Basic invariants
| Dimension: | $2$ |
| Group: | 30T15 |
| Conductor: | \(3751\)\(\medspace = 11^{2} \cdot 31 \) |
| Artin stem field: | Galois closure of 30.0.10745322081507339108891258824483901499337171.1 |
| Galois orbit size: | $8$ |
| Smallest permutation container: | 30T15 |
| Parity: | odd |
| Determinant: | 1.341.30t1.a.g |
| Projective image: | $S_3$ |
| Projective stem field: | Galois closure of 3.1.10571.1 |
Defining polynomial
| $f(x)$ | $=$ |
\( x^{30} - x^{29} - 4 x^{28} + 2 x^{27} + 14 x^{26} - 18 x^{25} - 22 x^{24} + 80 x^{23} + 2 x^{22} + \cdots + 3125 \)
|
The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 47 }$ to precision 8.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 47 }$:
\( x^{15} + 43x^{6} + 31x^{5} + 14x^{4} + 42x^{3} + 13x^{2} + 17x + 42 \)
Roots:
| $r_{ 1 }$ | $=$ |
\( a^{14} + 19 a^{13} + a^{12} + 16 a^{11} + 41 a^{10} + 4 a^{9} + 38 a^{8} + 10 a^{7} + 33 a^{6} + 11 a^{5} + 11 a^{4} + 34 a^{3} + 40 a^{2} + 27 a + 14 + \left(23 a^{14} + 33 a^{13} + 22 a^{12} + 25 a^{11} + 25 a^{10} + 27 a^{9} + a^{8} + 41 a^{7} + 21 a^{6} + 45 a^{5} + 39 a^{4} + 11 a^{3} + 4 a^{2} + 39 a + 31\right)\cdot 47 + \left(7 a^{14} + 10 a^{13} + 40 a^{12} + 21 a^{10} + 8 a^{9} + 6 a^{8} + 11 a^{7} + 9 a^{6} + 4 a^{5} + 33 a^{4} + 33 a^{3} + 23 a^{2} + 15 a + 30\right)\cdot 47^{2} + \left(38 a^{14} + 19 a^{13} + 19 a^{12} + 33 a^{11} + 23 a^{10} + 15 a^{9} + 32 a^{8} + 42 a^{7} + 31 a^{6} + 24 a^{5} + 20 a^{4} + 29 a^{3} + 8 a^{2} + 41 a + 18\right)\cdot 47^{3} + \left(6 a^{14} + 37 a^{13} + 42 a^{12} + 45 a^{11} + 27 a^{10} + 45 a^{9} + 34 a^{8} + 33 a^{7} + 46 a^{6} + 7 a^{5} + 10 a^{4} + 11 a^{3} + 43 a^{2} + 21 a + 5\right)\cdot 47^{4} + \left(2 a^{14} + 16 a^{13} + 33 a^{12} + 15 a^{11} + 24 a^{10} + 11 a^{9} + 38 a^{8} + 45 a^{7} + 11 a^{6} + 7 a^{5} + 9 a^{4} + 12 a^{3} + 28 a^{2} + 4 a + 27\right)\cdot 47^{5} + \left(38 a^{14} + 3 a^{13} + 19 a^{12} + 34 a^{11} + 35 a^{10} + 35 a^{9} + 15 a^{8} + 20 a^{7} + 12 a^{6} + 32 a^{5} + 26 a^{4} + 40 a^{3} + 10 a^{2} + 44 a + 44\right)\cdot 47^{6} + \left(15 a^{14} + 16 a^{13} + 17 a^{12} + 22 a^{11} + 25 a^{10} + 43 a^{9} + 29 a^{7} + 9 a^{6} + 31 a^{5} + 35 a^{4} + 32 a^{3} + 46 a^{2} + 38 a + 14\right)\cdot 47^{7} +O(47^{8})\)
|
| $r_{ 2 }$ | $=$ |
\( 8 a^{14} + 40 a^{13} + 16 a^{12} + 15 a^{11} + 27 a^{10} + 11 a^{9} + 19 a^{8} + 21 a^{7} + 8 a^{6} + 43 a^{5} + 42 a^{4} + 19 a^{3} + 40 a^{2} + 35 a + 26 + \left(23 a^{14} + 21 a^{13} + 40 a^{12} + 33 a^{11} + 8 a^{10} + 35 a^{9} + 3 a^{8} + 34 a^{7} + 11 a^{6} + 10 a^{5} + 40 a^{4} + 4 a^{3} + a^{2} + 41 a + 27\right)\cdot 47 + \left(43 a^{14} + a^{13} + 21 a^{12} + 43 a^{11} + 43 a^{10} + a^{9} + 37 a^{8} + 33 a^{7} + 15 a^{6} + 33 a^{5} + 38 a^{4} + 6 a^{3} + 24 a^{2} + 46 a + 22\right)\cdot 47^{2} + \left(13 a^{14} + 35 a^{13} + 6 a^{12} + 2 a^{11} + 23 a^{10} + 40 a^{9} + 25 a^{8} + 14 a^{7} + 34 a^{6} + 35 a^{5} + 39 a^{4} + 13 a^{3} + 11 a^{2} + 18 a + 20\right)\cdot 47^{3} + \left(15 a^{14} + 13 a^{13} + 46 a^{12} + 13 a^{11} + 24 a^{10} + 2 a^{9} + 25 a^{8} + 24 a^{7} + 11 a^{6} + 4 a^{5} + 25 a^{4} + 33 a^{3} + a^{2} + 45 a + 6\right)\cdot 47^{4} + \left(42 a^{13} + 26 a^{12} + 15 a^{11} + 25 a^{10} + 43 a^{9} + 15 a^{8} + 29 a^{7} + 28 a^{6} + 5 a^{5} + 3 a^{4} + 25 a^{3} + 28 a^{2} + 12 a + 37\right)\cdot 47^{5} + \left(20 a^{14} + 6 a^{13} + 28 a^{12} + 42 a^{11} + 44 a^{10} + 15 a^{9} + 3 a^{8} + 40 a^{7} + 12 a^{6} + 12 a^{5} + 19 a^{4} + 2 a^{3} + 13 a^{2} + 5 a + 43\right)\cdot 47^{6} + \left(20 a^{14} + 25 a^{13} + 43 a^{12} + 16 a^{11} + 16 a^{10} + 38 a^{9} + 34 a^{8} + 16 a^{7} + 27 a^{6} + 25 a^{5} + 43 a^{4} + 31 a^{3} + 16 a^{2} + 23 a + 8\right)\cdot 47^{7} +O(47^{8})\)
|
| $r_{ 3 }$ | $=$ |
\( 22 a^{14} + 31 a^{13} + 26 a^{12} + 20 a^{11} + 37 a^{10} + 35 a^{9} + 37 a^{8} + 32 a^{7} + 24 a^{6} + 23 a^{5} + 18 a^{4} + 40 a^{3} + 18 a^{2} + 37 a + 31 + \left(40 a^{14} + 10 a^{13} + 39 a^{12} + 6 a^{11} + 34 a^{10} + 13 a^{9} + 20 a^{8} + 3 a^{7} + 8 a^{6} + 24 a^{5} + 34 a^{4} + 41 a^{3} + 5 a^{2} + 42 a + 42\right)\cdot 47 + \left(6 a^{14} + 16 a^{13} + 7 a^{12} + 6 a^{11} + 30 a^{10} + 7 a^{9} + 5 a^{8} + 22 a^{7} + 43 a^{6} + 18 a^{5} + 22 a^{4} + 40 a^{3} + 35 a^{2} + 9 a + 28\right)\cdot 47^{2} + \left(3 a^{14} + 15 a^{13} + 46 a^{12} + 30 a^{11} + 20 a^{10} + 23 a^{9} + 30 a^{8} + 5 a^{7} + 44 a^{6} + 33 a^{5} + 3 a^{4} + 44 a^{3} + 7 a^{2} + 20 a + 31\right)\cdot 47^{3} + \left(37 a^{14} + 6 a^{13} + 6 a^{12} + 10 a^{11} + 33 a^{10} + 32 a^{9} + a^{8} + 16 a^{7} + 30 a^{6} + 6 a^{5} + 33 a^{4} + 22 a^{3} + 24 a^{2} + 28 a + 5\right)\cdot 47^{4} + \left(43 a^{14} + 45 a^{13} + 35 a^{12} + 38 a^{11} + 31 a^{10} + 39 a^{9} + 6 a^{8} + 43 a^{7} + 37 a^{6} + 45 a^{5} + 36 a^{4} + 42 a^{3} + 22 a^{2} + 6 a + 26\right)\cdot 47^{5} + \left(40 a^{14} + 10 a^{13} + 11 a^{12} + 12 a^{11} + 19 a^{10} + 41 a^{9} + 30 a^{8} + a^{7} + 20 a^{6} + 21 a^{5} + 37 a^{4} + 3 a^{3} + 16 a^{2} + 9\right)\cdot 47^{6} + \left(46 a^{14} + 32 a^{13} + 31 a^{12} + 16 a^{11} + 8 a^{10} + 11 a^{9} + 35 a^{8} + 24 a^{7} + 43 a^{6} + 25 a^{5} + 43 a^{4} + 9 a^{3} + 5 a^{2} + 6 a + 11\right)\cdot 47^{7} +O(47^{8})\)
|
| $r_{ 4 }$ | $=$ |
\( 46 a^{14} + 33 a^{13} + 11 a^{12} + 30 a^{9} + 25 a^{8} + 11 a^{7} + 27 a^{6} + 42 a^{4} + 34 a^{3} + 46 a^{2} + 27 a + 13 + \left(4 a^{14} + 2 a^{12} + 45 a^{11} + 28 a^{10} + 25 a^{9} + 19 a^{8} + 23 a^{7} + 30 a^{6} + 34 a^{5} + 13 a^{4} + 46 a^{3} + 3 a^{2} + 34 a + 26\right)\cdot 47 + \left(5 a^{14} + 3 a^{13} + 9 a^{12} + 46 a^{11} + 24 a^{10} + 21 a^{9} + 21 a^{8} + 35 a^{7} + 20 a^{6} + 43 a^{5} + 42 a^{4} + 12 a^{3} + 42 a^{2} + 43 a + 31\right)\cdot 47^{2} + \left(46 a^{14} + 40 a^{13} + 45 a^{12} + 32 a^{11} + 24 a^{10} + 9 a^{9} + 37 a^{8} + 42 a^{7} + 33 a^{6} + 29 a^{5} + 19 a^{4} + 14 a^{3} + 19 a^{2} + 7 a + 42\right)\cdot 47^{3} + \left(41 a^{14} + 25 a^{13} + 23 a^{12} + 6 a^{11} + 5 a^{10} + 26 a^{9} + 10 a^{8} + 7 a^{7} + 20 a^{6} + 14 a^{5} + 6 a^{4} + 16 a^{3} + 19 a^{2} + 2 a + 37\right)\cdot 47^{4} + \left(36 a^{14} + 43 a^{13} + 5 a^{12} + 24 a^{11} + 23 a^{10} + 11 a^{9} + 43 a^{8} + 2 a^{7} + 24 a^{6} + 13 a^{5} + 25 a^{4} + a^{3} + 4 a^{2} + 30 a + 12\right)\cdot 47^{5} + \left(11 a^{14} + 13 a^{13} + 19 a^{12} + 46 a^{11} + 12 a^{10} + 5 a^{9} + 39 a^{8} + 15 a^{7} + 14 a^{6} + 20 a^{5} + 14 a^{4} + 31 a^{3} + 46 a^{2} + 20 a + 30\right)\cdot 47^{6} + \left(34 a^{14} + 32 a^{13} + 44 a^{12} + 11 a^{11} + 11 a^{10} + 19 a^{9} + 18 a^{8} + 45 a^{7} + 24 a^{6} + 44 a^{5} + 4 a^{4} + 39 a^{3} + 15 a^{2} + 32 a + 44\right)\cdot 47^{7} +O(47^{8})\)
