 a + 27\right)\cdot 31^{7} + \left(22 a^{9} + 19 a^{8} + 27 a^{7} + 29 a^{6} + 15 a^{5} + 22 a^{4} + 2 a^{3} + 24 a^{2} + 23 a + 6\right)\cdot 31^{8} + \left(17 a^{9} + 29 a^{8} + 22 a^{7} + 2 a^{6} + 30 a^{5} + 29 a^{4} + 30 a^{3} + 4 a^{2} + 12 a + 6\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\) 23a^9 + 24a^8 + 23a^7 + 12a^6 + 29a^5 + 11a^4 + 22a^3 + 13a^2 + 10a + 5 + (28a^9 + 8a^8 + 28a^7 + 15a^6 + 3a^4 + 19a^3 + 30a^2 + 14a + 27)31 + (24a^9 + 4a^8 + 30a^7 + 28a^6 + 26a^5 + 24a^4 + 14a^3 + 2a^2 + 26a + 28)31^2 + (12a^9 + 11a^8 + 26a^7 + 25a^6 + 21a^5 + 3a^4 + 21a^3 + 30a^2 + 3a + 17)31^3 + (29a^9 + 11a^8 + 29a^7 + 25a^6 + 3a^5 + 2a^4 + 4a^3 + 14a^2 + 11a + 28)31^4 + (10a^9 + 17a^8 + 30a^7 + 12a^6 + 28a^5 + 12a^4 + 18a^3 + 14a^2 + 26a + 12)31^5 + (18a^9 + 25a^7 + 26a^6 + 17a^5 + 4a^4 + 4a^3 + 8a^2 + 10a + 22)31^6 + (25a^9 + 18a^8 + 3a^7 + 24a^6 + 17a^5 + 14a^4 + 4a^3 + 24a^2 + 3a + 27)31^7 + (22a^9 + 19a^8 + 27a^7 + 29a^6 + 15a^5 + 22a^4 + 2a^3 + 24a^2 + 23a + 6)31^8 + (17a^9 + 29a^8 + 22a^7 + 2a^6 + 30a^5 + 29a^4 + 30a^3 + 4a^2 + 12a + 6)*31^9+O(31^10)
$r_{ 16 }$	$=$	\( 22 a^{9} + 22 a^{8} + 5 a^{7} + 15 a^{5} + 29 a^{4} + 26 a^{3} + 4 a^{2} + 16 + \left(9 a^{9} + 22 a^{8} + 5 a^{7} + 27 a^{6} + 28 a^{5} + 20 a^{4} + 14 a^{3} + 22 a^{2} + 10 a + 28\right)\cdot 31 + \left(24 a^{9} + 24 a^{8} + 9 a^{7} + 12 a^{6} + 30 a^{5} + 14 a^{4} + 6 a^{3} + 12 a^{2} + 25 a + 20\right)\cdot 31^{2} + \left(26 a^{9} + 24 a^{8} + 10 a^{7} + 26 a^{6} + a^{5} + 18 a^{4} + a^{3} + 8 a^{2} + 16 a + 5\right)\cdot 31^{3} + \left(25 a^{9} + 22 a^{8} + 3 a^{7} + 27 a^{6} + 24 a^{5} + 7 a^{4} + 9 a^{3} + 26 a^{2} + 24 a + 9\right)\cdot 31^{4} + \left(28 a^{9} + 22 a^{8} + 19 a^{6} + 6 a^{5} + 9 a^{4} + 8 a^{3} + 28 a^{2} + 18 a + 4\right)\cdot 31^{5} + \left(21 a^{9} + 12 a^{8} + 30 a^{7} + 23 a^{6} + a^{5} + 7 a^{4} + 19 a^{3} + 3 a^{2} + 10 a + 8\right)\cdot 31^{6} + \left(21 a^{9} + 5 a^{8} + 12 a^{7} + 7 a^{6} + 16 a^{5} + 17 a^{4} + 11 a^{3} + 29 a^{2} + 26 a + 7\right)\cdot 31^{7} + \left(5 a^{9} + 16 a^{8} + 26 a^{7} + 20 a^{6} + 13 a^{5} + 8 a^{4} + 6 a^{3} + 14 a^{2} + 8 a + 28\right)\cdot 31^{8} + \left(12 a^{9} + 13 a^{8} + 23 a^{7} + 5 a^{5} + 27 a^{4} + 15 a^{3} + 28 a^{2} + 19 a + 30\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\) 22a^9 + 22a^8 + 5a^7 + 15a^5 + 29a^4 + 26a^3 + 4a^2 + 16 + (9a^9 + 22a^8 + 5a^7 + 27a^6 + 28a^5 + 20a^4 + 14a^3 + 22a^2 + 10a + 28)31 + (24a^9 + 24a^8 + 9a^7 + 12a^6 + 30a^5 + 14a^4 + 6a^3 + 12a^2 + 25a + 20)31^2 + (26a^9 + 24a^8 + 10a^7 + 26a^6 + a^5 + 18a^4 + a^3 + 8a^2 + 16a + 5)31^3 + (25a^9 + 22a^8 + 3a^7 + 27a^6 + 24a^5 + 7a^4 + 9a^3 + 26a^2 + 24a + 9)31^4 + (28a^9 + 22a^8 + 19a^6 + 6a^5 + 9a^4 + 8a^3 + 28a^2 + 18a + 4)31^5 + (21a^9 + 12a^8 + 30a^7 + 23a^6 + a^5 + 7a^4 + 19a^3 + 3a^2 + 10a + 8)31^6 + (21a^9 + 5a^8 + 12a^7 + 7a^6 + 16a^5 + 17a^4 + 11a^3 + 29a^2 + 26a + 7)31^7 + (5a^9 + 16a^8 + 26a^7 + 20a^6 + 13a^5 + 8a^4 + 6a^3 + 14a^2 + 8a + 28)31^8 + (12a^9 + 13a^8 + 23a^7 + 5a^5 + 27a^4 + 15a^3 + 28a^2 + 19a + 30)31^9+O(31^10)
