Basic invariants
Dimension: | $2$ |
Group: | 24T576 |
Conductor: | \(3775\)\(\medspace = 5^{2} \cdot 151 \) |
Artin stem field: | Galois closure of 24.4.940350029043078386535797119140625.1 |
Galois orbit size: | $4$ |
Smallest permutation container: | 120 |
Parity: | odd |
Determinant: | 1.151.2t1.a.a |
Projective image: | $A_5$ |
Projective stem field: | Galois closure of 5.1.570025.1 |
Defining polynomial
$f(x)$ | $=$ | \( x^{24} - 10 x^{23} + 48 x^{22} - 158 x^{21} + 381 x^{20} - 714 x^{19} + 1213 x^{18} - 1907 x^{17} + \cdots + 1 \) . |
The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 31 }$ to precision 10.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 31 }$: \( x^{10} + 30x^{5} + 26x^{4} + 13x^{3} + 13x^{2} + 13x + 3 \)
Roots:
$r_{ 1 }$ | $=$ | \( 12 a^{9} + 19 a^{8} + 17 a^{7} + 4 a^{6} + 30 a^{5} + 11 a^{4} + 7 a^{3} + 14 a^{2} + 30 a + 6 + \left(12 a^{9} + 3 a^{8} + 13 a^{7} + 24 a^{6} + 28 a^{5} + 27 a^{4} + 4 a^{3} + 16 a^{2} + 3 a + 1\right)\cdot 31 + \left(13 a^{9} + 11 a^{8} + 9 a^{7} + 22 a^{6} + 20 a^{5} + 13 a^{4} + 19 a^{3} + a^{2} + 2\right)\cdot 31^{2} + \left(15 a^{9} + 19 a^{8} + 6 a^{7} + 3 a^{6} + a^{5} + 11 a^{4} + 13 a^{3} + 3 a^{2} + 21 a + 8\right)\cdot 31^{3} + \left(16 a^{9} + 25 a^{8} + 19 a^{7} + 10 a^{6} + 30 a^{5} + 25 a^{4} + 27 a^{3} + 27 a^{2} + 11 a + 19\right)\cdot 31^{4} + \left(6 a^{9} + 25 a^{8} + 19 a^{7} + 3 a^{6} + 15 a^{5} + 29 a^{4} + 2 a^{3} + 27 a^{2} + 15 a + 29\right)\cdot 31^{5} + \left(29 a^{9} + 29 a^{8} + 24 a^{7} + 15 a^{6} + 13 a^{5} + 15 a^{4} + 4 a^{3} + 13 a^{2} + 6 a + 23\right)\cdot 31^{6} + \left(15 a^{9} + 3 a^{8} + 17 a^{7} + 24 a^{6} + 28 a^{5} + 26 a^{4} + 19 a^{3} + 18 a^{2} + 6 a + 14\right)\cdot 31^{7} + \left(28 a^{9} + 24 a^{8} + 21 a^{7} + 30 a^{6} + 4 a^{5} + 4 a^{4} + a^{3} + 6 a^{2} + 6 a + 13\right)\cdot 31^{8} + \left(5 a^{9} + 13 a^{8} + 30 a^{7} + 17 a^{6} + 14 a^{5} + 13 a^{3} + 16 a^{2} + 18 a + 29\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\) |
$r_{ 2 }$ | $=$ | \( 9 a^{9} + 22 a^{8} + 5 a^{7} + 3 a^{6} + 7 a^{5} + 16 a^{4} + 13 a^{3} + 26 a^{2} + 7 a + 2 + \left(6 a^{9} + 5 a^{8} + 29 a^{7} + 17 a^{6} + 14 a^{5} + 25 a^{4} + a^{3} + 8 a^{2} + 3 a + 22\right)\cdot 31 + \left(25 a^{9} + 20 a^{8} + 6 a^{7} + 14 a^{6} + 11 a^{5} + 24 a^{4} + 9 a^{2} + 2 a + 28\right)\cdot 31^{2} + \left(13 a^{9} + 4 a^{8} + 24 a^{7} + 16 a^{6} + 4 a^{5} + 6 a^{4} + 8 a^{3} + 6 a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 31^{3} + \left(9 a^{9} + 20 a^{8} + 20 a^{7} + 15 a^{6} + 20 a^{5} + 7 a^{4} + 29 a^{3} + 4 a^{2} + 27 a + 22\right)\cdot 31^{4} + \left(13 a^{9} + 2 a^{8} + 25 a^{7} + 30 a^{6} + 27 a^{5} + 3 a^{4} + 25 a^{2} + 17\right)\cdot 31^{5} + \left(24 a^{9} + 13 a^{8} + 26 a^{7} + 24 a^{6} + 17 a^{5} + 19 a^{4} + 19 a^{3} + 26 a^{2} + 26 a + 22\right)\cdot 31^{6} + \left(16 a^{8} + 29 a^{6} + a^{5} + a^{4} + 22 a^{3} + 18 a^{2} + 7 a + 18\right)\cdot 31^{7} + \left(24 a^{9} + a^{8} + 5 a^{7} + 4 a^{6} + 7 a^{5} + 26 a^{4} + 2 a^{2} + 25 a + 18\right)\cdot 31^{8} + \left(11 a^{9} + 29 a^{8} + 21 a^{7} + 2 a^{6} + 19 a^{5} + 23 a^{4} + 10 a^{3} + 5 a^{2} + 21 a + 9\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\) |
$r_{ 3 }$ | $=$ | \( 19 a^{9} + 12 a^{8} + 14 a^{7} + 27 a^{6} + a^{5} + 20 a^{4} + 24 a^{3} + 17 a^{2} + a + 17 + \left(18 a^{9} + 27 a^{8} + 17 a^{7} + 6 a^{6} + 2 a^{5} + 3 a^{4} + 26 a^{3} + 14 a^{2} + 27 a + 24\right)\cdot 31 + \left(17 a^{9} + 19 a^{8} + 21 a^{7} + 8 a^{6} + 10 a^{5} + 17 a^{4} + 11 a^{3} + 29 a^{2} + 30 a + 23\right)\cdot 31^{2} + \left(15 a^{9} + 11 a^{8} + 24 a^{7} + 27 a^{6} + 29 a^{5} + 19 a^{4} + 17 a^{3} + 27 a^{2} + 9 a + 16\right)\cdot 31^{3} + \left(14 a^{9} + 5 a^{8} + 11 a^{7} + 20 a^{6} + 5 a^{4} + 3 a^{3} + 3 a^{2} + 19 a + 19\right)\cdot 31^{4} + \left(24 a^{9} + 5 a^{8} + 11 a^{7} + 27 a^{6} + 15 a^{5} + a^{4} + 28 a^{3} + 3 a^{2} + 15 a + 11\right)\cdot 31^{5} + \left(a^{9} + a^{8} + 6 a^{7} + 15 a^{6} + 17 a^{5} + 15 a^{4} + 26 a^{3} + 17 a^{2} + 24 a + 17\right)\cdot 31^{6} + \left(15 a^{9} + 27 a^{8} + 13 a^{7} + 6 a^{6} + 2 a^{5} + 4 a^{4} + 11 a^{3} + 12 a^{2} + 24 a + 11\right)\cdot 31^{7} + \left(2 a^{9} + 6 a^{8} + 9 a^{7} + 26 a^{5} + 26 a^{4} + 29 a^{3} + 24 a^{2} + 24 a + 3\right)\cdot 31^{8} + \left(25 a^{9} + 17 a^{8} + 13 a^{6} + 16 a^{5} + 30 a^{4} + 17 a^{3} + 14 a^{2} + 12 a\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\) |