|
| $r_{ 5 }$ | $=$ |
\( 31 a^{14} + 29 a^{13} + 46 a^{12} + 39 a^{11} + 43 a^{10} + 44 a^{9} + 40 a^{8} + 3 a^{7} + 19 a^{6} + 22 a^{5} + 34 a^{4} + 32 a^{3} + 43 a^{2} + 3 a + 37 + \left(36 a^{14} + 40 a^{13} + 27 a^{12} + 8 a^{11} + 37 a^{10} + a^{8} + 5 a^{7} + 37 a^{6} + 2 a^{5} + 36 a^{4} + 40 a^{3} + 9 a^{2} + 42 a + 2\right)\cdot 47 + \left(19 a^{14} + 27 a^{13} + 30 a^{12} + 38 a^{11} + 3 a^{10} + 33 a^{9} + 18 a^{8} + 8 a^{7} + 26 a^{6} + 36 a^{5} + 41 a^{4} + 42 a^{3} + 9 a^{2} + 35 a + 42\right)\cdot 47^{2} + \left(32 a^{14} + 33 a^{13} + 11 a^{12} + 20 a^{11} + 41 a^{10} + 20 a^{9} + 15 a^{8} + 6 a^{7} + 16 a^{6} + 16 a^{5} + 20 a^{4} + 9 a^{3} + 27 a^{2} + 3 a + 28\right)\cdot 47^{3} + \left(34 a^{14} + 28 a^{13} + 14 a^{12} + 35 a^{11} + 7 a^{10} + 36 a^{9} + 20 a^{8} + 39 a^{7} + 28 a^{6} + 11 a^{5} + 5 a^{4} + 4 a^{3} + 31 a^{2} + 24 a + 16\right)\cdot 47^{4} + \left(28 a^{14} + 38 a^{13} + 16 a^{12} + 31 a^{11} + 19 a^{10} + 29 a^{9} + 35 a^{7} + 21 a^{6} + 36 a^{5} + 42 a^{4} + 21 a^{3} + 42 a^{2} + 42 a + 8\right)\cdot 47^{5} + \left(18 a^{14} + 3 a^{13} + 36 a^{12} + 2 a^{11} + 5 a^{10} + 27 a^{9} + 9 a^{8} + 46 a^{7} + 12 a^{6} + 15 a^{5} + 16 a^{4} + 5 a^{3} + 27 a^{2} + 21 a + 30\right)\cdot 47^{6} + \left(23 a^{14} + 35 a^{13} + 20 a^{12} + 28 a^{11} + 34 a^{10} + 16 a^{9} + 4 a^{8} + 42 a^{7} + a^{6} + 17 a^{5} + 30 a^{4} + 19 a^{2} + 35 a + 7\right)\cdot 47^{7} +O(47^{8})\)
|
| $r_{ 6 }$ | $=$ |
\( 30 a^{14} + 28 a^{13} + 22 a^{12} + 17 a^{11} + 29 a^{10} + 31 a^{9} + 38 a^{8} + 22 a^{7} + 42 a^{6} + 31 a^{4} + 7 a^{3} + 35 a^{2} + 17 a + 1 + \left(18 a^{14} + 11 a^{13} + a^{12} + 18 a^{11} + 29 a^{10} + 10 a^{9} + 44 a^{8} + 8 a^{7} + 29 a^{6} + 28 a^{5} + 6 a^{4} + 45 a^{3} + 20 a^{2} + 28 a + 8\right)\cdot 47 + \left(21 a^{14} + 37 a^{13} + 15 a^{12} + 35 a^{11} + 39 a^{10} + 10 a^{9} + 10 a^{8} + 39 a^{7} + 44 a^{6} + 39 a^{5} + 24 a^{3} + 21 a^{2} + 11 a + 12\right)\cdot 47^{2} + \left(25 a^{14} + 8 a^{12} + 41 a^{11} + 35 a^{10} + 23 a^{9} + 34 a^{8} + 32 a^{7} + 40 a^{6} + 17 a^{5} + 14 a^{4} + 28 a^{3} + 16 a^{2} + 42 a + 25\right)\cdot 47^{3} + \left(15 a^{14} + 9 a^{13} + 15 a^{12} + 2 a^{11} + 30 a^{10} + 20 a^{9} + 39 a^{8} + 10 a^{7} + 14 a^{6} + 41 a^{5} + 13 a^{4} + 15 a^{3} + 4 a^{2} + 38 a + 26\right)\cdot 47^{4} + \left(26 a^{14} + 40 a^{13} + 18 a^{12} + 40 a^{11} + 13 a^{10} + 46 a^{9} + 16 a^{8} + 6 a^{7} + 38 a^{6} + 23 a^{5} + 37 a^{4} + 44 a^{3} + 11 a + 46\right)\cdot 47^{5} + \left(18 a^{14} + 3 a^{13} + 9 a^{12} + 43 a^{11} + 22 a^{10} + 35 a^{9} + 30 a^{8} + 38 a^{7} + 20 a^{6} + 21 a^{5} + 22 a^{4} + 34 a^{3} + 37 a^{2} + 12 a + 35\right)\cdot 47^{6} + \left(30 a^{14} + 23 a^{13} + 32 a^{12} + 27 a^{11} + 45 a^{10} + 32 a^{9} + 44 a^{8} + 18 a^{7} + 36 a^{6} + 34 a^{5} + 38 a^{4} + 27 a^{3} + 44 a^{2} + 5 a + 18\right)\cdot 47^{7} +O(47^{8})\)
|
| $r_{ 7 }$ | $=$ |
\( 20 a^{14} + 9 a^{13} + 24 a^{12} + 30 a^{11} + 20 a^{10} + 5 a^{9} + 7 a^{8} + 37 a^{7} + 27 a^{6} + 29 a^{5} + 19 a^{4} + 2 a^{3} + 13 a^{2} + 25 a + 12 + \left(30 a^{14} + 36 a^{13} + 2 a^{12} + 11 a^{11} + 44 a^{10} + 39 a^{9} + 16 a^{8} + 38 a^{7} + 25 a^{6} + 4 a^{5} + 9 a^{3} + 35 a^{2} + 38 a + 18\right)\cdot 47 + \left(43 a^{14} + 21 a^{13} + 40 a^{12} + 11 a^{11} + 10 a^{10} + 8 a^{9} + 6 a^{8} + 2 a^{7} + 35 a^{6} + 9 a^{5} + 35 a^{4} + 13 a^{3} + 41 a^{2} + 5\right)\cdot 47^{2} + \left(22 a^{14} + 44 a^{13} + 44 a^{12} + 22 a^{11} + 26 a^{10} + a^{9} + 33 a^{8} + 11 a^{7} + 45 a^{6} + 23 a^{5} + 18 a^{4} + 30 a^{3} + 27 a^{2} + 26 a + 31\right)\cdot 47^{3} + \left(10 a^{14} + a^{13} + 6 a^{12} + 45 a^{11} + a^{10} + 28 a^{9} + 7 a^{8} + 20 a^{7} + 11 a^{6} + 22 a^{5} + 17 a^{4} + 27 a^{3} + 15 a^{2} + 34 a + 22\right)\cdot 47^{4} + \left(7 a^{14} + 12 a^{13} + 17 a^{12} + 9 a^{11} + 46 a^{10} + 46 a^{9} + 25 a^{8} + 42 a^{7} + 34 a^{6} + 12 a^{5} + 5 a^{4} + 5 a^{3} + 33 a^{2} + 2 a + 43\right)\cdot 47^{5} + \left(15 a^{14} + 31 a^{13} + 24 a^{11} + 20 a^{10} + 19 a^{9} + 37 a^{8} + 35 a^{7} + 37 a^{6} + 29 a^{5} + 13 a^{4} + 25 a^{3} + 4 a^{2} + 34 a + 13\right)\cdot 47^{6} + \left(29 a^{14} + 36 a^{13} + 25 a^{12} + 36 a^{11} + 11 a^{10} + 30 a^{9} + 42 a^{8} + 12 a^{7} + 3 a^{6} + 13 a^{5} + 7 a^{4} + 14 a^{3} + 12 a^{2} + 31 a + 33\right)\cdot 47^{7} +O(47^{8})\)
|
| $r_{ 8 }$ | $=$ |
\( 5 a^{14} + 9 a^{13} + 17 a^{12} + 35 a^{11} + 33 a^{9} + 27 a^{8} + 13 a^{7} + 6 a^{6} + 35 a^{5} + 24 a^{4} + 38 a^{3} + 24 a^{2} + 28 a + 12 + \left(26 a^{14} + 26 a^{13} + 34 a^{12} + 21 a^{11} + 24 a^{10} + 23 a^{9} + 20 a^{8} + 38 a^{7} + 7 a^{6} + 17 a^{5} + 9 a^{4} + 4 a^{3} + 13 a^{2} + 34 a + 22\right)\cdot 47 + \left(21 a^{14} + 32 a^{13} + 4 a^{12} + 15 a^{11} + 40 a^{10} + 11 a^{9} + 40 a^{8} + 25 a^{7} + 12 a^{6} + 21 a^{5} + 28 a^{4} + 34 a^{3} + 15 a^{2} + 21 a + 33\right)\cdot 47^{2} + \left(14 a^{14} + 37 a^{13} + 34 a^{12} + 30 a^{11} + 2 a^{10} + a^{9} + 29 a^{8} + 40 a^{7} + 42 a^{6} + 13 a^{5} + 21 a^{4} + 13 a^{2} + 43 a\right)\cdot 47^{3} + \left(26 a^{14} + 40 a^{13} + 26 a^{12} + 34 a^{11} + 40 a^{10} + 10 a^{9} + 37 a^{8} + 30 a^{7} + 25 a^{6} + 41 a^{5} + 38 a^{4} + 36 a^{3} + 34 a^{2} + 23 a + 23\right)\cdot 47^{4} + \left(33 a^{14} + 15 a^{13} + 40 a^{12} + 34 a^{11} + 33 a^{10} + 25 a^{9} + 27 a^{8} + 38 a^{7} + 3 a^{6} + 42 a^{5} + 29 a^{4} + 30 a^{3} + 37 a^{2} + 13 a + 18\right)\cdot 47^{5} + \left(34 a^{14} + 43 a^{13} + 45 a^{12} + 31 a^{10} + 15 a^{9} + 40 a^{8} + a^{7} + 12 a^{6} + 11 a^{5} + 16 a^{4} + 38 a^{3} + 27 a^{2} + 30 a + 3\right)\cdot 47^{6} + \left(8 a^{14} + 36 a^{13} + 7 a^{12} + 16 a^{11} + 37 a^{10} + 7 a^{9} + a^{8} + 43 a^{7} + 10 a^{6} + 37 a^{5} + 42 a^{4} + 37 a^{3} + 23 a^{2} + 10 a + 1\right)\cdot 47^{7} +O(47^{8})\)
|
| $r_{ 9 }$ | $=$ |