$r_{ 17 }$	$=$	\( 19 a^{8} + 25 a^{7} + 13 a^{6} + 27 a^{5} + 28 a^{4} + 26 a^{3} + 4 a^{2} + 2 a + 7 + \left(26 a^{9} + 16 a^{8} + 21 a^{7} + 13 a^{6} + 4 a^{5} + 22 a^{4} + 27 a^{3} + 21 a^{2} + 16 a + 23\right)\cdot 31 + \left(8 a^{9} + 22 a^{8} + 19 a^{7} + 28 a^{6} + 2 a^{5} + 18 a^{4} + 6 a^{2} + 12 a + 18\right)\cdot 31^{2} + \left(5 a^{9} + 19 a^{8} + 15 a^{7} + 22 a^{6} + 19 a^{5} + 18 a^{4} + 30 a^{3} + 10 a^{2} + 18 a + 16\right)\cdot 31^{3} + \left(4 a^{9} + 29 a^{8} + 3 a^{7} + 8 a^{6} + 12 a^{5} + 3 a^{4} + 12 a^{3} + 21 a^{2} + 14 a + 21\right)\cdot 31^{4} + \left(15 a^{9} + 20 a^{8} + 10 a^{7} + 30 a^{6} + 13 a^{5} + 6 a^{4} + 12 a^{3} + 23 a^{2} + 4 a + 13\right)\cdot 31^{5} + \left(13 a^{9} + 19 a^{7} + 13 a^{6} + 30 a^{5} + 24 a^{4} + 25 a^{3} + 2 a^{2} + 30 a + 11\right)\cdot 31^{6} + \left(24 a^{9} + 21 a^{8} + 12 a^{7} + 13 a^{6} + 11 a^{5} + 21 a^{4} + 30 a^{3} + 26 a^{2} + 24 a + 12\right)\cdot 31^{7} + \left(7 a^{9} + 3 a^{8} + 18 a^{7} + 3 a^{6} + 19 a^{5} + 21 a^{4} + 20 a^{3} + 22 a^{2} + 24 a + 13\right)\cdot 31^{8} + \left(29 a^{9} + 11 a^{8} + 9 a^{7} + 3 a^{6} + 24 a^{5} + 17 a^{4} + 3 a^{3} + 27 a^{2} + 17 a + 11\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\) 19a^8 + 25a^7 + 13a^6 + 27a^5 + 28a^4 + 26a^3 + 4a^2 + 2a + 7 + (26a^9 + 16a^8 + 21a^7 + 13a^6 + 4a^5 + 22a^4 + 27a^3 + 21a^2 + 16a + 23)31 + (8a^9 + 22a^8 + 19a^7 + 28a^6 + 2a^5 + 18a^4 + 6a^2 + 12a + 18)31^2 + (5a^9 + 19a^8 + 15a^7 + 22a^6 + 19a^5 + 18a^4 + 30a^3 + 10a^2 + 18a + 16)31^3 + (4a^9 + 29a^8 + 3a^7 + 8a^6 + 12a^5 + 3a^4 + 12a^3 + 21a^2 + 14a + 21)31^4 + (15a^9 + 20a^8 + 10a^7 + 30a^6 + 13a^5 + 6a^4 + 12a^3 + 23a^2 + 4a + 13)31^5 + (13a^9 + 19a^7 + 13a^6 + 30a^5 + 24a^4 + 25a^3 + 2a^2 + 30a + 11)31^6 + (24a^9 + 21a^8 + 12a^7 + 13a^6 + 11a^5 + 21a^4 + 30a^3 + 26a^2 + 24a + 12)31^7 + (7a^9 + 3a^8 + 18a^7 + 3a^6 + 19a^5 + 21a^4 + 20a^3 + 22a^2 + 24a + 13)31^8 + (29a^9 + 11a^8 + 9a^7 + 3a^6 + 24a^5 + 17a^4 + 3a^3 + 27a^2 + 17a + 11)31^9+O(31^10)