$r_{ 4 }$ | $=$ | \( 22 a^{9} + 9 a^{8} + 26 a^{7} + 28 a^{6} + 24 a^{5} + 15 a^{4} + 18 a^{3} + 5 a^{2} + 24 a + 18 + \left(24 a^{9} + 25 a^{8} + a^{7} + 13 a^{6} + 16 a^{5} + 5 a^{4} + 29 a^{3} + 22 a^{2} + 27 a + 13\right)\cdot 31 + \left(5 a^{9} + 10 a^{8} + 24 a^{7} + 16 a^{6} + 19 a^{5} + 6 a^{4} + 30 a^{3} + 21 a^{2} + 28 a + 29\right)\cdot 31^{2} + \left(17 a^{9} + 26 a^{8} + 6 a^{7} + 14 a^{6} + 26 a^{5} + 24 a^{4} + 22 a^{3} + 24 a^{2} + 24 a + 14\right)\cdot 31^{3} + \left(21 a^{9} + 10 a^{8} + 10 a^{7} + 15 a^{6} + 10 a^{5} + 23 a^{4} + a^{3} + 26 a^{2} + 3 a + 4\right)\cdot 31^{4} + \left(17 a^{9} + 28 a^{8} + 5 a^{7} + 3 a^{5} + 27 a^{4} + 30 a^{3} + 5 a^{2} + 30 a + 13\right)\cdot 31^{5} + \left(6 a^{9} + 17 a^{8} + 4 a^{7} + 6 a^{6} + 13 a^{5} + 11 a^{4} + 11 a^{3} + 4 a^{2} + 4 a + 15\right)\cdot 31^{6} + \left(30 a^{9} + 14 a^{8} + 30 a^{7} + a^{6} + 29 a^{5} + 29 a^{4} + 8 a^{3} + 12 a^{2} + 23 a + 23\right)\cdot 31^{7} + \left(6 a^{9} + 29 a^{8} + 25 a^{7} + 26 a^{6} + 23 a^{5} + 4 a^{4} + 30 a^{3} + 28 a^{2} + 5 a + 20\right)\cdot 31^{8} + \left(19 a^{9} + a^{8} + 9 a^{7} + 28 a^{6} + 11 a^{5} + 7 a^{4} + 20 a^{3} + 25 a^{2} + 9 a + 28\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\) |
$r_{ 5 }$ | $=$ | \( 27 a^{9} + 19 a^{8} + 10 a^{7} + 2 a^{6} + 9 a^{5} + 8 a^{4} + 19 a^{3} + 26 a^{2} + 29 a + \left(30 a^{9} + 29 a^{8} + 5 a^{7} + 19 a^{6} + 23 a^{5} + 16 a^{4} + 20 a^{3} + 28 a^{2} + 18 a + 2\right)\cdot 31 + \left(17 a^{9} + 13 a^{8} + 7 a^{7} + 9 a^{6} + 10 a^{4} + 8 a^{3} + 30 a^{2} + 18 a + 9\right)\cdot 31^{2} + \left(3 a^{9} + 17 a^{8} + 10 a^{7} + 2 a^{6} + 15 a^{5} + 19 a^{4} + 3 a^{3} + 27 a^{2} + 13 a + 21\right)\cdot 31^{3} + \left(7 a^{9} + 26 a^{8} + 2 a^{7} + 22 a^{6} + 8 a^{5} + 7 a^{4} + 25 a^{3} + 29 a^{2} + 17\right)\cdot 31^{4} + \left(30 a^{9} + 19 a^{8} + 27 a^{7} + 23 a^{5} + 25 a^{3} + 5 a^{2} + 14 a + 2\right)\cdot 31^{5} + \left(28 a^{9} + 26 a^{8} + 6 a^{7} + 22 a^{6} + 9 a^{5} + 10 a^{4} + 30 a^{3} + 4 a^{2} + 13 a + 10\right)\cdot 31^{6} + \left(28 a^{9} + 28 a^{8} + 28 a^{7} + 24 a^{6} + 17 a^{5} + 12 a^{4} + 23 a^{3} + 20 a^{2} + 16 a + 29\right)\cdot 31^{7} + \left(24 a^{8} + 13 a^{7} + 5 a^{6} + 2 a^{5} + 10 a^{4} + 10 a^{3} + 26 a + 29\right)\cdot 31^{8} + \left(7 a^{9} + 7 a^{8} + 28 a^{7} + 10 a^{6} + 26 a^{5} + 27 a^{4} + 22 a^{3} + 5 a^{2} + 21 a + 23\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\) |
$r_{ 6 }$ | $=$ | \( 20 a^{9} + 10 a^{8} + 16 a^{7} + 28 a^{6} + 4 a^{5} + 12 a^{4} + 10 a^{3} + 20 a^{2} + 7 a + 18 + \left(19 a^{9} + 9 a^{8} + 20 a^{7} + 7 a^{6} + 5 a^{5} + 18 a^{4} + 16 a^{2} + 17 a + 11\right)\cdot 31 + \left(30 a^{9} + a^{8} + 7 a^{7} + 15 a^{6} + 16 a^{5} + 5 a^{4} + 13 a^{3} + 11 a^{2} + 4 a + 14\right)\cdot 31^{2} + \left(25 a^{9} + 24 a^{8} + 16 a^{6} + 27 a^{5} + 22 a^{4} + 16 a^{3} + 8 a^{2} + 12 a + 17\right)\cdot 31^{3} + \left(18 a^{9} + 13 a^{8} + 25 a^{7} + 5 a^{6} + 15 a^{5} + 17 a^{4} + 9 a^{3} + a^{2} + 16 a + 26\right)\cdot 31^{4} + \left(18 a^{9} + 19 a^{8} + 18 a^{7} + 6 a^{6} + 14 a^{5} + 23 a^{4} + 28 a^{3} + 13 a^{2} + 6 a + 6\right)\cdot 31^{5} + \left(25 a^{9} + 5 a^{8} + 27 a^{6} + 12 a^{5} + a^{4} + 8 a^{3} + 8 a^{2} + 7 a + 14\right)\cdot 31^{6} + \left(22 a^{9} + 14 a^{8} + 8 a^{6} + 5 a^{5} + 13 a^{4} + 21 a^{3} + 20 a^{2} + 6 a + 21\right)\cdot 31^{7} + \left(26 a^{9} + 21 a^{8} + 7 a^{7} + 21 a^{6} + 23 a^{5} + 22 a^{4} + 25 a^{3} + 3 a^{2} + 11 a + 11\right)\cdot 31^{8} + \left(6 a^{9} + 5 a^{8} + 17 a^{7} + 16 a^{6} + 22 a^{5} + 25 a^{4} + 22 a^{3} + 17 a + 7\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\) |