\( 38 a^{14} + 18 a^{13} + 19 a^{12} + 22 a^{11} + 34 a^{10} + 2 a^{9} + 15 a^{8} + 20 a^{7} + 22 a^{6} + 22 a^{5} + 28 a^{4} + 28 a^{3} + 8 a^{2} + 8 a + 13 + \left(44 a^{14} + 26 a^{13} + 20 a^{12} + 31 a^{11} + 18 a^{10} + 15 a^{9} + 36 a^{8} + 28 a^{7} + 12 a^{6} + 6 a^{5} + 24 a^{4} + 44 a^{3} + 4 a^{2} + 35 a + 36\right)\cdot 47 + \left(34 a^{14} + 9 a^{13} + 6 a^{12} + 31 a^{11} + a^{10} + 8 a^{9} + 23 a^{8} + 45 a^{7} + 10 a^{6} + 5 a^{5} + 5 a^{4} + 14 a^{3} + a^{2} + 38 a + 40\right)\cdot 47^{2} + \left(45 a^{14} + 34 a^{13} + 25 a^{12} + 38 a^{11} + 8 a^{10} + a^{9} + 40 a^{8} + 21 a^{7} + 25 a^{6} + 25 a^{5} + 5 a^{4} + 22 a^{3} + 12 a^{2} + 25 a + 30\right)\cdot 47^{3} + \left(35 a^{14} + 23 a^{13} + 10 a^{12} + 2 a^{11} + 35 a^{10} + 8 a^{9} + 10 a^{8} + 46 a^{7} + 20 a^{6} + 5 a^{5} + 15 a^{4} + 10 a^{3} + 44 a^{2} + 41 a + 19\right)\cdot 47^{4} + \left(30 a^{14} + 40 a^{13} + 33 a^{12} + 21 a^{11} + 2 a^{10} + 21 a^{9} + 18 a^{8} + 24 a^{6} + 39 a^{5} + 25 a^{4} + 42 a^{3} + a^{2} + 3 a + 10\right)\cdot 47^{5} + \left(15 a^{14} + 21 a^{13} + 7 a^{12} + 23 a^{11} + 20 a^{10} + 3 a^{9} + 9 a^{8} + 16 a^{7} + 29 a^{6} + 4 a^{5} + 40 a^{4} + 25 a^{3} + 44 a^{2} + 32 a + 41\right)\cdot 47^{6} + \left(31 a^{14} + 7 a^{13} + 44 a^{12} + 46 a^{11} + 16 a^{10} + 5 a^{9} + 14 a^{8} + 15 a^{7} + 27 a^{6} + 18 a^{5} + 22 a^{4} + 13 a^{3} + 7 a^{2} + 5 a + 40\right)\cdot 47^{7} +O(47^{8})\)
|
| $r_{ 10 }$ | $=$ |
\( 37 a^{14} + 12 a^{13} + 15 a^{12} + 19 a^{11} + 23 a^{10} + 13 a^{9} + 26 a^{8} + 2 a^{7} + 17 a^{6} + 16 a^{5} + 5 a^{4} + 22 a^{3} + 16 a^{2} + 10 a + 37 + \left(38 a^{14} + 7 a^{13} + 4 a^{12} + 13 a^{11} + 4 a^{10} + 8 a^{9} + 10 a^{8} + 28 a^{7} + 21 a^{6} + 42 a^{5} + 18 a^{4} + 34 a^{3} + 4 a^{2} + 15 a + 15\right)\cdot 47 + \left(28 a^{14} + 32 a^{13} + 11 a^{12} + 43 a^{11} + 16 a^{10} + 38 a^{9} + 7 a^{8} + 29 a^{7} + 17 a^{6} + 34 a^{5} + 8 a^{4} + 18 a^{3} + 25 a^{2} + 15 a + 31\right)\cdot 47^{2} + \left(8 a^{14} + 11 a^{13} + 11 a^{12} + a^{11} + 35 a^{10} + 36 a^{9} + 7 a^{8} + 14 a^{7} + 13 a^{6} + 16 a^{5} + 42 a^{4} + 6 a^{3} + 42 a^{2} + 13 a + 43\right)\cdot 47^{3} + \left(23 a^{14} + 25 a^{13} + 31 a^{12} + 43 a^{11} + 16 a^{10} + 40 a^{9} + 38 a^{8} + 45 a^{7} + 16 a^{6} + 38 a^{5} + 39 a^{4} + 7 a^{3} + 44 a^{2} + 9 a + 43\right)\cdot 47^{4} + \left(17 a^{14} + 3 a^{13} + 19 a^{12} + 41 a^{11} + 2 a^{10} + 18 a^{9} + 42 a^{8} + 22 a^{7} + 24 a^{6} + 40 a^{5} + 19 a^{4} + 40 a^{3} + 27 a^{2} + 3 a + 4\right)\cdot 47^{5} + \left(37 a^{14} + 6 a^{13} + 25 a^{12} + 3 a^{11} + 39 a^{10} + 23 a^{9} + 17 a^{8} + 32 a^{7} + 18 a^{6} + 4 a^{5} + 29 a^{4} + 37 a^{3} + 9 a^{2} + 10 a + 43\right)\cdot 47^{6} + \left(14 a^{14} + 11 a^{13} + 9 a^{12} + 39 a^{11} + 31 a^{10} + 44 a^{9} + 7 a^{8} + 14 a^{7} + 7 a^{6} + 5 a^{5} + 12 a^{4} + 25 a^{3} + 19 a^{2} + 4 a + 12\right)\cdot 47^{7} +O(47^{8})\)
|
| $r_{ 11 }$ | $=$ |
\( 37 a^{14} + 21 a^{13} + 26 a^{12} + 16 a^{11} + 22 a^{10} + 36 a^{9} + 39 a^{8} + 13 a^{7} + 8 a^{6} + 33 a^{5} + 33 a^{4} + 28 a^{3} + 32 a^{2} + 34 a + 41 + \left(19 a^{14} + 2 a^{13} + 12 a^{12} + a^{11} + 41 a^{10} + 41 a^{9} + 43 a^{8} + 13 a^{7} + 37 a^{6} + 19 a^{5} + 20 a^{4} + 7 a^{3} + 10 a^{2} + 26 a + 46\right)\cdot 47 + \left(5 a^{14} + 42 a^{13} + 15 a^{12} + 18 a^{11} + 16 a^{9} + 40 a^{8} + 4 a^{7} + 22 a^{6} + 6 a^{5} + 39 a^{4} + 30 a^{3} + 12 a^{2} + 32 a + 13\right)\cdot 47^{2} + \left(40 a^{14} + 4 a^{13} + 41 a^{12} + 13 a^{11} + 8 a^{10} + 13 a^{9} + 33 a^{8} + 9 a^{7} + 39 a^{6} + 5 a^{5} + 42 a^{4} + 39 a^{3} + 24 a^{2} + 32 a + 12\right)\cdot 47^{3} + \left(4 a^{14} + 10 a^{13} + 5 a^{12} + 34 a^{11} + 21 a^{10} + 7 a^{9} + 26 a^{8} + 14 a^{7} + 13 a^{6} + 32 a^{5} + 30 a^{4} + 29 a^{3} + 20 a^{2} + 9 a + 23\right)\cdot 47^{4} + \left(9 a^{14} + 14 a^{13} + 6 a^{12} + 29 a^{11} + 27 a^{10} + 40 a^{9} + 44 a^{8} + 40 a^{7} + 42 a^{6} + 39 a^{5} + 20 a^{4} + 13 a^{3} + 46 a\right)\cdot 47^{5} + \left(15 a^{14} + 2 a^{13} + 16 a^{12} + 10 a^{11} + 36 a^{10} + 8 a^{9} + 37 a^{8} + 28 a^{7} + 40 a^{6} + 17 a^{5} + 38 a^{4} + 35 a^{3} + 15 a^{2} + 12 a + 1\right)\cdot 47^{6} + \left(38 a^{14} + 5 a^{13} + 32 a^{12} + 32 a^{11} + 35 a^{10} + 25 a^{9} + 26 a^{8} + a^{7} + 7 a^{6} + 2 a^{5} + 18 a^{4} + 41 a^{3} + 19 a + 36\right)\cdot 47^{7} +O(47^{8})\)
|
| $r_{ 12 }$ | $=$ |
\( 3 a^{14} + 2 a^{13} + 4 a^{12} + 41 a^{11} + 19 a^{10} + 42 a^{9} + 24 a^{8} + 9 a^{7} + 46 a^{6} + 6 a^{5} + 3 a^{4} + 8 a^{3} + 11 a^{2} + 19 a + 32 + \left(11 a^{14} + 43 a^{13} + 19 a^{12} + 3 a^{11} + a^{10} + 10 a^{9} + 24 a^{8} + 33 a^{7} + 44 a^{6} + 14 a^{5} + 4 a^{4} + 44 a^{3} + 46 a^{2} + 39 a + 17\right)\cdot 47 + \left(39 a^{14} + 31 a^{12} + 16 a^{11} + 40 a^{10} + 2 a^{9} + 35 a^{8} + 44 a^{7} + 43 a^{6} + 12 a^{5} + 44 a^{4} + 42 a^{3} + 29 a^{2} + 44 a + 9\right)\cdot 47^{2} + \left(45 a^{14} + 24 a^{13} + 9 a^{12} + 27 a^{11} + 39 a^{10} + 28 a^{9} + 9 a^{8} + 21 a^{7} + 28 a^{6} + 46 a^{5} + 19 a^{4} + 44 a^{3} + 43 a^{2} + 45 a + 40\right)\cdot 47^{3} + \left(33 a^{14} + 45 a^{13} + 37 a^{12} + 27 a^{11} + 9 a^{10} + 7 a^{9} + 17 a^{8} + 24 a^{7} + 29 a^{6} + 15 a^{5} + 23 a^{4} + 17 a^{3} + 11 a^{2} + 21 a + 15\right)\cdot 47^{4} + \left(29 a^{14} + 22 a^{13} + 15 a^{12} + 19 a^{11} + 42 a^{10} + 15 a^{9} + 24 a^{8} + 40 a^{7} + 5 a^{6} + 9 a^{5} + 34 a^{4} + 45 a^{3} + 41 a^{2} + 35 a + 6\right)\cdot 47^{5} + \left(4 a^{14} + 12 a^{13} + 37 a^{12} + 28 a^{11} + 27 a^{10} + 32 a^{9} + 22 a^{8} + 40 a^{7} + 41 a^{6} + 38 a^{5} + 37 a^{4} + 46 a^{3} + 13 a^{2} + 15 a + 44\right)\cdot 47^{6} + \left(2 a^{14} + 30 a^{13} + 33 a^{12} + 9 a^{11} + 45 a^{10} + 37 a^{9} + 26 a^{8} + 14 a^{7} + 11 a^{6} + 31 a^{5} + 41 a^{4} + 7 a^{3} + 42 a^{2} + 33\right)\cdot 47^{7} +O(47^{8})\)
|
| $r_{ 13 }$ | $=$ |