$r_{ 18 }$	$=$	\( 17 a^{9} + 22 a^{7} + 10 a^{6} + 4 a^{5} + a^{4} + 17 a^{3} + 3 a^{2} + 23 a + 17 + \left(28 a^{9} + 24 a^{8} + 27 a^{7} + 22 a^{6} + 5 a^{5} + 2 a^{4} + 26 a^{3} + 27 a^{2} + 21 a + 22\right)\cdot 31 + \left(11 a^{9} + 13 a^{8} + 17 a^{7} + 4 a^{6} + 22 a^{5} + 27 a^{4} + 13 a^{3} + 7 a^{2} + 25 a + 10\right)\cdot 31^{2} + \left(26 a^{9} + 8 a^{8} + 25 a^{7} + a^{6} + 26 a^{5} + 24 a^{4} + 14 a^{3} + 18 a^{2} + 24 a + 30\right)\cdot 31^{3} + \left(8 a^{9} + 11 a^{8} + 24 a^{7} + a^{6} + 2 a^{5} + 23 a^{4} + 25 a^{3} + a^{2} + 14 a + 1\right)\cdot 31^{4} + \left(a^{9} + a^{8} + 11 a^{7} + 10 a^{6} + 6 a^{5} + 27 a^{3} + 24 a^{2} + 30 a + 25\right)\cdot 31^{5} + \left(29 a^{8} + 17 a^{7} + 27 a^{6} + 15 a^{5} + 15 a^{4} + 15 a^{3} + 5 a^{2} + 21 a + 8\right)\cdot 31^{6} + \left(12 a^{9} + 9 a^{8} + a^{7} + 20 a^{6} + 27 a^{5} + 11 a^{4} + 13 a^{3} + 16 a^{2} + 22 a + 24\right)\cdot 31^{7} + \left(7 a^{9} + 30 a^{8} + 3 a^{7} + 24 a^{6} + 25 a^{5} + 13 a^{4} + 19 a^{3} + 16 a^{2} + 8 a + 13\right)\cdot 31^{8} + \left(17 a^{9} + a^{8} + 23 a^{7} + 22 a^{6} + 26 a^{5} + 19 a^{4} + 6 a^{3} + 20 a^{2} + 19 a + 6\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\) 17a^9 + 22a^7 + 10a^6 + 4a^5 + a^4 + 17a^3 + 3a^2 + 23a + 17 + (28a^9 + 24a^8 + 27a^7 + 22a^6 + 5a^5 + 2a^4 + 26a^3 + 27a^2 + 21a + 22)31 + (11a^9 + 13a^8 + 17a^7 + 4a^6 + 22a^5 + 27a^4 + 13a^3 + 7a^2 + 25a + 10)31^2 + (26a^9 + 8a^8 + 25a^7 + a^6 + 26a^5 + 24a^4 + 14a^3 + 18a^2 + 24a + 30)31^3 + (8a^9 + 11a^8 + 24a^7 + a^6 + 2a^5 + 23a^4 + 25a^3 + a^2 + 14a + 1)31^4 + (a^9 + a^8 + 11a^7 + 10a^6 + 6a^5 + 27a^3 + 24a^2 + 30a + 25)31^5 + (29a^8 + 17a^7 + 27a^6 + 15a^5 + 15a^4 + 15a^3 + 5a^2 + 21a + 8)31^6 + (12a^9 + 9a^8 + a^7 + 20a^6 + 27a^5 + 11a^4 + 13a^3 + 16a^2 + 22a + 24)31^7 + (7a^9 + 30a^8 + 3a^7 + 24a^6 + 25a^5 + 13a^4 + 19a^3 + 16a^2 + 8a + 13)31^8 + (17a^9 + a^8 + 23a^7 + 22a^6 + 26a^5 + 19a^4 + 6a^3 + 20a^2 + 19a + 6)31^9+O(31^10)
$r_{ 19 }$	$=$	\( 5 a^{9} + 22 a^{8} + 6 a^{7} + a^{6} + 10 a^{5} + 17 a^{3} + 14 a^{2} + 23 a + 9 + \left(12 a^{9} + 22 a^{8} + 15 a^{7} + 22 a^{6} + 26 a^{5} + 16 a^{4} + 8 a^{3} + 23 a^{2} + 29 a + 1\right)\cdot 31 + \left(8 a^{9} + a^{8} + 15 a^{7} + 13 a^{6} + 21 a^{5} + a^{4} + 9 a^{3} + 14 a^{2} + 19 a + 17\right)\cdot 31^{2} + \left(20 a^{9} + 23 a^{8} + 6 a^{7} + 22 a^{6} + 25 a^{5} + 28 a^{4} + 10 a^{3} + 17 a^{2} + a + 24\right)\cdot 31^{3} + \left(15 a^{9} + 17 a^{8} + 30 a^{6} + 13 a^{5} + 10 a^{4} + 20 a^{3} + 4 a^{2} + 20 a + 10\right)\cdot 31^{4} + \left(6 a^{9} + 12 a^{8} + 20 a^{7} + 28 a^{6} + 14 a^{5} + 28 a^{4} + 20 a^{3} + 30 a^{2} + 4 a + 14\right)\cdot 31^{5} + \left(21 a^{9} + 26 a^{8} + 14 a^{7} + 5 a^{5} + 2 a^{4} + 23 a^{3} + 12 a^{2} + 4 a + 20\right)\cdot 31^{6} + \left(11 a^{9} + 9 a^{8} + 20 a^{7} + 22 a^{6} + 26 a^{4} + 24 a^{3} + 11 a^{2} + 2 a + 15\right)\cdot 31^{7} + \left(6 a^{9} + 20 a^{8} + 5 a^{7} + 10 a^{6} + 11 a^{5} + 13 a^{4} + 21 a^{3} + 10 a^{2} + 27 a + 17\right)\cdot 31^{8} + \left(6 a^{9} + 26 a^{8} + 15 a^{7} + 14 a^{6} + 21 a^{5} + 4 