$r_{ 7 }$ | $=$ | \( 10 a^{9} + 30 a^{8} + 27 a^{7} + a^{6} + 7 a^{5} + 25 a^{4} + 26 a^{3} + 4 a^{2} + 11 a + 6 + \left(19 a^{9} + 6 a^{8} + 27 a^{7} + 20 a^{6} + 11 a^{5} + 21 a^{4} + 12 a^{3} + 5 a^{2} + 2 a + 27\right)\cdot 31 + \left(11 a^{9} + 24 a^{8} + 18 a^{7} + 5 a^{6} + 28 a^{5} + 24 a^{4} + 4 a^{3} + 5 a^{2} + 6 a + 22\right)\cdot 31^{2} + \left(11 a^{9} + 20 a^{8} + 25 a^{7} + 18 a^{6} + 16 a^{5} + 4 a^{4} + 15 a^{3} + 9 a^{2} + 14 a + 26\right)\cdot 31^{3} + \left(21 a^{9} + 7 a^{8} + 17 a^{7} + 8 a^{6} + 27 a^{5} + 24 a^{4} + 29 a^{3} + 29 a^{2} + 30 a + 30\right)\cdot 31^{4} + \left(18 a^{9} + 8 a^{8} + 5 a^{7} + 29 a^{6} + 30 a^{5} + 5 a^{4} + 24 a^{3} + 16 a^{2} + 24 a + 17\right)\cdot 31^{5} + \left(30 a^{9} + 12 a^{8} + 29 a^{7} + a^{6} + 7 a^{5} + 27 a^{4} + 14 a^{3} + 18 a^{2} + 30 a + 6\right)\cdot 31^{6} + \left(29 a^{9} + 12 a^{8} + 27 a^{7} + 15 a^{6} + 20 a^{5} + 28 a^{4} + 14 a^{3} + 3 a^{2} + 30 a\right)\cdot 31^{7} + \left(5 a^{9} + 24 a^{8} + 14 a^{6} + 18 a^{5} + 6 a^{4} + 25 a^{3} + 16 a^{2} + 20 a + 4\right)\cdot 31^{8} + \left(25 a^{9} + 25 a^{8} + 22 a^{7} + 14 a^{6} + 28 a^{5} + 29 a^{4} + 20 a^{3} + a^{2} + 23 a + 20\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\) |
$r_{ 8 }$ | $=$ | \( 2 a^{9} + a^{8} + 3 a^{7} + 23 a^{6} + 27 a^{4} + 28 a^{3} + 17 a^{2} + 20 a + 15 + \left(20 a^{9} + 25 a^{8} + 24 a^{7} + 20 a^{6} + 28 a^{5} + 9 a^{4} + 25 a^{3} + 2 a^{2} + a + 30\right)\cdot 31 + \left(16 a^{9} + 10 a^{8} + 19 a^{7} + 29 a^{6} + 18 a^{5} + 8 a^{4} + 25 a^{3} + 2 a^{2} + 27 a + 27\right)\cdot 31^{2} + \left(6 a^{9} + 23 a^{8} + 10 a^{7} + 13 a^{6} + 20 a^{5} + 7 a^{4} + 24 a^{3} + 26 a^{2} + 5 a + 29\right)\cdot 31^{3} + \left(15 a^{9} + 12 a^{8} + 19 a^{7} + 18 a^{6} + 22 a^{5} + 28 a^{4} + 15 a^{3} + 10 a^{2} + 28 a + 6\right)\cdot 31^{4} + \left(12 a^{9} + 29 a^{8} + 12 a^{7} + 30 a^{6} + 14 a^{5} + 30 a^{4} + 9 a^{3} + 30 a^{2} + 14 a + 17\right)\cdot 31^{5} + \left(6 a^{9} + 5 a^{8} + 4 a^{7} + 7 a^{6} + 28 a^{5} + 27 a^{4} + 3 a^{3} + 6 a^{2} + 15 a + 13\right)\cdot 31^{6} + \left(3 a^{9} + 6 a^{8} + 17 a^{7} + a^{6} + 16 a^{5} + 29 a^{4} + 17 a^{3} + 17 a^{2} + 13 a + 27\right)\cdot 31^{7} + \left(27 a^{9} + 5 a^{8} + 12 a^{7} + 8 a^{6} + 11 a^{5} + 9 a^{4} + 21 a^{3} + 28 a^{2} + 13 a + 24\right)\cdot 31^{8} + \left(10 a^{9} + 20 a^{8} + 22 a^{7} + 25 a^{6} + 3 a^{5} + 19 a^{4} + 28 a^{3} + 9 a^{2} + 30 a + 30\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\) |
$r_{ 9 }$ | $=$ | \( 13 a^{9} + 5 a^{8} + 12 a^{7} + 10 a^{6} + 18 a^{5} + 5 a^{4} + 13 a^{3} + 23 a^{2} + 27 a + 28 + \left(22 a^{9} + 29 a^{8} + 30 a^{7} + 29 a^{6} + 17 a^{5} + 19 a^{4} + 6 a^{3} + 25 a^{2} + 6 a + 17\right)\cdot 31 + \left(28 a^{9} + 16 a^{8} + a^{7} + 25 a^{6} + 14 a^{5} + 27 a^{4} + 16 a^{3} + 21 a^{2} + 6 a + 22\right)\cdot 31^{2} + \left(5 a^{9} + 15 a^{8} + 3 a^{7} + 18 a^{6} + 2 a^{5} + 13 a^{4} + 24 a^{3} + 19 a^{2} + 6 a + 28\right)\cdot 31^{3} + \left(29 a^{9} + 16 a^{8} + 12 a^{7} + 23 a^{6} + 18 a^{5} + 4 a^{4} + 10 a^{3} + 16 a^{2} + 12 a + 16\right)\cdot 31^{4} + \left(18 a^{9} + 20 a^{8} + 21 a^{7} + 11 a^{6} + 21 a^{5} + 19 a^{4} + 28 a^{3} + 8 a^{2} + 2 a + 15\right)\cdot 31^{5} + \left(24 a^{9} + 18 a^{8} + 13 a^{7} + 18 a^{6} + 2 a^{5} + 24 a^{4} + 18 a^{3} + 3 a^{2} + 22 a + 16\right)\cdot 31^{6} + \left(20 a^{9} + 3 a^{8} + 23 a^{7} + 18 a^{6} + 18 a^{5} + 3 a^{4} + 20 a^{3} + 15 a^{2} + 7 a + 5\right)\cdot 31^{7} + \left(a^{9} + 20 a^{8} + 24 a^{7} + 27 a^{6} + 6 a^{5} + 14 a^{4} + 23 a^{3} + 5 a^{2} + 15 a + 10\right)\cdot 31^{8} + \left(24 a^{9} + 8 a^{8} + 14 a^{7} + 20 a^{6} + 13 a^{5} + 26 a^{4} + 30 a^{3} + 15 a^{2} + 16 a + 3\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\) |