\( 38 a^{14} + 2 a^{13} + 46 a^{12} + 20 a^{11} + 9 a^{10} + 5 a^{9} + 17 a^{8} + 43 a^{7} + 20 a^{6} + 15 a^{5} + 23 a^{4} + 4 a^{3} + 46 a^{2} + 30 a + 42 + \left(6 a^{14} + 46 a^{13} + 35 a^{12} + 5 a^{11} + 45 a^{10} + 10 a^{9} + 17 a^{8} + 35 a^{7} + 9 a^{6} + 12 a^{5} + 5 a^{4} + 11 a^{3} + 9 a^{2} + 32 a + 35\right)\cdot 47 + \left(6 a^{14} + 2 a^{13} + 28 a^{12} + 24 a^{11} + 33 a^{10} + 24 a^{9} + 39 a^{8} + 21 a^{5} + 19 a^{4} + 26 a^{3} + 12 a^{2} + 27 a + 5\right)\cdot 47^{2} + \left(10 a^{14} + 13 a^{13} + 6 a^{12} + 14 a^{11} + 34 a^{10} + 31 a^{9} + 29 a^{8} + 5 a^{7} + 18 a^{6} + 20 a^{5} + 19 a^{4} + 9 a^{3} + 27 a^{2} + 6 a + 11\right)\cdot 47^{3} + \left(40 a^{14} + 31 a^{13} + 18 a^{12} + 20 a^{11} + 32 a^{10} + 12 a^{9} + 13 a^{8} + 40 a^{7} + 41 a^{6} + 29 a^{5} + 19 a^{4} + 3 a^{3} + 15 a^{2} + 34 a + 31\right)\cdot 47^{4} + \left(12 a^{14} + 46 a^{13} + 25 a^{12} + 2 a^{11} + 6 a^{10} + 33 a^{9} + a^{8} + 43 a^{7} + 26 a^{6} + 28 a^{5} + 35 a^{4} + a^{3} + 19 a^{2} + 25 a + 13\right)\cdot 47^{5} + \left(31 a^{14} + 45 a^{13} + 37 a^{12} + 5 a^{11} + 6 a^{10} + a^{9} + 41 a^{8} + 10 a^{7} + 32 a^{6} + 35 a^{5} + 18 a^{4} + 39 a^{3} + 9 a^{2} + 40 a + 17\right)\cdot 47^{6} + \left(36 a^{14} + 15 a^{13} + 43 a^{12} + 33 a^{11} + 11 a^{10} + 8 a^{9} + 10 a^{7} + 22 a^{6} + 2 a^{5} + 29 a^{4} + 14 a^{3} + 44 a^{2} + 10 a + 32\right)\cdot 47^{7} +O(47^{8})\)
|
| $r_{ 14 }$ | $=$ |
\( 30 a^{14} + 4 a^{13} + 13 a^{12} + 10 a^{11} + 39 a^{10} + 14 a^{9} + 44 a^{8} + a^{7} + 38 a^{6} + 35 a^{5} + 12 a^{4} + 12 a^{3} + 11 a^{2} + 7 a + 8 + \left(39 a^{14} + 45 a^{13} + 12 a^{12} + 30 a^{11} + 38 a^{10} + 8 a^{9} + 5 a^{8} + 35 a^{7} + 42 a^{6} + 3 a^{5} + 6 a^{4} + 6 a^{3} + 24 a^{2} + 12 a + 1\right)\cdot 47 + \left(9 a^{13} + 14 a^{12} + 34 a^{11} + 45 a^{10} + 18 a^{9} + 10 a^{8} + 36 a^{7} + 22 a^{6} + 32 a^{5} + 26 a^{4} + a^{3} + 33 a^{2} + 28 a + 26\right)\cdot 47^{2} + \left(36 a^{14} + 13 a^{13} + 25 a^{12} + 9 a^{11} + 44 a^{10} + 10 a^{9} + 5 a^{8} + 23 a^{7} + 19 a^{6} + 11 a^{4} + 6 a^{3} + 2 a^{2} + 14 a + 12\right)\cdot 47^{3} + \left(35 a^{14} + 7 a^{13} + 5 a^{12} + 2 a^{11} + 16 a^{10} + 40 a^{9} + 15 a^{7} + 20 a^{6} + 15 a^{5} + 33 a^{4} + 20 a^{3} + 34 a^{2} + 2 a + 23\right)\cdot 47^{4} + \left(19 a^{14} + 11 a^{13} + 9 a^{12} + 33 a^{11} + 28 a^{10} + 23 a^{9} + a^{8} + 2 a^{7} + 42 a^{6} + 11 a^{5} + 41 a^{4} + 33 a^{3} + a^{2} + 11 a + 42\right)\cdot 47^{5} + \left(8 a^{14} + 36 a^{13} + 41 a^{12} + 14 a^{11} + 44 a^{10} + 8 a^{9} + 32 a^{8} + 35 a^{7} + 36 a^{6} + 20 a^{5} + 18 a^{4} + 19 a^{3} + 7 a^{2} + 18 a + 43\right)\cdot 47^{6} + \left(29 a^{14} + 3 a^{13} + 13 a^{12} + 42 a^{11} + 2 a^{10} + 5 a^{9} + 45 a^{8} + 29 a^{7} + 39 a^{6} + 13 a^{5} + 15 a^{4} + 19 a^{3} + 21 a^{2} + 17 a + 16\right)\cdot 47^{7} +O(47^{8})\)
|
| $r_{ 15 }$ | $=$ |
\( 18 a^{14} + 17 a^{13} + 37 a^{12} + 14 a^{11} + 42 a^{10} + 15 a^{9} + 17 a^{8} + 31 a^{7} + 36 a^{6} + 4 a^{5} + 30 a^{4} + 32 a^{3} + 26 a^{2} + 6 a + 22 + \left(28 a^{14} + 45 a^{13} + 24 a^{12} + 21 a^{11} + 34 a^{10} + 14 a^{9} + 30 a^{8} + 31 a^{7} + 3 a^{6} + 7 a^{5} + 45 a^{4} + 11 a^{3} + 11 a^{2} + 16 a + 15\right)\cdot 47 + \left(2 a^{14} + 45 a^{13} + 34 a^{12} + 25 a^{11} + 42 a^{10} + 45 a^{9} + 23 a^{8} + 29 a^{7} + 35 a^{6} + 31 a^{5} + 30 a^{4} + 8 a^{3} + 40 a^{2} + 38 a + 12\right)\cdot 47^{2} + \left(27 a^{14} + 28 a^{13} + 43 a^{12} + 7 a^{11} + 4 a^{10} + 6 a^{9} + 27 a^{8} + 23 a^{7} + 7 a^{6} + 33 a^{5} + 13 a^{4} + 43 a^{3} + 39 a^{2} + 45 a + 7\right)\cdot 47^{3} + \left(36 a^{14} + 14 a^{13} + 9 a^{12} + 33 a^{11} + 13 a^{10} + 27 a^{9} + 31 a^{8} + 5 a^{7} + 2 a^{6} + 2 a^{5} + 5 a^{4} + 46 a^{3} + 44 a^{2} + 42 a + 1\right)\cdot 47^{4} + \left(18 a^{14} + 25 a^{13} + 8 a^{12} + 38 a^{11} + 4 a^{10} + 17 a^{9} + 24 a^{8} + 46 a^{7} + 16 a^{6} + 14 a^{5} + 35 a^{4} + 4 a^{3} + 17 a^{2} + 40 a + 40\right)\cdot 47^{5} + \left(19 a^{14} + 46 a^{13} + 19 a^{12} + 32 a^{11} + 40 a^{10} + 11 a^{9} + 8 a^{8} + 37 a^{7} + 33 a^{6} + 19 a^{5} + a^{4} + 29 a^{3} + 38 a^{2} + 26 a + 14\right)\cdot 47^{6} + \left(8 a^{13} + 9 a^{12} + 29 a^{11} + 31 a^{10} + 20 a^{9} + 31 a^{8} + 43 a^{7} + 11 a^{6} + 39 a^{5} + 8 a^{4} + 44 a^{3} + 33 a^{2} + 22 a + 37\right)\cdot 47^{7} +O(47^{8})\)
|
| $r_{ 16 }$ | $=$ |
\( 4 a^{14} + 21 a^{13} + 24 a^{12} + 3 a^{11} + 36 a^{10} + 12 a^{9} + 10 a^{8} + 4 a^{7} + 29 a^{6} + 36 a^{5} + 25 a^{4} + 13 a^{3} + 41 a^{2} + 29 a + 15 + \left(26 a^{14} + 23 a^{13} + 34 a^{12} + 27 a^{11} + 18 a^{10} + 43 a^{9} + 45 a^{8} + 46 a^{7} + 19 a^{6} + 20 a^{5} + 24 a^{4} + 11 a^{3} + 15 a^{2} + 42 a + 39\right)\cdot 47 + \left(25 a^{14} + 3 a^{13} + 6 a^{12} + 36 a^{11} + 8 a^{10} + 40 a^{9} + 35 a^{8} + 22 a^{7} + 33 a^{6} + 4 a^{5} + 10 a^{4} + 15 a^{3} + 33 a^{2} + 18 a + 25\right)\cdot 47^{2} + \left(40 a^{14} + 9 a^{13} + 33 a^{12} + 12 a^{11} + 17 a^{10} + 43 a^{9} + 23 a^{8} + 24 a^{7} + 34 a^{6} + 9 a^{5} + 37 a^{4} + 42 a^{3} + 45 a^{2} + 41 a + 4\right)\cdot 47^{3} + \left(2 a^{14} + 34 a^{13} + 11 a^{12} + 18 a^{11} + 3 a^{10} + 28 a^{9} + a^{8} + 13 a^{7} + 15 a^{6} + 38 a^{5} + 13 a^{4} + 33 a^{3} + 31 a^{2} + a + 43\right)\cdot 47^{4} + \left(36 a^{14} + 5 a^{13} + 28 a^{12} + 10 a^{11} + 14 a^{10} + 20 a^{9} + 6 a^{8} + 5 a^{7} + 23 a^{6} + 32 a^{5} + 16 a^{4} + 25 a^{3} + 3 a^{2} + a + 4\right)\cdot 47^{5} + \left(42 a^{14} + 8 a^{13} + 7 a^{12} + 39 a^{11} + 34 a^{10} + 20 a^{9} + 46 a^{8} + 27 a^{7} + 6 a^{6} + 24 a^{5} + 36 a^{4} + 37 a^{3} + a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 47^{6} + \left(46 a^{14} + 5 a^{13} + 6 a^{12} + 13 a^{11} + 27 a^{10} + 30 a^{9} + 30 a^{8} + 18 a^{7} + 16 a^{6} + 25 a^{5} + 13 a^{4} + 41 a^{3} + 14 a^{2} + 3 a + 11\right)\cdot 47^{7} +O(47^{8})\)
|
| $r_{ 17 }$ | $=$ |
\( 10 a^{14} + 26 a^{13} + 3 a^{12} + 27 a^{11} + 31 a^{10} + 46 a^{9} + 39 a^{8} + 2 a^{6} + 3 a^{5} + 22 a^{4} + 36 a^{3} + 40 a^{2} + 45 a + 39 + \left(18 a^{14} + 18 a^{13} + 8 a^{12} + 24 a^{11} + 27 a^{10} + 9 a^{9} + 32 a^{8} + 7 a^{6} + 17 a^{5} + 7 a^{4} + 44 a^{3} + 16 a^{2} + 38 a + 37\right)\cdot 47 + \left(32 a^{14} + 7 a^{13} + a^{12} + 24 a^{11} + 23 a^{10} + 43 a^{9} + 21 a^{8} + 31 a^{7} + 5 a^{6} + 9 a^{5} + 8 a^{4} + 13 a^{3} + 33 a^{2} + 19 a + 15\right)\cdot 47^{2} + \left(28 a^{14} + 18 a^{13} + 32 a^{12} + 12 a^{11} + 28 a^{10} + 2 a^{9} + 9 a^{8} + 6 a^{7} + 33 a^{6} + 4 a^{5} + a^{4} + 44 a^{3} + 12 a^{2} + 21 a + 7\right)\cdot 47^{3} + \left(28 a^{14} + 35 a^{13} + 23 a^{12} + 16 a^{11} + 14 a^{10} + a^{9} + 8 a^{8} + 25 a^{7} + 2 a^{6} + 18 a^{5} + 32 a^{4} + 18 a^{3} + 10 a^{2} + 32 a + 6\right)\cdot 47^{4} + \left(33 a^{14} + 17 a^{13} + 46 a^{12} + 19 a^{11} + 13 a^{10} + 21 a^{9} + 44 a^{8} + 45 a^{7} + 18 a^{6} + 39 a^{4} + 41 a^{3} + 33 a^{2} + 41 a + 16\right)\cdot 47^{5} + \left(21 a^{14} + 31 a^{13} + 44 a^{12} + 24 a^{11} + 45 a^{10} + 43 a^{9} + 28 a^{8} + 34 a^{7} + 29 a^{6} + 7 a^{5} + 30 a^{4} + a^{3} + 37 a^{2} + 24 a + 27\right)\cdot 47^{6} + \left(45 a^{14} + 12 a^{13} + a^{12} + 12 a^{11} + 18 a^{10} + 19 a^{9} + 36 a^{8} + 37 a^{7} + 5 a^{6} + 39 a^{5} + 19 a^{4} + 8 a^{3} + 15 a^{2} + a + 10\right)\cdot 47^{7} +O(47^{8})\)