a^{4} + 2 a^{3} + 2 a^{2} + 11 a + 28\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\) 5a^9 + 22a^8 + 6a^7 + a^6 + 10a^5 + 17a^3 + 14a^2 + 23a + 9 + (12a^9 + 22a^8 + 15a^7 + 22a^6 + 26a^5 + 16a^4 + 8a^3 + 23a^2 + 29a + 1)31 + (8a^9 + a^8 + 15a^7 + 13a^6 + 21a^5 + a^4 + 9a^3 + 14a^2 + 19a + 17)31^2 + (20a^9 + 23a^8 + 6a^7 + 22a^6 + 25a^5 + 28a^4 + 10a^3 + 17a^2 + a + 24)31^3 + (15a^9 + 17a^8 + 30a^6 + 13a^5 + 10a^4 + 20a^3 + 4a^2 + 20a + 10)31^4 + (6a^9 + 12a^8 + 20a^7 + 28a^6 + 14a^5 + 28a^4 + 20a^3 + 30a^2 + 4a + 14)31^5 + (21a^9 + 26a^8 + 14a^7 + 5a^5 + 2a^4 + 23a^3 + 12a^2 + 4a + 20)31^6 + (11a^9 + 9a^8 + 20a^7 + 22a^6 + 26a^4 + 24a^3 + 11a^2 + 2a + 15)31^7 + (6a^9 + 20a^8 + 5a^7 + 10a^6 + 11a^5 + 13a^4 + 21a^3 + 10a^2 + 27a + 17)31^8 + (6a^9 + 26a^8 + 15a^7 + 14a^6 + 21a^5 + 4a^4 + 2a^3 + 2a^2 + 11a + 28)*31^9+O(31^10)
$r_{ 20 }$	$=$	\( 4 a^{9} + 3 a^{8} + 11 a^{7} + 29 a^{6} + 9 a^{5} + 5 a^{4} + a^{3} + 21 a^{2} + 2 a + 19 + \left(18 a^{9} + 25 a^{8} + 5 a^{7} + 10 a^{6} + 5 a^{5} + 9 a^{4} + 20 a^{3} + 5 a^{2} + 17 a + 7\right)\cdot 31 + \left(7 a^{9} + 20 a^{8} + a^{7} + 19 a^{6} + 12 a^{4} + 14 a^{3} + 15 a^{2} + 15 a + 15\right)\cdot 31^{2} + \left(27 a^{9} + 14 a^{8} + 16 a^{7} + 21 a^{6} + 19 a^{5} + 27 a^{4} + 7 a^{3} + 22 a^{2} + 17 a + 23\right)\cdot 31^{3} + \left(8 a^{9} + 24 a^{8} + 27 a^{7} + 5 a^{6} + 4 a^{5} + 11 a^{4} + 22 a^{3} + 21 a^{2} + 19 a + 12\right)\cdot 31^{4} + \left(2 a^{9} + 13 a^{8} + 8 a^{7} + 10 a^{6} + 21 a^{5} + 21 a^{4} + 11 a^{3} + 2 a^{2} + 24 a + 18\right)\cdot 31^{5} + \left(30 a^{9} + 14 a^{8} + 9 a^{7} + 13 a^{6} + 6 a^{5} + 30 a^{3} + 10 a^{2} + 10 a + 7\right)\cdot 31^{6} + \left(18 a^{9} + 6 a^{8} + 3 a^{7} + 22 a^{6} + 10 a^{5} + 27 a^{4} + 19 a^{3} + 10 a^{2} + 13 a + 4\right)\cdot 31^{7} + \left(6 a^{9} + 29 a^{8} + 10 a^{7} + 7 a^{6} + 18 a^{5} + 11 a^{4} + 19 a^{3} + 28 a^{2} + 29 a + 21\right)\cdot 31^{8} + \left(21 a^{9} + 9 a^{8} + 12 a^{7} + 4 a^{5} + 27 a^{4} + 9 a^{3} + 2 a^{2} + 30 a + 19\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\) 4a^9 + 3a^8 + 11a^7 + 29a^6 + 9a^5 + 5a^4 + a^3 + 21a^2 + 2a + 19 + (18a^9 + 25a^8 + 5a^7 + 10a^6 + 5a^5 + 9a^4 + 20a^3 + 5a^2 + 17a + 7)31 + (7a^9 + 20a^8 + a^7 + 19a^6 + 12a^4 + 14a^3 + 15a^2 + 15a + 15)31^2 + (27a^9 + 14a^8 + 16a^7 + 21a^6 + 19a^5 + 27a^4 + 7a^3 + 22a^2 + 17a + 23)31^3 + (8a^9 + 24a^8 + 27a^7 + 5a^6 + 4a^5 + 11a^4 + 22a^3 + 21a^2 + 19a + 12)31^4 + (2a^9 + 13a^8 + 8a^7 + 10a^6 + 21a^5 + 21a^4 + 11a^3 + 2a^2 + 24a + 18)31^5 + (30a^9 + 14a^8 + 9a^7 + 13a^6 + 6a^5 + 30a^3 + 10a^2 + 10a + 7)31^6 + (18a^9 + 6a^8 + 3a^7 + 22a^6 + 10a^5 + 27a^4 + 19a^3 + 10a^2 + 13a + 4)31^7 + (6a^9 + 29a^8 + 10a^7 + 7a^6 + 18a^5 + 11a^4 + 19a^3 + 28a^2 + 29a + 21)31^8 + (21a^9 + 9a^8 + 12a^7 + 4a^5 + 27a^4 + 9a^3 + 2a^2 + 30a + 19)31^9+O(31^10)