$r_{ 10 }$ | $=$ | \( a^{9} + 13 a^{8} + 23 a^{7} + 14 a^{6} + 5 a^{5} + 8 a^{4} + 4 a^{3} + 17 a^{2} + 9 a + 6 + \left(22 a^{9} + 7 a^{8} + 15 a^{7} + 23 a^{6} + 9 a^{5} + 9 a^{4} + 7 a^{3} + 28 a^{2} + 9 a + 25\right)\cdot 31 + \left(24 a^{9} + 3 a^{8} + 8 a^{7} + a^{6} + 5 a^{5} + 12 a^{4} + 11 a^{3} + 23 a + 23\right)\cdot 31^{2} + \left(16 a^{9} + 15 a^{8} + 9 a^{7} + 27 a^{6} + 19 a^{5} + 5 a^{4} + 5 a^{3} + 16 a^{2} + a + 23\right)\cdot 31^{3} + \left(11 a^{9} + 29 a^{8} + 6 a^{7} + 16 a^{6} + 3 a^{5} + 14 a^{4} + 2 a^{2} + 21 a + 9\right)\cdot 31^{4} + \left(15 a^{9} + 4 a^{8} + 26 a^{7} + 30 a^{6} + 2 a^{5} + 13 a^{4} + 12 a^{3} + 16 a^{2} + 3 a + 15\right)\cdot 31^{5} + \left(16 a^{9} + 26 a^{8} + 15 a^{7} + 16 a^{6} + 28 a^{5} + 18 a^{4} + 3 a^{3} + 10 a^{2} + 16 a\right)\cdot 31^{6} + \left(14 a^{9} + 18 a^{8} + 27 a^{7} + 11 a^{6} + 30 a^{5} + 14 a^{4} + 17 a^{3} + 29 a^{2} + 15 a + 6\right)\cdot 31^{7} + \left(17 a^{9} + 10 a^{8} + 9 a^{7} + 2 a^{6} + 7 a^{5} + 12 a^{4} + 13 a^{3} + 19 a^{2} + 30 a + 10\right)\cdot 31^{8} + \left(24 a^{9} + 20 a^{7} + 9 a^{6} + 4 a^{5} + 10 a^{4} + 19 a^{3} + 22 a^{2} + a + 27\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\) |
$r_{ 11 }$ | $=$ | \( 22 a^{9} + 5 a^{8} + 11 a^{7} + 15 a^{6} + 26 a^{5} + 23 a^{4} + 6 a^{3} + 23 a^{2} + 7 a + 6 + \left(25 a^{9} + 14 a^{8} + 6 a^{7} + 23 a^{6} + 30 a^{5} + 28 a^{4} + 9 a^{3} + 25 a^{2} + 7 a + 28\right)\cdot 31 + \left(2 a^{9} + 20 a^{8} + 14 a^{7} + 21 a^{6} + 8 a^{5} + 11 a^{4} + 27 a^{3} + 24 a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 31^{2} + \left(22 a^{9} + 19 a^{8} + 3 a^{7} + 5 a^{6} + 25 a^{5} + 11 a^{4} + 3 a^{3} + 18 a^{2} + 17 a + 20\right)\cdot 31^{3} + \left(16 a^{9} + 13 a^{8} + 8 a^{7} + 14 a^{6} + 8 a^{5} + 20 a^{4} + 3 a^{3} + 5 a^{2} + 22 a + 8\right)\cdot 31^{4} + \left(28 a^{9} + 25 a^{7} + 6 a^{6} + 25 a^{5} + 15 a^{4} + 27 a^{3} + 4 a^{2} + 19 a + 1\right)\cdot 31^{5} + \left(22 a^{9} + 6 a^{8} + 12 a^{7} + 18 a^{6} + 27 a^{5} + 24 a^{4} + 7 a^{3} + 26 a^{2} + 27 a + 5\right)\cdot 31^{6} + \left(6 a^{9} + a^{8} + 13 a^{7} + 6 a^{6} + 17 a^{5} + 30 a^{4} + 18 a^{3} + 14 a^{2} + 6 a + 15\right)\cdot 31^{7} + \left(29 a^{9} + 4 a^{8} + 23 a^{7} + 3 a^{6} + 16 a^{5} + 10 a^{4} + 19 a^{3} + 20 a + 9\right)\cdot 31^{8} + \left(15 a^{9} + 15 a^{8} + 6 a^{7} + 16 a^{6} + 12 a^{5} + 30 a^{4} + 22 a^{3} + 30 a^{2} + 18 a + 19\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\) |
$r_{ 12 }$ | $=$ | \( 2 a^{9} + 2 a^{8} + 6 a^{7} + 25 a^{6} + 25 a^{5} + 24 a^{4} + 29 a^{3} + 10 a^{2} + 7 a + 13 + \left(3 a^{9} + 2 a^{8} + 15 a^{7} + 21 a^{6} + 12 a^{5} + 18 a^{4} + 29 a^{3} + 29 a^{2} + 13 a + 16\right)\cdot 31 + \left(23 a^{9} + 19 a^{8} + 3 a^{7} + 9 a^{6} + 7 a^{5} + 29 a^{3} + 15 a^{2} + 9 a + 22\right)\cdot 31^{2} + \left(6 a^{8} + 27 a^{7} + 22 a^{6} + 10 a^{5} + 11 a^{4} + 27 a^{3} + 24 a^{2} + 6 a + 13\right)\cdot 31^{3} + \left(17 a^{9} + 20 a^{8} + 9 a^{7} + 27 a^{6} + 6 a^{5} + 18 a^{2} + 27 a + 16\right)\cdot 31^{4} + \left(17 a^{9} + a^{8} + 21 a^{7} + 25 a^{6} + 28 a^{5} + 2 a^{4} + 30 a^{3} + 15 a^{2} + 25 a + 13\right)\cdot 31^{5} + \left(26 a^{9} + 15 a^{8} + 20 a^{7} + 10 a^{6} + 6 a^{5} + 14 a^{4} + 14 a^{3} + 3 a^{2} + 28 a + 23\right)\cdot 31^{6} + \left(10 a^{9} + 8 a^{8} + 24 a^{7} + 21 a^{6} + 10 a^{5} + 29 a^{4} + 9 a^{3} + 10 a^{2} + 10 a + 15\right)\cdot 31^{7} + \left(25 a^{9} + 4 a^{8} + 20 a^{7} + 29 a^{6} + 24 a^{5} + 11 a^{4} + 28 a^{3} + 29 a^{2} + 7 a + 22\right)\cdot 31^{8} + \left(21 a^{9} + 17 a^{8} + 22 a^{7} + 27 a^{6} + 25 a^{5} + 26 a^{3} + 7 a^{2} + 22 a + 26\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\) |
$r_{ 13 }$ | $=$ | \( 25 a^{9} + 21 a^{8} + 6 a^{7} + 11 a^{6} + 29 a^{5} + 13 a^{4} + 23 a^{3} + 29 a^{2} + 7 a + 17 + \left(16 a^{9} + 6 a^{8} + 27 a^{7} + 19 a^{6} + 10 a^{5} + 15 a^{4} + a^{3} + 24 a^{2} + 28 a + 1\right)\cdot 31 + \left(7 a^{9} + 26 a^{8} + 19 a^{7} + 19 a^{6} + 13 a^{5} + 14 a^{4} + 6 a^{3} + 30 a^{2} + 7 a + 10\right)\cdot 31^{2} + \left(20 a^{9} + 23 a^{8} + 24 a^{7} + 3 a^{6} + 15 a^{5} + 18 a^{4} + 14 a^{3} + 19 a^{2} + 2 a + 28\right)\cdot 31^{3} + \left(4 a^{9} + 6 a^{8} + 25 a^{6} + 7 a^{5} + 5 a^{4} + 27 a^{3} + 5 a + 24\right)\cdot 31^{4} + \left(29 a^{9} + 23 a^{8} + 6 a^{7} + 16 a^{6} + 6 a^{5} + 20 a^{4} + 20 a^{3} + 24 a^{2} + 24 a + 8\right)\cdot 31^{5} + \left(30 a^{9} + 20 a^{8} + 3 a^{7} + 6 a^{6} + 12 a^{5} + 25 a^{4} + 11 a^{3} + 17 a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 31^{6} + \left(15 a^{9} + 26 a^{8} + 10 a^{7} + 5 a^{6} + 2 a^{5} + 23 a^{4} + 13 a^{3} + 11 a^{2} + 16 a + 24\right)\cdot 31^{7} + \left(13 a^{9} + 29 a^{8} + 21 a^{7} + 3 a^{6} + 27 a^{5} + 19 a^{4} + 11 a^{3} + 10 a^{2} + 24 a + 5\right)\cdot 31^{8} + \left(12 a^{9} + 26 a^{8} + 27 a^{7} + 26 a^{6} + 26 a^{5} + 21 a^{4} + 3 a^{3} + 7 a^{2} + 5 a + 28\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\) |