|
| $r_{ 18 }$ | $=$ |
\( 16 a^{14} + 13 a^{13} + 28 a^{12} + 12 a^{11} + 19 a^{10} + 18 a^{9} + 45 a^{8} + 27 a^{6} + 26 a^{5} + 42 a^{3} + 18 a^{2} + 46 a + 39 + \left(18 a^{14} + 21 a^{13} + 27 a^{12} + 41 a^{11} + 24 a^{10} + 36 a^{9} + 19 a^{8} + 42 a^{7} + 17 a^{6} + 40 a^{5} + 5 a^{4} + 36 a^{3} + 10 a^{2} + 12 a + 32\right)\cdot 47 + \left(40 a^{14} + 23 a^{13} + 11 a^{12} + 6 a^{10} + 30 a^{9} + 34 a^{8} + 4 a^{6} + 29 a^{5} + 28 a^{4} + 7 a^{3} + 11 a^{2} + 29 a + 22\right)\cdot 47^{2} + \left(26 a^{14} + 23 a^{13} + 3 a^{12} + 24 a^{11} + 12 a^{10} + 34 a^{9} + 7 a^{8} + 16 a^{7} + 43 a^{5} + 34 a^{4} + 37 a^{3} + 28 a^{2} + 45 a + 25\right)\cdot 47^{3} + \left(17 a^{14} + 14 a^{13} + 41 a^{12} + 28 a^{11} + 21 a^{10} + 13 a^{9} + 43 a^{8} + 13 a^{7} + 33 a^{6} + 40 a^{5} + 15 a^{4} + 29 a^{3} + 24 a^{2} + 13 a + 30\right)\cdot 47^{4} + \left(2 a^{14} + 42 a^{13} + 39 a^{12} + 34 a^{11} + 32 a^{10} + 30 a^{9} + 3 a^{8} + 5 a^{7} + 23 a^{6} + 39 a^{5} + 35 a^{4} + 3 a^{3} + 6 a^{2} + 34 a + 7\right)\cdot 47^{5} + \left(42 a^{14} + 2 a^{13} + 10 a^{12} + 46 a^{11} + 8 a^{10} + 25 a^{9} + 8 a^{8} + 16 a^{7} + 43 a^{6} + a^{5} + 42 a^{4} + 15 a^{3} + 42 a^{2} + 9 a + 35\right)\cdot 47^{6} + \left(24 a^{14} + 39 a^{13} + 20 a^{12} + 18 a^{11} + 39 a^{10} + 20 a^{9} + 19 a^{8} + 10 a^{7} + 4 a^{6} + 27 a^{5} + 10 a^{4} + 16 a^{3} + 13 a^{2} + 25 a + 27\right)\cdot 47^{7} +O(47^{8})\)
|
| $r_{ 19 }$ | $=$ |
\( 39 a^{14} + 17 a^{13} + 18 a^{12} + 18 a^{11} + 11 a^{10} + 3 a^{9} + 3 a^{8} + 15 a^{7} + 13 a^{6} + 46 a^{5} + 18 a^{4} + 10 a^{3} + 16 a^{2} + 10 a + 39 + \left(17 a^{14} + 11 a^{13} + 6 a^{12} + 38 a^{11} + a^{10} + 18 a^{9} + 22 a^{8} + 35 a^{7} + 15 a^{6} + 6 a^{5} + 46 a^{4} + 45 a^{3} + 29 a^{2} + 32 a + 17\right)\cdot 47 + \left(33 a^{14} + 27 a^{13} + 16 a^{12} + 15 a^{11} + 35 a^{10} + 8 a^{9} + 36 a^{8} + 36 a^{7} + 37 a^{5} + 23 a^{4} + 4 a^{3} + 13 a^{2} + 24 a + 2\right)\cdot 47^{2} + \left(45 a^{14} + 44 a^{13} + 38 a^{12} + 34 a^{11} + 18 a^{10} + 17 a^{9} + 31 a^{7} + 14 a^{6} + 32 a^{5} + 33 a^{4} + 27 a^{3} + 32 a^{2} + 15 a + 32\right)\cdot 47^{3} + \left(39 a^{14} + 16 a^{13} + 15 a^{12} + 42 a^{11} + 26 a^{10} + 28 a^{9} + 18 a^{8} + 35 a^{7} + a^{6} + 43 a^{5} + 11 a^{4} + 5 a^{3} + 38 a^{2} + 34 a + 6\right)\cdot 47^{4} + \left(44 a^{14} + 8 a^{13} + 45 a^{12} + 43 a^{11} + 23 a^{10} + 4 a^{9} + 22 a^{8} + 25 a^{7} + 22 a^{6} + 32 a^{5} + 11 a^{4} + 42 a^{3} + 36 a^{2} + 44 a + 1\right)\cdot 47^{5} + \left(22 a^{14} + 23 a^{13} + 27 a^{12} + 40 a^{11} + 2 a^{10} + 41 a^{9} + 30 a^{8} + 24 a^{7} + 39 a^{6} + 45 a^{5} + 10 a^{4} + 34 a^{3} + 31 a^{2} + 20\right)\cdot 47^{6} + \left(15 a^{14} + 6 a^{13} + 18 a^{12} + 10 a^{11} + 44 a^{10} + 14 a^{9} + 39 a^{8} + 3 a^{7} + 4 a^{6} + 35 a^{5} + 26 a^{4} + 31 a^{3} + 38 a^{2} + 7 a + 7\right)\cdot 47^{7} +O(47^{8})\)
|
| $r_{ 20 }$ | $=$ |
\( 39 a^{14} + 43 a^{13} + 3 a^{12} + 37 a^{11} + 17 a^{10} + 5 a^{9} + 23 a^{8} + 10 a^{7} + 3 a^{6} + 36 a^{5} + 41 a^{4} + 18 a^{3} + 2 a^{2} + 33 a + 20 + \left(39 a^{14} + 13 a^{13} + 42 a^{12} + 35 a^{11} + 5 a^{10} + 4 a^{8} + 2 a^{7} + 26 a^{6} + 41 a^{5} + 38 a^{4} + a^{3} + 29 a^{2} + 41 a + 27\right)\cdot 47 + \left(15 a^{14} + 19 a^{13} + a^{12} + 35 a^{11} + 13 a^{10} + 19 a^{9} + 35 a^{8} + 43 a^{7} + 45 a^{6} + 37 a^{5} + 45 a^{4} + 6 a^{3} + 27 a^{2} + 18 a + 40\right)\cdot 47^{2} + \left(16 a^{14} + 17 a^{13} + 16 a^{12} + 43 a^{11} + 7 a^{10} + 5 a^{9} + 44 a^{8} + 46 a^{7} + 14 a^{6} + 42 a^{5} + 38 a^{4} + a^{3} + 12 a^{2} + 33 a + 24\right)\cdot 47^{3} + \left(33 a^{14} + 7 a^{13} + 27 a^{12} + 32 a^{11} + 28 a^{10} + 9 a^{9} + 5 a^{8} + 18 a^{7} + 27 a^{6} + 6 a^{5} + 41 a^{4} + 44 a^{3} + 3 a + 33\right)\cdot 47^{4} + \left(36 a^{14} + 8 a^{13} + 40 a^{12} + 38 a^{11} + 44 a^{10} + 6 a^{9} + 15 a^{8} + 10 a^{7} + 13 a^{6} + 39 a^{5} + 18 a^{4} + 28 a^{3} + 43 a^{2} + 46 a + 25\right)\cdot 47^{5} + \left(18 a^{14} + 8 a^{13} + 3 a^{12} + 30 a^{11} + 34 a^{10} + 14 a^{9} + 41 a^{8} + 6 a^{7} + 9 a^{6} + 23 a^{5} + 33 a^{4} + 12 a^{3} + 36 a^{2} + 17 a + 33\right)\cdot 47^{6} + \left(10 a^{14} + 39 a^{12} + 20 a^{11} + 40 a^{10} + 28 a^{9} + 28 a^{8} + 32 a^{7} + 45 a^{6} + 32 a^{5} + 23 a^{4} + 26 a^{3} + 23 a^{2} + 38 a + 38\right)\cdot 47^{7} +O(47^{8})\)
|
| $r_{ 21 }$ | $=$ |
\( 15 a^{14} + 22 a^{13} + 32 a^{12} + 9 a^{11} + 20 a^{10} + 13 a^{9} + 20 a^{8} + 9 a^{7} + 6 a^{6} + 44 a^{5} + 19 a^{3} + 24 a^{2} + 29 a + 7 + \left(10 a^{14} + 22 a^{13} + 11 a^{12} + 38 a^{11} + 22 a^{10} + 8 a^{9} + 33 a^{8} + 8 a^{7} + 6 a^{6} + 4 a^{5} + 23 a^{4} + 13 a^{3} + 29 a^{2} + 41 a + 6\right)\cdot 47 + \left(19 a^{14} + 33 a^{13} + 6 a^{12} + 20 a^{11} + 16 a^{10} + 13 a^{9} + 38 a^{8} + 44 a^{7} + 19 a^{6} + 31 a^{5} + 22 a^{4} + 20 a^{3} + 11 a^{2} + 30 a + 31\right)\cdot 47^{2} + \left(39 a^{14} + 34 a^{13} + 12 a^{12} + 25 a^{11} + 11 a^{10} + 42 a^{9} + 46 a^{8} + 43 a^{6} + 34 a^{5} + 35 a^{4} + 39 a^{3} + 35 a^{2} + 34 a + 23\right)\cdot 47^{3} + \left(7 a^{14} + 21 a^{13} + 44 a^{12} + 40 a^{11} + 24 a^{10} + 15 a^{9} + 19 a^{8} + 2 a^{7} + 41 a^{6} + 41 a^{5} + 33 a^{4} + 21 a^{3} + 29 a^{2} + 18 a + 17\right)\cdot 47^{4} + \left(8 a^{14} + 33 a^{13} + 33 a^{12} + 29 a^{11} + a^{10} + 35 a^{9} + 11 a^{8} + 24 a^{7} + 31 a^{6} + 31 a^{5} + 41 a^{4} + 36 a^{3} + 30 a^{2} + 44 a + 10\right)\cdot 47^{5} + \left(30 a^{14} + 37 a^{13} + 14 a^{12} + 40 a^{11} + 18 a^{10} + 38 a^{9} + 17 a^{8} + 10 a^{7} + 36 a^{6} + 27 a^{5} + 25 a^{4} + 30 a^{3} + 10 a^{2} + 39 a + 4\right)\cdot 47^{6} + \left(41 a^{14} + 39 a^{13} + 10 a^{12} + 16 a^{11} + 20 a^{10} + 34 a^{9} + 19 a^{8} + a^{7} + 21 a^{6} + 33 a^{5} + 7 a^{4} + 17 a^{3} + 45 a^{2} + 46 a + 33\right)\cdot 47^{7} +O(47^{8})\)
|
| $r_{ 22 }$ | $=$ |