$r_{ 21 }$	$=$	\( 25 a^{9} + 9 a^{8} + 25 a^{7} + 15 a^{6} + a^{5} + 6 a^{4} + 26 a^{3} + 27 a^{2} + 16 a + 20 + \left(29 a^{9} + 30 a^{8} + 12 a^{7} + 27 a^{6} + 23 a^{4} + 6 a^{3} + 14 a^{2} + 26 a + 20\right)\cdot 31 + \left(5 a^{9} + 21 a^{8} + 13 a^{7} + 29 a^{6} + 8 a^{5} + 29 a^{4} + 25 a^{3} + 4 a^{2} + 14 a + 1\right)\cdot 31^{2} + \left(24 a^{9} + 30 a^{8} + 29 a^{7} + 11 a^{6} + 13 a^{5} + 22 a^{4} + 2 a^{3} + 24 a^{2} + 10 a + 24\right)\cdot 31^{3} + \left(16 a^{9} + 4 a^{8} + 18 a^{7} + 26 a^{6} + 15 a^{5} + 25 a^{4} + 14 a^{3} + 21 a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 31^{4} + \left(23 a^{9} + 24 a^{8} + 25 a^{7} + 29 a^{6} + 19 a^{5} + 6 a^{4} + 25 a^{3} + 5 a^{2} + 19 a + 3\right)\cdot 31^{5} + \left(10 a^{9} + 22 a^{8} + 7 a^{7} + 29 a^{6} + 5 a^{5} + 24 a^{4} + 26 a^{3} + 26 a^{2} + 6 a + 18\right)\cdot 31^{6} + \left(25 a^{9} + 24 a^{8} + 24 a^{7} + 8 a^{6} + 27 a^{5} + 6 a^{4} + 30 a^{3} + 29 a^{2} + 6 a + 26\right)\cdot 31^{7} + \left(8 a^{9} + 24 a^{8} + 8 a^{7} + 8 a^{6} + 2 a^{5} + 25 a^{4} + 2 a^{3} + 16 a^{2} + 11 a + 7\right)\cdot 31^{8} + \left(7 a^{9} + 19 a^{8} + 14 a^{7} + 26 a^{6} + 5 a^{5} + 6 a^{4} + 15 a^{3} + 22 a^{2} + 8 a + 12\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\) 25a^9 + 9a^8 + 25a^7 + 15a^6 + a^5 + 6a^4 + 26a^3 + 27a^2 + 16a + 20 + (29a^9 + 30a^8 + 12a^7 + 27a^6 + 23a^4 + 6a^3 + 14a^2 + 26a + 20)31 + (5a^9 + 21a^8 + 13a^7 + 29a^6 + 8a^5 + 29a^4 + 25a^3 + 4a^2 + 14a + 1)31^2 + (24a^9 + 30a^8 + 29a^7 + 11a^6 + 13a^5 + 22a^4 + 2a^3 + 24a^2 + 10a + 24)31^3 + (16a^9 + 4a^8 + 18a^7 + 26a^6 + 15a^5 + 25a^4 + 14a^3 + 21a^2 + 2a + 5)31^4 + (23a^9 + 24a^8 + 25a^7 + 29a^6 + 19a^5 + 6a^4 + 25a^3 + 5a^2 + 19a + 3)31^5 + (10a^9 + 22a^8 + 7a^7 + 29a^6 + 5a^5 + 24a^4 + 26a^3 + 26a^2 + 6a + 18)31^6 + (25a^9 + 24a^8 + 24a^7 + 8a^6 + 27a^5 + 6a^4 + 30a^3 + 29a^2 + 6a + 26)31^7 + (8a^9 + 24a^8 + 8a^7 + 8a^6 + 2a^5 + 25a^4 + 2a^3 + 16a^2 + 11a + 7)31^8 + (7a^9 + 19a^8 + 14a^7 + 26a^6 + 5a^5 + 6a^4 + 15a^3 + 22a^2 + 8a + 12)*31^9+O(31^10)
$r_{ 22 }$	$=$	\( 16 a^{9} + 25 a^{8} + 26 a^{7} + 8 a^{6} + 20 a^{5} + 4 a^{4} + 13 a^{3} + 26 a^{2} + 13 a + 30 + \left(8 a^{8} + 8 a^{7} + 25 a^{6} + 6 a^{5} + a^{4} + 15 a^{3} + 26 a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 31 + \left(2 a^{9} + 10 a^{8} + 30 a^{7} + 20 a^{6} + 16 a^{5} + 4 a^{4} + 27 a^{3} + 17 a^{2} + 28 a + 15\right)\cdot 31^{2} + \left(10 a^{9} + 23 a^{7} + 22 a^{6} + 25 a^{5} + 16 a^{4} + 27 a^{3} + 27 a^{2} + 10 a + 2\right)\cdot 31^{3} + \left(15 a^{9} + 26 a^{8} + 25 a^{7} + 28 a^{6} + 22 a^{5} + 16 a^{4} + 