$r_{ 14 }$ | $=$ | \( 4 a^{9} + 20 a^{8} + 12 a^{7} + 14 a^{5} + 30 a^{4} + 3 a^{3} + 14 a^{2} + 6 a + 11 + \left(12 a^{9} + 7 a^{8} + 19 a^{7} + 7 a^{6} + 19 a^{5} + 10 a^{4} + 16 a^{3} + 17 a^{2} + 20 a + 22\right)\cdot 31 + \left(24 a^{9} + 13 a^{8} + 14 a^{7} + 22 a^{6} + 13 a^{5} + 22 a^{4} + a^{3} + 11 a^{2} + 27 a + 22\right)\cdot 31^{2} + \left(28 a^{9} + 14 a^{8} + 26 a^{7} + 27 a^{6} + 26 a^{5} + 21 a^{4} + 30 a^{2} + 17 a + 26\right)\cdot 31^{3} + \left(22 a^{9} + 5 a^{8} + 30 a^{6} + 2 a^{5} + 30 a^{4} + 21 a^{3} + 9 a^{2} + 11 a + 19\right)\cdot 31^{4} + \left(17 a^{9} + a^{8} + 24 a^{7} + 26 a^{6} + 12 a^{5} + 19 a^{4} + 11 a^{3} + 24 a^{2} + 25 a + 28\right)\cdot 31^{5} + \left(10 a^{9} + 2 a^{8} + 11 a^{6} + 24 a^{5} + 24 a^{4} + 17 a^{3} + a^{2} + 16 a + 18\right)\cdot 31^{6} + \left(10 a^{9} + 25 a^{8} + 9 a^{7} + 21 a^{6} + 7 a^{5} + 8 a^{4} + 27 a^{3} + 16 a^{2} + 18 a + 16\right)\cdot 31^{7} + \left(20 a^{9} + a^{8} + 2 a^{7} + 29 a^{6} + 25 a^{5} + 2 a^{4} + 20 a + 25\right)\cdot 31^{8} + \left(25 a^{9} + 30 a^{8} + 24 a^{7} + 22 a^{6} + a^{5} + 30 a^{4} + 3 a^{3} + 14 a^{2} + 27 a + 23\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\) |
$r_{ 15 }$ | $=$ | \( 10 a^{9} + 13 a^{8} + 3 a^{7} + 13 a^{6} + 11 a^{5} + 3 a^{4} + 6 a^{3} + 8 a^{2} + 26 a + 13 + \left(25 a^{9} + 13 a^{8} + 27 a^{7} + 18 a^{6} + 6 a^{4} + 8 a^{3} + 19 a^{2} + 14 a + 6\right)\cdot 31 + \left(18 a^{9} + 8 a^{8} + 24 a^{7} + 23 a^{6} + 21 a^{5} + 5 a^{4} + 13 a^{3} + 23 a^{2} + 19 a + 21\right)\cdot 31^{2} + \left(30 a^{9} + 25 a^{8} + 10 a^{7} + 13 a^{6} + a^{5} + 11 a^{4} + 22 a^{3} + 8 a^{2} + 29 a + 5\right)\cdot 31^{3} + \left(2 a^{9} + 15 a^{8} + 21 a^{7} + 17 a^{6} + 27 a^{5} + 2 a^{4} + 18 a^{3} + 13 a^{2} + 15 a + 26\right)\cdot 31^{4} + \left(11 a^{9} + 30 a^{7} + 20 a^{6} + 6 a^{5} + 20 a^{4} + 23 a^{3} + 9 a^{2} + 17 a + 8\right)\cdot 31^{5} + \left(29 a^{9} + 11 a^{8} + 17 a^{7} + 13 a^{6} + 4 a^{5} + 24 a^{4} + 28 a^{3} + 15 a\right)\cdot 31^{6} + \left(17 a^{9} + 29 a^{8} + 4 a^{7} + 23 a^{6} + 24 a^{5} + 24 a^{4} + 6 a^{3} + 21 a^{2} + 13 a + 12\right)\cdot 31^{7} + \left(6 a^{9} + 20 a^{8} + 9 a^{7} + 21 a^{6} + 29 a^{5} + 26 a^{4} + 11 a^{3} + 20 a^{2} + 11 a + 14\right)\cdot 31^{8} + \left(9 a^{9} + 19 a^{8} + 10 a^{7} + a^{6} + 11 a^{5} + 4 a^{4} + 7 a^{3} + 30 a^{2} + 21 a + 1\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\) |
$r_{ 16 }$ | $=$ | \( 21 a^{9} + a^{8} + 19 a^{7} + 8 a^{6} + 15 a^{5} + 19 a^{3} + a^{2} + 15 a + 5 + \left(16 a^{9} + 27 a^{8} + 28 a^{7} + 28 a^{6} + 8 a^{5} + 28 a^{4} + a^{2} + 11 a + 29\right)\cdot 31 + \left(15 a^{9} + 7 a^{8} + 25 a^{7} + 24 a^{6} + 30 a^{5} + 23 a^{4} + 4 a^{3} + 9 a^{2} + 5 a + 18\right)\cdot 31^{2} + \left(25 a^{9} + 20 a^{8} + 29 a^{7} + 16 a^{6} + 30 a^{5} + 18 a^{4} + 26 a^{3} + 17 a^{2} + 6 a + 17\right)\cdot 31^{3} + \left(7 a^{9} + 16 a^{8} + 5 a^{7} + 20 a^{6} + 17 a^{5} + 10 a^{4} + 9 a^{3} + 16 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 31^{4} + \left(13 a^{9} + 16 a^{8} + 9 a^{7} + 18 a^{6} + a^{5} + 30 a^{4} + 15 a^{3} + 7 a^{2} + 11 a + 23\right)\cdot 31^{5} + \left(6 a^{9} + 20 a^{8} + 8 a^{7} + 8 a^{6} + 26 a^{5} + 20 a^{4} + 4 a^{3} + 29 a^{2} + 20 a + 6\right)\cdot 31^{6} + \left(20 a^{8} + 22 a^{7} + 6 a^{6} + 5 a^{5} + 30 a^{4} + a^{3} + 19 a^{2} + 23 a + 27\right)\cdot 31^{7} + \left(15 a^{9} + a^{8} + 24 a^{7} + 6 a^{6} + 27 a^{5} + 4 a^{4} + 21 a^{3} + 11 a^{2} + 12 a + 26\right)\cdot 31^{8} + \left(23 a^{9} + 30 a^{8} + 10 a^{6} + 25 a^{5} + 3 a^{4} + 13 a^{3} + 5 a^{2} + 7 a + 22\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\) |