\( 10 a^{14} + 44 a^{13} + 43 a^{12} + 38 a^{11} + 34 a^{10} + 13 a^{9} + 42 a^{8} + 42 a^{7} + 16 a^{6} + 45 a^{5} + 37 a^{4} + 28 a^{3} + 3 a^{2} + 25 a + 32 + \left(2 a^{14} + 29 a^{13} + 18 a^{12} + 17 a^{11} + 7 a^{10} + 32 a^{9} + 46 a^{8} + 33 a^{7} + 2 a^{6} + 10 a^{5} + 18 a^{4} + 12 a^{2} + 4 a + 19\right)\cdot 47 + \left(7 a^{14} + 31 a^{13} + 46 a^{12} + 26 a^{11} + 20 a^{10} + 44 a^{9} + 19 a^{8} + 20 a^{7} + 6 a^{6} + 19 a^{5} + 32 a^{4} + 31 a^{3} + 34 a^{2} + 36 a + 17\right)\cdot 47^{2} + \left(10 a^{14} + 28 a^{13} + 25 a^{12} + 21 a^{11} + 46 a^{10} + 27 a^{9} + 45 a^{8} + 15 a^{7} + 33 a^{6} + 14 a^{5} + 5 a^{4} + 25 a^{3} + 29 a^{2} + 5 a + 20\right)\cdot 47^{3} + \left(42 a^{14} + 8 a^{13} + 10 a^{12} + 19 a^{11} + a^{10} + 11 a^{9} + 19 a^{8} + 13 a^{7} + 10 a^{6} + 29 a^{5} + 23 a^{4} + 21 a^{3} + 18 a^{2} + 14 a + 27\right)\cdot 47^{4} + \left(10 a^{14} + 11 a^{13} + 27 a^{12} + 27 a^{11} + 13 a^{10} + 3 a^{9} + 5 a^{8} + 19 a^{7} + 9 a^{6} + 36 a^{5} + 9 a^{4} + 19 a^{3} + 2 a^{2} + 19 a + 31\right)\cdot 47^{5} + \left(a^{14} + 22 a^{13} + 3 a^{11} + 8 a^{10} + 41 a^{9} + 43 a^{8} + 22 a^{7} + 32 a^{6} + 28 a^{5} + 24 a^{4} + 11 a^{3} + 25 a^{2} + 34 a + 15\right)\cdot 47^{6} + \left(14 a^{14} + 22 a^{13} + 9 a^{12} + 15 a^{11} + 41 a^{10} + 35 a^{9} + a^{8} + 33 a^{7} + 23 a^{6} + 5 a^{5} + 26 a^{4} + 11 a^{3} + a^{2} + 29 a + 32\right)\cdot 47^{7} +O(47^{8})\)
|
| $r_{ 23 }$ | $=$ |
\( 42 a^{14} + 13 a^{12} + 17 a^{11} + 33 a^{10} + 28 a^{9} + 39 a^{7} + 45 a^{6} + 29 a^{5} + 12 a^{4} + 23 a^{3} + 17 a^{2} + 34 a + 39 + \left(38 a^{14} + 23 a^{13} + 30 a^{12} + 41 a^{11} + 7 a^{10} + 27 a^{9} + 34 a^{8} + 22 a^{7} + 18 a^{6} + 40 a^{5} + 16 a^{4} + 19 a^{3} + 26 a^{2} + 5 a + 13\right)\cdot 47 + \left(35 a^{14} + 9 a^{13} + a^{12} + 15 a^{11} + 13 a^{10} + 24 a^{9} + 8 a^{8} + 32 a^{7} + 8 a^{6} + 46 a^{5} + 39 a^{4} + 10 a^{3} + 21 a^{2} + 30 a + 33\right)\cdot 47^{2} + \left(13 a^{14} + 31 a^{13} + 28 a^{12} + 26 a^{11} + 9 a^{10} + 15 a^{9} + 21 a^{8} + 44 a^{7} + 43 a^{6} + 23 a^{5} + 19 a^{4} + 15 a^{3} + 16 a^{2} + 35 a + 6\right)\cdot 47^{3} + \left(21 a^{14} + 7 a^{13} + 39 a^{12} + 32 a^{11} + 40 a^{10} + 16 a^{9} + 15 a^{8} + 42 a^{7} + 13 a^{6} + 15 a^{5} + 3 a^{4} + 15 a^{3} + 15 a^{2} + 4 a + 18\right)\cdot 47^{4} + \left(3 a^{14} + 9 a^{13} + 25 a^{11} + 26 a^{9} + 9 a^{8} + a^{7} + 39 a^{6} + 45 a^{5} + 32 a^{4} + 3 a^{2} + 27 a + 4\right)\cdot 47^{5} + \left(23 a^{13} + 32 a^{12} + 35 a^{11} + 31 a^{10} + 13 a^{9} + 34 a^{8} + 41 a^{7} + 5 a^{6} + 33 a^{5} + 45 a^{4} + 37 a^{3} + 33 a^{2} + 9 a + 31\right)\cdot 47^{6} + \left(14 a^{14} + 38 a^{13} + 12 a^{12} + 44 a^{11} + 2 a^{10} + 29 a^{9} + 46 a^{8} + 8 a^{7} + 43 a^{6} + 23 a^{5} + 11 a^{4} + 12 a^{3} + 27 a^{2} + 13 a + 6\right)\cdot 47^{7} +O(47^{8})\)
|
| $r_{ 24 }$ | $=$ |
\( 27 a^{14} + 18 a^{13} + 2 a^{12} + 23 a^{11} + 23 a^{10} + 4 a^{9} + 43 a^{8} + 17 a^{7} + 45 a^{6} + 37 a^{5} + 39 a^{4} + 22 a^{3} + 30 a^{2} + 10 a + 14 + \left(26 a^{14} + 35 a^{13} + 18 a^{12} + 23 a^{11} + 43 a^{10} + 43 a^{9} + 45 a^{8} + 38 a^{7} + 41 a^{6} + 10 a^{5} + 17 a^{4} + 2 a^{3} + 22 a^{2} + 46 a + 32\right)\cdot 47 + \left(34 a^{14} + 18 a^{13} + 5 a^{12} + 13 a^{11} + 40 a^{10} + 35 a^{9} + 36 a^{8} + 5 a^{7} + 46 a^{6} + 26 a^{5} + 12 a^{4} + 7 a^{3} + 40 a^{2} + 20 a + 18\right)\cdot 47^{2} + \left(30 a^{14} + 40 a^{13} + 13 a^{12} + 14 a^{11} + 16 a^{10} + 37 a^{9} + 39 a^{8} + 25 a^{7} + 31 a^{6} + a^{5} + 25 a^{4} + 24 a^{3} + 43 a^{2} + 22 a + 13\right)\cdot 47^{3} + \left(30 a^{14} + 42 a^{13} + 39 a^{12} + 7 a^{11} + 40 a^{10} + 37 a^{9} + 39 a^{8} + 22 a^{7} + 46 a^{6} + 36 a^{5} + 45 a^{4} + 41 a^{3} + 45 a^{2} + 43 a + 23\right)\cdot 47^{4} + \left(23 a^{14} + 9 a^{12} + 38 a^{11} + 10 a^{10} + 19 a^{9} + 23 a^{8} + 4 a^{7} + 40 a^{6} + 39 a^{5} + 10 a^{4} + 43 a^{3} + 33 a^{2} + 34 a + 6\right)\cdot 47^{5} + \left(22 a^{14} + a^{13} + 34 a^{12} + 46 a^{11} + 9 a^{10} + 29 a^{9} + 35 a^{8} + 27 a^{7} + 33 a^{5} + 21 a^{4} + 5 a^{3} + 9 a^{2} + 41 a + 34\right)\cdot 47^{6} + \left(14 a^{14} + 5 a^{13} + 4 a^{12} + 16 a^{11} + 28 a^{10} + 39 a^{9} + a^{8} + 40 a^{7} + 19 a^{6} + 29 a^{5} + 3 a^{4} + 16 a^{3} + 18 a^{2} + 20 a + 1\right)\cdot 47^{7} +O(47^{8})\)
|
| $r_{ 25 }$ | $=$ |
\( 26 a^{14} + 22 a^{13} + 10 a^{12} + 37 a^{11} + 35 a^{10} + 9 a^{9} + 8 a^{8} + 15 a^{7} + 24 a^{6} + 41 a^{5} + 11 a^{4} + 39 a^{3} + 21 a^{2} + 19 a + 40 + \left(31 a^{14} + 15 a^{13} + 7 a^{12} + 16 a^{11} + 34 a^{10} + 32 a^{9} + 14 a^{8} + 34 a^{7} + 8 a^{6} + 29 a^{5} + 25 a^{4} + 21 a^{3} + 17 a^{2} + 25 a + 35\right)\cdot 47 + \left(24 a^{14} + 18 a^{13} + 10 a^{12} + 18 a^{11} + 26 a^{10} + 23 a^{9} + 45 a^{8} + 12 a^{7} + 36 a^{6} + a^{5} + 14 a^{4} + 13 a^{3} + 19 a^{2} + 28 a + 9\right)\cdot 47^{2} + \left(4 a^{14} + 31 a^{13} + 10 a^{12} + 19 a^{11} + 3 a^{10} + 3 a^{9} + 26 a^{8} + a^{7} + 24 a^{6} + 7 a^{4} + 23 a^{3} + 21 a^{2} + 34 a + 31\right)\cdot 47^{3} + \left(31 a^{14} + 21 a^{13} + 46 a^{12} + 44 a^{11} + 28 a^{10} + 38 a^{9} + 19 a^{8} + 42 a^{7} + 4 a^{6} + 27 a^{5} + 8 a^{4} + 25 a^{3} + 39 a^{2} + 16 a + 14\right)\cdot 47^{4} + \left(9 a^{14} + 32 a^{13} + 37 a^{12} + 2 a^{10} + 5 a^{9} + 37 a^{8} + 32 a^{7} + 32 a^{6} + 10 a^{5} + 11 a^{4} + 42 a^{3} + 20 a^{2} + 7 a + 40\right)\cdot 47^{5} + \left(19 a^{14} + 37 a^{13} + 5 a^{12} + 29 a^{11} + 43 a^{10} + 27 a^{9} + 13 a^{8} + 42 a^{7} + 14 a^{6} + 4 a^{5} + 3 a^{4} + 39 a^{3} + 4 a^{2} + 32 a + 16\right)\cdot 47^{6} + \left(37 a^{14} + 11 a^{13} + 29 a^{12} + 42 a^{11} + 27 a^{10} + 18 a^{9} + 10 a^{8} + 17 a^{7} + 22 a^{6} + 45 a^{5} + 2 a^{4} + 26 a^{3} + 26 a^{2} + 30 a + 1\right)\cdot 47^{7} +O(47^{8})\)
|
| $r_{ 26 }$ | $=$ |
\( 34 a^{14} + 9 a^{13} + 16 a^{12} + 39 a^{11} + 16 a^{10} + 17 a^{9} + 16 a^{8} + 41 a^{7} + 11 a^{6} + 14 a^{5} + 4 a^{4} + 21 a^{3} + 11 a^{2} + 28 a + 34 + \left(10 a^{14} + 33 a^{13} + 14 a^{12} + 42 a^{11} + 10 a^{10} + 43 a^{9} + 35 a^{8} + 43 a^{7} + 13 a^{6} + 38 a^{5} + 25 a^{4} + 21 a^{3} + 2 a^{2} + 21 a + 1\right)\cdot 47 + \left(44 a^{14} + 26 a^{13} + 13 a^{12} + 31 a^{11} + 25 a^{10} + 24 a^{9} + 34 a^{8} + 14 a^{7} + 10 a^{6} + 22 a^{5} + 16 a^{4} + 9 a^{3} + 36 a^{2} + 31 a + 6\right)\cdot 47^{2} + \left(24 a^{14} + 19 a^{13} + 7 a^{12} + 26 a^{11} + 27 a^{10} + 35 a^{9} + 33 a^{8} + 34 a^{7} + 18 a^{6} + 36 a^{5} + 3 a^{4} + 28 a^{3} + 34 a^{2} + 41 a + 27\right)\cdot 47^{3} + \left(38 a^{14} + 3 a^{13} + 23 a^{12} + 36 a^{11} + 28 a^{10} + 24 a^{9} + a^{8} + 7 a^{6} + 9 a^{5} + a^{4} + 38 a^{3} + 9 a^{2} + 38 a + 7\right)\cdot 47^{4} + \left(28 a^{14} + 22 a^{13} + 27 a^{12} + 19 a^{10} + 40 a^{9} + 45 a^{8} + 46 a^{7} + 15 a^{6} + 19 a^{5} + 37 a^{4} + 36 a^{3} + 15 a^{2} + 37 a + 37\right)\cdot 47^{5} + \left(40 a^{14} + 3 a^{13} + 9 a^{12} + 21 a^{11} + 11 a^{10} + 38 a^{9} + 35 a^{8} + 42 a^{7} + 30 a^{6} + 7 a^{5} + 24 a^{4} + 6 a^{3} + 39 a^{2} + 44 a + 6\right)\cdot 47^{6} + \left(2 a^{14} + 39 a^{13} + 13 a^{12} + 33 a^{11} + 19 a^{10} + 2 a^{9} + 29 a^{8} + 43 a^{7} + 28 a^{6} + 20 a^{5} + 35 a^{4} + 6 a^{3} + 43 a^{2} + 29 a + 37\right)\cdot 47^{7} +O(47^{8})\)