30 a^{3} + 11 a^{2} + 21 a + 10\right)\cdot 31^{4} + \left(16 a^{9} + 18 a^{8} + 20 a^{7} + 4 a^{6} + 17 a^{5} + 9 a^{4} + 8 a^{3} + 23 a^{2} + 14 a + 16\right)\cdot 31^{5} + \left(25 a^{9} + 18 a^{8} + 24 a^{7} + 20 a^{6} + 21 a^{5} + 4 a^{4} + 3 a^{3} + 22 a^{2} + 12 a + 25\right)\cdot 31^{6} + \left(7 a^{9} + 12 a^{8} + 28 a^{7} + 10 a^{6} + 23 a^{5} + 7 a^{4} + 11 a^{3} + 15 a^{2} + 14 a + 15\right)\cdot 31^{7} + \left(12 a^{9} + a^{8} + 14 a^{7} + 23 a^{6} + 28 a^{5} + 11 a^{4} + 8 a^{3} + 23 a^{2} + 4 a + 24\right)\cdot 31^{8} + \left(20 a^{9} + 18 a^{8} + 7 a^{7} + 20 a^{6} + 27 a^{5} + 8 a^{4} + a^{3} + 19 a^{2} + 2 a + 18\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\) 16a^9 + 25a^8 + 26a^7 + 8a^6 + 20a^5 + 4a^4 + 13a^3 + 26a^2 + 13a + 30 + (8a^8 + 8a^7 + 25a^6 + 6a^5 + a^4 + 15a^3 + 26a^2 + 6a + 9)31 + (2a^9 + 10a^8 + 30a^7 + 20a^6 + 16a^5 + 4a^4 + 27a^3 + 17a^2 + 28a + 15)31^2 + (10a^9 + 23a^7 + 22a^6 + 25a^5 + 16a^4 + 27a^3 + 27a^2 + 10a + 2)31^3 + (15a^9 + 26a^8 + 25a^7 + 28a^6 + 22a^5 + 16a^4 + 30a^3 + 11a^2 + 21a + 10)31^4 + (16a^9 + 18a^8 + 20a^7 + 4a^6 + 17a^5 + 9a^4 + 8a^3 + 23a^2 + 14a + 16)31^5 + (25a^9 + 18a^8 + 24a^7 + 20a^6 + 21a^5 + 4a^4 + 3a^3 + 22a^2 + 12a + 25)31^6 + (7a^9 + 12a^8 + 28a^7 + 10a^6 + 23a^5 + 7a^4 + 11a^3 + 15a^2 + 14a + 15)31^7 + (12a^9 + a^8 + 14a^7 + 23a^6 + 28a^5 + 11a^4 + 8a^3 + 23a^2 + 4a + 24)31^8 + (20a^9 + 18a^8 + 7a^7 + 20a^6 + 27a^5 + 8a^4 + a^3 + 19a^2 + 2a + 18)31^9+O(31^10)
$r_{ 23 }$	$=$	\( 29 a^{9} + 7 a^{8} + 13 a^{7} + 14 a^{6} + 14 a^{5} + 24 a^{4} + 2 a^{3} + 18 a^{2} + 18 a + 29 + \left(25 a^{9} + 2 a^{8} + 8 a^{7} + 2 a^{6} + 30 a^{5} + 22 a^{4} + 22 a^{3} + 19 a^{2} + 13 a + 3\right)\cdot 31 + \left(20 a^{9} + 10 a^{8} + 29 a^{7} + 10 a^{5} + 14 a^{4} + 17 a^{3} + 11 a^{2} + 14 a + 8\right)\cdot 31^{2} + \left(14 a^{9} + 20 a^{7} + 26 a^{6} + 25 a^{5} + 24 a^{4} + 20 a^{3} + 22 a + 19\right)\cdot 31^{3} + \left(26 a^{9} + 25 a^{8} + 18 a^{7} + 6 a^{6} + 10 a^{5} + 14 a^{4} + 27 a^{3} + 19 a^{2} + 4 a + 30\right)\cdot 31^{4} + \left(9 a^{9} + 9 a^{8} + 10 a^{7} + 2 a^{6} + 16 a^{5} + 25 a^{4} + 6 a^{3} + 30 a^{2} + 3 a + 10\right)\cdot 31^{5} + \left(4 a^{9} + 22 a^{8} + 8 a^{7} + 7 a^{6} + 25 a^{5} + 5 a^{4} + 16 a^{3} + 13 a^{2} + 12 a + 15\right)\cdot 31^{6} + \left(4 a^{9} + 13 a^{8} + 19 a^{7} + 17 a^{6} + 8 a^{5} + 14 a^{4} + 15 a^{3} + 20 a^{2} + 13 a + 3\right)\cdot 31^{7} + \left(28 a^{9} + 29 a^{8} + 20 a^{7} + 10 a^{6} + 7 a^{5} + 10 a^{4} + 3 a^{3} + 29 a^{2} + 14 a + 4\right)\cdot 31^{8} + \left(13 a^{9} + 17 a^{8} + 18 a^{7} + 4 a^{6} + 25 a^{5} + 24 a^{4} + 6 a^{3} + 28 a^{2} + 6 a + 23\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\) 29a^9 + 