$r_{ 17 }$ | $=$ | \( 13 a^{9} + 19 a^{8} + a^{7} + 26 a^{6} + 23 a^{5} + 10 a^{4} + 14 a^{3} + 15 a^{2} + 20 a + 23 + \left(21 a^{9} + 24 a^{8} + 14 a^{7} + 11 a^{6} + 11 a^{5} + 30 a^{4} + 26 a^{3} + 23 a^{2} + 18 a + 7\right)\cdot 31 + \left(10 a^{9} + 25 a^{8} + a^{7} + 10 a^{6} + 2 a^{5} + 11 a^{4} + 18 a^{3} + 20 a^{2} + 14 a\right)\cdot 31^{2} + \left(27 a^{9} + 4 a^{8} + 6 a^{7} + 30 a^{6} + 4 a^{5} + 18 a^{4} + 10 a^{3} + 12 a^{2} + 13 a + 11\right)\cdot 31^{3} + \left(30 a^{9} + 20 a^{8} + 23 a^{7} + 19 a^{6} + 10 a^{5} + 30 a^{4} + 22 a^{3} + 4 a^{2} + 2 a + 15\right)\cdot 31^{4} + \left(28 a^{9} + 24 a^{8} + 16 a^{7} + 25 a^{6} + 28 a^{5} + 7 a^{4} + 29 a^{3} + 10 a^{2} + 16 a + 17\right)\cdot 31^{5} + \left(8 a^{9} + 28 a^{8} + 8 a^{7} + 29 a^{6} + 5 a^{5} + 29 a^{3} + 20 a^{2} + 3 a + 28\right)\cdot 31^{6} + \left(15 a^{9} + 12 a^{8} + 3 a^{7} + 18 a^{6} + 11 a^{4} + 8 a^{3} + 25 a^{2} + 10 a + 25\right)\cdot 31^{7} + \left(4 a^{9} + 21 a^{8} + 21 a^{7} + 4 a^{6} + 2 a^{5} + 26 a^{4} + 16 a^{3} + 3 a + 17\right)\cdot 31^{8} + \left(23 a^{9} + 5 a^{8} + 11 a^{7} + 22 a^{6} + 10 a^{5} + 16 a^{4} + 18 a^{3} + 8 a^{2} + 9 a + 17\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\) |
$r_{ 18 }$ | $=$ | \( 3 a^{9} + 2 a^{8} + 2 a^{7} + 10 a^{6} + 29 a^{5} + 17 a^{4} + 23 a^{3} + 8 a^{2} + 22 a + 22 + \left(8 a^{9} + 26 a^{8} + 15 a^{7} + 7 a^{6} + 16 a^{5} + 17 a^{4} + 17 a^{3} + 3 a^{2} + 18 a + 4\right)\cdot 31 + \left(24 a^{9} + 27 a^{8} + 21 a^{7} + 6 a^{6} + 13 a^{5} + 2 a^{4} + 20 a^{3} + 2 a^{2} + 22\right)\cdot 31^{2} + \left(a^{9} + 5 a^{8} + 21 a^{7} + 10 a^{6} + 18 a^{5} + 29 a^{4} + 12 a^{3} + 30 a^{2} + 17 a + 14\right)\cdot 31^{3} + \left(10 a^{9} + 24 a^{8} + 12 a^{7} + 18 a^{6} + 27 a^{5} + 19 a^{3} + 22 a^{2} + 19 a + 19\right)\cdot 31^{4} + \left(a^{9} + 7 a^{8} + 29 a^{7} + 21 a^{6} + 24 a^{5} + 16 a^{4} + 13 a^{3} + 21 a^{2} + 27 a + 11\right)\cdot 31^{5} + \left(29 a^{9} + 11 a^{8} + 7 a^{7} + 12 a^{6} + 4 a^{5} + 12 a^{3} + 14 a^{2} + 7 a + 18\right)\cdot 31^{6} + \left(10 a^{9} + 25 a^{8} + 16 a^{7} + a^{6} + 14 a^{5} + 11 a^{4} + 19 a^{3} + 16 a^{2} + 18\right)\cdot 31^{7} + \left(2 a^{9} + 9 a^{8} + 29 a^{7} + 30 a^{6} + 17 a^{5} + 27 a^{4} + 20 a^{3} + 18 a^{2} + 12 a + 28\right)\cdot 31^{8} + \left(9 a^{9} + 9 a^{8} + a^{7} + 29 a^{6} + 26 a^{5} + 5 a^{4} + 29 a^{3} + 27 a^{2} + 7 a + 25\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\) |
$r_{ 19 }$ | $=$ | \( 20 a^{9} + 3 a^{8} + 14 a^{7} + 14 a^{6} + 19 a^{5} + 3 a^{4} + 14 a^{3} + 23 a^{2} + 15 a + 23 + \left(8 a^{9} + 28 a^{8} + 3 a^{7} + 9 a^{6} + 8 a^{5} + 4 a^{4} + 26 a^{3} + 24 a^{2} + a + 11\right)\cdot 31 + \left(9 a^{8} + 24 a^{7} + 30 a^{6} + 26 a^{5} + 29 a^{3} + 12 a^{2} + 12 a + 27\right)\cdot 31^{2} + \left(29 a^{9} + 11 a^{8} + 16 a^{7} + 11 a^{6} + 11 a^{5} + 8 a^{4} + a^{3} + 13 a^{2} + 28 a + 17\right)\cdot 31^{3} + \left(16 a^{9} + 25 a^{8} + 25 a^{7} + 26 a^{6} + 21 a^{5} + 28 a^{4} + 3 a^{3} + 9 a^{2} + 12 a + 18\right)\cdot 31^{4} + \left(18 a^{8} + 16 a^{7} + 2 a^{6} + 16 a^{5} + 7 a^{4} + 13 a^{3} + 8 a^{2} + 6\right)\cdot 31^{5} + \left(26 a^{9} + 9 a^{8} + 28 a^{7} + 5 a^{6} + 22 a^{5} + 9 a^{4} + 4 a^{3} + 17 a^{2} + 20 a + 16\right)\cdot 31^{6} + \left(16 a^{9} + 16 a^{8} + 8 a^{7} + 7 a^{6} + a^{5} + 30 a^{4} + 22 a^{3} + 24 a^{2} + 20 a + 16\right)\cdot 31^{7} + \left(20 a^{9} + 24 a^{8} + 21 a^{7} + 22 a^{5} + 20 a^{4} + 16 a^{3} + 10 a^{2} + 26 a + 19\right)\cdot 31^{8} + \left(20 a^{9} + 29 a^{8} + 3 a^{7} + 9 a^{6} + 20 a^{5} + 17 a^{4} + 26 a^{3} + 28 a^{2} + 3 a + 19\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\) |