|
| $r_{ 27 }$ | $=$ |
\( 41 a^{14} + 17 a^{13} + 4 a^{12} + 25 a^{11} + 25 a^{9} + 36 a^{8} + 40 a^{7} + 22 a^{6} + 34 a^{5} + 17 a^{4} + 40 a^{3} + 26 a^{2} + 22 a + 34 + \left(4 a^{14} + 26 a^{13} + 14 a^{12} + 29 a^{11} + 22 a^{10} + 36 a^{9} + 31 a^{8} + 42 a^{7} + 4 a^{6} + 11 a^{5} + 24 a^{4} + 43 a^{3} + 29 a^{2} + 40 a + 36\right)\cdot 47 + \left(38 a^{14} + 34 a^{13} + 14 a^{12} + 4 a^{11} + 19 a^{10} + 24 a^{9} + 13 a^{8} + 21 a^{7} + 17 a^{6} + 17 a^{5} + 21 a^{4} + 44 a^{3} + 31 a^{2} + 24 a + 44\right)\cdot 47^{2} + \left(19 a^{14} + 38 a^{13} + 14 a^{12} + 41 a^{11} + 36 a^{10} + 39 a^{9} + 30 a^{8} + 30 a^{7} + a^{6} + 14 a^{5} + 4 a^{4} + 22 a^{3} + 7 a^{2} + 30 a + 26\right)\cdot 47^{3} + \left(4 a^{14} + 22 a^{13} + 5 a^{12} + 4 a^{11} + 18 a^{10} + 22 a^{9} + 18 a^{8} + 14 a^{7} + 32 a^{6} + 35 a^{5} + 26 a^{4} + 32 a^{3} + 34 a + 8\right)\cdot 47^{4} + \left(8 a^{14} + 42 a^{13} + 21 a^{12} + 13 a^{10} + 45 a^{9} + 24 a^{8} + 38 a^{7} + 27 a^{6} + 28 a^{5} + 42 a^{4} + 16 a^{3} + 35 a^{2} + 6 a + 11\right)\cdot 47^{5} + \left(6 a^{14} + 44 a^{13} + 14 a^{12} + 45 a^{11} + 44 a^{10} + 24 a^{9} + 44 a^{8} + 13 a^{7} + 37 a^{6} + 25 a^{5} + 2 a^{4} + 35 a^{3} + 2 a^{2} + 9 a + 37\right)\cdot 47^{6} + \left(a^{13} + 22 a^{12} + 18 a^{11} + 29 a^{10} + 16 a^{9} + 6 a^{8} + 28 a^{7} + 10 a^{6} + 27 a^{5} + 3 a^{4} + 26 a^{3} + 19 a^{2} + 21 a + 34\right)\cdot 47^{7} +O(47^{8})\)
|
| $r_{ 28 }$ | $=$ |
\( 12 a^{14} + 26 a^{13} + 21 a^{12} + a^{11} + 33 a^{10} + 7 a^{9} + 31 a^{8} + 20 a^{7} + 28 a^{6} + 7 a^{5} + 36 a^{4} + 29 a^{3} + 7 a^{2} + 40 a + 14 + \left(24 a^{14} + 27 a^{13} + 12 a^{12} + 31 a^{11} + 22 a^{10} + 9 a^{9} + 11 a^{8} + 38 a^{7} + 15 a^{6} + 19 a^{5} + 27 a^{4} + 8 a^{3} + 2 a^{2} + 32 a + 33\right)\cdot 47 + \left(8 a^{14} + 30 a^{13} + 3 a^{12} + 20 a^{11} + 5 a^{10} + 23 a^{9} + 36 a^{8} + 33 a^{7} + 46 a^{6} + 44 a^{5} + 30 a^{4} + 27 a^{3} + 24 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 47^{2} + \left(7 a^{14} + 21 a^{13} + 32 a^{12} + 24 a^{11} + 42 a^{10} + 29 a^{9} + 26 a^{8} + 37 a^{7} + 41 a^{6} + 43 a^{4} + 18 a^{2} + 39 a + 19\right)\cdot 47^{3} + \left(17 a^{14} + 4 a^{13} + 15 a^{12} + 36 a^{11} + 46 a^{9} + 38 a^{8} + 26 a^{7} + 31 a^{6} + 37 a^{5} + 19 a^{4} + 45 a^{3} + 12 a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 47^{4} + \left(12 a^{14} + 46 a^{13} + 23 a^{12} + 9 a^{11} + 16 a^{10} + 39 a^{9} + 31 a^{8} + 45 a^{7} + 27 a^{6} + 41 a^{5} + 2 a^{4} + 14 a^{3} + 15 a^{2} + 21 a + 21\right)\cdot 47^{5} + \left(6 a^{14} + 40 a^{13} + 23 a^{12} + 42 a^{11} + 42 a^{10} + 22 a^{8} + 15 a^{7} + 12 a^{6} + 29 a^{5} + 27 a^{4} + 26 a^{3} + 29 a^{2} + 23 a + 8\right)\cdot 47^{6} + \left(22 a^{14} + 40 a^{13} + 14 a^{12} + 40 a^{11} + 7 a^{10} + 37 a^{9} + 39 a^{8} + 10 a^{7} + 20 a^{6} + 14 a^{5} + 14 a^{4} + 14 a^{3} + 27 a^{2} + a + 9\right)\cdot 47^{7} +O(47^{8})\)
|
| $r_{ 29 }$ | $=$ |
\( 46 a^{14} + 3 a^{13} + 19 a^{12} + 32 a^{11} + 41 a^{10} + 22 a^{9} + 3 a^{8} + 19 a^{7} + 26 a^{6} + 42 a^{5} + 40 a^{4} + 43 a^{3} + 30 a^{2} + 31 a + 14 + \left(30 a^{14} + 34 a^{13} + 3 a^{12} + 19 a^{11} + 21 a^{10} + 25 a^{9} + 36 a^{8} + 37 a^{7} + 16 a^{6} + 41 a^{5} + 5 a^{4} + 29 a^{3} + 3 a^{2} + 12 a + 46\right)\cdot 47 + \left(34 a^{14} + a^{13} + 11 a^{12} + 9 a^{11} + 7 a^{10} + 18 a^{9} + 32 a^{8} + 14 a^{7} + 15 a^{6} + 33 a^{5} + 4 a^{4} + 30 a^{3} + 25 a^{2} + 30 a + 40\right)\cdot 47^{2} + \left(46 a^{14} + 4 a^{13} + 42 a^{12} + 6 a^{11} + 43 a^{10} + 18 a^{9} + 7 a^{8} + 43 a^{7} + 28 a^{6} + 5 a^{5} + 23 a^{4} + 36 a^{3} + 30 a^{2} + 20 a + 3\right)\cdot 47^{3} + \left(25 a^{14} + 33 a^{13} + 39 a^{12} + 22 a^{11} + 30 a^{10} + 5 a^{9} + 18 a^{8} + 43 a^{7} + 13 a^{6} + 44 a^{5} + 11 a^{4} + 25 a^{3} + 33 a^{2} + 18 a + 18\right)\cdot 47^{4} + \left(34 a^{14} + 26 a^{13} + 21 a^{12} + 27 a^{11} + 13 a^{10} + 22 a^{9} + 21 a^{8} + 5 a^{7} + 5 a^{6} + 37 a^{5} + 36 a^{4} + 9 a^{3} + 29 a^{2} + 9 a + 10\right)\cdot 47^{5} + \left(42 a^{14} + a^{13} + 3 a^{12} + 25 a^{11} + 20 a^{10} + 39 a^{9} + 44 a^{8} + 34 a^{7} + 35 a^{6} + 25 a^{5} + 35 a^{4} + 36 a^{3} + 11 a^{2} + 29 a + 21\right)\cdot 47^{6} + \left(30 a^{14} + 30 a^{13} + 19 a^{12} + 8 a^{11} + 26 a^{10} + 12 a^{9} + 46 a^{8} + 24 a^{7} + 44 a^{6} + 34 a^{5} + 18 a^{4} + 3 a^{3} + 45 a^{2} + 28 a + 36\right)\cdot 47^{7} +O(47^{8})\)
|
| $r_{ 30 }$ | $=$ |
\( 27 a^{14} + 9 a^{13} + 5 a^{12} + 26 a^{11} + 18 a^{10} + 22 a^{9} + 20 a^{8} + 25 a^{7} + 35 a^{6} + 18 a^{5} + a^{4} + 29 a^{3} + 10 a^{2} + 38 a + 32 + \left(11 a^{14} + 19 a^{13} + 15 a^{12} + 46 a^{11} + 16 a^{10} + 7 a^{9} + 40 a^{8} + 21 a^{7} + 6 a^{6} + 2 a^{5} + 45 a^{4} + 39 a^{3} + 16 a^{2} + 13 a + 22\right)\cdot 47 + \left(23 a^{14} + 30 a^{13} + 9 a^{12} + 38 a^{11} + 26 a^{9} + 41 a^{8} + 45 a^{7} + 3 a^{6} + 40 a^{5} + 24 a^{4} + 17 a^{3} + 22 a^{2} + 31 a + 39\right)\cdot 47^{2} + \left(33 a^{14} + 32 a^{13} + 17 a^{12} + 44 a^{11} + 10 a^{10} + 41 a^{9} + 41 a^{8} + 29 a^{7} + 41 a^{6} + 3 a^{5} + 30 a^{4} + 40 a^{3} + 10 a^{2} + 34 a + 33\right)\cdot 47^{3} + \left(11 a^{14} + 14 a^{13} + 20 a^{12} + 10 a^{11} + 33 a^{10} + 11 a^{9} + 25 a^{8} + 14 a^{7} + 39 a^{6} + 39 a^{5} + 5 a^{4} + a^{3} + 4 a^{2} + 41 a + 2\right)\cdot 47^{4} + \left(26 a^{13} + 36 a^{12} + a^{11} + 12 a^{10} + 6 a^{9} + 25 a^{8} + 39 a^{6} + 39 a^{5} + 5 a^{4} + 25 a^{3} + 40 a^{2} + 37 a + 44\right)\cdot 47^{5} + \left(11 a^{14} + 35 a^{13} + 21 a^{12} + a^{11} + 38 a^{10} + 19 a^{9} + 23 a^{8} + 36 a^{7} + 41 a^{6} + 31 a^{5} + 35 a^{4} + 4 a^{3} + 20 a^{2} + 6 a + 32\right)\cdot 47^{6} + \left(22 a^{14} + 44 a^{13} + 27 a^{12} + 28 a^{11} + 10 a^{10} + 17 a^{9} + 11 a^{8} + 29 a^{7} + 14 a^{6} + 14 a^{5} + 45 a^{4} + 37 a^{3} + 38 a^{2} + 2 a + 18\right)\cdot 47^{7} +O(47^{8})\)