7a^8 + 13a^7 + 14a^6 + 14a^5 + 24a^4 + 2a^3 + 18a^2 + 18a + 29 + (25a^9 + 2a^8 + 8a^7 + 2a^6 + 30a^5 + 22a^4 + 22a^3 + 19a^2 + 13a + 3)31 + (20a^9 + 10a^8 + 29a^7 + 10a^5 + 14a^4 + 17a^3 + 11a^2 + 14a + 8)31^2 + (14a^9 + 20a^7 + 26a^6 + 25a^5 + 24a^4 + 20a^3 + 22a + 19)31^3 + (26a^9 + 25a^8 + 18a^7 + 6a^6 + 10a^5 + 14a^4 + 27a^3 + 19a^2 + 4a + 30)31^4 + (9a^9 + 9a^8 + 10a^7 + 2a^6 + 16a^5 + 25a^4 + 6a^3 + 30a^2 + 3a + 10)31^5 + (4a^9 + 22a^8 + 8a^7 + 7a^6 + 25a^5 + 5a^4 + 16a^3 + 13a^2 + 12a + 15)31^6 + (4a^9 + 13a^8 + 19a^7 + 17a^6 + 8a^5 + 14a^4 + 15a^3 + 20a^2 + 13a + 3)31^7 + (28a^9 + 29a^8 + 20a^7 + 10a^6 + 7a^5 + 10a^4 + 3a^3 + 29a^2 + 14a + 4)31^8 + (13a^9 + 17a^8 + 18a^7 + 4a^6 + 25a^5 + 24a^4 + 6a^3 + 28a^2 + 6a + 23)31^9+O(31^10)
$r_{ 24 }$	$=$	\( 5 a^{9} + 15 a^{8} + 10 a^{7} + 24 a^{6} + 25 a^{5} + 13 a^{4} + 14 a^{3} + 11 a^{2} + 7 a + 17 + \left(22 a^{9} + 29 a^{8} + 30 a^{6} + 30 a^{5} + 20 a^{4} + 25 a^{3} + 17 a^{2} + 3 a + 24\right)\cdot 31 + \left(4 a^{9} + 26 a^{8} + 30 a^{7} + 3 a^{6} + 15 a^{5} + 10 a^{4} + 5 a^{3} + 22 a^{2} + 15 a + 29\right)\cdot 31^{2} + \left(23 a^{9} + 14 a^{8} + 18 a^{7} + 27 a^{6} + 21 a^{5} + 22 a^{4} + 30 a^{3} + 6 a^{2} + 30 a + 6\right)\cdot 31^{3} + \left(a^{9} + 4 a^{8} + 7 a^{7} + 4 a^{5} + 13 a^{4} + 16 a^{3} + 2 a^{2} + 28 a + 24\right)\cdot 31^{4} + \left(30 a^{9} + 7 a^{8} + 6 a^{7} + a^{6} + 27 a^{5} + 27 a^{4} + 26 a^{3} + a^{2} + 6 a + 23\right)\cdot 31^{5} + \left(10 a^{9} + 4 a^{8} + 4 a^{7} + 7 a^{6} + 15 a^{5} + 22 a^{4} + 7 a^{3} + 16 a^{2} + 6 a + 27\right)\cdot 31^{6} + \left(21 a^{9} + 25 a^{8} + 27 a^{7} + 24 a^{6} + 22 a^{5} + 15 a^{4} + 26 a^{3} + a^{2} + 4 a + 10\right)\cdot 31^{7} + \left(27 a^{9} + 28 a^{8} + 27 a^{7} + 21 a^{6} + 9 a^{5} + 27 a^{4} + 29 a^{3} + 18 a^{2} + 16 a + 13\right)\cdot 31^{8} + \left(30 a^{9} + 28 a^{8} + 2 a^{6} + 4 a^{5} + 16 a^{4} + 11 a^{2} + 15 a + 9\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\) 5a^9 + 15a^8 + 10a^7 + 24a^6 + 25a^5 + 13a^4 + 14a^3 + 11a^2 + 7a + 17 + (22a^9 + 29a^8 + 30a^6 + 30a^5 + 20a^4 + 25a^3 + 17a^2 + 3a + 24)31 + (4a^9 + 26a^8 + 30a^7 + 3a^6 + 15a^5 + 10a^4 + 5a^3 + 22a^2 + 15a + 29)31^2 + (23a^9 + 14a^8 + 18a^7 + 27a^6 + 21a^5 + 22a^4 + 30a^3 + 6a^2 + 30a + 6)31^3 + (a^9 + 4a^8 + 7a^7 + 4a^5 + 13a^4 + 16a^3 + 2a^2 + 28a + 24)31^4 + (30a^9 + 7a^8 + 6a^7 + a^6 + 27a^5 + 27a^4 + 26a^3 + a^2 + 6a + 23)31^5 + (10a^9 + 4a^8 + 4a^7 + 7a^6 + 15a^5 + 22a^4 + 7a^3 + 16a^2 + 6a + 27)31^6 + (21a^9 + 25a^8 + 27a^7 + 24a^6 + 22a^5 + 15a^4 + 26a^3 + a^2 + 4a + 10)31^7 + (27a^9 + 28a^8 + 27a^7 + 21a^6 + 9a^5 + 27a^4 + 29a^3 + 18a^2 + 16a + 13)31^8 + (30a^9 + 28a^8 + 2a^6 + 4a^5 + 16a^4 + 11a^2 + 15a + 9)*31^9+O(31^10)

Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 24 }$

Cycle notation
$(1,3)(2,4)(5,19)(6,23)(7,14)(8,21)(9,16)(10,24)(11,20)(12,15)(13,22)(17,18)$
$(5,20)(6,16)(7,8)(9,23)(10,24)(11,19)(12,18)(13,22)(14,21)(15,17)$
$(1,5,24,3,19,10)(2,18,22,4,17,13)(6,8,15,23,21,12)(7,9,20,14,16,11)$
$(1,2,3,4)(5,18,19,17)(6,7,23,14)(8,9,21,16)(10,13,24,22)(11,15,20,12)$

Character values on conjugacy classes

Size	Order	Action on $r_1, \ldots, r_{ 24 }$	Character value
$1$	$1$	$()$	$2$
$1$	$2$	$(1,3)(2,4)(5,19)(6,23)(7,14)(8,21)(9,16)(10,24)(11,20)(12,15)(13,22)(17,18)$	$-2$
$30$	$2$	$(1,9)(2,21)(3,16)(4,8)(5,19)(6,11)(7,15)(12,14)(17,18)(20,23)$	$0$
$20$	$3$	$(1,24,19)(2,22,17)(3,10,5)(4,13,18)(6,15,21)(7,20,16)(8,23,12)(9,14,11)$	$-1$
$1$	$4$	$(1,2,3,4)(5,18,19,17)(6,7,23,14)(8,9,21,16)(10,13,24,22)(11,15,20,12)$	$2 \zeta_{20}^{5}$
$1$	$4$	$(1,4,3,2)(5,17,19,18)(6,14,23,7)(8,16,21,9)(10,22,24,13)(11,12,20,15)$	$-2 \zeta_{20}^{5}$
$30$	$4$	$(1,2,3,4)(5,12,19,15)(6,8,23,21)(7,9,14,16)(10,22,24,13)(11,17,20,18)$	$0$
$12$	$5$	$(1,13,19,8,15)(2,24,17,9,20)(3,22,5,21,12)(4,10,18,16,11)$	$-\zeta_{20}^{6} + \zeta_{20}^{4}$
$12$	$5$	$(1,8,13,15,19)(2,9,24,20,17)(3,21,22,12,5)(4,16,10,11,18)$	$\zeta_{20}^{6} - \zeta_{20}^{4} - 1$
$20$	$6$	$(1,5,24,3,19,10)(2,18,22,4,17,13)(6,8,15,23,21,12)(7,9,20,14,16,11)$	$1$
$12$	$10$	$(1,21,13,12,19,3,8,22,15,5)(2,16,24,11,17,4,9,10,20,18)(6,23)(7,14)$	$-\zeta_{20}^{6} + \zeta_{20}^{4} + 1$
$12$	$10$	$(1,12,8,5,13,3,15,21,19,22)(2,11,9,18,24,4,20,16,17,10)(6,23)(7,14)$	$\zeta_{20}^{6} - \zeta_{20}^{4}$
$20$	$12$	$(1,18,10,2,19,13,3,17,24,4,5,22)(6,9,12,7,21,11,23,16,15,14,8,20)$	$\zeta_{20}^{5}$
$20$	$12$	$(1,17,10,4,19,22,3,18,24,2,5,13)(6,16,12,14,21,20,23,9,15,7,8,11)$	$-\zeta_{20}^{5}$
$12$	$20$	$(1,20,21,18,13,2,12,16,19,24,3,11,8,17,22,4,15,9,5,10)(6,7,23,14)$	$\zeta_{20}^{7} - \zeta_{20}^{5} + \zeta_{20}^{3}$
$12$	$20$	$(1,18,12,24,8,4,5,20,13,16,3,17,15,10,21,2,19,11,22,9)(6,14,23,7)$	$\zeta_{20}^{7} + \zeta_{20}^{3}$
$12$	$20$	$(1,11,21,17,13,4,12,9,19,10,3,20,8,18,22,2,15,16,5,24)(6,14,23,7)$	$-\zeta_{20}^{7} + \zeta_{20}^{5} - \zeta_{20}^{3}$
$12$	$20$	$(1,16,17,7,24,2,8,5,23,22,3,9,18,14,10,4,21,19,6,13)(11,15,20,12)$	$-\zeta_{20}^{7} - \zeta_{20}^{3}$

The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.

Overview	Random
Universe	Knowledge

Classical	Maass
Hilbert	Bianchi

Elliptic curves over $\Q$
Elliptic curves over $\Q(\alpha)$
Genus 2 curves over $\Q$
Higher genus families
Abelian varieties over $\F_{q}$

Introduction

L-functions

Modular forms

Varieties

Fields

Representations

Groups

Database

Properties

Related objects

Downloads

Learn more

Basic invariants

Defining polynomial

Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 24 }$

Character values on conjugacy classes

This project is supported by grants from the US National Science Foundation, the UK Engineering and Physical Sciences Research Council, and the Simons Foundation.

Label	2.3775.120.b.c
Dimension	$2$
Group	$\SL(2,5):C_2$
Conductor	$3775$
Root number	not computed
Indicator	$0$