$r_{ 20 }$ | $=$ | \( 16 a^{9} + 23 a^{8} + 12 a^{7} + 20 a^{6} + 11 a^{5} + 13 a^{4} + 27 a^{3} + 15 a^{2} + 9 a + 13 + \left(4 a^{9} + 24 a^{8} + 29 a^{7} + 25 a^{6} + 14 a^{5} + 6 a^{4} + 28 a^{3} + 30 a^{2} + 21 a + 13\right)\cdot 31 + \left(9 a^{9} + 10 a^{8} + 3 a^{7} + 22 a^{6} + 27 a^{5} + 29 a^{4} + 7 a^{3} + 14 a^{2} + 9 a + 19\right)\cdot 31^{2} + \left(2 a^{9} + 20 a^{8} + 23 a^{7} + 15 a^{6} + 10 a^{5} + 18 a^{4} + a^{3} + 30 a^{2} + 25 a + 17\right)\cdot 31^{3} + \left(4 a^{9} + 16 a^{8} + 29 a^{7} + 3 a^{5} + 3 a^{4} + 8 a^{3} + 13 a^{2} + 6 a + 4\right)\cdot 31^{4} + \left(13 a^{9} + 23 a^{8} + 17 a^{7} + 2 a^{6} + 29 a^{5} + 22 a^{4} + 9 a^{3} + 7 a^{2} + 20 a + 23\right)\cdot 31^{5} + \left(10 a^{8} + 21 a^{7} + 8 a^{6} + 6 a^{5} + 5 a^{4} + 14 a^{3} + 3 a^{2} + 22 a + 25\right)\cdot 31^{6} + \left(16 a^{9} + 26 a^{8} + 20 a^{7} + 20 a^{6} + 11 a^{5} + 7 a^{4} + 2 a^{3} + 24 a + 9\right)\cdot 31^{7} + \left(8 a^{9} + 5 a^{8} + 14 a^{7} + 29 a^{6} + 7 a^{5} + 15 a^{4} + 10 a^{3} + 27 a^{2} + 8 a + 2\right)\cdot 31^{8} + \left(28 a^{9} + 19 a^{8} + 3 a^{7} + 4 a^{6} + a^{5} + 3 a^{4} + 6 a^{3} + 24 a^{2} + 26 a + 3\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\) |
$r_{ 21 }$ | $=$ | \( 2 a^{9} + 5 a^{7} + 11 a^{6} + 12 a^{5} + 5 a^{4} + 29 a^{3} + 25 a^{2} + 12 a + 13 + \left(6 a^{9} + 29 a^{8} + 10 a^{7} + 14 a^{6} + 22 a^{4} + 6 a^{3} + 20 a^{2} + 14 a + 17\right)\cdot 31 + \left(21 a^{9} + 4 a^{8} + 12 a^{7} + 30 a^{6} + 16 a^{5} + 26 a^{4} + 8 a^{3} + 20 a^{2} + 15 a + 14\right)\cdot 31^{2} + \left(25 a^{9} + 11 a^{8} + 6 a^{7} + 22 a^{6} + 30 a^{5} + 4 a^{4} + 23 a^{3} + 6 a^{2} + 6 a + 1\right)\cdot 31^{3} + \left(22 a^{9} + 21 a^{8} + 30 a^{7} + 3 a^{6} + 2 a^{5} + 6 a^{4} + a^{3} + 30 a^{2} + 13 a + 12\right)\cdot 31^{4} + \left(5 a^{9} + 2 a^{7} + 14 a^{6} + 24 a^{5} + 15 a^{4} + 8 a^{2} + 19 a + 20\right)\cdot 31^{5} + \left(10 a^{9} + 22 a^{8} + 14 a^{7} + 23 a^{6} + 11 a^{5} + 11 a^{4} + 29 a^{3} + 25 a^{2} + 13 a + 5\right)\cdot 31^{6} + \left(13 a^{9} + 4 a^{8} + 24 a^{7} + 15 a^{6} + 24 a^{5} + 13 a^{4} + 8 a^{3} + 18 a^{2} + 9 a + 23\right)\cdot 31^{7} + \left(23 a^{9} + 8 a^{8} + 20 a^{7} + 26 a^{6} + 6 a^{5} + 11 a^{4} + 4 a^{3} + 5 a^{2} + 24 a + 12\right)\cdot 31^{8} + \left(2 a^{9} + 24 a^{8} + 21 a^{7} + 13 a^{6} + 27 a^{5} + 7 a^{4} + 17 a^{3} + 2 a^{2} + 18 a + 17\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\) |
$r_{ 22 }$ | $=$ | \( 24 a^{9} + 24 a^{8} + 28 a^{7} + 3 a^{6} + 29 a^{5} + 18 a^{4} + 6 a^{3} + 18 a^{2} + 4 a + 7 + \left(10 a^{9} + 18 a^{8} + 22 a^{7} + 24 a^{6} + 26 a^{5} + 19 a^{4} + 13 a^{3} + 17 a^{2} + 15 a + 9\right)\cdot 31 + \left(14 a^{9} + 11 a^{8} + 15 a^{7} + 12 a^{6} + 22 a^{5} + 7 a^{4} + 11 a^{3} + 23 a^{2} + 19 a + 1\right)\cdot 31^{2} + \left(7 a^{9} + 28 a^{8} + 14 a^{7} + a^{6} + 10 a^{5} + 8 a^{4} + 8 a^{3} + 4 a^{2} + 27 a\right)\cdot 31^{3} + \left(24 a^{9} + 2 a^{8} + 23 a^{7} + 16 a^{6} + 29 a^{5} + 9 a^{4} + 2 a^{3} + 13 a^{2} + 20 a + 28\right)\cdot 31^{4} + \left(17 a^{9} + 3 a^{8} + 16 a^{7} + 6 a^{6} + 25 a^{5} + 25 a^{4} + 15 a^{3} + 5 a^{2} + 17 a + 3\right)\cdot 31^{5} + \left(23 a^{9} + 16 a^{8} + 25 a^{7} + 28 a^{5} + 8 a^{4} + 8 a^{3} + 12 a^{2} + 26 a + 5\right)\cdot 31^{6} + \left(25 a^{9} + 9 a^{8} + 17 a^{7} + 11 a^{6} + 27 a^{5} + a^{4} + 9 a^{3} + a^{2} + 9 a + 4\right)\cdot 31^{7} + \left(21 a^{9} + 18 a^{8} + 12 a^{7} + 30 a^{6} + 28 a^{5} + 5 a^{4} + 29 a^{3} + 4 a^{2} + 11 a + 29\right)\cdot 31^{8} + \left(22 a^{9} + 8 a^{8} + 22 a^{7} + 12 a^{6} + 7 a^{5} + 20 a^{4} + 27 a^{3} + 6 a^{2} + 18 a + 20\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\) |