|
Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 30 }$
| Cycle notation |
Character values on conjugacy classes
| Size | Order | Action on $r_1, \ldots, r_{ 30 }$ | Character value |
| $1$ | $1$ | $()$ | $2$ |
| $3$ | $2$ | $(1,10)(2,22)(3,29)(4,23)(5,30)(6,17)(7,21)(8,14)(9,18)(11,24)(12,15)(13,19)(16,27)(20,28)(25,26)$ | $0$ |
| $1$ | $3$ | $(1,2,29)(3,10,22)(4,5,6)(7,11,26)(8,12,27)(9,13,28)(14,15,16)(17,23,30)(18,19,20)(21,24,25)$ | $-2 \zeta_{15}^{5} - 2$ |
| $1$ | $3$ | $(1,29,2)(3,22,10)(4,6,5)(7,26,11)(8,27,12)(9,28,13)(14,16,15)(17,30,23)(18,20,19)(21,25,24)$ | $2 \zeta_{15}^{5}$ |
| $2$ | $3$ | $(3,22,10)(7,26,11)(8,27,12)(9,28,13)(17,30,23)$ | $\zeta_{15}^{5} + 1$ |
| $2$ | $3$ | $(3,10,22)(7,11,26)(8,12,27)(9,13,28)(17,23,30)$ | $-\zeta_{15}^{5}$ |
| $2$ | $3$ | $(1,2,29)(3,22,10)(4,5,6)(7,26,11)(8,27,12)(9,28,13)(14,15,16)(17,30,23)(18,19,20)(21,24,25)$ | $-1$ |
| $1$ | $5$ | $(1,15,5,19,24)(2,16,6,20,25)(3,8,23,9,7)(4,18,21,29,14)(10,12,30,13,11)(17,28,26,22,27)$ | $2 \zeta_{15}^{7} - 2 \zeta_{15}^{6} - 2 \zeta_{15}^{3} + 2 \zeta_{15}^{2} - 2$ |
| $1$ | $5$ | $(1,5,24,15,19)(2,6,25,16,20)(3,23,7,8,9)(4,21,14,18,29)(10,30,11,12,13)(17,26,27,28,22)$ | $2 \zeta_{15}^{3}$ |
| $1$ | $5$ | $(1,19,15,24,5)(2,20,16,25,6)(3,9,8,7,23)(4,29,18,14,21)(10,13,12,11,30)(17,22,28,27,26)$ | $-2 \zeta_{15}^{7} - 2 \zeta_{15}^{2}$ |
| $1$ | $5$ | $(1,24,19,5,15)(2,25,20,6,16)(3,7,9,23,8)(4,14,29,21,18)(10,11,13,30,12)(17,27,22,26,28)$ | $2 \zeta_{15}^{6}$ |
| $3$ | $6$ | $(1,3,2,10,29,22)(4,17,5,23,6,30)(7,25,11,21,26,24)(8,16,12,14,27,15)(9,20,13,18,28,19)$ | $0$ |
| $3$ | $6$ | $(1,22,29,10,2,3)(4,30,6,23,5,17)(7,24,26,21,11,25)(8,15,27,14,12,16)(9,19,28,18,13,20)$ | $0$ |
| $3$ | $10$ | $(1,13,15,11,5,10,19,12,24,30)(2,28,16,26,6,22,20,27,25,17)(3,18,8,21,23,29,9,14,7,4)$ | $0$ |
| $3$ | $10$ | $(1,11,19,30,15,10,24,13,5,12)(2,26,20,17,16,22,25,28,6,27)(3,21,9,4,8,29,7,18,23,14)$ | $0$ |
| $3$ | $10$ | $(1,12,5,13,24,10,15,30,19,11)(2,27,6,28,25,22,16,17,20,26)(3,14,23,18,7,29,8,4,9,21)$ | $0$ |
| $3$ | $10$ | $(1,30,24,12,19,10,5,11,15,13)(2,17,25,27,20,22,6,26,16,28)(3,4,7,14,9,29,23,21,8,18)$ | $0$ |
| $1$ | $15$ | $(1,6,21,15,20,29,5,25,14,19,2,4,24,16,18)(3,30,26,8,13,22,23,11,27,9,10,17,7,12,28)$ | $-2 \zeta_{15}^{7} + 2 \zeta_{15}^{5} - 2 \zeta_{15}^{4} - 2 \zeta_{15} + 2$ |
| $1$ | $15$ | $(1,21,20,5,14,2,24,18,6,15,29,25,19,4,16)(3,26,13,23,27,10,7,28,30,8,22,11,9,17,12)$ | $-2 \zeta_{15}^{6} - 2 \zeta_{15}$ |
| $1$ | $15$ | $(1,20,14,24,6,29,19,16,21,5,2,18,15,25,4)(3,13,27,7,30,22,9,12,26,23,10,28,8,11,17)$ | $2 \zeta_{15}^{7}$ |
| $1$ | $15$ | $(1,25,18,5,16,29,24,20,4,15,2,21,19,6,14)(3,11,28,23,12,22,7,13,17,8,10,26,9,30,27)$ | $2 \zeta_{15}$ |
| $1$ | $15$ | $(1,14,6,19,21,2,15,4,20,24,29,16,5,18,25)(3,27,30,9,26,10,8,17,13,7,22,12,23,28,11)$ | $-2 \zeta_{15}^{7} + 2 \zeta_{15}^{6} - 2 \zeta_{15}^{4} + 2 \zeta_{15}^{3} - 2 \zeta_{15}^{2} + 2$ |
| $1$ | $15$ | $(1,4,25,15,18,2,5,21,16,19,29,6,24,14,20)(3,17,11,8,28,10,23,26,12,9,22,30,7,27,13)$ | $2 \zeta_{15}^{7} - 2 \zeta_{15}^{5} + 2 \zeta_{15}^{4} - 2 \zeta_{15}^{3} + 2 \zeta_{15} - 2$ |
| $1$ | $15$ | $(1,16,4,19,25,29,15,6,18,24,2,14,5,20,21)(3,12,17,9,11,22,8,30,28,7,10,27,23,13,26)$ | $2 \zeta_{15}^{4}$ |
| $1$ | $15$ | $(1,18,16,24,4,2,19,14,25,5,29,20,15,21,6)(3,28,12,7,17,10,9,27,11,23,22,13,8,26,30)$ | $2 \zeta_{15}^{2}$ |
| $2$ | $15$ | $(1,15,5,19,24)(2,16,6,20,25)(3,27,30,9,26,10,8,17,13,7,22,12,23,28,11)(4,18,21,29,14)$ | $-\zeta_{15}^{4}$ |
| $2$ | $15$ | $(1,5,24,15,19)(2,6,25,16,20)(3,30,26,8,13,22,23,11,27,9,10,17,7,12,28)(4,21,14,18,29)$ | $-\zeta_{15}^{7} + \zeta_{15}^{5} - \zeta_{15}^{4} + \zeta_{15}^{3} - \zeta_{15} + 1$ |
| $2$ | $15$ | $(1,24,19,5,15)(2,25,20,6,16)(3,26,13,23,27,10,7,28,30,8,22,11,9,17,12)(4,14,29,21,18)$ | $-\zeta_{15}$ |
| $2$ | $15$ | $(1,5,24,15,19)(2,6,25,16,20)(3,17,11,8,28,10,23,26,12,9,22,30,7,27,13)(4,21,14,18,29)$ | $\zeta_{15}^{7} - \zeta_{15}^{5} + \zeta_{15}^{4} + \zeta_{15} - 1$ |
| $2$ | $15$ | $(1,19,15,24,5)(2,20,16,25,6)(3,13,27,7,30,22,9,12,26,23,10,28,8,11,17)(4,29,18,14,21)$ | $-\zeta_{15}^{2}$ |
| $2$ | $15$ | $(1,15,5,19,24)(2,16,6,20,25)(3,12,17,9,11,22,8,30,28,7,10,27,23,13,26)(4,18,21,29,14)$ | $\zeta_{15}^{7} - \zeta_{15}^{6} + \zeta_{15}^{4} - \zeta_{15}^{3} + \zeta_{15}^{2} - 1$ |
| $2$ | $15$ | $(1,19,15,24,5)(2,20,16,25,6)(3,28,12,7,17,10,9,27,11,23,22,13,8,26,30)(4,29,18,14,21)$ | $-\zeta_{15}^{7}$ |
| $2$ | $15$ | $(1,24,19,5,15)(2,25,20,6,16)(3,11,28,23,12,22,7,13,17,8,10,26,9,30,27)(4,14,29,21,18)$ | $\zeta_{15}^{6} + \zeta_{15}$ |
| $2$ | $15$ | $(1,18,16,24,4,2,19,14,25,5,29,20,15,21,6)(3,13,27,7,30,22,9,12,26,23,10,28,8,11,17)$ | $\zeta_{15}^{7} + \zeta_{15}^{2}$ |
| $2$ | $15$ | $(1,16,4,19,25,29,15,6,18,24,2,14,5,20,21)(3,27,30,9,26,10,8,17,13,7,22,12,23,28,11)$ | $-\zeta_{15}^{7} + \zeta_{15}^{6} + \zeta_{15}^{3} - \zeta_{15}^{2} + 1$ |
| $2$ | $15$ | $(1,4,25,15,18,2,5,21,16,19,29,6,24,14,20)(3,30,26,8,13,22,23,11,27,9,10,17,7,12,28)$ | $-\zeta_{15}^{3}$ |
| $2$ | $15$ | $(1,21,20,5,14,2,24,18,6,15,29,25,19,4,16)(3,11,28,23,12,22,7,13,17,8,10,26,9,30,27)$ | $-\zeta_{15}^{6}$ |
| $3$ | $30$ | $(1,8,6,13,21,22,15,23,20,11,29,27,5,9,25,10,14,17,19,7,2,12,4,28,24,3,16,30,18,26)$ | $0$ |
| $3$ | $30$ | $(1,23,25,12,18,22,5,7,16,13,29,17,24,8,20,10,4,26,15,9,2,30,21,27,19,3,6,11,14,28)$ | $0$ |
| $3$ | $30$ | $(1,27,4,13,25,3,15,17,18,11,2,8,5,28,21,10,16,23,19,26,29,12,6,9,24,22,14,30,20,7)$ | $0$ |
| $3$ | $30$ | $(1,9,16,11,4,22,19,8,25,30,29,28,15,7,6,10,18,27,24,23,2,13,14,26,5,3,20,12,21,17)$ | $0$ |
| $3$ | $30$ | $(1,17,21,12,20,3,5,26,14,13,2,23,24,27,18,10,6,7,15,28,29,30,25,8,19,22,4,11,16,9)$ | $0$ |
| $3$ | $30$ | $(1,7,20,30,14,22,24,9,6,12,29,26,19,23,16,10,21,28,5,8,2,11,18,17,15,3,25,13,4,27)$ | $0$ |
| $3$ | $30$ | $(1,28,14,11,6,3,19,27,21,30,2,9,15,26,4,10,20,8,24,17,29,13,16,7,5,22,18,12,25,23)$ | $0$ |
| $3$ | $30$ | $(1,26,18,30,16,3,24,28,4,12,2,7,19,17,14,10,25,9,5,27,29,11,20,23,15,22,21,13,6,8)$ | $0$ |
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.