$r_{ 23 }$ | $=$ | \( 4 a^{9} + 3 a^{8} + 7 a^{7} + 7 a^{6} + 15 a^{5} + 7 a^{4} + 13 a^{3} + 16 a^{2} + 17 a + 9 + \left(14 a^{9} + 3 a^{8} + 7 a^{7} + 20 a^{6} + 4 a^{5} + 2 a^{4} + 4 a^{3} + 2 a^{2} + 15 a + 15\right)\cdot 31 + \left(17 a^{9} + 6 a^{8} + 22 a^{7} + 18 a^{6} + 28 a^{5} + 2 a^{4} + 19 a^{3} + 28 a^{2} + 7 a + 5\right)\cdot 31^{2} + \left(13 a^{9} + 14 a^{8} + 21 a^{7} + 19 a^{6} + 27 a^{5} + 9 a^{4} + 10 a^{3} + 16 a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 31^{3} + \left(13 a^{9} + 8 a^{8} + 23 a^{7} + 30 a^{6} + 15 a^{5} + 3 a^{4} + 4 a^{3} + a^{2} + 27 a + 17\right)\cdot 31^{4} + \left(6 a^{9} + a^{8} + 27 a^{7} + 8 a^{6} + 9 a^{5} + 6 a^{4} + 29 a^{3} + 12 a^{2} + 18 a + 8\right)\cdot 31^{5} + \left(20 a^{8} + 8 a^{7} + 29 a^{6} + 22 a^{5} + 28 a^{4} + 4 a^{3} + 17 a^{2} + 27\right)\cdot 31^{6} + \left(17 a^{9} + a^{8} + 30 a^{7} + 7 a^{6} + 27 a^{5} + 12 a^{4} + 11 a^{3} + 22 a^{2} + 17 a + 9\right)\cdot 31^{7} + \left(27 a^{9} + 11 a^{8} + 7 a^{7} + a^{6} + 13 a^{5} + 9 a^{4} + 22 a^{3} + 4 a^{2} + 29 a + 28\right)\cdot 31^{8} + \left(26 a^{9} + 26 a^{8} + 26 a^{7} + 26 a^{6} + 5 a^{5} + 22 a^{4} + 9 a^{3} + 30 a^{2} + 10 a + 19\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\) |
$r_{ 24 }$ | $=$ | \( 9 a^{9} + 3 a^{8} + 7 a^{6} + 9 a^{5} + 28 a^{4} + 29 a^{3} + 29 a^{2} + 9 a + 29 + \left(2 a^{9} + 8 a^{8} + 22 a^{7} + 20 a^{6} + 18 a^{5} + 4 a^{4} + 15 a^{3} + 23 a^{2} + 22 a + 12\right)\cdot 31 + \left(21 a^{9} + 16 a^{8} + 10 a^{7} + 30 a^{6} + 25 a^{5} + a^{3} + 29 a^{2} + 7 a + 2\right)\cdot 31^{2} + \left(4 a^{9} + 18 a^{8} + 18 a^{7} + 10 a^{6} + 14 a^{5} + 17 a^{4} + 26 a^{3} + 29 a^{2} + 23 a + 30\right)\cdot 31^{3} + \left(12 a^{9} + 5 a^{8} + 11 a^{7} + 25 a^{6} + a^{5} + 30 a^{4} + 14 a^{3} + 27 a^{2} + 13 a + 10\right)\cdot 31^{4} + \left(4 a^{9} + 22 a^{8} + 15 a^{7} + 3 a^{6} + 26 a^{5} + 7 a^{4} + 4 a^{3} + 28 a^{2} + 30 a + 17\right)\cdot 31^{5} + \left(14 a^{9} + 20 a^{8} + 29 a^{7} + 6 a^{6} + 15 a^{5} + a^{4} + 10 a^{3} + 6 a^{2} + 25 a + 15\right)\cdot 31^{6} + \left(12 a^{9} + 17 a^{8} + 10 a^{7} + a^{6} + 25 a^{5} + 3 a^{4} + 5 a^{3} + a^{2} + 6 a + 25\right)\cdot 31^{7} + \left(11 a^{9} + 10 a^{8} + 11 a^{7} + 14 a^{6} + 21 a^{5} + 10 a^{4} + 8 a^{3} + 29 a^{2} + 10 a + 12\right)\cdot 31^{8} + \left(10 a^{8} + a^{7} + 20 a^{6} + 7 a^{5} + 18 a^{4} + 14 a^{3} + a^{2} + 6\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\) |
Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 24 }$
Cycle notation |
Character values on conjugacy classes
Size | Order | Action on $r_1, \ldots, r_{ 24 }$ | Character value |
$1$ | $1$ | $()$ | $2$ |
$1$ | $2$ | $(1,3)(2,4)(5,10)(6,21)(7,8)(9,11)(12,20)(13,16)(14,19)(15,23)(17,22)(18,24)$ | $-2$ |
$30$ | $2$ | $(5,19)(6,11)(7,8)(9,21)(10,14)(12,20)(13,15)(16,23)(17,24)(18,22)$ | $0$ |
$20$ | $3$ | $(1,20,21)(2,7,19)(3,12,6)(4,8,14)(5,22,15)(9,16,18)(10,17,23)(11,13,24)$ | $-1$ |
$1$ | $4$ | $(1,4,3,2)(5,9,10,11)(6,19,21,14)(7,20,8,12)(13,22,16,17)(15,18,23,24)$ | $2 \zeta_{20}^{5}$ |
$1$ | $4$ | $(1,2,3,4)(5,11,10,9)(6,14,21,19)(7,12,8,20)(13,17,16,22)(15,24,23,18)$ | $-2 \zeta_{20}^{5}$ |
$30$ | $4$ | $(1,4,3,2)(5,21,10,6)(7,12,8,20)(9,14,11,19)(13,18,16,24)(15,22,23,17)$ | $0$ |
$12$ | $5$ | $(1,9,19,7,24)(2,5,6,12,23)(3,11,14,8,18)(4,10,21,20,15)$ | $-\zeta_{20}^{6} + \zeta_{20}^{4}$ |
$12$ | $5$ | $(1,23,22,20,14)(2,18,13,7,21)(3,15,17,12,19)(4,24,16,8,6)$ | $\zeta_{20}^{6} - \zeta_{20}^{4} - 1$ |
$20$ | $6$ | $(1,6,20,3,21,12)(2,14,7,4,19,8)(5,23,22,10,15,17)(9,24,16,11,18,13)$ | $1$ |
$12$ | $10$ | $(1,8,9,18,19,3,7,11,24,14)(2,20,5,15,6,4,12,10,23,21)(13,16)(17,22)$ | $-\zeta_{20}^{6} + \zeta_{20}^{4} + 1$ |
$12$ | $10$ | $(1,18,7,14,9,3,24,8,19,11)(2,15,12,21,5,4,23,20,6,10)(13,16)(17,22)$ | $\zeta_{20}^{6} - \zeta_{20}^{4}$ |
$20$ | $12$ | $(1,7,6,4,20,19,3,8,21,2,12,14)(5,13,23,9,22,24,10,16,15,11,17,18)$ | $\zeta_{20}^{5}$ |
$20$ | $12$ | $(1,8,6,2,20,14,3,7,21,4,12,19)(5,16,23,11,22,18,10,13,15,9,17,24)$ | $-\zeta_{20}^{5}$ |
$12$ | $20$ | $(1,16,7,9,21,2,22,12,5,19,3,13,8,11,6,4,17,20,10,14)(15,24,23,18)$ | $-\zeta_{20}^{7} + \zeta_{20}^{5} - \zeta_{20}^{3}$ |
$12$ | $20$ | $(1,9,22,19,8,4,10,16,21,12,3,11,17,14,7,2,5,13,6,20)(15,18,23,24)$ | $-\zeta_{20}^{7} - \zeta_{20}^{3}$ |
$12$ | $20$ | $(1,13,7,11,21,4,22,20,5,14,3,16,8,9,6,2,17,12,10,19)(15,18,23,24)$ | $\zeta_{20}^{7} - \zeta_{20}^{5} + \zeta_{20}^{3}$ |
$12$ | $20$ | $(1,11,22,14,8,2,10,13,21,20,3,9,17,19,7,4,5,16,6,12)(15,24,23,18)$ | $\zeta_{20}^{7} + \zeta_{20}^{3}$ |
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.